Deret Fourier

download Deret Fourier

of 16

description

fisika matematika

Transcript of Deret Fourier

DERET FOURIER

1. Fungsi Periodik

Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semuaharga x berlaku:

f (x + P) = f (x) ; P adalah konstanta positif.

Harga terkecil dari P > 0 disebut perioda terkecil atau sering disebutperioda dari f(x).Contoh : Fungsi sin x mempunyai perioda 2; 4 ; 6 ; ...... karena sin (x+2 ) = sin (x+4 ) = sin (x+6 ) = ..........= sin x. Periode dari sin nx atau cos nx ; dengan n bilangan bulat positif adalah 2 /n. Periode dari tan x adalah . Fungsi konstan mempunyai periode sembarang bilangan positif.

Gambar grafik dari fungsi-fungsi yang periodik, misalnya :

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada setiap segmen (piecewise continuous function), bila f(x) hanya kontinu pada interval-interval tertentu dan diskontinu pada titik-titik yang banyaknya berhingga. Harga f(x) di titik-titik diskontinu ditentukan dengan menghitung harga limit fungsi f(x) untuk x mendekati titik diskontinu (ujung masing-masing interval).

2. Deret Fourier

Dalam beberapa permasalahan yang berhubungan dengan gelombang (gelombang suara, air, bunyi, panas, dsb) ; pendekatan dengan deret Fourier yang suku-sukunya memuat sinus dan cosinus sering digunakan. Dengan mengekspansikan ke dalam bentuk deret Fourier ; suatu fungsi periodik bisa dinyatakan sebagai jumlahan dari beberapa fungsi harmonis, yaitu fungsi dari sinus dan cosinus (fungsi sinusoidal).

Definisi Deret Fourier : Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval (-L;L) dan di luar interval tersebut f(x) periodikdengan periode 2L ; maka deret Fourier atau ekspansi Fourier dari fungsi f(x) tersebut di definisikan sebagai :

(4-1)dengan koefisien Fourier an , bn ditentukan oleh :

(4-2)Jika interval (L;L) sembarang dan f(x) mempunyai periode 2Lmaka :

(4-3)

(4-5)(4-4)

dengan C sembarang bilangan real.Jika C = -L maka rumus (4-4) dan (4-5) akan sama dengan (4-2) dan (4-3).Deret Fourier konvergen bila memenuhi syarat/kondisi Dirichlet.

Syarat /Kondisi Dirichlet

Teorema : Jika,

1. f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, kecuali pada beberapa titik yang banyaknya berhingga pada interval (-L:L).2. f(x) periodik dengan perioda 2L.3.f(x) dan f(x) merupakan fungsi-fungsi yang kontinu pada setiap segmen pada interval (-L;L).

Maka deret Fourier (4-1) dengan koefisien (4-2) dan (4-3) atau (4-4)dan (4-5) konvergen ke :

Contoh :1. Tentukan deret Fourier dari fungsi f(x) yang didefinisikan sebagai :

di luar interval ini f(x) periodik dengan perioda 2 .Penyelesaian :

Fungsi f (x) pada contoh diatas bisa dimisalkan merupakan suatu pulsa voltase yang periodik; dan suku-suku dari deret Fourier yang dihasilkan akan berkaitan dengan frekuensi frekuensi yang berbeda dari arus bolak balik yang dihubungkan pada gelombang bujur sangkar dari voltase tadi.

2. Tentukan deret Fourier dari :

dan bagaimanakah f (x) harus ditentukan pada x = -5 ; x = 0 dan x = 5agar deret Fourier tersebut konvergen ke f (x) pada -5 < x < 5.Penyelesaian :Periode = 2L . L=5

Deret Fouriernya

:

f(x) memenuhi syarat Dirichlet , jadi deret Fourier akan konvergen ke: F (x) ; jika x titik kontinu f (x+) + f (x- ) ; jika x titik diskontinu 2titik-titik x = -5; 0 dan 5 merupakan titik-titik diskontinu dari f (x) padainterval (-5,5) sehingga :

di x = -5 ; deret akan konvergen ke :

di x = 0 ; deret akan konvergen ke :

di x = 5 ; deret akan konvergen ke :Deret Fourier diatas akan konvergen ke f(x) pada interval -5 x 5apabila f (x) ditentukan sbb:

diluar interval ini periodik dengan p = 10

3. Ekspansikan f (x) = x 2 ; 0 < x < 2 kedalam deret Fourier jika f (x) Periodik dengan periode 2.

Penyelesaian :

periode 2L = 2L =

4. Dengan menggunakan hasil dari contoh no. 3, buktikan bahwa : Penyelesaian : Pada x = 0 ; deret Fourier dari f(x) = x2 konvergen ke f(x) =

2.3 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi f(x) disebut fungsi genap jika f ( -x ) = f (x) untuk setiap x.Contoh :

Polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat genapmerupakan fungsi genap. Jika f (x) fungsi genap maka:

(4-6)Fungsi f (x) disebut fungsi ganjil jika f ( -x ) = - f (x) untuk semua x.

Contoh :

Polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat ganjilmerupakan fungsi ganjil. Jika f (x) fungsi ganjil maka:

(4-7)

3. Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah Jangkauan (Half Range)

Deret fourier dari fungsi genap :

Genap

Jadi , jika f(x) fungsi genap maka bn = 0 ; sehingga yang muncul hanyasuku-suku yang mengandung cosinus saja atau suku-suku dari an.

Deret fourier dari fungsi ganjil:

Jika f(x) fungsi ganjil maka an = 0 ; sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung sinus saja atau suku-suku dari bn.Deret sinus dan cosinus setengah jangkauan adalah suatu deret Fourier yang hanya mengandung suku sinus atau cosinus saja. Apabila diinginkan deret setengah jangkauan yang sesuai dengan fungsi yang diberikan, fungsi yang dimaksud biasanya hanya diberikan dalam setengah interval adari (-L;L) yaitu pada interval (0;L) saja. Setengah lainya yaitu (-L,0) ditentukan berdasarkan penjelasan fungsinya genap atau ganjil.Deret sinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan :f(x) fungsi ganjil

(4-8)

Deret Cosinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan:f(x) fungsi genap

(4-9)

Contoh:Ekspansikan f (x) = x ; 0 < x < 2 ke dalam :a. deret sinus setengah jangkauanb. deret cosinus setengah jangkauan

Penyelesaian :

a. deret sinus setengah jangkauan

f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjanginterval-2 < x < 2(dengan periode 4), sebagai berikut:Sehingga :an = 0

Jadi deret sinus:

b. Deret cosinus setengah jangkauan

f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjang interval-2 < x < 2 (dengan periode 4), sebagai berikut:an = 0

bn = 0Jadi deret cosinus:

4. Aplikasi Deret FourierSalah satu aplikasi dari deret fourier adalah pada pemisahan perpaduan gelombang. Suatu gelombang yang bergerak pada sutu medium bukan hanya gelombang yang berupa gelombang tunggal namun merupakan perpaduan dari banyak gelombang. Dengan menggunakan deret fourier maka perpaduan dari banyak panjang gelombang ini dapat dipisahkan kembali menjadi gelombang-gelombang penyusunnya. Misalkan saja pada gelombang radio. Gelombang radio FM mempunyai frekuensi 88 Mhz sampai dengan 108 Mhz. Tapi yang menimbulkan pertanyaan adalah kenapa kita dapat mendengarkan suara penyiar radionya padahal batas pendengaran manusia hanya 20 Hz sampai dengan 20.000 Hz saja?. Ini dapat dijawab karena gelombang radio tersebut hanya sebagai pembawa. Yang nantinya pada radio penerima gelombang datang tersebut akan dipecah kembali yang salah satunya berupa gelombang suara yang dapat kita dengarkan.

Pada gambar diatas disajikan dua bentuk gelombang yang mempunyai bentuk yang sangat berbeda. Namun pada gambar kiri itu merupakan gelombang perpaduan dari banyak sekali gelombang. Sedangkan pada gambar kanan merupakan bentuk-bentuk gelombang yang menyusun gambar kiri tadi. Gambar kiri dapat di pecah menjadi gambar kanan dengan bantuan deret fourier. Hal ini pula yang berlaku pada frekuensi radio yang telah disinggung sebelumnya.Selain adanya deret fourier, juga dikenal adanya transformasi fourier (Fourier Transform-FT). Joseph Fourier mengemukakan bahwa sebuah fungsi periodik dapat direpresentasikan dengan mengkombinasikan penjumlahan tak hingga darifungsi sinus dan cosinus. Representasi fungsi inilah yang kemudian dikenal sebagaiDeret Fourier. Beberapa tahun setelah penemuan ini, deret fourier dikembangkan menjadi bentuk yang lebih umum sehingga dapat diterapkan pada fungsi yang non-periodik, bentuk yang lebih umum ini yang kemudian dikenal sebagaiTransformasi Fourier (FT). Sejak penemuan ini, transformasi fourier menjadi metoda yang sangat cocok untuk menganalisis fungsi atau sinyal1, karena transformasi fourier dapat mengubah fungsi atau sinyal dalam domain waktu ke domain frekuensi.Biasanya sebuah fungsi digambarkan dalam domain waktu. Artinya yang diukur dari fungsi tersebut adalah waktu. Dengan kata lain, jika kita gambarkan fungsi tersebut pada sumbu simetri, maka sumbu x (sebagai variabel bebas) mewakili waktu, dan sumbu y (sebagai variabel tak bebas) mewakili nilai pada waktu t tertentu, atau nilai amplitudo-nya.Jika kita menggambar fungsi dalamdomain waktu, maka kita akan memperoleh representasiwaktu-amplitudofungsi tersebut. Pada aplikasinya, representasi ini tidak selalu merupakan representasi terbaik. Pada banyak kasus, informasi khusus tersembunyi pada nilai frekuensinya. Spektrum frekuensi dari sebuah fungsi memperlihatkan frekuensi yang termuat pada fungsi tersebut.Transformasi Fourier (Fourier Transform atau FT) dapat mengubah fungsi atau sinyal dalam domain waktu ke dalamdomain frekuensi. Jika kita menerapkan FT pada sebuah fungsi dalam domain waktu, maka kita akan mendapatkan repesentasifrekuensi-amplitudofungsi tersebut. Dengan transformasi fourier, sebuah fungsi dapat digambarkan dalam sumbu x yang menunjukkan spektrum frekuensi dan sumbu y menunjukkan amplitudo. Gambar FT menunjukkan berapa banyak frekuensi yang termuat pada fungsi tersebut.Berikut ini adalah contoh dua buah fungsi stasioner periodik, yang tergabungkan (y1+ y2= y) beserta gambar FT-nya:

Seringkali, informasi yang tidak dapat dilihat pada domain waktu, dapat dilihat pada domain frekuensi. Sebagai contoh dalam bidang medis dikenal sinyal ECG (ElectroCardioGraphy),yaitu catatan grafik aktivitas elektrik jantung. Bentuk khusus ECG orang yang sehat, dikenal betul oleh seorang ahli jantung. Sebuah penyimpangan yang berarti dari bentuk tersebut biasanya dianggap sebagai gejala adanya penyakit. Namun gejala adanya penyakit tidak selalu terlihat jelas pada sinyal ECG dalam domain waktu, terkadang penyakit dapat didiagnosa lebih mudah jika sinyal dianalisis dalam domain frekuensi. Pada ECG dapat memanfaatkan transformasi fourier tergantung yang diinginkan. Seperti telah disinggung sebelumnya bahwa tidak selalu suatu gejala kejanggalan pembacaan catatan grafik aktifitas elektrik jantung dapat teramati dengan baik dalam domain waktu. Sehingga diperlukan domain lain yang sesuai dan dapat memberikan informasi yang lebih akurat kepada pembaca. Domain lain yang dapat digunakan adalah domain frekuensi. Dan sebaliknya tidak semua gejala kejanggalan juga dapat dibaca pada domain ini. Sehingga antara doain waktu dan domain frekuensi akan saling melengkapi, tergantung dengan kebutuhan. Hal tersebut merupakan contoh sederhana dari kegunaan domain frekuensi.Transformasi fourier bersifat reversibel, yaitu suatu fungsi dapat ditransformasi ke dalam domain frekuensi (yang memuat informasi frekuensi amplitudo), dan di inversikan lagi ke domain waktu (yang memuat informasi waktu-amplitudo). Namun, kedua informasi tersebut tidak bisadidapatkan secara bersamaan. Representasi fungsi dalam domain frekuensi tidak memuat informasi waktu, demikian pula sebaliknya. Untuk fungsi-fungsi yang stasioner, yaitu fungsi yang nilai frekuensinya tidak berubah-ubah secara kontinu, informasi waktu dan frekuensi secara bersamaan tidak diperlukan, karena di seluruh interval waktu, nilai komponen frekuensinya konstan.

DAFTAR PUSTAKAChotim, Moch., 2001, Kalkulus 1. Semarang: UNNES Semarang.Chotim, Moch., 2008, Kalkulus 1. Semarang: UNNES Semarang.Kartono. 2001. Maple untuk Persamaan Diferensial. Yogyakarta: J & J Learning.Romadiastri, Yulia., 2004. Solusi Persamaan Difusi pada Pipa Berhingga DenganKasus Kondisi Robin: Skripsi.UNNES Semarang.Waluya, S.B.,2006, Persamaan Diferensial, Yogyakarta : Graha Ilmu

6