6. Kreis

Der Kreis ist eine der einfachsten geometrischen Figuren.Will man aber den Umfang oder den Flächeninhalt vonKreisen oder Kreisteilen berechnen, stößt man immer wieder auf die geheimnisvolle Zahl π.

1466. KreisDein Fundament

Rund um den Kreis

1. Ermittle Radius und Durchmesser des gezeichneten Kreises.a) b) c) d)

2. Zeichne zwei Kreise mit den Radien r 1 = 2 cm und r 2 = 4 cm,a) die keinen Punkt gemeinsam haben, b) die genau einen Punkt gemeinsam

haben,c) die zwei Punkte gemeinsam haben, d) die einen gemeinsamen Mittelpunkt M

haben.

3. Zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 4 cm. Zeichne in das Quadrat einen Kreis, der die Seitenmittelpunkte des Quadrates berührt. Gib die Länge des Radius an.

4. Zeichne ein Rechteck mit den Seitenlängen a = 4 cm und b = 3 cm. Zeichne einen Kreis, der durch alle vier Eckpunkte des Rechtecks verläuft.a) Beschreibe die Lage des Kreismittelpunktes.b) Gib die Länge des Durchmessers an.

5. Gegeben sind zwei Geraden g und h, die genau einen Punkt gemeinsam haben.a) Zeichne mehrere Kreise, die die Geraden g und h berühren.b) Beschreibe die Lage der Mittelpunkte dieser Kreise.

Einheiten des Flächeninhalts

6. Entscheide, ob eine Einheit des Flächeninhalts angegeben ist.a) cm b) cm 2 c) ℓ d) ha e) cm 3 f ) a g) km 2 h) hℓ

7. Rechne in die Einheit um, die in Klammern steht.a) 5 cm 2 ( mm 2 ) b) 3,2 m 2 ( cm 2 ) c) 1 ha ( m 2 ) d) 2,3 a ( m 2 )

8. Ordne den Flächen die gerundeten Größen zu. a) Fläche einer Seite dieses Mathematikbuchesb) Fläche von Deutschlandc) Sitzfläche eines Stuhlesd) Handflächee) Fläche von Nordrhein-Westfalen

9. Wie oft ist die erste Fläche in der zweiten Fläche mit den angegebenen Flächeninhalten enthalten?a) 4 mm 2 in 16 cm 2 b) 25 dm 2 in 1 m 2 c) 4 cm 2 in 80 cm 2 d) 10 m 2 in 1 a

a) b) c) d) a) b) c) d) a) b) c) d)

2 1 dm 2

5 48 000 mm 2

4 1600 cm 2

1 357 000 km 2

3 3 400 000 ha

147Dein Fundament

Umfang und Flächeninhalt von Figuren

10. Berechne Umfang und Flächeninhalt der Figur.a) Rechteck mit den Seitenlängen a = 3 cm und b = 2,5 cmb) Quadrat mit der Seitenlänge a = 1,1 cmc) Dreieck mit den Seitenlängen a = 3 cm, b = 4 cm, c = 50 mm und dem Innenwinkel

γ = 90°d) Parallelogramm mit den Seitenlängen a = 3,0 cm, b = 2,5 cm und der Höhe h a = 2,0 cm

11. Ermittlea) den Umfang eines Quadrates, das einen Flächeninhalt von 144 dm 2 hat,b) drei mögliche Seitenlängen a und b eines Rechtecks, das einen Flächeninhalt von

30 cm 2 hat.

12. Gib den Flächeninhalt der abgebildeten Figuren an, wenn der Flächeninhalt eines Käst-chens 1 cm 2 beträgt.

a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)

13. Berechne den Flächeninhalt der gefärbten Fläche, wenn die Seitenlängen der Quadrate 1,5 cm und 2,5 cm betragen. (Zeichnung nicht maßgenau)

Vermischtes

14. Berechne im Kopf.a) 9 2 b) 11 2 c) 0, 1 2 d) 1, 1 2 e) 12 2 f ) 0, 7 2 g) 1, 2 2 h) (2_

3 ) 2

15. Berechne den Wert des Terms.a) 3,1 · x 2 für x = 2 b) 2 · 22__ für x = 2 b) 2 · __ für x = 2 b) 2 · 7 x für x = 0,7 c) __ x für x = 0,7 c) __ x____ x für x = 0,7 c) ____ x für x = 0,7 c) 2 · 3,1 für x = 15,5 d) ____ für x = 15,5 d) ____ √

__

√__

√12__x für x = 3__ für x = 3__

16. Stelle die Gleichung nach der Variablen x um.a) 2 x = y b) x y = z (y ≠ 0) c) x_a) 2 x = y b) x y = z (y ≠ 0) c) _a) 2 x = y b) x y = z (y ≠ 0) c) 4 = r d) 5_ = r d) _ = r d) x = a (x ≠ 0, a ≠ 0)

17. Die Tabellen gehören jeweils zu einer proportionalen Zuordnung. Übertrage sie in dein Heft und ergänze sie. Gib jeweils den Proportionalitätsfaktor an.a) 0,5 1 2 3 40,5 1 2 3 40,5 1 2 3 40,5 1 2 3 40,5 1 2 3 4

6,2

b) b) 1 1,5 2 5 71 1,5 2 5 71 1,5 2 5 71 1,5 2 5 71 1,5 2 5 71 1,5 2 5 7

9,42 15,79,42 15,7

18. Welcher Zusammenhang besteht zwischen Durchmesser und Radius eines Kreises?

19. Gib den Anteil des gefärbten Kreisausschnitts als Bruch und die jeweils zugehörige Größe des Winkels α an.

a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)a) b) c) d)

α αα α α

1486. Kreis

6.1 Umfang eines Kreises

■ Bei Straßenarbeiten werden mit dem abgebildeten Gerät lange Strecken – wie die Länge eines Gebäudegrundrisses oder die Länge einer Straße – vermessen.Wie funktioniert das Gerät? ■

Jan und Linus messen mit einem Faden den Durchmesser und den Umfang bei verschieden großen Kreisen. Die Werte tragen sie in eine Tabelle ein und übertragen sie in ein Koordinatensystem. Jan und Linus stellen fest, dass es sich bei der Zuordnung Kreisdurchmesser → Kreis umfang um eine proportionale Zuordnung handelt.

Durchmesser(in cm)

Umfang(in cm)

3,1 9,83,1 9,8

9,5 29,89,5 29,8

22,6 7122,6 71

5,3 16,65,3 16,6

12,8 4012,8 40

7,9 24,87,9 24,8

18,2 57,118,2 57,1

Umfang in cmUmfang in cmUmfang in cmUmfang in cmUmfang in cmUmfang in cmUmfang in cmUmfang in cmUmfang in cmUmfang in cmUmfang in cmUmfang in cmUmfang in cmUmfang in cmUmfang in cmUmfang in cm

444400 8 16 248 16 248 16 248 16 248 16 248 16 248 16 248 16 248 16 248 16 2420 28 3220 28 3220 28 3220 28 3220 28 3220 28 3220 28 3220 28 3220 28 3220 28 328 16 2420 28 328 16 248 16 2420 28 328 16 248 16 2420 28 328 16 248 16 2420 28 328 16 248 16 2420 28 328 16 248 16 2420 28 328 16 248 16 2420 28 328 16 248 16 2420 28 328 16 24

Durch-Durch-Durch-Durch-Durch-Durch-Durch-Durch-Durch-Durch-messermessermessermessermessermessermessermessermessermesserin cmin cmin cmin cmin cmin cmin cmin cm

10101010

20202020

30303030

40404040

50505050

60606060

70707070

Den Proportionalitätsfaktor dieser Zuordnung bezeichnet man als Kreiszahl π (Pi).

Wissen: Umfang eines KreisesFür den Umfang u eines Kreises mit dem Radius r und dem Durchmesser d gilt:

u = 2 · π · r bzw. u = π · d

Beispiel 1: Den Umfang berechnenBerechne den Umfang des Kreises. Gib das Ergebnis auf Millimeter genau an.a) Kreis mit dem Radius r = 38 cm b) Kreis mit dem Durchmesser d = 76 cm

Lösung:a) Setze r = 38 cm in die Formel u = 2 · π · r

ein und rechne aus. Für die Genauigkeit mm musst du auf eine Nachkommastel-le runden.

b) Setze d = 76 cm in die Formel u = π · d ein. Du erhältst dasselbe Ergebnis wie in a), da der Kreis aus a) denselben Durch-messer wie der Kreis aus b) hat, nämlich d = 2 · 38 cm = 76 cm.

u = 2 · π · ru = 2 · π · 38 cm ≈ 238,8 cm

u = π · du = π · 76 cm ≈ 238,8 cm

Hinweis:π ist eine irrationale Zahl mit unendlich vielen Nachkomma-stellen.Als Näherungswertfür π kann man 3,14 oder 22__oder __oder 7 nutzen.

r

dM

u

Hinweis:Nutze bei der Berech-nung die Taste π auf dem Taschenrechner.

1496.1 Umfang eines Kreises

Aufgabe 1: Berechne den Umfang des Kreises. Runde das Ergebnis auf eine Nachkomma-stelle.a) r = 8 cm b) r = 1,3 km c) d = 25 mm d) r = 0,87 m

Beispiel 2: Den Radius und Durchmesser bei gegebenem Umfang berechnenBerechne für einen Kreis mit dem Umfang u = 730 mma) den Radius r, b) den Durchmesser d.

Lösung:a) Stelle die Formel u = 2 · π · r nach r um.

Setze dann u = 730 mm ein. Rechne aus und runde das Ergebnis. Hier wurde auf mm gerundet.

b) Der Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius. Daher kannst du den berechneten Radius 116 mm aus a) mit 2 multiplizieren.

u = 2 · π · r | : (2π)

u__2 π = r

r = 730 mm_____r = _____r = 2 π ≈ 116 mm

d = 2 · rd ≈ 2 · 116 mm = 232 mm

Aufgabe 2: Der Kreis hat den Umfang u. Berechne den Durchmesser d und den Radius r.a) u = 60 cm b) u = 960 mm c) u = 1,6 m d) u = 3,7 km

Aufgaben

3. Berechne den Umfang des Gegenstandes. Überschlage zunächst im Kopf, bevor du schrift-lich oder mit dem Taschenrechner rechnest.a) 2 Euro-Münze b) Verkehrsschild c) Autoreifen d) CD d = 25,75 mm d = 420 mm d = 0,64 m d = 12 cm

4. Durchblick: Von einem Kreis wurde jeweils eine der Größen gemessen. Berechne die fehlenden Größen, indem du wie in Beispiel 1 und 2 vorgehst.

Umfang u Durchmesser d Radius rUmfang u Durchmesser d Radius rUmfang u Durchmesser d Radius r

a) 3,5 cm

b) 3,5 cm

c) 44 cm

d) Welche Regelmäßigkeit fällt dir in der Tabelle auf?

5. Beim Voltigieren verwendet der Trainer eine 8 m lange Longierleine, um das Pferd im Kreis zu führen.a) Berechne, wie lang eine Laufbahn des Pferdes ist.b) Welche Strecke hat das Pferd nach 25 Runden zu-

rückgelegt?

Hinweis:Bei b) kannst du auch die Formel u = π · d nach d umstellen und u = 730 mm einsetzen.

Hinweis:Beim Überschlag im Kopf kann man für πmit 3 rechnen.

Hinweis zu 3:Hier findest du die gerundeten Lösungen (ohne Einheiten).

2,012,01

13191319131913191319131980,980,9

37,7

1506. Kreis

6. Ein Förster möchte wissen, wie alt seine zwei größten Bäume sind. Für den Um-fang des Eichenstamms misst er 530 cm, der Umfang des Fichtenstamms beträgt 610 cm.a) Berechne den Radius der beiden

Bäume.b) Das Alter der Bäume lässt sich an den Jahresringen erkennen. Bei der Eiche beträgt die

durchschnittliche Dicke eines Jahresrings 3 mm, bei der Fichte sind es 5 mm.Entscheide, welcher der beiden Bäume älter ist.

7. Stolperstelle: Überprüfe die Behauptungen. Korrigiere, falls erforderlich.a) Verena erklärt: „In Erdkunde haben wir gelernt, dass es von hier bis zum Erdkern

6371 km sind. Also müsste ich 2 · 6 371 km = 12 742 km laufen, um einmal die Welt zu umrunden.“

b) Svea ruft aufgebracht bei Flying Pizza an: „In Ihrem Prospekt werben Sie damit, dass Ihre Familienpizza einen Umfang von einem Meter hat. Unsere Pizzastücke sind aber nur 16 cm lang. Der Umfang ist also nur halb so groß.“

8. Berechne die Länge der roten Linie, wenn der blaue Kreis einen Durchmesser von 24 cm hat.a) b)

9. Die Linie besteht jeweils aus Halbkreisbögen. Ermittle ihre Länge.a)

1 cm1 cm1 cm1 cm1 cm1 cm1 cm1 cm

b)

1 cm1 cm1 cm1 cm1 cm1 cm1 cm1 cm

10. Julian beschwert sich nach der Schule bei seinem Vater darüber, dass sein Taschenrechner kein π-Symbol hat und er deshalb immer ungenaue Ergebnisse bekommt. Sein Vater weist ihn darauf hin, dass er bei der Kreisberechnung doch einfach den Durchmesser mit 3 multi-plizieren und zum Ergebnis 5 % addieren könnte. Untersuche, ob dies eine gute Methode ist, um π anzunähern.

11. Für die Berechnung von Breiten- und Längenkreisen auf der Erde muss man einiges über Kreisumfänge wissen.a) Der Äquator hat eine Länge von ungefähr 40 000 km. Wie groß ist der Radius der Erde?b) Stell dir vor: Man spannt ein 40 000 km langes Seil straff um den Äquator. Dann wird das

Seil um einen Meter verlängert und so gestrafft, dass der Abstand zwischen dem Seil und der Erde überall gleich ist. Kannst du dann unter diesem Seil hindurchkriechen? Schätze zunächst ab und rechne danach.

c) Wie ändert sich der Abstand, wenn man das Seil um weitere 1 m, 2 m und 3 m verlän-gert? Beschreibe, welche Regelmäßigkeit festzustellen ist.

d) Wann kannst du aufrecht unter dem Seil hindurchgehen?

1516.1 Umfang eines Kreises

12. Um ein kreisförmiges Blumenbeet mit dem Durchmesser von 10 m verläuft ein 4 m breiter Weg. Am äußeren und inneren Rand des Weges sollen die Randsteine erneuert werden. Ein Randstein ist 30 cm lang. Auf 6 m Länge des äußeren Rands gibt es keine Randsteine, da dort weitere Wege abgehen. Wie viele Randsteine werden für die Erneuerung etwa be nötigt?

13. Florian besitzt ein 24-Zoll-Fahrrad. Der Durchmesser der Räder beträgt 61 cm. a) Wenn Florian mit dem Fahrrad zur Schule fährt, drehen

sich die Reifen durchschnittlich 105-mal pro Minute. Berechne, mit welcher Geschwindigkeit Florian unter-wegs ist.

b) Florian benötigt für seinen Schulweg mit dem Fahrrad 20 Minuten. Bestimme die Länge seines Schulwegs.

c) Wie oft drehen sich die Räder pro Minute bei 15 km/h? Wie viele Minuten wäre Florian bei dieser Geschwindig-keit früher in der Schule?

d) Florian hat verschlafen und muss sich beeilen. Beim Treten denkt er: „Wären meine Räder doch doppelt so groß, dann wäre ich schon nach der Hälfte der Zeit in der Schule.“ Stimmt das? Begründe deine Antwort.

14. Viele Weltumsegler orientieren sich bei ihrer Fahrt am 60. südlichen Breitenkreis, da sie hier kein Festland kreuzen. Sein Radius beträgt ungefähr 3185 km. Jedoch ist dieser Breitenkreis auch für seine gefährlichen Wasserströ-mungen bekannt. a) Wie lange bräuchte ein Schiff mit einer Durchschnitts-

geschwindigkeit von 25 km/h für eine vollständige Um-rundung dieses Breitenkreises?

b) Stattdessen könnte ein Schiff auch entlang des 61. süd-lichen Breitenkreises mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h fahren. Dieser hat einen Radius von ungefähr 3089 km. Da man hier jedoch Festland kreuzt, müsste man einen Umweg von 500 km in Kauf nehmen. Wäre diese Umrundung schneller?

15. Ausblick: Ein Spirograph ist ein geometrisches Spielzeug, mit dem man verschiedene Muster zeichnen kann. Im einfachsten Fall besteht er aus einem Festkreis und einem kleinen Roll-kreis mit Löchern. Man zeichnet eine Figur, indem man den Festkreis festhält, einen Stift durch eines der Löcher des kleinen Kreises steckt, ihn innen abrollt und dabei auf ein Blatt Papier zeichnet. So können auch quadratische Muster entstehen.a) Wie oft muss sich der Rollkreis beim Zeichnen drehen,

damit eine Quadratseite entsteht? b) Ziehe daraus Rückschlüsse über das Verhältnis der Kreis-

umfänge. Wie groß muss der Festkreis im Vergleich zum Rollkreis sein, damit ein quadratisches Muster entsteht?

1

2

1526. Kreis

6.2 Flächeninhalt eines Kreises

■ Zeichne mit Zirkel und Lineal einen Kreis mit dem Radius r = 3 cm auf Karopapier. Be-stimme dann den Flächeninhalt des Kreises, indem du die Kästchen eines Viertelkreises auszählst und den Flächeninhalt auf den ganzen Kreis umrechnest. Schätze ab, wie gut du den Flächeninhalt bestimmt hast ■

Mit der Formel für den Kreisumfang

u2≈

u2≈

rr

rr

rr

r

ru = 2 · π · r kann man eine Formel für den Flä-cheninhalt eines Kreises herleiten. Dazu teilt man einen Kreis in gleich große Tortenstü-cke. Ein Tortenstück wird zusätzlich halbiert. Dann setzt man die Tortenstücke neu zusam-men, sodass näherungsweise ein Rechteck entsteht. Die Breite dieses Rechtecks ent-spricht gerade dem Kreisradius und die Län-ge entspricht ungefähr dem halben Kreisum-fang. Je schmaler die Tortenstücke werden, desto genauer wird die Annäherung an ein Rechteck.

Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt: A Rechteck = Rechteck = Rechtecku_ = _ = 2 · r_ · r_

Setzt man u = 2 · π · r ein, folgt: A Rechteck = Rechteck = Rechteck2 · π · r____ = ____ = 2 · r = π · r 2

Da Kreis und Rechteck gleich groß sind, gilt: A Kreis = π · r 2

Wissen: Flächeninhalt eines KreisesFür den Flächeninhalt A eines Kreises mit dem Radius r gilt:

A

M rA = π · r 2

Beispiel 1: Den Flächeninhalt eines Kreises berechnenBerechne den Flächeninhalt des Kreises. Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.a) Kreis mit dem Radius r = 4 cm b) Kreis mit dem Durchmesser d = 8 cm

Lösung:a) Setze r in die Formel A = π · r 2 ein und

rechne aus.

b) Berechne zunächst den Radius, indem du den Durchmesser durch 2 teilst. Setze dann r = 4 cm in die Formel A = π · r 2 ein.Du erhältst dasselbe Ergebnis wie in a), da der Kreis aus a) denselben Durchmes-ser wie der Kreis aus b) hat, nämlich d = 2 · 4 cm = 8 cm.

A = π · r 2

A = π · (4 cm )2 = π · 16 cm 2 ≈ 50,3 cm 2

r = 8 cm___r = ___r = 2 = 4 cmA = π · (4 cm ) 2 = π · 16 c m 2 ≈ 50,3 cm 2

MMMMr = 3 cmr = 3 cmr = 3 cmr = 3 cmr = 3 cmr = 3 cmr = 3 cmr = 3 cmr = 3 cmr = 3 cmr = 3 cmr = 3 cm

1536.2 Flächeninhalt eines Kreises

Aufgabe 1: Berechne den Flächeninhalt des Kreises. Runde das Ergebnis auf eine Nachkom-mastelle.a) r = 3 cm b) r = 1,5 m c) d = 90 mm d) d = 3,2 m

Beispiel 2: Den Radius eines Kreises bei gegebenem Flächeninhalt berechnenBerechne für einen Kreis mit dem Flächeninhalt A = 16 m 2

a) den Radius r, b) den Durchmesser d.

Lösung:a) Stelle die Formel A = π · r 2 nach r um.

Setze dann A = 16 m 2 ein. Rechne aus und runde das Ergebnis. Hier wurde auf zwei Nachkommastellen (also auf cm) gerundet.

b) Der Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius. Daher kannst du den berechneten Radius 2,26 m aus a) mit 2 multiplizieren.

A = π · r 2 | : π r 2 = A_ = _ = π | √

__√

__√

r = √__

√__

√A_π

r = √____

√____

√16 m 2____π ≈ 2,26 m

d = 2 · rd ≈ 2 · 2,26 m = 4,52 m

Aufgabe 2: Berechne den Radius r und den Durchmesser d des Kreises.a) A = 25 c m 2 b) A = 3 m 2 c) A = 400 m m 2 d) A = 1,56 m 2

Aufgaben

3. Ein Mobilfunksender hat eine Reichweite von 7 km. Berechne, wie groß das Gebiet ist, in dem der Sender empfangen wird.

4. Ein kreisförmiges Beet hat einen Radius von 2,5 m.a) Wie groß ist die Fläche des Beetes?b) Wie viele Rosen können eingepflanzt werden, wenn eine Rose eine Fläche von 100 c m 2

benötigt?

5. Durchblick: Orientiere dich in Aufgabe a) an Beispiel 1 und in Aufgabe b) an Beispiel 2. a) Berechne den Flächeninhalt der Kreise mit dem Radius r 1 = 2 cm und r 2 = 4 cm.b) Berechne den Radius eines Kreises mit dem Flächeninhalt 201,06 cm 2 .c) Clemens meint: „Wenn ich den Radius verdopple, dann vervierfacht sich der Flächen-

inhalt.“ Kann das stimmen? Begründe deine Antwort.

6. Herr Arndt möchte für seine Kinder einen kreisförmigen Swimmingpool im Garten bauen. Der Pool soll einen Flächeninhalt von 80 m 2 haben. Welchen Durchmesser muss man für das Becken planen?

7. Stolperstelle: Die Schulleiterin Frau Vogel möchte, dass sich die 800 Schüler des Hilde-brandt-Gymnasiums für ein Gruppenfoto im kreisförmigen Forum der Schule aufstellen. Der Fotograph zweifelt jedoch, ob die Fläche ausreicht. „Für jeden Schüler benötigt man 1_2 m 2 , also insgesamt 400 m 2 .“ Frau Vogel beschwichtigt ihn: „Ich habe den Platz ausmessen lassen, er ist 20 m breit, hat also eine Fläche von ungefähr 1257 m 2 . Das reicht auf jeden Fall für die Schüler.“ Wie kommt Frau Vogel auf diese Behauptung? Ist sie richtig vorgegangen?

1546. Kreis

8. Julia und Luisa machen einen gemeinsamen Film-Abend und möchten Pizza bestellen. Im Prospekt der Pizzeria Diaboli suchen sie dazu nach Angeboten. a) Die Pizzeria bietet die kleine Pizza Salami mit einem

Durchmesser von 20 cm für 3,60 € an. Die Maxi-Aus-führung der Pizza Salami hat eine doppelt so große Fläche wie die kleine Pizza. Berechne den Durch-messer der Maxi-Pizza.

b) Die Pizzeria bietet die Pizza ebenfalls als Familienpiz-za an, die einen Durchmesser von 40 cm hat und 11,70 € kostet. Bekommt man bei der kleinen Pizza oder bei der Familienpizza mehr Pizza pro Euro?

9. Mit dem Radius wachsen auch der Umfang und der Flächeninhalt des Kreises.Wie verändert sich der Flächeninhalt, wenn mana) den Radius verdreifacht, b) den Radius drittelt, c) den Umfang halbiert?d) Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt und dem Umfang eines

Kreises? Stelle die Formel für den Umfang nach r um und setze das Ergebnis in die Formel für den Flächeninhalt ein.

10. Für eine kreisförmige Tischplatte mit 1,20 m Durchmesser soll eine Tischdecke genäht werden. Die Decke soll 15 cm über die Tischkanten hängen. a) Wie viel Quadratmeter Stoff werden für die Tischdecke benötigt?b) Um die Decke herum soll eine Spitzenbordüre befestigt werden. Wie viel Meter Bordüre

werden benötigt?

11. Berechne den Flächeninhalt der gelben Fläche.a) b) c) d)

12. Ausblick: Aus einer rechteckigen Spanplatte soll eine möglichst große Kreisscheibe her-ausgeschnitten werden. Der Umfang des Rechtecks beträgt 140 cm.a) Bestimme den Flächeninhalt des Kreises, wenn die Platte 50 cm lang und 20 cm breit ist.

Fertige eine Skizze an.b) Bestimme für fünf weitere Plattenlängen die zugehörige Plattenbreite und den Flächen-

inhalt der Kreisscheibe, die sich herausschneiden lässt. Trage die Ergebnisse in eine Ta-belle ein.

c) Finde heraus, bei welcher Plattenlänge und -breite die Kreisscheibe am größten wird. Erläutere dein Ergebnis.

d) In welchem Verhältnis steht der Flächeninhalt der Kreisscheibe aus c) zum Flächeninhalt der rechteckigen Spanplatte?

Hinweis zu 11:Hier findest du die Lösungen.

1_2 π r 2((π π – 1) – 1) – 1) – 1) – 1) r 222

1__22 π r r 2 2 r 2 r 2

a) b) c) d) a) b) c) d) a) b) c) d)

2 r

a) b) c) d)

r

a) b) c) d) a) b) c) d) a) b) c) d) a) b) c) d)

r r

r

155Streifzug Streifzug

Streifzug Pi

■ π ist eine geheimnisvolle Zahl, die schon seit langer Zeit die Menschen beschäftigt. π taucht sogar in der Bibel auf. Im alten Testament im ersten Buch der Könige, Kapitel 7, wird vom Bau des Tempels unter Salomo berichtet. Der Kupferschmied Hiram aus Tyros soll Arbeiten an ihm verrichten, und so heißt es: „Und er machte das Meer, gegossen, von einem Rand zum an-dern zehn Ellen weit rundherum und fünf Ellen hoch, und eine Schnur von dreißig Ellen war das Maß ringsherum.“Welche Zahl für π wurde hier verwendet? ■

In der Geschichte wurde die Zahl π schon vor den Griechen untersucht. Obwohl die Schätzun-gen immer genauer wurden, konnte der griechische Mathematiker Archimedes um 250 v. Chr. die Zahl π erstmals mathematisch eingrenzen.

Heute weiß man, dass π unendlich viele Nachkommastellen hat. Den Mathematikern geht es darum, so viele Nachkommastellen wie möglich zu finden.

Eine Methode, mit der Nachkommastellen gefunden werden können, ist die Berechnung mit der sogenannten Leibniz-Formel. Der Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz fand 1682 he-raus, dass man mit den Brüchen, die im Zähler eine 1 und im Nenner die ungeraden natür-lichen Zahlen haben, π berechnen kann. Dazu schreibt man diese Brüche geordnet von groß nach klein auf und subtrahiert und addiert sie abwechselnd:

1 – 1_1 – _1 – 3 + 1_ + _ + 5 – 1_ – _ – 7 + _ + _ 1_ + _ + 9 – 1__ – __ – 11 + …

Würde man diese Rechnung unendlich lange weiterführen können, so wäre das Ergebnis π_Würde man diese Rechnung unendlich lange weiterführen können, so wäre das Ergebnis _Würde man diese Rechnung unendlich lange weiterführen können, so wäre das Ergebnis 4 . Anders aufgeschrieben gilt daher:

π = 4 · (1 – 1_1 – _1 – 3 + 1_ + _ + 5 – 1_ – _ – 7 + _ + _ 1_ + _ + 9 – _ – _ 1__ – __ – 11 + … __ + … __ )

Beispiel 1: Näherungswerte für π mit der Leibniz-Formel bestimmenBestimme einen Näherungswert für π mit den ersten sechs Einträgen in der Leibniz-Formel.

Lösung:Die ersten sechs Einträge sind 1_Die ersten sechs Einträge sind _Die ersten sechs Einträge sind 1 , 1_3 , 1_5 , 1_7 , 1_9 , 1__

11 . Rechne mit dem Taschenrechner.

Multipliziere das Ergebnis mit 4.

Vergleiche das Endergebnis mit π.

1 – 1_1 – _1 – 3 + _ + _ 1_ + _ + 5 – 1_ – _ – 7 + 1_ + _ + 9 – _ – _ 1__ – __ – 11 = 2 578___ = ___ = 3 465

4 · 2 578___4 · ___4 · 3 465 = 2,976 046 176

Mit einem Wert kleiner als 3 ist das Ergebnis noch sehr ungenau.

Aufgabe 1: Bestimme einen Näherungswert für π mit den ersten sieben Einträgen in der Leibniz-Formel.

Eine andere Methode, Näherungswerte für π zu berechnen, ist die Monte-Carlo-Methode. Dabei zeichnet man einen Viertelkreis mit dem Radius 1 in ein Koordinatensystem. Um diesen Viertelkreis zeichnet man ein Quadrat der Seitenlänge 1. Nun werden Punkte zufällig in diesem Quadrat verteilt. Sie können beispielsweise mit Zufallszahlen aus dem Computer bestimmt werden oder mit einem Stift zufällig verteilt werden. Einige liegen dabei innerhalb des Viertel-kreises, andere nicht. Der Flächeninhalt des Quadrates beträgt 1, der des Viertelkreises beträgt 1_ beträgt _ beträgt 4 · 1 2 · π = π_ · π = _ · π = 4 , da es sich um den viertel Teil eines ganzen Kreises mit dem Radius 1 han-delt.

Hinweis:Eine Elle sind ungefähr 0,5 m.

yy

00 0,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 1xxxx

0,50,50,50,5

11

1566. Kreis

Teilt man nun den Flächeninhalt des Viertelkreises durch den des Quadrats ergibt sich:

Flächeninhalt Viertelkreis______________Flächeninhalt Quadrat = ______________ = ______________

π__4_ = _ = 1 = π_ = _ = 4 .

Anders aufgeschrieben gilt daher π = 4 · Flächeninhalt Viertelkreis______________ = 4 · ______________ = 4 · Flächeninhalt Quadrat .

Für Näherungswerte für π wird nun die Fläche des Quadrats und damit auch die des Viertel-kreises zufällig mit Punkten gefüllt. Nach der obigen Formel dann:

π ≈ 4 · Anzahl der Punkte im Viertelkreis_______________________ ≈ 4 · _______________________ ≈ 4 · Anzahl der gesamten Punkte im Quadrat

Beispiel 2: Näherungswerte für π mit der Monte-Carlo-Methode bestimmenBestimme mit der Monte-Carlo-Methode einen Näherungswert für π. Zähle dazu die zufällig im Quadrat verteilten Punkte.

Lösung:Zähle die Punkte, die im gesamten Quadrat liegen, und die, die nur im Viertelkreis liegen. Hier sind es 127 im gesamten Quadrat und davon 100 im Viertelkreis. Mit der Formel der Monte-Carlo-Methode gilt dann:

π ≈ 4 · 100___ 4 · ___ 4 · 127 = 3,149 606 299

Aufgabe 2: Bestimme mit der Monte-Carlo-Methode einen Näherungswert für π. Zähle dazu die zufällig im Quadrat verteilten Punkte.

Aufgaben

3. Verwende die Leibniz-Formel, um π weiter zu untersuchen.a) Wann taucht bei der Berechnung mit der Leibniz-Formel das erste Mal eine 3 vor dem

Komma auf?b) Wie viele Einträge der Leibniz-Formel braucht man mindestens, bis die erste Nachkom-

mastelle mit der von π übereinstimmt?c) Bestimme einen Näherungswert für π, indem du eine selbstgewählte Länge der

Leibniz-Formel berechnest. Um wie viel Prozent weicht dein Näherungswert vom Wert für π ab?

d) Finde einen Näherungswert mit der Leibniz-Formel, der um etwa 3 % vom Wert von πabweicht.

4. Vergleiche die Monte-Carlo-Methode mit der Bestimmung von π durch die Leibniz-Formel. Welche Methode würdest du vorziehen? Begründe deine Antwort.

5. Forschungsauftrag: Forsche im Internet und in Lexika zu den folgenden Themen.a) Wer sind die „Freunde der Zahl π”?b) Wie viele Nachkommastellen sind bislang gefunden? Berechne, wie hoch ein Stapel

DIN-A4-Blätter wäre, auf denen alle bekannten Nachkommastellen geschrieben stehen. Überlege, wie du eine möglichst genaue Anzahl an Nachkommastellen pro Blatt finden kannst.

yy

00 0,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 1xxxx

0,50,50,50,5

11

yy

00 0,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 10,5 1xxxx

0,50,50,50,5

11

1576.3 Kreisausschnitt, Kreisbogen, Kreisring

6.3 Kreisausschnitt, Kreisbogen, Kreisring

■ Welche der dargestellten Flächen hat den größten Flächeninhalt? Zeichne einen Kreisausschnitt mit einem kleineren Win-kel als 30°, dessen Flächeninhalt größer als jeder dieser drei Flächen ist. ■

Beispiel 1: Der Kreis hat einen Radius von 5 cm. a) Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts,

der einen Mittelpunktswinkel von 54° hat.b) Berechne die Bogenlänge b.

Lösung:a) Den Flächeninhalt des Kreisausschnitts

kannst du mit dem Dreisatz berechnen.Gehe vom Flächeninhalt des ganzen Kreises aus. Berechne zuerst die Fläche, die einem Winkel von 1° entspricht. Multipli ziere das Ergebnis mit 54.

b) Die Bogenlänge kannst du mit dem Dreisatz berechnen.Gehe vom Umfang des Kreises aus. Berechne zuerst die Bogenlänge, die einem Winkel von 1° entspricht. Multi-pliziere das Ergebnis mit 54.

Winkel FlächeninhaltWinkel Flächeninhalt

360°: 360 360° A 360° = π · (5 cm ) 2

: 360

1° 1° · 54 1° A 1° = π · (5 cm )2______ = ______ = 360

· 54

54° A 54° A 54° A 54° = 54 · π · (5 cm ) 2________ = ________ = 360

≈ 11,8 cm 2

Winkel BogenlängeWinkel Bogenlänge

360°: 360 360° b 360° = 2 π · 5 cm

: 360

1° 1° · 54 1° b 1° = 2 π · 5 cm_____ = _____ = 360

· 54

54° b 54° b 54° b 54° = 54 · 2 π · 5 cm________ = ________ = 360

= 54 · π · 5 cm_______ = _______ = 180 ≈ 4,7 cm

Aufgabe 1: Ein Kreis hat einen Radius von 8 cm. Berechne zu den Kreisausschnitten mit den folgenden Mittelpunktswinkel jeweils den Flächeninhalt und die Bogenlänge.a) 36° b) 60° c) 90° d) 120° e) 172° f ) 250°

M

M

r = 3 cm

r = 6

cm

30°

r = 12 cm

M

M54°r = 5 cm

b

1586. Kreis

Wissen: Kreisausschnitt, Kreisbogen, KreisringFür den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts A α mit dem Radius r und dem Mittelpunktswinkel α gilt:

A α = α___= ___= 360° · π · r 2

Für die Länge eines Kreisbogens b α mit dem Radius r und dem Mittelpunktswinkel α gilt:

b α = α___= ___= 180° · π · r

Für den Flächeninhalt eines Kreisrings A mit dem äußeren Radius r 1und dem inneren Radius r 2 gilt:

A = π · r 12 − π · r 2

2 = π · ( r 1 2 − r 2 2 )

Hinweis:Ein Kreisausschnitt wird auch als Kreissektor be-zeichnet. Statt Mittel-punktswinkel sagt man auch Zentriwinkel.

M r

Aαα

M r

b

α

M r1

r2r2r

Aufgaben

2. Zeichne einen Kreisausschnitt mit den gegebenen Größen. Berechne seinen Flächeninhalt und die Länge des zugehörigen Bogens.a) r = 6 cm, α = 36° b) r = 4 cm, α = 85°c) d = 8,4 cm, α = 112° d) r = 0,42 dm, α = 45°

3. Berechne die Länge der roten Linie und den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche.a)

r = 3 cmr = 3 cmr = 3 cm80°80°60°60°

b) b)

r = 4 cmr = 4 cmr = 4 cmr = 4 cmr = 4 cmr = 4 cm65°65°

rr222

4. Durchblick: Ein Kreis hat einen Radius von 5 cm. Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze für jeden Mittelpunktswinkel den Flächeninhalt des Kreisausschnitts und die Länge des Kreisbogens. Orientiere dich an Beispiel 1. Gib auch den jeweiligen Anteil am Vollkreis an.

Mittelpunktswinkel α 120° 60° 30° 45°120° 60° 30° 45°120° 60° 30° 45°120° 60° 30° 45°

Flächeninhalt A α

Bogenlänge b α

Anteil am Vollkreis 1_3

5. Sarah lässt den rechts abgebildeten Spiegel anfertigen. a) Berechne die Größe der Spiegelfläche.b) Das Spiegelglas kostet 60 € pro m 2 . Für den Zuschnitt

und den Kantenschliff muss sie zusätzlich 35 € bezahlen. Berechne den Gesamtpreis, den Sarah bezahlen muss.

α = 110°r =

80 cm

1596.3 Kreisausschnitt, Kreisbogen, Kreisring

6. Übertrage die Tabelle in dein Heft und ergänze die fehlenden Größen.

a) b) c) d) e) f)a) b) c) d) e) f)a) b) c) d) e) f)a) b) c) d) e) f)a) b) c) d) e) f)a) b) c) d) e) f)

Mittelpunktswinkel α 30° 210° 75°30° 210° 75°30° 210° 75°30° 210° 75°30° 210° 75°30° 210° 75°

Radius r 7 cm 5 m 50 cm 18 dm 12 cm7 cm 5 m 50 cm 18 dm 12 cm7 cm 5 m 50 cm 18 dm 12 cm7 cm 5 m 50 cm 18 dm 12 cm7 cm 5 m 50 cm 18 dm 12 cm

Bogenlänge b α 1 m 6 m1 m 6 m1 m 6 m

Flächeninhalt A α 45,2 cm 2 140,8 cm 140,8 cm 2

7. Eine Unterlegscheibe hat die Form eines Kreisringes mit dem äußeren Durchmesser d 1 = 8,2 mm und dem inneren Durchmesser d 2 = 5,8 mm. Berechne den Flächeninhalt.

8. Das Verkehrszeichen 250 (Verbot für Fahrzeuge aller Art) hat einen Durchmesser von 600 mm. Gib den Anteil der roten Fläche prozentual zur Gesamtfläche des Verkehrs zeichens an, wenn du davon ausgehst, dass der rote Ring 15 mm vom äußeren Rand entfernt ist und eine Breite von 80 mm hat.

9. Stolperstelle: Malte muss den Flächeninhalt der Treppen-stufe einer Wendeltreppe berechnen. Prüfe seine Rechnung:

· ·25°360°A = ˜̃(95 cm) 2 1969 cm2

10. Ein Glaser muss für die Restauration eines Kirchenfenstersmit Buntglas wie in der Darstellung acht verschiedene Glasfarben verwenden. Berechne die jeweilige Fläche für jede verwendete Farbe, wenn der äußere Durchmesser 1 m und der innere Durchmesser 40 cm beträgt.

11. Ein Kreisring mit dem Außendurchmesser von 10 cm soll den halben Flächeninhalt des Vollkreises haben. Mit welchem Durchmesser muss der innere Kreis ausgeschnitten werden?

12. Ausblick: Die Karte zeigt einen Teil von Karlsruhe im Maßstab 1 : 20 000a) Maria befindet sich am Punkt A. Sie

möchte ihre Freundin Clara am Punkt B treffen. Ist der Weg entlang des Kreisbogens über den Neuen Zirkel oder der Weg über das Schloss in der Mitte kürzer? Miss die benötigten Größen und berechne beide Weg-längen.

b) Wie groß müsste der Winkel α sein, damit beide Wege gleich lang sind?

Hinweis zu 6:Die gerundeten Lösungen zu α, r und b α findest du im Rauch, zu A α in der Lok (ohne Einheiten).

183,3

19,236

11,5

3,7

14,7 7,5

191

12,84581,5

5,42,5

95 cm

105 cm

Treppen-stufe

25°

10 cm

BBBBB

A

α

NNNeeeeeeeuuuueeeerrrr

KarlsruherKarlsruherKarlsruherKarlsruherKarlsruherKarlsruherKarlsruherKarlsruherKarlsruherKarlsruherKarlsruherKarlsruherKarlsruherKarlsruherKarlsruherKarlsruherSchlossSchlossSchlossSchlossSchlossSchlossSchloss

Schloss- Schloss- Schloss- Schloss- Schloss- Schloss- Schloss- Schloss- Schloss- Schloss- Schloss- Schloss- Schloss- platzplatzplatzplatzplatzplatzplatzplatzplatzplatzplatz

160 Vermischte Aufgaben 6. Kreis

1. Berechne die fehlenden Größen, runde auf die 2. Nachkommastelle.

a) b) c) d) e) f) g) h)a) b) c) d) e) f) g) h)a) b) c) d) e) f) g) h)a) b) c) d) e) f) g) h)a) b) c) d) e) f) g) h)a) b) c) d) e) f) g) h)a) b) c) d) e) f) g) h)a) b) c) d) e) f) g) h)

r 12 cm 12 cm 12 cm 12 cm 12 cm 12 cm 3_5 cm

d 6 m 6 m 6 m 6 m 6 m 2_3 cm

u 22,62 mm 4,4 dm22,62 mm 4,4 dm22,62 mm 4,4 dm22,62 mm 4,4 dm22,62 mm 4,4 dm

A 19,635 d m 2 272,89 m 272,89 m 272,89 m 272,89 m 2

α 25° 10° 119°25° 10° 119°25° 10° 119°25° 10° 119°25° 10° 119°25° 10° 119°25° 10° 119°

b α 10 dm 2 cm 0,2 cm10 dm 2 cm 0,2 cm10 dm 2 cm 0,2 cm10 dm 2 cm 0,2 cm10 dm 2 cm 0,2 cm10 dm 2 cm 0,2 cm10 dm 2 cm 0,2 cm

A α 15 m 2 100 m 100 m 2

2. Lena hat zum Geburtstag ein Riesentrampolin mit Sicher-heitsnetz mit einem Durchmesser von 3,05 m geschenkt bekommen. Die Sicherheitsabdeckung am Rand ist 20 cm breit. Berechne den Flächeninhalt der Sprungfläche.

3. Marie und ihr Bruder Jonas backen Plätzchen. Sie haben den Teig zu einem Rechteck mit den Seitenlängen a = 20 cm und b = 28 cm ausgerollt. Ihre Ausstecher ha-ben einen Durchmesser von 4 cm.a) Berechne die Anzahl der Plätzchen, die Marie und

Jonas ausstechen können, wenn sie die Plätzchen wie im Bild ausstechen.

b) Berechne den Flächeninhalt des Teigs, der übrig bleibt. Berechne, für wie viele weitere Plätzchen der Teig reicht, wenn Marie und Jonas den Verschnitt immer wieder mit der gleichen Dicke ausrollen.

c) Überprüfe zeichnerisch, ob Marie und Jonas beim ersten Ausrollen des Teigs mehr Plätzchen ausstechen könnten, wenn sie die Plätzchen versetzt anordnen. Könnten sie dann auch insgesamt mehr Plätzchen aus dem Teig erhalten?

d) Marie möchte die Plätzchen am Rand mit einem dünnen Zuckergussstreifen verzieren. Berechne, wie lang die Zuckergussstreifen insgesamt sind.

4. Bestimme den Radius der Kreise. Überschlage zunächst im Kopf.a) u = 36 cm b) A = 48 d m 2 c) u = 90 mm d) A = 363 m 2

5. Betrachte die Abbildung.a) Ordne die Kreise nach ihrer Größe, beginne mit dem kleinsten. Schätze zunächst und

überprüfe anschließend durch eine Rechnung mit den angegebenen Werten.

Blaue Kreise d = 3 mm;roter Kreis A = 9 π m m 2

Blaue Kreise u = 9 π mm;roter Kreis u = 6 π mm

b) Beschreibe deine Beobachtung aus a). Woran könnte diese optische Täuschung liegen?c) Zeichne selbst ein solches Bild.

Hinweis zu 3 c:Hier kann Dyna mische Geometrie-Software verwendet werden.

Hinweis zu 5 c:Hier kann Dyna mische Geometrie-Software verwendet werden.

161Vermischte Aufgaben

6. Das London Eye war 2013 mit einer Höhe von 120 m und einem Durchmesser von 110 m das höchste Riesenrad Europas.

Die Kabinen des London Eye drehen sich mit einer Ge- schwindigkeit von 0,26 m/s. Berechne die Zeitdauer ei-ner Umdrehung.

Berechne den Weg, den die Besucher bei einer Umdre-hung zurücklegen.

Das London Eye hat 32 Kabi-nen, deren Aufhängungen außen auf dem Rad gleich weit voneinander entfernt sind. Bestimme den Abstand zwischen den Aufhängun-gen zweier Kabinen.

Das London Eye bewegt sich so langsam, dass die Passagiere während der Fahrt ein- und aussteigen können. Es hält nur in speziellen Situationen an, z.B. um Rollstuhlfahrer ein- und aussteigen zu lassen. Nimm an, du steigst in das London Eye ein und fährst 10 Minuten mit einer Geschwindigkeit von 0,26 m/s, bis es anhält. Bestimme, um wie viel Grad sich das Riesenrad bis dahin gedreht hat.

Das London Eye wurde lie-gend auf Schwimmkähnen errichtet und anschließend aufgerichtet. Berechne die Fläche, die es liegend ein-nahm.

7. Das Selbstlernzentrum des Schiller-Gymnasiums soll neu gestaltet werden. Die SV schlägt dazu Tische vor, die sie für ihre Versammlungen als Kreis aufstellen kann. Im Kata-log ist angegeben, dass ein Vollkreis aus vier Tischen be-steht, bei denen die gerade Kante eine Länge von 50 cm und die äußere gebogene Kante eine Länge von ca. 157 cm hat.a) Im Selbstlernzentrum steht eine quadratische Fläche von 10 m 2 zur Verfügung. Prüfe,

ob dieser Platz für einen Vollkreis inklusive Stühlen ausreichend ist.b) Berechne die leere Fläche in der Mitte der Tische.c) Das Team der SV, welches sich regelmäßig trifft, besteht aus 8 Personen. Berechne die

Tischfläche, die jeder Person zur Verfügung steht.

8. Paul möchte in seinem Zimmer eine Dartscheibe mit einem Radius von 25,5 cm aufhängen. Sein Vater besteht darauf, dass er als Schutz für die dahinter liegende Wand die Dartscheibe auf einer Holzplatte montiert, sodass die Holzplatte überall mindestens 20 cm übersteht.a) Bestimme die Abmessungen, die die Platte haben

muss, wenn sie rechteckig ist.b) Paul hat eine quadratische Holzplatte mit einer Seiten-

länge von 95 cm gekauft, die er nun schwarz lackieren möchte. Da der Lack jedoch sehr teuer ist, überlegt er sich, die Fläche der Dartscheibe auszusparen. Berechne, wie viel Prozent Lack Paul so sparen kann.

c) Der Double- und Triple-Ring ist jeweils 8 mm breit. Der Abstand vom Mittelpunkt des Bulls bis zum äußeren Rand des Double-Rings beträgt 170 mm, bis zum äußeren Rand des Triple-Rings sind es 107 mm. Berechne die Fläche eines Double- und eines Triple-Felds. Berechne außerdem die Größe der gesamten Spielfläche.

d) Das Bull hat einen Durchmesser von 31,8 mm, das Bull’s Eye hat einen Radius von 6,35 mm. Stelle selbst weitere Aufgaben zur Dartscheibe und löse diese, oder tausche dich mit deinem Nachbarn aus.

Double-Ring

Trible-Ring

Bull

Bull's Eye

1626. KreisPrüfe dein neues Fundament

1. Berechne den Umfang des Kreises, wenn der Radius r oder der Durchmesser d gegeben ist.Runde sinnvoll.a) r = 25 cm b) r = 14 mm c) d = 14 km d) r = 2,8 km e) r = 0,23 dmf) d = 4,65 m g) r = 0,045 km h) d = 0,405 mm i) d = 2 π m j) r = 1__ m j) r = __ m j) r = 2 π km__ km__

2. Der Kreis hat den Umfang u. Berechne den Radius r und den Durchmesser d.Runde sinnvoll.a) u = 44 cm b) u = 2,5 m c) u = 0,002 mm d) u = 0,708 km e) u = 2 π m

3. Berechne den Umfang des Gegenstandes. Überschlage zunächst im Kopf.a) 1-Cent-Münze b) Mittelkreis im Fußballfeld c) Traktorreifen d) Schallplatte d = 16,25 mm d = 18,30 m d = 1662 mm d = 30 cm

4. Berechne die Länge der Äquatorkreise der acht Planeten unseres Sonnensystems aus ihren Durchmessern unter der Annahme, dass die Planeten perfekte Kugeln wären.Merkur: 4 878 km Venus: 12 104 km Erde: 12 756 km Mars: 6 790 km Jupiter: 142 984 km Saturn: 120 536 km Uranus: 51 118 km Neptun: 49 528 km

5. Berechne den Flächeninhalt des Kreises mit dem Radius r bzw. mit dem Durchmesser d.Runde sinnvoll.a) r = 4 cm b) r = 7,8 m c) d = 2 cm d) r = 23,75 dm e) d = 10,34 kmf) d = 0,004 m g) r = 0,03 m h) d = 2 √

__√

__√3 cm i) r = π cm j) d = 2 π__ cm j) d = __ cm j) d = 3 m

6. Der Kreis hat den Flächeninhalt A. Berechne den Radius r und den Durchmesser d.Runde sinnvoll.a) A = 10 c m 2 b) A = 12,57 m 2 c) A = 0,283 m m 2 d) A = 18π k m 2 e) A = π c m 2

7. Die Sendereichweite eines Sprechfunkgeräts beträgt 5 km. Berechne, wie groß das Gebiet ist, in dem man das Funkgerät empfangen kann.

8. Berechne zu dem Kreisausschnitt mit dem Radius r und dem Mittelpunktswinkel α den Flä-cheninhalt und die Bogenlänge. Runde sinnvoll.a) r = 5 cm; α = 16° b) r = 11 mm; α = 58°c) r = 14,7 dm; α = 90° d) r = 0,25 km; α = 101°e) r = 11 cm; α = 181° f ) r = 1,27 km; α = 240°

9. Ein äußerer Kreis mit dem Radius r 1 und ein innerer Kreis mit dem Radius r 2 bilden einen Kreisring. Berechne den Flächeninhalt des Kreisrings. Runde sinnvoll.a) r 1 = 4 cm; r 2 = 3 cm b) r 1 = 1,1 m; r 2 = 0,4 mc) r 1 = 0,9 m; r 2 = 3,9 dm d) r 1 = 3 √

__√

__√2 cm; r 2 = √

__√

__√2 cm

163Prüfe dein neues Fundament

10. Ein Spielfeld besteht beim Baseball aus zwei Teilen. Der erste Teil ist der eigentliche Spiel-bereich, das Fair Territory. Es hat die Form eines Viertelkreises und wird von zwei Seitenauslini-en mit einer Länge von 105 m begrenzt. Den zweiten Teil bildet der Seitenausbereich, das Foul Territory (in der Abbildung blau).a) Berechne die Größe des Fair Territory.b) Ein Quadratmeter Rollrasen kostet 8 €.

Für die Verlegung des Rollrasens verlangt eine Firma 9500 €. Berechne den Gesamtpreis für das Auslegen des Fair Territory mit Rollrasen.

11. Übertrage die Tabelle in dein Heft. Gesucht sind verschiedene Werte von Kreisen, aus de-nen jeweils ein Kreisausschnitt mit einem Mittelpunktwinkel von 45° ausgeschnitten wird. Berechne die fehlenden Werte. Runde sinnvoll.

Radius Durchmesser Umfang FlächeninhaltRadius Durchmesser Umfang FlächeninhaltRadius Durchmesser Umfang FlächeninhaltRadius Durchmesser Umfang FlächeninhaltKreis

FlächeninhaltKreisausschnit

BogenlängeKreisauschnitt

r = 5 cm

d = 12,6 m

20,23 km

55 c m 2

189 m m 2

12 dm

Wiederholungsaufgaben

1. Der Rhein hatte im Mai 2013 beim Pegel Köln folgende Wasserstände:

Fr So Di05.05.

Fr So Di12.05.

Fr So Di19.05.

Fr So Di26.05.

Fr

390420450480510540570600

Pegel Köln / RheinWasserstände [cm] 03.05.2013 bis 31.05.2013 Maximum : 567 cm

Minimum : 388 cm

360390420450480510540570600

360

a) Lies den Wasserstand am 6. Mai und am 20. Mai ab.b) Wann hatte der Rhein im Mai den höchsten Pegelstand?

2. Forme mithilfe der Binomischen Formeln um.a) (J + L )2 = b) (◁ − ▷ )2 = c) (○ + □ ) (○ − □ ) =

3. Nutze zur Berechnung Rechenvorteile.a) 15 · 8 + 85 · 8 b) 1_a) 15 · 8 + 85 · 8 b) _a) 15 · 8 + 85 · 8 b) 7 · (700 + 63 ) c) 2_5 · 9 · 2 · 15__ · 9 · 2 · __ · 9 · 2 · 2 · 5

4. Berechne.a) 7 % von 200 € b) 20 % von 20 kg c) 110 % von 50 m

1646. KreisZusammenfassung

Kreis Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die von einem festen Punkt M (Mittelpunkt des Krei-ses) den gleichen Abstand r (Radius des Krei-ses) haben. Der zweifache Radius ist der Durchmesser des Kreises.

Mr

d

d = 2 r; r = d_d = 2 r; r = _d = 2 r; r = 2

Umfang eines Kreises

Der Umfang u eines Kreises ist zu seinem Durchmesser d proportional. Der Proportio-nalitätsfaktor wird Kreiszahl genannt und mit π bezeichnet. Als Näherungswert für π kann man 3,14 oder 22__kann man 3,14 oder __kann man 3,14 oder 7 nutzen.__ nutzen.__

Für den Umfang u eines Kreises mit dem Durchmesser d und dem Radius r des Kreises gilt:

u = π · d bzw. u = 2 · π · r

Ermittle den Umfang u eines Kreises, dessen Radius 12 cm beträgt.u = 2 · π · r

= 2 · π · 12 cm ≈ 75,4 cm

Flächeninhalt eines Kreises

Für den Flächeninhalt A eines Kreises mit dem Radius r gilt:

A = π · r 2

Ermittle den Flächeninhalt A eines Kreises, dessen Radius 3 cm beträgt.

A = π · r 2

= π · (3 cm ) 2

= π · 9 cm 2 ≈ 28,3 cm 2

Kreisbogen, Kreisausschnitt

Der Flächeninhalt eines Kreisausschnitts A αmit dem Radius r und dem Mittelpunktswin-kel α beträgt:

A α  = α___= ___= 360° · π · r 2

Die Länge eines Kreisbogens b α mit dem Radius r und dem Mittelpunktswinkel αbeträgt:

b α = α___ = ___ = 180° · π · r

M

Aα

α

bα

Berechne den Flächeninhalt A α des Kreisaus-schnitts und die Bogenlänge b α eines Kreises mit dem Radius 6 m und einem Mittelpunkts-winkel von 120°.

A α = α___ = ___ = 360° · π · r 2

= 120°___360° · π · (6 m ) 2 ≈ 37,7 m 2

b α  = α___= ___= 180° · π · r

= 120°___= ___= 180° · π · 6 m ≈ 12,6 m

Kreisring Für den Flächeninhalt A eines Kreisrings mit den Radien r 1 und r 2 ( r 1 > r 2) gilt:

A = π · r 1 2 − π · r 2 2

= π · ( r 12 − r 2 2)

M r2

r1

Berechne den Flächeninhalt A des Kreisrings mit r 1 = 2,5 m und r 2 = 1,5 m.

A = π · ( r 1 2 − r 2 2)= π · ((2,5 m ) 2 – (1,5 m ) 2)= π · 4 m 2 ≈ 12,6 m 2