DEPARTAMENTO DE DIBUJO ALFABETO DE LA RECTA TRAZAS DE LA RECTA DE PERFIL REPRESENTACIÓN DE L A...

DEPARTAMENTO DE DIBUJO

ALFABETO DE LA RECTA

TRAZAS DE LA RECTA DE PERFIL

REPRESENTACIÓN DE L A RECTA

SISTEMA DIÉDRICO

REPRESENTACIÓN DEL PUNTO

ALFABETO DEL PUNTO

ALFABETO DEL PLANO

RECTAS NOTABLES DE UN PLANO

REPRESENTACIÓN DEL PLANO

FUNDAMENTO

CASOS DE DETERMINACIÓN DE PLANOS

1

ESQUEMA 2

ESQUEMA

ESQUEMA 3

ESQUEMA 4


ENTRE PLANOS

INTERSECCIONES

SISTEMA DIÉDRICO

PERTENENCIAS

PERPENDICULARIDADTEOREMAS

PUNTO QUE PERTENECE A UNA RECTA

RECTA QUE PERTENECE A UN PLANO

PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO

ENTRE RECTAS Y PLANOS

ESQUEMA 1

2

ESQUEMA 3

ESQUEMA

PARALELISMO

ENTRE RECTAS

ENTRE PLANOS


ENTRE RECTAS

ENTRE PLANOS


ESQUEMA 4


SISTEMA DIÉDRICO

DISTANCIAS3

ESQUEMA 2

ESQUEMA

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS

DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS

ESQUEMA 1 ESQUEMA 4


ABATIMIENTOS

SISTEMA DIÉDRICO

GIROS CAMBIOS DE PLANO

MÉTODOS4

ESQUEMA 2

ESQUEMA

ESQUEMA 3

GIRO DE UN PUNTO

GIRO DE UNA RECTA

GIRO DE UN PLANO

ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE

ABATIMIENTO DE UN PLANOPROYECTANTE QUE CONTIENE

UNA FIGURA PLANA

EL PUNTO EN LOS CAMBIOS DE PLANO

CAMBIO DE DOS PLANOS DE PROYECCIÓN

LA RECTA ENLOS CAMBIOS DE PLANO

EL PLANO ENLOS CAMBIOS DE PLANO

ESQUEMA 1

ABATIMIENTO DE UN PLANOOBILICUO QUE CONTIENE

UNA FIGURA PLANA

ABATIMIENTO DE UN PLANO OBLICUO

ABATIMIENTO DE UN PARALELO A LA LT


SISTEMA DIÉDRICO

PUNTO DEL 1º CUADRANTE




PUNTO DEL PH ANTERIOR

PUNTO DEL PH POSTERIOR

PUNTO DEL PV SUPERIOR

PUNTO DEL PV INFERIOR

PUNTO DEL 1º BISEC. 1º C




ALFABETO DEL PUNTO

PUNTOS DEL 1º AL 8º OCTANTE

PUNTO DE LA LT

ESQUEMA


SISTEMA DIÉDRICO

RECTA OBLICUA

RECTA HORIZONTAL

PRECTA FRONTAL

ALFABETO DE LA RECTA

R. CONTENIDA EN EL PV

RECTA DE PUNTA

RECTA VERTICAL

R. PARALELA A LA LT

R. OBLICUA A LOS PLANOS QUE CORTA A LA LT PERPENDICULARMENTE.

R. OBLICUA A LOS PLANOSQUE CORTA A LA LT OBLICUAMENTE.

RECTA DE PERFIL

ESQUEMA

R. CONTENIDAEN EL PH


SISTEMA DIÉDRICO

PLANO OBLICUO

PROYECTANTE HORIZONTAL

PROYECTANTE VERTICAL

PLANO FRONTAL

PLANO DE PERFIL

PLANO QUE PASA POR LA LT

PARALELO A LA LT

ALFABETO DEL PLANO

ESQUEMA

PLANOHORIZONTAL


SISTEMA DIÉDRICO

PLANO OBLICUO Y P. PROYEC. HORIZONTAL

ESQUEMA ESQUEMA 2

INTERSECCIONES ENTRE PLANOS

PLANO OBLICUO Y P. PROYEC. VERTICAL

PLANO OBLICUO Y PLANO HORIZONTAL PLANO OBLICUO Y PLANO FRONTAL

PLANO OBLICUO Y PLANO DE PERFIL DOS PLANOS PROYECTANTES HORIZONTALES

PLANO PROYEC. VERTICAL Y PLANO PROYEC. HORIZONTAL

PLANO HORIZONTAL Y PLANO PROYEC. HORIZONTAL

PLANO FRONTAL Y PLANO PROYEC. HORIZONTAL

PLANO PARALELO LT Y PLANO PROYEC. HORIZONTAL

DOS PLANOS PARALELOS A LA LT PLANO PARALELO LT Y PLANO QUE PASA POR LA LT

PLANOS CUYAS TRAZAS SE CORTAN EN EL PH ANTERIOR Y EL PV INFERIOR

PLANOS CUYAS TRAZAS SE CORTAN EN EL PH POSTERIOR Y EL PV INFERIOR

PLANOS CUYAS TRAZAS SE CORTAN FUERA DE LOS LÍMITES DEL DIBUJO

PV

PH

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del punto.

PV

PH

A2

A1

AAlejamiento

Cota


Cota = A A1 = A2LT

Aleja.= A A2 = A1LT

En el sistema diédrico a un punto del espacio le corresponden dos proyecciones básicas. Dichas proyecciones reciben el nombre de proyección vertical (designada con una letra mayúscula acompañada del número 2) y proyección horizontal (designada con la misma letra mayúscula acompañada del número 1) .

ESQUEMA


PV

PH

A2

A1

Para poder disponer ambas proyecciones sobre un mismo plano se abate el plano horizontal sobre el vertical.

ESQUEMA


PVA2

PH

A1

A1

ESQUEMA


PVA2

PH

A1

ESQUEMA


PH

A1

PVA2

ESQUEMA


PH

A1

PVA2

Cota

ESQUEMA


PH

A1

PVA2

Cota

Alejamiento

ESQUEMA


PH

A1

PVA2

Cota

AlejamientoA1

A2

Punto del PRIMER CUADRANTE.

Todos los puntos del primer cuadrante tienen su proyección vertical por encima de la línea de tierra y su proyección horizontal por debajo.

ESQUEMA


A1

A2

Punto del SEGUNDO CUADRANTE.

Todos los puntos que pertenecen al SEGUNDO CUADRANTE tienen su proyección vertical y horizontal por encima de la línea de tierra.

PH

A1

A

A2

A1

PV

ESQUEMA


A1

A2

Punto del TERCER CUADRANTE.

Todos los puntos que pertenecen al TERCER CUADRANTE tienen su proyección horizontal por encima de la línea de tierra y la vertical por debajo.

A1

A

A2

A1

PV

PH

ESQUEMA


A1

A2

Punto del CUARTO CUADRANTE.

Todos los puntos que pertenecen al CUARTO CUADRANTE tienen su proyección horizontal y vertical por debajo de la línea de tierra.

A

A2

A1

PV

PH

A1

ESQUEMA


A1

A2

PLANO VERTICAL SUPERIOR.

Todos los puntos que pertenecen al PLANO VERTICAL SUPERIOR tienen su proyección vertical por encima de la línea de tierra y su proyección horizontal contenida en la misma.

PH

A2

A1

PV

Puntos contenidos en los planos de proyección:

A

ESQUEMA


A1

A2

PLANO VERTICAL INFERIOR.

Todos los puntos que pertenecen al PLANO VERTICAL INFERIOR tienen su proyección vertical por debajo de la línea de tierra y su proyección horizontal contenida en la misma.

PH

A2

A1

PV


A

ESQUEMA


A1

A2

PLANO HORIZONTAL ANTERIOR.

Todos los puntos que pertenecen al PLANO HORIZONTAL ANTERIOR tienen su proyección horizontal por debajo de la línea de tierra y su proyección vertical contenida en la misma.

PH

A1

A2

PV


A

ESQUEMA


A1

A2

PLANO HORIZONTAL POSTERIOR.

Todos los puntos que pertenecen al PLANO HORIZONTAL POSTERIOR tienen su proyección horizontal por encima de la línea de tierra y su proyección vertical contenida en la misma.

PH

A1


A2

PV

A1

A

ESQUEMA


1º PLANO BISECTOR (PRIMER CUADRANTE)

Todos los puntos que pertenecen al PRIMER PLANO BISECTOR (PRIMER CUADRANTE) tienen su cota y alejamiento iguales, su proyección vertical por encima de la línea de tierra y su proyección horizontal por debajo.

Puntos contenidos en los planos bisectores:

PV

A2

A1

A

PHA1

A1

A2

ESQUEMA


1º PLANO BISECTOR (TERCER CUADRANTE)

Todos los puntos que pertenecen al PRIMER PLANO BISECTOR (TERCER CUADRANTE) tienen su cota y alejamiento iguales, su proyección vertical por debajo de la línea de tierra y su proyección horizontal por encima.


A1

A2

A

A2

PH

A1

PVA1

ESQUEMA


2º PLANO BISECTOR SEGUNDO CUADRANTE.

Todos los puntos que pertenecen al SEGUNDO PLANO BISECTOR (SEGUNDO CUADRANTE) tienen su cota y alejamiento iguales y sus dos proyecciones coinciden en un mismo punto por encima de la línea de tierra.


PH

A1

APV

A2

A1A1A2

ESQUEMA

A1

A2


2º PLANO BISECTOR CUARTO CUADRANTE.

Todos los puntos que pertenecen al SEGUNDO PLANO BISECTOR (CUARTO CUADRANTE) tienen su cota y alejamiento iguales y sus dos proyecciones coinciden en un mismo punto por debajo de la línea de tierra.


PV

A1A2

ESQUEMA

A

PHA1


Puntos que se encuentran en los octantes:PV

PH

PV

PH

1º PB

2º PB 2º OC

3º OC

4º OC

5º OC

6º OC

7º OC

8º OC

1º OC

1º OC

A1

A2

B1

B2

C1

C2

D2

D1

E2

E1

F2

F1

C1

C2

C2

C1

1º OC

2º OC

3º OC

4º OC

5º OC

6º OC

7º OC

8º OC


A1A2

Todos los puntos contenidos en la LÍNEA DE TIERRA tienen sus dos proyecciones sobre la línea de tierra.

PH

Puntos contenidos en la LÍNEA DE TIERRA:

A2

PV

A1A

ESQUEMA

PV

PH

Hr

Vr

r

r1

r2

SISTEMA DIÉDRICO: Representación de la recta.

A

B

A2

A1

B1

B2

En el sistema diédrico a una recta del espacio le corresponden dos proyecciones básicas. Dichas proyecciones pueden ser otras dos rectas o una recta y un punto dependiendo de la posición de la recta.

ESQUEMA

Se denominan TRAZAS DE UNA RECTA a los puntos de intersección con los planos de proyección.

r1

PVVr

r2


Hr

A2

B2

A1

B1

Hr

A1

B1

PH

r1

ESQUEMA

r1

PVVr

r2


Hr

A2

B2

A1

B1

ESQUEMA

r1

PVVr

r2


Hr

A2

B2

A1

B1r1

Vr

r2

Hr

A2

B2

A1

B1

ESQUEMA

Resolución de las TRAZAS DE UNA RECTA dada por dos puntos.

SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto de la recta

PV

PHHr

Vr

r

r1

r2

Vr

Hr

r2

r1

RECTA OBLICUA

La RECTA OBLICUA se caracteriza por ser oblicua a los dos planos de proyección y a la línea de tierra. Tiene dos trazas y sus proyecciones diédricas son oblicuas a la línea de tierra.

ESQUEMA


PH

r1

Vr r2

r1

RECTA HORIZONTAL

La RECTA HORIZONTAL se caracteriza por ser oblicua al plano vertical de proyección y paralela al horizontal. Sólo tiene traza vertical, su proyección vertical es paralela a la línea de tierra y su proyección horizontal es oblicua a la misma.

r

r2

PV

Vr

ESQUEMA


PH

r1

Hr

r2

r1

RECTA FRONTAL

La RECTA FRONTAL se caracteriza por ser oblicua al plano horizontal de proyección y paralela al vertical. Sólo tiene traza horizontal, su proyección horizontal es paralela a la línea de tierra y su proyección vertical es oblicua a la misma.

r

r2

PV

Hr

ESQUEMA


PH

r1

Vr r2

r1

RECTA CONTENIDA EN EL PLANO HORIZONTAL

La RECTA CONTENIDA EN EL PLANO HORIZONTAL se caracteriza por ser oblicua al plano vertical de proyección y estar contenida en el plano horizontal. Sólo tiene traza vertical, su proyección vertical coincide con la línea de tierra y su proyección horizontal es oblicua a la misma.

r

r2

PV

Vr

ESQUEMA


PH

r1 Hr

r2

r1

La RECTA CONTENIDA EN EL PLANO VERTICAL se caracteriza por ser oblicua al plano horizontal de proyección y estar contenida en el vertical. Sólo tiene traza horizontal, su proyección horizontal coincide con la línea de tierra y su proyección vertical es oblicua a la misma.

Hr

rr2

PV

RECTA CONTENIDA EN EL PLANO VERTICAL

ESQUEMA


PH

Hr≡r1

Hr

r2

r1

La RECTA VERTICAL se caracteriza por ser perpendicular al plano horizontal de proyección y paralela al vertical. Sólo tiene traza horizontal, su proyección vertical es perpendicular a la línea de tierra y su proyección horizontal está determinada por un punto.

rr2

PV

RECTA VERTICAL

ESQUEMA


PH

r1

Vr≡r2

r1

RECTA DE PUNTA

La RECTA DE PUNTA se caracteriza por ser perpendicular al plano vertical de proyección y paralela al horizontal. Sólo tiene traza vertical, su proyección horizontal es perpendicular a la línea de tierra y su proyección vertical está determinada por un punto.

rr2

PV

Vr

ESQUEMA


PHr1

A2

A1

r2

r1

RECTA PARALELA A LA LÍNEA DE TIERRA

La RECTA PARALELA A LA LT se caracteriza por ser paralela a los planos de proyección y a la línea de tierra. No tiene trazas y sus proyecciones son paralelas a la línea de tierra.

A1

r

r2

PV

A2

B2

B1B1

B2

A B

ESQUEMA


Hr

r2

r1

RECTA OBLICUA A LOS PLANOS QUE CORTA A LA LT PERPENDICULARMENTE

La RECTA OBLICUA A LOS PLANOS Y QUE CORTA A LA LT PERPENDICULARMENTE se caracteriza por ser oblicua a los dos planos de proyección y cortar a la línea de tierra perpendicularmente. Sus trazas coinciden en un mismo punto sobre la línea de tierra y sus proyecciones son perpendiculares a la misma.

r

r2

PV

Vr

Hr

PH

r1

Vr

ESQUEMA


Hr

r2

r1

RECTA OBLICUA A LOS PLANOS QUE CORTA A LA LT OBLICUAMENTE

La RECTA OBLICUA A LOS PLANOS QUE CORTA A LA LT OBLICUAMENTE se caracteriza por ser oblicua a los dos planos de proyección y cortar a la línea de tierra oblicuamente. Sus trazas coinciden en un mismo punto sobre la línea de tierra y ambas proyecciones son oblicuas a la misma.

r

r2

PV

Vr

Hr

PH

r1

Vr

ESQUEMA


Hr

r2

r1

RECTA DE PERFIL

La RECTA DE PERFIL se caracteriza por ser oblicua a los dos planos de proyección y perpendicular a la línea de tierra sin pasar por la misma. Tienen dos trazas y sus proyecciones coinciden sobre una misma línea perpendicular a la línea de tierra.

Vr

rr2

PV

PH

r1

Vr

Hr

ESQUEMA


Resolución de las trazas de una RECTA DE PERFIL dada por dos puntos.

r

r2

PV

PH

r1

Vr

Hr

A1

A2

B1

B2

B

A

PP

B3

H3

V3

r3

A3

Para poder resolver las trazas de una recta de perfil se hace uso de un plano auxiliar perpendicular a la línea de tierra y a los dos planos de proyección denominado PLANO DE PERFIL. ESQUEMA

PP

r3

A3

B3

H3


r2

PV

PH

r1

Vr

Hr

A1

A2

B1

B2

PP

A3

B3

H3

V3

r3

Eliminamos todos los elementos del espacio dejando únicamente las proyecciones determinadas sobre cada uno de los planos. Se abate el plano de perfil sobre el plano vertical y hacemos lo propio con el plano horizontal.


ESQUEMA

A3

B3

H3


r2

PV

PH

Vr

A2

B2

PP

V3

r3

r1

Hr

A1

r1

Hr

A1

B1

B1

PH


ESQUEMA

A3

B3

H3


r2

vP

Vr

A2

B2

V3

r3

r1

Hr

A1

B1

hP


ESQUEMA

PV

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del plano.

r2

Vr

α

vα

hα

PH

r

s1

hαs

PH

Hr

r1 s2

En el sistema diédrico los planos se representan por sus trazas. Las TRAZAS DE UN PLANO son las rectas de intersección del plano con los planos de proyección.

ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Representación del plano.

PV

PH

vα

hα

ESQUEMA

vα

hα

SISTEMA DIÉDRICO: Alfabeto del plano.

PV

PH

α

vα

hα

El PLANO OBLICUO se caracteriza por ser oblicuo a la línea de tierra y a los dos planos de proyección. Sus trazas se disponen oblicuas a la línea de tierra.

PLANO OBLICUO

vα

hα

ESQUEMA


PV

PHhα

El PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL se caracteriza por ser oblicuo al plano vertical y perpendicular al plano horizontal. Su traza vertical se dispone perpendicular a la línea de tierra y su traza horizontal oblicua a la misma.

PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL

vα

hα

αvα

ESQUEMA


PV

PHhα

El PLANO PROYECTANTE VERTICAL se caracteriza por ser oblicuo al plano horizontal y perpendicular al plano vertical. Su traza horizontal se dispone perpendicular a la línea de tierra y su traza vertical oblicua a la misma.

PLANO PROYECTANTE VERTICAL

vα

hα

α

vα

ESQUEMA


PV

PH

El PLANO HORIZONTAL se caracteriza por ser paralelo al plano horizontal y perpendicular al plano vertical. No tiene traza horizontal y su traza vertical se dispone paralela a la línea de tierra.

PLANO HORIZONTAL

vα

vα

α

ESQUEMA


PV

PH

El PLANO FRONTAL se caracteriza por ser paralelo al plano vertical y perpendicular al plano horizontal. No tiene traza vertical y su traza horizontal se dispone paralela a la línea de tierra.

PLANO FRONTAL

hα

hα

α

ESQUEMA


PV

PH

El PLANO DE PERFIL se caracteriza por ser perpendicular a los dos planos de proyección y a la línea de tierra. Sus trazas coinciden sobre una misma recta perpendicular a la línea de tierra.

PLANO DE PERFIL

hα

hα

vαα

vα

ESQUEMA


PV

PH

El PLANO PARALELO A LA LT se caracteriza por ser oblicuo a los dos planos de proyección y paralelo a la línea de tierra. Sus dos trazas se muestran paralelas a la línea de tierra.

PLANO PARALELO A LA LT

hα

vα

α

ESQUEMA

hα

vα


PV

PH

El PLANO QUE PASA POR LA LT se caracteriza por ser oblicuo a los dos planos de proyección y contener a la línea de tierra. Sus dos trazas coinciden sobre la LT y se representa con un punto auxiliar que determina su posición.

PLANO QUE PASA POR LA LT

hαhα vαvα

A1

A2

A αA2

A1

ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Rectas particulares de los planos.

PV

PH

vα

hα

RECTA HORIZONTAL DE PLANO: Es la recta que estando contenida en el plano se dispone paralela al plano horizontal de proyección y oblicua al vertical.

RECTA HORIZONTAL DE PLANO

vα

hα

Vr r2

r1

α

Vr r2

r1

r

ESQUEMA


PV

PH

vα

hα

RECTA FRONTAL DE PLANO: Es la recta que estando contenida en el plano se dispone paralela al plano vertical de proyección y oblicua al horizontal.

RECTA FRONTAL DE PLANO

vα

hα

Hr

r2

r1

Hr

r2

r1

α

r

ESQUEMA


PV

vα

hα

RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE DE UN PLANO: Es la recta que estando contenida en el plano forma el mayor ángulo posible con el plano horizontal de proyección. Al ser perpendicular a la traza horizontal del plano, su proyección horizontal r1 se dispone perpendicular a la traza horizontal hα.

RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE DE UN PLANO

vα

hα

Hr

r2

r1

Hr

r2

r1

α

r

VrVr

PH

90º

90º

ESQUEMA


PV vα

hα

RECTA DE MÁXIMA INCLINACIÓN DE UN PLANO: Es la recta que estando contenida en el plano forma el mayor ángulo posible con el plano horizontal de proyección. Al ser perpendicular a la traza horizontal del plano, su proyección horizontal r1 se dispone perpendicular a la traza horizontal hα.

RECTA DE MÁXIMA INCLINACIÓN DE UN PLANO

vα

hα

Hr

r2

r1

Hr

r1

VrVr

PH

90º

H

r2

α

r

90º

ESQUEMA

SISTEMA DIÉDRICO: Determinación de planos.

CASOS DE DETERMINACIÓN DE PLANOS.

ESQUEMA

1. Tres puntos no alineados.

3. Dos rectas que se cortan.

2. Un punto y una recta.

4. Dos rectas paralelas.

αα

α αr

ssr

A

rAA

B

C

SISTEMA DIÉDRICO: Determinación de planos:

POR TRES PUNTOS NO ALINEADOS.

ESQUEMA

PV

α

vα

hα

PH

A

C

B

rs

t

V

V

V

H

HH

DETERMINACIÓN DE PLANOS




A2

A1

B2

C2

B1

C1

Vt

Vr

Vs

Hr

HtHs

vα

hα

r2

r1

s2

s1

t1

t2

ESQUEMA

1. Se unen los puntos dados A, B y C para determinar las rectas r, s y t de las que hallamos todas sus trazas.

2. Unimos todas las trazas verticales y horizontales de ambas rectas para determinar vα y hα.



A2

A1

B2

C2

B1

C1

Vt

Vr

Vs

Hr

HtHs

vα

hα

r2

r1

s2

s1

t1

t2

ESQUEMA


1. Se unen los puntos dados A, B y C para determinar las rectas r, s y t de las que hallamos todas sus trazas.

2. Unimos todas las trazas verticales y horizontales de ambas rectas para determinar vα y hα.


ESQUEMA

PV

αvα

hα

PH

A

B

r

t

V

V

H

H

POR UNA RECTA Y UN PUNTO.




A2

A1

B2

B1

Vt

Vr

Hr

Ht

vα

hα

r2

r1

t1

t2

ESQUEMA

POR UNA RECTA Y UN PUNTO.

1. Se elige un punto B que pertenece a la recta dada.

2. Dibujamos la recta que pasa por los puntos A y B.

3. Unimos las dos trazas verticales y horizontales de ambas rectas para determinar vα y hα.


POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN.

ESQUEMA

PV

α

vα

hαPH

A

rs

V

V

H

H


1. Verificar que las rectas se cortan. Observamos si el punto de contacto de las proyecciones verticales coincide bajo la misma línea de correspondencia que el punto de contacto de las proyecciones horizontales.

2. Hallamos las trazas de las rectas r y s.




A2

A1

vα

hα

Vr

Hr

r2

r1

s2

s1

ESQUEMA


Vs

Hs



ESQUEMA

PV

α

vα

hαPH

r s

V

H


V

H

1. Si las rectas r y s son paralelas en el espacio, sus proyecciones también lo serán.

2. Hallamos las trazas de las rectas r y s.




vα

hα

s2

s1

ESQUEMA


Vs

Hs

Vr

Hr

r2

r1

SISTEMA DIÉDRICO: Pertenencias.

Vr

Hr

r2

r1

ESQUEMA 2

PUNTO QUE PERTENECE A UNA RECTA.

Vr

Hr

r2

r1A2

A1

Vr

Hr

r2

r1

C2

C1

Un punto pertenece a una recta cuando sus proyecciones coinciden sobre las proyecciones correspondientes de la recta.

B2

B1

D2

D1

E1

E2

F2

F1

A = NO B = SI C = SI D = SI E = NO F = SI

¿Qué puntos están contenidos en alguna de las siguientes rectas?



Hr

r2

r1

B1

B2

A2

A1



Vr

Hr

r2

r1

C2

C1

D1

D2

F1

F2

Vr

Hr

r2

r1

E1

E2

A = SI B = NO C = NO D = SI E = NO F = SI

ESQUEMA 2





C = NO

r3

A3

B3

vP

hP

Hr

r2

r1

B1

B1

A2

A1

Vr

C2

C1

C3

vP

hP

r3

H3

V3

r2

r1

D2

D1

Vr

Hr

D3

D = SI

ESQUEMA 2





C = NO

r3

A3

B3

vP

hP

Hr

r2

r1

B1

B1

A2

A1

Vr

C1

C1

C3

vP

hP

r3

H3

V3

r2

r1

D2

D1

Vr

Hr

D3

D = SI

ESQUEMA 2


RECTA QUE PERTENECE A UN PLANO.

Una recta pertenece a un plano cuando sus trazas coinciden sobre las trazas correspondientes del plano.

PV

α

vα

hαPH

s

V

H

vα

hα

Vr

Hr

r2

r1

ESQUEMA 2



Una recta pertenece a un plano cuando su traza coincide con la traza correspondiente del plano y una de sus proyecciones es paralela o coincidente con la otra traza del plano.

vα

hα

Vr r2

r1

PV

α

vα

hαPH

Vr

ESQUEMA 2




vα

hα

Vr r2

r1

PV

hα

αvα

PH

V

r

ESQUEMA 2




vα

hα

r2

r1Hr

PV

hα

αvα

PH

H

r

ESQUEMA 2




vα r2

r1

PV

PH

vα

α

r

ESQUEMA 2




vα

r2

r1

PV

PH

vα

hα

r

αV PP

V3

r3Vr

hα

vP

hP

Pα

Pα

ESQUEMA 2


PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO.

Un punto pertenece a un plano cuando éste está contenido en una recta que pertenece al plano.

PV

α

vα

hαPH

s

V

H

vα

hα

Vr

Hr

s2

s1

A

A2

A1

1. Se contiene al punto en una recta que pertenezca al plano.

ESQUEMA 2


PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO.

Un punto pertenece a un plano cuando éste está contenido en una recta que pertenece al plano.

vα

hα

Vr r2

r1

PV

α

vα

hαPH

V

r

A2

A1

A

Para comprobar si un punto pertenece a un plano lo más práctico es utilizar rectas horizontales o frontales de plano.

ESQUEMA 2

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos

ESQUEMA

PV

hαPH

V

H

s

αβ

vα

s1

s2

vα

hα

Vs

Hs

s2

s1

Hr

vβ

hβ

Vr

vβ

hβ

Cuando dos planos se cortan en el espacio generan una recta que pertenece a ambos planos. Los puntos de intersección entre las trazas de los planos coinciden con las trazas de la recta intersección.

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre planos:

ENTRE UN PLANO OBLICUO Y UN PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL.

vα

hα

Vr r2

r1

PV

hβPH

ESQUEMA 2

αvα

Vr

hα β

vβ vβ

hβ

CASOS


ENTRE UN PLANO OBLICUO Y UN PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL.

vα

hα

Vr

r2

r1

PV

hβPH

ESQUEMA 2

vα

V

r

hαβ

vβ

vβ

hβ

HHr

α

CASOS


ENTRE UN PLANO OBLICUO Y UN PLANO PROYECTANTE VERTICAL.

vα

hα

Vr

r2

r1

PV

hβPH

ESQUEMA 2

vα

V

hα

β

vβ

vβ

hβ

H Hr

α

r

CASOS


ENTRE UN PLANO OBLICUO Y UN PLANO HORIZONTAL.

vα Vr r2

r1

PV

hβPH

ESQUEMA 2

vα V

β

vβ

vβ

hβ

α

r

CASOS


ENTRE UN PLANO OBLICUO Y UN PLANO FRONTAL.

hα

Vr

r2

r1

PV

hβPH

ESQUEMA 2

β

vβ

hβ

hα H

r

α vβ

CASOS


ENTRE UN PLANO OBLICUO Y UN PLANO DE PERFIL.

hα

Vr

r2

r1

PV

hβPH

ESQUEMA 2

β

vβ

hβhα

H

r

vβ

V α

V3

r3

Hr

hα

H3

CASOS


ENTRE DOS PLANOS PROYECTANTES HORIZONTALES.

vα

hα

r2

r1

Hrhβ PH

ESQUEMA 2

vβ

hβ

H

vβ

PV vα

hα

αβ

r

CASOS


PLANO PROYECTANTE VERTICAL Y OTRO PROYECTANTE HORIZONTAL.

vα

hα

r2

r1

HrPH

ESQUEMA 2

vβ

hβ

PV

vα

hβ

r

α

vβ

β

H

hα

VVr

CASOS


ENTRE UN PLANO HORIZONTAL Y UN PROYECTANTE HORIZONTAL.

vα

hα

Vr r2

r1

PH

ESQUEMA 2

vβ

PV vα

vβ

β

hα

α

r

V

CASOS


ENTRE UN PLANO FRONTAL Y UN PROYECTANTE HORIZONTAL.

vα

hα

r2

r1

PH

ESQUEMA 2

hβ

hα

α

PV vα

hβ

β

r

HHr

CASOS


ENTRE UN PLANO PARALELO A LA LT Y UN PROYECTANTE HORIZONTAL.

vα

hα

r2

r1

PH

ESQUEMA 2

hβ

hα

α

PVvα

vβ

Hr

β

hβ

r

V

H

vβVr

CASOS


ENTRE DOS PLANOS PARALELOS A LA LÍNEA DE TIERRA.

vα

hα

r2

r1

ESQUEMA 2

hβ

vβ

PH hα

PV

vα

vβ

β

αr

hβ

PP

vP

hP

r3

Pα

Pβ

Pβ

Pα

CASOS


ENTRE UN PLANO PARALELO A LA LT Y UN PLANO QUE PASA POR LA LT.

vα

hα

r2

r1

ESQUEMA 2

hβ vβ

PH hα

PV

vα

β

α

r

hβ

PP

vP

hP

r3

Pα

Pβ

Pβ

Pαvβ

A2

A1

AA3

CASOS


ENTRE DOS PLANOS CUYAS TRAZAS VERTICALES SE CORTAN EN EL PV INFERIOR Y SUS TRAZAS HORIZONTALES EN EL PH ANTERIOR.

vα

hα

r2

r1

PH

ESQUEMA 2

hβ

hα

PV

V

vβ

HrVr

H

hβ

vββ

αvα

r

CASOS


ENTRE DOS PLANOS CUYAS TRAZAS SE CORTAN EN EL PLANO HORIZONTAL POSTERIOR Y EN EL PLANO VERTICAL INFERIOR.

vα

hαr2

r1

PH

ESQUEMA 2

hβhα

α

PV

vα

hβ

V

vβvβ

β

r

H Hr

Vr

CASOS


ENTRE DOS PLANOS CUYAS TRAZAS VERTICALES SE CORTAN FUERA DE LOS LÍMITES DEL DIBUJO.

vα

hα

r2

r1

PH

ESQUEMA 2

hβ

PV

vβ

Hr

Vr

vβ vα

hβ

αβ

ω

t s

r

Hhα

A

VV Vω

VωVr

s1

t1

s2t2 A2

A1

1. Se utiliza un plano horizontal auxiliar ω que corta a los planos α y β .2. Se hallan las rectas de intersección s y t entre el plano auxiliar ω y los planos dados.3. Las rectas s y t se cortan en el punto A que pertenece a la recta r intersección entre α y β.

CASOS


ENTRE DOS PLANOS CUYAS TRAZAS VERTICALES SE CORTAN FUERA DE LOS LÍMITES DEL DIBUJO.

vα

hα

r2

r1

PH

ESQUEMA 2

hβ

PV

vβ

Hr

Vr

vβ vα

hβ

ω

s

r

Hhα

VV Vω

VωVr

s1

t1

s2t2 A2

A1

1. Se utiliza un plano horizontal auxiliar ω que corta a los planos α y β .2. Se hallan las rectas de intersección s y t entre el plano auxiliar ω y los planos dados.3. Las rectas s y t se cortan en el punto A que pertenece a la recta r intersección entre α y β.

β

tA

α

CASOS

SISTEMA DIÉDRICO: Intersecciones entre rectas y planos:

vα

hα

Vs

r2

r1

PV

ESQUEMA 2

vα

V

vβ

vβ

hβ

Vr

Hrs1

s2

I2

I1

Cuando una recta y un plano se cortan en el espacio generan un punto que pertenece a ambos. Para hallar este punto de intersección se deben seguir los siguientes pasos:

1. Se contiene a la recta r dada en un plano auxiliar.

2. Se halla la recta intersección s entre el plano auxiliar y el plano dado.

3. Donde la recta intersección s corta a la recta r dada . obtenemos el punto de intersección I.

hβ

PH

r

hα

β

s

H

I

H

αV

Hs


vα

hα

ESQUEMA 2

PH

PV

vα

α

hβ

vβ

β

hα

s

I

r

s2

s1

r2

r1

hβ

vβ

r3

Vs

Hr

Hs

s3

Vr

I2

I1

I3


2. Se halla la recta intersección s entre el plano auxiliar y el plano dado.3. Donde la recta intersección s corta a la recta r dada obtenemos el punto de intersección I.

INTERSECCIÓN ENTRE UNA RECTA DE PERFIL Y UN PLANO PARALELO A LA LT.

V

H

V

H

H3

V3

H3

V3


vα

hα

ESQUEMA 2

PH

PV

vα

α

hβ

vβ

β

hα

s

I

r

s2

s1

r2

r1

hβ

vβ

r3

Vr

Hr

Hr

s3

Vr

I2

I1

I3


2. Se halla la recta intersección s entre el plano auxiliar y el plano dado.3. Donde la recta intersección s corta a la recta r dada obtenemos el punto de intersección I.

INTERSECCIÓN ENTRE UNA RECTA DE PERFIL Y UN PLANO PARALELO A LA LT.

V

H

V

H

H3

V3

H3

V3

SISTEMA DIÉDRICO: Paralelismo

Vr

r2

r1

ESQUEMA 2

Hr

Si dos rectas son paralelas en el espacio, en el sistema diédrico sus proyecciones homónimas también lo serán.

PV

PH

PARALELISMO ENTRE RECTAS.

r

V

H

s

V

H

r1

r2s2

s1

VrVr

HrHr

Vr

s2

s1

Hr


ESQUEMA 2

PV

PH

TRAZADO DE UNA RECTA PARALELA A OTRA POR UN PUNTO DADO.

r

V

H

s

V

H

Vr

r2

r1

Hr

Vs

s2

s1

Hs

A

A2

A1

1. Por A2 se traza una recta paralela a r2 . Así obtenemos s2.2. Por A1 se traza una recta paralela a r1 . Así obtenemos s1.


ESQUEMA 2

PV

PH

Si dos planos son paralelos en el espacio, en el sistema diédrico sus trazas homónimas también lo serán.

PARALELISMO ENTRE PLANOS.

hα

vα

α

vβ

β

hβ

vα

hα

vβ

hβ


ESQUEMA 2

PV

PHhα

vα

α

vβ

β

hβ

vα

hα

vβ

hβ

A

A2

A1

r2

r1

Vr

r

V

1. Por el punto A se traza una recta horizontal r paralela a la traza horizontal del plano α dado.

2. Sobre la traza vertical de r se dibuja una recta paralela a vβ . Así obtenemos vα.

3. Por el punto de corte de vα con la LT se traza una recta paralela a hβ. Así obtenemos hα.

TRAZADO DE UN PLANO PARALELO A OTRO POR UN PUNTO DADO.


ESQUEMA 2

PV

PH

Toda recta paralela a un plano es paralela a una de las rectas que están contenidas en él. El paralelismo entre rectas y planos, salvo excepciones, no se manifiesta directamente a diferencia del paralelismo entre rectas y el paralelismo entre planos.

PARALELISMO ENTRE RECTAS Y PLANOS.

vβ

β

hβ

V

H

V

H

r s

r2

r1

Vr

Hr

Vs

Hs

s2

s1

vβ

hβ


ESQUEMA 2

PV

PH

RECTA PARALELA A UN PLANO PASANDO POR UN PUNTO.

vβ

β

hβ

V

H

V

H

r s

r2

r1

Vr

Hr

Vs

Hs

s2

s1

vβ

hβ

1. Se traza una recta s que esté contenida en el plano β.

A

Recordemos, toda recta paralela a un plano es paralela a una de las rectas que están contenidas en él. Por tanto, son infinitas las rectas paralelas al plano que pueden pasar por el punto.

A2

A1

2. Finalmente, por el punto A se traza una recta r que sea paralela a la recta s. La recta r esparalela al plano β.

A2

A1


ESQUEMA 2

PV

PLANO PARALELO A UNA RECTA PASANDO POR UN PUNTO.

vββ

hβ

V

H

V

H

s

Vs

Hs

s2

s1

vβ

hβ

1. Por el punto A se traza una recta r paralela a la recta s conocida.

Los infinitos planos que pueden contener a la recta r son paralelos a la recta s dada.

PH

r2

r1

Vr

Hr

A2

A1

2. Finalmente, se contiene a la recta r en un plano β.

r

AA2

A1

SISTEMA DIÉDRICO: Perpendicularidad.

TEOREMAS DE PERPENDICULARIDAD

Si una recta es perpendicular a un plano, es perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano.

ESQUEMA 2

α

r

t

us

r r

r


TEOREMAS DE PERPENDICULARIDAD

ESQUEMA 2

Si dos rectas r y s son perpendiculares en el espacio y una de ellas, r por ejemplo, es paralela a un plano α, las proyecciones ortogonales r1 y s1 de ambas rectas sobre dicho plano, son también perpendiculares.

TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES

α

r

s

r1s1


ESQUEMA 2

Si dos rectas r y s son perpendiculares en el espacio y una de ellas, r por ejemplo, está contenida en el plano α, las proyecciones ortogonales r1 y s1 de ambas rectas sobre dicho plano, son también perpendiculares.

TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES (CASO PARTICULAR)

α

r

s

r1

s1

Si una recta s es perpendicular a cualquier recta r de un plano α, su proyección ortogonal s1 sobre este plano también es perpendicular a r.


ESQUEMA 2

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO

Si la recta r es perpendicular al plano α será perpendicular a todas las rectas contenidas en éste, y por tanto, a su traza hα que es una recta contenida en el mismo. Se cumple, así, el teorema de las tres perpendiculares: si r es perpendicular a la traza horizontal hα contenida en H, su proyección ortogonal r1 también es perpendicular a hα.

r

r1

α

hαH

En el sistema diédrico una recta es perpendicular a un plano cuando sus proyecciones diédricas son perpendiculares a las trazas homónimas del plano.

Vr

Hr

r2

r1

vα

hα

I1

I2


ESQUEMA 2

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO QUE PASA POR UN PUNTO.

VrHr

r2

r1

vα

hα

PV

hα

vαA

A1

A2

I

A2

A1

1. Se traza una recta perpendicular a vα por A2. Así obtenemos la proyección vertical r2.

2. Se traza una recta perpendicular a hα por A1. Así obtenemos la proyección horizontal r1.

r2

r1

RECORDEMOS: Una recta es perpendicular a un plano cuando sus proyecciones diédricas son perpendiculares a las trazas homónimas del plano.

α

r


ESQUEMA 2

PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO.

PV

1. Por el punto A se traza una recta horizontal s perpendicular a r. Las proyecciones horizontales de ambas rectas serán perpendiculares (teorema de las 3 perpendiculares).

PV

r

A1

r2

r1

Vs

Vs

r2

r1

vα

hα

A2

A1

hα

vα

s1

s2

s1

2. Se contiene a la recta horizontal s en un plano perpendicular a r. Por Vr se traza una recta perpendicular a r2. Así obtenemos vα. Para obtener hα, trazamos una paralela a s1 por el punto de corte de

vα con la línea de tierra.

A

A2

α

s

s2


ESQUEMA 2

PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO.

PV

1. Por el punto A se traza una recta horizontal s perpendicular a r. Las proyecciones horizontales de ambas rectas serán perpendiculares (teorema de las 3 perpendiculares).

PV

r

A1

r2

r1

Vs

Vs

r2

r1

vα

hα

A2

A1

hα

vα

s1

s2

s1

2. Se contiene a la recta horizontal s en un plano perpendicular a r. Por Vr se traza una recta perpendicular a r2. Así obtenemos vα. Para obtener hα, trazamos una paralela a s1 por el punto de corte de

vα con la línea de tierra.

A

A2

α

r

s2


ESQUEMA 2

PLANO PERPENDICULAR A OTRO.

r2

r1

vα

hα

α

vβ

hβ

VrHr

β

r

Para que dos planos α y β sean perpendiculares es preciso que uno de ellos, por ejemplo β, contenga a una recta r perpendicular a α. Se deduce entonces, que los infinitos planos que contienen a la recta r son perpendiculares al plano α, por lo que este problema tiene infinitas soluciones.

1. Se traza una recta r perpendicular al plano α. Para ello, sabemos que …ambas proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano.

2. Contenemos a la recta r en un plano β. El plano β es perpendicular ….al plano α.


ESQUEMA 2

PLANO PERPENDICULAR A OTRO QUE PASA POR UN PUNTO.

r2

r1

vα

hα

α

vβ

hβ

VrHr

β

r

1. Por el punto A se traza una recta r perpendicular al plano α. Para ello, sabemos que las dos ….proyecciones de la recta son perpendiculares a las trazas del plano.

2. Contenemos a la recta r en un plano β. El plano β contiene al punto A y es perpendicular al ….plano α.

A

A2

A1Hω

Vω

Recordemos que cualquier plano que contenga a la recta r es perpendicular a α.

Hπ

Vπ


ESQUEMA 2

RECTA PERPENDICULAR A OTRA.

r2

r1

vα

hα

α VrHr

r

Si trazamos un plano cualquiera α, perpendicular a una recta r, cualquier recta que esté contenida en α, será perpendicular a r.

s

t u

1. Se traza un plano α cualquiera, perpendicular a la recta r.

2. Seguidamente se traza una recta s arbitraria contenida en el plano α.

Vs

Hs

s2

s1

La recta s es perpendicular ….a la recta r por estar contenida en un plano α que es perpendicular a r.


ESQUEMA 2

RECTA PERPENDICULAR A OTRA POR UN PUNTO.

r2

r1

vα

hα

VrHr

1. Por el punto A se traza una recta s horizontal perpendicular a la recta r ( teorema de las tres ….perpendiculares).

2. Seguidamente se traza un plano α perpendicular a la recta r que contiene a la recta horizontal s.

Vt

Ht

s2

s1

Vs

A1

A2

3. Por el punto A se traza una recta arbitraria t,

….que esté contenida en el plano α.

Recordemos que cualquier recta que pase por el

punto A y esté contenida en el plano α, siempre será perpendicular a la recta r.

t2

t1


ESQUEMA 2

RECTA PERPENDICULAR A OTRA POR UN PUNTO.

r2

r1

vα

hα

VrHr

1. Por el punto A se traza una recta s horizontal perpendicular a la recta r ( teorema de las tres ….perpendiculares).

2. Seguidamente se traza un plano α perpendicular a la recta r que contiene a la recta horizontal s.

Vt

H t

s2

s1

Vs

A1

A2

3. Por el punto A se traza una recta arbitraria t,

….que esté contenida en el plano α.

Recordemos que cualquier recta que pase por el

punto A y esté contenida en el plano α, siempre será perpendicular a la recta r.

t2

t1

SISTEMA DIÉDRICO: Distancias.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

La distancia entre dos puntos viene dada por la longitud del segmento limitado en sus extremos por dichos puntos.

α

A

B

A2

B2

A1

B1

A1

B1

Diferencia de cotaDC

DC

d2

d1

D

D

d1

LA VERDADERA MAGNITUD de un segmento AB, es igual a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la proyección horizontal del segmento y la diferencia de cota entre los puntos extremos A y B, o también un cateto es la proyección vertical del segmento y el otro la diferencia de alejamiento entre los puntos A y B.

En sistema diédrico un segmento se proyecta en su longitud real del espacio, sólo cuando éste se muestra paralelo a alguno de los planos de proyección.

ESQUEMA 3


DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

La distancia entre dos puntos viene dada por la longitud del segmento limitado en sus extremos por dichos puntos.

α

A

B

A2

B2

A1

B1

A1

B1

Diferencia de cota

DA

DA

d2

d1

DD

d1

LA VERDADERA MAGNITUD de un segmento AB, es igual a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la proyección horizontal del segmento y la diferencia de cota entre los puntos extremos A y B, o también un cateto es la proyección vertical del segmento y el otro la diferencia de alejamiento entre los puntos A y B.

En sistema diédrico un segmento se proyecta en su longitud real del espacio, sólo cuando este se muestra paralelo a alguno de los planos de proyección.

ESQUEMA 3


DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.

La distancia de un punto A a un plano α, viene dada por la longitud del segmento perpendicular al plano limitado en sus extremos por el punto A y el punto B de intersección con el mismo plano.

α

A

A2

A1

D

ESQUEMA 3

B

vα

hα

Hd

Vi

vβ

hβ

Hi

VdB2

B1

d2

d1

DA

DA

D

1. Por el punto A se traza una recta d perpendicular al plano α.2. Hallamos el punto intersección B de la recta d con el plano α.3. El segmento AB es la distancia que separa al plano α del punto A.

Al no mostrarse AB paralelo a ninguno de los dos planos de proyección, sus proyecciones no se manifiestan en verdadera magnitud.

4. Utilizando la diferencia de alejamiento hallamos la verdadera magnitud D.

i2

i1

DA


DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

La distancia de un punto A a una recta r, viene dada por la longitud del segmento perpendicular a la recta r, limitado en sus extremos por el punto A y el punto B de intersección con la recta.

α

AA2

D

ESQUEMA 3

B

1. Por el punto A se traza un plano α perpendicular a la recta r.

2. Hallamos el punto intersección B de la recta r con el plano α.

3. El segmento AB es la distancia que separa al punto A de la recta r.

AB, al no mostrarse paralelo a ninguno de los dos planos de proyección, sus proyecciones no se manifiestan en verdadera magnitud.

4. Utilizando la diferencia de alejamiento hallamos la verdadera magnitud D.

r

A1

HrVr

r2

r1

Vt

vα

hα

B2

B1

d2

s1

s2

t1

t2

d1

DDA

vβ

hβ

Vs

Hs


DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS.

La distancia entre dos rectas paralelas r y s, viene dada por la longitud del segmento perpendicular a ambas rectas, limitado en sus extremos por los puntos de intersección con las rectas.

αA

D

ESQUEMA 3

B

1. Se traza un plano α perpendicular a las rectas r y s.

2. Hallamos los puntos de intersección A y B de las rectas ….r y s con el plano α.

3. El segmento AB es la distancia que separa a las rectas r y s.

AB, al no mostrarse paralelo a ninguno de los dos planos de proyección, sus proyecciones no se manifiestan en verdadera magnitud.

4. Utilizando la diferencia de cota hallamos la verdadera magnitud D.

s

Vr

r2

r1

vα

hα

B2

B1

s1

s2

t1

t2

vβ

hβ

Vt

Ht

r

Vs

Vt

t1

t2

Ht

A2

A1

d2

d1

vω

DC

DCD

hω


DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS.

La distancia entre dos planos paralelos α y β, viene dada por la longitud del segmento perpendicular a ambos planos, limitado en sus extremos los puntos de intersección con cada uno de los planos.

ESQUEMA 3

1. Se traza una recta r perpendicular a los planos.

2. Hallamos los puntos de intersección de la recta r … con los planos α y β. Así obtenemos A y B

3. El segmento AB es la distancia que separa a los planos α y β.AB, al no mostrarse paralelo a ninguno de los dos planos de proyección, sus proyecciones no se manifiestan en verdadera magnitud.

4. Utilizando la diferencia de cota hallamos la verdadera magnitud D.

r2

r1

vα

hα

A2

A1

t1

t2

vβ

hβ

Vs

Ht

α β

A BD

B2

B1

Hs

Vr

Vt

s2

s1

vω

hω

DC

DC

D

SISTEMA DIÉDRICO: Giros.

El giro es uno de los procedimientos empleados en geometría descriptiva para situar un elemento, punto, recta o plano en posición más cómoda o adecuada respecto a los planos de proyección.

En este procedimiento la figura del espacio se desplaza, girando alrededor de una recta tomada como eje de giro.

Este eje de giro puede adoptar cualquier posición con respecto a los planos de proyección, pero el caso más sencillo y general es cuando se toma una recta perpendicular a alguno de los planos planos del diedro, es decir, o una recta de punta o una recta vertical.

1. ¿Qué es lo que gira? (un punto, una recta, un plano, etc.)....………………... 2. ¿Alrededor de qué recta gira? .…………………………………………………. 3. ¿Cuántos grados gira? (10º, 20º, 80º, 180º, etc.)

PARA QUE UN GIRO QUEDE DEFINIDO TENEMOS QUE CONOCER:

αA

E1

Eje

A’

β

Recta de punta.

Recta vertical.

ESQUEMA 4


α

PE1

Eje

β

GIRO DE UN PUNTO.

Cuando un punto P gira alrededor de un eje E, describe una circunferencia que determina un plano α perpendicular al eje. El centro de la circunferencia E1 es la traza del eje con el plano, siendo su radio r la distancia del punto P al eje E.

En la figura el punto P gira alrededor de un eje E hasta la nueva posición P’, tras describir un ángulo β.

rr

P’

α = 90º con el eje E.

ESQUEMA 4


α

P

E

β

GIRO DE UN PUNTO.Para girar el punto P tomamos una recta vertical como eje de giro.

r

P’

P1

E1r

P1’

PV

PH

E2

P2 P2’

Hr

P1

P2

P1’

P2’

Hre1

e2

β

El plano α, determinado por la circunferencia que describe el punto P al girar, es perpendicular al eje y paralelo al PH, por este motivo, todo lo que está contenido en el plano se proyecta en verdadera magnitud.

Cuando un punto gira alrededor de un eje vertical su cota no varía.

r

ESQUEMA 4


α

P

E

β

GIRO DE UN PUNTO.Para girar el punto P tomamos una recta vertical como eje de giro.

r

P’

P1

E1r

P1’

PV

PH

E2

P2 P2’

Hr P1

P2

P1’

P2’

Vr

e1

e2

El plano α, determinado por la circunferencia que describe el punto P al girar, es perpendicular al eje y paralelo al PH, por este motivo, todo lo que está contenido en el plano se proyecta en verdadera magnitud.

β

Con un eje de punta el alejamiento no varía.

Cuando un punto gira alrededor de un eje vertical su cota no varía.

ESQUEMA 4


GIRO DE UNA RECTA.Para girar una recta un ángulo determinado basta girar, con el mismo ángulo, a dos puntos de la misma.

B1

B1’

B2’

e1

e2

β

Caso 1: La recta es cortada por el eje. Caso 2: La recta y el eje se cruzan.

Podemos distinguir dos casos

r1

r1’

B2

r2 r2’A2

A1

Caso 1Por un punto A de la recta r se traza un eje vertical e.

1.

Elegimos otro punto cualquiera de la recta r, por ejemplo el punto B, para hacerlo girar un ángulo β determinado.

2.

Hacemos centro en e1, con radio hasta B1 trazamos un arco con ángulo β para obtener B1’.

3.

Unimos los puntos A1 y B1’ para obtener la proyección horizontal r1 de la recta girada.

4.

Por B2 trazamos una recta auxiliar paralela a la LT que corta a la línea de correspondencia de B1’ en B2’.

5.

Unimos los puntos A2 y B2’ para obtener la proyección vertical r2’ de la recta girada.

6.

ESQUEMA 4


GIRO DE UNA RECTA.Para girar una recta un ángulo determinado basta girar, con el mismo ángulo, a dos puntos de la misma.

B1

B1’

B2’

e1

e2

Caso 1: La recta es cortada por el eje. Caso 2: La recta y el eje se cruzan.

Podemos distinguir dos casos

r1

r1’

B2

r2

r2’

A2

A1

Caso 2Se elige un punto A de la recta que coincida con el pie de la perpendicular n trazada desde e1.

1.

Giramos el punto A un ángulo β hasta obtener A1’. Si r1 es perpendicular a n, entonces n’ será perpendicular a r1’. Por A1’ trazamos una recta perpendicular a n’, así obtenemos r1’.

2.

Elegimos otro punto B de la recta y lo giramos hasta hacerlo coincidir con r1’ en B1’. El ángulo girado de B es igual al de A.

3.

Por B2 y A2 trazamos rectas auxiliares paralelas a la LT que cortarán a las líneas de corres-pondencia de B1’ y A1’ en los puntos B2’ y A2’.

4.

Unimos los puntos A2’ y B2’ para obtener la proyección vertical r2’ de la recta girada.

5.

A2’

A1’

βn

n’

ESQUEMA 4

e2 vα

hα

e1


GIRO DE UN PLANO.Para determinar las nuevas trazas de un plano α girado, podemos girar tres puntos del mismo, un punto y una recta o dos rectas que le pertenezcan. No obstante, el ejercicio puede resolverse de modo más sencillo:

Girando la traza horizontal del plano α y una de sus rectas horizontales cuando el eje es vertical.

r1

r2Vr

A

Se elige un punto A de la recta que coincida con el pie de la perpendicular n trazada desde e1.

2.

Giramos el punto A un ángulo β hasta obtener A’. Si n es perpendicular a hα, entonces n’ será perpendicular a hβ’. Por A’ trazamos una recta perpendicular a n’. Así obtenemos hβ’ .

3.

Por e1 trazamos una recta paralela a hβ’. Así obtenemos r1’ y su traza .

4.

Trazamos la línea de correspondencia de ’ para obtener Vr’ sobre r2. La proyección vertical r2 de la recta coincide con la proyeción vertical de la recta girada r2’.

5.

Unimos Vr’ y el punto de corte de la traza hβ’ con la LT para obtener la traza vertical del plano girado vβ’.

6.

ESQUEMA 4

A’

Vr’

’

r1’

vβ’

hβ’

n

n’

r2’

Se traza una recta r horizontal de plano que se corte con el eje e.

1.

EJE VERTICAL

e1hα

vα

e2


GIRO DE UN PLANO.Para determinar las nuevas trazas de un plano α girado, podemos girar tres puntos del mismo, un punto y una recta o dos rectas que le pertenezcan. No obstante, el ejercicio puede resolverse de modo más sencillo:

ESQUEMA 4

Girando la traza vertical del plano α y una de sus rectas frontales cuando el eje es de punta.

r2

r1

Hr

A

A’

Hr’

’

r2’

hβ’

vβ’

n

n’

r1’

Se elige un punto A de la recta que coincida con el pie de la perpendicular n trazada desde e2.

2.

Giramos el punto A un ángulo β hasta obtener A’. Si n es perpendicular a vα, entonces n’ será perpendicular a vβ’. Por A’ trazamos una recta perpendicular a n’. Así obtenemos vβ’ .

3.

Por e2 trazamos una recta paralela a vβ’. Así obtenemos r2’ y su traza ’.

4.

Trazamos la línea de correspondencia de ’ para obtener Hr’ sobre r1. La proyección horizontal r1 de la recta coincide con la proyeción horizontal de la recta girada r1’.

5.

Unimos Vr’ y el punto de corte de la traza vβ’ con la LT para obtener la traza horizontal del plano girado hβ’.

6.

Se traza una recta r frontal de plano que se corte con el eje e.

1.EJE DE PUNTA

SISTEMA DIÉDRICO: Abatimientos.

GENERALIDADES

ESQUEMA 4

En la práctica el plano fijo sobre el cual se abate, es uno de los planos de proyección, con lo cual todos los elementos contenidos en el plano móvil se sitúan, tras el abatimiento, sobre el plano de proyección, por lo que se proyectan sin deformación alguna en verdadera magnitud, aspecto que constituye el motivo principal del uso de este método.

En un abatimiento siempre tenemos que especificar:

Qué plano se abate.

Qué traza se usa como charnela o eje de giro.

En qué sentido gira el plano que se abate.

A la traza que se usa como charnela se le designa con una ch, y a la traza abatida se le representa entre paréntesis. vα

hα

vα

PV

PH( )

ch

α

Abatir un plano α es hacer coincidir a éste con otro plano particular y fijo. El abatimiento de un plano se efectúa girando el mismo alrededor de una de sus trazas. Esta traza, que funciona como un eje de giro, recibe el nombre de charnela.


ABATIMIENTO DE UN PLANO PROYECTANTE HORIZONTAL

ESQUEMA 4

hα

vα

PV

PHvα( )

ch

α

PV

PH

vα ch

( )hα hα

α

hαch

vα

( )vα

vαch

( )hα

hα COMO CHARNELA vα COMO CHARNELA

hα

SISTEMA DIÉDRICO: ABATIMIENTO

vαch

( )hα

DE UN PLANO PROYECTANTE QUE CONTIENE UNA FIGURA PLANA.

(A)

(B)(C)

A2

B2 C2

B1

C1

A1

hα

Giramos las proyecciones horizontales A1, B1 y C1 hasta (hα) trazando arcos de circunferencia concéntricos en 0 (intersección de las trazas del plano con la línea de tierra).

2.

0

Trazamos las líneas de correspondencia paralelas a la LT desde cada una de las proyecciones verticales de los puntos, así como las perpendiculares a (hα) desde los puntos de corte con los arcos para obtener los vértices abatidos (A), (B) y (C).

3.

Unimos los vértices (A), (B) y (C) para obtener la verdadera magnitud de la figura plana abatida.

4.ESQUEMA 4

A2

C2B2

PV

PH

vαch

( )hα

αA

B

C

(A)

(B)

(C)

A1B1

C1

hα

vα como charnela

(α)0

0

Con centro en 0, abatimos la traza horizontal del plano α hasta hacerla coincidir con la LT. 1.


vα

( )vα

hαch


(A)

(B)

(C)

A2

B2 C2

B1

C1

A1

0

A2

C2B2

PV

PH

αA

C

hαch

hα como charnela

( )vα

B

A1B1

C1

(A)

(B)

(C)

(α)

Trazamos una perpendicular a la charnela por 0, para obtener la traza vertical abatida (vα).1.

Desde las proyecciones horizontales de los vértices A1, B1 y C1, trazamos líneas de correspondencia perpendiculares a la charnela.

2.

A continuación, sólo tenemos que trasladar las cotas de los puntos sobre cada una de las líneas de correspondencia para obtener los vértices abatidos de la figura.

3.

ESQUEMA 4

vα

Finalmente, unimos los vértices (A), (B) y (C) para obtener la verdadera magnitud de la figura plana abatida.

4.


( )vα

hαch


(A)

(B)

(C)

A2

B2 C2

B1

C1

A1

0

A2

C2B2

PV

PH

αA

C

hαch

hα como charnela

( )vα

B

A1B1

C1

(A)

(B)

(C)

(α)

Trazamos una perpendicular a la charnela por 0, para obtener la traza vertical abatida (vα).1.

Desde las proyecciones horizontales de los vértices A1, B1 y C1, trazamos líneas de correspondencia perpendiculares a la charnela.

2.

A continuación, sólo tenemos que trasladar las cotas de los puntos sobre cada una de las líneas de correspondencia para obtener los vértices abatidos de la figura.

3.

ESQUEMA 4

vα

Finalmente, unimos los vértices (A), (B) y (C) para obtener la verdadera magnitud de la figura plana abatida.

4.

vα

rA1

A2


ABATIMIENTO DE UN PLANO OBLICUO Método 1

ESQUEMA 4

vα

( )vα

hαch

vα

PV

PH

vα( )

hαch

α

A

(A)

(r)

0N

0

A1

A2

(A)

N

Elegimos un punto A sobre la traza vertical del plano vα. 1.

hα como charnela

Por A1 trazamos una perpendicular a la charnela hαch. 2.

Finalmente, unimos el punto N con el punto (A) para obtener la traza vertical del plano abatida.

4.

Con centro en N y radio NA2, trazamos un arco que corta a la perpendicular en el punto A abatido (La distancia NA2 se manifiesta en verdadera magnitud por lo que no cambia una vez abatida la traza).

3.

AN = N(A)

(r)

(A)(r)

rA1

A2



ESQUEMA 4

vα

( )vα

hαch

vα

PV

PH

vα( )

hαch

α

A

(A)

(r)

0N

(r)

0 r

cota

cota

A1

A2

(A)

N


hα como charnela

Por A1 trazamos una perpendicular que corta a la charnela hαch en el punto 0. 2.

Al unir 0 con (A) obtenemos, en verdadera magnitud, el radio del arco que describe el punto A al girar alrededor de la charnela.

4.

Sobre el plano horizontal abatimos el triángulo formado por los vértices A2, A1 y 0. De este modo, trazamos la cota de A perpendicularmente al segmento 0A1 para obtener A abatido.

3.

cota

cota

(A)

Con centro en 0 y radio r trazamos un arco que corta a la perpendicular en (A). Al unir N con (A) obtenemos la traza vertical del plano α abatida.

5.

(A)(r)

rA1

A2


ESQUEMA 4

vα

( )vα

hαch

vα

PV

PH

vα( )

hαch

α

A

(A)

(r)

0N

(r)

0 r

cota

cota

A1

A2

(A)

N


hα como charnela

Por A1 trazamos una perpendicular que corta a la charnela hαch en el punto 0. 2.

Al unir 0 con (A) obtenemos, en verdadera magnitud, el radio del arco que describe el punto A al girar alrededor de la charnela.

4.

Sobre el plano horizontal abatimos el triángulo formado por los vértices A2, A1 y 0. De este modo, trazamos la cota de A perpendicularmente al segmento 0A1 para obtener A abatido.

3.

cota

cota

(A)

Con centro en 0 y radio r trazamos un arco que corta a la perpendicular en (A). Al unir N con (A) obtenemos la traza vertical del plano α abatida.

5.


A1

r2

r1

Vr

SISTEMA DIÉDRICO: Abatimiento

ESQUEMA 4

vα

( )vα

hαch

vα

PV

PH

vα( )

hαch

α

A

(A)(r)

0N

B2

N

Trazamos una recta horizontal r por el vértice A. 1.

hα como charnela

Por trazamos una perpendicular a la charnela hαch. 2.

Unimos el punto N con el punto (V) para obtener la traza vertical del plano α abatida. 4.Con centro en N y radio NVr, trazamos un arco que corta a la perpendicular en el punto (V). 3.

B1

A2

A1

C1

C2

Vr r2

r1

(V)

(r)

DE UN PLANO OBLICUO QUE CONTIENE A UNA FIGURA PLANA

(A)

(B)

(C)

B

C

r

(B)

(C)

(V)

0 0 0

t2

t1

s2

s1

Vr

Vr

Por (V) trazamos una paralela a la charnela. Así obtenemos (r).5.

Por A1 trazamos una perpendicular a la charnela que corta a (r) en el vértice (A). Seguidamente repetimos el mismo proceso para los demás vértices.

6.

(s)

(t)

SISTEMA DIÉDRICO: Cambios de plano.

GENERALIDADES

ESQUEMA 4

Los cambios de plano se emplean en Geometría Descriptiva para lograr que una figura quede situada, respecto a los planos de proyección, en una posición más conveniente que nos permita soluciones más fáciles.

PH

PV

P

El método consiste en, sin variar la posición de la figura del espacio, sustituir uno de los planos de proyección por otro que también sea perpendicular al plano de proyección que se conserva. De este modo, se obtiene un nuevo sistema diédrico de planos ortogonales.

Cambio de plano vertical


GENERALIDADESLos cambios de plano se emplean en Geometría Descriptiva para lograr que una figura quede situada, respecto a los planos de proyección, en una posición más conveniente que nos permita soluciones más fáciles.


PH

PV

PHr

ESQUEMA 4

Cambio de plano horizontal

Los dos planos de proyección no pueden sustituirse al mismo tiempo, sino que es necesario alternarlos, primero uno y luego el otro. Esta operación puede repetirse tantas veces como sea necesario.


GENERALIDADESLos cambios de plano se emplean en Geometría Descriptiva para lograr que una figura quede situada, respecto a los planos de proyección, en una posición más conveniente que nos permita soluciones más fáciles.


PH

PV

A

A2

A1PHr A1’Los dos planos de proyección no pueden sustituirse al mismo tiempo, sino que es necesario alternarlos, primero uno y luego el otro. Esta operación puede repetirse tantas veces como sea necesario.

ESQUEMA 4

En los cambios de plano, la figura del espacio permanece fija mientras que uno de los planos cambia, luego la proyección de la figura sobre ese mismo plano también cambia.

Cambio de plano horizontal


GENERALIDADES

ESQUEMA 4

Los cambios de plano se emplean en Geometría Descriptiva para lograr que una figura quede situada, respecto a los planos de proyección, en una posición más conveniente que nos permita soluciones más fáciles.

PH

PV

P

A

A2

A1

A2’


Los dos planos de proyección no pueden sustituirse al mismo tiempo, sino que es necesario alternarlos, primero uno y luego el otro. Esta operación puede repetirse tantas veces como sea necesario. En los cambios de plano, la figura del espacio permanece fija mientras que uno de los planos cambia, luego la proyección de la figura sobre ese mismo plano también cambia.



NOTACIONES

ESQUEMA 4

Al efectuar un cambio de plano, se coloca en la primitiva Línea de Tierra una llave con las letras V (para el plano vertical) y H (para el plano horizontal).

La nueva Línea de Tierra, llevará la misma llave con las mismas letras H y V, afectando con el subíndice 1 a la que corresponda con el plano cambiado, así H indica que es el plano vertical el cambiado y VHr cuando se trata del horizontal.

PH

PV

PVH

H



NOTACIONES

ESQUEMA 4

Al efectuar un cambio de plano, se coloca en la primitiva Línea de Tierra una llave con las letras V (para el plano vertical) y H (para el plano horizontal).

La nueva Línea de Tierra, llevará la misma llave con las mismas letras H y V, afectando con el subíndice 1 a la que corresponda con el plano cambiado, así H indica que es el plano vertical el cambiado y VHr cuando se trata del horizontal.

VH

VHr

Cambio de plano Horizontal

PH

PV

PHr

Si los dos planos han sido cambiados la indicación será Hr para la nueva LT.

Hr

En el primer cambio de plano, la nueva línea de tierra se indicará además por dos trazos en los extremos situados debajo de ella y siempre en la parte correspondiente al plano horizontal.

Si los planos cambiados han sido dos, ello se indica en la nueva línea de tierra por tres trazos.

Cambio de plano Vertical.

1

2


EL PUNTO EN LOS CAMBIOS DE PLANO CAMBIO DE PLANO VERTICAL

ESQUEMA 4

Cuando se realiza un cambio de plano vertical, cambia la proyección vertical del punto mientras la proyección horizontal permanece fija.

Así mismo, se observa que la cota del punto permanece invariable, al no moverse el plano horizontal. Por el contrario, el alejamiento sí se modifica al moverse el plano vertical.

VH

A2

A1

A2’Cota

Cota

2. Se mantiene la cota3. Cambia el alejamiento

1. Cambia la proyección vertical

H

PH

PV

P

A

A2

A1

A2’


ESQUEMA 4

Así mismo, se observa que el alejamiento del punto permanece invariable, al no moverse el plano vertical. Por el contrario, la cota sí se modifica al moverse el plano horizontal.

VH

A2

A1

A1’

Alej.

2. Se mantiene el alejamiento.3. Cambia la cota.

1. Cambia la proyección horizontal.

VHr

PH

PV

A

A2

A1

PHr

A1’

EL PUNTO EN LOS CAMBIOS DE PLANO CAMBIO DE PLANO HORIZONTAL

Cuando se realiza un cambio de plano horizontal, cambia la proyección horizontal del punto mientras la proyección vertical permanece fija.

Alej.


ESQUEMA 4

VH

A2

A1

Alej.

VHr

EL PUNTO EN LOS CAMBIOS DE PLANO CAMBIO DE DOS PLANOS . DE PROYECCIÓN.

Cuando sea necesario realizar dos cambios de plano, se efectuará primeramente uno de ellos y a continuación el segundo.

Alej.

VH

A1

A1’

Hr

Cota

H

Cota

Cot

a

A2’

Hr

Ale

j. Ale

j.

A1’

Caso1: Primero cambia el PH. A2

Cota

A2’

Caso2: Primero cambia el PV.


ESQUEMA 4

VH

A2

A1

Alej.

VHr

EL PUNTO EN LOS CAMBIOS DE PLANO CAMBIO DE DOS PLANOS . DE PROYECCIÓN.

Cuando sea necesario realizar dos cambios de plano, se efectuará primeramente uno de ellos y a continuación el segundo.

Alej.

VH

A1

A1’

Hr

Cota

H

Cota

Cot

a

A2’

Hr

Ale

j. Ale

j.

A1’

Caso 1

Caso 2

A2

Cota

A2’


ESQUEMA 4

LA RECTA EN LOS CAMBIOS DE PLANO Para determinar las nuevas proyecciones de una recta al efectuar un cambio de plano,

basta con hallar las nuevas proyecciones de dos de sus puntos y unirlos para formar las nuevas proyecciones de la recta.

VH

A1

A2

B1

B2

VHr

Alej. A1’

Alej.

B1’

r2

r1

r1’

Alej.Alej.

En el ejemplo partimos de un cambio de plano horizontal. Como sabemos, en el cambio de plano horizontal se modifica la proyección horizontal de un punto, pero su alejamiento se mantiene sin variación.

Por tanto, sólo tenemos que lanzar, desde las proyecciones verticales A2 y B2, las líneas de correspondencia que sabemos son perpendiculares a la nueva línea de tierra. A continuación, trasladamos los alejamientos correspondientes a cada punto para así obtener las nuevas proyecciones horizontales A1’ y B1’. Finalmente, unimos los dos puntos que determinarán la proyeción r2’.


MEDIANTE UN CAMBIO DE PLANO, TRANSFORMAR UNA RECTA OBLICUA EN UNA RECTA HORIZONTAL O FRONTAL

Para transformar una recta oblicua en una recta frontal, sólo basta con hacer un cambio de plano vertical de modo que la nueva LT quede paralela a la proyección horizontal de la recta r1.

VH

A1

A2

B1

B2

H

r2

r1

r2’

Cota

Cota

ESQUEMA 4

Cota

A2’

Cota

B2’

VH

A1

A2

B1

B2V

Hr

r2

r1

r1’

Alej.

A1’

B1’

Alej.

Alej.

Alej.

Para transformar una recta oblicua en una recta horizontal, sólo basta con hacer un cambio de plano horizontal de modo que la nueva LT quede paralela a la proyección vertical de la recta r2.


MEDIANTE DOS CAMBIOS DE PLANO, TRANSFORMAR UNA RECTA OBLICUA EN UNA RECTA VERTICAL.

Para transformar una recta oblicua en una recta vertical, primero transformamos a la recta oblicua en una recta frontal mediante un cambio de PV. A continuación transformamos a la recta frontal en una vertical mediante un cambio de PH.

VH

A1

A2

B1

B2

H

r2

r1

r2’

Cota

Cota

ESQUEMA 4

Cota

A2’

Cota

B2’

Alej.

Alej.

A1’

1º Transformar la recta oblicua r en una recta frontal. Hacemos un cambio de plano vertical de modo que la nueva LT quede paralela a la proyección horizontal de la recta. A continuación, trasladamos las cotas correspondientes a cada punto para obtener la nuevas proyecciones A1’ y B1’. Unimos los puntos y obtenemos la proyección vertical r2’ de la recta.

2º Transformar la recta frontal r en una recta vertical. Hacemos un cambio de plano horizontal de modo que la nueva LT quede perpendicular a la nueva proyección vertical r2’. Sobre las líneas de correspondencia trasladamos los aleja-mientos para obtener la nueva proyección horizontal de la recta r1’.

r1’

Alej.

Hr


ESQUEMA 4

EL PLANO EN LOS CAMBIOS DE PLANO

VHA1

H

A2’

Para determinar las nuevas trazas de un plano α en un cambio de plano, podemos cambiar tres puntos del mismo, un punto y una recta, dos rectas que se cortan o dos rectas paralelas que le pertenezcan. No obstante, el ejercicio puede resolverse de modo más sencillo:

CAMBIO DE PLANO VERTICAL

Primer método: Al tratarse de un cambio de plano vertical, la traza horizontal no sufre variación alguna. Seguidamente, elegimos el punto A que pertenece a la traza vertical y cuya proyección horizontal coincide sobre el punto de corte de las dos líneas de tierra. La línea de corres-pondencia del punto A será per-pendicular a las dos líneas de tierra, como se trata de un cambio de plano vertical, cambia la proyección vertical del punto pero no su cota que se traslada sobre la nueva línea de correspondencia para obtener A2’. Si vα pasa por A2, entonces vα’ pasará por A2’. Finalmente, unimos el punto de corte de hα con la LT con A2’ para obtener la nueva traza vertical.

A2

vα

hα

vα’PRIMER MÉTODO


ESQUEMA 4

EL PLANO EN LOS CAMBIOS DE PLANO

VH

H

Segundo método: Como se trata de un cambio de plano vertical, la traza horizontal no sufre variación alguna.

Para determinar las nuevas trazas de un plano α en un cambio de plano, podemos cambiar tres puntos del mismo, un punto y una recta, dos rectas que se cortan o dos rectas paralelas que le pertenezcan. No obstante, el ejercicio puede resolverse de modo más sencillo:

CAMBIO DE PLANO VERTICAL

Vr

vα

hα

’

Vr’

r2

r1

r2’

vα’SEGUNDO MÉTODO

Una vez trazada la nueva línea de tierra, dibujamos una recta hori-zontal de plano r, cuya proyección horizontal r1 tampoco varía con el cambio de plano vertical.

La cota de la traza vertical de la recta no varía y la proyección vertical r2 seguirá siendo paralela a la LT del nuevo plano vertical.

Si vα pasa por Vr, la nueva traza vα’ pasará por Vr’. Sólo tenemos que unir el punto de corte de la traza horizontal hα con la nueva línea de tierra y la traza vertical de la recta Vr’.


ABATIMIENTO DE UN PLANO PARALELO A LA LT

ESQUEMA 4

hα

hαch

vα

PV

PH

vα( )

C1


vα como charnela

Por A1 trazamos una perpendicular a la charnela hαch. 2.

Finalmente, unimos el punto N con el punto (A) para obtener la traza vertical del plano abatida.

4.

Con centro en N y radio NA2, trazamos un arco que corta a la perpendicular en el punto A abatido (La distancia NA2 se manifiesta en verdadera magnitud por lo que no cambia una vez abatida la traza).

3.

vπ

hπ

α3

(hα)

π

hα

α3

vαch

α

hα3

vα3

(α)

vαch

A1

A3

(A)

B1

B2

(B)

V.M.

C1

C2≡ (C)

DEPARTAMENTO DE DIBUJO ALFABETO DE LA RECTA TRAZAS DE LA RECTA DE PERFIL REPRESENTACIÓN DE L A...

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