Deigmatolhy—a - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών...
12
Κεφάλαιο 9 Dειγmατοληψία 9.1 Εισαγωγή Οι περισσότερες mετρήσιmες φυσικές διαδικασίες που συmβαίνουν στον κόσmο mας είναι συνεχούς χρόνου, και συνήθως αναλογικές. Από την ηλιακή ακτινοβολία, την ανθρώπινη φωνή, τον ήχο mιας λύρας, τα σεισmικά κύmατα, ως mια φωτογραφία, το χτύπο της καρδιάς, και τα εγκεφαλικά κύmατα, όλα αυτά είναι σήmατα συνεχούς χρόνου. Ο όρος αυτός έχει την έννοια της συνεχούς συνάρτησης, σε χρόνο και συνήθως και του πλάτους (όχι όmως απαραίτητα), δηλ. ένα τέτοιο σήmα ορίζεται για κάθε χρονική στιγmή και έχει τιmή mε άπειρα δεκαδικά ψηφία. Οι τιmές αυτές εκφράζουν κάτι διαφορετικό, ανάλογα mε την εφαρmογή (π.χ. στη φωτογραφία εκφράζουν το χρώmα του pixel, ενώ στον ήχο την ένταση του ήχου). Με την έκρηξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών τη δεκαετία του ΄50, αναζητήθηκε ο τρόπος να mπορούν να αποθηκευτούν τέτοια σήmατα σε έναν υπολογιστή, για περαιτέρω επεξεργασία. Φυσικά, ένας υπολογιστής δεν κα- ταλαβαίνει στην ουσία τίποτα άλλο εκτός από 0 και 1, ενώ η χωρητικότητα και η ακρίβειά του είναι πεπερασmένες. ΄Ετσι λοιπόν έπρεπε να βρεθεί ένας τρόπος να καταγραφούν αυτά τα αναλογικά σήmατα σε ψηφιακή mορφή, αλλά mε την ικανότητα να mπορούν να ‘‘δώσουν πίσω’’ το αναλογικό σήmα από το οποίο προήλθαν. Με άλλα λόγια, από το συνεχές/αναλογικό σήmα, να mπορούmε να πάρουmε κάποια δείγmατά του, αλλά αυτά τα δείγmατα να είναι ικανά να mας δώσουν πίσω ολόκληρο το σήmα συνεχούς χρόνου! Σίγουρα δύσκολη δουλειά! :-) Η διαδικασία mετατροπής, λοιπόν, ενός σήmατος συνεχούς χρόνου σε διακριτού χρόνου (κι όχι ψηφιακό) λέγεται Dειγmατοληψία. Ας δώσουmε ένα παράδειγmα της όλης διαδικασίας από την καθηmερινότητά σας. ΄Οταν ένας τραγουδιστής ερmηνεύει mπροστά σε ένα mικρόφωνο (Σχήmα 9.1), τα ηχητικά κύmατα από τη φωνή του ταξιδεύουν στον αέρα και φτάνουν ως το mικρόφωνο. Τα ηχητικά αυτά κύmατα χτυπούν ένα διάφραγmα mέσα στο mικρόφωνο, το οποίο πάει mπρος - πίσω (ταλαντώνεται). ΄Ενα πηνίο, που είναι συνδεδεmένο mε το διάφραγmα, κινείται κι αυτό mπρος - πίσω. ΄Ενας mαγνήτης που είναι mαζί mε το πηνίο, παράγει mαγνητικό πεδίο που το διαπερνά, και λόγω της ταλάντωσης του πηνίου, παράγεται ροή ηλεκτρικού ρεύmατος. Το ρεύmα αυτό ρέει προς έναν ενισχυτή ή mια συσκευή καταγραφής 1 . ΄Αρα στην περίπτωσή mας, το αναλογικό σήmα είναι ηλεκτρικό, αλλά δε mας απασχολεί η φύση του σήmατος - είναι ένα σήmα. Αυτό το σήmα θέλουmε να το αποθηκεύσουmε σε έναν υπολογιστή. Πρέπει λοιπόν να το δειγmατο- ληπτήσουmε, δηλ. να διαλέξουmε κάποιες χρονικές στιγmές και να πάρουmε τις τιmές του ηλεκτρικού σήmατος σε εκείνες τις στιγmές, να πάρουmε δηλ. δείγmατα του σήmατος. Εδώ ας κάνουmε mια παρένθεση για να ορίσουmε Σχήmα 9.1: Dιαδικασία Dειγmατοληψίας. 1 ΄Αλλα mικρόφωνα χρησιmοποιούν διαφορετικό τρόπο αλλά στην ουσία πάλι mετατρέπουν ηχητική ενέργεια σε ηλεκτρική.
-
Upload
nguyenhanh -
Category
Documents
-
view
228 -
download
0
Transcript of Deigmatolhy—a - Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών...
9
9.1
, . , , , , , , , .
, ( ), . . , (.. pixel, ).
50, , . , - 0 1, . , . , / , , ! ! :-) ,, ( ) .
. ( 9.1), . , - (). , , - . , , , . 1. , , - . . -, . , . .
9.1: .
1 .
328
. Ts ( ) . . , fs (fs = 1Ts ), - . , CD , 44100Hz. , 44100 , 144100 ! , ! . ...
: ; ; ; ; ; , bits; Nyquist Shannon, 1928 , 1949 , . Shannon-Nyquist.
(- ) B Hz, ,
fs > 2B, (9.1)
.
Ts 2B(
Ts 2fmax x(nTs) (. ) sinc(), nTs, n Z!!! 9.8 sinc() ( ) ( ) ().
t
... ...
9.8: sinc.
, , - 9.9(). ( ) fs ( ). B fs B. , 9.9(), , . , , , 9.9(). , 9.9(), .
B < fs B fs > 2B (9.18)
Shannon. (- :-) ). . 9.9(), Shannon , . fs B . ( ) . , . fs ...
aliasing 4., 9.10.
Arect( tT
) ATsinc(fT) = ATsinc(tT) Arect
(
f
T
)= Arect
( fT
)(9.15)
4 ...
9. 333
-B B0 f-fs-fs-B -fs+B fs fs+Bfs-B
X(f)
-B B0 f
X(0)
X(0)/Ts
Xs(f)
0 f-fs fs
Xs(f)
-B B fs+Bfs-B-fs-B -fs+B
()
()
()
X(0)/Ts
9.9: :
9.2.3
1. , x(t) , . , X(f), ([B,B]). , , - , ! Haa(f), H(f) , anti-aliasing filter, , . .
2. H(f) ( 9.7). , , , . , . .
3. x(t) . ( ) , . Fourier
(t) 1
rect( t
)(9.19)
0, . ,
334
t0 x
s(t)
= x
[nT
s]
T s
X(0
)/T s
Xs(
f)
-BB
0f
-fs
f sf s
+B
f s-B
-fs-
B-f
s+B
x(t
)
0t
X(0
)
X(f
)
-BB
0f
X(f
)
-BB
0f
-fs
f sf s
+B
f s-B
-fs-
B-f
s+B
X(0
)
X(0
)/T s
Xs(
f)
-BB
0f
-fs
f sf s
+Bf s
-B-f
s-B
-fs+
B
H(f
) = T
srec
t(f/
f s)
T s
t0 x
s(t)
= x
[nT
s]
x(t
)
0t
.....
.
x (t
)
-fs/
2f s
/2
9.10
:
.
9. 335
.
4. Shannon . : x(t) X(f), X(f) [B,B]. y(t) = x3(t), Y (f) 6= 0 [3B, 3B]. , fs > 6B. fs = 2B. ; y(nTs). 9.11. ;
h(t) ____3
y(nTs) = x3(nTs)
9.11: .
5. [B,B] [fs/2, fs/2]; , - - fs/2, . , . :-)
6. Shannon; . - - . , , 20 kHz , - 10 kHz. 2 10 = 20kHz .
, 2025 kHz, fs > 2 {20 25} = 40 50kHz. 20 Hz 20 kHz. 2 20 = 40 kHz . , CD ( Sony 70) 44.1 kHz, 20 kHz , .
9.2.4
.
1:
x(t) = 3 cos(400t) + 5 sin(1200t) + 6 cos(4400t) (9.20)
fs = 4000 Hz x[n]. - , x[n].
: x(t) , fmax = 2200 Hz.
2fmax = 2 2200 = 4400 > fs (9.21)
336
Shannon , . , . :-)
t = nTs = n 14000 sec. t nTs. :
x[n] = 3 cos(400nTs) + 5 sin(1200nTs) + 6 cos(4400nTs) (9.22)
= 3 cos(n
10
)+ 5 sin
(12n40
)+ 6 cos
(44n40
)(9.23)
2:
h(t) =sin(2fct)
fst(9.24)
fM < fc < fs fM fs = 1Ts h[nTs] = [n] n, fc =fs2 .
( Dirac ) :
[n] =
1, n = 0,
0,
(9.25)
:,
h(t) =sin(2fct)
fst=
sin(fst)
(fst)= sinc(fst) (9.26)
fs = 1Ts , t nTs,
h[nTs] = sinc(
fsnTs
)= sinc
( 1Ts
nTs
) h[n] = sinc(n) (9.27)
, sinc(n) =sin(n)
n ,
sin(n) = 0 sin(n) = sin(k) (9.28)
n = k n = k, k Z (9.29)
n, , ,
h[n] =
sinc(0) = 1, n = 0,
sinc(n) = 0, n 6= 0
,
h[n] = [n] (9.30)
3:
x(t) . Fourier X(f), [B,B]. Nyquist :
() x(t)
9. 337
() x(t t0)
() x(t)ej2f0t
() x(t t0) + x(t+ t0)
()dx(t)
dt
() x(t)x(t)
() x(t) x(t)
: ( Nyquist) -. :
() B, Nyquist fs = 2B.
() x(t t0) X(f)ej2ft0 (9.31)
B, Nyquist fs = 2B.
() x(t)ej2f0t X(f f0) (9.32)
f0, f0+B, fs = 2(f0+B).
() x(t t0) + x(t+ t0) X(f)ej2ft0 +X(f)ej2ft0 = 2X(f) cos(2ft0) (9.33)
B, fs = 2B.
() dx(t)
dt j2fX(f) (9.34)
, B, fs = 2B.
() x(t)x(t) X(f) X(f) (9.35)
, , . [B B,B +B] = [2B, 2B]. Nyquist fs = 4B.
() x(t) x(t) X(f)X(f) = X2(f) (9.36)
Nyquist fs = 2B.
4:
Nyquist
() sinc2(100t)
() 1100 sinc2(100t)
() sinc(100t) + 3sinc2(60t)
() sinc(50t) sinc(100t)
: Nyquist Shannon, .
338
2fmax ., . Fourier,
x(t) X(f) = X(t) x(f) (9.37)
sinc() , ( A = 1),
rect( t
T
) Tsinc(fT) (9.38)
T sinc(tT) rect(f
T
)= rect
( fT
)(9.39)
tri( t
T
) Tsinc2(fT) (9.40)
T sinc2(tT) tri(f
T
)= tri
( fT
)(9.41)
f f sinc(), rect() .
()
sinc2(100t) 1100
tri( f
100
)(9.42)
tri() [100, 100] Hz. 100 Hz, Nyquist fs = 200 Hz.
() , fs = 200 Hz.
()
sinc(100t) + 3sinc2(60t) 1100
rect( f
100
)+ 3
1
60tri( f
60
)(9.43)
60 Hz, Nyquist fs = 120 Hz.
()
sinc(50t) sinc(100t) 150
rect( f
50
) 1100
rect( f
100
)(9.44)
25 Hz, Nyquist fs = 50 Hz.
