PREPARADO POR: ERIC RODRIGUEZ

La Derivada

Razón de Cambio

En geometría analítica se define la pendiente m de una recta como la tangente de un ángulo de inclinación, ó en forma equivalente, como la razón del cambio en la distancia vertical con respecto a la distancia horizontal.

2 1

2 1

tany y y

mx x x

2 1y y y

2 1x x x

x2

y2

(x2,y2)

x1

y1

(x1,y1)

El problema de la recta tangente El desarrollo del cálculo surgió de cuatro grandes problemas que ocupaban a losMatemáticos europeos en el siglo XVII.

1. El problema de la tangente.

2. El problema de la velocidad y la aceleración.

3. El problema de máximos y mínimos.

4. El problema del área.

Cada uno involucra la noción de límite y sirvió para introducir el calculo. Por su naturaleza geométrica trataremos el problema de la tangente.

Esencialmente, el problema de hallar la recta tangente en un punto P se reduce a hallar su pendiente.

El problema de la recta tangente

Una manera de aproximar la pendiente mtan consiste en determinar las pendientesde rectas secantes que pasen por el punto fijo p y el punto móvil Q.

x

( ) ( )y f x x f x

Sí P y Q son puntos de una función continuaLa razón es la

pendiente de la recta secante PQ.

( )y f x

tan

ym

x

x

( )f xP

( )f x x

x x

Q

El problema de la recta tangente

sec

( ) ( )y f x x f xm

x x

Supóngase que el punto móvil Q se mueve a lo largo de la curva, hacia el punto P, la recta PQ gira alrededor de P y por lo general tiende a una posición límite PT. Esta recta PT es la recta tangente a la curva en P.

p

QPor consiguiente

tan0

tan0

lim

( ) ( )lim

x

x

ym

xf x x f x

mx

Ejemplo:Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (1,3).

2( ) 2f x x x

tan0

( ) ( )limx

f x x f xm

x

2 2

tan0

2 2limx

x x x x x xm

x

22 2

tan 0

2 2 2 2limx

x x x x x x x xm

x

2tan

0

2 2limx

x x x xm

x

tan

0

tan0

tan

2 2lim

lim 2 2

2 2

x

x

x x xm

x

m x x

m x

Tomando x = 1, obtenemos que la pendiente tiene un valor de:

tan

tan

2(1) 2

4

m

m

(1,3)

2( ) 2f x x x

tan 2 2m x

tan 4m

La Derivada De Una Función

Consideremos la función: ( )y f x

Dando a x un incremento la función tomará el incremento tal que:x y

( )y y f x x

Este incremento tiene por valor:

( ) ( )y f x x f x Dividiendo por y tomando límite, resulta:x

0 0

( ) ( )lim limx x

y f x x f x

x x

La Derivada De Una Función

Sí el límite existe, será, en general, una función de x. llamando a este límite se tendrá:( )f x

0

( ) ( )( ) lim

x

f x x f xf x

x

y a este valor se le llama función derivada de la función primitiva . Por tanto, la definición rigurosa es:

( )f x

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ES EL LÍMITE DEL INCREMENTODE LA FUNCIÓN ENTRE EL INCREMENTO DE LA VARIBLE CUANDOESTE ÚLTIMO TIENDE HACIA CERO.

( )f x

Regla para encontrar derivadas

• Sea la función:

• La derivada de esta función es:

)x(f c x n

dxdf 1ncnx

Derivadas especiales

• Sea la función:

• La derivada de esta función es:

)x(f c x 1

dxdf 0cx

cdxdf

Derivadas especiales

• Sea la función:

• La derivada de esta función es:

cxf )(

0dxdf

Derivada de una suma y diferencia de funciones

• Sea la función:

• La derivada de la suma o diferencia es:

)()()( xhxgxf

dxdh

dxdg

dxdf

Derivada de un producto de funciones

• Si la función que voy a derivar f(x) es el producto de las funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.

)x(h)x(g)x(f

dxdh

xgxhdxdg

dxdf

)()(

Derivadas

• Si la función que voy a derivar f(x) es un cociente de funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.

)x(h)x(g

)x(f

2)()(

xhdxdh

gxhdxdg

dxdf

Derivadas

• Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que está elevada a una potencia n, existe una regla para encontrar la derivada de esta función.

nxhxf )()(

dxdh

xhndxdf n 1)(

Bibliografía

Calculo Diferencial Un Enfoque Moderno;

Toribio Cruz Sánchez, EDIMAT