DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT .DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang

download DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT .DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang

of 23

  • date post

    10-Mar-2019
  • Category

    Documents

  • view

    221
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT .DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang

DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT

Herry P. Suryawan

1 Geometri Ruang Hilbert

Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K {R, C} disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi(, ) : V V K sehingga untuk setiap x, y, z V dan K berlaku:

(i) (x, x) > 0 dan (x, x) = 0 jika dan hanya jika x = 0

(ii) (x, y + z) = (x, y) + (x, z)

(iii) (x, y) = (x, y)

(iv) (x, y) = (y, x)

Fungsi (., .) disebut hasilkali dalam (pada V).

Perhatikan bahwa (ii), (iii), dan (iv) berakibat (x, y + z) = (x, y) + (x, z) dan (x, y) =(x, y). Menurut definisi di atas hasilkali dalam bersifat linear terhadap komponen kedua danbersifat konjugat linear terhadap komponen pertama.

Contoh 1.2 Diberikan Cn yaitu himpunan semua n-tupel bilangan kompleks. Fungsi (, ) :Cn Cn C dengan

(x, y) =n

j=1

xjyj,

untuk setiap x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) Cn mendefinisikan sebuah hasilkali dalampada Cn.

Contoh 1.3 Diberikan C[a, b] yaitu himpunan semua fungsi kontinu bernilai kompleks padainterval [a, b]. Fungsi (, ) : C[a, b] C[a, b] C dengan

( f , g) = b

af (x)g(x) dx,

untuk setiap f , g C[a, b] mendefinisikan sebuah hasilkali dalam pada C[a, b].

Definisi 1.4 Dua vektor x dan y di dalam ruang hasilkali dalam V dikatakan ortogonal jika (x, y) = 0.Himpunan vektor {xi} V dikatakan himpunan ortonormal jika (xi, xi) = 1 untuk setiap i dan(xi, xj) = 0 jika i 6= j.

Untuk setiap x V didefinisikan x :=(x, x). Akan diperlihatkan bahwa . meru-

pakan norma pada V. Kita ingat kembali definisi norma.

1

Definisi 1.5 Ruang vektor V atas lapangan K {R, C} disebut ruang bernorma jika ada fungsi. : V R sehingga untuk setiap x, y V dan K berlaku:

(i) x 0

(ii) x = 0 jika dan hanya jika x = 0

(iii) x = ||x

(iv) x + y x+ y (ketaksamaan segitiga)

Fungsi . disebut norma (pada V).

Teorema 1.6 (Teorema Phytagoras) Diberikan {xn}mn=1 himpunan ortonormal di dalam ruang hasil-kali dalam V. Maka untuk setiap x V,

x2 =m

n=1|(x, xn)|2 +

x mn=1(x, xn)xn

2

Bukti. Tulis x sebagai

x =m

n=1

(x, xn)xn +

(x

m

n=1

(x, xn)xn

).

Dengan menggunakan sifat-sifat hasilkali dalam diperoleh bahwa

m

n=1

(x, xn)xn dan xm

n=1

(x, xn)xn

ortogonal. Oleh karena itu

(x, x) =

mn=1(x, xn)xn

2

+

x mn=1(x, xn)xn

2

=m

n=1|(x, xn)|2 +

x mn=1(x, xn)xn

2

.

Akibat 1.7 (Ketaksamaan Bessel) Diberikan {xn}mn=1 himpunan ortonormal di dalam ruang hasil-kali dalam V. Maka untuk setiap x V

x2 m

n=1|(x, xn)|2.

Akibat 1.8 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika x dan y dua vektor di dalam ruang hasilkali dalamV, maka

|(x, y)| xy.

Bukti. Kasus y = 0 trivial, jadi diasumsikan y 6= 0. Himpunan{

yy||

}merupakan himpunan

ortonormal, maka dengan menerapkan ketaksamaan Bessel pada sebarang x V diperoleh

x2 (x, yy

)2 = |(x, y)|2y22

yakni diperoleh |(x, y)| xy.

Diingat bahwa setiap ruang bernorma merupakan ruang metrik. Teorema berikut menun-jukkan bahwa setiap ruang hasilkali dalam merupakan ruang bernorma.

Teorema 1.9 Setiap ruang hasilkali dalam V merupakan ruang bernorma dengan norma x = (x, x)1/2.

Bukti. Karena V adalah ruang vektor, maka tinggal diperiksa bahwa . memenuhi sifat-sifatnorma. Di sini hanya akan ditunjukkan bahwa ketaksamaan segitiga berlaku. Ambil x, y V,maka dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz

x + y2 = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y)= (x, x) + 2

Definisi 1.11 Ruang hasilkali dalam yang lengkap disebut ruang Hilbert1 . Ruang hasilkali dalamseringkali disebut ruang pra-Hilbert.

Definisi 1.12 Dua ruang Hilbert H1 dan H2 dikatakan isomorfik jika ada operator linear surjektif Tdari H1 ke H2 sehingga (Tx, Ty)H2 = (x, y)H1 untuk setiap x, y H1. Operator demikian dikatakanuniter.

Contoh 1.13 Didefinisikan L2[a, b] adalah himpunan semua fungsi terukur Lebesgue yang berni-lai kompleks pada interval hingga [a, b] yang memenuhi

ba | f (x)|

2 dx < . Untuk f , g L2[a, b] didefinisikan hasilkali dalam

( f , g) = b

af (x)g(x) dx.

Hasilkali dalam ini terdefinisi dengan baik sebab

| f (x)g(x)| 12| f (x)|2 + 1

2|g(x)|2

sehingga f (x)g(x) L1[a, b]. Dapat ditunjukkan bahwa L2[a, b] lengkap dan karenanya meru-pakan ruang Hilbert. Selain itu L2[a, b] merupakan lengkapan dari C[a, b] terhadap norma

f =( b

a| f (x)|2 dx

)1/2.

Contoh 1.14 Didefinisikan l2 adalah himpunan semua barisan bilangan kompleks {xn}n=1yang memenuhi n=1 |xn|2 dx < dengan hasilkali dalam

({xn}n=1, {yn}n=1) =

n=1

xnyn.

Norma yang diinduksi oleh hasilkali dalam ini diberikan oleh

{xn}n=1 =(

n=1|xn|2

)1/2.

Pertama kita periksa bahwa hasilkali dalam di atas terdefinisi dengan baik. Perhatikan jumlahparsial berikut

N

n=1|xnyn|

(N

n=1|xn|2

)1/2( Nn=1|yn|2

)1/2(

n=1|xn|2

)1/2( n=1|yn|2

)1/2< .

Karena jumlah parsialnya terbatas maka deret n=1 |xnyn| konvergen, dan akibatnya n=1 xnynkonvergen. Mudah ditunjukkan bahwa l2 merupakan ruang vektor dan aksioma hasilkalidalam dipenuhi. Sekarang kita buktikan kelengkapan l2. Diberikan sebarang barisan Cauchy{x(l)n }l,n=1 di l2 dan sebarang > 0, maka ada M N sehingga{x(l)n }n=1 {x(k)n }n=1 =

(

n=1|x(k)n x(l)n |2

)1/2< 1/2,

1David Hilbert (1862-1943), matematikawan Jerman.

4

untuk setiap k, l M. Jadi untuk setiap N N,

N

n=1|x(k)n x(l)n |2 < , untuk setiap k, l M ...()

Untuk sebuah n yang tetap dan menggunakan (*) diperoleh

|x(k)n x(l)n | < 1/2, untuk setiap k, l M.

Dengan demikian barisan {x(k)n }k=1 adalah barisan Cauchy di C, dan karenanya konvergen,katakan

yn := limk

x(k)n , n N.

Hal ini berlaku untuk setiap n N sehingga diperoleh barisan bilangan kompleks {yn}n=1.Karena setiap barisan Cauchy terbatas, maka ada K > 0 sehingga

{x(k)n }n=1 K untuk setiapk N. Akibatnya

N

n=1|x(k)n |2 < K2, untuk setiap k, N N.

Dengan mengambil k ,

N

n=1|yn|2 < K2, untuk setiap N N.

dan dengan mengambil N disimpulkan bahwa {yn}n=1 l2. Kembali ke (*) untuk Nyang tetap, l M yang tetap, dan k , maka

N

n=1|x(l)n yn|2 = lim

k

N

n=1|x(l)n x(k)n |2 .

Dengan mengambil N , maka{x(l)n }l,n=1 {yn}n=1 1/2, untuk setiap l M.Ini memperlihatkan kekonvergenan {x(l)n }l,n=1 di l2. Terbukti l2 ruang Hilbert. Pada subbab 3akan diperlihatkan bahwa setiap ruang Hilbert berdimensi tak hingga yang memiliki subhim-punan terhitung yang padat isomorfik dengan l2. Dalam konteks ini l2 adalah contoh kanonikdari ruang Hilbert.

Contoh 1.15 Diketahui adalah ukuran Borel pada Rn dan L2(Rn, d) adalah himpunan se-mua fungsi terukur bernilai kompleks pada Rn yang memenuhi

Rn| f (x)|2 d < . L2(Rn, d)

adalah ruang Hilbert terhadap hasilkali dalam

( f , g) =

Rnf (x)g(x) d.

Contoh 1.16 Misalkan (X, ) adalah ruang ukuran dan H adalah ruang Hilbert. L2(X, d;H)menotasikan himpunan semua fungsi terukur pada X dengan nilai di H yang memenuhi

X f (x)2H d(x) < .

5

Himpunan ini merupakan ruang Hilbert terhadap hasilkali dalam

( f , g) =

X( f (x), g(x))H d(x).

Contoh 1.17 (Jumlah langsung) Diberikan ruang Hilbert H1 dan H2. Himpunan

{(x, y) : x H1, y H2}

merupakan ruang Hilbert terhadap hasilkali dalam

((x1, y1), (x2, y2)) = (x1, x2)H1 + (y1, y2)H2 .

Ruang ini disebut jumlah langsung dari H1 dan H2, dan dinotasikan dengan H1 H2. Duaukuran 1 dan 2 pada ruang M yang dilengkapi dengan aljabar- A dikatakan saling sin-gular jika ada A A dengan 1(A) = 0 dan 2(M \ A) = 0. Jika 1 dan 2 adalah duaukuran Borel pada R yang saling singular dan = 1 + 2, maka L2(R, d) isomorfik den-gan L2(R, d1) L2(R, d2). Kita juga dapat mengkonstruksi jumlah langsung terhitung ru-ang Hilbert. Diberikan barisan ruang Hilbert {Hn}n=1. Misalkan H adalah himpunan semuabarisan {xn}n=1 dengan xn Hn yang memenuhi

n=1xn2Hn < .

Maka H adalah ruang Hilbert terhadap hasilkali dalam

({xn}n=1, {yn}n=1) =

n=1

(xn, yn)Hn .

2 Teorema Representasi Riesz

Salah satu cara untuk mengkonstruksi ruang Hilbert adalah dengan membatasi hasilkali dalampada suatu subruang tertutup M dari ruang Hilbert H yang diberikan. Terhadap hasilkalidalam di H, M merupakan ruang Hilbert. Komplemen ortogonal dari M, dinotasikan denganM, adalah himpunan semua vektor di H yang ortogonal terhadap M. Mudah ditunjukkanbahwa M merupakan subruang tertutup dari H. Jadi M merupakan ruang Hilbert. CatatbahwaMM = {0}. Teorema berikut menunjukkan bahwa terdapat vektor yang tegaklurusdengan setiap subruang proper tertutup , yakni

H =M+M = {x + y : x M, y M}.

Lema 2.1 Diketahui H ruang Hilbert, M subruang tertutup dari H, dan x H. Maka terdapatdengan tunggal z M yang jaraknya terdekat ke x.

Bukti. Misalkan d = infyM y x. Pilih barisan {yn} diM sehingga

yn x d.

6

Maka

yn ym2 = (yn x) (ym x)2

= 2yn x2 + 2ym x2 2x + yn + ym2

= 2yn x2 + 2ym x2 4x12(yn + ym)2

2yn x2 + 2ym x2 4d2

2d2 + 2d2 4d2 = 0 untuk m , n .

Identitas kedua berasal dari hukum jajargenjang sementara ketaksamaan diperoleh dari faktabahwa 12 (yn + ym)