DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri...

23
DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K ∈{R, C} disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi (·, ·) : V × V K sehingga untuk setiap x, y, z V dan α K berlaku: (i) ( x, x) > 0 dan ( x, x)= 0 jika dan hanya jika x = 0 (ii) ( x, y + z)=( x, y)+( x, z) (iii) ( x, αy)= α( x, y) (iv) ( x, y)= (y, x) Fungsi (., .) disebut hasilkali dalam (pada V). Perhatikan bahwa (ii), (iii), dan (iv) berakibat ( x, αy + βz)= α( x, y)+ β( x, z) dan (αx, y)= α( x, y). Menurut definisi di atas hasilkali dalam bersifat linear terhadap komponen kedua dan bersifat konjugat linear terhadap komponen pertama. Contoh 1.2 Diberikan C n yaitu himpunan semua n-tupel bilangan kompleks. Fungsi (·, ·) : C n × C n C dengan ( x, y)= n j=1 x j y j , untuk setiap x =( x 1 ,..., x n ), y =(y 1 ,..., y n ) C n mendefinisikan sebuah hasilkali dalam pada C n . Contoh 1.3 Diberikan C[ a, b] yaitu himpunan semua fungsi kontinu bernilai kompleks pada interval [ a, b]. Fungsi (·, ·) : C[ a, b] × C[ a, b] C dengan ( f , g)= Z b a f ( x) g( x) dx, untuk setiap f , g C[ a, b] mendefinisikan sebuah hasilkali dalam pada C[ a, b]. Definisi 1.4 Dua vektor x dan y di dalam ruang hasilkali dalam V dikatakan ortogonal jika ( x, y)= 0. Himpunan vektor {x i }⊂ V dikatakan himpunan ortonormal jika ( x i , x i )= 1 untuk setiap i dan ( x i , x j )= 0 jika i 6 = j. Untuk setiap x V didefinisikan kxk : = p ( x, x). Akan diperlihatkan bahwa k.k meru- pakan norma pada V. Kita ingat kembali definisi norma. 1

Transcript of DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri...

Page 1: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT

Herry P. Suryawan

1 Geometri Ruang Hilbert

Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K ∈ {R, C} disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi(·, ·) : V ×V → K sehingga untuk setiap x, y, z ∈ V dan α ∈ K berlaku:

(i) (x, x) > 0 dan (x, x) = 0 jika dan hanya jika x = 0

(ii) (x, y + z) = (x, y) + (x, z)

(iii) (x, αy) = α(x, y)

(iv) (x, y) = (y, x)

Fungsi (., .) disebut hasilkali dalam (pada V).

Perhatikan bahwa (ii), (iii), dan (iv) berakibat (x, αy + βz) = α(x, y) + β(x, z) dan (αx, y) =α(x, y). Menurut definisi di atas hasilkali dalam bersifat linear terhadap komponen kedua danbersifat konjugat linear terhadap komponen pertama.

Contoh 1.2 Diberikan Cn yaitu himpunan semua n-tupel bilangan kompleks. Fungsi (·, ·) :Cn ×Cn → C dengan

(x, y) =n

∑j=1

xjyj,

untuk setiap x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Cn mendefinisikan sebuah hasilkali dalampada Cn.

Contoh 1.3 Diberikan C[a, b] yaitu himpunan semua fungsi kontinu bernilai kompleks padainterval [a, b]. Fungsi (·, ·) : C[a, b]× C[a, b]→ C dengan

( f , g) =∫ b

af (x)g(x) dx,

untuk setiap f , g ∈ C[a, b] mendefinisikan sebuah hasilkali dalam pada C[a, b].

Definisi 1.4 Dua vektor x dan y di dalam ruang hasilkali dalam V dikatakan ortogonal jika (x, y) = 0.Himpunan vektor {xi} ⊂ V dikatakan himpunan ortonormal jika (xi, xi) = 1 untuk setiap i dan(xi, xj) = 0 jika i 6= j.

Untuk setiap x ∈ V didefinisikan ‖x‖ :=√(x, x). Akan diperlihatkan bahwa ‖.‖ meru-

pakan norma pada V. Kita ingat kembali definisi norma.

1

Page 2: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

Definisi 1.5 Ruang vektor V atas lapangan K ∈ {R, C} disebut ruang bernorma jika ada fungsi‖.‖ : V → R sehingga untuk setiap x, y ∈ V dan α ∈ K berlaku:

(i) ‖x‖ ≥ 0

(ii) ‖x‖ = 0 jika dan hanya jika x = 0

(iii) ‖αx‖ = |α|‖x‖

(iv) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (ketaksamaan segitiga)

Fungsi ‖.‖ disebut norma (pada V).

Teorema 1.6 (Teorema Phytagoras) Diberikan {xn}mn=1 himpunan ortonormal di dalam ruang hasil-

kali dalam V. Maka untuk setiap x ∈ V,

‖x‖2 =m

∑n=1|(x, xn)|2 +

∥∥∥∥∥x−m

∑n=1

(x, xn)xn

∥∥∥∥∥2

Bukti. Tulis x sebagai

x =m

∑n=1

(x, xn)xn +

(x−

m

∑n=1

(x, xn)xn

).

Dengan menggunakan sifat-sifat hasilkali dalam diperoleh bahwa

m

∑n=1

(x, xn)xn dan x−m

∑n=1

(x, xn)xn

ortogonal. Oleh karena itu

(x, x) =

∥∥∥∥∥ m

∑n=1

(x, xn)xn

∥∥∥∥∥2

+

∥∥∥∥∥x−m

∑n=1

(x, xn)xn

∥∥∥∥∥2

=m

∑n=1|(x, xn)|2 +

∥∥∥∥∥x−m

∑n=1

(x, xn)xn

∥∥∥∥∥2

.

Akibat 1.7 (Ketaksamaan Bessel) Diberikan {xn}mn=1 himpunan ortonormal di dalam ruang hasil-

kali dalam V. Maka untuk setiap x ∈ V

‖x‖2 ≥m

∑n=1|(x, xn)|2.

Akibat 1.8 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Jika x dan y dua vektor di dalam ruang hasilkali dalamV, maka

|(x, y)| ≤ ‖x‖‖y‖.

Bukti. Kasus y = 0 trivial, jadi diasumsikan y 6= 0. Himpunan{

y‖y||

}merupakan himpunan

ortonormal, maka dengan menerapkan ketaksamaan Bessel pada sebarang x ∈ V diperoleh

‖x‖2 ≥∣∣∣∣(x,

y‖y‖

)∣∣∣∣2 =|(x, y)|2‖y‖2

2

Page 3: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

yakni diperoleh |(x, y)| ≤ ‖x‖‖y‖.

Diingat bahwa setiap ruang bernorma merupakan ruang metrik. Teorema berikut menun-jukkan bahwa setiap ruang hasilkali dalam merupakan ruang bernorma.

Teorema 1.9 Setiap ruang hasilkali dalam V merupakan ruang bernorma dengan norma ‖x‖ = (x, x)1/2.

Bukti. Karena V adalah ruang vektor, maka tinggal diperiksa bahwa ‖.‖ memenuhi sifat-sifatnorma. Di sini hanya akan ditunjukkan bahwa ketaksamaan segitiga berlaku. Ambil x, y ∈ V,maka dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz

‖x + y‖2 = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y)

= (x, x) + 2<(x, y) + (y, y)

≤ (x, x) + 2|(x, y)|+ (y, y)

≤ (x, x) + 2(x, x)1/2(y, y)1/2 + (y, y).

Jadi‖x + y‖2 ≤ (‖x‖+ ‖y‖)2

dan terbuktilah ketaksamaan segitiga.

Teorema 1.9 menunjukkan bahwa di dalam ruang hasilkali dalam V terdapat metrik naturalyang diinduksi oleh hasilkali dalam

d(x, y) = ‖x− y‖ =√(x− y, x− y).

Dengan menggunakan metrik ini kita dapat mendefinisikan konsep kekonvergenan, kelengka-pan, dan kepadatan di dalam V. Khususnya, kita dapat melengkapkan V ke suatu ruangbernorma V dimana V tersisip secara isometrik sebagai subhimpunan padat. Catat bahwaV juga merupakan ruang hasilkali dalam sebab hasilkali dalam di V dapat diperluas ke Vmenggunakan sifat kekontinuan.

Norma yang berasal dari hasilkali dalam haruslah memenuhi hukum jajargenjang

‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2.

Dengan kata lain, apabila hukum jajargenjang berlaku di dalam sebuah ruang bernorma, makaruang tersebut merupakan ruang hasilkali dalam. Lebih lanjut hasilkali dalam tersebut dapatdiperoleh kembali dari norma melalui identitas polarisasi

(x, y) =14(‖x + y‖2 − ‖x− y‖2 + i‖x + iy‖2 − i‖x− iy‖2) .

Lebih jelasnya kita mempunyai teorema berikut.

Teorema 1.10 Ruang bernorma (V, ‖ · ‖) merupakan ruang hasilkali dalam jika dan hanya jika norma‖ · ‖ memenuhi hukum jajargenjang.

3

Page 4: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

Definisi 1.11 Ruang hasilkali dalam yang lengkap disebut ruang Hilbert1 . Ruang hasilkali dalamseringkali disebut ruang pra-Hilbert.

Definisi 1.12 Dua ruang Hilbert H1 dan H2 dikatakan isomorfik jika ada operator linear surjektif Tdari H1 ke H2 sehingga (Tx, Ty)H2 = (x, y)H1 untuk setiap x, y ∈ H1. Operator demikian dikatakanuniter.

Contoh 1.13 Didefinisikan L2[a, b] adalah himpunan semua fungsi terukur Lebesgue yang berni-lai kompleks pada interval hingga [a, b] yang memenuhi

∫ ba | f (x)|2 dx < ∞. Untuk f , g ∈

L2[a, b] didefinisikan hasilkali dalam

( f , g) =∫ b

af (x)g(x) dx.

Hasilkali dalam ini terdefinisi dengan baik sebab

| f (x)g(x)| ≤ 12| f (x)|2 + 1

2|g(x)|2

sehingga f (x)g(x) ∈ L1[a, b]. Dapat ditunjukkan bahwa L2[a, b] lengkap dan karenanya meru-pakan ruang Hilbert. Selain itu L2[a, b] merupakan lengkapan dari C[a, b] terhadap norma

‖ f ‖ =(∫ b

a| f (x)|2 dx

)1/2

.

Contoh 1.14 Didefinisikan l2 adalah himpunan semua barisan bilangan kompleks {xn}∞n=1

yang memenuhi ∑∞n=1 |xn|2 dx < ∞ dengan hasilkali dalam

({xn}∞n=1, {yn}∞

n=1) =∞

∑n=1

xnyn.

Norma yang diinduksi oleh hasilkali dalam ini diberikan oleh

‖{xn}∞n=1‖ =

(∞

∑n=1|xn|2

)1/2

.

Pertama kita periksa bahwa hasilkali dalam di atas terdefinisi dengan baik. Perhatikan jumlahparsial berikut

N

∑n=1|xnyn| ≤

(N

∑n=1|xn|2

)1/2( N

∑n=1|yn|2

)1/2

≤(

∑n=1|xn|2

)1/2( ∞

∑n=1|yn|2

)1/2

< ∞.

Karena jumlah parsialnya terbatas maka deret ∑∞n=1 |xnyn| konvergen, dan akibatnya ∑∞

n=1 xnyn

konvergen. Mudah ditunjukkan bahwa l2 merupakan ruang vektor dan aksioma hasilkalidalam dipenuhi. Sekarang kita buktikan kelengkapan l2. Diberikan sebarang barisan Cauchy{x(l)n }∞

l,n=1 di l2 dan sebarang ε > 0, maka ada M ∈N sehingga

∥∥∥{x(l)n }∞n=1 − {x

(k)n }∞

n=1

∥∥∥ =

(∞

∑n=1|x(k)n − x(l)n |2

)1/2

< ε1/2,

1David Hilbert (1862-1943), matematikawan Jerman.

4

Page 5: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

untuk setiap k, l ≥ M. Jadi untuk setiap N ∈N,

N

∑n=1|x(k)n − x(l)n |2 < ε, untuk setiap k, l ≥ M ...(∗)

Untuk sebuah n yang tetap dan menggunakan (*) diperoleh

|x(k)n − x(l)n | < ε1/2, untuk setiap k, l ≥ M.

Dengan demikian barisan {x(k)n }∞k=1 adalah barisan Cauchy di C, dan karenanya konvergen,

katakanyn := lim

k→∞x(k)n , n ∈N.

Hal ini berlaku untuk setiap n ∈ N sehingga diperoleh barisan bilangan kompleks {yn}∞n=1.

Karena setiap barisan Cauchy terbatas, maka ada K > 0 sehingga∥∥∥{x(k)n }∞

n=1

∥∥∥ ≤ K untuk setiapk ∈N. Akibatnya

N

∑n=1|x(k)n |2 < K2, untuk setiap k, N ∈N.

Dengan mengambil k→ ∞,

N

∑n=1|yn|2 < K2, untuk setiap N ∈N.

dan dengan mengambil N → ∞ disimpulkan bahwa {yn}∞n=1 ∈ l2. Kembali ke (*) untuk N

yang tetap, l ≥ M yang tetap, dan k→ ∞, maka

N

∑n=1|x(l)n − yn|2 = lim

k→∞

N

∑n=1|x(l)n − x(k)n |2 ≤ ε.

Dengan mengambil N → ∞, maka∥∥∥{x(l)n }∞l,n=1 − {yn}∞

n=1

∥∥∥ ≤ ε1/2, untuk setiap l ≥ M.

Ini memperlihatkan kekonvergenan {x(l)n }∞l,n=1 di l2. Terbukti l2 ruang Hilbert. Pada subbab 3

akan diperlihatkan bahwa setiap ruang Hilbert berdimensi tak hingga yang memiliki subhim-punan terhitung yang padat isomorfik dengan l2. Dalam konteks ini l2 adalah contoh kanonikdari ruang Hilbert.

Contoh 1.15 Diketahui µ adalah ukuran Borel pada Rn dan L2(Rn, dµ) adalah himpunan se-mua fungsi terukur bernilai kompleks pada Rn yang memenuhi

∫Rn | f (x)|2 dµ < ∞. L2(Rn, dµ)

adalah ruang Hilbert terhadap hasilkali dalam

( f , g) =∫

Rnf (x)g(x) dµ.

Contoh 1.16 Misalkan (X, µ) adalah ruang ukuran dan H adalah ruang Hilbert. L2(X, dµ;H)

menotasikan himpunan semua fungsi terukur pada X dengan nilai di H yang memenuhi∫X‖ f (x)‖2

H dµ(x) < ∞.

5

Page 6: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

Himpunan ini merupakan ruang Hilbert terhadap hasilkali dalam

( f , g) =∫

X( f (x), g(x))H dµ(x).

Contoh 1.17 (Jumlah langsung) Diberikan ruang Hilbert H1 dan H2. Himpunan

{(x, y) : x ∈ H1, y ∈ H2}

merupakan ruang Hilbert terhadap hasilkali dalam

((x1, y1), (x2, y2)) = (x1, x2)H1 + (y1, y2)H2 .

Ruang ini disebut jumlah langsung dari H1 dan H2, dan dinotasikan dengan H1 ⊕H2. Duaukuran µ1 dan µ2 pada ruang M yang dilengkapi dengan aljabar-σ A dikatakan saling sin-gular jika ada A ∈ A dengan µ1(A) = 0 dan µ2(M \ A) = 0. Jika µ1 dan µ2 adalah duaukuran Borel pada R yang saling singular dan µ = µ1 + µ2, maka L2(R, dµ) isomorfik den-gan L2(R, dµ1)⊕ L2(R, dµ2). Kita juga dapat mengkonstruksi jumlah langsung terhitung ru-ang Hilbert. Diberikan barisan ruang Hilbert {Hn}∞

n=1. Misalkan H adalah himpunan semuabarisan {xn}∞

n=1 dengan xn ∈ Hn yang memenuhi

∑n=1‖xn‖2

Hn< ∞.

Maka H adalah ruang Hilbert terhadap hasilkali dalam

({xn}∞n=1, {yn}∞

n=1) =∞

∑n=1

(xn, yn)Hn .

2 Teorema Representasi Riesz

Salah satu cara untuk mengkonstruksi ruang Hilbert adalah dengan membatasi hasilkali dalampada suatu subruang tertutup M dari ruang Hilbert H yang diberikan. Terhadap hasilkalidalam di H, M merupakan ruang Hilbert. Komplemen ortogonal dari M, dinotasikan denganM⊥, adalah himpunan semua vektor di H yang ortogonal terhadap M. Mudah ditunjukkanbahwa M⊥ merupakan subruang tertutup dari H. Jadi M⊥ merupakan ruang Hilbert. CatatbahwaM∩M⊥ = {0}. Teorema berikut menunjukkan bahwa terdapat vektor yang tegaklurusdengan setiap subruang proper tertutup , yakni

H =M+M⊥ = {x + y : x ∈ M, y ∈ M⊥}.

Lema 2.1 Diketahui H ruang Hilbert, M subruang tertutup dari H, dan x ∈ H. Maka terdapatdengan tunggal z ∈ M yang jaraknya terdekat ke x.

Bukti. Misalkan d = infy∈M ‖y− x‖. Pilih barisan {yn} diM sehingga

‖yn − x‖ → d.

6

Page 7: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

Maka

‖yn − ym‖2 = ‖(yn − x)− (ym − x)‖2

= 2‖yn − x‖2 + 2‖ym − x‖2 − ‖− 2x + yn + ym‖2

= 2‖yn − x‖2 + 2‖ym − x‖2 − 4‖x− 12(yn + ym)‖2

≤ 2‖yn − x‖2 + 2‖ym − x‖2 − 4d2

→ 2d2 + 2d2 − 4d2 = 0 untuk m→ ∞, n→ ∞.

Identitas kedua berasal dari hukum jajargenjang sementara ketaksamaan diperoleh dari faktabahwa 1

2 (yn + ym) ∈ M. Jadi {yn} adalah barisan Cauchy dan karena M tertutup, {yn}konvergen ke suatu elemen z ∈ M. Jadi diperoleh ‖x− z‖ = d. Misalkan z1, z2 ∈ M denganjarak masing-masing ke x adalah d, maka

‖z1 − z2‖ ≤ 2‖z1 − x‖2 + 2‖z2 − x‖2 − 4d2 = 0.

Ini menunjukkan ketunggalan titik dengan jarak terdekat.

Teorema 2.2 (Teorema proyeksi) Diketahui H ruang Hilbert dan M subruang tertutup dari H.Maka setiap x ∈ H dapat dituliskan secara tunggal sebagai x = z + w dengan z ∈ M dan w ∈ M⊥.

Bukti. Ambil x ∈ H. Maka menurut Lema 2.1 terdapat dengan tunggal z ∈ M dengan jarakterdekat ke x. Definisikan w = x− z. Ambil y ∈ M dan t ∈ R. Jika d = ‖x− z‖, maka

d2 ≤ ‖x− (z + ty)‖2 = ‖w− ty‖2 = d2 − 2t<(w, y) + t2‖y‖2.

Jadi, −2t<(w, y)+ t2‖y‖2 ≥ 0 untuk setiap t, yang berakibat <(w, y) = 0. Secara analog denganmengganti peranan t dengan it diperoleh =(w, y) = 0. Jadi w ∈ M⊥. Bukti ketunggalan untuklatihan.

Teorema proyeksi memberikan isomorfisma natural antaraM⊕M⊥ dengan H melalui

(z, w) 7→ z + w.

Di dalam konteks isomorfisma ini kita tulis H =M⊕M⊥.

Proposisi 2.3 Diketahui H ruang Hilbert danM subruang dari H. Maka

M =(M⊥

)⊥.

Khususnya, apabilaM⊥ = {0}, makaM padat di dalam H.

Bukti. Karena(M⊥)⊥ tertutup dan memuatM maka jelas bahwa M ⊂

(M⊥)⊥. Selanjutnya,

ambil sebarang x ∈(M⊥)⊥ =

(M⊥)⊥

, x = m + m⊥ dengan m ∈ M, m⊥ ∈ M⊥. Jadi berlaku

(x, m⊥) = 0 = (m, m⊥). Akibatnya (m⊥, m⊥) = 0, yang berarti m⊥ = 0 dan x = m ∈ M.

Selanjutnya kita mengingat kembali pengertian dan sifat-sifat dasar operator linear terbatasdi ruang bernorma.

7

Page 8: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

Definisi 2.4 Operator linear terbatas dari ruang bernorma (V1, ‖.‖1) ke ruang bernorma (V2, ‖.‖2)

adalah pemetaan T : V1 → V2 yang memenuhi untuk setiap u, v ∈ V1 dan α, β ∈ K:

(i) T(αu + βv) = αTu + βTv

(ii) ‖Tu‖2 ≤ C‖u‖1

Konstanta terkecil C yang memenuhi (ii) disebut norma dari T, ditulis ‖T‖. Jadi

‖T‖ = inf{C : ‖Tu‖2 ≤ C‖u‖1} = sup{‖Tu‖2 : ‖u‖1 ≤ 1}.

Teorema 2.5 Diberikan T suatu operator linear dari suatu ruang bernorma ke ruang bernorma yanglain. Maka ketiga pernyataan berikut ekuivalen:

(a) T kontinu di satu titik

(b) T kontinu di setiap titik

(c) T terbatas

Teorema 2.6 Misalkan T operator linear terbatas dari ruang bernorma (V1, ‖.‖1) ke ruang Banach(V2, ‖.‖2). Maka T dapat diperluas secara tunggal ke operator linear terbatas T dari lengkapan V1 ke(V2, ‖.‖2).

Misalkan L(H1,H2) adalah himpunan semua operator linear terbatas dari ruang HilbertH1 ke ruang Hilbert H2. Maka L(H1,H2) merupakan ruang Banach terhadap norma

‖T‖ = sup{‖Tx‖H2 : ‖x‖H1 ≤ 1}.

Untuk bagian selanjutnya akan dibicarakan kasus khusus yakni untuk H2 = K.

Definisi 2.7 Ruang L(H, K) disebut ruang dual dari H dan dinotasikan dengan H∗. Anggota H∗

disebut fungsional linear kontinu.

Teorema berikut menyatakan bahwa setiap fungsional linear kontinu di dalam ruang Hilbertdapat dinyatakan sebagai hasilkali dalam.

Teorema 2.8 (Teorema representasi Riesz) Untuk setiap T ∈ H∗, terdapat dengan tunggal yT ∈ Hsehingga Tx = (yT, x) untuk setiap x ∈ H. Lebih jauh ‖yT‖H = ‖T‖H∗ .

Bukti. Definisikan N := {x ∈ H : Tx = 0}, yakni kernel dari T. Dengan menggunakankekontinuan T, N merupakan subruang tertutup. Jika N = H, maka Tx = 0 = (0, x) untuksetiap x. Selanjutnya diasumsikan N 6= H. Menurut teorema proyeksi terdapat vektor tak nolx0 ∈ N⊥. Kita definisikan yT := Tx0‖x0‖−2x0. Akan diperlihatkan bahwa yT memiliki sifatyang diinginkan. Jika x ∈ N , maka Tx = 0 = (yT, x). Selanjutnya apabila x = αx0, maka

Tx = T(αx0) = αTx0 = (Tx0 ‖x0‖−2x0, αx0) = (yT, αx0).

8

Page 9: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

Karena fungsi-fungsi T dan (yT, .) bersifat linear dan bernilai sama pada N dan x0, makakeduanya bernilai sama pada ruang yang dibangun oleh N dan x0. Di lain pihak N dan x0

membangun H sebab setiap elemen y ∈ H dapat ditulis sebagai

y =

(y− Ty

tx0x0

)+

TyTx0

x0.

Jadi Tx = (yT, x) untuk setiap x ∈ H. Untuk bukti ketunggalan, misalkan Tx = (z, x), maka‖z − yT‖2 = (z, z − yT) − (yT, z − yT) = T(z − yT) − T(z − yT) = 0. Jadi z = yT. Terakhirdibuktikan bahwa ‖yT‖H = ‖T‖H∗ . Perhatikan bahwa

‖T‖ = sup{|Tx| : ‖x‖ ≤ 1} = sup{|(yT, x)| : ‖x‖ ≤ 1} ≤ sup{‖yT‖‖x‖ : ‖x‖ ≤ 1} = ‖yT‖

dan

‖T‖ = sup{Tx : ‖x‖ ≤ 1} ≥∣∣∣∣T( yT

‖yT‖

)∣∣∣∣ = (yT,yT

‖yT‖

)= ‖yT‖.

Catat bahwa ketaksamaan Cauchy-Schwarz menunjukkan bahwa konvers dari teorema rep-resentasi Riesz berlaku: setiap y ∈ H mendefinisikan sebuah fungsional linear kontinu Ty padaH dengan Tyx = (y, x). Subbab ini diakhiri dengan sebuah akibat penting dari teorema repre-sentasi Riesz.

Akibat 2.9 Jika B(·, ·) sebuah fungsi dari H × H ke K yang memenuhi untuk setiap x, y, z ∈ H,α, β ∈ K:

(i) B(x, αy + βz) = αB(x, y) + βB(x, z)

(ii) B(αx + βy, z) = αB(x, z) + βB(y, z)

(iii) |B(x, y)| ≤ k‖x‖‖y‖ untuk suatu k > 0,

maka terdapat dengan tunggal operator linear terbatas A dari H ke H sehingga

B(x, y) = (Ax, y) untuk setiap x, y ∈ H.

Norma dari A adalah konstanta terkecil k sehingga (iii) berlaku.

Bukti. Pilih sebuah x tetap, maka (i) dan (iii) menunjukkan bahwa B(x, ·) adalah fungsionallinear kontinu pada H. Teorema representasi Riesz menjamin adanya x′ ∈ H sehingga

B(x, y) = (x′, y) untuk setiap y ∈ H.

Definisikan operator A dengan Ax = x′. Mudah ditunjukkan bahwa A adalah operator linearkontinu dengan sifat yang diinginkan.

Fungsi B seperti pada Akibat 2.9 sering disebut bentuk seskuilinear.

9

Page 10: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

3 Basis Ortonormal

Pada subbab ini kita akan memperluas konsep basis dari ruang vektor dimensi hingga ke ruangHilbert. Jika S adalah sebuah himpunan ortonormal di dalam ruang Hilbert H dan tidak adahimpunan ortonormal lain yang memuat S sebagai subhimpunan proper, maka S disebut basisortonormal (sistem ortonormal lengkap) dari H.

Teorema 3.1 Setiap ruang Hilbert tak nol H mempunyai basis ortonormal.

Bukti. Misalkan O adalah himpunan semua himpunan ortonormal di dalam H. Catat bahwaO 6= ∅ (mengapa?). Selanjutnya didefinisikan relasi urutan pada O yaitu S1 ≺ S2 jika S1 ⊂ S2.Jelas bahwa (O,≺) merupakan himpunan terurut parsial. Ambil sebarang {Si}i∈I subhim-punan terurut linear dari O. Maka

⋃i∈I Si merupakan himpunan ortonormal yang memuat

semua Si, dan karenanya merupakan batas atas untuk {Si}i ∈I . Oleh karena itu menurut LemaZorn O memiliki elemen maksimal, yakni himpunan ortonormal yang tidak termuat secaraproper di dalam setiap himpunan ortonormal yang lain.

Teorema berikut memperlihatkan bahwa seperti halnya pada kasus ruang vektor dimensihingga setiap elemen dari ruang Hilbert dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear(mungkin tak hingga) dari elemen-elemen basis.

Teorema 3.2 Diberikan H ruang Hilbert dan S = {xα}α∈I sebuah basis ortonormal. Maka untuksetiap y ∈ H

y = ∑α∈I

(xα, y)xα (1)

dan‖y‖2 = ∑

α∈I|(xα, y)|2 (2)

Kesamaan (1) berarti bahwa jumlahan di ruas kanan konvergen (tidak bergantung pada urutan α) ke ydi H. Sebaliknya, jika ∑α∈I |cα|2 < ∞, cα ∈ C, maka ∑α∈I cαxα konvergen ke suatu elemen dari H.

Bukti. Pada subbab 1 telah ditunjukkan (ketaksamaan Bessel) bahwa untuk setiap subhim-punan berhingga A′ ⊂ A, ∑α∈A′ |(xα, y)|2 ≤ ‖y‖2. Jadi (xα, y) 6= 0 untuk sejumlah palingbanyak terhitung α di dalam A yang dapat kita urutkan sebagai α1, α2, . . .. Lebih jauh karena∑N

j=1 |(xαj , y)|2 naik monoton dan terbatas, maka konvergen untuk N → ∞. Misalkan

yn =n

∑j=1

(xαj , y)xαj ,

maka untuk setiap n > m,

‖yn − ym‖2 =

∥∥∥∥∥ n

∑j=m+1

(xαj , y)xαj

∥∥∥∥∥2

=n

∑j=m+1

|(xαj , y)|2.

Jadi {yn} adalah barisan Cauchy dan karenanya konvergen ke suatu y′ ∈ H. Perhatikan bahwa

(y− y′, xαl ) = limn→∞

(y−

n

∑j=1

(xαj , y)xαj , xαl

)= (y, xαl )− (y, xαl ) = 0,

10

Page 11: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

dan jika α 6= αl untuk suatu l maka

(y− y′, xα) = limn→∞

(y−

n

∑j=1

(xαj , y)xαj , xα

)= 0.

Oleh karena itu y − y′ ortogonal dengan semua xα ∈ S. Mengingat bahwa S adalah sistemortonormal lengkap maka haruslah y− y′ = 0. Jadi

y = limn→∞

n

∑j=1

(xαj , y)xαj ,

yakni (1) berlaku. Lebih jauh

0 = limn→∞

∥∥∥∥∥y−n

∑j=1

(xαj , y)xαj

∥∥∥∥∥2

= limn→∞

(‖y‖2 −

n

∑j=1|(xαj , y)|2

)= ‖y‖2 −∑

α∈I|(xα, y)|2,

yakni (2) berlaku. Bukti pernyataan konvers ditinggalkan sebagai latihan.

Identitas (2) seringkali disebut sebagai identitas Parseval dan bilangan (xα, y) seringkali disebutsebagai koefisien Fourier dari y terhadap basis {xα}.

Sekarang kita akan membicarakan suatu prosedur untuk mengkonstruksi sebuah him-punan ortonormal dari sebarang barisan vektor yang bebas linear. Prosedur ini dikenal sebagaiortogonalisasi Gram-Schmidt. Diberikan barisan vektor yang bebas linear u1, u2, . . . dan kitadefinisikan

w1 = u1, v1 =w1

‖w1‖

w2 = u2 − (v1, u2)v1, v2 =w2

‖w2‖...

wn = un −n−1

∑k=1

(vk, un)vk, vn =wn

‖wn‖...

Himpunan {vj} merupakan sebuah himpunan ortonormal dan mempunyai sifat bahwa untuksetiap m, {uj}m

j=1 dan {vj}mj=1 membangun ruang vektor yang sama. Khususnya, himpunan

kombinasi linear berhingga dari vj, j = 1, 2, . . . sama dengan himpunan kombinasi linearberhingga dari uj, j = 1, 2, . . .. Sebagai contoh polinomial Legendre diperoleh dengan men-erapkan proses Gram-Schmidt ke fungsi 1, x, x2, x3, . . . pada interval [−1, 1] terhadap hasilkalidalam baku di L2[−1, 1].

Definisi 3.3 Sebuah ruang metrik dikatakan separabel apabila memiliki subhimpunan terhitung yangpadat.

Sebagian besar ruang Hilbert yang muncul dalam penerapan bersifat separabel. Teoremaberikut memberikan karakterisasi dari ruang Hilbert separabel.

11

Page 12: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

Teorema 3.4 Ruang Hilbert H separabel jika dan hanya jika H memiliki basis ortonormal S yangterhitung. Jika S berhingga dengan n elemen maka H isomorfik dengan Cn. Jika S denumerabel makaH isomorfik dengan l2 (contoh 1.13).

Bukti. Misalkan H separabel dan {xn} suatu himpunan terhitung yang padat di dalam H.Dengan membuang beberapa xn kita dapat memperoleh subhimpunan {xnj} dari {xn} yangterdiri dari vektor-vektor bebas linear dengan ruang yang dibangun {xnj} sama dengan ruangyang dibangun oleh {xn} dan oleh karenanya {xnj} padat di dalam H. Dengan menerapkanprosedur Gram-Schmidt pada {xnj} kita memperoleh suatu sistem ortonormal lengkap yangterhitung. Sebaliknya, jika {yn} adalah sistem ortonormal lengkap dari ruang Hilbert H makaTeorema 3.2 mengakibatkan himpunan kombinasi linear dari vektor-vektor di {yn} dengankoefisien rasional padat di H. Karena {yn} terhitung, maka H separabel.Misalkan H separabel dan {yn}∞

n=1 adalah sistem ortonormal lengkap. Kita mendefinisikanpemetaan T : H → l2 dengan

Tx = {(yn, x)}∞n=1.

Teorema 3.2 menunjukkan bahwa pemetaan ini terdefinisi dengan baik dan bersifat pada. Mu-dah diperlihatkan bahwa T uniter. Bukti bahwa H isomorfik dengan Cn jika S berhinggadengan n elemen dilakukan dengan cara yang sejalan.

Catat bahwa dalam kasus separabel, proses Gram-Schmidt memungkinkan kita untuk mengkon-struksi sebuah basis ortonormal tanpa menggunakan Lema Zorn.

Terakhir di bagian ini akan diberikan sebuah contoh yang menunjukkan bagaimana ru-ang Hilbert muncul secara alami dari masalah di dalam analisis klasik. Jika f sebuah fungsiterintegral pada [0, 2π] maka dapat didefinisikan

cn =1√2π

∫ 2π

0e−inx f (x) dx.

Deret∞

∑n=−∞

cn1√2π

einx

disebut deret Fourier dari f . Masalah klasik: untuk fungsi f yang mana dan dalam jenis kekon-vergenan apa deret Fourier dari f konvergen ke f ? Masalah ini mulai dipelajari oleh matem-atikawan Perancis Joseph Fourier sejak tahun 1811 dan terus berkembang sampai sekarangdalam cabang matematika modern yang disebut analisis harmonik atau analisis Fourier. Salahsatu hasil klasik di dalam analisis Fourier adalah

Teorema 3.5 Jika f fungsi terdiferensial kontinu dan periodik dengan periode 2π, maka fungsi

n

∑−n

cn1√2π

einx

konvergen seragam ke f untuk n→ ∞.

Teorema di atas memberikan syarat cukup kekonvergenan seragam dari deret Fourier suatufungsi. Namun demikian mencari kelas fungsi sehingga deret Fouriernya konvergen seragam

12

Page 13: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

atau konvergen titik demi titik merupakan masalah yang cukup sukar. Salah satu pemecahanpersoalan ini adalah dengan menggunakan konsep kekonvergenan yang lain dan disinilah teoriruang Hilbert muncul. Himpunan fungsi { 1√

2πeinx}∞

n=−∞ merupakan himpunan ortonormal di

ruang L2[0, 2π]. Apabila himpunan ortonormal ini lengkap maka Teorema 3.2 memberikankesimpulan untuk setiap fungsi f ∈ L2[0, 2π] berlaku

f (x) = limn→∞

n

∑−n

cn1√2π

einx

dengan kekonvergenan merupakan kekonvergenan terhadap norma L2. Dapat dibuktikanbahwa { 1√

2πeinx}∞

n=−∞ merupakan sistem ortonormal lengkap. Kita akan membuktikan denganmemanfaatkan hasil klasik di atas (Teorema 3.5).

Teorema 3.6 Jika f ∈ L2[0, 2π], maka ∑∞n=−∞ cn

1√2π

einx konvergen ke f di dalam norma L2 untukn→ ∞.

Bukti. Dapat diperlihatkan bahwa ruang fungsi terdiferensial kontinu yang periodik C1p[0, 2π]

padat di dalam L2[0, 2π]. Idenya adalah himpunan fungsi tangga padat di dalam L2[0, 2π].Lebih jauh setiap fungsi tangga dapat dihampiri di dalam norma L2 oleh suatu fungsi di dalamC1

p[0, 2π]. Detailnya ditinggalkan sebagai latihan.

Untuk menunjukkan bahwa { 1√2π

einx}∞n=−∞ lengkap cukup ditunjukkan bahwa (einx, g) = 0

untuk setiap n berakibat g = 0. Ambil sebarang f ∈ C1p[0, 2π], maka menurut Teorema 3.5

n

∑−n

cn1√2π

einx → f

seragam dan karenanya juga di dalam norma L2. Oleh karena itu

( f , g) = limn→∞

(n

∑−n

cn1√2π

einx, g

)= 0

jika (einx, g) = 0 untuk setiap n. Jadi g ortogonal dengan semua fungsi f di dalam himpunanpadat C1

p[0, 2π]. Hal ini berakibat g = 0. Jadi { 1√2π

einx}∞n=−∞ adalah sistem ortonormal lengkap

dan menurut Teorema 3.2 deret Fourier dari setiap f ∈ L2[0, 2π] konvergen di dalam norma L2

ke f .

Teorema di atas menunjukkan bahwa konsep alami untuk kekonvergenan deret Fourieradalah kekonvergenan di dalam norma L2. Hal ini juga mengilustrasikan salah satu dari prin-sip dasar dari analisis fungsional yakni memilih sebuah ruang abstrak dan konsep kekonver-genan yang sesuai sehingga sebuah permasalahan dapat diselesaikan dengan mudah.

4 Hasilkali Tensor

Di dalam subbab 1 dan 2 telah dibicarakan beberapa cara untuk membentuk ruang Hilbertdari ruang Hilbert yang lain (jumlah langsung dan subruang). Pada subbab ini akan dijelaskan

13

Page 14: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

hasilkali tensor H1 ⊗H2 dari dua ruang Hilbert H1 dan H2. Hasil ini dapat diperluas denganmudah untuk mengkonstruksi hasilkali tensor H1 ⊗ H2 ⊗ . . . ⊗ Hn dari sejumlah berhinggaruang Hilbert.

Diberikan dua ruang Hilbert H1 dan H2. Untuk setiap h1 ∈ H1, h2 ∈ H2, h1 ⊗ h2 meno-tasikan bentuk konjugat linear yang beraksi pada H1 ×H2 menurut

(h1 ⊗ h2)〈ϕ1, ϕ2〉 = (ϕ1, h1)H1(ϕ2, h2)H2 .

Definisikan E sebagai himpunan semua kombinasi linear berhingga dari semua bentuk konju-gat linear yang dideskripsikan di atas. Selanjutnya didefinisikan hasilkali dalam (., .) pada Edengan

(h1 ⊗ h2, g1 ⊗ g2) = (h1, g1)H1(h2, g2)H2

dan kita dapat memperluas definisi ini untuk anggota E menggunakan kelinearan.

Lema 4.1 Hasilkali dalam (., .) di atas terdefinisi dengan baik dan bersifat definit positif.

Bukti. Untuk menunjukkan (., .) terdefinisi dengan baik kita harus menunjukkan bahwa (ϕ, ϕ′)

tidak bergantung pada bentuk kombinasi linear berhingga yang menyusun ϕ dan ϕ′. Untukitu cukup ditunjukkan jika µ adalah jumlahan berhingga yang merupakan bentuk nol, maka(η, µ) = 0 untuk setiap η ∈ E . Misalkan η = ∑N

i=1 ci( fi ⊗ gi), maka

(η, µ) =

(N

∑i=1

ci( fi ⊗ gi), µ

)=

N

∑i=1

ciµ〈 fi, gi〉 = 0

karena µ adalah bentuk nol. Jadi (., .) terdefinisi dengan baik. Selanjutnya, misalkan ϕ =

∑Mk=1 dk(ηk ⊗ µk), maka {ηk}M

k=1 dan {µk}Mk=1 berturut-turut membangun subruang M1 ⊂ H1

dan M2 ⊂ H2. Jika kita pilih {ωj}N1j=1 basis ortonormal dari M1 dan {ψl}N2

l=1 basis ortonormaldari M2, maka kita dapat menyatakan setiap ηk dalam ωj dan µk dalam ψl dan diperoleh

ϕ =N1

∑j=1

N2

∑l=1

cjl(ωj ⊗ ψl).

Dari sini diperoleh

(ϕ, ϕ) =

(N1

∑j=1

N2

∑l=1

cjl(ωj ⊗ ψl),N1

∑s=1

N2

∑t=1

cst(ωs ⊗ ψt)

)

=N1

∑j=1

N2

∑l=1

N1

∑s=1

N2

∑t=1

cjlcst(ωj, ωs)H1(ψl , ψt)H2

=N1

∑j=1

N2

∑l=1|cjl |2.

Jadi (ϕ, ϕ) = 0 berakibat cjl = 0 untuk semua j dan l. Ini berarti ϕ adalah bentuk nol. Terbukti(., .) definit positif.

Definisi 4.2 Hasilkali tensorH1⊗H2 dariH1 danH2 didefinisikan sebagai lengkapan dari E terhadaphasilkali dalam (., .) yang didefinisikan di atas.

14

Page 15: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

Teorema 4.3 Jika {ωk} adalah basis ortonormal dari H1 dan {ψl} adalah basis ortonormal dari H2,maka {ωk ⊗ ψl} adalah basis ortonormal dari H1 ⊗H2

Bukti. Untuk penyederhanaan notasi, kita memperhatikan kasus dimana H1 dan H2 keduanyaberdimensi tak hingga dan separabel. Mudah dilihat bahwa himpunan {ωk ⊗ ψl} ortonormaldan karenanya kita hanya perlu membuktikan bahwa E termuat di dalam ruang tertutup Syang dibangun oleh {ωk ⊗ ψl}. Ambil sebarang ω ⊗ ψ ∈ E . Karena {ωk} dan {ψl} adalahbasis, maka ω = ∑k ckωk dan ψ = ∑l dlψl dengan ∑k |ck|2 < ∞ dan ∑l |dl |2 < ∞. Akibatnya∑l ∑k |ckdl |2 < ∞. Jadi menurut Teorema 3.2 ada vektor µ = ∑l ∑k ckdlωk ⊗ ψl di S. Denganperhitungan langsung diperoleh∥∥∥∥∥ω⊗ ψ− ∑

k<M,l<Nckdl ωk ⊗ ψl

∥∥∥∥∥→ 0

untuk M, N → ∞.

Contoh 4.4 Ruang Hilbert di dalam deskripsi mekanika kuantum dari sebuah partikel Schrödingertunggal dengan spin 1

2 adalah L2(R3, dx; C2), yakni himpunan pasangan (ψ1(x), ψ2(x)) darifungsi-fungsi yang kuadratnya terintegral Lebesgue. Dapat ditunjukkan bahwa

L2(R3, dx; C2) ∼= L2(R3, dx)⊗C2.

5 Operator di dalam Ruang Hilbert

Pada bagian ini H dan Hi selalu menyatakan ruang Hilbert atas lapangan K ∈ {R, C}.

Pertama kita mengingat pengertian operator adjoin ruang bernorma. Diberikan ruang bernormaX and Y dengan ruang dualnya berturut-turut X′ and Y′, dan operator T ∈ L(X, Y). Operatoradjoin (ruang bernorma) T′ : Y′ → X′ didefinisikan melalui

(T′y′)(x) = y′(Tx),

dengan y′ ∈ Y′ and x ∈ X.

Definisi 5.1 Diberikan ruang Hilbert H1,H2, T ∈ L(H1,H2), dan Φi : Hi → H′i , i = 1, 2 adalahisomorfisma isometrik yang diberikan oleh teorema representasi Riesz. Operator adjoin (ruang Hilbert)T∗ dari T didefinisikan sebagai

T∗ := Φ−11 T′Φ2.

Dengan kata lain berlaku,(Tx, y)H2 = (x, T∗y)H1 ,

untuk setiap x ∈ H1, y ∈ H2.

Sifat-sifat dasar dari operator adjoin diberikan dalam teorema berikut.

Teorema 5.2 Diberikan S, T ∈ L(H1,H2), R ∈ L(H2,H3), dan λ ∈ K.

15

Page 16: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

(a) (S + T)∗ = S∗ + T∗

(b) (λS)∗ = λS∗

(c) (RS)∗ = S∗R∗

(d) S∗ ∈ L(H2,H1) and ‖S‖ = ‖S∗‖

(e) S∗∗ = S

(f) ‖SS∗‖ = ‖S∗S‖ = ‖S‖2

(g) ker(S) = (ran(S∗))⊥, ker(S∗) = (ran(S))⊥. Khususnya, S injektif jika dan hanya jika ran(S∗)padat di dalam H1.

Bukti. (a) - (e) mudah dibuktikan dari definisi operator adjoin.(f). Perhatikan bahwa untuk setiap x ∈ H1,

‖Sx‖2 = (Sx, Sx) = (x, S∗Sx) ≤ ‖x‖ ‖S∗Sx‖,

yang berarti

‖S‖2 = sup‖x‖≤1

‖Sx‖2 ≤ sup‖x‖≤1

‖x‖‖S∗Sx‖ ≤ ‖S∗S‖ ≤ ‖S∗‖‖S‖ = ‖S‖2.

Hal ini memberikan ‖S‖2 = ‖S∗S‖ dan juga

‖S‖2 = ‖S∗‖2 = ‖S∗∗S∗‖ = ‖SS∗‖.

(g). Untuk setiap x ∈ H1 berlaku

Sx = 0⇐⇒ (Sx, y) = 0 untuk setiap y ∈ H2

⇐⇒ (x, S∗y) = 0 untuk setiap y ∈ H2

⇐⇒ x ∈ (ran(S∗))⊥.

Ini berarti ker(S) = (ran(S∗))⊥. Selanjutnya, ker(S∗) = (ran(S∗∗))⊥ = (ran(S))⊥.

Dengan demikian pemetaan S 7→ S∗ merupakan sebuah isometri surjektif konjugat linear dariL(H1,H2) ke L(H2,H1). Perhatikan bahwa hal ini analog dengan pemetaan λ 7→ λ pada C.

Sekarang kita akan mendefinisikan beberapa kelas yang penting dari operator-operator diruang Hilbert.

Definisi 5.3 Diberikan T ∈ L(H1,H2).

1. T disebut operator uniter jika T invertibel dengan TT∗ = IdH2 dan T∗T = IdH1

2. Dalam hal H1 = H2, T disebut operator adjoin-diri (atau Hermitian) jika T = T∗

3. Dalam hal H1 = H2, T disebut operator normal jika TT∗ = T∗T

Dari definisi ini kita memperoleh

16

Page 17: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

• T operator uniter jika dan hanya jika T surjektif dan (Tx, Ty) = (x, y) untuk setiap x, y ∈H1

• T operator adjoin-diri jika dan hanya jika (Tx, y) = (x, Ty) untuk setiap x, y ∈ H1

• T operator normal jika dan hanya jika (Tx, Ty) = (T∗x, T∗y) untuk setiap x, y ∈ H1

• Operator adjoin-diri dan operator uniter (dalam kasus H1 = H2) merupakan operatornormal

• T∗T dan TT∗ merupakan operator adjoin-diri

Contoh 5.4 (i). Diberikan H = L2[0, 1] dan Tk ∈ L(H) adalah operator integral

(Tk)(x) :=∫ 1

0k(s, t)x(t) dt.

Maka T∗k = Tk∗ dengan k∗(s, t) = k(t, s), sebab dengan menggunakan Teorema Fubini kitamemperoleh

(Tkx, y) =∫ 1

0

∫ 1

0k(s, t)x(t) dt y(s) ds

=∫ 1

0

(∫ 1

0k(s, t)x(t) dt

)y(s) ds

=∫ 1

0x(t)

(∫ 1

0k(s, t) y(s) ds

)dt

= (x, Tk∗y).

Tk merupakan operator adjoin-diri jika dan hanya jika k(s, t) = k(t, s) dt-hampir di mana-mana.Dalam hal ini k disebut kernel simetris.(ii). Diberikan operator geser kiri T : l2 → l2 yakni (s1, s2, . . .) 7→ (s2, s3, . . .). Maka operatoradjoin T∗ dari T adalah operator geser kanan, yakni T∗((t1, t2, . . .)) = (0, t1, t2, . . .). T bukanoperator normal sebab TT∗ = Id tetapi T∗T = PU dengan U = {(si) : s1 = 0}. PU adalahoperator proyeksi pada subruang U.(iii). Transformasi Fourier F : L2(Rn)→ L2(Rn), yakni

F ( f )(t) =1√(2π)n

∫Rn

f (x)e−itx dx

merupakan operator uniter.

Sifat berikutnya secara geometris mengatakan bahwa operator yang mengawetkan jarakjuga mengawetkan sudut.

Lema 5.5 Diberikan T ∈ L(H1,H2). Kedua pernyataan berikut ekuivalen:

(i) T isometri

(ii) (Tx, Ty) = (x, y) untuk setiap x, y ∈ H1

17

Page 18: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

Teorema 5.6 Diberikan ruang Hilbert H atas lapangan C dan T ∈ L(H). Kedua pernyataan berikutekuivalen:

(i) T adjoin-diri

(ii) (Tx, x) ∈ R untuk setiap x ∈ H

Bukti. (i)⇒ (ii): cukup jelas melalui

(Tx, x) = (x, T∗x) = (x, Tx) = (Tx, x).

(ii)⇒ (i): untuk λ ∈ C diperhatikan bilangan real

(T(x + λy), x + λy) = (Tx, x) + λ(Tx, y) + λ(Ty, x) + |λ|2(Ty, y).

Dengan mengambil konjugat kompleks pada kedua ruas diperoleh

(T(x + λy), x + λy) = (Tx, x) + λ(y, Tx) + λ(x, Ty) + |λ|2(Ty, y).

Selanjutnya substitusikan λ = 1 dan λ = −i untuk mendapatkan

(Tx, y) + (Ty, x) = (y, Tx) + (x, Ty) dan (Tx, y)− (Ty, x) = −(y, Tx) + (x, Ty)

dan dari sini disimpulkan (Tx, y) = (x, Ty).

Teknik menggunakan x + λy seperti dalam pembuktian di atas dikenal sebagai polarisasi.

Lema 5.7 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz yang diperumum) Jika operator T ∈ L(H) adjoin-diri, maka

|(Tx, y)| ≤ M‖x‖ ‖y‖,

dengan M := sup {|(Tx, x)| : ‖x‖ ≤ 1}.

Bukti. Perhatikan dua kesamaan

(T(x + y), x + y) = (Tx, x) + (Tx, y) + (Ty, x) + (Ty, y)

dan−(T(x− y), x− y) = −(Tx, x) + (Tx, y) + (Ty, x)− (Ty, y).

Dengan menjumlahkan kedua kesamaan di atas dan dengan memanfaatkan sifat adjoin-diridari T diperoleh

4<(Tx, y) = (T(x + y), x + y)− (T(x− y), x− y).

Dengan menggunakan argumentasi homogenitas diperoleh untuk setiap x ∈ H

|(Tx, x)| ≤ M‖x‖2.

18

Page 19: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

Selanjutnya hukum jajargenjang memberikan

|4<(Tx, y)| = |(T(x + y), x + y)− (T(x− y), x− y)|≤ |(T(x + y), x + y)|+ |(T(x− y), x− y)|≤ M‖x + y‖2 + M‖x− y‖2

= 2M(‖x‖2 + ‖y‖2).

Untuk x, y ∈ H dengan ‖x‖ = ‖y‖ = 1 berlaku |<(Tx, y)| ≤ M. Untuk x, y ∈ H dengan‖x‖ = ‖y‖ = 1 yang tetap dapat dipilih sebuah bilangan kompleks θ dengan |θ| = 1 sehinggaθ(Tx, y) = |(Tx, y)|. Jadi

|(Tx, y)| = |(Tx, θy)| = |<(Tx, θy)| ≤ M.

Dengan menerapkan kembali argumentasi homogenitas terbuktilah lema. .

Teorema 5.8 Jika operator T ∈ L(H) adjoin-diri, maka

‖T‖ = sup‖x‖≤1

|(Tx, x)|.

Bukti. Dengan menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz

sup‖x‖≤1

|(Tx, x)| ≤ sup‖x‖≤1

‖Tx‖‖x‖ = sup‖x‖≤1

‖Tx‖ = ‖T‖.

Sebaliknya dengan menggunakan Lema 5.7 diperoleh

‖T‖ = sup‖x‖≤1

‖Tx‖ = sup‖x‖≤1

sup‖y‖≤1

|(Tx, y)| ≤ sup‖x‖≤1

sup‖y‖≤1

M‖x‖ ‖y‖ = sup‖x‖≤1

|(Tx, x)|.

Catatan:

• sup‖x‖≤1 |(Tx, x)| dapat dinyatakan sebagai

max

{sup‖x‖≤1

(Tx, x),− inf‖x‖≤1

(Tx, x)

}.

• Jika T ∈ L(H) adjoin-diri dan (Tx, x) = 0 untuk setiap x ∈ H, maka T = 0.

Terakhir akan diberikan karakterisasi dari operator proyeksi yang adjoin-diri.

Teorema 5.9 Diberikan P ∈ L(H) sebuah operator proyeksi, yakni P2 = P dengan P 6= 0. Kelimapernyataan berikut ekuivalen:

(i) P proyeksi ortogonal, yakni ran(P) ⊥ ker(P)

(ii) ‖P‖ = 1

(iii) P adjoin-diri

(iv) P normal

(v) (Px, x) ≥ 0 untuk setiap x ∈ H

19

Page 20: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

6 Soal Latihan

1. Buktikan Teorema 1.10

2. Ruang Hardy pada cakram satuan terbukaDiberikan cakram satuan terbuka

D := {z ∈ C : |z| < 1}

di bidang kompleks dan 1 ≤ p < ∞. Definisikan

Hp(D) := { f : D→ C : f analitik , Np( f ) < ∞},

dengan

Np( f ) := sup0≤r<1

(1

∫ 2π

0| f (reiθ)|p dθ

)1/p

.

Buktikan:

(i) Untuk setiap z0 ∈ D dan setiap f ∈ Hp(D) berlaku

| f (z0)| ≤1

(d(z0, ∂D)2)1/p Np( f ),

dengan ∂D := {z ∈ C : |z| = 1}.

(ii)(

Hp(D), Np)

merupakan ruang bernorma

(iii)(

Hp(D), Np)

merupakan ruang Banach

(iv)(

Hp(D), Np)

ruang Hilbert jika dan hanya jika p = 2

(v) Apabila

f (z) =∞

∑n=0

anzn,

maka f ∈ H2(D) jika dan hanya jika (an)n≥0 ∈ l2. Lebih lanjut, pemetaan h :H2(D) → l2 yang didefinisikan dengan h( f ) = (an)n≥0 merupakan isomorfismaisometrik ruang Hilbert.

3. Diberikan X adalah ruang vektor dari semua fungsi f : R→ C dengan

f (t) =n

∑k=1

ckeiαkt,

n ∈N, ck ∈ C, αk ∈ R.

(i) Buktikan bahwa pemetaan (·, ·) : X× X → C dengan

( f , g) := lima→0

12a

∫ a

−af (t)g(t) dt

merupakan sebuah hasilkali dalam pada X

20

Page 21: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

(ii) Apabila ‖ · ‖ adalah norma yang diinduksi oleh (·, ·), maka tunjukkan

‖ f ‖ =(

n

∑k=1|ck|2

)1/2

,

dengan f ∈ X, f (t) = ∑nk=1 ckeiαkt, αk 6= αj untuk k 6= j.

(iii) Apabila H adalah ruang Hilbert yang diperoleh sebagai lengkapan dari X terhadap‖ · ‖, buktikan bahwa H tidak separabel.

4. (i) Diberikan dua ruang Hilbert H1 dan H2, sistem ortonormal {e1, . . . , en} ⊂ H1 dan{b1, . . . , bn} ⊂ H2, λ1, . . . , λn ∈ C, dan T : H1 → H2 dengan definisi

T(x) =n

∑j=1

λjbj(x, ej).

Tentukan ‖T‖.(ii) Diberikan ruang Hilbert H dan sebuah sistem ortonormal {e1, e2} ⊂ H, matriks

persegi A =

(a bc d

)dengan a, b, c, d ∈ C, dan operator S, T : H → H dengan

definisi S(x) = a(x, e1)e1 + b(x, e2)e2 dan T(x) = c(x, e1)e1 + d(x, e2)e2. Buktikan:

‖S + T‖2 + ‖S− T‖2 = 2(‖S‖2 + ‖T‖2)

jika dan hanya jika

(max(|a + c|, |b + d|))2 +(max(|a− c|, |b− d|))2 = 2(max(|a|, |b|)2 + max(|c|, |d|)2) .

(iii) Buktikan apabila H adalah ruang Hilbert dengan dimensi ≥ 2, maka L(H) :=L(H,H) bukan ruang Hilbert.

5. (a) Buktikan apabila µ1 dan µ2 adalah dua ukuran Borel pada R yang saling singulardan µ = µ1 + µ2, maka L2(R, dµ) isomorfis dengan L2(R, dµ1)⊕ L2(R, dµ2)

(b) Apabila µ adalah sebuah ukuran Borel pada R, maka buktikan bahwa L2(R, dµ)

separabel.

(c) Berikan sebuah ruang ukuran hingga (yakni (M,F , µ) dengan µ(M) < ∞) sehinggaL2(M, dµ) tidak separabel.

(d) Diberikan (M1, µ1) dan (M2, µ2) dua ruang ukuran sehingga L2(M1, dµ1) dan L2(M2, dµ2)

separabel. Tunjukkan bahwa terdapat dengan tunggal sebuah isomorfisma dariL2(M1, dµ1)⊗ L2(M2, dµ2) ke L2(M1 ×M2, dµ1 ⊗ dµ2) sehingga f ⊗ g 7→ f g.

6. (a) Berikan contoh ruang hasilkali dalam X dan sebuah subruang U ⊆ X dengan

i. U 6=(U⊥)⊥

ii. U ⊕U⊥ 6= X.

(b) Diberikan ruang Hilbert H dan M subruang dari H. Misalkan f : M → C sebuahfungsional linear padaM dengan batas K. Buktikan bahwa terdapat dengan tunggalperluasan dari f ke sebuah fungsional linear kontinu pada H dengan batas yangsama.

21

Page 22: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

(c) Tunjukkan bahwa bola satuan di dalam suatu ruang Hilbert berdimensi tak hinggamemuat tak hingga banyaknya translasi yang saling asing dari sebuah bola denganjari-jari

√2

4 .

7. (i) Diberikan ruang Hilbert H dan A : H → H operator adjoin-diri sehingga (Ax, x) =0 untuk setiap x ∈ H. Buktikan A = 0.

(ii) Berikan sebuah matriks tak nol M ∈ M2(R) sehingga (Ax, x) = 0 untuk setiapx ∈ R2.

(iii) Diberikan ruang Hilbert H atas R. Buktikan ketiga pernyataan berikut ekuivalen:

(a) Untuk setiap T ∈ L(H) dengan sifat (Tx, x) = 0 untuk setiap x ∈ H berlakuT = 0

(b) dimR(H) = 1

(c) Topologi konveks lokal pada L(H) yang dibangun oleh keluarga seminorma(px)x∈H adalah Hausdorff, dengan px(T) := |(Tx, x)|.

Sifat ini memberikan karakterisasi ruang Hilbert real berdimensi satu.

8. (a) Diberikan k ∈ L2([0, 1]2) dan Tk : L2[0, 1]→ L2[0, 1] adalah operator integral dengandefinisi

(Tk)(s) :=∫ 1

0k(s, t)x(t) dt.

Tentukan kondisi pada kernel k sehingga operator Tk normal.

(b) Diberikan ruang Hilbert H atas lapangan C dan operator T ∈ L(H) adjoin-diri.Buktikan bahwa operator T + iId dan T − iId bijektif dan mempunyai invers yangkontinu. Lebih jauh, tunjukkan bahwa transformasi Cayley dengan definisi

CT := (T + iId)(T − iId)−1

merupakan operator uniter.

9. Nilai karakteristik dari sebuah operator T adalah bilangan kompleks λ sehingga T− λIdmempunyai kernel tak trivial. Jika λ adalah sebuah nilai karakteristik dari operator Tmaka setiap penyelesaian tak trivial dari persamaan Tx = λx disebut vektor karakteristikdari T yang berkorespondensi dengan nilai karakteristik λ. Apabila diberikan ruangHilbert H dan sebuah operator adjoin-diri T ∈ L(H), buktikan

(i) Semua nilai karakteristik dari T bernilai real.

(ii) Setiap dua vektor karakteristik dari T yang berkorespondensi dengan nilai karakter-istik yang berbeda bersifat ortogonal.

(iii) Bentuk kuadratik x 7→ (Tx, x) bernilai real.

10. Buktikan Teorema 5.9

22

Page 23: DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT · DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor V atas lapangan K 2fR,Cgdisebut ruang hasilkali

Daftar Pustaka

[1] Alt, Hans Wilhelm. Lineare Funktionalanalysis, 5., überarb. Auflage. Berlin, Heidelberg:Springer, 2006.

[2] Reed, Mike, and Simon, Barry. Methods of Modern Mathematical Physics. I. Functional Anal-ysis. New York: Academic Press, 1972.

[3] Werner, Dirk. Funktionalanalysis, 6., korrigierte Auflage. Berlin, Heidelberg: Springer,2007.

David Hilbert was old and partly deaf in the nineteen thirties. Yet being a diligent man, he still attended seminars,usually accompanied by his assistant Richard Courant. One day a visitor was talking on his new findings inlinear operators on Hilbert spaces. The professor was puzzled first. Soon he grew impatient and finally turned toCourant. "Richard, what is a Hilbert space?" he asked loudly.

23