Dans cette section nous regarderons la théorie de base · TP TP. γ γ. 1 33 44 − ... On reprend...

131

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Dans cette section nous regarderons la théorie de baseassociée aux cycles classiques des turbines à gaz utilisés dans ledomaine de la génération de puissance

3

• Revoir le cycle idéal de Brayton dans les TG

• Trouver les rapports de températures (compresseur et turbine)qui maximisent le travail produit par un cycle idéal

• Présenter une formule simple pour le calcul du η d’un cycle réel

• Regarder des modifications du cycle de réel pour accroitre le η

• Présenter des agencements d’arbres concentriques et séparés)

Dans le domaine de génération de puissance on distingue deuxtypes de turbines à gaz: aérodérivées et industrielles pures

GE LM6000 aérodérivéeSGT-400 industrielle

Alliages minces et légers, CouteuxAccélération rapide associée à un faiblemoment d’inertie.Chambre de combustion compacte etoptimisée pour un seul carburantEntretien plus fréquent

Matériaux plus économiques, mais plus épais.Accélération lente due à un plus grand moment d’inertie La chambre de combustion n’a pas des contraintes d’espace et permet l’utilisation de différents carburantsCes machines requièrent moins d’entretien

Pour débuter l’étude des cycles des turbines à gaz dans l’optiquede génération de puissance (production d’électricité), il estconvenable de rependre le cycle théorique de Brayton qui fournitle portait thermodynamique d’une turbine à gaz élémentaire

T

S

p1

p2

❶❹

❷❸

George Brayton (1830-1892): Ingénieur mécanicien né aux États-Unis

T

S

P1

P2

❸ ❹

Q1

1

3 3

4 4.

T PT P

γγ−

= = ∆

1

2 2

1 1.

T PT P

γγ−

= = ∆

S

2

1

4

3

P1

P2

Q1

4 1

4 1

11 1.

T TT T −

= − = − ∆ − ∆ ∆ η

2

1 .

TT

∆ =

3

4 .

TT

∆ =

4 1

3 2 .

1 T TT T

η −= −

− T

3 4 2 1

3 2

( ) ( )( )

p p

p

c T T c T Tc T T

η− − −

=−

3 4 2 1

3 2

( ) ( )( )

p p

p

c T T c T Tc T T

η− − −

=−

11η = −∆

❷ ❹

1

3. T

T1

2 2

1 1

s

.

T PT P

= =

γγ

1

3 3

4 4s .

T PT P

= =

γγ

Définitions

( ) 3 23 2 1 1

1 1

sp s p

T TQ c T T c T TT T

= − = −

( )1pQ c T= Φ − ∆

3 4 3 3 11 1

1 1 1 3 4

sTs p p

s

T T T T / TW c T c TT T T T / T

= − = −

1 1

1Ts p pW c T c TΦ ∆ − = Φ − = Φ ∆ ∆

( )21 1

1

1 1sCs p p

TW c T c TT

= − = ∆ −

( )1 1Cs pW c T= ∆ −

( )11 1es pW c T ∆ − ∆ = Φ − ∆ − ∆ ∆

( )( )− −= 1

1es pW c T

∆ Φ ∆∆

Travail utile idéal (isentropique)

1

2 2

1 1

s

.

T PT P

= =

γγ

1

3 3

4 4s .

T PT P

= =

γγ

T

S

1

2 4

3

P1

P2 T2 = T4

T

S

1

2 4

3

P1

P2 T2 = T4

P1

P2

Laquelle?

WC=cp(T2 –T1)

WT=cp(T3 –T4)T

S

2

1

4

3

P1

P2

( )1

1e

p .

Wc T

Φ = Φ − − ∆ − ∆

.

T PT P

γγ

1

3 3

4 4

= = ∆

.

T PT P

γγ

1

2 2

1 1

= = ∆

.

TT

3

1

Φ =

On reprend l’expression analytiquepour le cycle idéal décrivant le travailutile en fonction de Φ et Δ

On note que pour Δ = 1 letravail 𝑊𝑊𝑒𝑒 = 0Lorsque ∆> 1, 𝑊𝑊𝑒𝑒 ≠ 0 et onpeut se demander si cetteéquation a un maximum ouun minimum

On regarde le cas du travailà l’échelle par rapport à𝑐𝑐𝑝𝑝𝑇𝑇1 calculé pour Φ = 3 etpour des rapports depression 𝑟𝑟𝑝𝑝 = [1,40], 𝛾𝛾 = 1.4

On découvre qu’il y a unmaximum “aux alentours” de∆= 1.73 ( 3 ? )

.

T PT P

γγ

1

3 3

4 4

= = ∆

.

T PT P

γγ

1

2 2

1 1

= = ∆

.

TT

3

1

Φ =

3

𝚽𝚽 = 𝟑𝟑

𝑾𝑾𝒆𝒆

𝒄𝒄𝒑𝒑𝑻𝑻𝟏𝟏 max

( )1

1Φ = Φ − − ∆ − ∆ e

p .

Wc T

( )1

1e

p .

Wc T

Φ = Φ − − ∆ − ∆ 2

1

1 0e

p .

d Wd c T

Φ = − = ∆ ∆ ∆ = Φ

2 3 3

1 4 1.

T T TT T T

= =

2 1 3=T TT

4 1 3=T TT2 4=T T

.

T PT P

γγ

1

3 3

4 4

= = ∆

.

T PT P

γγ

1

2 2

1 1

= = ∆

.

TT

3

1

Φ =

Εn réalité on peut chercher analytiquement une relation entre ∆ etΦ pour optimiser le travail du cycle. Notamment avec:

alors,

Ce résultat indique que 𝑊𝑊𝑒𝑒 est maximal lorsque la température desortie du compresseur 𝑇𝑇2 est égale à celle de sortie de la turbine 𝑇𝑇4,ou encore lorsque ∆= Φ

.

T PT P

γγ

1

3 3

4 4

= = ∆

.

T PT P

γγ

1

2 2

1 1

= = ∆

.

TT

3

1

Φ =

T

S1

24

3

p1

p2 T2 = T4Si 𝑇𝑇4> 𝑇𝑇2 (1 ≤ ∆< Φ) onvise augmenter latempérature de 𝑇𝑇2 pour serapprocher du point optimald’opération. C’est le rôle ducycle avec régénération

3 4

3 4T

s

T TT T

−=

−η

2 1

2 1

sC

T TT T

−=

−η

2s4s

1

3

42

T

S

s .

T PT P

γγ

1

3 3

4 4

= = ∆

s

.

T PT P

γγ

1

2 2

1 1

= = ∆

.

TT

3

1

Φ =

Le cycle réel fait intervenir lerendement de la turbine 𝜼𝜼𝑻𝑻 etcelui du compresseur 𝜼𝜼𝑪𝑪

11

Ts pW c T ∆ − = Φ ∆

( )1 1Cs pW c T= ∆ −

11

T T pW c Tη ∆ − = Φ ∆

( )1

1C p

C

W c Tη∆ −

=

2 1

2 1

sC

T TT T

η −=

−2 1

2 1s

C

T TT Tη−

= +

2 111

C

T Tη

∆ −= +

s .

T PT P

γγ

1

3 3

4 4

= = ∆

s

.

T PT P

γγ

1

2 2

1 1

= = ∆

.

TT

3

1

Φ =

𝑊𝑊𝑪𝑪

𝑊𝑊𝑻𝑻

3 4

3 4T

s

T TT T

η −=

−( )4 3 3 4T sT T T Tη= − −

34 3 3T

TT T Tη = − − ∆

3 3 1 3 14 1 1

1

/ /T

T T T T TT T TT

η ∆ − = − ∆

4 111 TT T η ∆ − = Φ − ∆

s .

T PT P

γγ

1

3 3

4 4

= = ∆

s

.

T PT P

γγ

1

2 2

1 1

= = ∆

.

TT

3

1

Φ =

4 111 TT T η ∆ − = Φ − ∆

2 111

C

T Tη

∆ −= +

( )1

1C p

C

W c Tη∆ −

= 11

T T pW c Tη ∆ − = Φ ∆

( ) 32 3 3 2 1 1

1

11p pC

TQ c T T c T TT η−

∆ −= − = − +

2 3 111p

C

Q c Tη−

∆ −= Φ − −

s .

T PT P

γγ

1

3 3

4 4

= = ∆

s

.

T PT P

γγ

1

2 2

1 1

= = ∆

.

TT

3

1

Φ =

𝑊𝑊𝑪𝑪

𝑊𝑊𝑻𝑻𝑸𝑸

= −e T CW W W

1

2 31

1

11

p TCT C

pC

c TW W

Qc T

ηη

η

η−

∆ − ∆ Φ − ∆− = = ∆ −Φ − −

1)−∆−1)−Φ∆−Φ

∆1−∆

= Τ

(( C

C

ηηηη

Rendement thermique du cycle réel

s .

T PT P

γγ

1

3 3

4 4

= = ∆

s

.

T PT P

γγ

1

2 2

1 1

= = ∆

.

TT

3

1

Φ =

Travail utile11 ∆ − ∆ = Φ − ∆

e p TC

W c T ηη

( )1 1

11 ∆ −∆ − ∆ = Φ − ∆ ∆ p T p

C

c T c Tηη

𝑊𝑊𝑪𝑪

𝑊𝑊𝑻𝑻𝑸𝑸

1)−∆−1)−Φ∆−Φ

∆1−∆

= Τ

(( C

C

ηηηη

s .

T PT P

γγ

1

3 3

4 4

= = ∆

s

.

T PT P

γγ

1

2 2

1 1

= = ∆

.

TT

3

1

Φ =

Οn remarque que pour 𝜂𝜂𝑇𝑇 = 1 et 𝜂𝜂𝐶𝐶 = 1, l’expression:

devient

1∆ −1 1η = = −

∆ ∆

𝑊𝑊𝑪𝑪

𝑊𝑊𝑻𝑻𝑸𝑸

Travail spécifique vs. rendement à deux températures TET (Température à l’Entrée de laTurbine) avec ηc=0.85, ηt=0.85 utilisant la formule précédente. Le rapport de compressionévolue sur les lignes en partant de la gauche

À TET = 1300 0C, il est possible de trouver une efficience maximale(42.3%) pour un rapport de compression de 38. Par contre, letravail spécifique maximal s’obtient pour un rapport decompression de 14 à la même température [ ].

La turbine Rolls-Royce Trent 60, avec TET =1288 OC et β = 35 (rapport de compression), affiche un rendement de 41.3%

Pour un cycle réel, avec 𝑓𝑓 ≪ 1 et pour une capacité calorifiqueconstante, le travail spécifique utile à l’échelle par rapport à cpT1est donné par:

De manière similaire à celle illustrée pour le cycle idéal, il estpossible de trouver le rapport de pression r* qui maximise letravail, notamment:

* /2( 1)3 1( / )c tr n T T γ γη −= c tnη∆ = Φou encore

1

1 ∆ − ∆ = Φ − ∆ e

Tp C

Wc T

ηη

Une règle du pouce établie que pour chaque 55°C d’augmentation de températuredans le bruleur, on obtient un accroissement de 1-3% de puissance et un gain de2-4% de rendement

Améliorer un cycle thermodynamique implique:•Augmenter le travail utile

•Augmenter le rendement

Dans une turbine à gaz on utilise•Régénération: préchauffement de l’air à l’entrée de la chambre de combustion.

•Refroidissement intermédiaire(réduction du travail demandé au compresseur)

•Surchauffe (postcombustion)

Pour le cycle idéal de Brayton, le travail maximal est trouvélorsque 𝑇𝑇4= 𝑇𝑇2 (si ∆= Φ). Si 𝑇𝑇4> 𝑇𝑇2, soit 1 ≤ ∆< Φ, on peutchercher à augmenter la température 𝑇𝑇2 pour se rapprocher dupoint optimal d’opération.

Le cycle avec régénération vise cette améliorationT

S

p1

p2

C1

1 2

T1

3 4

56

BRécupération de l’énergie d’échappement

En pratique on ajoute un échangeur de chaleur qui récupère unepartie de la chaleur dans les gaz d’échappement de la turbine pourla transférer à l’air sortant du compresseur

L’apport énergétique dû à la combustion est alors diminué et parconséquent le rendement thermique est amélioré. Par contre, cesystème est plus encombrant de sorte qu’il est exclu du domaineaéronautique

Pour mesurer l’efficacité de l’échangeur de chaleur, on introduitun coefficient 𝝈𝝈 défini comme le rapport entre l’enthalpie réelletransmise et celle théoriquement récupérable

( )( )− −= 1

1e pW c T

∆ Φ ∆∆

T

S

2

1

4

3

A

2

1

s

.

TT

=

1

3. T

T

𝝈𝝈 =𝑻𝑻𝑨𝑨 − 𝑻𝑻𝟐𝟐𝒔𝒔

𝑻𝑻𝟒𝟒𝒔𝒔 − 𝑻𝑻𝟐𝟐𝒔𝒔

𝑻𝑻𝑨𝑨 = 𝑻𝑻𝟐𝟐 + 𝝈𝝈(𝑻𝑻𝟒𝟒 − 𝑻𝑻𝟐𝟐)

On note que la régénérationne modifie ni le travailrequis par le compresseurni celui produit par laturbine. Le travail utiledemeure donc égal à celuidu cycle de base

Travail utile

𝑊𝑊𝑪𝑪

𝑊𝑊𝑻𝑻

( )1 1 1 1pQ c T T T Tσ Φ = Φ − ∆ − − ∆ ∆

( ) ( ) ( )( )3 3 2 4 2p A p s s sQ c T T c T T T Tσ= − = − − −

( )1pQ c T σ Φ = Φ − ∆ − − ∆ ∆

( )( )

( )

1

1

1p

e

p

c TWQ c T

ησ

∆ − Φ − ∆∆= =

Φ Φ − ∆ − − ∆ ∆ ∆∆−

−∆−Φ

∆−Φ∆1−∆

= 2φση

2

1

s

.

TT

=

1

3. T

T

2

4 2

A s

s s

T TT T

σ −=

∆∆−

−∆−Φ

∆−Φ∆1−∆

= 2φση

pour σ = 0

1∆ −1 1η = = −

∆ ∆

pour σ = 1

1 ∆= −

Φη

Pour une régénération parfaite (𝜎𝜎 = 1) la formule indique que:

• le rendement dépend de la température maximale du cycle• contrairement au cycle de base, pour un rapport Φ donné, le

rendement du cyle augmente avec une diminution durapport de compression

1 ∆= −

Φη

𝚽𝚽 = 𝟐𝟐

𝚽𝚽 = 𝟑𝟑

𝚽𝚽 = 𝟒𝟒

𝚽𝚽 = 𝟓𝟓

Cycle de Brayton𝚽𝚽 = 𝟐𝟐

𝚽𝚽 = 𝟑𝟑

𝚽𝚽 = 𝟒𝟒

𝚽𝚽 = 𝟓𝟓

Φ = 5

𝑟𝑟𝑝𝑝 = 20

𝑊𝑊𝑒𝑒

𝑐𝑐𝑝𝑝𝑇𝑇1≈ 1.55 𝜂𝜂 ≈ 0.52

TA=T2 +σ(T4 –T2)

A

❸❶

A

Le cycle réel inclut lesrendements du compresseuret de la turbine

𝑊𝑊𝑪𝑪

𝑊𝑊𝑻𝑻

2 4 2( )AT T T Tσ= + −

11 1 11 1 1A T

C C

T T σ ηη η

∆ − ∆ − ∆ − = + + Φ − − + ∆

3 11 1 1( ) 1 1 1p A p T

C C

Q c T T c T σ ηη η

∆ − ∆ − ∆ − = − = Φ − + + Φ − − + ∆

❸ ❶

❷❹

A4 1

11 TT T η ∆ − = Φ − ∆ 2 1

11C

T Tη

∆ −= +

𝑊𝑊𝑻𝑻𝑸𝑸

🅐🅐

𝑊𝑊𝑪𝑪

11 1 11 1 1p T

C C

Q c T σ ηη η

∆ − ∆ − ∆ − = Φ − + + Φ − − + ∆

11

e p TC

W c T ηη

∆ − ∆ = Φ − ∆

1

1

1

1 1 11 1 1

p TCe

p TC C

c TWQ

c T

ηη

η

σ ηη η

∆ − ∆ Φ − ∆ = = ∆ − ∆ − ∆ − Φ − + + Φ − − + ∆

𝑊𝑊𝑻𝑻𝑸𝑸

🅐🅐

𝑊𝑊𝑪𝑪

( ) ( )

−−

= − −

+ − − −

11 11 1

Tc

TC

∆Φ

∆∆∆ ∆

Φ Φ∆

ηηη

σ η ση

0=σ ∆1−∆

−∆−1)−Φ∆−Φ

=)1(( c

cT

ηηηη

1T C+η = η = 11η = −∆

1

3 3

4 4s .

T PT P

= =

γγ

1

2 2

1 1

s

.

T PT P

= =

γγ

1

3. T

T

2

4 2

AT TT T

σ −=

Dans ce cycle, l’air est refroidi entre deux étapes de compressiondans le but de se rapprocher d’une compression isotherme plutôtqu’adiabatique. Ce processus permet d’augmenter la puissanceproduite ainsi que le rendement thermique du moteur

3

AC1 C2 T2

1 2 2a 2b 3 4B

T1

5

3

1T cnste.=

Compresseur BP

de l’échangeur

vers l’échangeur

Compresseur HP

Turbines HP et BP

3

AC1 C2 T2

1 2 2a 2b 3 4B

T1

5

3

1T cnste.=

L’effet du refroidissement peut être regardé au moyen d’uneanalyse thermodynamique dans laquelle on compare le travaild’une compression adiabatique versus le travail d’unecompression isothermique

3

1T cnste.=

1p

2p

A

CRFW

T2

1 A 3 4B

1p

2p

= 1T T

Théorie

On regardera un cycle (idéal avec un gazparfait) dans lequel la compression entre𝑝𝑝1et 𝑝𝑝2 a lieu de manière isothermique (1-A)plutôt qu’adiabatique (1-2)

3

1T cnste.=

1p

2p

A

CRFW

T2

1 A 3 4B

1p

2p

= 1T T

Théorie

Lors d’une compression isothermique on a

pv RT cnste.= =pdv RTdv / v=

dv / v dp / p= −2

1

1

p

CRFp

W RT dp / p= − ∫ 21

1CRF

pW RT lnp

= −

3

1T cnste.=

1p

2p

A

CRFW

21

1

1CRF p

pW c T lnp

γγ

−=

1

21

1CFR p

pW c T lnp

γγ−

=

1CRF pW c T ln= ∆

T2

1 A 3 4B

1p

2p

= 1T T

Théorie

𝑅𝑅

1CRF pW c T ln= ∆

11

e I pW c T ln− ∆ − = Φ − ∆ ∆

e T CRFW W W= −

11

T pW c T ∆ − = Φ ∆

3

2p

1pA

1T cnste.=

CRFW

T2

1 A 3 4B

1p

2p

= 1T T

Théorie

Le travail utile 𝑊𝑊𝑒𝑒−𝐼𝐼 lors d’une compression isothermique est

11 ( 1)e A pW c T−

∆ − = Φ − ∆ − ∆

e T CRFW W W= −

11

T pW c T ∆ − = Φ ∆

3

2p

1pA

1T cnste.=

CRFW

T2

1 A 3 4B

1p

2p

= 1T T

Théorie

Le travail utile 𝑊𝑊𝑒𝑒−𝐴𝐴 lors d’une compression adiabatique est

( )1 1C pW c T= ∆ −

En résumé, le travail d’une compression adiabatique 𝑊𝑊𝑒𝑒−𝐴𝐴 et letravail d’une compression isothermique 𝑊𝑊𝑒𝑒−𝐼𝐼 peuvent s’écrire:

Leur différence réside alors dans le second terme dans lemembre de droiteOn note que 𝑙𝑙𝑙𝑙∆< (∆ − 1) de sorte que 𝑾𝑾𝒆𝒆−𝑰𝑰> 𝑾𝑾𝒆𝒆−𝑨𝑨

11 ( 1)e A pW c T−

∆ − = Φ − ∆ − ∆ 1

1e I pW c T ln−

∆ − = Φ − ∆ ∆

11

e pW c T ln ∆ − = Φ − ∆ ∆

3

3 3 1 1( ) ( ) ( 1)p A p pQ c T T c T T c T= − = − = Φ −

( ) ( )1

1

1 / 1 /( 1) 1

pe

p

c T ln lnWQ c T

ηΦ ∆ − ∆ − ∆ Φ ∆ − ∆ − ∆ = = =

Φ − Φ −

2p

1pA

1T cnste.=

CRFW

T2

1 A 3 4B

1p

2p

= 1T T

Théorie

Théorique sans refroidissement

1( 1) ( 1)

η ∆ − Φ − ∆

= ∆ Φ − − ∆ −

En pratique la compression isothermique théorique est remplacéepar deux ou plus compressions “adiabatiques” à des pressionsintermédiaires chacune suivie par un refroidissement de l’air dansun échangeur de chaleurLe cas standard est celui à deux étapes

1p

1

2 2

2 1.

bs

a

T pT p

γγ−

=

1 12

2 2

1 1 1.

s xT p pT p p

γ γγ γ− −

= =

T2p

Pratique

𝒑𝒑𝒙𝒙 = 𝒑𝒑𝟏𝟏𝒑𝒑𝟐𝟐

Valeur optimale

➃➁

2a

2b

2bs 2s

S

1

2 2

1 1.

T pT p

γγ−

∆ = =

1

3. T

T

2’

3

1

4

4’

2

A

1*

2*

p1

p2

( )( ) − − −

=−

η

ΦΦ ∆

∆Φ ∆

2 1

Pratique

𝑊𝑊𝑒𝑒

𝑐𝑐𝑝𝑝𝑇𝑇1= Φ −

ΦΔ

− 2 Δ + 2

Remarque: Formules pour uncycle idéal ( 𝜂𝜂Τ = 𝜂𝜂C = 1)pression intermédiaire : 𝑝𝑝𝑥𝑥= 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2.et 𝑇𝑇1∗ = 𝑇𝑇1

CompresseursTurbine

Cycle IDÉAL

Cycle IDÉAL

𝚽𝚽 = 𝟐𝟐

𝚽𝚽 = 𝟑𝟑𝚽𝚽 = 𝟒𝟒

𝚽𝚽 = 𝟓𝟓Cycle de Brayton

𝚽𝚽 = 𝟐𝟐

𝚽𝚽 = 𝟑𝟑

𝚽𝚽 = 𝟒𝟒

𝚽𝚽 = 𝟓𝟓

Φ = 5

𝑟𝑟𝑝𝑝 = 20

𝑊𝑊𝑒𝑒

𝑐𝑐𝑝𝑝𝑇𝑇1≈ 1.81 𝜂𝜂 ≈ 0.52

S

1

2 2

1 1.

T pT p

γγ−

∆ = =

1

3. T

T

2’

3

1

4

4’

2

A

1*

2*

p1

p2

( ) − − − =

η

ΦΦ ∆

∆Φ

Φ∆

2 1

Pratique

𝑊𝑊𝑒𝑒

𝑐𝑐𝑝𝑝𝑇𝑇1= Φ −

ΦΔ

− 2 Δ + 2

Remarque: Formules pour uncycle idéal (𝜂𝜂Τ = 𝜂𝜂C = 1) , 𝜎𝜎 = 1,pression intermédiaire : 𝑝𝑝𝑥𝑥= 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2.et 𝑇𝑇1∗ = 𝑇𝑇1

CompresseursTurbine

Cycle IDÉAL

Cycle IDÉAL

𝚽𝚽 = 𝟐𝟐

𝚽𝚽 = 𝟑𝟑

𝚽𝚽 = 𝟒𝟒𝚽𝚽 = 𝟓𝟓

Cycle de Brayton𝚽𝚽 = 𝟐𝟐

𝚽𝚽 = 𝟑𝟑

𝚽𝚽 = 𝟒𝟒

𝚽𝚽 = 𝟓𝟓

Φ = 5

𝑟𝑟𝑝𝑝 = 20

𝑊𝑊𝑒𝑒

𝑐𝑐𝑝𝑝𝑇𝑇1≈ 1.81

Φ = 5

𝑟𝑟𝑝𝑝 = 20

𝑊𝑊𝑒𝑒

𝑐𝑐𝑝𝑝𝑇𝑇1≈ 1.81 𝜂𝜂 ≈ 0.63

S

1

2 2

1 1.

T pT p

γγ−

∆ = =

1

3. T

T

2’

3

1

4

4’

2

A

1*

2*

p1

p2

( )

( )

− −−

= − −

+ − − −

1 2 1

1 11 1

Tc

TC

∆ ∆Φ

∆ ∆Φ Φ

ηηη

σ η ση

Pratique

𝑊𝑊𝑒𝑒

𝑐𝑐𝑝𝑝𝑇𝑇1= Φ −

ΦΔ

𝜂𝜂𝑇𝑇 − �2 Δ + 2 𝜂𝜂𝐶𝐶

Turbine Compresseurs

Le rendement 𝜂𝜂C des compresseursest supposé le même

Rendement thermique du cycle RÉEL

Cycle RÉEL

( )

( )

− −−

= − −

+ − − −

1 2 1

1 11 1

Tc

TC

∆ ∆Φ

∆ ∆Φ Φ

ηηη

σ η ση

Pratique

0=σ ( )T

c

C

1 2 1

11

− −−

= −

− −

ηηη

η

∆ ∆Φ

∆Φ

( ) ( )1 2 1− − −=

− η ∆ Φ ∆ ∆

Φ ∆ ∆

𝜂𝜂𝑇𝑇=1 𝜂𝜂𝐶𝐶=1

Remarque: Certains modèles de turbines utilisées pour lagénération de puissance sont issues de l’industrie aéronautique.On les appelle ainsi aéro-dérivées.Cependant, l’ajout d’un refroidisseur intermédiaire n’est pas unetache immédiate, puisque la morphologie des moteurs d’avion nese prête pas facilement à cette modification.

De manière comparable au refroidissent intermédiaire, ce cyclevise à effectuer une détente qui se rapproche d’une isotherme. Untel processus produit plus de puissance qu’une détenteadiabatique.Une analyse thermodynamique permet de trouver des formulespour un cycle purement théorique pour lequel l’expansion dugaz s’effectue à température constante.Cette information (5 pages suivantes) peut être regardée lorsd’une deuxième lecture

T

S

2s

1

4s

3

1p

2p

C T

1 2 3 5 6BB

'2p

T

S

2s

1

4s

3

4

1p

2p

3 5T T cnste.= = 5

6

4

Théorie

T

S

2

1

4

35

( )1 1Cs pW c T= ∆ −

2

1

3

p

TSCp

W RT dp / p= ∫

1p

2p

23

1TSC

pW RT lnp

=

TSCW

23

1

1TSC p

pW c T lnp

γγ

−=

CW

Théorie

T

S

2

1

4

35

1p

2p

TSCW

CW

23

1

1TSC p

pW c T lnp

γγ

−=

21

1

1TSC p

pW c T lnp

γγ

−= Φ

1

21

1TSC p

pW c T lnp

γγ−

= Φ

1TSC pW c T ln= Φ ∆

Théorie

T

S

2

1

4

35

1p

2p

TSCW

CW

51TSC pW c T ln= Φ ∆( )1 1Cs pW c T= ∆ −

1( ( 1))e pW c T ln= Φ ∆ − ∆ −

e TSC CW W W= −

( )1pQ c T= Φ − ∆

1pc T ln+ Φ ∆

2-3

3-5

Théorie

( ) ( )1

1 1

( ( 1)) ( 1)pe

p p

c T lnW lnQ c T c T ln ln

ηΦ ∆ − ∆ − Φ ∆ − ∆ −

= = =Φ −∆ + Φ ∆ Φ −∆ +Φ ∆

C T

1 2 3 5 6BB

Théorie

En pratique, la combustion est faite en deux étapes. D’abord ellese réalise dans une chambre avec un excès d’air. Cettecondition permet de brûler une quantité de carburantadditionnelle dans une deuxième chambre où la température dugaz remonte avant de compléter sa détente

Le cycle avec surchauffe sépare l’expansion endeux étapes et ajoute une surchauffe entre lesdeux.

3 4 5 61 1

1 1 1 1

s sTs p p

T T T TW c T c TT T T T

= − + −

21

1

1sCs p

TW c TT

= −

➁𝑠𝑠

➃𝑠𝑠

➅𝑠𝑠

𝒑𝒑𝟐𝟐

𝒑𝒑𝟏𝟏

➃ ➅

𝑻𝑻𝟓𝟓 = 𝑻𝑻𝟑𝟑

3 4 3 5 6 5 2

1 1 3 1 1 5 1 1

1e s s s

p

W T T T T T T Tc T T T T T T T T

= − + − − +

s .

T PT P

γγ−

= = ∆

1

3 3

4 4

s

.

T pT p

γγ−

= = ∆

1

2 2

1 1.

TT

3

1

Φ =

Compresseur

Turbine

Travail utile

➁𝑠𝑠

➃𝑠𝑠

➅𝑠𝑠

𝒑𝒑𝟐𝟐

𝒑𝒑𝟏𝟏

➃ ➅

𝑻𝑻𝟓𝟓 = 𝑻𝑻𝟑𝟑Définition

s.

s s.

T T T T, , ,T T T T

∆ = ∆ = ∆ = Φ =

2 3 5 3

3 41 4 6 1

𝒑𝒑𝒙𝒙

x

x.

pp p, ,p p p

γγ γγγ γ−− −

∆ = ∆ = ∆ =

11 1

2 23 4

1 1

3 4 3 5 6 5 2

1 1 3 1 1 5 1 1

1e s s s

p

W T T T T T T Tc T T T T T T T T

= − + − − +

𝑻𝑻𝟓𝟓 = 𝑻𝑻𝟑𝟑

𝚫𝚫 =. 𝚫𝚫𝟑𝟑 × 𝚫𝚫𝟒𝟒

𝑊𝑊𝑒𝑒

𝑐𝑐𝑝𝑝𝑇𝑇1= 2Φ −

ΦΔ3

−ΦΔ4

− Δ + 1

𝚫𝚫

𝚫𝚫𝟑𝟑 𝚫𝚫𝟒𝟒

➁𝑠𝑠

➃𝑠𝑠

➅𝑠𝑠

𝒑𝒑𝟐𝟐

𝒑𝒑𝟏𝟏

➃ ➅

𝑻𝑻𝟓𝟓 = 𝑻𝑻𝟑𝟑𝒑𝒑𝒙𝒙

∆𝟒𝟒= 𝚫𝚫/𝚫𝚫𝟑𝟑

𝑊𝑊𝑒𝑒

𝑐𝑐𝑝𝑝𝑇𝑇1= 2Φ −

ΦΔ3

−ΦΔ4

− Δ + 1

𝑊𝑊𝑒𝑒

𝑐𝑐𝑝𝑝𝑇𝑇1= 2Φ −

ΦΔ3

−ΦΔ3

Δ− Δ + 1

𝑑𝑑𝑑𝑑∆3

𝑊𝑊𝑒𝑒

𝑐𝑐𝑝𝑝𝑇𝑇1=

ΦΔ3

2 −ΦΔ

= 0 Δ3 = ∆= Δ4

Pour maximiser le travail

𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑝𝑝1𝑝𝑝2

𝚫𝚫

𝚫𝚫𝟑𝟑 𝚫𝚫𝟒𝟒

Alors, pour un cycle idéal avec surchauffe dont la condition𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑝𝑝1𝑝𝑝2 est satisfaite, l’expression pour le travail maximal est

Le rendement associé à ce cycle idéal est donné par

𝑊𝑊𝑒𝑒

𝑐𝑐𝑝𝑝𝑇𝑇1= 2Φ −

2ΦΔ

− Δ + 1

𝜂𝜂 =2Φ 1 − 1

Δ− Δ − 1

2Φ − Δ − ΦΔ

Turbines Compresseur

𝚽𝚽 = 𝟐𝟐

𝚽𝚽 = 𝟑𝟑

𝚽𝚽 = 𝟓𝟓

Cycle de Brayton

𝚽𝚽 = 𝟐𝟐

𝚽𝚽 = 𝟑𝟑

𝚽𝚽 = 𝟒𝟒

𝚽𝚽 = 𝟓𝟓

Φ = 5

𝑟𝑟𝑝𝑝 = 20

Φ = 5

𝑟𝑟𝑝𝑝 = 20𝜂𝜂 ≈ 0.49𝑊𝑊𝑒𝑒

𝑐𝑐𝑝𝑝𝑇𝑇1≈ 2.2

Remarque: Le rendement des deux turbines est estimé comme étant le même, soit 𝜂𝜂Τ. Lapression intermédiaire 4-5 est considérée optimale: 𝑝𝑝𝑥𝑥= 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2. La température d’entrée dechaque turbine est supposée égale: 𝑇𝑇3 = 𝑇𝑇5 . On néglige la perte de pression dans leschambres de combustion.

2 ( 1) ( 1) /(2 )

T cη ηη Φ ∆ − − ∆ ∆ −=

∆ Φ −∆ −Φ

Pratique

➂ ➄

𝒑𝒑𝟐𝟐

𝒑𝒑𝟏𝟏

➃ ➅

𝑻𝑻𝟓𝟓 = 𝑻𝑻𝟑𝟑𝒑𝒑𝒙𝒙

𝚫𝚫

Pour augmenter le rendement du cycle avec surchauffe, il estcombiné avec une régénération. Dans ce cas, le rendementthéorique associé à ce cycle idéal est donné par:

Φ−∆∆−Φ(−∆−Φ∆−∆∆−−∆Φ

=))2()1()1(2

ση

Pratique

3 4 5 6 3 5 4 6; ;T T T T T T T T− = − = =

( )( ) ( ) ( )2 ( 1) / ( 1) /

2 1 ( 1) / 1 1 1 ( 1) /T C

C T

η ηηη σ σ η

Φ ∆ − ∆ − ∆ −=

Φ − + ∆ − − − + Φ − ∆ − ∆

Pratique

Finalement, lorsque nous tenonscompte du rendement des turbines 𝜂𝜂𝑇𝑇et celui du compresseur 𝜂𝜂𝐶𝐶, l’expressionpour le rendement du cycle réel avecun étape de compression, régénérationet deux étapes de surchauffe(d’expansion) devient:➀

➁𝑠𝑠

➃𝑠𝑠

➄𝒑𝒑𝟐𝟐

𝒑𝒑𝟏𝟏

➅➁

𝑻𝑻𝟓𝟓 = 𝑻𝑻𝟑𝟑𝒑𝒑𝒙𝒙

➃𝑨𝑨

𝒑𝒑𝟏𝟏

PratiqueLa combinaison d’une compression avec refroidissement intermédiaire etd’une surchauffe permet d’améliorer la performance du cycle, mais lamachine est encore plus compliquée

T

S

Pratique

➂ ➄

𝒑𝒑𝟐𝟐

𝑨𝑨

𝒑𝒑𝟏𝟏

2a

2b

Pour un cycle idéal avec refroidissement, surchauffe etrégénération parfaite (𝝈𝝈 = 𝟏𝟏), l’expression pour le travail maximalest

Le rendement associé à ce cycle idéal est donné par

𝑊𝑊𝑒𝑒

𝑐𝑐𝑝𝑝𝑇𝑇1= 2 Φ −

ΦΔ

− 2 Δ + 2

𝜂𝜂 = 1 −Δ

Φ

𝚽𝚽 = 𝟐𝟐

𝚽𝚽 = 𝟑𝟑

𝚽𝚽 = 𝟓𝟓

Cycle de Brayton𝚽𝚽 = 𝟐𝟐

𝚽𝚽 = 𝟑𝟑

𝚽𝚽 = 𝟒𝟒

𝚽𝚽 = 𝟓𝟓

𝚽𝚽 = 𝟒𝟒

Φ = 5

𝑟𝑟𝑝𝑝 = 20

Φ = 5

𝑟𝑟𝑝𝑝 = 20

𝑊𝑊𝑒𝑒

𝑐𝑐𝑝𝑝𝑇𝑇1≈ 2.4 𝜂𝜂 ≈ 0.70

Dans le but de se rapprocher davantage d’une compression etd’une expansion isothermique, on peut imaginer un cycle avec 𝑙𝑙étapes de compression et 𝑚𝑚 étapes d’expansion.La température maximale de ce cycle est noté par 𝑻𝑻𝑪𝑪 tandis quela température minimale par 𝑻𝑻𝑨𝑨

Les rapports de compression et de détente sont supposés égauxpour chacun des 𝑙𝑙 et 𝑚𝑚 étages respectivement

Le rapport de compression global est ⁄𝒑𝒑𝑪𝑪 𝒑𝒑𝑨𝑨 et 𝚫𝚫 = ⁄𝒑𝒑𝒄𝒄 𝒑𝒑𝑨𝑨

𝜸𝜸−𝟏𝟏𝜸𝜸

Pratique

Pratique

( ) ( )[ ]

1/ 1/

1/ 1/

1 1/ 1 /

1 ( 1) / (1 ) ( 1) (1 1/ )

m nT C

n mc T

m n

m

η ηη

η σ η σ

Φ − ∆ − ∆ −= Φ − − ∆ − × − +Φ + − − ∆

𝑊𝑊𝑒𝑒

𝑐𝑐𝑝𝑝𝑇𝑇c= 𝑚𝑚Φ𝜂𝜂𝑇𝑇 1 − 1/Δ

1𝑚𝑚 − �𝑙𝑙 (Δ

1𝑛𝑛 − 1) 𝜂𝜂𝐶𝐶

𝑇𝑇𝐴𝐴

𝑝𝑝𝐴𝐴

𝑝𝑝𝐶𝐶

𝑇𝑇𝐶𝐶

Dans ces formules 𝚽𝚽 = ⁄𝑻𝑻𝑪𝑪 𝑻𝑻𝑨𝑨Le régénérateur se situe entre la dernière turbineet le dernier compresseurs (1b-4e)

Dans la chambre de combustion on injecte du carburant combiné avec unequantité de vapeur d’eau. L’écoulement des gaz de combustion, augmentépar la vapeur d’eau surchauffée, conduit à une augmentation de lapuissance livrée par la turbine. À ce phénomène on ajoute une variation dela capacité calorifique du mélange.

11η = −∆ ∆ = Φ

2 1 3sT TT=

4 1 3sT TT=2 4s sT T=

1)−∆−1)−Φ∆−Φ

∆1−∆

= Τ

(( C

C

ηηηη c tnη∆ = Φ

Idéal

Réel

Pour Maximiser

s .

T PT P

γγ

1

3 3

4 4

= = ∆

s

.

T PT P

γγ

1

2 2

1 1

= = ∆

.

TT

3

1

Φ =

Réel

∆∆−

−∆−Φ

∆−Φ∆1−∆

= 2φση

2

1

s

.

TT

=

1

3. T

T

2

4 2

A s

s s

T TT T

σ −=

−Idéal

( ) ( )

−−

= − −

+ − − −

11 11 1

Tc

TC

∆Φ

∆∆∆ ∆

Φ Φ∆

ηηη

σ η ση

S

1

2 2

1 1.

T PT P

∆ = =

γγ

1

3. T

T

2’

3

1

4

4’

2

A

1*

2*

P1

P2

( )

( )

− −−

= − −

+ − − −

1 2 1

1 11 1

Tc

TC

∆ ∆Φ

∆ ∆Φ Φ

ηηη

σ η ση

Pratique

21 pppx =

Rendement (réel) avec un deux étapes de compression, (refroidissement ), régénération et une étape d’expansion

Réel

' ' ' '3 4 5 6 3 5 4 6; ;T T T T T T T T− = − = =

Rendement (réel) avec un étape de compression, régénération et deux étapes d’expansion (surchauffe)

( )( ) ( ) ( )2 ( 1) / ( 1) /

2 1 ( 1) / 1 1 1 ( 1) /T C

C T

η ηηη σ σ η

Φ ∆ − ∆ − ∆ −=

Φ − + ∆ − − − + Φ − ∆ − ∆

Pratique1

3 3

4 4s .

T PT P

= =

γγ

1

2 2

1 1

s

.

T PT P

= =

γγ

1

3. T

T

Réel

Pratique

( ) ( )[ ]

1/ 1/

1/ 1/

1 1/ 1 /

1 ( 1) / (1 ) ( 1) (1 1/ )

m nT C

n mc T

m n

m

η ηη

η σ η σ

Φ − ∆ − ∆ −= Φ − − ∆ − × − +Φ + − − ∆

𝑊𝑊𝑒𝑒

𝑐𝑐𝑝𝑝𝑇𝑇c= 𝑚𝑚Φ𝜂𝜂𝑇𝑇 1 − 1/Δ

1𝑚𝑚 − �𝑙𝑙 (Δ

1𝑛𝑛 − 1) 𝜂𝜂𝐶𝐶

𝑇𝑇𝐴𝐴

𝑝𝑝𝐴𝐴

𝑝𝑝𝐶𝐶

𝑇𝑇𝐶𝐶

Dans ces formules 𝚽𝚽 = ⁄𝑻𝑻𝑪𝑪 𝑻𝑻𝑨𝑨Le régénérateur se situe entre la dernière turbineet le dernier compresseurs (1b-4e)

Une turbine à gaz opère d’après le cycle idéal de Brayton. Les conditions del’air à l’entrée sont p1=101.3 kPa et T1=300 K. Le rapport de pression est r= p2 /p1=8 et la température maximale du cycle est T3=900 K. Considérer γ=1.4 et R=287 [J/kg K]. Calculer

– Les coordonnées du cycle– Le rendement du cycle

C1

1 2

T1

3 4

Carburantc.c

R=287.04 J kg-1 K-1

1 1

131

1 5 21

101 13 300

287 04 300 0 8491 013 10

P . kPa, T K

RT . J kg Kv . m / kgP . N / m

= = × = = =

×

1 1 4 11 4

1 11 4

2 1

32 12

1

300 8 543 4

0 8451 81 0 19138

..

.

T T r . K

T v .. , v . m / kgT r

γγ

γ

− −

= = × =∆ = = = = =

3 2 3

333 5 2

3

810.4 , 900

287 / 900 0.318 /8.104 10 /

= = = − × = = =

×

P P kPa T K

RT N m kg K Kv m kgP N m

p1=101.3 kPa, T1=300 K,r= p2 / p1=8, T3=900 K,γ=1.4, R= 287 [J/kg K]

1 1 4 11 4

34

344 5 2

4

900 496 848

287 496 84 1 401 013 10

..

TT . Kr

RT N m / kg K . Kv . m / kgP . N / m

γγ− −

= = = − × = = =

×

..

= − = − =1 11 1 0 4479

1 81∆η

3 2 3

333 5 2

3

810.4 , 900

287 / 900 0.318 /8.104 10 /

= = = − × = = =

×

P P kPa T K

RT N m kg K Kv m kgP N m

Une turbine à gaz opère avec 2 compresseurs et un régénérateur. Lesparamètres de l’air à l’entrée du système sont p1=101.3 kPa et T1=290 K,tandis que le température à l’entrée de la turbine est T3=973 K. Le rapportde compression total est r p= 5 , γ=1.4 et cp =1005 J/ kg K. Calculer lerendement de l’installation si: a) ηC =1= ηT ,σ=0.7, b) ηC =0.85= ηT ,σ=0.7

21 2 1 15 2 236xp p p p . p= = =

( )1

1 4 12 1 4

1

5 1 5838..

p .p

γγ−

− ∆ = = =

❶=1 4p p

= ='2 2 3p p p

( )1

0 41 4

1

2 236 1 2584.

* x .p . .p

γγ−

∆ = = =

( )( ) ( )

12 1

2 1 005 290 1 2584 1 150 62

*C PW c T

. . . kJ / kg

= ∆ −

= × × × − =

1

2 2 3

1 1 4

p T Tp T T

∆ = = =

γγ

( )31 11 1 005 973 1 360 44

1 5838T PW C T . . kJ / kg.

= − = × × − = ∆

p1=101.3 kPa et T1=290 K,T3=973 K, r p= 5 ,γ=1.4, cp =1005 J/ kg K

( )1 1 2' '

aT T , T T= =

1

1 11

290 1 2584 365*xa

pT T T . Kp

γγ−

= == ∆ = × =

2 4 2 365 0 7 614 3 365 539 5' 'AT T (T T ) . ( . ) . Kσ= + − = + − =

1

360 44 150 62 0 4816435 65

T CW W . - . .Q .

η −= = =

( )4 3 1T T /= ∆

1

3 3

4 4

1 5838s .

T p .T p

= = =

γγ

4 973 1 5838 614 3T / . . K= =

1 3( ) 1.005(973 539.5) 435.65 /p AQ c T T kJ kg= − = − =

Ta = 365K, T3=973 K, σ=0.7

2 365'aT T K= =

Régénérateur:point A

( )

( )

2 11

1 11 1

TC

TC

∆ −∆ − Φ −∆

= ∆ − ∆ −Φ + − Φ − − ∆

ηηη

σ η ση

( )

( )

2 1 5838 11 5838 1 3 35 11 5838 1 0 482

1 5838 1 1 5838 10 7 3 35 1 1 0 7 3 35 11 5838 1

−− × × −= =

− −× × × + − − −

.. .. .

. .. . . ..

η

1

2

1

3

1

1 5838

973 3 35290

1 0 7

∆ = =

Φ = = =

= = =

.

.

, .c T

pp

TT

γγ

η η σ

p1=101.3 kPa, T1=290 K, T3=973 K r p= 5 γ=1.4 et cp =1005 J/ kg K., σ=0.7

0 85T Cη η= = .

( )150 62 0 85 177 2CW . / . . kJ/kg= = ( )0 85(366 44) 311.74TW . . kJ / kg= =

( )

( )

2 1 5838 11 5838 1 3 35 0 851 5838 0 85 0 326

1 5838 1 1 5838 10 7 3 35 0 85 1 0 7 3 35 11 5838 0 85

η

−− × × −= =

− −× × × + − − −

.. . .. . .

. .. . . . .. .

p1=101.3 kPa, T1=290 K, T3=973 K r p= 5 γ=1.4 et cp =1005 J/ kg K., σ=0.7

1

32

1 1

9731 5838 3 35290

Tpp T

γγ

∆ = = Φ = = =

. , .

C2

C1

T1

T2

1(1 )m t cf W Wη + =

03 02(1 )+ = + ×f h h f LHV

( ) ( )|04 03 02 01

|

11

= − −η +

p c

m p t

cT T T T

f c

/( 1)

04 03 04

03 1 03

1t t

T

p T Tp T

γ γ − −

= − η

| 03 | 02

| 03

−=

−p t p c

p t

c T c Tf

LHV c T

3

14

2

5C

T2

T1

f af m m=

fm

am

/( 1)

04 04

03 03

03 041

03 04

t t

s

Ts

p Tp T

T TT T

γ γ − =

−η = −

➋ ➌

➌ ➍

➋ ➌

3

14

2

5C

T2

T1

( 1)/

0505 04 2

04

1 1γ − γ = − η −

t t

TpT Tp

/( 1)

05 05

04 04

04 052

04 05

t t

s

Ts

p Tp T

T TT T

γ γ − =

−η = −

05p connue=

➍ ➎

3

14

2

5C

T2

T1

04 05(1 ) ( )= + −e ptW f c T T

1η = =

× ×e

thW

f LHV SFC LHV

/= eSFC f W

f af m m= ➍ ➎

1 02 01( )= −c pcW c T T

03 02 2cp p r=

( 1)/2

03 022

11γ − γ −

= + η

c cc

c

rT T

CBP

032

02c

prp

=

/( 1)

03 03

02 02

03 022

03 02

c c

s

sC

p Tp T

T TT T

γ γ − =

−η = −

CHP

𝐶𝐶2

𝐶𝐶1

2 03 02( )= −c pcW c T T

030403

0304 1T/TTc/LHV

T/Tfp −

−=

( ) ( )|05 04 03 02

|

11

= − −η +

p c

m p t

cT T T T

f c

Ch.C.

THP

CHP

04 03(1 )f h h f LHV+ = + × f af m m=

2 2(1 )m t cf W Wη + =

f af m m=

➌ ➍

𝑇𝑇2 ➎➍➍➌

➋ ➌𝐶𝐶2

/( 1)

05 04 05

04 2 04

1t t

T

p T Tp T

γ γ − −

= − η

THP/( 1)

05 05

04 04

04 052

04 05

t t

s

Ts

p Tp T

T TT T

γ γ − =

−η = −

𝑇𝑇2➍ ➎

( 1)/

0606 05 1

05

1 1t t

TpT Tp

γ − γ = − η −

TBP

/( 1)

06 06

05 05

05 061

05 06

t t

s

Ts

p Tp T

T TT T

γ γ − =

−η = −

06p connue=

𝑇𝑇1 ➏➎

05 06 02 01(1 ) ( ) ( )= + − − −e pt pcW f c T T c T T

1η = =

× ×e

thW

f LHV SFC LHV

/= eSFC f W

f af m m=

➋ ➎

𝑇𝑇1➎ ➏ ➋➊ 𝐶𝐶1

Les conditions pour l’installation ci-dessous sont les suivantes: p01= 101.3 kPaet T01=288 K. Le rapport de compression est rc =9, T03=1380K, ηC =0.87, ηT1=0.89, ηT2 =0.89. Le pouvoir calorifique est LHV=43000kJ/kg et la pression à lasortie de la turbine de puissance T2 est p05=120 kPa. Considérez ηm =1 γc=1.4 etγt =1.333 et calculez:

• Le rapport débit massique de carburant /débit massique d’air: f • La température T05 à la sortie de la turbine de puissance (T2)• Le travail spécifique utile We

• La rendement thermique du système ηth

p01= 101.3 kPa, T01=288K, rc =9, T03=1380K, ηC=0.87, ηT1 =0.89, ηT2 =0.89,LHV=43000kJ/kg , p05=120 kPa. γc=1.4 , γt =1.333, ηm=1, cpt=1.148kJ/kg, cpc=1.004kJ/kg

Compresseur

02 01cp r p=

( 1)/

02 0111

c cc

c

rT Tγ − γ −

= + η (1.4 1)/1.49 1288 1

0.87

− −= + =

. kPa911 7

. K577 53

Chambre de combustion f

| 03 | 02

| 03

−=

−p t p c

p t

c T c Tf

LHV c T1.148 1380 1.004 577.53

43000 1.148 1380× − ×

= =− ×

.0 0243

9 101.3= × =

𝒇𝒇?

03 02p p= .= kPa911 7

.= K1132 5

( ) ( )|04 03 02 01

|

11

= − −η +

p c

m p t

cT T T T

f c

( ) ( )1 1.0041380 577.53 2881 0.0243 1.148

= − −+

Turbine liée

.= kPa370 81.333/(0.333)1380 1132.5911.7 1

0.89 1380− = − ×

/( 1)

03 0404 03

1 03

1t t

T

T Tp pT

γ γ − −

= − η

p01= 101.3 kPa, T01=288K, rc =9, T03=1380K, ηC=0.87, ηT1 =0.89, ηT2 =0.89,LHV=43000kJ/kg , p05=120 kPa. γc=1.4 , γt =1.333, ηm=1, cpt=1.148kJ/kg, cpc=1.004kJ/kg

T05 ?

𝑻𝑻𝟎𝟎𝟓𝟓? . , .= =020 0243 577 53f T K

𝑇𝑇1➌ ➍

p01= 101.3 kPa, T01=288K, rc =9, T03=1380K, ηC=0.87, ηT1 =0.89, ηT2 =0.89,LHV=43000kJ/kg , p05=120 kPa. γc=1.4 , γt =1.333, ηm=1

Turbine de puissance ( 1)/

0505 04 2

04

1 1γ − γ = − η −

t t

tpT Tp

(.333)/1.3331201132.5 1 0.89 1370.8

= − − .= K884 8

(1.0243) 1.148(1132.5 884.8)= × −

04 05(1 ) ( )= + −e ptW f c T T

. /= kJ kg292 27

eth

Wf LHV

η =×292.27

0.0243 43000=

×.= 0 279

𝑻𝑻𝟎𝟎𝟓𝟓? 𝑾𝑾𝒆𝒆? 𝜼𝜼𝒕𝒕𝒕𝒕?

𝑇𝑇2 ➎➍

. . . ,= = =04 04370 8 1132 5 0 0243p kPa T K f

• La température et la pression à l’entrée du compresseur C sont T01 = 288 K et p01 = 101.3 kPa

• Le rendement du compresseur (C) ηc =87 %• La pression à la sortie du compresseur p02 = 1216 kPa

• Le rendement des turbines ηt =89 %• La température à la sortie des chambres de combustion T03 = 1400 K • Le pouvoir calorifique : LHV=43000 kJ/kg

B

Considérez de l’air standard (cp ≠ 𝒄𝒄𝒕𝒕𝒆𝒆) et calculez:

• Le travail de compression• La pression 𝑝𝑝05 = 𝑝𝑝04

• La travail utile produit par la seconde turbine• L’efficacité thermique• La consommation spécifique

B

p01= 101.3 kPa, T01=288K, T03=1400K, ηC=0.87, ηT1 =0.89, ηT2 =0.89, LHV=43000kJ/kg ,p02=1216 kPa. γc=1.4 ηm=1

Entrée du compresseur : À partir de la table on trouve pour T=288 K

1 1.2055rp =01 288 /h kJ kg=

Sortie du compresseur02

2 101

=

r r

pp pp

𝒘𝒘𝒄𝒄?

𝒑𝒑𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟒𝟒. 𝟒𝟒𝟒𝟒

𝒑𝒑𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟒𝟒. 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝑻𝑻𝟎𝟎𝟐𝟐𝒔𝒔 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟏𝟏 𝑲𝑲 𝒕𝒕𝟎𝟎𝟐𝟐𝒔𝒔 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒌𝒌 ⁄𝑱𝑱 𝒌𝒌 𝒈𝒈

p01= 101.3 kPa, T01=288K, T03=1400K, ηC=0.87, ηT1 =0.89, ηT2 =0.89, LHV=43000kJ/kg ,p02=1216 kPa. γc=1.4 ηm=1

02 01 588 288 300 /cs sw h h kJ kg= − = − =

3000.87

cscr

c

wwη

= = =

h02r = h01 + wcr h02r = 288 + 344.83= 632.83 kJ/kg

344.83 /tr crw w kJ kg= =344.83 387.45 /0.89

trts

t

ww kJ kg= = =η

𝒘𝒘𝒄𝒄?

𝟑𝟑𝟒𝟒𝟒𝟒. 𝟓𝟓𝟑𝟑 𝒌𝒌 ⁄𝑱𝑱 𝒌𝒌 𝒈𝒈

p01= 101.3 kPa, T01=288K, T03=1400K, ηC=0.87, ηT1 =0.89, ηT2 =0.89, LHV=43000kJ/kg ,p02=1216 kPa. γc=1.4 ηm=1

T03 = 1400 K 3 450.5rp→ = 03 1515.42 /h kJ kg=

404 03 04 03 02

3

408 ( )r

r

pp p p kPa p pp

= → = =

Processus isentropique 3-4

04 03 1127.92 /tsh h w kJ kg= − = → 𝒑𝒑𝒓𝒓𝟒𝟒 = 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟏𝟏. 𝟒𝟒

p01= 101.3 kPa, T01=288K, T03=1400K, ηC=0.87, ηT1 =0.89, ηT2 =0.89, LHV=43000kJ/kg ,p02=1216 kPa. γc=1.4 ηm=1

5

05

450.51515.42 /

rph kJ kg

==

05 05

03 05

4081400

p p kPaT T K

= == =

066 5 6

05

111.9r r rpp p pp

= → =

06 1040.5 /sh kJ kg=

06 01 101.3p p kPa= =

Processus isentropique 5-6

𝑤𝑤𝑡𝑡2𝑟𝑟 = (ℎ05 − ℎ06𝑠𝑠)𝜂𝜂𝑡𝑡 = 422.67𝑘𝑘 ⁄𝐽𝐽 𝑘𝑘 𝑔𝑔

p01= 101.3 kPa, T01=288K, T03=1400K, ηC=0.87, ηT1 =0.89, ηT2 =0.89, LHV=43000kJ/kg ,p02=1216 kPa. γc=1.4 ηm=1

Efficacité thermique

2 422 67 0 3231270 1

t rth

c.c

w . .q .

η = = = 3600 3600 0 2590 323 43000th

kJSFC .LHV . kW h

= = =× ×η

. 05 04 03 02( ) ( ) 1270.1 /c cq h h h h kJ kg= − + − =ℎ04 = 1127.92 𝑘𝑘 ⁄𝐽𝐽 𝑘𝑘 𝑔𝑔

ℎ03 = 1515.42 𝑘𝑘 ⁄𝐽𝐽 𝑘𝑘 𝑔𝑔 ℎ02 = 632.83 𝑘𝑘 ⁄𝐽𝐽 𝑘𝑘 𝑔𝑔

ℎ05 = 1515.42 𝑘𝑘 ⁄𝐽𝐽 𝑘𝑘 𝑔𝑔

32’’

14

4’’ 4

2

Les conditions pour ce cycle régénératif sont les suivantes: p01= p04 =8 bar etT1=30oC. Le rapport de compression est rc =4, T3=850oC ,ηC =0.85= ηT , σ =0.7,et le débit massique �̇�𝒎 = 𝟑𝟑𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒈𝒈/𝒔𝒔. Considérez de l’air standard et calculez:

• La température à la sortie de la turbine de puissance (T libre)• La température à l’entrée de la chambre de combustion.• La température à l’entrée du régénérateur• La température à la sortie du régénérateur• La puissance consommée par le compresseur• La puissance générée par les turbines

32’’

14

4’’ 4

2

2”

22s

3

44s

4”

p01= 8 bar

p02= 32 bar

T01= 30 0C

T03= 850 0C

T02= 195 0C

T04= 568 0C

T04s= 517 0C

p01= p04= 8 bar T01=30 0C, T03=850 0C, rC =4, ηC=0.85, ηT =0.85, LHV=43000kJ/kg ,σ=0.7. γc=1.4 ηm=1,�̇�𝒎=30 kg/s

T01=303 K

h01 = 303 kJ/kg , pr1=1.38

2

1

4rc

r

p rp

= =

pr2=5.52 h02s=445kJ/kg

2”

22s

3

44s

4”

p01= 8 bar

p02= 32 bar

T01= 30 0C

T03= 850 0C

T02= 195 0C

T04= 568 0C

T04s= 517 0C

p01= p04= 8 bar T01=30 0C, T03=850 0C, rC =4, ηC=0.85, ηT =0.85, LHV=43000kJ/kg ,σ=0.7. γc=1.4 ηm=1,�̇�𝒎=30 kg/s

445 303303 470 /0.85

kJ kg−= + =02 01

02 01s

c

h hh h −= +

η

02 468T K→ =

03 31185 / , 180rh kJ kg p→ = =

03 1123T K= →

2”

22s

3

44s

4”

p01= 8 bar

p02= 32 bar

T01= 30 0C

T03= 850 0C

T02= 195 0C

T04= 568 0C

T04s= 517 0C

p01= p04= 8 bar T01=30 0C, T03=850 0C, rC =4, ηC=0.85, ηT =0.85, LHV=43000kJ/kg ,σ=0.7. γc=1.4 ηm=1,�̇�𝒎=30 kg/s

4 3 4/ 1/ 180 / 4 45r r c rp p r p= → = =

4 45rp = →

04 04790 , 811 /→ = =s sT K h kJ kg

04 1185 0.85(1185 811)= − − =h

T K04 841→ =

03h Tη 03h 04sh867.1 /kJ kg

2”

22s

3

44s

4”

p01= 8 bar

p02= 32 bar

T01= 30 0C

T03= 850 0C

T02= 195 0C

T04= 568 0C

T04s= 517 0C

p01= p04= 8 bar T01=30 0C, T03=850 0C, rC =4, ηC=0.85, ηT =0.85, LHV=43000kJ/kg ,σ=0.7. γc=1.4 ηm=1,�̇�𝒎=30 kg/s

02 02

04 02

" 0.7T TT T

σ −= =

− 02 02 04 02" ( )T T T T= + −σ

02 " 468 0.7(841 468)= + − =T

02 " 744 /h kJ kg→ =

02 02 04 04" "h h h h− = −

04 04 02 02" "h h h h= + − 2’’

4’’ 4

2

K729

2”

22s

3

44s

4”

p01= 8 bar

p02= 32 bar

T01= 30 0C

T03= 850 0C

T02= 195 0C

T04= 568 0C

T04s= 517 0C

p01= p04= 8 bar T01=30 0C, T03=850 0C, rC =4, ηC=0.85, ηT =0.85, LHV=43000kJ/kg ,σ=0.7. γc=1.4 ηm=1,�̇�𝒎=30 kg/s

04 " 867 470 744 593 /h kJ kg= + − =

T K04 " 587→ =

02 01( ) 30 (470 303)cW m h h= − = × −

03 04( ) 30 (1185 867)tW m h h= − = × −

kW5010=

kW9540=

04 02 02 "h h h

02 02 04 01" 744 / 470 / 303 /867.1 / h kJ kh kJ kg h kJ kg h kJ k gg→ = = = =

2”

22s

3

44s

4”

p01= 8 bar

p02= 32 bar

T01= 30 0C

T03= 850 0C

T02= 195 0C

T04= 568 0C

T04s= 517 0C

p01= p04= 8 bar T01=30 0C, T03=850 0C, rC =4, ηC=0.85, ηT =0.85, LHV=43000kJ/kg ,σ=0.7. γc=1.4 ηm=1,�̇�𝒎=30 kg/s

9540tW kW=

02 02 04 01" 744 / 470 / 303 /867.1 / h kJ kh kJ kg h kJ kg h kJ k gg→ = = = =

5010cW kW=

( ) / 147.67 /e t cW W W m kJ kg= − =

''03 021185 / 744 /h kJ kg h kJ kg= =

''03 02 441 /q h h kJ kg= − =

147.67 0.33441

eWq

η = = =

2”

22s

3

44s

4”

p01= 8 bar

p02= 32 bar

T01= 30 0C

T03= 850 0C

T02= 195 0C

T04= 568 0C

T04s= 517 0C

p01= p04= 8 bar T01=30 0C, T03=850 0C, rC =4, ηC=0.85, ηT =0.85, LHV=43000kJ/kg ,σ=0.7. γc=1.4 ηm=1,�̇�𝒎=30 kg/s

02 02 04 01" 744 / 470 / 303 /867.1 / h kJ kh kJ kg h kJ kg h kJ k gg→ = = = =

Δ = 4𝛾𝛾−1

𝛾𝛾 = 1.4886

Φ =𝑇𝑇3

𝑇𝑇1=

1137317

= 3.5868

cp = 1.005 ⁄𝑘𝑘𝐽𝐽 𝑘𝑘𝑔𝑔. 𝐾𝐾

We = cpT1Δ − 1

ΔηTΦ −

ΔηC

= 135.67 ⁄𝑘𝑘𝐽𝐽 𝑘𝑘𝑔𝑔. 𝐾𝐾

p01= p04= 8 bar T01=30 0C, T03=850 0C, rC =4, ηC=0.85, ηT =0.85, LHV=43000kJ/kg ,σ=0.7. γc=1.4 ηm=1,�̇�𝒎=30 kg/s

02 02 04 01" 744 / 470 / 303 /867.1 / h kJ kh kJ kg h kJ kg h kJ k gg→ = = = =

Δ = 1.4886 Φ = 3.5868 cp = 1.005 ⁄𝑘𝑘𝐽𝐽 𝑘𝑘𝑔𝑔. 𝐾𝐾

We = 135.67 ⁄𝑘𝑘𝐽𝐽 𝑘𝑘𝑔𝑔. 𝐾𝐾

Q = cpT1 Φ − 1 +Δ − 1

ηC+ σ Φ 1 − ηT

Δ − 1Δ

− 1 +Δ − 1

ηC

Q = 415.46𝑘𝑘𝐽𝐽/𝑘𝑘𝑔𝑔

135.67 0.326415.46

eWq

η = = =

Dans les années 80, les unités de turbines à gaz atteignaient despuissances d’environ 120 MW avec une température à l’entréedes turbines aux alentours de 1400 K et un rapport decompression 12:1-14:1. Le rendement se situait près de 32 %avec un travail spécifique dans le voisinage de 280 kJ/kg.

Les turbines développées dans la seconde la moitié des années90, ont frappé le seuil les 250 MW avec une température àl’entrée de la turbine proche de 1600 K et un rapport decompression 16:1-30:1 Le rendement augmentait à 38 %, tandisque le travail spécifique arrivait à 360 kJ/kg.

Les turbines à gaz des années 2000 opèrent avec destempératures aux alentour de 1700-1800 K, produisent un travailspécifique d’environ 450 kJ/kg et le rendement se situe près de40%.

Alstom GT26�̇�𝑊=326 MW, n=3000 rpm,�̇�𝑚=692 kg/s ,η=40.3%

À venir:Les turbines hydrauliques.