Dal problema di Waring per numeri naturali a quello per ...frusso/DMI/Home_files/Seminario Studenti...

$: Dal problema di Waring per numeri naturali a quello per ...frusso/DMI/Home_files/Seminario Studenti 22_3... · (Algebrica) e Teoria dei Numeri Francesco Russo DMI{UNICT 22 marzo 2017$
Dal problema di Waring per numeri naturali aquello per polinomi omogenei in piu variabili:

una passeggiata tra Algebra, Geometria(Algebrica) e Teoria dei Numeri

Francesco Russo

DMI–UNICT22 marzo 2017

Francesco Russo Problema di Waring per interi e polinomi omogenei

Numeri irrazionali e geometria elementare

N = {1, 2, . . .};

R \Q = {α ∈ R, α 6∈ Q} numeri irrazionali

p ∈ N numero primo ⇒ √p ∈ R irrazionale;

π e un numero trascendente, i.e. non e radice di nessunpolinomio p(t) con coefficienti in Z (= numeri algebrici);√

p e radice del polinomio t2 − p con coefficienti in Z;

trascendente ⇒ irrazionale.


Ultimo Teorema di Fermat, Andrew Wiles 1993/1994


Passaggio ai numeri razionali

se esistessero a, b, c ∈ N : an + bn = cn ⇐⇒

(a

c

)n+

(b

c

)n

= 1⇐⇒

P = ( ac ,bc ) con entrambe le coordinate razionali non nulle

apparterrebbe alla curva di Fermat di equazione xn + yn = 1.

Pertanto l’ Ultimo Teorema di Fermat e conseguenza di:

Teorema (Ultimo Teorema di Fermat 1630, Wiles 1993/94)

Per ogni n ≥ 3 la curva di equazione xn + yn = 1 non ha punti conentrambe le coordinate razionali non nulle.


Intuizione e punti con entrambe le coordinate razionali

Figure : 1

Figure : 2

1 x4 + y4 = 1 e x5 + y5 = 1(nessun tale punto conx · y 6= 0, FERMAT)

2 x2 + y2 = 3 (NESSUNPUNTO CON ENTRAMBELE COORDINATE IN Q!)

3 x2 + y2 = 5 (∞ PUNTICON ENTRAMBE LECOORDINATE IN Q!)

Figure : 3


Esercizio Corso di Geometria 2

Esercizio (Corso di Geometria 2, ultimo esercizio, ultima lista)

Per ogni n ≥ 3 NON esistono p(t), q(t), r(t) polinomi non nullicon coefficienti in Q (e nemmeno in R e nemmeno in C!) tali che(

p(t)

r(t)

)n

+

(q(t)

r(t)

)n

= 1.

Se esistessero tali polinomi, allora sostituendo t = αβ con α, β ∈ Z

e razionalizzando l’ espressione avremmo (infinite) soluzionirazionali (e quindi anche intere) non nulle dell’ equazione diFermat.


Soluzioni con coordinate razionali non nulle di x2 + y 2 = 1

{x2 + y2 = 1

y = t(x + 1) [rette per il punto (−1, 0)]

x2 +2t2

t2 + 1x +

t2 − 1

t2 + 1= 0

⇒ (x = −1 e)x =1− t2

t2 + 1⇒ (y = 0 e)y = t(x + 1) =

2t

t2 + 1.


Siano p(t) = 1− t2, q(t) = 2t, r(t) = t2 + 1 polinomi in t concoefficienti in Z.

Allora (p(t)

r(t)

)2

+

(q(t)

r(t)

)2

= 1.

Sostituendo

t =β

α∈ Q, α, β ∈ Z

e razionalizzando otteniamo le coordinate di TUTTI i punti sulcerchio unitario con entrambe le coordinate razionali

P = (α2 − β2

α2 + β2,

2αβ

α2 + β2).

(P = (a, b) con a, b ∈ Q e a 6= −1⇒ t = yx+1 = b

a+1 ∈ Q)


Terne pitagoriche

(a, b, c) con a, b, c ∈ N si dice terna pitagorica se

a2 + b2 = c2


Formula per le terne pitagoriche

Siano α, β ∈ N con α > β, allora ABBIAMO APPENADIMOSTRATO che

(α2 − β2, 2αβ, α2 + β2)

sono TUTTE le terne pitagoriche.

Infatti, se a, b, c ∈ N, c 6= 0 sono tali che

a2 + b2 = c2 ⇐⇒(a

c

)2+

(b

c

)2

= 1⇐⇒

P = ( ac ,bc ) appartiene al cerchio unitario x2 + y2 = 1.


Intuizione e punti con entrambe le coordinate razionali

Figure : 1

Figure : 2

1 x4 + y4 = 1 e x5 + y5 = 1(nessun tale punto conx · y 6= 0, FERMAT)

2 x2 + y2 = 3 (NESSUNPUNTO CON ENTRAMBELE COORDINATE IN Q!)

3 x2 + y2 = 5 (∞ PUNTICON ENTRAMBE LECOORDINATE IN Q!)

Figure : 3


Numeri primi e fattorizzazione in Z[i ]

Se a + ib ∈ Z[i ], sia N(a + ib) = a2 + b2 la norma di a + ib.

Teorema (Fermat 1630, Gauss 1798; Corso di Algebra, primo anno)

Sia p ≥ 2 un numero primo. Sono condizioni equivalenti:

(I) p = 2 oppure p = 4r + 1 per qualche r ∈ N;

(II) [−1] = [p − 1] e un quadrato in Zp, i.e. [−1] = [x ]2 haalmeno una soluzione.

(III) p non e un elemento primo in Z[i ];

(IV) p = a2 + b2 con a, b ∈ N;

(V) p = a2 + b2 con a, b ∈ Q.


Circonferenze x2 + y 2 = p, p ≥ 2 numero primo

Corollario

Sono condizioni equivalenti:

(I) p = 2 oppure p = 4r + 1 per qualche r ∈ N (e.g.p = 5, 13, 17, . . .);

(II) Su x2 + y2 = p esiste un punto con entrambe le coordinaterazionali;

(III) Su x2 + y2 = p esistono infiniti punti con entrambe lecoordinate razionali.


Somma di 2 quadrati

Teorema dei due quadrati, Fermat 1640

Sia2 ≤ n = pm1

1 · · · pmrr

fattorizzazione di n ∈ N in primi distinti p1, . . . , pr , r ≥ 1. Sonocondizioni equivalenti:

(I) n = a2 + b2 con a, b ∈ N ∪ 0;

(II) Se pi = 4ri + 3 per qualche ri ∈ N, allora mi = 2si e pari.

Mostriamo che (II )⇒ (I ): A meno di riordinare i primi

n = m2 · p1 · · · ps con pi ≡ 1 (mod. 4).

Allora pi = a2i + b2i = N(ai + ibi ) e se a + ib =

∏si=1(ai + ibi )

n = m2N(a1 + ib1) · · ·N(as + ibs) = m2N(a + ib) =

= m2(a2 + b2) = (ma)2 + (mb)2.


Somma di 2 quadrati

Teorema dei due quadrati, Fermat 1640

Sia2 ≤ n = pm1

1 · · · pmrr

fattorizzazione di n ∈ N in primi distinti p1, . . . , pr , r ≥ 1. Sonocondizioni equivalenti:

(I) n = a2 + b2 con a, b ∈ N ∪ 0;

(II) Se pi = 4ri + 3 per qualche ri ∈ N, allora mi = 2si e pari.

Mostriamo che (I )⇒ (II ) per induzione su n. Se n = 2, e’ vero.

a2 + b2 = n e sia p ≡ 3 (mod. 4) con p/n.

Allora p e primo in Z[i ] e

p/a2 + b2 = (a + ib)(a− ib)⇒ p/a e p/b

n = p2(c2 + d2) con c2 + d2 = m < n.


Somma di tre quadrati

Teorema dei tre quadrati, Legendre 1797

Dato n ∈ N esistono a, b, c ∈ N ∪ 0 tali che

n = a2 + b2 + c2

se e solamente se

n 6= 4m(8r + 7), m, r ∈ N ∪ 0.

Osserviamo che 7 e il minor intero per cui occorrono effettivamente4 quadrati.


Somma di 4 quadrati

Precedentemente Lagrange ha dimostrato il seguente risultato:

Teorema dei 4 quadrati, Lagrange 1770

Dato n ∈ N esistono a, b, c , d ∈ N ∪ 0 tali che

n = a2 + b2 + c2 + d2.

E sufficiente provarlo per n che non possiedano quadrati nella lorofattorizzazione, i.e.

n = p1 · · · pr con pi primi distinti.

Infatti sen′ = m2 · n = m2 · (p1 · · · pr ) =

= m2(a2 + b2 + c2 + d2) = (ma)2 + (mb)2 + (mc)2 + (md)2.


n = p1 · · · pr con pi primi distinti

Lemma, Somma di due quadrati modulo p

Sia p ≥ 2 un primo. Allora ogni [r ] ∈ Zp e somma di due quadratiin Zp, i.e. esistono [a], [b] ∈ Zp tali che [r ] = [a]2 + [b]2. Inparticolare [x ]2 + [y ]2 = [−1] ha soluzioni.

Sia p ≥ 3. Sia S1 = {[x ]2, [x ] ∈ Zp} e S2 = {[r ]− [y ]2, [y ] ∈ Zp}.

[x ]2 = [z ]2 ⇒ [x ] = ±[z ]⇒ #(S1) = 1 +p − 1

2=

p + 1

2.

Analogamente #(S2) =p + 1

2⇒ S1 ∩ S2 6= ∅

⇒ ∃ [x ], [y ] ∈ Zp : [x ]2 = [r ]− [y ]2 ⇒ [r ] = [x ]2 + [y ]2.



Corollario, Somma di due quadrati modulo n

Sia n = p1 · · · pr con pi primi distinti. Allora ogni [s] ∈ Zn esomma di due quadrati in Zn, i.e. esistono [a], [b] ∈ Zn tali che[s] = [a]2 + [b]2.

Per il Teorema Cinese del Resto:

Zn ' Zp1 × · · · × Zpr .

Allora il Corollario segue dal Lemma: se [s]pi = [ai ]2pi

+ [bi ]2pi

, siano

[a] = ([a1]p1 , . . . , [ar ]pr ) e [b] = ([b1]p1 , . . . , [br ]pr )

[a]2 + [b]2 = ([a1]2p1 + [b1]2p1 , . . . , [ar ]2pr + [br ]2pr ) =

= ([s]p1 , . . . , [s]pr ) = [s].


Matrici quadrate complesse e matrici hermitiane

Data A = [ai ,j ] ∈ Cn,n, definiamo A∗ = [aj ,i ] = (At) = (A)t ∈ Cn,n.

Se A =

(α βγ δ

)∈ C2,2, allora A∗ =

(α γ

β δ

)Alcune proprieta immediate analoghe a quelle della trasposizione dimatrici reali:

(A∗)∗ = A, (A · B)∗ = B∗ · A∗, (A−1)∗ = (A∗)−1.

A ∈ Cn,n si dice hermitiana se A = A∗; A = A∗ ⇒ ai ,i ∈ R

A = A∗, C ∈ Cn,n ⇒ C · A · C ∗ hermitiana.



Dato n = p1 · · · pr > 0 con pi primi distinti, per il Corollarioprecedente esistono a, b,m ∈ N ∪ 0 tali che:

−1 + n ·m = a2 + b2 ⇒ n ·m − (a + ib)(a− ib) = 1.

Possiamo costruire la matrice

A =

(n a + ib

a− ib m

)= A∗ ∈ Z[i ]2,2 ⊂ C2,2 con det(A) = 1.

D =

(d1,1 d1,2

d2,1 d2,2

)∈ Z[i ]2,2, D = D∗ ⇒ d1,1, d2,2 ∈ Z.


Identita 4 quadrati per n = p1 · · · pr , pi primi distinti

Teorema, Newman 1972

Sia n = p1 · · · pr > 0 con pi primi distinti e sia

A =

(n a + ib

a− ib m

)= A∗ ∈ Z[i ]2,2 con det(A) = 1.

Allora esiste B ∈ Z[i ]2,2 con det(B) = 1 tale che A = B · B∗.

Corollario, Somma 4 quadrati, Lagrange 1770

Ogni intero n > 0 e somma di 4 quadrati.

Possiamo supporre n = p1 · · · pr con pi primi distinti;

A =

(n a + ib

a− ib m

)=

(x + iy w + iz♠ ♣

)·(

x − iy ♠w − iz ♣

)⇒ n = x2 + y2 + w2 + z2 con x , y ,w , z ∈ Z.


Teorema di Newman versus Teorema di Sylvester

A =

(n a + ib

a− ib m

)= A∗,

n > 0 e det(A) = 1⇒ A matrice hermitiana definita positiva.

per il Criterio dei Minori Principali.Quindi esiste B ∈ C2,2 tale che

A = B · B∗.

Il punto cruciale nel Teorema di Newman e di poter prendereB ∈ Z[i ]2,2........


Dimostrazione Teorema di Newman

Procederemo per induzione su N(a + ib) = a2 + b2 ∈ N ∪ 0, doven > 0 e

A =

(n a + ib

a− ib m

)= A∗.

Se N(a + ib) = 0, essendo n > 0 e det(A) = 1 abbiamo A = I2×2 epossiamo prendere B = I2×2. Sia allora N(a + ib) = a2 + b2 > 0.


Scelta di C ∈ Z[i ]2,2

Possiamo quindi supporre N(a + ib) = a2 + b2 > 0, m > 0 e anche0 < n ≤ m, il rimanente caso 0 < m ≤ n essendo analogo.

Se C =

(1 0

x − iy 1

)∈ Z[i ]2,2 ⇒ C ·A·C ∗ = A′ =

(n a′ + ib′

a′ − ib′ m′

)con a′ = nx + a, b′ = ny + b, A′ = (A′)∗ e det(A′) = 1.

E ora facile scegliere x , y ∈ Z tali che (a′)2 + (b′)2 < a2 + b2.Vediamo come:



Sia a′ = nx + a, b′ = ny + b con o < n ≤ m e n ·m = a2 + b2 + 1.

1 Se a > n2 , prendiamo x = −1 e y = 0, Allora

(a′)2 = (a− n)2 < a2 e b′ = b e (a′)2 + (b′)2 < a+b2.

2 Se a < −n2 , prendiamo x = 1 e y = 0;

3 Se b > n2 , prendiamo x = 0 e y = −1;

4 Se b < −n2 , prendiamo x = 0 e y = 1.

5 |a| ≤ n2 e |b| ≤ n

2 e impossibile: se n = 1, e ovvio. Se n > 1,avremmo

n2 ≤ n ·m = a2 + b2 + 1 ≤ (n

2)2 + (

n

2)2 + 1 =

n2

2+ 1 < n2.

Questa contraddizione mostra che esiste A′ con(a′)2 + (b′)2 < a2 + b2.



Ipotesi di induzione:

⇒ A′ = B ′ · (B ′)∗ ⇒ B ′ · (B ′)∗ = C · A · C ∗

⇒ A = (C−1 · B ′) · (C−1 · B ′)∗.

Se

B = (C−1·B ′) ∈ Z[i ]2,2 ⇒ det(B) = (det(C ))−1·det(B ′) = 1·1 = 1.


Problema di Waring per interi

Problema di Waring, 1770

Dato k ∈ N esiste g(k) ∈ N tale che PER OGNI n ∈ N esistonox1, . . . , xg(k) ∈ N ∪ 0 tali che

n = xk1 + . . .+ xk

g(k)?

Equivalentemente, ogni intero positivo e al piu somma di g(k)potenze k-esime di interi positivi o nulli?

Ovviamente g(1) = 1. Il Teorema dei 4 quadrati dice g(2) = 4.

SENZA DETERMINARE g(k) Hilbert ha dimostrato:

Teorema, Hilbert 1909

Per ogni k ∈ N ESISTE g(k).


Stima di J.A. Euler, figlio di Leonard Euler

Se x ∈ R indichiamo con [x ] ∈ Z la parte intera di x nella suaespressione decimale, i.e. [x ] = bxc ≤ x < [x ] + 1 = dxe.

Teorema, J. A. Euler 1770

Per ogni k ∈ Ng(k) ≥ 2k + [(

3

2)k ]− 2.

Sia q ∈ N tale che

3k = q · 2k + r , 0 ≤ r < 2k , i.e.

q = [(3

2)k ]. Sia m = xk

1 + . . .+ xkr .

Se m = q · 2k − 1 < q · 2k ≤ 3k ⇒ xki ∈ {1k , 2k}.

m = (q−1)·2k+(2k−1)·1k ⇒ g(k) ≥ q−1+2k−1 = 2k+[(3

2)k ]−2.


alcuni valori di g(k) e di m

k q = [(32)k ] m = (q − 1) · 2k + (2k − 1) · 1k g(k)

2 2 7 = 22 + 3 · 12 4

3 3 23 = 2 · 23 + 7 · 13 9

4 5 79 = 4 · 24 + 15 · 14 19

5 7 223 = 6 · 25 + 31 · 15 37

Teorema, vari autori 1910–1994

Eccetto un numero FINITO di k > 471.600.000 abbiamo

g(k) = 2k + [(3

2)k ]− 2.

Si congettura che g(k) = 2k + [(32)k ]− 2 per ogni k ≥ 1.


Somma di 9 cubi

Come ultimi misteri di questo brevissimo viaggio tra i numeri interienunciamo alcuni intriganti risultati e congetture per k = 3.

Teorema, Wieferich 1909

g(3) = 9, i. e.

ogni intero e somma di al piu 9 cubi.

Abbiamo visto sopra che 23 necessita proprio di 9 potenze cubiche.

Teorema, Landau (1911), Baer (1913), Dickson (1939)

Ogni intero positivo diverso da 23 e 239 e somma di al piu 8 cubi


Congetture di Jacobi, 1851

Congetture, Jacobi 1851

1 Ogni intero positivo diverso da

15, 22, 23, 50, 114, 167, 175, 186, 212,

231, 238, 239, 303, 364, 420, 428, 454

e somma di 7 cubi.

2 Ogni intero positivo diverso da

7, 14, 15, ..., 5818, 8042 (138 eccezioni)

e somma di 6 cubi

3 Ogni intero sufficientemente grande e somma di 5 cubi.


Definizione di G (k)

Intero G (k)

Dato k ∈ N definiamo G (k) ∈ N come il minor intero tale chePER OGNI n ∈ N SUFFICIENTEMENTE GRANDE esistonox1, . . . , xG(k) ∈ N ∪ 0 tali che

n = xk1 + . . .+ xk

G(k)

Equivalentemente, ogni intero positivo SUFFICIENTEMENTEGRANDE e al piu somma di G (k) potenze k-esime di interipositivi o nulli

Ovviamente G (k) ≤ g(k).Gauss: ogni intero n ≡ 7 (mod. 8) e somma di 4 quadrati, i.e.G (2) = 4 = g(2).Jacobi ha congetturato: G (3) = 5. E noto cheG (3) ≤ 7 < 9 = g(3).


G (4)

Teorema, Davenport 1939

G (4) = 16 < 19 = g(4).

La determinazione di G (k) per k > 4 e un attivissimo filone diricerca ma pochi risultati precisi sono noti. Negli ultimi anni l’utilizzo di moderni e potentissimi calcolatori ha permesso diottenere notevoli progressi in questo campo.


Problema di Waring per polinomi omogenei in piu variabili

Sia C[x0, . . . , xn] l’ anello dei polinomi con coefficienti complessinelle variabili x0, . . . , xn, n ≥ 1.

C[x0, . . . , xn]d = {f ∈ C[x0, . . . , xn] omegeneo di grado d ≥ 1}.

f ∈ C[x0, . . . , xn]d si dice forma omogenea di grado d .

Se d = 1, diremo forma lineare; se d = 2, forma quadratica, etc,etc.




Siano n ≥ 1 e d ≥ 1. Definiamo W (n + 1, d) ∈ N come il minorintero positivo tale che per f ∈ C[x0, . . . , xn]d GENERALEesistono L1, . . . , LW (n+1,d) ∈ C[x0, . . . , xn]1, λ ∈ C∗ = C \ 0λ1, . . . λW (n+1,d) ∈ C tali che

λ · f = λ1Ld1 + . . .+ λW (n+1,d)L

dW (n+1,d) =

= (√λ1L1)d + . . .+ (

√λW (n+1,d)LW (n+1,d))

d .

Equivalentemente, un polinomio omogeneo GENERALE di gradod si puo esprimere come somma di W (n + 1, d) potenze d − esimedi forme lineari

Dividendo per λ e prendendo la radice quadrata la condizioneprecedente si puo scrivere come

f = Ld1 + . . .+ Ld

W (n+1,d).


Teorema di Sylvester implica W (n + 1, 2) = n + 1

C[x0, . . . , xn]2 3 f (x0, . . . , xn) =(x0 · · · xn

)·A ·

x0...

xn

, A = At .

Esiste C ∈ Cn+1,n+1 invertibile tale che

f (C−1x) = xt · (C t · A · C )x = x20 + · · ·+ x2

r

con r + 1 = rk(A).

⇒ f (x) = L20 + . . .+ L2

r con Li ∈ C[x0, . . . , xn]1

GENERALE={rango(A) = n + 1} ⇒W (n + 1, 2) = n + 1.


Stima alla J.A. Euler per polinomi omogenei

Siano Pn = P(C[x0, . . . , xn]1) e Pn(d) = P(C[x0, . . . , xn]d).

n(d) = dimC(C[x0, . . . , xn]d)− 1 =

(n + d

n

)− 1.

νn,d : Pn → Pn(d); νn,d([L]) = [Ld ],

i.e. una forma lineare viene inviata nella sua potenza d-esima.

I punti p = [Ld ] ∈ Pn(d) hanno dimensione n = dim(Pn).


Stima alla J.A. Euler per polinomi omogenei

I punti che stanno su 〈[Ld1 ], . . . , [Ld

r ]〉 = Pr−1 variando tutti gli [Ldi ]

possibili avranno dimensione:

dim(r punti su νn,d(Pn))+dim(Pr−1) = r ·n+r−1 = r ·(n+1)−1.

Per poter riempire Pn(d) dovremo avere

r(n + 1)− 1 ≥ n(d) =

(n + d

n

)− 1, i.e. r(n + 1) ≥

(n + d

n

)

⇒ r ≥(n+d

n

)n + 1

⇒ r ≥

⌈(n+dn

)n + 1

⌉.

Questo suggerisce di congetturare:

W (n + 1, d) =

⌈(n+dn

)n + 1

⌉.


Teorema di Sylvester per n = 1

Teorema, Sylvester 1851

Se n = 1, allora

W (n + 1, d) = W (2, d) =

⌈(1+d1

)1 + 1

⌉=

⌈d + 1

2

⌉.

Per n ≥ 2, abbiamo

W (n + 1, 2) = n + 1 >

⌈(n+2n

)n + 1

⌉=

⌈n + 2

2

⌉.

Quindi per n ≥ 2 ci possiamo aspettare delle eccezioni al valorestimato: ⌈(n+d

n

)n + 1

⌉.


Teorema di Alexander-Hirschowitz

Teorema, Alexander–Hirschowitz 1995

Se n ≥ 2, abbiamo

W (n + 1, d) =

⌈(n+dn

)n + 1

⌉

eccetto per i seguenti casi:

1 n ≥ 2, d = 2, W (n + 1, d) = n + 1 >⌈n+22

⌉(= valore

stimato);

2 n = 2, d = 4, W (3, 4) = 6 > 5(= valore stimato);



5 n = 4, d = 4, W (5, 4) = 15 > 14(= valore stimato).


Dal problema di Waring per numeri naturali a quello per ...frusso/DMI/Home_files/Seminario Studenti...

Documents

Transcript of Dal problema di Waring per numeri naturali a quello per ...frusso/DMI/Home_files/Seminario Studenti...