Dagilimlar
-
Upload
kutlu-merih -
Category
Data & Analytics
-
view
154 -
download
2
Transcript of Dagilimlar
A- NORMAL DAĞILIMB- LOG-NORMAL DAĞILIM
C- LEVY STABLE DAĞILIMLAR * CAUCHY DAĞILIMI * WEIBULL DAĞILIMI
* RAYLEIGH DAĞILIMI (öneri)
Doc. Dr. Kutlu MERIH
http://socr.ucla.edu/htmls/SOCR_Distributions.html
FİNANS MATEMATİĞİNİN TEMEL DAĞILIM KANUNLARI
22
2)(exp
2
1)(
ux
xf
Normal Dağılım Fonksiyonu
Bu dağılım fonksiyonu, Brown hareketlerini ve finansal aktif değerlerinin değişimini modelleyen Wiener süreçlerinin ve buna dayanan Black-Scholes Modelinin temel matematik yapısını oluşturuyor. Bu dağılım “ayrıca” matematik istatistikte diğer dağılımların da deney sayıları çoğaldığında ulaştığı bir Merkez Limit rolünü üstleniyor.
Normal DağılımParameters μ location (real) σ2 > 0 squared scale
(real)
Probability density function (pdf)
Cumulative distribution function (cdf)
Mean μ
Median μ
Mode μ
Variance σ2
Skewness 0
Excess kurtosis 0
Entropy
Moment-generating function (mgf)
Characteristic function
Normal Probabilite Yoğunluk Fonksiyonu
Normal Kumulatif Dağılım Fonksiyonu
Normal Dağılımın Finansal Değişkenler İle İlişkisi
1900 lerde Louis Bachelier senetlerin fiyat değişiminin normal dağılıma sahip olduğunu göstermişti.
Bu yaklaşım şimdi biraz daha modifiye edildi. Ekonomik değişkenlerin genellikle additif değil multiplikatif özellikler gösterdiği anlaşıldı.
Buna göre ekonomik değişkenler genellikle normal değil fakat lognormal değişimler gösterirler.
Yani değerlerine karşılık getirileri genellikle lognormal dağılır.
log-normal dağılım sağ yarım eksende pozitif değerler için, logaritmaları normal dağılan rasgele değişkenlerin matematik formudur.Şayet Y normal dağılıma sahip bir rasgele değişken ise;X = exp(Y) log-normal dağılıma sahiptir. Benzer olarak X log-normal dağılıma sahip ise, log(X) normal dağılır. Burada logaritma tabanının seçimi farketmez. Herhangi pozitif a, b ≠ 1 için, şayet loga(X) normal dağılıyor ise, logb(X) de normal dağılır.Bir değişken şayet bir çok ufak bağımsız faktörün çarpımından oluşuyor ise, bu değişken log-normal dağılacaktır. Örneğin bir stok yatırımının uzun dönem getirisi aslında günlük getirilerinin çarpımı gibi düşünülebilir ve böylece log-normal dağılacaktır.
Log-normal Dağılım
22
2)(lnexp
2
1);(
x
xxf
Log-Normal Probabilite Yoğunluk Fonksiyonu
Log-normal kumülatif dağılım fonksiyonu
Parameters σ > 0
Support
Probability density function (pdf)
Cumulative distribution function (cdf)
Mean
Median
Mode
Variance
Skewness
Excess kurtosis
Entropy
Log-normal Finansal Analizde Yaygın Kullanılır Fakat Levy-Stable Fraktal Dağılımlar Önem Kazanıyor
Verilerin log-normal dağıldığı finans alanında ve özellikle aktif-fiyatlamada en çok kullanılan hipotezdir.
Yine de bu modelde düzeltmeler yapılması gereği kaos kuramcıları ve özellikle Fraktallerin yaratıcısı Benoit MANDELBROT tarafından önerilmiştir.
Mandelbrot, pamuk fiyatları üzerinde yaptığı çalışmada, kısa zaman süreleri (örneğin bir gün) için logaritmalardaki değişimlerin sonlu bir varyansı olmayan ve dolayısı ile merkezi limit teoreminin uygulanamayacağı tipten dağılımlara uyduğunu ortaya koydu.
Bu dağılımlar daha ziyade Log-Levy tipinde Stable olarak adlandırılan dağılımlar gerektiriyordu. (Paul H. LEVY, Mandelbrot’un hocası idi)
Bu tür dağılımların uygulandığı analizlere FRAKTAL FİNANS diyeceğiz ve farklı bir sunumun konusu olacak.
Stable-dağılımlar ve Tombul KuyruklarıStable dağılımlar önemlerini iki özelliklerine boçludurlar.Bu dağılımlar ikinci ve (veya birinci) momentleri olmayan rasgele değişkenler için de Merkez Limit Teoreminin genelleştirilmesine olanak sağlarlar ve stable aile dağılımları kendine-benzerlik (self-similarity) veya sonzuz-bölünebilme (infinit-divizibility) özelliği gösterirler. Diğer bir deyişle stable dağılan değişkenlerin lineer kombinezonları da stable dağılır.
Levy Skew Alpha-Stable Dağılım
μ bir shift parametresidir, β bir asimetri ölçüsü, β=0 ile dağılım μ etrafında simetrik olur. c dağılımın genişliğini belirleyen bir skala faktörü ve α dağılıma özgü bir exponent veya endex olup dağılımın α < 2 için asimptotik davranışını belirler. α = 1 için dağılım CAUCHY ve α = 2 için dağılım NORMAL formunu alır.Stable dağılımların farklı parametrik türleri de vardır fakat bu en genel olanıdır.
1||log)/2(
1)2/tan(
)])sgn(1(||exp[)(
2/1(,;(
t
tictitt
dtitxetcxf
Stable Dağılımlar ve Fraktal FinansBenoît Mandelbrot stable dağılımların bu kendine-
benzerlik özelliklerinden yararlanarak Fraktal-Finans ve Fractional Brown Hareketi modelini geliştirdi. Pamuk fiyatlarının α için 1.7 değeri ile stable dağıldığını gösterdi.
Levy skew alpha-stable dağılımlar kritik davranış ve finansal süreç olaylarında yaygın olarak gözlenir.
Bütün stable dağılımlar sonsuz olarak bölünebilirler.Normal dağılım α=2, değeri ile bu kurala uymaz.Stable dağılımlar Tombul-Kuyruklu (Heavy-tailed) olarak
adlandırılır.
Levy-stable Yoğunluk Fonksiyonları (α için)
Levy-stable Yoğunluk Fonksiyonları (β için)
Levy-stable dağılım fonksiyonları (α için)
Levy-stable dağılım fonksiyonları (β için)
Parameters exponent (real)
skewness (real)
scale (real)
location (real)
Support (real)
Probability density function (pdf)
usually not analytically expressible (see text)
Cumulative distribution function (cdf)
usually not analytically expressible (see text)
Mean undefined when α≤1, otherwise μ
Median usually not analytically expressible (see text). Equal to μ when β=0
Mode usually not analytically expressible. Equal to μ when β=0
Variance infinite except when α=2, when it is 2c2
Skewness undefined except when α=2, when it is 0
Excess kurtosis undefined except when α=2, when it is 0
Entropy not analytically expressible (see text)
Moment-generating function (mgf)
undefined
Characteristic function
for for
Burada x0 dağılımın tepe noktasını belirleyen bir lokasyon parametresidir.
Normal dağılım gibi dağılımın beklenen değerine eşit değildir. Çünkü beklenen değer sonsuz.γ dağılımın skala parametresidir ve yaygınlığı belirler.x0 = 0 ve γ = 1 durumuna standart Cauchy dağılım denir ve yoğunluk
fonksiyonu aşağıdaki gibidir;
Cauchy Dağılımı
22)(
1
21
1),;(
00
0
xxxx
xxf
)]2/[1)1,0;( xxf
Cauchy Probabilite Yoğunluk Fonksiyonları
Cauchy dağılım fonksiyonları
Parameters location (real)
scale (real)
Support
Probability density function (pdf)
Cumulative distribution function (cdf)
Mean not defined
Median x0
Mode x0
Variance not defined
Skewness not defined
Excess kurtosis not defined
Entropy
Moment-generating function (mgf)
not defined
Characteristic function
Cauchy Standart-Normal Akrabalığı İki bağımsız standart Normal N(0,1) X,Y değişkeninin X/Y veya Y/X oranı
bir standart Cauchy değişkeni, Cauchy(0,1) dir. Buna göre Cauchy dağılımı aslında bir oran dağılımıdır ve bu nedenle stok
değerlerinin değişim yüzdelerinin modellenmesinde uygun bir model yaratır.
Standard Cauchy(0,1) dağılımı ise yine istatistikte yaygın kullanılan ve tabloları olan Student's t dağılımının 1 serbestlik dereceli versiyonudur.
Bu özellik te Cauchy dağılımını finansal serilerin analizinde önmeli bir model haline getirir.
Lévy skew alpha-stable dağılımlar ile akrabalık ise;
Olarak verilebiliyorsa; X değişkeni Cauchy(μ,γ) olarak dağılır. Bu da Cauchy dağılının FRAKTAL FİNANS çalışmaları için önemli bir
model yapar.
,0,1(~ SSLevyX
Weibull Dağılımı
Burada k > 0 biçim parametresi ve λ > 0 ölçek parametresidir.
Weibull dağılımı esnek yapısı nedeniyle ömür verilerinin (arıza-bakım) analizinde kullanılır. Ayrıca başata üstel dağılım olmak üzere diğer dağılımları da oldukça taklit edebilir.
Şayet arıza oranı zaman içinde azalırsa, k < 1 Şayet arıza oranı zaman içinde sabitse, k = 1 Şayet arıza oranı zaman içinde sabitse, k > 1
Olacaktır.. k=3.4 değerini aldığında Weibull dağılımı Normal dağılıma benzer hale
gelir. k=1 için ise Weibull dağılımı üstel dağılım haline dönüşür.
0),;(için 0 x için ve 0 x
/(1//(),;(
kxf
kxekxkkxf
Weibull Probabilite Yoğunluk Fonksiyonu
Weibull dağılım fonksiyonları
Parameters scale (real) shape (real)
Support
Probability density function (pdf)
Cumulative distribution function (cdf)
Mean
Median
Mode if k > 1
Variance
Skewness
Excess kurtosis (see text)
Entropy
Moment-generating function (mgf)
Characteristic function
Rayleigh Dağılımı
Rayleigh dağılımı iki boyutlu bir vektörün (0 orijinli) boyutlarının N(0, σ2) normal dağıldığı bir durumu yansıtır. Bu boyutların ayrıca bağımsız olması ve aynı σσ22 varyansa sahip olmaları gerekir.
Bu halde vektörün büyüklüğü (örn: rüzgar hızı, stok fiyat değişimi) bir Rayleigh dağılıma sahip olacaktır.
Dağılım bir çok popüler dağılıma akrabadır ve bunların bir özel hali gibidir. Tek parametreli olup beklenen değeri varyansı
Şeklindedir. Buna göre sadece volatilitesi bilinen fiyat değişimleri için iyi bir modeldir.
NOT: Dağılımın varyansının σ2 olmadığına dikkat edilmelidir. σ2 boyut bileşenlerin varyansından gelmektedir ve hesaplanması da kolaydır.
2
22
4
,02
))22/2exp()|( x
xxxf
Rayleigh Probabilite Yoğunluk Fonksiyonu
Rayleigh Dağılım Fonksiyonları
Support
Probability density function (pdf)
Cumulative distribution function (cdf)
Mean
Median
Mode
Variance
Skewness
Excess kurtosis
Entropy
Moment-generating function (mgf)
Characteristic function
Rayleigh ile İlgili Dağılımlar Şayet X~N(0, σ2) ve Y~N(0, σ2) iki bağımsız standart normal değişken ise ve
R=(X2+Y2)1/2 ise R~Rayleigh(σ ) dağılımıdır. Dağılımdaki sigma parametresinin kaynağı budur.
Rayleigh dağılımı 2-boyutlu uzayda normal bir vektörün büyüklüğü ile ilgilidir.
R~Rayleigh(1) ise, R2 iki serbestlik derecesi ile chi-kare dağılıma sahiptir. Şayet X , X~exponential(x/lamda) şeklinde üstel dağılıyorsa;
Şayet R~Rayleigh(σ ) ise; parametreleri N ve 2σ2 olan bir gamma dağılımıdır
Chi-Kare dağılımı Rayleigh dağılımının genelleştirilmişidir. Weibull dağılımı Rayleigh dağılımının genelleştirilmişidir.
/(~2( yRayleighXY