Dagilimlar

33
A- NORMAL DAĞILIM B- LOG-NORMAL DAĞILIM C- LEVY STABLE DAĞILIMLAR * CAUCHY DAĞILIMI * WEIBULL DAĞILIMI * RAYLEIGH DAĞILIMI (öneri) Doc. Dr. Kutlu MERIH http://socr.ucla.edu/htmls/SOCR_Distributions.html FİNANS MATEMATİĞİNİN TEMEL DAĞILIM KANUNLARI

Transcript of Dagilimlar

Page 1: Dagilimlar

A- NORMAL DAĞILIMB- LOG-NORMAL DAĞILIM

C- LEVY STABLE DAĞILIMLAR * CAUCHY DAĞILIMI * WEIBULL DAĞILIMI

* RAYLEIGH DAĞILIMI (öneri)

Doc. Dr. Kutlu MERIH

http://socr.ucla.edu/htmls/SOCR_Distributions.html

FİNANS MATEMATİĞİNİN TEMEL DAĞILIM KANUNLARI

Page 2: Dagilimlar

22

2)(exp

2

1)(

ux

xf

Normal Dağılım Fonksiyonu

Bu dağılım fonksiyonu, Brown hareketlerini ve finansal aktif değerlerinin değişimini modelleyen Wiener süreçlerinin ve buna dayanan Black-Scholes Modelinin temel matematik yapısını oluşturuyor. Bu dağılım “ayrıca” matematik istatistikte diğer dağılımların da deney sayıları çoğaldığında ulaştığı bir Merkez Limit rolünü üstleniyor.

Page 3: Dagilimlar

Normal DağılımParameters μ location (real)  σ2 > 0 squared scale

(real)

Probability density function (pdf)                                                               

Cumulative distribution function (cdf)                                              

Mean μ

Median μ

Mode μ

Variance σ2

Skewness 0

Excess kurtosis 0

Entropy                               

Moment-generating function (mgf)                                                                   

Characteristic function                                                                    

Page 4: Dagilimlar

Normal Probabilite Yoğunluk Fonksiyonu

Page 5: Dagilimlar

Normal Kumulatif Dağılım Fonksiyonu

Page 6: Dagilimlar

Normal Dağılımın Finansal Değişkenler İle İlişkisi

1900 lerde Louis Bachelier senetlerin fiyat değişiminin normal dağılıma sahip olduğunu göstermişti.

Bu yaklaşım şimdi biraz daha modifiye edildi. Ekonomik değişkenlerin genellikle additif değil multiplikatif özellikler gösterdiği anlaşıldı.

Buna göre ekonomik değişkenler genellikle normal değil fakat lognormal değişimler gösterirler.

Yani değerlerine karşılık getirileri genellikle lognormal dağılır.

Page 7: Dagilimlar

log-normal dağılım sağ yarım eksende pozitif değerler için, logaritmaları normal dağılan rasgele değişkenlerin matematik formudur.Şayet Y normal dağılıma sahip bir rasgele değişken ise;X = exp(Y) log-normal dağılıma sahiptir. Benzer olarak X log-normal dağılıma sahip ise, log(X) normal dağılır. Burada logaritma tabanının seçimi farketmez. Herhangi pozitif a, b ≠ 1 için, şayet loga(X) normal dağılıyor ise, logb(X) de normal dağılır.Bir değişken şayet bir çok ufak bağımsız faktörün çarpımından oluşuyor ise, bu değişken log-normal dağılacaktır. Örneğin bir stok yatırımının uzun dönem getirisi aslında günlük getirilerinin çarpımı gibi düşünülebilir ve böylece log-normal dağılacaktır.

Log-normal Dağılım

22

2)(lnexp

2

1);(

x

xxf

Page 8: Dagilimlar

Log-Normal Probabilite Yoğunluk Fonksiyonu

Page 9: Dagilimlar

Log-normal kumülatif dağılım fonksiyonu

Page 10: Dagilimlar

Parameters σ > 0                                      

Support                   

Probability density function (pdf)                                                                       

Cumulative distribution function (cdf)

                                                    

Mean                  

Median     

Mode             

Variance                                    

Skewness                                         

Excess kurtosis                                                          

Entropy                                                 

Page 11: Dagilimlar

Log-normal Finansal Analizde Yaygın Kullanılır Fakat Levy-Stable Fraktal Dağılımlar Önem Kazanıyor

Verilerin log-normal dağıldığı finans alanında ve özellikle aktif-fiyatlamada en çok kullanılan hipotezdir.

Yine de bu modelde düzeltmeler yapılması gereği kaos kuramcıları ve özellikle Fraktallerin yaratıcısı Benoit MANDELBROT tarafından önerilmiştir.

Mandelbrot, pamuk fiyatları üzerinde yaptığı çalışmada, kısa zaman süreleri (örneğin bir gün) için logaritmalardaki değişimlerin sonlu bir varyansı olmayan ve dolayısı ile merkezi limit teoreminin uygulanamayacağı tipten dağılımlara uyduğunu ortaya koydu.

Bu dağılımlar daha ziyade Log-Levy tipinde Stable olarak adlandırılan dağılımlar gerektiriyordu. (Paul H. LEVY, Mandelbrot’un hocası idi)

Bu tür dağılımların uygulandığı analizlere FRAKTAL FİNANS diyeceğiz ve farklı bir sunumun konusu olacak.

Page 12: Dagilimlar

Stable-dağılımlar ve Tombul KuyruklarıStable dağılımlar önemlerini iki özelliklerine boçludurlar.Bu dağılımlar ikinci ve (veya birinci) momentleri olmayan rasgele değişkenler için de Merkez Limit Teoreminin genelleştirilmesine olanak sağlarlar ve stable aile dağılımları kendine-benzerlik (self-similarity) veya sonzuz-bölünebilme (infinit-divizibility) özelliği gösterirler. Diğer bir deyişle stable dağılan değişkenlerin lineer kombinezonları da stable dağılır.

Page 13: Dagilimlar

Levy Skew Alpha-Stable Dağılım

                                                                                         

                   

μ bir shift parametresidir, β bir asimetri ölçüsü, β=0 ile dağılım μ etrafında simetrik olur. c dağılımın genişliğini belirleyen bir skala faktörü ve α dağılıma özgü bir exponent veya endex olup dağılımın α < 2 için asimptotik davranışını belirler. α = 1 için dağılım CAUCHY ve α = 2 için dağılım NORMAL formunu alır.Stable dağılımların farklı parametrik türleri de vardır fakat bu en genel olanıdır.

1||log)/2(

1)2/tan(

)])sgn(1(||exp[)(

2/1(,;(

t

tictitt

dtitxetcxf

Page 14: Dagilimlar

Stable Dağılımlar ve Fraktal FinansBenoît Mandelbrot stable dağılımların bu kendine-

benzerlik özelliklerinden yararlanarak Fraktal-Finans ve Fractional Brown Hareketi modelini geliştirdi. Pamuk fiyatlarının α için 1.7 değeri ile stable dağıldığını gösterdi.

Levy skew alpha-stable dağılımlar kritik davranış ve finansal süreç olaylarında yaygın olarak gözlenir.

Bütün stable dağılımlar sonsuz olarak bölünebilirler.Normal dağılım α=2, değeri ile bu kurala uymaz.Stable dağılımlar Tombul-Kuyruklu (Heavy-tailed) olarak

adlandırılır.

Page 15: Dagilimlar

Levy-stable Yoğunluk Fonksiyonları (α için)

Page 16: Dagilimlar

Levy-stable Yoğunluk Fonksiyonları (β için)

Page 17: Dagilimlar

Levy-stable dağılım fonksiyonları (α için)

Page 18: Dagilimlar

Levy-stable dağılım fonksiyonları (β için)

Page 19: Dagilimlar

Parameters                        exponent (real)

                           skewness (real)

                         scale (real)

                                   location (real)

Support                                         (real)

Probability density function (pdf)

usually not analytically expressible (see text)

Cumulative distribution function (cdf)

usually not analytically expressible (see text)

Mean undefined when α≤1, otherwise μ

Median usually not analytically expressible (see text). Equal to μ when β=0

Mode usually not analytically expressible. Equal to μ when β=0

Variance infinite except when α=2, when it is 2c2

Skewness undefined except when α=2, when it is 0

Excess kurtosis undefined except when α=2, when it is 0

Entropy not analytically expressible (see text)

Moment-generating function (mgf)

undefined

Characteristic function

                                                                                     

                                      for                                                              for               

Page 20: Dagilimlar

Burada x0 dağılımın tepe noktasını belirleyen bir lokasyon parametresidir.

Normal dağılım gibi dağılımın beklenen değerine eşit değildir. Çünkü beklenen değer sonsuz.γ dağılımın skala parametresidir ve yaygınlığı belirler.x0 = 0 ve γ = 1 durumuna standart Cauchy dağılım denir ve yoğunluk

fonksiyonu aşağıdaki gibidir;

Cauchy Dağılımı

22)(

1

21

1),;(

00

0

xxxx

xxf

)]2/[1)1,0;( xxf

Page 21: Dagilimlar

Cauchy Probabilite Yoğunluk Fonksiyonları

Page 22: Dagilimlar

Cauchy dağılım fonksiyonları

Page 23: Dagilimlar

Parameters        location (real)

                scale (real)

Support                                        

Probability density function (pdf)                                              

Cumulative distribution function (cdf)                                                            

Mean not defined

Median x0

Mode x0

Variance not defined

Skewness not defined

Excess kurtosis not defined

Entropy                      

Moment-generating function (mgf)

not defined

Characteristic function                                            

Page 24: Dagilimlar

Cauchy Standart-Normal Akrabalığı İki bağımsız standart Normal N(0,1) X,Y değişkeninin X/Y veya Y/X oranı

bir standart Cauchy değişkeni, Cauchy(0,1) dir. Buna göre Cauchy dağılımı aslında bir oran dağılımıdır ve bu nedenle stok

değerlerinin değişim yüzdelerinin modellenmesinde uygun bir model yaratır.

Standard Cauchy(0,1) dağılımı ise yine istatistikte yaygın kullanılan ve tabloları olan Student's t dağılımının 1 serbestlik dereceli versiyonudur.

Bu özellik te Cauchy dağılımını finansal serilerin analizinde önmeli bir model haline getirir.

Lévy skew alpha-stable dağılımlar ile akrabalık ise;

Olarak verilebiliyorsa; X değişkeni Cauchy(μ,γ) olarak dağılır. Bu da Cauchy dağılının FRAKTAL FİNANS çalışmaları için önemli bir

model yapar.

,0,1(~ SSLevyX

Page 25: Dagilimlar

Weibull Dağılımı

Burada k > 0 biçim parametresi ve λ > 0 ölçek parametresidir.

Weibull dağılımı esnek yapısı nedeniyle ömür verilerinin (arıza-bakım) analizinde kullanılır. Ayrıca başata üstel dağılım olmak üzere diğer dağılımları da oldukça taklit edebilir.

Şayet arıza oranı zaman içinde azalırsa, k < 1 Şayet arıza oranı zaman içinde sabitse, k = 1 Şayet arıza oranı zaman içinde sabitse, k > 1

Olacaktır.. k=3.4 değerini aldığında Weibull dağılımı Normal dağılıma benzer hale

gelir. k=1 için ise Weibull dağılımı üstel dağılım haline dönüşür.

0),;(için 0 x için ve 0 x

/(1//(),;(

kxf

kxekxkkxf

Page 26: Dagilimlar

Weibull Probabilite Yoğunluk Fonksiyonu

Page 27: Dagilimlar

Weibull dağılım fonksiyonları

Page 28: Dagilimlar

Parameters               scale (real)                 shape (real)

Support                               

Probability density function (pdf)                                                          

Cumulative distribution function (cdf)

                              

Mean                             

Median                        

Mode                               if k > 1

Variance                                              

Skewness                                                             

Excess kurtosis (see text)

Entropy                                                             

Moment-generating function (mgf)

Characteristic function

Page 29: Dagilimlar

Rayleigh Dağılımı

Rayleigh dağılımı iki boyutlu bir vektörün (0 orijinli) boyutlarının N(0, σ2) normal dağıldığı bir durumu yansıtır. Bu boyutların ayrıca bağımsız olması ve aynı σσ22 varyansa sahip olmaları gerekir.

Bu halde vektörün büyüklüğü (örn: rüzgar hızı, stok fiyat değişimi) bir Rayleigh dağılıma sahip olacaktır.

Dağılım bir çok popüler dağılıma akrabadır ve bunların bir özel hali gibidir. Tek parametreli olup beklenen değeri varyansı

Şeklindedir. Buna göre sadece volatilitesi bilinen fiyat değişimleri için iyi bir modeldir.

NOT: Dağılımın varyansının σ2 olmadığına dikkat edilmelidir. σ2 boyut bileşenlerin varyansından gelmektedir ve hesaplanması da kolaydır.

2

22

4

,02

))22/2exp()|( x

xxxf

Page 30: Dagilimlar

Rayleigh Probabilite Yoğunluk Fonksiyonu

Page 31: Dagilimlar

Rayleigh Dağılım Fonksiyonları

Page 32: Dagilimlar

Support                                              

Probability density function (pdf)                              

Cumulative distribution function (cdf)                                       

Mean              

Median                      

Mode    

Variance                    

Skewness                               

Excess kurtosis                                            

Entropy                                             

Moment-generating function (mgf)                                                                                   

Characteristic function                                                                                  

Page 33: Dagilimlar

Rayleigh ile İlgili Dağılımlar Şayet X~N(0, σ2) ve Y~N(0, σ2) iki bağımsız standart normal değişken ise ve

R=(X2+Y2)1/2 ise R~Rayleigh(σ ) dağılımıdır. Dağılımdaki sigma parametresinin kaynağı budur.

Rayleigh dağılımı 2-boyutlu uzayda normal bir vektörün büyüklüğü ile ilgilidir.

R~Rayleigh(1) ise, R2 iki serbestlik derecesi ile chi-kare dağılıma sahiptir. Şayet X , X~exponential(x/lamda) şeklinde üstel dağılıyorsa;

Şayet R~Rayleigh(σ ) ise; parametreleri N ve 2σ2 olan bir gamma dağılımıdır

Chi-Kare dağılımı Rayleigh dağılımının genelleştirilmişidir. Weibull dağılımı Rayleigh dağılımının genelleştirilmişidir.

/(~2( yRayleighXY