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Andreas Hemmerich 2016 ©5.1 Universität Hamburg, Physik III, WiSe 2016/17

5. Formale Grundlagen der Quantenmechanik


Ortsraum & ImpulsraumOrtsraum HR : Raum aller differenzierbaren Funktionen ψ(r): R3 → C

Es ist manchmal nützlich, noch allgemeinere Funktionen zuzulassen

d3r |ψ(r)|2 < ∞mit

Der Ortsraum als Vektorraum: (φ+ψ)(r) = φ(r)+ψ(r)

(λφ)(r) = λ φ(r)

Funktionen werden punktweise addiert

Ein Vektoraum V ist ein Menge in der eine Addtion und eine skalare Multiplikation definiert sind.

Für φ, ψ ∈ V , λ ∈ C : φ + ψ , λφ ∈ V mit Rechenregeln so wie für reelle Zahlen

Erinnerung:

hψ | φi ≡ ψ*(r) φ(r)d3rHR ist ein Vektorraum mit Skalarprodukt:

Ein Skalarprodukt ist eine Abbildung h | i : V × V → mit den Eigenschaften:C

α, β ∈ V, λ ∈ ⇒ hφ |α + λβi = hφ |αi + λ hφ |βi , hα |βi = hβ |αi*

α ≠ 0 ⇒ hα |αi > 0

C

Erinnerung:

und somit ein Hilbert-Raum


Exkurs: Allgemeine Hilbert-Räume

Wellenfunktionen enthalten die volle Information über ein physikalisches System. Man bezeichnet

normierte Elemente ψ(r) ∈ HR , hψ|ψi = 1 auch als “quantenmechanische Zustände”

Komplexwertige skalare Wellenfunktionen sind nicht immer ausreichend, um die Zustände

Hilberträume H zu betrachten.

eines physikalischen Systems zu charakterisieren. Der quantenmechanische Zustandsraum

bzw. kurz als “Zustände”

besitzt aber im Allgemeinen die Struktur eines Hilbertraums. Deshalb ist es sinnvoll, allgemeine


Impulsraum HP : Raum aller Fouriertransformierten ψ(p): R3 → C

hψ(p) | φ(p)i ≡ ψ*(p) φ(p)d3pmit Scalarprodukt:

HP ist ebenfalls ein Hilbert-Raum

=ψ(r) ψ(p)d3p1

(2π 2)3/2e i r ψ(r)d3r=ψ(p) 1

(2π 2)3/2e -i r

Fourier-Transformation, Übergang zur Variable p = k:

p

p

Die Fourier-Transformation ist ein Hilbertraum-Isomorphismus zwischen den Räumen HR und HP ,

Parseval-Gleichung → hψ(r) | φ(r)i = hψ(p) | φ(p)i

i.e., eine bijektive lineare Abbildung, die das Skalarprodukt erhält

QM-Zustände

HR

HP

FT

P


Operatoren im Orts und Impulsraum:Neben der Addition bzw. skalaren Multiplikation von Wellenfunktionen sind zur Beschreibungphysikalischer Vorgänge weiterer Operationen im Ortsraum bzw. Impulsraum nötig, z. B. dieDifferentiation

Mf : HR → HR , φ(r) → f(r) φ(r)

∇: HR → HR , φ(r) → ∇φ(r)

oder die Multiplikation mit einer Funktion f(r)

Die für die Quantentheorie relevanten Operationen Q haben die Eigenschaft der Linearität:

Q [φ+ψ] = Q [φ] + Q [ψ]Für φ, ψ ∈ HR , λ ∈ :C

Q [λφ] = λ Q [φ]

Dies führt zum Begriff des Operators . . .

Erwartungswerte physikalischer Größen “q” haben in HR die allgemeine Form

d3r ψ*(r) Qψ(r) = hψ | Qψi mit Q : HR → HR, φ(r) → Qφ(r)hqiψ =


BSP:

([Rν , Pµ]φ)(r) = (Rν(Pµφ))(r) – (Pµ(Rνφ))(r) = -i rν ∂µ φ(r) + i ∂µ (rν φ(r)) ) = i δνµ φ(r)

Eine lineare Abbildung A: H → H , φ → A φ heißt Operator

Produkte von Operatoren: (A ∗ B) φ ≡ A (B φ)

Kommutator von zwei Operatoren: [A , B] φ ≡ A (B φ) – B (A φ)

Operatoren kommutieren i. A. nicht: [A , B] ≠ 0, diese Eigenschaft unterscheidet sie von

Operatoren:

gewöhnlichen komplexen Zahlen und spielt eine zentrale Rolle in der Quantentheorie.

R: HR → HR , φ(r) → Rφ(r) ≡ r φ (r) R = Ortsoperator

P: HR → HR , φ(r) → Pφ(r) ≡ -i∇φ(r) P = Impulsoperator

Kommutator: [Rν , Pµ] = i δνµ

A: H → H, F: → analytische Funktion,Funktionen von Operatoren: F(q) ≡ ∑n = 0

∞Fn q

nC C

F(A): H → H , F(A) ≡ ∑n = 0

∞Fn A

n

Mit Operatoren kann man wie mit komplexen Zahlen rechnen, mit einer Ausnahme:

Addition von Operatoren: (A + B) φ ≡ A φ + B φ

Skalare Multiplikation: (λ A) φ ≡ λ A φLinearität: A (λ φ + ψ) = λ A φ + A ψ φ, ψ ∈ H , λ ∈C

φ ∈ H , λ ∈C


BSP: Seien A, B selbstadjungiert: A = A+, B = B+

F(A) ≡ Fn An mit reellen Koeffizienten Fn ⇒ F(A) selbstadjungiert∑

n = 0

∞

Folgende Operatoren sind selbstadjungiert: i [A, B], AB + BA , ABA , ABC + CBA

Ü

BSP: Rφ(r) ≡ r φ(r), Pφ(r) ≡ -i∇φ(r) sind selbstadjungierte Operatoren auf HR

d3r ψ*(r) ( -i∇) φ(r)hψ|Pφi = d3r -( -i∇ ψ*(r)) φ(r)=

partielle Integration

d3r ( -i∇ ψ(r))* φ(r)= = hPψ|φi

∞

-∞d3r ψ*(r) r φ(r)hψ|Rφi = = hRψ|φi


Orthonormale Basen:

B ≡ {|ni∈ H : n ∈ N } N = Indexmenge: endlich, abzählbar unendlich, Index-Kontinuum

heißt Orthonormal-Basis (ONB) von H falls

|ψi ≡ ∑ ψn |nin ∈ N

|ψi ∈ H ψn ∈ :C

a. hn|mi = δnm

|ψi = A |φi

∑m ∈ N

hm|A|ni hn|φi |mi∑n ∈ N

=|ψi = ∑m ∈ N

hm|ψi |mi ∑m ∈ N

hm|A|φi |mi=

ψm = ∑n ∈ N

Amn φn

Basis-Darstellung eines Operators A: Amn ≡ hm| A |ni heißen Matrixelemente

Es gilt dann: ψm ≡ hm| ψi bzw. |ψi = ∑n ∈ N

hn| ψi |ni

⇔

BEW:

Matrizen-Multiplikation

∑ |nihn|n ∈ N

1 =⇒

∑n ∈ N

|nihn|ψi= ∑ |nihn|n ∈ N

|ψi=

b.

Vollständigkeitskriterium


|ni

|ψi

|hn|ψi|

Pythagoras∑n ∈ N

wn1 =

hAiψ = Mittelwert der Eigenwertebezüglich der normierten Verteilung wn

(1)

⇒ (ΔψA)2 = ∑n ∈ N

(an–hAiψ)2 wn(3)

hAiψ = ∑n ∈ N

an wn(2)

wn ≡ |hψ|ni|2 = statistisches Gewicht von |ni im Zustand |ψi

{ |ni: n ∈ N } Basis aus Eigenzuständen von A, i.e., A |ni = an |ni

∑n ∈ N

|nihn|ψi|ψi =

Zusammenhang zwischen Erwartungswert, Varianz und Eigenwerten:

BEH:

Bemerkung: ist A ein “physikalisch relevanter” Operator so bezeichnet man den index n ∈ Nseiner Eigenbasis (Basis aus Eigenzuständen) als Quantenzahl


2kn22m

εn =

ε1

ε3

0

L

Beispiel Potentialkasten:

kn = n Lπ

∆ + Epot2

2mH = –

|ni = sin(knx)L2

Hamilton-Operator

Eigenwerte von H

Eigenbasis von H

Quantenzahl zu H n ∈ {1,2,...}

|ψi = sin(θ) |1i + cos(θ) |2i

wn ≡ |hψ|ni|2 = sin2(θ) δn1 + cos2(θ) δn2

hHiψ = sin2(θ) ε1 + cos2(θ) ε2

Betrachte spezielle Wellenfunktion

ε2


Ortsraum HR: R : HR→ HR , R ψ(r) = r ψ(r)

P : HR→ HR , P ψ(r) = -i∇rψ(r)

Impulsraum HP:P : HP→ HP , P φ(p) = p φ(p)

R : HP→ HP , R φ(p) = i∇p φ(p)

Eigenwerte und Eigenvektoren des Orts – und Impuls-Operators

FT

∇r

H’R⊃ HR , H’R = Raum aller Funktionen R3 → C

H’P ⊃ HP , H’P = Raum aller Funktionen R3 → C

Es zeigt sich: R und P besitzen keine Eigenvektoren in HR bzw. HPjedoch in den größeren Räumen H’R und H’P

(inkl. Dirac’scher Delta-Funktion)

FT [ Pψ(r) ] = FT [ -i∇r ψ(r) ] = -i FT [ ∇r ψ(r) ] = k φ(k) = p φ(p)

Wirkungsweise von P in HP:

Wirkungsweise von R in HP:FT [ Rψ(r) ] = FT [ r ψ(r) ] = i ∇k FT [ ψ(r) ] = i∇kφ(k) = i∇pφ(p)

i k

-i r

∇k

Ü


Unschärfe-Relation für selbstadjungierte Operatoren:

Es seien A , B : H → H selbstadjungierte Operatoren auf H und |ψi ∈ H :

BEH: C ≡ i [A , B] ist selbstadjungiert und es gilt 2 ΔψA ΔψB ≥ |hCiψ|

a. C+ = -i [A , B]+ = -i (AB)+ + i (BA)+ = -i B+A+ + i A+B+ = -i BA + i AB = i [A , B] = C

⇒ C selbstadjungiert und hCiψ reell

betrachte A1 – i λ1B1

|hCiψ |

hCiψ

|ψi mit|φi ≡

R

A1 ≡ A –hAiψB1 ≡ B –hBiψ

λ1 ≡ λ , λ ∈

c. [A1, B1] = [A –hAiψ , B –hBiψ] = (A –hAiψ)(B –hBiψ) – (B –hBiψ)(A –hAiψ) = [A, B]

λ1 = reell, A1 und B1 selbstadjungiertb.

d. (ΔψA)2 = hψ |A12|ψi , (ΔψB)2 = hψ |B12|ψi

BEW:P


Seien HA und HB zwei Hilberträume, |ai ∈ HA , |bi ∈ HB :

|a1i ⊗ |bi + |a2i ⊗ |bi ≡ (|a1i + |a2i) ⊗ |bi

|ai ⊗ |b1i + |ai ⊗ |b2i ≡ |ai ⊗ (|b1i + |b2i)

λ |ai ⊗ |bi ≡ (λ|ai) ⊗ |bi ≡ |ai ⊗ (λ|bi)

HA ⊗ HB ≡ { Alle Linear-Kombinationen von Produkten |ai ⊗ |bi }

h |a1i ⊗ |b1i | |a2i ⊗ |b2i i ≡ ha1|a2ihb1|b2i

Produkt-Zustände:

Produkt-Raum:

Bemerkung: Die meisten Zustände in HA ⊗ HB sind keine Produkte

z. B. : |ψi ≡ ( |a1i ⊗ |b1i + |a2i ⊗ |b2i )

Solche Zustände heißen verschränkt

Produkt-Räume:

|ai ⊗ |bi ≡ |ai|bi ≡ |a, bi

mit

12


Es seien A : HA → HA , B : HB → HB Operatoren auf HA bzw. HB :

A ⊗ B : HA ⊗ HB → HA ⊗ HBProdukt-Operator:

A ⊗ B |ai ⊗ |bi ≡ A |ai ⊗ B |bi

Natürliche Erweiterung eines Operators A : HA → HA : A ⊗ 1B |ai ⊗ |bi ≡ A |ai ⊗ |bi

1B ≡ Einheitsoperator auf HB

A ⊗ B ∑n ∈ N

cn |ani ⊗ |bni ≡ ∑ cn A|ani ⊗ B|bnin ∈ N


φ(x) ∈ HX = Wellenfunktionen auf der x-AchseBSP1:ψ(y) ∈ HY = Wellenfunktionen auf der y-Achse

Produktzustände: |φ(x)i ⊗ |ψ(y)i ≡ | φ(x) ⋅ ψ(y) i = Produktwellenfunktion

Produktraum: HX ⊗ HY ≡ { Alle Linear-Kombinationen von | φ(x) ⋅ ψ(y) i }

= { Alle Wellenfunktionen in der xy-Ebene }

verschränkter Zustand: ( φ(x) ⋅ ψ(y) + ψ(x) ⋅ φ(y) )12

φ1(x1), φ2(x2) ∈ H Wellenfunktionen für ein Teilchen

Produktzustände: |φ1(x1)i ⊗ |φ2(x2)i ≡ | φ1(x1) φ2(x2) i = Produktwellenfunktion

Produktraum: H ⊗ H ≡ { Alle Linear-Kombinationen von | φ1(x1) φ2(x2) i }

= { Alle Wellenfunktionen ψ(x1,x2) für zwei Teilchen }

verschränkter Zustand: ( φ1(x1) φ2(x2) + φ2(x1) φ1(x2) )12

BSP2: → →

→ → → →

→ →

→ →→ →

→ →

unkorrelierte Wahrscheinlichkeitsdichten für HX und HY: | φ(x) ⋅ ψ(y)|2 = |φ(x)|2 |ψ(y)|2

unkorrelierte Wahrscheinlichkeitsdichten: | φ1(x1) ⋅ φ2(x2)|2 = |φ1(x1)|

2 |φ2(x2)|2→ → → →


∑1 = |akiihaki|k,i

Definition der Observablen

Eigenzuständen existiert, i.e.

In endlich dimensionalen Hilberträumen ist jeder selbstadjungierte Operator eine Observable(Symmetrische n-dimensionale Matrizen sind diagonalisierbar)

es gibt eine Basis {|ani∈ H } (Eigenbasis von A) mit han|ami = δnm , sodass :

∑|ψi = han| ψi |anin

Im Allgemeinen sind nicht alle Eigenwerte αn verschieden:In diesem Fall ist es sinnvoll den Index n durch einen Doppelindex k,i zu ersetzen

∑|ψi = haki| ψi |akiik,i

A |akii = αk |akii mit αk ≠ αk’

für alle |ψi ∈ H :

A |ani = αn |ani


Basis-Darstellung eines Operators in der Eigenbasis A: Anm ≡ han| A |ami = αn δnm

Observable sind selbstadjungierte Operatoren A, für die eine Orthonormalbasis von

Die Indizes der Eigenbasen werden als Quantenzahlen bezeichnet


Für zwei kommutierende Observablen A, B existiert eine Orthonormalbasis {|cni∈ H } aus

∑|ψi = hcn|ψi |cni , hcn|cmi = δnmn


BEW:

Es sei {|cn,νi∈ H } Eigenbasis von A mit A |cn,νi = αn |cn,νi mit αn ≠ αm für n ≠ m

Wegen (*) gilt für alle |cni ∈ Hn dass B |cni ∈ Hn , i.e. B: Hn→ Hn

Alle Eigenvektoren von A zum gleichen Eigenwert αn bilden Sub-Raum Hn

A B |ci = B A |ci = B α |ci = α B |ci (*)

A |cni = αn |cni und B |cni = βn |cni

gemeinsamen Eigenzuständen von A und B:

THEOREM:

P

i) |ci Eigenvektor von A zum Egenwert α ⇒ B |ci Eigenvektor von A zum Egenwert α

(αn - αm) hcn|B|cmi = hαncn|B|cmi - hcn|B|αmcmi = hcn|AB|cmi - hcn|BA|cmi = 0αn,αm reell

[A,B] =0

ii) Für |cni ∈ Hn und |cmi ∈ Hm mit n ≠ m folgt: hcn|B|cmi = 0


Matrixelemente von B:

H1

H2

H3

H1 H2 H3

hcn,ν|B|cm,µi =

Matrixelemente von A:

H1

H2

H3

H1 H2 H3

hcn,ν|A|cm,µi =

wegen i), ii)

Diese Basisvektoren sind gemeinsame Eigenvektoren von A und B

Die Matrizen in den Sub-Räumen Hn sind hermitesch: hcn,ν|B|cn,ν’i = hcn,ν’|B|cn,νi* ⇒

Durch eine Basis-Transformation innerhalb von Hn findet man neue Basisvektoren {|bn,νi∈ Hn } ,sodass hbn,ν|B|bn,ν’i diagonal, i.e. hbn,ν|B|bn,ν’i = βn,ν δνν’

lineare Algebra

En ≡ Einheitsmatrix in Hn

α1E1

α2E2

α3E3


A |ai = α |ai , |ai normiert ha|ai = 1B ≡ A + λ S , λ S bewirke nur eine kleine Störung von A : λ reell positiv, λ << 1

Gesucht: Eigenwert β von B, sodass:

β = hb| B |bi = ha| B |ai + ε ha| B |a’i + ε ha’| B |ai + ε2 ha’| B |a’i

= ha| A |ai + ε ha| A |a’i + ε ha’| A |ai + ε2 ha’| A |a’i

+ λ ha| S |ai + λ εha| S |a’i + λ ε ha’| S |ai + λ ε2 ha’| S |a’i

= α + ε2 ha’| A |a’i + λ ha| S |ai + λ ε ha| S |a’i + λ ε ha’| S |ai + λ ε2 ha’| S |a’i

≈ α + λ ha| S |ai = α + ha| λ S |ai verwende: ε << 1, λ << 1, |ha’| A |a’i|2 < cA , |ha| S |a’i|2 < cS

A, S seien beschränkte Operatoren auf H, i.e., 9 positive Konstanten cA, cS :

Störung eines beschränkten Operators:Fragestellung: Wie verändern sich Eigenwerte eines selbstadjungierten Operators A unter

|hφ|A|ψi|2 < cA hφ|φihψ|ψi, |hφ|S|ψi|2 < cS hφ|φihψ|ψi für alle φ,ψ ∈ H

B |bi = β |bi mit |bi ≈ |ai + ε |a’i, ha|a’i = 0, ha’|a’i = 1, ε reell positiv, λ << 1⇒ ε << 1

P

dem Einfluß einer kleinen Störung λ S.

verwende: A=A+, ha|a’i = 0, A|ai = α |ai


Energie-Operatoren:

Erwartungswert der kinetischen Energie (betrachte HP)

hEkini ≡ hφ(p) | Ekin | φ(p)i = d3p |φ(p)|2p2

2m

Erwartungswert der potentiellen Energie für Potential V(r) (betrachte HR)

hEpoti ≡ hψ(r) | Epot | ψ(r)i = d3r ψ(r)* V(R) ψ(r) =

Ekin ≡ P2/2m

Epot ≡ V(R)Definiere Operator der potentiellen Energie:

Definiere Operator der kinetischen Energie:

=ψ(r) φ(p)d3p1

(2π )3/2pe i r ψ(r)d3r=φ(p) 1

(2π )3/2pe -i r

∆2

2m–Im Ortsraum HR: Ekin ψ(r) = ψ(r)

Im Impulsraum HP: Ekin φ(p) = (p2/2m) φ(p)

d3r V(r) |ψ(r)|2

ist selbstadjungiert

ist selbstadjungiertV(r) reelles Potential, F(r) = -∇V(r) Kraftfeld


E ≡ i∂∂t

Ekin = P2/2m

P = -i∇

Epot = V(R)

Schrödinger-Gleichung als Operator-Gleichung

∂∂t

i ψ(r,t) = ∆ ψ(r,t)2

2m–

E ψ = Ekin ψ

Freies Teilchen:

Erweiterung für ein Potential V(r):

∂∂t

i ψ(r,t) = ∆ ψ(r,t) + V(r) ψ(r,t)2

2m–

E ψ = H ψ , H = Ekin + Epot

H (= Operator der Gesamt-Energie) wird als Hamilton-Operator bezeichnet (in Korrespondenzzur Hamilton-Funktion der klassischen Mechanik)

Der Hamilton-Operator H ist selbstadjungiert und hat somit reelle Eigenwerte


ε φ(r) = ∆ φ(r) + V(r) φ(r)2

2m–

Schrödinger-Gleichung: Stationäre Lösungen

Separation von Orts und Zeit-Variablen → Ansatz: ψ(r,t) = φ(r) χ(t) ⇒

Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger Gleichung (sog. stationäre Lösungen) sindWellenfunktionen mit zeitlich konstanter Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(r,t)|2 = |φ(r)|2 undscharfem Wert der Energie ε .

ε⇒ χ(t) = e-i t

∂∂t

i ψ(r,t) = ∆ψ(r,t) + V(r) ψ(r,t)2

2m–

∂∂t

(I)

(II) ε χ(t) = i χ(t)

Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung als Eigenwertgleichung:

ε φ = H φ , H = Ekin + Epot

ε φ(r) = ∆ φ(r) + V(r) φ(r)2

2m–

Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger Gleichung sind die Eigenzustände desHamilton-Operators zu den möglichen Eigenwerten ε .

– φ(r)-1 ∆φ(r) + V(r) = ε2

2mi χ(t)-1 χ(t) =∂∂t


Schrödinger-Gleichung: allgemeine Struktur der LösungenVorgehensweise: Man bestimmt zunächst alle stationären Lösungen, i.e. Lösungen der zeitunab-

Diese sind Eigenzustände des selbstadjungierten Operators H und somit orthonormal.Die Gesamtheit der Lösungen bildet (in der Regel) eine Orthonormalbasis ONB ≡ {|ni∈ H }

hängigen Schrödinger-Gleichung: ε |φi = H |φi

mit reellen Eigenwerten EV ≡ {εn ∈ } (i.e., in der Regel ist H eine Observable)R

Die allgemeinste Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung

∑n|ni exp(-i t) Cn|φ(t)i =

εn

|φ(t)i = H |φ(t)i∂∂t

i

Für jede Lösung |ni der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung ist |ni exp(-i t) eineεn

Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung.

lautet , wobei Cn beliebige komplexe Zahlen sind.

BEW: Für jede Lösung gilt |φ(t)i = |ni Cn(t) mit komplexen Funktionen Cn(t), denn |ni ist Basis.∑n

Aus H |φ(t)i = |ni εn Cn(t) und i |φ(t)i = |ni i Cn(t) folgt εn Cn(t) = i Cn(t)∑n

∂∂t∑

n

∂∂t

und somit Cn(t) = Cn exp(-i t)εn

∂∂t


Q1. Der Zustand eines physikalischen Systems zu einer festen Zeit t wird durch einen normiertenVektor ψ ∈ H eines Hilbertraums H beschrieben.

Q2. Jeder beobachtbaren physikalischen Größe ist eine Observable A: H → Hzugeordnet.

Q6. Die zeitliche Entwicklung eines Zustands |ψi wird durch die Schrödinger Gleichung bestimmt:∂∂t

i |ψi = H |ψi , H ≡ Operator der Gesamt-Energie (Hamilton-Operator)

Postulate der Quantenmechanik

Q3. Das Ergebnis der Messung einer physikalischen Größe ist ein Eigenwert der zugeordnetenObservablen

Q4. Die Wahrscheinlichkeit im Zustand ψ den Eigenwert α einer Observablen A zu messen ist:

∑ |ha| ψi|2w(α) ={a: a ist EV zu α }

Q5. Eine Messung des Eigenwerts α einer Observablen A im Zustand ψ überführt das Systemin den neuen (projizierten) Zustand:

∑{a: a ist EV zu α }

Pα|ψi = |aiha|ψi Pα = Projektor auf den Unterraumaller Eigenvektoren zum Eigenwert α

Pαψ

hPαψ | Pαψimit


BEH: Der mittlere Meßwert α ist der Erwartungswert: hψ | A | ψiBetrachte eine Serie von unabhängigen Messungen αi, i = 1,... einer Observablen A im Zustand ψ

{ Eigenwerte α }∑ α w(α)

{ Eigenwerte α }∑= ∑ α |ha|ψi|2

{ a ist EV zu α }

= ∑ α hψ|ai ha|ψi{a ist EV}

= ∑ hAψ|ai ha|ψi{a ist EV}

= hAψ| ha|ψi |ai∑{a ist EV}

= hAψ|ψi = hψ|A|ψi

= ∑ α |ha|ψi|2

{a ist EV}

Q4BEW: α =Q3

Folgerung

Beispiel Ortsmessung:

Q4. → Die Wahrscheinlichkeit im Zustand ψ den Eigenwert r der Observablen R zu messen ist:

∑ |hr|ψi|2w(r) =

{|ri ist EV zu r }

= |hr|ψi|2 = d3r’ δ(r’– r)ψ(r’) = |ψ(r)|22

Q3. → Das Ergebnis einer Ortsmessung ist ein Eigenwert des Ortsoperators R


Korrespondenz zwischen klassischen Größen und Observablen:Klassische physikalische Größen lassen sich als Funktion von Ort und Impuls schreiben: A = A(r,p).Für Funktionen A(r) bzw. A(p) erhält man die korrespondierenden quantenmechanischen Größenindem man Orts und Impuls-Variable durch die Operatoren R und P ersetzt.

Da [Rν,Pµ] = i δνµ ≠ 0 ist diese Ersetzung für Funktionen A(r,p) nicht eindeutig. In diesem Fallist die Ersetzungsvorschrift durch eine Symmetrisierungsregel zu ergänzen:

BSP: A(r, p) = F(rx ⋅ px)

Man ersetzt zunächst rx ⋅ px → {rx , px} ≡ (rx⋅px + px⋅rx)/2 und dann rx , px → Rx, Px

Rx ⋅ Px ist kein selbstadjungierter Operator: (Rx ⋅ Px )+ = Px

+ ⋅ Rx+ = Px ⋅ Rx ≠ Rx ⋅ Px

jedoch (Rx⋅ Px + Px⋅Rx) ist selbstadjungiert.12

Für komplexere Funktionen A(r,p) ist die Zuordnung eines selbstadjungierten Operators nicht

BSP: A(r, p) = F(rx ⋅ rx ⋅ px)

Sowohl Rx⋅ Px ⋅ Rx als auch (Rx⋅ Rx⋅ Px + Px⋅ Rx⋅ Rx) sind selbstadjungiert

Die Quantenmechanik kennt viele Observable, für die es kein klassisches Analogon gibt.

eindeutig.

12


Ehrenfest Theorem

ddthA(t)iψ = h [A(t), H ] iψ +

∂∂th A(t)iψi

1

ddthRiψ = h P iψm

1

ddthPiψ = h rV(R) iψ

A(t) ein Operator auf H und |ψi = H |ψi , H ≡ Hamilton-Operatori ddt

|ψi = H |ψi mit Hamilton-Operator H ≡ P2/2m + V(R)i ddt

Im Ortsraum sei

Achtung, im Allgemeinen ist h rV(R) iψ ≠ rV( hRiψ)

Falls h rV(R) iψ = rV( hRiψ), bewegt sich hRiψ auf einer Newton’schen Bahn

Betrachte ein extrem lokalisiertes Wellenpaket mit |ψ(r)|2 ≈ δ(r – hRiψ)

h rV(R) iψ = ψ(r)* rV(r) ψ(r) ≈ rV( hRiψ )∞

-∞dr

Ü

⇒


6. Elementare Quantensysteme


1ξ2 x + i

ξ

2p

α ≡ ξ ≡ mω

,

Eindimensionaler harmonischer Oszillator

p2

2m + ω2 x2m2

H(x,p) = , ω = Schwingungsfrequenz im Potential V(x) = ω2 x2m2

V(x)

xDefiniere einheitenlose Größe:

Klassischer Fall:

x(t) = x0 sin(ωt + θ)

p(t) = m ω x0 cos(ωt + θ)

p

xα

iξ2

p = (α* – α) ∝ Im(α)

x = (α* + α) ∝ Re(α)ξ

2

Phasenraum-Darstellung

⇒α(t) = α(0) eiωt

H(x,p) = ω α*α

= Längeneinheit


Eindimensionaler harmonischer OszillatorP22m + ω2 X2m

2H = , ω = Schwingungsfrequenz im Potential V(x) = ω2 x2m

2

H = ω (N + )12

6)

adjungierter Operator1)

[a, a+] = 1

4) N+ = N

5)

1ξ2 X – i

ξ

2 Pa+ ≡

2N = 1ξ2X2 – ξ2 ∂2

∂x2– 1

Definiere einheitenlose Operatoren:

N ≡ a+a

Eigenschaften von a bzw. N :

BEW: Verwende X+ = X, P+ = P, [X,P] = i

1ξ2 X + i

ξ

2P

a ≡ ξ ≡ mω

,

V(x)2) iξ2

P = (a+ – a)X = (a+ + a)ξ

2

3)

Ü


Struktur der Eigenwerte und Eigenzustände von N:

7) Sei ψ0 Eigenzustand von N zum Eigenwert c0: N ψ0 = c0 ψ0 , hψ0|ψ0i = 1

c0 reell und c0 ≥ 0

(1 + c0)1/2 ⋅ ⋅ ⋅ (n + c0)1/21 (a+)n ψ0ψn ≡ ist Eigenzustand zum Eigenwert cn ≡ n + c0

BEW: 7) c0 = hψ0 | N ψ0i = ha ψ0 | a ψ0i ≥ 0

n = 1 : N a+ψ0 = a+a a+ψ0 = a+(1 + N) ψ0 = (1 + c0) a+ψ0

ha+ψ0|a+ψ0i = ha a+ψ0|ψ0i = h(1 + N) ψ0|ψ0i = (1 + c0)

(3)

(3)

(Leiter äquidistanter Eigenzustände)

8) Für

8) 2N ψ0 = 1ξ2X2 – ξ2 ∂2

∂x2– 1

(6)ψ0 = 0

gilt: hψ0|ψ0i = 1 , N ψ0 = 0

⇒

12

xξ

2exp –1

π1/4 ξ1/2ψ0(x) ≡

P


ε φ = H φEigenwerte und Eigenzustände von H:

12

xξ

2exp –1

π1/4 ξ1/2ψ0(x) ≡

1n!

(a+)n ψ0ψn ≡

a+ ψn = (n + 1)1/2 ψn+1

H ψn = ω (n + ) ψn12

(5),(7)9)

10)

a ψn = n1/2 ψn-1

N ψn = n ψn

für n ≥ 0

für n > 0

für n ≥ 0 Zähl-Operator: zählt dieAnzahl angeregter Oszillator-Quanten

Erzeuger:erzeugt ein Oszillator-Quant

Vernichter:vernichtet ein Oszillator-Quanta ψ0 = 0

=

Hn(z) = Hermite-Polynom n-ter Ordnung

1n! 2n

Hn(x/ξ) ψ0(x)

2z – ∂∂z

n1Hn(z) ≡

Bedeutung von a+ und a:

(7) (1)

ε0,ψ0ε1,ψ1ε2,ψ2


H0(z) = 1

H1(z) = 2 z

H2(z) = 4 z2 – 2

H3(z) = 8 z3 – 12 z

ε0 =12 ω

ε1 =32 ω

ε2 =52 ω

ε3 =72 ω

εn = ω (n + )12Eigenwerte:

1π1/4 ξ1/2

ψn(x) = 1n! 2n

Hn(z) exp(– z2/ 2) , z = x / ξEigenzustände:

Allgemeine Lösung: ∑n

χn ψn(x,t)ψ(x,t) =

ψn(x,t) = ψn(x) exp(-i t)εnZeitentwicklung:

Harmonischer Oszillator auf einen Blick:

a+ ψn = n + 1 ψn+1 , a ψn = n ψn-1Erzeuger & Vernichter:

Grundzustand: ψ0(x)1

π1/4 ξ1/2= exp(– z2/ 2) , 1/e - Radius der Aufenthalts-

wahrscheinlichkeit: ξ

Äquidistante Energieniveaus


Quasi-klassische Zustände:Die Zustände scharfer Energie ψn sind über das gesamte Potential verschmiert und haben wenigÄhnlichkeit mit den vertrauten Zuständen des klassischen Oszillators

n +1/2ΔnX = ξ

ΔnP =ξ n +1/2

→ nur für n = 0 minimales Unschärfe-Produkt

Im Zustand ψn gilt: hXin = hψn| X ψni = 0

hPin = hψn| P ψni = 0

ΔnX ΔnP = (n + 1/2)

oszillierende Erwartungswerte:

hPi = m hXi∂∂t

Von solchen quasi-klassischen Zuständen erwartet man

minimale Unschärfe:

hXi ∝ cos(ωt – θ)

ΔX ΔP = /2

Frage: was sind die maximal klassischen Zustände, welche die Quantenmechanik zuläßt?


φα(t) = exp(– 2)|α|2 + iωt ∑

n=0

∞

n!ψn

(α e-iωt)n11) Zeitentwicklung:

ψn(t) = ψn exp(-i t) = ψn e-inωt e-iωt/2εnBEW: exp(– α 2

2 ) ∑n=0

∞αn

n!ψn(t)φα(t) = mit

13) Die quasi-klassischen Zustände sind fast orthonormal: |hφα|φβi|2 = exp(–|α – β|2 )

φα ≡ exp(– α 2

2 ) ∑n=0

∞αn

n!ψnα ∈ C :Definiere “quasi-klassische” Zustände:

Ü

12) φα(t) ist Eigenzustand des Vernichtungsoperators a zum Eigenwert α(t) = α e-iωt :

a φα(t) =

∑n=1

∞α(t)n-1

(n-1)!ψn-1 = α(t) φα(t)= α(t)

BEW: exp(– 2)|α|2 + iωt ∑n=0

∞

n!α(t)n

a ψn = exp(– 2)|α|2 + iωt n ψn-1n!

α(t)n∑n=0

∞

exp(– 2)|α|2 + iωt


Δ +2ω

c ε(x) = 0→

1 = ε(x) ε *(x) d3x= räumliche Struktur bzw. Polarisation der Feldverteilung:ε(x)

ε0 e ikx(Bsp: ebene Welle mit konstanter Polarisation )

Klassisches monochromatisches Lichtfeld: E(x,t) = i ω2ε0

[ ε(x) α(t) – ε(x)* α*(t) ]

H = E(x,t) d3xε02

2 =B(x,t) d3x2

2+

µ01 ω α(t)* α(t)

BSP: Monochromatisches Lichtfeld als harmonischer Oszillator

B(x,t) = – E(x,t)∂∂t,

Amplitude: α(t) = α(0) e-iωt ist harmonischer Oszillator

Energie:

Maxwell-Gleichung:

PÜ

E(x,t) = c2 B(x,t)∂∂t

ε0

0 = E(x,t) = B(x,t),

B(x,t) = 2ωε0

[ ε(x) α(t) + ε(x)* α*(t) ]


α → a , α* → a+ , [a, a+] = 1

H = ω (a+a + )12Hamilton-Operator:

Quantisierung: H = ω α* α = ω {α* α + α α*}12

|ni ≡ a+nn! |0i

a |ni = n1/2 |n–1i, a+|ni = (n+1)1/2 |n+1i

hn|mi = δnm , N |ni = n |ni

Fock-Zustände (Eigenzustände von H):

hn|E|ni = 0E-Feld-Operator: → kein mittleres elektrisches Feld im Fock-Zustand

Man bezeichnet den Grundzustand durch N |0i = 0

N = a+aZähl-Operator:

⇒

E-Feld-Operator: E = i ω2ε0

[ ε(x) a – ε*(x) a+ ]

ω2ε0

(2n+1) ≠ 0 sogar für n = 0 !ε(x) ε *(x)

( h0|E2|0i ≠ 0 → Vakuum-Fluktuationen )

zählt die in der Mode vorhandenen Photonenε(x)

hn|E2|ni =ΔnE2 =

iξ2

P = (a+ – a)

beim mechanischen Oszillator


|αi ≡ exp(– α 2

2 ) ∑n=0

∞αn

n!|niα ∈ C :

Kohärente Zustände (Eigenzustände von a):

Wahrscheinlichkeit im Zustand |αi genau n Photonen zu finden:

exp(– α 2) α 2n

n!=Pα(n) ≡ |hα|ni|2

→ Poisson Verteilung

n

hNiα

0

ΔαN

Pα(n)

Mittlere Photonenzahl im Zustand |αi : hNiα = hα| N |αi = |α|2

Unschärfe der Photonenzahl im Zustand |αi : ΔαN2 ≡ hN2iα– hNiα2 = |α|2

⇒ ΔαN = hNiα = |α|

ωε02 [ ε(x) α – ε*(x) α* ]hα| E |αi =Mittleres elektrisches Feld:

Varianz des elektrischen Felds: ΔαE ≡ hα| E2 |αi – hα| E |αi2 = ωε02

|ε(x)|unabhängig von Feldamplitude α

Ü

Roy Glauber (1962)Nobelpreis 2005

→ Quantenrauschen des Lasers (Schrotrauschen)

iÜ

Ü


|gi

|ai Ea = ω0

ω0

Eg = 0

Zwei-Niveau-System: ein Model für stimulierte Emission und Absorption

b ≡ |giha| vernichtet Anregung:

Hamilton-Operator: HA ≡ ω0 b+b = ω0 |aiha|

HA |gi = 0

HA |ai = ω0 |ai

⇒

b+ = |aihg| erzeugt Anregung: b+|gi = |ai, b+|ai = 0

b |ai = |gi, b |gi = 0

∂∂t

i = HA |ψi ⇒ |g(t)i = |gi|ψiSchrödinger Gleichung:

|a(t)i = |ai e -iω0t

Alle linearen Überlagerungen A |g(t)i + B |a(t)i sind Lösungen

Betrachtung eines Quantensystems mit zwei diskreten Energie-Niveaus |gi und |ai:

hn| HA |mi = 00

ω0

0Matrixelemente in Basis {|gi, |ai}:


W = d E(t) , E(t) = E0 e-iωt + E0* eiωtWechselwirkung:

Schrödinger-Gleichung mit Wechselwirkung in Basis {|gi, |ai}: |ψi = γ(t) |gi + α(t) |ai

∂∂t

i 0 µ E(t)ω0µ*E(t)α

γ= α

γ∂∂t

i = (HA + W) |ψi|ψi ⇔

Matrix ist zeitabhängig → Lösung einfacher in einer mitrotierenden Basis !

elektrisches Feld

0 µ E(t)0µ*E(t)hn|W |mi =Matrixelemente in Basis {|gi, |ai}:

d = µ b + µ* b+ mit µ ≡ hg| d |aiDipolmoment:

hg| d |gi = ha| d |ai = 0

hg| d |ai = ha| d |gi* = µ

hn| d |mi =µ*0

0

µMatrixelemente in Basis {|gi, |ai}:

⇒Erwartungswert = 0 für {|gi, |ai}kein permanentes Dipolmoment

Zwei-Niveau-Atom mit Wechselwirkung


⇒ |ψi = γ(t) |gi + β(t) |bi mit β(t) = hb|ψi = ha|ψi ei(ωt + θ) = α(t) ei(ωt + θ)

Transformation in eine mitrotierende Basis {|gi, |ai}→ {|gi, |bi}: |bi ≡ |ai e-i(ωt + θ)

Schrödinger-Gleichung ohne Wechselwirkung in mitrotierender Basis R ≡ {|gi, |bi}:

= HB |ψi|ψi∂∂ti

R

|ψi = γ(t) |gi + α(t) |ai

|gi

|bi Eb = -δ

|δ|

Eg = 0

∂∂t

i |ψi = i ( γ(t) |gi + β(t) |bi ) = i ( γ(t) |gi + β(t) |bi ) + i β(t) |bi∂∂t. .

= i ( γ(t) |gi + β(t) |bi ) + ω β(t) |bi = HA |ψi

.. .

∂∂ti

R

. .≡ i ( γ(t) |gi + β(t) |bi ) = HA |ψi – ω β(t) |bi = ω0 |aiha|ψi – ω |bihb|ψi

= ω0 |aiha|ψi – ω |aiha|ψi = – δ |aiha|ψi , δ ≡ ω – ω0

= HB |ψi mit HB ≡ – δ b+b

|ψi

∂∂t

iβγ

= βγ

00

–δ0⇔


Schnell oszillierender Term wird vernachlässigt !

µ* E(t) ei(ωt + θ) = µ* E0 eiθ + µ* E0* ei(2ωt + θ) ≈ µ* E0 eiθ ≡ ωR /2 ≥ 0 reell!

Rabi-Frequenz

Drehwellen-Näherung:

(Wähle θ geeignet)

0 ωR0ωR

2≈⇒

Wechselwirkung in Basis {|gi, |bi}:

0 µ E(t) e-i(ωt + θ)

0µ*E(t) ei(ωt + θ)hn|W |mi = hn| d |mi E(t) =

hn|W |mi

Dipolmoment: hg| d |gi = hb| d |bi = 0

hg| d |bi = hb| d |gi* = µ e-i(ωt + θ)

µ*ei(ωt + θ)0

0µ e-i(ωt + θ)Matrixelemente in Basis {|gi, |bi}: hn| d |mi =

(Stärke der Wechselwirkung)


hn| H |mi =ωR

0 ωR–2δ

2

H = HB + W

|ψi = γ(t) |gi + β(t) |bi

∂∂t β

γ=i 0 ωR

ωR βγ

– 2δ2

⇔∂∂t

i = H |ψi|ψi

0 ωRωR β

γ

– 2δ2β

γ=E⇔E |ψi = H |ψi

Lösung der Schrödinger-Gleichung in der Basis {|gi, |bi}:

Ω ≡ δ2 + ωR2E± = (1 ± ) ,Ω

|δ|-δ2

ξ ≡ arctan( )21 ωR

δmit

Eigenzustände und Eigenwerte: H |φ±i = E± |φ±i

|gi

|bi-δ

0

E+

E−

|φ+i

|φ−iLV = Lichtverschiebung bzw. dynamische Stark-Verschiebung

LV

Ü

|φ+i – sin(ξ) cos(ξ)

|φ–i cos(ξ) sin(ξ)

|gi

|bi=


Rabi-Oszillation:

1

resonant: δ = 0verstimmt

|β(t)|2

Ωt

ωR2

δ2 + ωR2

Spezielle Lösung |ψ(t)i = γ(t) |gi + β(t) |bi mit Anfangsbedingung |ψ(0)i = |gi

– iωR sin(Ωt /2)

Ω cos(Ωt /2) – iδ sin(Ωt /2)

Ω

exp(iδt /2 )β(t)γ(t)

=

|γ(t)|2 = 1 – |β(t)|2Besetzung von |gi :

|β(t)|2 =ωR

2

δ2 + ωR2Besetzung von |bi :

Allgemeine Lösungen der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung:

|ψ(t)i = A+ |φ+i exp(-i t) + A– |φ–i exp(-i t)E+

E–

Ω ≡ δ2 + ωR2

Das System oszilliert zwischen den Niveaus|gi und |bi mit der verallgemeinerten Rabi-Frequenz Ω→ stimulierte Absorption und Emission

sin2(Ωt /2)

A± beliebige complexe Zahlen mit |A+|2 + |A-|2 = 1

Andreas Hemmerich 2017 ©7.1 Universität Hamburg, Physik III, SoSe 2017

7. Bahn-Drehimpuls


Bahn-Drehimpuls:

L = R × P

klassisch: L = r × p

Lx = y pz – z py

Ly = z px – x pz

Lz = x py – y px

quantenmechanisch:

[Lν , Lµ] = i ενµκ Lκ

[Rν , Pµ] = i δνµ i.e., verschiedene Komponenten von Orts– und

Impuls-Operatoren vertauschen ⇒ eindeutige Quantisierungsvorschriftrν → Rν , pν → Pν ⇒

Vertauschungsrelationen:

[L2 , Lµ] = 0

L

rp

=0 falls νµκ nicht alle verschieden1 falls νµκ gerade Permutation von xyz

-1 falls νµκ ungerade Permutation von xyz

(II)

ενµκ ≡ Levi-Civita Symbol

(I)

Mit Rν , Pµ sind auch Lµ selbstadjungiert:

Lx+ = (Y Pz)+ – (Z Py)+ = Pz+Y+ – Py+Z+ = PzY – PyZ = Y Pz – Z Py


BEW (I):

[Lx , Ly] = [Y Pz – Z Py , Z Px – X Pz ]

= [Y Pz , Z Px ] + [Z Py , X Pz ] – [Y Pz , X Pz ] – [Z Py , Z Px ]

= Y Pz Z Px – Z Px Y Pz + Z Py X Pz – X Pz Z Py= Y Pz Z Px – Y Z Pz Px + X Z Pz Py – X Pz Z Py= Y [Pz , Z] Px + X [Z , Pz ] Py = – i Y Px + i X Py = i Lz

⇒ [L2 , Lx] = [Lx2 + Ly2 + Lz2 , Lx] = [Ly2 , Lx] + [Lz2 , Lx] = 0

[Ly2 , Lx] = Ly2 Lx – Lx Ly2 = Ly Lx Ly – i LyLz – Lx Ly2 = Lx Ly Ly – i (LyLz + LzLy) – Lx Ly2

[Lz2 , Lx] = Lz

2 Lx – Lx Lz2 = Lz Lx Lz + i LzLy – Lx Lz

2 = Lx Lz Lz + i (LyLz + LzLy) – Lx Lz2

BEW (I)⇒ (II):

= – i (LyLz + LzLy)

= i (LyLz + LzLy)

[Ly , Lx] = -i Lz

[Ly , Lx] = -i Lz

[Lz , Lx] = i Ly


Für selbstadjungierte Operatoren Lν, ν 2 {x,y,z} , die den Vetauschungsrelationen (I) genügen, gilt:

L2 |, mi = 2 (+1) |, mi

Lz |, mi = m |, mi

= 0, ,1, , 2.... ganzzahlig oder halbzahlig32

12Mögliche Eigenwerte von L2 sind 2 (+1) mit

Für jeden Wert gibt es 2 +1 gemeinsame Eigenzustände |, mi von L2 und Lz

mit m ∈ { -, -+1,..., -1, }, sodass

BEH:

Eigenwerte und Eigenzustände von Drehimpuls-Operatoren:

m-2 -1 0 1 2-3/2 -1/2 1/2 3/2

01/2

3/2

2

1

= 0, ,1, , 2.... ganzzahlig oder halbzahlig32

12

m ∈ { -, -+1,..., -1, }


Leiter-Operatoren: L± = Lx ± i Ly ⇒

BEW: wird in der theoretischen QM durchgeführt (siehe z.B. Cohen-Tannoudji, Quantum Mechanics I, Wiley)

(Statt L2 , Lz kann man auch andere Paarungen L2 , Lµ betrachten)

Die Existenz eines gemeinsamen Systems von Eigenzuständen für L2 , Lz folgt aus [L2 , Lz] = 0.

rekursiv konstruieren ähnlich wie beim harmonischen Oszillator.Die Eigenvektoren und Eigenwerte lassen sich mit Hilfe geschickt gewählter Leiteroperatoren

(c) L–L+ = L2 - Lz2 - Lz

(a) L++ = L–

Ü

(d) L+L– = L2 - Lz2 + Lz

(b) [Lz , L±] = ± L±

(e) [L2 , L±] = 0

(b) [Lz , L±] = Lz (Lx ± i Ly) - (Lx ± i Ly) Lz = LzLx ± i LzLy - (LxLz ± i LyLz )

= LzLx - LxLz ± i (LzLy - LyLz ) = i Ly ± Lx = ± (Lx ± i Ly) = ± L±


6

2

1

0

-1

-2

Lz

152

3/2

Lz

1/2

-1/2

-3/2

Quantisierung des Drehimpuls:

= 2 : L2 |2, mi = 2 6 |2, mi

Lz |2, mi = m |2, mi

= 3/2 : L2 |3/2, mi = 2 15/4 |3/2, mi

Lz |3/2, mi = m |3/2, mi

m = -3/2, -1/2, 1/2, 3/2

m = -2, -1, 0, 1, 2

ΔLx = ΔLy = 6 – m2

hLxi = hLyi = 0

ΔLx = ΔLy = 15/4 – m2

hLxi = hLyi = 0

2

2

Drehimpulsvektorenpräzedieren um z-Achse

ΔLx2 + ΔLy

2


θ

φx

z

y

θ ∈ [0,π]

φ ∈ [0,2π]

Lx = Y Pz – Z Py =

Ly = Z Px – X Pz =

Lz = X Py – Y Px =i

∂∂y

∂∂x

x y–

∂∂z

∂∂y

y z–ii

∂∂x

∂∂z

z x–

Kartesische Koordinaten:

Polar-Koordinaten:x = r sin(θ)cos(φ)y = r sin(θ)sin(φ)z = r cos(θ)

d3r = dx dy dz = r2 dr dΩdΩ = sin(θ) dθ dφ

Volumenelement:Lx = Y Pz – Z Py = i ∂

∂θsin(φ)+cos(φ)tan(θ)

∂∂φ

∂∂θcos(φ)–

sin(φ)tan(θ)

∂∂φLy = Z Px – X Pz = i

Lz = X Py – Y Px = -i ∂∂φ

L2 = – 2 +1

tan(θ)∂∂θ

∂2

∂θ2+

1sin2(θ)

∂2

∂φ2

∆ =– 22m

∂2

∂r2rr

1 +P22m

L22m r2

= – 22m

(i)

(ii)

(iii)

Der Bahn-Drehimpuls in Polar-Koordinaten:

Ü

Ü

Lx,y,z wirken nur auf Winkelvariablen θ, φ.


Lz = X Py – Y Px =i

∂∂yx ∂

∂xy–BEW (i):

=∂∂x ∂φ

∂x + + = – r sin(θ)sin(φ) ∂∂x r sin(θ)cos(φ)+

∂∂y

∂∂φ

∂∂y ∂φ

∂y ∂∂φ∂z

∂z

= – y ∂∂x x+

∂∂y

x = r sin(θ)cos(φ)y = r sin(θ)sin(φ)z = r cos(θ)

Wende Kettenregel an auf f(x,y,z) = f( x(r,θ,φ) , y(r,θ,φ) , z(r,θ,φ) ) :

=∂∂x ∂θ

∂x + + = r cos(θ)cos(φ) ∂∂x r cos(θ)sin(φ)+

∂∂y

∂∂θ

∂∂y ∂θ

∂y ∂∂z ∂θ

∂z – r sin(θ) ∂∂z

∂∂θ

sin(φ)+cos(φ)tan(θ)

∂∂φ

∂∂θ

cos(φ)–sin(φ)tan(θ)

∂∂φ

=

∂∂yz= – y ∂

∂z

∂∂x0 · r cos(θ) (sin2(φ) + cos2(φ))+ ∂

∂y – r sin(θ)sin(φ) ∂∂z

=∂∂x 0 ·– r cos(θ) (sin2(φ) + cos2(φ)) +

∂∂y + r sin(θ)cos(φ) ∂

∂z∂∂x– z= + x ∂

∂z


m = 0 ±1 ±2

= 0

= 1

= 2

Polar-Diagramme von |Y (θ,φ)|2m

Eigenzustände des Bahn-Drehimpuls-Operators:

L2 |, mi = 2 (+1) |, mi

Lz |, mi = m |, mi

Es gilt:

mit ganzzahligen Werten: = 0,1,...

und m ∈ { -, -+1,..., -1, }

|, mi =Y (θ,φ) ≡m (-1) +m

2 !

(2 + 1) ( - m)!4π ( + m)!

eimφ sinm(θ) d+m

d(cos(θ))+msin2(θ)

Y 1 (θ,φ) ≡ sin(θ) e±iφ±1

8π3

Y 1 (θ,φ) ≡ cos(θ)0

4π3

Y0 (θ,φ) ≡0

4π1

ist rotationssymmetrisch um z-Achse|Y (θ,φ)|2m

Kugelflächenfunktionen

= 1, m = 0,±1

z


Schrödinger Gleichung im Zentralpotential:

∆ =– 22m

∂2

∂r2rr

1– 22m

+P22m = L2

2m r2

P22m + V(R)H =

H ψ = E ψ , ψ(r,θ,φ) = R(r) Ym (θ,φ)

→

V = V(r) hängt nur von Radial-Koordinate r ab ⇒ [ Lq, V ] = 0, q ∈ {x,y,z}

⇒

L2 Ym (θ,φ) = 2 (+1) Ym (θ,φ)

R(r)∂2

∂r2rr

1– 22m +

2m r22 (+1) = E R(r)+ V(r)

⇒ H, L2, Lz kommutieren ⇒ Es gibt eine gemeinsame Eigenbasis

Radial-Gleichung:

R(r) = u(r) / r ⇒ u(r)∂2

∂r2– 22m +

2m r22 (+1)

= E u(r)+ V(r)

Zentrifugal-Potential


8. Das Wasserstoff-Atom


En = En = mc2

2 n21– α2 Z2

n = 1,2,... = 0,1,.., n-1

Schrödinger Gleichung im Coulomb-Potential:

V(r) = –4πε0

1 Z e2

r

un (r)∂2

∂r2– 22m +

2m r2

2 (+1)= En un (r)

4πε0

1 Z e2

r–

Rn (r) = un (r) / r ≡ Nn e ρn Ln+, 2 +1(ρn) , ρn ≡ (2Z r / na0) , a0 ≡ Bohr-Radius

Gebundene Zustände: E2

E1

Zentrifugal-Potentialfür = 1

Coulomb-Potential

Lν,µ(ρ) ≡ (∂/∂ρ)µ eρ (∂/∂ρ)ν e-ρ ρν assoziierte Laguerre-Polynome

Nn ≡ Normierungskonstanten

BEW: Theorievorlesung, siehe z.B. Cohen-Tannoudji, Quantum Mechanics I, Wiley

4πε0

e2

cα ≡

≈ 1/137Feinstruktur-Konstante

ψnm(r,θ,φ) = un (r) Ym (θ,φ)r1

Lösung der Radialgleichung:

- ρn/2

effektives Potential


2 4 6 80

-1

E(r)/|E1| Gesamt-Energie, E(r) = hψ|V(R)|ψi + hψ| |ψi

V(r)/|E1| Coulomb-Potential

Zr/a0

a0 =4πε0

2

mee2

E1 = mc2

2– α2 Z2

4πε0

e2

cα =

Warum ist der Grundzustand stabil ? Warum gibt es keine Zustände mit E < E1 ?

Unterhalb der Energie E1 ist der Aufwand an kinetischer Energie für die Lokalisierung derWellenfunktion gößer als der Gewinn an potentieller Energie !

Diese Lokalisierungsenergie ist eine fundamentale Konsequenz der Wellennatur der Materie

ψ(r)

P2

2m


hHinm

s p dm = 0,±1 m = 0,±1,±2

hHinm =(4πε0)2

1 m Z2 e4

22 n21–

hL2inm = 2 (+1)

hLzinm = m 5 a0

n = 3

n = 1

n = 2

s: = 0 p: = 1 d: = 2m = 0 m = 0m = 0

x

z

1s

2s 2p

3s 3p 3d

Rotations-Symmetrieum z-Achse !

Wasserstoff- Wellenfunktionen |ψ|2

Spektroskopie-Konvention: s: sharp p: principal d: diffuse f: fundamental g,h,i,...0 1 2 3 4,5,6,...


Bohr: Atome emittieren oder absorbieren beim Übergang zwischen zwei stationärenZuständen der Energiewerte Em bzw. En Photonen der Frequenz (Em- En)/

Klassische Physik: Absorption oder Emission von Strahlung erfordert das oszillierendeDipolmoment einer Antenne

Stationäre Zustände haben kein Dipolmoment

BSP:

x

z

Strahlungsübergänge:

Ladungsverteilung stationärer Zustände symmetrisch bzgl. Ursprung → keine Ladungstrennung

|2p,m=0i |1si


|2p,m=0i

Frage: Welche Überlagerungen |ψi zweier stationärer Zustände besitzen ein Dipolmoment, i.e.,einen nicht verschwindenden Erwartungswert hψ|D|ψi des Dipol-Operators D = e R ?

→→→

Jedoch Überlagerung zweier stationärer Zustände kann zu Dipolmoment führen

x

z

|1si

+ =

⇒ Strahlungsauswahlregeln für Dipolübergänge

|2p,m=0i + A eiφ |1si

+ =


Dipol-Operator: D = e R, R = Ortsoperator→ → →

hn,,m| D |n’,’,m’i→

= dr dΩ r2 Rn (r) Ym(θ,φ)* r Rn’’ (r) Y’m’(θ,φ)e→

dr r2 Rn (r) r Rn’’ (r)0

∞e=

0

2π

0

π

Ym(θ,φ)* Y’m’(θ,φ)sin(θ)cos(φ)sin(θ)sin(φ)

cos(θ)

Betrachte die Matrixelemente des Dipol-Operators:

Auswahlregeln:

dθ dφ sin(θ)

φ-Integration: Δm = 0,±1θ-Integration: Δ = ±1r-Integration: Δn ≠ 0

hn,,m| D |n’,’,m’i ≠ 0→

⇔

insbesondere erwartungsgemäß: hn,,m| D |n,,mi = 0→


W(t)

|gi

|ai

Strahlungsübergänge:elektromag. Feld

D = e R, R = Ortsoperator→ → →

W = - D E(t)→ →

Gesamt Hamilton-Operator: H = H0 + W(t)

Operator des elektrischen Dipolmoments:

• Fall 1: Atom im externen elektromag. Feld (z.B. in einem Laserstrahl)stimulierte Absorption bzw. Emission (periodische Dynamik der Besetzungen derZustände |gi, |ai )

Atom für t = 0 in |gi→ externes Feld führt zu einer kleinen Beimischung von |ai→ elektrisches Dipolmoment bildet sich aus → Energieaufnahme aus dem Feld→ Atom geht über in den Zustand |ai→ externes Feld führt zu einer Beimischung von |gi→ elektrisches Dipolmoment bildet sich aus → Energieabgabe an das Feld→ Atom geht über in den Zustand |gi→ und so weiter ...

|ai,|gi Eigenzustände des atomaren Hamilton-Operators H0

• Fall 2: Atom im elektromag. Feld des Vakuums: hEi = 0, hE2i ≠ 0spontane Emission falls Atom im angeregten Zustand |ai

Atom für t = 0 in |ai→ Vakuumfluktuationen führen zu einer winzigen Beimischung von |gi → elektr. Dipolmoment bildetsich aus → Emission eines Photons → Atom geht über in den Zustand |gi. Atom bleibt in |gi, da Energieaufnahme ausdem Vakuumfeld nicht möglich. Emittiertes Photon kehrt nicht mehr zum Atom zurück.


n=1

n=2

n=3

s p dm = 0,±1 m = 0,±1,±2

Dipolübergänge im Wasserstoff-Atom:

Das 2S-Niveau kann aufgrund der Auswahlregeln nicht über einen Dipolübergang zerfallen,

obwohl es nicht den Grundzustand darstellt. Solche Niveaus nennt man metastabil.Die natürliche Lebensdauer des 2p-Niveaus beträgt 1.06 ns, die des 2s-Niveaus etwa 0.14 sec.


n=1

n=2

s pm = 0,±1

zur Zeit t=0 : |ψi = |2,1,mi + |1,0,0i12

12

Für spätere Zeiten t > 0 : |ψ(t)i = exp(-iE2 t /) |2,1,mi + exp(-iE1 t /) |1,0,0i

hψ(t)| D |ψ(t)i = h2,1,0| D |1,0,0i exp( -i(E2–E1) t /) + c.c.→ →1

2

12

12

BSP: Überlagerung von [2P, m ∈ {0,±1}] mit [1S]

Berechnung der Matrixelemente→

h2,1,m| D |1,0,0i =

dr r2 R2,1(r) r R1,0(r)0

∞

IR

e=0

2π

0

π

Y0,0(θ,φ) Y1,m(θ,φ)*sin(θ)cos(φ)sin(θ)sin(φ)

cos(θ)dθ dφ sin(θ)

Betrachte Überlagerung der Zustände |2,1,mi und |1,0,0i :


hψ±1(t)| D |ψ±1(t)i =→

± cos(ωt)sin(ωt)

0

12

e3

IR

hψ0(t)| D |ψ0(t)i =→

cos(ωt)0

e3

IR0

⇒

0

2π

0

π

Y1,m(θ,φ)*sin(θ)cos(φ)sin(θ)sin(φ)

cos(θ)dθ dφ sin(θ)= e

4πIR

→h2,1,±1| D |1,0,0i =

±1i0

e3

IR12

→h2,1,0| D |1,0,0i =

001

e3

IR

12

|ψm(t)i = exp(-iE2 t /) |2,1,mi + exp(-iE1t /) |1,0,0i12

Erwartungswert des Dipolmoments:


+ =

12

|ψ±1(t)i = exp(-iE2 t /) |2,1,±1i + exp(-iE1 t /) |1,0,0i12

hψ±1(t)| D |ψ±1(t)i =→

± cos(ωt)sin(ωt)

0

12

e3

IR

Überlagerung von [2p, m=±1] mit [1s] :

2p, m=±1 1sx

y

n=1

n=2

s pm = 0,±1

Dipolmoment oszilliert (links, rechts) zirkular polarisiert in xy-Ebene !


Schwerpunkts – und Relativ-KoordinatenBetrachte zwei Teilchen der Massen m1, m2 mit Orts – und Impuls-Operatoren R(1), P(1), R(2), P(2)

Vertauschungsrelationen: [R(i)ν , P(j)

µ] = i δνµ δij , ν, µ ∈ {x,y,z} , i , j ∈ {1,2}

R(s) =m1R(1) + m2R(2)

m1 + m2

R(r) = R(1) – R(2) P(r) =m2P(1) – m1P(2)

m1 + m2

P(s) = P(1) + P(2)

Neue Koordinaten: R(s) = Schwerpunkts-Koordinate, R(r) = Relativ-Koordinate

(i) [R(i)ν , P(j)

µ] = i δνµ δij , n, m ∈ {x,y,z} , i , j ∈ {r,s}

P(1) =m1

m1 + m2P(s) + P(r) P(2) =

m2

m1 + m2P(s) – P(r)

Es gelten folgende Beziehungen:

(ii)

(iii) P(1)2

2m1

P(2)2

2m2+ = P(s)2

2MP(r) 2

2µ+

M ≡ m1 + m2

µ ≡ m1 m2 / M reduzierte Masse

Gesamt-Masse


H = P(1)2

2m1

P(2)2

2m2+ + V(R(1) – R(2))

H = H(s) + H(r) H(r) =P(r) 2

2µ+ V(R(r))H(s) = P(s)2

2M

Es folgt [H(s) , H(r)] = 0 ⇒ Es gibt eine gemeinsame Eigen-Basis |φκi:

H(s) |φκi = Eκ(s) |φκi

H(r) |φκi = Eκ(r) |φκi

H |φκi = (Eκ(s) + Eκ

(r)) |φκi

Zwei-Körper-Problem (Massen m1, m2) :

Potential V hänge nur von Relativ-Koordinate ab

BSP: Wasserstoff-Atom = Proton + Elektron ⇒ Betrachte Ein-Körper-Problem mitreduzierter Masse µ

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