CURS facultativ ELEMENTE DE TEORIA DISTRIBUT¸IILORmath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Curs...
Transcript of CURS facultativ ELEMENTE DE TEORIA DISTRIBUT¸IILORmath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS II_Curs...
-
CURS facultativ
ELEMENTE DE TEORIA DISTRIBUŢIILOR
1. Noţiunea de distribuţie
Fie ϕ : R → C o funcţie; definim suportul prin ı̂nchiderea mulţimii pentru care ϕ nu seanulează, adică
supp ϕ = {t ∈ R|ϕ(t) , 0}.
Se poate demonstra că suportul este complementara celei mai mari mulţimi deschise pecare ϕ se anulează.Dacă funcţia ϕ admite derivate de orice ordin, vom spune că este indefinit derivabilă şivom nota ϕ ∈ C∞(R). Introducem următoarea clasă de funcţii:
D = {ϕ ∈ C∞(R)|supp ϕ mărginit} .
Prin definiţie suportul este o mulţime ı̂nchisă, deci mărginirea suportului este echivalentăcu faptul că suportul este o mulţime compactă şi clasa D se mai numeşte clasa funcţiilorindefinit derivabile cu suport compact.Elementele din D se numesc funcţii test. Se constată uşor că D este spaţiu vectorialpeste corpul numerelor complexe C; ı̂ntr-adevăr dacă ϕ, ϕ1, ϕ2 ∈ D şi α ∈ C, atunciαϕ ∈ C∞(R), ϕ1 + ϕ2 ∈ C∞(R), iar supp αϕ = α supp ϕ, iar supp( ϕ1 + ϕ2) ⊂supp ϕ1 ∪ supp ϕ2.
Exemplul 1.1. Funcţia definită prin
ωε(t) =
cεeε2
t2−ε2 , |t| < ε0, |t| ≥ ε,
unde cε este astfel ales ı̂ncât ∫Rωε(t)dt = 1.
este funcţie test şi este cunoscută sub numele de scufiţă.
Lema 1.1. Pentru orice interval (a, b) ⊂ R şi ∀ε > 0 există η ∈ C∞(R), cu următoareleproprietăţi:
1. 0 ≤ η ≤ 12. η(t) = 1 pentru t ∈ (a− ε, b+ ε)3. η(t) = 0, pentru t < (a− 3ε, b+ 3ε) .
1
-
2 Daniela Roşu
Definiţia 1.1. Fie ϕn, ϕ ∈ D, n ∈ N , şirul ϕn converge ı̂n D la ϕ şi notăm
D
ϕn −→ ϕdacă există A > 0, astfel ca supp ϕn, supp ϕ ⊂ S(0, A) şi
uniformϕ(k)n −→ ϕ(k)
∀k ∈ N, n→ +∞ ( convergenţa este uniformă). Vom mai nota ϕn → ϕ ı̂n D.
Indicăm câteva operaţii cu funcţii, care au ca rezultat tot funcţii test. Dacă f este ofuncţie oarecare de clasă C∞(R) şi ϕ o funcţie test, atunci prin ı̂nmulţirea lor, se obţinetot o funcţie test. Dacă ϕ, funcţie test este compusă cu at+b, rezultatul este tot o funcţietest. De asemenea, dacă derivăm o funcţie test, rezultatul este tot o funcţie test.
Definiţia 1.2. Funcţionala T : D→ C se numeşte distribuţie dacă1. T este liniară, adică T (α1ϕ1 + α2ϕ2) = α1T (ϕ1) + α2T (ϕ2),∀α1, α2 ∈ C, ∀ϕ1, ϕ2 ∈ D.
2. T este continuă (prin şiruri), adică ∀ϕn ∈ D, ϕn → ϕ ı̂n D rezultă
T (ϕn)→ T (ϕ).
Notăm cu D′, mulţimea tuturor distribuţiilor, care se mai numeşte dualul lui D. Vomfolosi diferite notaţii
T (ϕ) = (T, ϕ) = (T (x), ϕ(x))ultima pentru a indica explicit variabila independentă a funcţiei test; nu se poate definivaloarea unei distribuţii ı̂ntr-un punct, totuşi vom folosi notaţia pentru a pune ı̂n evidenţăasupra cărei variabile se aplică distribuţia.
Definiţia 1.3. Două distribuţii T1, T2 se numesc egale şi notăm T1 = T2, dacă (T1, ϕ) =(T2, ϕ), ∀ϕ ∈ D.
Definiţia 1.4. Şirul Tn ∈ D′ converge slab la T ∈ D′ dacă pentru orice ϕ ∈ D, are loc
(Tn, ϕ)→ (T, ϕ)
Teorema 1.1. Dacă Tn este un şir din D′ cu proprietatea că pentru orice ϕ ∈ D şirulnumeric (Tn, ϕ) este convergent, atunci funcţionala T definită prin
(T, ϕ) = limn→+∞
(Tn, ϕ)
este din D′.
-
Elemente de teoria distribuţiilor 3
Definiţia 1.5. Dacă Tn ∈ D′, n ∈ N atunci spunem că seria+∞∑n=1
Tn este slab convergentă
la T ı̂n D′, dacă şirul sumelor parţiale Sn = T1 + . . . Tn este slab convergent la T şi notăm+∞∑n=1
Tn = T.
Exemple de distribuţii
Distribuţii de tip funcţie (regulate) Fie f o funcţie integrabilă pe orice interval [a, b] ⊂R. Notăm mulţimea acestor funcţii L1loc(R) şi funcţiile vor fi numite local integrabile.Evident că dacă f este integrabilă pe R, atunci ea este din L1loc(R), dar există funcţiilocal integrabile pe R, care nu sunt integrabile: de exemplu funcţia constantă 1 estelocal integrabilă, şi nu este integrabilă pe R. Pentru o funcţie local integrabilă, definimdistribuţia generată prin formula:
Tf : D→ C, (Tf , ϕ) =∫Rf(t)ϕ(t)dt, ∀ϕ ∈ D. (1)
Dacă de exemplu f = u, funcţia unitate, obţinem distribuţia Heaviside:
(Tu, ϕ) =∫ +∞
0f(t)ϕ(t)dt, ∀ϕ ∈ D. (2)
Lema 1.2. (du Bois-Raymond)Fie f o funcţie local integrabilă pe R. Atunci Tf = 0 dacăşi numai dacă f = 0 aproape peste tot.
Spunem că o proprietate are loc aproape peste tot dacă pentru orice ε > 0, mulţimeapentru care acea proprietate nu are loc poate fi acoperită cu intervale a căror lungimetotală este mai mică decât ε.
Distribuţii singulare.
O distribuţie este singulară dacă nu există nici o funcţie local integrabilă care să o generezeı̂n sensul formulei (1). Definim distribuţiile Dirac prin:
δ : D→ C (δ, ϕ) = ϕ(0), ∀ϕ ∈ D (3)
δa : D→ C (δa, ϕ) = ϕ(a), a ∈ R, ∀ϕ ∈ D. (4)
Teorema 1.2. Distribuţia Dirac este singulară.
O distribuţie poate fi generată de funcţii care nu sunt local integrabile, astfel se obţindistribuţii valori principale.
-
4 Daniela Roşu
Exemplul 1.2. Funcţionala notată Vp1t
şi definită prin
(V p1t, ϕ) = vp
∫ +∞−∞
ϕ(t)tdt = lim
ε↘0
(∫ −ε−∞
ϕ(t)tdt+
∫ +∞ε
ϕ(t)tdt
)(5)
este o distribuţie.
Soluţie. Funcţia 1t
nu este integrabilă pe nici un interval care conţine originea. Sădemonstrăm că formula (5) defineşte o distribuţie. Pentru aceasta arătăm mai ı̂ntâi căexistă limita din membrul al doilea. Deoarece ϕ este nulă ı̂n afara unui interval [−A,A]şi
limε↘0
(∫ −ε−A
ϕ(0)tdt+
∫ Aε
ϕ(0)tdt
)= 0,
limita din definiţie (5) există simultan cu următoarea
limε↘0
(∫ −ε−∞
ϕ(t)− ϕ(0)t
dt+∫ +∞ε
ϕ(t)− ϕ(0)t
dt
).
Ultima integrală există deoarece
|ϕ(t)− ϕ(0)t
| ≤ supt∈[−A,A]
|ϕ′(t)| < +∞.
Evident corespondenţa ϕ → (V p1t, ϕ) este C-liniară. Să mai arătăm că este şi continuă
prin şiruri. Fie ϕn → 0 ı̂n D; atunci există A > 0, astfel ca suppϕn ⊂ [−A,A], ∀n ≥ 1.Ca mai ı̂nainte
(V p1t, ϕn) = vp
∫ A−A
ϕn(t)− ϕn(0)t
dt.
Dar|ϕn(t)− ϕn(0)
t| ≤ sup
t∈[−A,A]|ϕ′n(t)| → 0 pentru n→ +∞.
Deci |(V p1t, ϕn)| → 0, dacă n→ +∞.
Exemplul 1.3. Următoarele egalităţi sunt adevărate:
1t+ j0 = −jπδ(t) + V p
1t
1t− j0 = jπδ(t) + V p
1t
(6)
numite formulele lui Sohotski.
Soluţie. Au loc relaţiile:
limε→0
∫ +∞−∞
ϕ(t)t+ jεdt = −jπϕ(0) + V p
∫ +∞−∞
ϕ(t)tdt
-
Elemente de teoria distribuţiilor 5
limε→0
∫ +∞−∞
ϕ(t)t− jε
dt = jπϕ(0) + V p∫ +∞−∞
ϕ(t)tdt
Demonstrăm prima egalitate. Dacă ϕ = 0 pentru |x| > A, atunci
limε→0
∫ +∞−∞
ϕ(t)t+ jεdt = limε→0
∫ A−A
t− jεt2 + ε2ϕ(t)dt =
= ϕ(0) limε→0
∫ A−A
t− jεt2 + ε2dt+ limε→0
∫ A−A
(t− jε)(ϕ(t)− ϕ(0))t2 + ε2 dt =
= −2jϕ(0) limε→0
arctan Aε
+∫ A−A
ϕ(t)− ϕ(0)t
dt =
= −jπϕ(0) + V p∫ +∞−∞
ϕ(t)tdt.
Relaţia de mai sus exprimă convergenţa ı̂n D′ a şirului 1t+jε , dacă ε→ 0; notăm valoarea
limitei cu 1t+ j0. Analog se obţine şi cea de a doua relaţie.
Distribuţii ı̂n Rn
Introducem următoarea clasă de funcţii indefinit derivabile cu suport compact. Pentruaceasta să precizăm unele notaţii. Considerăm α un multiindice, adicăα = (α1, · · · , αn), αi ∈ N şi notăm cu |α| = α1 + · · ·+ αn. Fie operatorul de derivare
Dαf(x) = ∂|α|f(x1, · · · , xn)∂α1x1 · · · ∂αnxn
, D0f(x) = f(x), x = (x1, x2, · · ·xn).
Pentru orice deschis D ∈ Rn, considerăm clasa
C∞(D) = {f : D → C,Dαf continuă ∀α}
şi vom defini funcţiile test, ca elemente ale următoarei mulţimi:
D(Rn) = {ϕ ∈ C∞(Rn)|supp ϕ mărginit} .Putem defini şi ı̂n acest caz scufiţa prin
ωε(x) =
cεeε2
|x|2 − ε2 , |x| < ε0 |x| ≥ ε
,
unde cε este astfel ales ı̂ncât∫Rnωε(x)dx = 1.
Să precizăm că ı̂n relaţiile de mai sus, |x| =√x21 + · · ·x2n, iar pentru simplificare
dx = dx1dx2 · · · dxn,
iar integrala este multiplă (pe Rn). Se poate arăta că
-
6 Daniela Roşu
ωε(x) =1εnω1
(x
ε
).
În mod analog se defineşte converegnţa ı̂n D(Rn) şi noţiunea de distribuţie, iar la distribuţiilede tip funcţie integralele sunt luate pe Rn.
Suportul unei distribuţii
Definiţia 1.6. Fie T ∈ D′; spunem că T se anulează pe mulţimea deschisă D ⊂ R, dacă∀ϕ ∈ D, cu supp ϕ ⊂ D, are loc (T, ϕ) = 0.
Definiţia 1.7. Fie T ∈ D′; numim suportul distribuţiei T complementara celei mai marimulţimi deschise pe care T se anulează. Notăm supp T .
Exemplul 1.4. Să determinăm suportul distribuţiilor Dirac şi Heaviside.
Soluţie. 1 supp δa = a, deoarece δa se anulează pe R \ {a}2. supp Tu = [0,+∞), unde reamintim că Tu este distribuţia Heaviside.
Distribuţii cu suport compact
Dacă notăm cuE = {f : R→ C, f ∈ C∞(R)}
definim următoarea convergenţă a şirurilor: ϕn → ϕ ı̂n E, dacă ϕ(k)n → ϕ(k)
∀k ∈ N , uniform pe orice compact K ⊂ R.Notăm cu E′ mulţimea tuturor funcţionalelor T : E→ C, C−liniare şi continue, relativ laconvergenţa de mai sus. Se poate demonstra că mulţimea distribuţiilor cu suport compactcoincide cu E′.
Operaţii cu distribuţii
Definiţia 1.8. Dacă T1, T2 ∈ D′, definim suma T1 + T2, ca distribuţia dată de
(T1 + T2, ϕ) = (T1, ϕ) + (T2, ϕ), ∀ϕ ∈ D. (7)
Dacă λ ∈ C, T ∈ D′, definim ı̂nmulţirea unei distribuţii cu scalar prin
(λT, ϕ) = λ(T, ϕ), ∀ϕ ∈ D. (8)Dacă f ∈ C∞ şi T ∈ D′ definim ı̂nmulţirea unei distribuţii cu funcţii indefinit derivabileprin
(f T, ϕ) = (T, f ϕ), ∀ϕ ∈ D. (9)
-
Elemente de teoria distribuţiilor 7
Exemplul 1.5. Arătaţi că au loc:1. (fδa, ϕ) = f(a)(δa, ϕ), unde f ∈ C∞(R)2. tnδ = 0.
Soluţie. Pentru ambele afirmaţii folosim (9) şi definiţia distribuţiei Dirac. Avem
(fδa, ϕ) = (δa, fϕ) = f(a)ϕ(a) = f(a)(δa, ϕ).A doua se deduce din prima, pentru a = 0 şi f(t) = tn.
Exemplul 1.6. Dacă T ∈ D′ şi η ∈ C∞(R) este egală cu 1 pe o vecinătate a mulţimiisupp T , atunci are loc T = ηT .
Soluţie. Într-adevăr, are loc
(T − ηT, ϕ) = (T, (1− η)ϕ) = 0,
deoarece supp (1− η)ϕ ∩ supp T = ∅.
Definiţia 1.9. Dacă T ∈ D′, iar u = at+ b, a , 0, formula
(T (at+ b), ϕ(t)) = 1|a|
((T (u), ϕ
(u− ba
))(10)
se numeşte distribuţia obţinută prin schimbarea variabilei independente.
Se poate arăta că T (at+b) este o distribuţie. Dacă f ∈ L1loc, atunci formula (10) reprezintăschimbarea de variabilă ı̂ntr-o integrală.
Exemplul 1.7. Să demonstrăm că distribuţia Dirac are proprietăţile:
(δ(at+ b), ϕ(t)) = 1|a|ϕ(− b
a) (11)
(δ(at), ϕ(t)) = 1|a|ϕ(0) = 1
|a|(δ, ϕ) (12)
δ(−t) = δ(t) (13)
δ(t− a) = δa. (14)
Soluţie. Dacă aplicăm formula (10) pentru δ obţinem (11). Pentru b = 0, a , 0 avem(12). Din egalitatea precedentă deducem ”paritatea” distribuţiei Dirac, adică (13). Dacăa = 1, b = −a, atunci
(δ(t− a), ϕ(t)) = (δ(u), ϕ(u+ a)) = ϕ(a) = (δa, ϕ),
de unde se obţine (14).
-
8 Daniela Roşu
1.1. Probleme propuse.1.1 Care din următoarele funcţii sunt funcţii test?
a. u(t) ={
1, t ≥ 00, t < 0
b. hε(t) =
12ε, t ∈ [−ε,+ε]0, t < [−ε,+ε]
c. ϕ(t) ={
sin t, t ∈ [0.π]0, t < [0, π]
d. f(t)={
1, x ∈ Q0, t ∈ R \Q
e. ϕ(t) = et, t ∈ R
f. ϕ(t) ={e
1t2−a2 , |t| ≤ a
0, |t| > a
g. ϕ(t) ={
sin( t−ab−aπ), t ∈ [a, b]
0, t < [a, b].1.2 Dacă ı̂n exemplul (1.1) luăm ε = 1
n, arătaţi că
limn→∞
cn = +∞.
1.3 Să se arate că şirul ϕn(t) = 1n
{e
1t2−a2 , |t| < a
0, |t| > aeste convergent ı̂n D la funcţia
identic nulă.1.4 Pentru orice interval (a, b) ⊂ R şi ε > 0 există η ∈ C∞(R), cu următoarele
proprietăţi:1. 0 ≤ η ≤ 12. η(t) = 1 pentru t ∈ (a− ε, b+ ε)3. η(t) = 0, pentru t < (a− 3ε, b+ 3ε).
1.5 Să se arate că orice funcţie ϕ ∈ D poate fi reprezentată sub forma
ϕ(t) = ψ′(t) + ϕ0(t)∫Rϕ(t)dt
unde ϕ0, ψ ∈ D şi∫Rϕ0(t)dt = 1.
1.6 Să arate că o funcţie ϕ ∈ D este derivata unei funcţii dacă şi numai dacă∫Rϕ(t)dt = 0.
1.7 Fie funcţiile ϕ, η ∈ D cu proprietatea că există o vecinătate V a lui 0, astfel caη(t) = 1, ∀t ∈ V . Atunci pentru orice m ∈ N∗ funcţia ψm ∈ D, unde
ψm(t) =
1tm
(ϕ(t)− η(t)
m−1∑k=0
ϕ(k)(0)k! t
m
), t , 0
limt→0
1tm
(ϕ(t)− η(t)
m−1∑k=0
ϕ(k)(0)k! t
m
), t = 0.
În particular, pentru m = 1, ψ1 ∈ D
-
Elemente de teoria distribuţiilor 9
ψ1(t) =
ϕ(t)− η(t)ϕ(0)
t, t , 0
limt→0
ϕ(t)− η(t)ϕ(0)t
, t = 0,
unde η, ϕ ∈ D şi η ≡ 1 pe V .1.8 Arătaţi că dacă f ∈ L1loc(R), formula (1) defineşte o distribuţie. Definiţi
distribuţia Heaviside generată de funcţia unitate. Arătaţi că funcţiile u1(t) ={1, t > 00, t ≤ 0 şi u2(t) =
1, t > 012 , t =
12
0, t ≤ 0generează tot distribuţia Heaviside.
1.9 Arătaţi că ı̂n următoarele cazuria. f este o funcţie continuă pe Rb. f = u · g, unde g este continuă, iar u este funcţia unitate
are loc supp Tf = supp f .1.10 Arătaţi că dacă f1, f2, f ∈ L1loc(R), atunci Tf1+f2 = Tf1 +Tf2 şi Tαf = αTf ,∀α ∈ C.1.11 Să se demonstreze că distribuţia Dirac este singulară.1.12 Arătaţi că şirul distribuţiilor generate de ω 1
nconverge slab la distribuţia Dirac, δ
1.13 Arătaţi că seria+∞∑n=1
δn este slab convergentă.
1.14 Să se demonstreze că următoarele funcţionale sunt distribuţii.a. V p 1
t2: D→ C, (V p 1
t2, ϕ) = vp
∫ +∞−∞
ϕ(t)− ϕ(0)t2
dt, ∀ϕ ∈ D
b. V p 1t3
: D→ C, (V p 1t3, ϕ) = vp
∫R
ϕ(t)− tϕ′(0)t3
dt, ∀ϕ ∈ D
c. V p ln |t| : D→ C, (vp ln |t|, ϕ) = vp∫R
ln |t|ϕ(t)dt, ∀ϕ ∈ D.1.15 Să se determine soluţiile generalizate ı̂n D′ pentru ecuaţiile:
a. t · T = 0b. t · T = δ.
1.16 Să se demonstreze egalităţile:a. (cos t)δ = δb. (sin t)δπ
2= δπ
2
c. t · vp1t
= T1d. tn · vp1
t= Ttn−1 .
1.2. Soluţii.
1.1 a. supp u = [0,∞), u < Db. supp hε = [ε,+ε], hε < Dc. suppϕ = [0, π], ϕ ∈ C(R), ϕ′ < C(R)d. supp ϕ = Q̄ = R, nu e compact, ϕ nu e continuă ı̂n nici un punct.
-
10 Daniela Roşu
e. ϕ ∈ C∞(R), dar supp ϕ = R, ϕ < Df. supp ϕ = [−a, a], ϕ ∈ C∞(R); deci ϕ ∈ Dg. suppϕ = [a, b], ϕ ∈ C(R) dar nu e derivabilă ı̂n a şi b.
1.2 1 =∫Rω 1n(t)dt = cn
∫ 1n
− 1n
e1
n2t2−1dt ≤∫ 1
n
− 1n
e−1dt = 2cnne
. de unde rezultă afirmaţia.
1.3 supp ϕn = [−a, a], ϕ(k)n → 0 uniform pe [−a, a], ∀k = 0, 1, 2 · · ·1.4 Exerciţiul indică un procedeu general de a construi funcţii test cu suportul pe un
deschis oarecare (a, b). Considerăm funcţia caracteristică χ a mulţimii [a− 2ε, b+2ε], adică
χ(t) ={
1 t ∈ [a− 2ε, b+ 2ε]0 t < [a− 2ε, b+ 2ε]
şi funcţia
η(t) =∫Rχ(y)ωε(t− y)dy =
∫ b+2εa−2ε
ωε(t− y)dy =∫ t−a+2εt−b−2ε
ωε(x)dx.
Din proprietăţile integralelor cu parametru, rezultă că η ∈ C∞(R) şi
0 ≤ η(t) ≤∫Rωε(t− y)dy =
∫Rωε(x)dx = 1,
deci prima afirmaţie este adevărată. Dacă t ∈ (a− ε, b+ ε), rezultă incluziunea
[−ε, ε] ⊂ [t− b− 2ε, t− a+ 2ε],
iar integrala este ∫ t−a+2εt−b−2ε
ωε(x)dx =∫ ε−εωε(x)dx = 1
şi a doua afirmaţie este adevărată. Pentru cea de a treia putem dovedi că
[t− b− 2ε, t− a+ 2ε] ∩ [−ε, ε] = ∅
şi rezultă că dacă t < (a− 3ε, b+ 3ε) avem η(t) = 0.1.5 Fie ϕ0 ∈ D cu
∫R ϕ0(x)dx = 1 şi fie
ψ(x) =∫ x−∞
(ϕ(t)− ϕ0(t)
∫Rϕ(x)dx
)dt.
Atunci avem reprezentarea din enunt. Rămâne de verificat că ψ ∈ C∞(R) şisupp ψ este compact. Cum ψ este construită cu ϕ, ϕ0 ∈ D deci infinit diferenţiabilărezultă că ψ ∈ C∞(R). Să arătăm că supp ψ este compact. Fie [a, b] = supp ϕ şi[c, d] = supp ϕ0, α = min{a, c}, β = max{b, d}; demonstrăm că supp ψ ⊂ [α, β],adică ψ(x) = 0 pentru orice x < α, x > β. Dacă x < α avem ψ(x) = 0, iar dacăx > β putem lua x = β + h, h > 0 şi avem
-
Elemente de teoria distribuţiilor 11
ψ(x) =∫ β+h−∞
ϕ(t)dt−∫ ∞−∞
ϕ(x)dx ·∫ β+h−∞
ϕ0(t)dt;
folosind faptul că supp ϕ = [a, b], supp ϕ0 = [c, d], continuăm egalităţile
∫ baϕ(t)dt+
∫ β+hb
ϕ(t)dt−∫ baϕ(x)dx ·
(∫ dcϕ0(t)dt+
∫ β+hα
ϕ0(t)dt)
=
=∫ baϕ(t)dt−
∫ baϕ(x)dx = 0
Urmează ψ(x) = 0, x > β.1.6 ⇒ Fie ϕ = ψ′ atunci
∫R ϕ(x)dx =
∫R ψ
′(x)dx = ψ(+∞)− ψ(−∞) = 0; deoareceϕ ∈ C∞(R) rezultă ψ ∈ C∞(R); avem supp ϕ = supp ψ′ care este compact.⇐ Dacă ψ(x) =
∫ x−∞ ϕ(t)dt rezultă că ψ ∈ D, ψ′ = ϕ ∈ C∞(R) şi supp ψ ⊂
supp ϕ.Dacă x < a, ψ(x) = 0; dacă x > b,
ψ(x) =∫ baϕ(t)dt+
∫ xbϕ(t)dt =
∫Rϕ(t)dt = 0.
1.7 Fie V = (ε, ε) cu proprietatea η(x) = 1,∀x ∈ (−ε, ε); notăm
f(x) = ϕ(x)− η(x)m−1∑k=0
ϕ(k)(0)k! x
m,
( suma reprezintă polinomul Taylor al lui ϕ ı̂n jurul originii). Are loc
ψm(0) = limx→0
f(x)xm
= f(m)(0)m! ,
dacă aplicăm regula lui l’Hospital de m ori.
limx→0
ψm(x) = limx→0
f(x)xm
= f(m)(0)m! ,
deci ψm este continuă ı̂n x = 0. Avem evident că ψm este indefinit derivabilă peR \ {0} şi supp ψm este compact; să studiem derivabilitatea ı̂n 0.
ψ′m(o) = limx→0ψm(x)− ψm(0)
x= lim
x→
f(x)xm− f
(m)(0)m!
x=
= limx→0
f(x)− xmf (m)(0)m!
xm+1= f
(m+1)(0)(m+ 1)! ,
dacă aplicăm l’Hospital de m+ 1 ori.
ψ′m(x) =f ′(x)x−mf(x)
xm+1
şi calculăm
limx→0
ψ′m(x) = limx→0f ′(x)x−mf(x)
xm+1= lim
x→0
f ′(x) + xf ′′(x)−mf ′(x)(m+ 1)xm
-
12 Daniela Roşu
= limx→0
(1−m)f ′(x) + xf ′′(x)(m+ 1)xm = limx→0
(2−m)f ′′(x) + xf ′′′(x)(m+ 1)mxm−1 = · · ·
= limx→0
(m+ 1−m)f (m+1)(x) + xf (m+2)(m+ 1)! =
f (m+1)(0)(m+ 1)! = ψ
′m(0),
deci ψm ∈ C1(R); ı̂n şirul de egalităţi precedente s-a folosit regula lui l’Hospital.Analog rezultă pentru derivatele de ordin superior.
1.8(Tf , α1ϕ1 + α2ϕ2) =
∫Rf(t)(α1ϕ1(t) + α2ϕ2(t))dt =
= α1∫Rf(t)ϕ1(t)dt+ α2
∫Rf(t)ϕ2(t)dt = α1(Tf , ϕ1) + α2(Tf , ϕ2),
pentru orice ϕ1, ϕ2 ∈ D şi orice α1, α2 ∈ C. Dacă ϕn → ϕ, ı̂n D, atunci prin trecerela limită sub semnul integralei, (situaţie posibilă datorită convergenţei uniforme),rezultă
(Tf , ϕn) =∫Rf(t)ϕn(t)dx→
∫Rf(t)ϕ(t)dt = (Tf , ϕ).
Dacă f = u, funcţia unitate, obţinem distribuţia Heaviside.
(Tu, ϕ) =∫ +∞
0f(t)ϕ(t)dt,∀ϕ ∈ D
Deoarece funcţiile de mai sus diferă pe o mulţime finită, din Lema du Bois Ray-mond, generează aceeaşi distribuţie.
1.9 Folosim lema du Bois Raymond.1.10 Aplicăm definiţia operaţiilor şi lema du Bois Raymond.1.11 Presupunem că există o funcţie local integrabilă, f astfel ca pentru orice ϕ ∈ D∫
Rf(t)ϕ(t)dt = ϕ(0).
Fie ϕn(t) = ω 1n(t) = cne
1n2t2−1 . Din proprietăţile scufiţei, rezultă
1 =∫Rω 1n(t)dt = cn
∫ 1n
− 1n
e1
n2t2−1dt ≤∫ 1
n
− 1n
e−1dt = 2cnne
.
De aici rezultă că cn > ne2 şi cn → +∞. Din ipoteză
ϕn(0) =cne
=∫Rf(t)ϕn(t)dt.
Fie M = sup |f(t)|, t ∈ [−1, 1] , care există, deoarece f este local integrabilă;atunci avem
cne
=∫Rf(t)ϕn(t)dt ≤M
∫Rϕn(t)dt = M.
de aici rezultă că cn este mărginit, deci ar contrazice la cn →∞.
-
Elemente de teoria distribuţiilor 13
1.12 Să arătăm călim
n→+∞
∫Rω 1nϕ(t)dt = ϕ(0),
pentru orice ϕ ∈ D. Din continuitatea funcţiei test, pentru orice η > 0, există ε0astfel ca dacă |t| < ε0, rezultă |ϕ(t)− ϕ(o)| < η. Avem atunci
|∫Rω 1n(t)ϕ(t)dt− ϕ(0)| = |
∫Rω 1n(t)(ϕ(t)− ϕ(0))dt| ≤
≤∫Rω 1n(t)|ϕ(t)− ϕ(0)|dt < η
∫Rω 1n(t)dt = η,
de unde rezultă afirmaţia.
1.13 Acesta rezultă, deoarece pentru orice ϕ ∈ D, suma+∞∑n=1
(δn, ϕ) este o sumă finită.
1.14 a. V p∫ +∞−∞
ϕ(t)− ϕ(0)t2
dt = V p∫R
ϕ(t)− tϕ′(0)− ϕ(0)t2
dt şi ϕ(t) = ϕ(0)+tϕ′(0)+t2
2 ϕ′′(θt), θ ∈ (0, 1); atunci avem
|ϕ(t)− tϕ′(0)− ϕ(0)t2
| = 12 |ϕ′′(θt)| ≤ sup
t∈[−A,A]|ϕ′′(t)|
-
14 Daniela Roşu
(T, ϕ) = ϕ′(0) + cϕ(0) = (δ, ϕ′) + c(δ, ϕ) = −(δ′, ϕ) + (cδ, ϕ) =
= (cδ − δ′, ϕ), ∀ϕ ∈ D.Rezultă T = cδ − δ′.
1.16c.
(t · vp1t, ϕ) = (vp1
t, tϕ) = vp
∫R
tϕ(t)t
dt =∫supp ϕ
ϕ(t)dt = (T1, ϕ),
∀ϕ ∈ D şi rezultă t · vp1t
= T1.
2. Derivarea distribuţiilor
Definiţia 2.1. Dacă T ∈ D′, atunci definim derivata sa de ordin α = (α1, · · ·αn) prin
(DαT, ϕ) = (−1)|α|(T,Dαϕ),∀ϕ ∈ D(Rn), (15)unde |α| = α1 + · · ·αn.
Cazul n = 1. Dacă T este o distribuţie pe R, atunci derivata ei de ordin n este definităde formula de mai jos
(T (n), ϕ) = (−1)n(T, ϕ(n)) ∀ϕ ∈ D. (16)
Exemplul 2.1. Să calculăm densitatea de sarcină corespunzătoare unui dipol punctual demoment dipolar +1 aflat pe dreaptă ı̂n punctul t = 0.
Soluţie. Aceasta revine la a arăta că
limε→0
δ(t− ε)− δ(t)ε
= −δ′(t)unde limita este luată ı̂n sens slab; adică, pentru orice ϕ ∈ D
limε→0
(δ(t− ε)− δ(t)ε
, ϕ) = limε→0
ϕ(ε)− ϕ(0)ε
= ϕ′(0) = (δ, ϕ′) = −(δ′, ϕ).
Sarcina totală este (−δ′, 1) = (δ, 1′) = (δ, 0) = 0, iar momentul dipolar este (−δ′, t) =(δ, t′) = (δ, 1) = 1.
Exemplul 2.2. Să calculăm derivatele distribuţiei Dirac.
Soluţie. Folosind definiţia avem:
(δ(n), ϕ) = (−1)nϕ(n)(0).
-
Elemente de teoria distribuţiilor 15
Exemplul 2.3. Să calculăm derivata distribuţiei Heaviside.
Soluţie. Să arătăm că
Tu = δ.
Într-adevăr(T ′u, ϕ) = −
∫ +∞0
ϕ′(t)dt = ϕ(0) = (δ, ϕ),
∀ϕ ∈ D.
Teorema 2.1. Dacă f admite derivata de ordin n din L1loc(R) şi derivatelef ′, f ′′, · · · f (n) au ı̂n t = 0 punct de discontinuitate de prima speţă atunci
T(n)f = Tf (n) + σn−1δ + · · ·σ0δ(n−1), k = 0, . . . , n− 1. (17)
unde σk = f (k)(0+)− f (k)(0−) este saltul derivatei de ordin k ı̂n t = 0.
Exemplul 2.4. Să calculăm derivatele funcţiei f(t) = u(t) cos t.
Calculăm primele derivate, observând pentru ı̂nceput că ı̂n t = 0, funcţia nu este deriv-abilă. Avem
f ′(t) = −u(t) sin t σ1 = 0f ′′(t) = u(t) cos t σ2 = −1f ′′′(t) = u(t) sin t σ3 = 0.
Urmează
T(n)f = Tu(t) cos(n) t +
[n+12 ]∑k=1
σ2(k−1)δn−(2k−1),
unde σ2(k−1) = (−1)k−1.
Generalizare. Dacă punctul de discontinuitate este t = a , atunci salturile funcţiei şiale derivatelor sale se consideră ı̂n t = a, iar distribuţiile se ı̂nlocuiesc cu δa
T(n)f = Tf (n) + σn−1δa + · · ·σ0δ(n−1)a , (18)
unde σk = f (k)(a+ 0)− f (k)(a− 0), k = 0, . . . , n− 1.
Teorema 2.2. Dacă f ∈ D∞ şi T ∈ D′, atunci are loc:
(f T )(n) =n∑k=0
Cknf(n−k)T (k). (19)
-
16 Daniela Roşu
Teorema 2.3. Dacă f funcţie local integrabilă are pe orice interval mărginit un numărfinit de puncte tk, k ∈ Z de discontinuitate de prima speţă, iar f este derivabilă peR \ {tk}, atunci are loc
T ′f = Tf ′ +∑k∈Z
(f(tk + 0)− f(tk − 0))δtk . (20)
Exemplul 2.5. Să determinăm derivata distribuţiei generate de prelungirea prin period-icitate a funcţiei f0 : [−1, 1)→ R, f0(t) = t pe R.
Soluţie. Prelungim prin periodicitate funcţia f0 : [−1, 1)→ R, f0(t) = t pe R şi notăm cuf prelungirea; atunci ea generează o distribuţie a cărei derivată după formula precedentăeste
T ′f = Tf ′ +∑k∈Z
(f((2k − 1) + 0)− f((2k − 1)− 0)))δ2k−1
şi cum f ′ = 1 pe R \ {2k − 1}, avem
T ′f = T1 − 2∑k∈Z
δ2k−1.
Teorema 2.4. Fie seria∞∑n=1
fn, fn : R → C, fn ∈ L1loc, uniform convergentă pe orice
interval mărginit din R, cu suma f . Atunci f ∈ L1loc,∞∑n=1
fn = f , iar seria poate fi
derivată termen cu termen ı̂n sensul distribuţiilor, ori de câte ori.
Aplicaţie Dacă ak satisface|ak| ≤ A|k|m +B,
atunci seria trigonometrică+∞∑
k=−∞ake
jkt
converge ı̂n sensul distribuţiilor.Într-adevăr considerăm seria
a0tm+2
(m+ 2)! ++∞∑
k=−∞,k,0
akejkt
(jk)m+2 .
Deoarece ak(jk)m+2 =|ak||k|m+2
≤ A|k|2
+ B|k|m+2
, seria este uniform convergentă pe R, decidin teorema precedentă poate fi derivată termen cu termen de m+ 2 ori, după care găsimrezultatul.
Exemplul 2.6. Formula lui Poisson de ı̂nsumare. Pentru orice ϕ ∈ D are loc
+∞∑n=−∞
ϕ(n) =+∞∑
n=−∞
∫ +∞−∞
ϕ(ω)ejn2πωdω. (21)
-
Elemente de teoria distribuţiilor 17
Soluţie. Fie h : [0, 2π)→ R funcţia definită prin:
h(t) = t2 −t2
4π .Ea admite dezvoltare ı̂n serie Fourier sub forma complexă
h(t) =+∞∑
n=−∞cne
jnt, cn =1
2π
∫ 2π0
h(t)e−jntdt.
Dacă efectuăm calculele, obţinem
h(t) = π6 −1
2π
+∞∑n=−∞,n,0
1n2ejnt.
Seria din membrul al doilea poate fi derivată ı̂n sensul teoriei distribuţiilor, deoarece, din
|ejnt
n2| = 1
n2, rezultă uniform convergentă. Vom deriva această serie de două ori; folosind
formula (20) şi faptul că prelungirea prin periodicitate a lui h este continuă, iar prelungireaprin periodicitate a lui h′ = 12 −
t
2π , t ∈ (0, 2π) este discontinuă pe R \ {2nπ} are loc
T ′′h = −1
2πT1 ++∞∑
n=−∞δ2nπ(
12 +
12).
Egalând această serie cu derivata de două ori a seriei anterioare, avem
− 12πT1 ++∞∑
n=−∞δ2nπ =
12π
+∞∑n=−∞,n,0
Tejnt .
Alegem t = 2πωω0
şi folosim asemănarea (13) şi (14) distribuţiei Dirac, avem
+∞∑n=−∞
δ(ω − nω0) =1ω0
+∞∑n=−∞
Tejn 2πωω0
.
Dacă particularizăm ω0 = 1, pentru orice ϕ ∈ D are loc numita formulă căutată.
Exemplul 2.7. Să arătăm că soluţia ecuaţiei
tmT = 0este de forma
T =m−1∑k=0
ckδ(k)(t), ck ∈ C.
Soluţie. Mai ı̂ntâi arătăm că T de forma precedentă satisface ecuaţia. Fie ϕ ∈ D;∀k = 0, . . .m− 1 are loc
(tmδ(k), ϕ) = (δ(k), tmϕ) = (−1)k(δ, (tmϕ)(k)) = (−1)k(tmϕ)(k)|t=0 = 0.
-
18 Daniela Roşu
Dacă η ∈ D este 0 ı̂ntr-o vecinătate a lui t = 0, atunci are loc
ϕ(t) = η(t)m−1∑k=0
ϕ(k)(0)k! t
k + tmψ(t),
unde
ψ(t) = t−m(ϕ(t)− η(t)m−1∑k=0
ϕ(k)(0)k! t
k).
Deoarece ψ ∈ D, i se poate aplica formula lui Taylor
ψ(t) =N∑
k=m
ϕ(k)(0)k! t
k−m + O(|t|N+1), N ≥ m
adevărată pe vecinătatea lui t = 0 aleasă.Fie T o soluţie a ecuaţiei considerate; avem
(T, ϕ) = (T, η(t)m−1∑k=0
ϕ(k)(0)k! t
k) + (T, tmψ(t)) =
=m−1∑k=0
ϕ(k)(0)k! (T, η(t)t
k) + (tmT, ψ) =
=m−1∑k=0
(−1)kckϕ(k)(0) =m−1∑k=0
ck(δ(k), ϕ),
unde ck = (−1)k
k! (T, ηtk).
2.1. Probleme propuse.
3.1 Să se calculeze derivatele distribuţiilor generate de funcţiile:
a. u(−t) e. |t|b. u(t− t0) f. vp ln |t|c. u(t0 − t) g. vp1td. sgn t h. u(t)(t+ 1).
3.2 Determinaţi derivatele de ordin 1, 2 şi 3 pentru distribuţiile generate dea. f = |t| sin t, b. g = |t| cos t.
3.3 Aflaţi derivatele de ordin n ale distribuţiilor generate de funcţiile
a. u(t) e. [t]b. sgn t f. u(a− |t|)c. |t| g. t2u(t+ 1)u(1− t)d. u(t)eat h. u(t) sin t.
-
Elemente de teoria distribuţiilor 19
3.4 Să se demonstreze relaţiile:a. δ + tδ′ = 0b. 2δ + 4tδ′ + t2δ′′ = 0c. tδ(n) = −nδ(n−1)
d. tnδ(n) = (−1)nn!δ.3.5 Dacă f este prelungirea prin periodicitate a funcţiei f0 : [−1, 1)→ R,
f0(t) = sgn t pe R; arătaţi că are loc
T ′f = −2∑k∈Z
δ2k−1 + 2∑k∈Z
δ2k.
3.6 Determinaţi soluţiile ecuaţiilora. T ′ = 0b. T (n) = 0, n = 2, 3, . . .
2.2. Soluţii.3.1 a. T ′u(−t) = −δ
b. u(t− t0) ={
1, t ≥ t00, t < t0
T ′u(t−t0) = δt0
c. u(t0 − t) ={
1, t ≤ t00, t > t0
T ′u(t−t0) = −δt0d. T ′sgn t = 2δe. T ′|t| = Tsgn tf.
(vp ln |t|)′, ϕ) = −(vp ln |t|, ϕ′) = −vp∫R
ln |t|ϕ′(t)dt =
= − limε→0
(∫ −ε−∞
+∫ ∞ε
) ln |t|ϕ′(t)dt) =
− limε→0
((ln |t|ϕ(t)|−ε−∞ −
∫ −ε−∞
−1−t
ϕ(t)dt) + (ln tϕ(t)|∞ε −∫ ∞ε
ϕ(t)tdt))
= limε→0
(∫ −ε−∞
ϕ(t)tdt+
∫ ∞ε
ϕ(t)tdt
)+ lim
ε→0(−ϕ(−ε) ln(ε) + ϕ(ε) ln(ε)) =
= (vp1t, ϕ) + lim
ε→0(ln(ε))(ϕ(ε)− ϕ(−ε)).
Folosind teorema lui Lagrange, egalitatea devine
(vp1t, ϕ) + lim
ε→02ε ln(ε)ϕ′(ξε) = (vp
1t, ϕ), ∀ϕ ∈ D.
g. vp1t
′ = −vp 1t2
-
20 Daniela Roşu
h. Funcţia este{
0, t < 0t+ 1, t ≥ 0 şi are derivata Tu + δ.
3.2 a. T ′f = cos tT|t| + sin tT ′|t| = cosT|t| + sin tTsgn t, T ′′f = 2Tsgn t cos t −|t| sin t, T ′′′f = 4δ − 3Tsgn t sin t− |t| cos t
b. T ′g = Tsgn t cos t − |t| sin t, T ′′g = 2δ − 2Tsgn t sin t − |t| cos t, T ′′′g =2δ′ − 3Tsgn t cos t+ |t| sin t.
3.3 a. T ′u = δ, T (n)u = δ(n−1)
b. T (n)sgn t = 2δ(n−1)
c. T (n)|t| = 2δ(n−2)
d. T (n)u(t)eat = Tuaneat + an−1δ + · · · δ(n−1)
e. Funcţia are salturi de valoare 1 ı̂n orice număr ı̂ntreg, iar derivata este 0 pe
R\Z; deci T ′[t] =+∞∑
k=−∞δ(t− k), iar derivata de ordin n este de forma
+∞∑k=−∞
δ(n−1)(t− k).
f. Prima derivata este δ(t + a) − δ(t − a), iar de ordin n este de formaδ(n−1)(t+ a)− δn−1)(t− a).
g. Prima derivată este 2Tu(1−|t|)t + δ(t− 1)− δ(t+ 1), a doua esteT2u(1−|t|) − 2δ(t+ 1)− 2δ(t− 1) + δ′(t+ 1)− δ′(t− 1), iar cea de ordinul
n,3∑
k=1
2(3− k)!((−1)
k−1δ(m−k)(t+ 1)− δ(m−k)(t− 1)),m = 3, 4 · · ·
h. T (n)u sin t = Tu sin t(n) +[n2 ]∑k=1
(−1)k−1δ(n−2k).
3.4 a. din tδ = 0, prin derivare avem δ + tδ′ = 0b. din t2δ = 0, prin derivare, 2tδ + t2δ′ = 0 şi dacă mai derivăm o dată, avem
b.c.
(tδ(n), ϕ) = (δ(n), tϕ) = (−1)n(δ, (tϕ)(n)) =
= (−1)n(δ′′, tϕ(n) + nϕ(n−1)) = (−1)n(tδ, ϕ(n)) + (−1)nn(δ, ϕ(n−1)) =
= −n(−1)n−1(δ, ϕ(n−1)) = −n(δ(n−1), ϕ), ∀ϕ ∈ D.
d. din (tδ)(n) = tδ(n) + nδ(n−1), avem
tδ(n) + nδ(n−1) = 0,
iar dacă ı̂nmulţim cu t şi folosind c.,
t2δ(n) = −+ ntδ(n−1) = n(n− 1)δ(n−2)
Repetând raţionamentul, afirmaţia rezultă prin inducţie.
-
Elemente de teoria distribuţiilor 21
3.5 Are locT ′f = Tf ′ +
∑k∈Z
(f(k + 0)− f(k − 0))δk
şi cum f ′ = 0 pe R\{Z}, iar salturile funcţiei sunt 2 ı̂n numerele 2k şi -2 ı̂n 2k−1,rezultă formula.
3.6 a. Din T ′ = 0 deducem ((T ′, ϕ) = −(T, ϕ′) = 0, pentru orice ϕ ∈ D. Dinexerciţiul 1.5 are loc scrierea ϕ(x) = ϕ0(x)
∫ +∞−∞
ϕ(x)dx + ϕ′1(x) cu ϕ1, ϕ0 ∈ D şi∫ +∞−∞
ϕ0(x)dx = 1. Au loc
(T, ϕ) = (T, ϕ0∫ +∞−∞
ϕ(x)dx+ ϕ′1) = (T, ϕ0)∫ +∞−∞
ϕ(x)dx+ (T, ϕ′1).
Dar (T, ϕ′1) = 0, iar (T, ϕ0) = c, deci rezultă (T, ϕ) = c∫+∞−∞ ϕ(x)dx = (c, ϕ).
Aşadar T = c.b. T = c0 + c1x+ . . . cn−1xn−1.
3. Convoluţia distribuţiilor
Produsul direct al distribuţiilor
Vom considera clasa funcţiilor test pe R2, adică
D(R2) = {ϕ : R2 → R,ϕ ∈ C∞(R2), supp ϕ compact}Fie două distribuţii (de o variabilă), definite pe D(R); pentru orice ϕ ∈ D(R2) definimfuncţionala
(S(s) · T (t), ϕ(s, t)) = (S(s), (T (t), ϕ(s, t))) (22)Această relaţie defineşte o distribuţie, care se va numi produsul direct al distribuţiilor S,T .
Lema 3.1. Fie T ∈ D′ şi ϕ ∈ D(R2) atunci funcţia
ψ(s) = (T (t), ϕ(s, t))este din D(R) şi
ψ(n)(s) = (T (t), ∂n
∂snϕ(s, t)). (23)
Teorema 3.1. (Comutativitatea produsului direct). Dacă S, T ∈ D′(R) are loc
S(s) · T (t) = T (t) · S(s).
-
22 Daniela Roşu
Teorema 3.2. (Derivarea produsului direct) Dacă S, T sunt două distribuţii, atunci areloc
( ∂∂s
(S(s) · T (t)) = S ′(t) · T (t) = S(s) · T ′(t) (24)
Produsul de convoluţie al distribuţiilor
Reamintim noţiunea de produs de convoluţie al funcţiilor şi suntem interesaţi ı̂n ce condiţiiacesta rezultă o funcţie local integrabilă. Dacă f, g : R → C, atunci integrala impropriecu parametru
(f ? g)(t) =∫Rf(s)g(t− s)ds, (25)
se numeşte produs de convoluţie.
Definiţia 3.1. Şirul ηk ∈ D(R2) tinde la 1 ı̂n R2, dacăa. pentru orice compact K ⊂ R2 există n0, astfel ca ηk(s, t) = 1 pentru (s, t) ∈ K şik ≥ n0b. funcţiile ηk şi toate derivatele lor parţiale sunt uniform mărginite pe R2, adică pentruorice α = (α1, α2) există cα astfel ca
|Dαηk(s, t)| = |∂|α1+α2|ηk(s, t)∂α1s∂α2t
| ≤ cα, k = 1, 2, · · ·
Definiţia 3.2. Fie S, T ∈ D′ astfel ca pentru orice ηk ∈ D(R2) care tinde la 1 ı̂n R2,există limita şirului numeric
limk→+∞
(S(s) · T (t), ηk(s, t)ϕ(s+ t)), ∀ϕ ∈ D(R) (26)
Valoarea acestei limite o numim produs de convoluţie şi o notăm (S ? T, ϕ).
Teorema 3.3. Fie T ∈ D′, atunci există T ? δ şi δ ? T şi are loc
T ? δ = δ ? T = T.
Teorema 3.4. Dacă T, S ∈ D′ şi T are suport compact, atunci convoluţia T ? S există şieste
(S ? T, ϕ) = (S(s) · T (t), η(t)ϕ(s+ t)), ∀ϕ ∈ D,unde η ∈ D şi este 1 ı̂ntr-o vecinătate a lui supp T .Dacă Tn → T ı̂n D′ atunci Tn ? S → T ? S.
-
Elemente de teoria distribuţiilor 23
Dacă Sn → S ı̂n D′ şi Sn, S au suporturile incluse ı̂ntr-o mulţime mărginită, atunciT ? Sn → R ? S.
Exemplul 3.1. Pentru orice a, b ∈ R are loc
δa ? δb = δa+b.
Soluţie. Într-adevăr, din teorema precedentă pentru o funcţie η egală cu 1 pe o vecinătatea lui {b}, are loc
(δa ? δb, ϕ) = (δa(s) · ϕ(b), η(t)ϕ(s+ t)) =
(δa(s), (δb(t), η(t)ϕ(s+ t)) = (δa(s), ϕ(s+ b)) = ϕ(a+ b) = (δa+b, ϕ).unde η este o funcţie test egală cu 1 pe o vecinătate a suportului lui δa
Teorema 3.5. ( Liniaritatea produsului de convoluţie) Dacă T1, T2, T3 ∈ D′ astfel caT1 ? T2, T2 ? T3 să fie definite, atunci pentru orice λ1, λ2 ∈ R are loc
(λ1T1 + λ2T2) ? T3 = λ1T1 ? T2 + λ2T2 ? T3.
Observaţia. În general convoluţia nu este o operaţie continuă de la D′ la D′, după cumrezultă din exemplul următor.
δ(t− k)→ 0, k →∞ı̂n D′, deoarece ∀ϕ ∈ D are loc (δ(t− k), ϕ) = ϕ(k)→ 0, k →∞; pe de altă parte
1 ? δ(t− k) = 1,
care nu tinde la 0.
Teorema 3.6. ( Comutativitatea produsului de convoluţie) Dacă există T ? S, atunciexistă şi S ? T şi sunt egale.
Teorema 3.7. ( Derivarea produsului de convoluţie) Dacă există T ? S, atunci existăT (n) ? S şi T ? S(n) şi are loc
(S ? T )(n) = S(n) ? T = S ? T (n).
Consecinţă. Dacă T ∈ D′, atunci are loc
T (n) = δ ? T (n) = δ(n) ? T. (27)
Observaţie. Din existenţa convoluţiilor T (n)?S, T ?S(n), nu rezultă existenţa convoluţieiT ? S, după cum deducem din exemplul de mai jos.
-
24 Daniela Roşu
T ′u ? T1 = δ ? T1 = T1Tu ? T
′1 = Tu ? 0 = 0.
Teorema 3.8. (Translaţia convoluţiei) Dacă există S ?T , atunci există şi S(s+h)?T (s)şi are loc
S(s+ h) ? T (s) = S ? T (s+ h), ∀h ∈ R.
Introducem o clasă de distribuţii utilă pentru aplicaţii ale acestei teorii la rezolvarea unorclase de ecuaţii diferenţiale. Notăm
D′+ = {T ∈ D′ | supp T ⊂ [0,∞)}.
Teorema 3.9. Dacă S, T ∈ D′+ atunci există S ? T , aparţine lui D′+ şi are loc
(S ? T, ϕ) = (S(s) · T (t), η1(s)η2(t)ϕ(s+ t)), ϕ ∈ D,unde η1, η2 ∈ C∞(R) şi sunt egale cu 1 ı̂ntr-o vecinătate a semiaxei [0,+∞) şi nule pentrut < 0, suficient de mare ı̂n valoare absolută.Dacă Sk ∈ D′+, Sk → S, ı̂n D′, atunci are loc
Sk ? T → S ? T, k →∞,
ı̂n D′.
Teorema 3.10. Convoluţia distribuţiilor din D′+ este o operaţie asociativă, adică
T1 ? (T2 ? T3) = (T1 ? T2) ? T3.
Exemplul 3.2. Fie S, T ∈ D′+ două distribuţii cunoscute; să determinăm U ∈ D′+astfelca
S ? U = T.
Soluţie. Dacă T = δ, soluţia U dacă există o vom nota S−1 şi o vom numi inversa. Dacăexistă inversa S−1, atunci ecuaţia admite soluţie unică de forma
U = S−1 ? T.Într-adevăr S−1 ? T este soluţie, deoarece
S ? (S−1 ? T ) = (S ? S−1) ? T = δ ? T = T.Dacă ar exista două soluţii, U1, U2, atunci din S?U1 = T, S?U2 = T rezultă S?(U1−U2) =0, de unde S−1 ? (S ? (U1 − U2)) = (S−1 ? S) ? (U1 − U2) = U1 − U2 = 0 şi deci U1 = U2
-
Elemente de teoria distribuţiilor 25
Distribuţii temperate
Reamintim clasa funcţiilor rapid descrescătoare
S = {f : R→ R|f ∈ C∞(R),∃Ck,q, |xkf (q)(x)| ≤ Ck,q},
Are locD ⊂ S
şi ı̂n sens topologic, adică din convergenţa şirurilor ı̂n D, rezultă şi convergenţa ı̂n S.
Definiţia 3.3. Numim distribuţie temperată funcţionala liniară şi continuă pe S
Notăm mulţimea distribuţiilor temperate cu S′ şi observăm că S′ ⊂ D′.
Exemplul 3.3. Dacă o funcţie are o creştere polinomială, adică există două constantea > 0, A > 0 astfel ca
|f(t)| ≤ A|t|a
atunci generează o distribuţie temperată prin formula
(Tf , ϕ) =∫ +∞−∞
f(t)ϕ(t)dt
-
26 Daniela Roşu
Teorema 3.12. Dacă S′+ = D′+∩S′ şi S, T ∈ S′+, atunci S ?T ∈ S′+ şi poate fi reprezentatsub forma
(S ? T, ϕ) = (S(s) · T (t), η1(s)η2(t)ϕ(s+ t)), ϕ ∈ S(R),unde η1, η2 sunt funcţii de clasă C∞(R) egale cu 1 ı̂ntr-o vecinătate a semidreptei pozitive[0,+∞) şi nule pentru t < 0, suficient de mare ı̂n valoare absolută.
Transformata Fourier a unei distribuţii temperate
Definiţia 3.4. Dacă T este o distribuţie temperată, numim transformata Fourier, distribuţianotată F[T ] şi definită prin
(F[T ], ϕ) = (T,F[ϕ]),∀ϕ ∈ S. (28)
Formula de mai sus corespunde următoarei situaţii clasice; dacă f ∈ S, atunci transfor-mata sa Fourier fiind din L1loc generează o distribuţie, dată de
(TF , ϕ) =∫ +∞−∞
F (ω)ϕ(ω)dω =∫ ∫
R2f(t)e−jtωdtϕ(ω)dω =
=∫ +∞−∞
f(t)dt∫ +∞−∞
ϕ(ω)e−jtωdω =∫ +∞∞
f(t)F[ϕ](t)dt = (Tf ,F[ϕ]).
Teorema 3.13. Transformarea Fourier F : S′ → S′ este un izomorfism bicontinuu.
Exemplul 3.5. Să arătăm că au loc următoarele formule:
F[δa] = Te−jaω . (29)
F[δ] = T1 (30)
2πδ = F[T1] (31)
Soluţie. Într-adevăr
(F[δa], ϕ] = (δa,F[ϕ]) = (δa,∫ +∞−∞
ϕ(t)e−jtωdt) =
=∫ +∞−∞
ϕ(t)e−jtadt = (Te−jta , ϕ), ∀ϕ ∈ S
şi prima formulă este dovedită.Pentru a = 0 ı̂n (29), deducem a doua formulă.
-
Elemente de teoria distribuţiilor 27
Folosind formula de inversare deducem din (30):
δ = F−1[T1] =1
2πF[T1].
Astfel rezultă şi ultima afirmaţie.
Observăm că funcţia identic 1 nu are transformata Fourier, ı̂n timp ce distribuţia generată,T1 admite transformată Fourier.
Teorema 3.14. (Derivarea transformatei Fourier) Pentru orice T ∈ S′ are loc
F(n)[T ] = F[(−jω)nT ]. (32)
Observaţie. Toate polinoamele admit transformată Fourier ı̂n sensul distribuţiilor.
Teorema 3.15. (Transformarea derivatei) Pentru orice distribuţie temperată are loc
F[T (n)] = (jt)nF[T ]. (33)
Caz particular. Dacă T = δ, are loc
F[δ(n)] = T(jt)n . (34)
Teorema 3.16. (Transformarea translaţiei) Pentru orice distribuţie temperată are loc
F[T (t− t0)] = e−jt0F[T ]. (35)
Teorema 3.17. (Translaţia transformatei). Pentru orice distribuţie temperată are loc
F[T ](ω + ω0) = F[e−jω0tT ](ω). (36)
Teorema 3.18. (Transformarea asemănării). Pentru orice distribuţie temperată are loc
F[T (at)](ω) = 1|a|
F[T ](ωa
), a , 0. (37)
Teorema 3.19. (Transformarea convoluţiei). Pentru orice distribuţie temperată T şi So distribuţie cu suport compact are loc
F[T ? S] = F[T ] · F[S]. (38)
Un tabel al unor transformate Fourier uzuale este dat ı̂n anexa.
Exemplul 3.6. Să determinăm transformata Fourier a următoareleor distribuţii:1. Tejx22. Tu.
-
28 Daniela Roşu
Soluţie. Pentru prima distribuţie avem, dacă ϕ ∈ S cu supp ϕ ⊂ [−A,A]
(F[Tejx2 ], ϕ) = (Tejx2 ,F[ϕ]) =∫ +∞−∞
ejx2F[ϕ](x)dx =
= lima,b→∞
∫ b−aejx
2∫ A−A
ϕ(ω)e−jxωdωdx = lima,b→∞
∫ A−A
ϕ(ω)∫ b−aejx
2−jxωdxdω =
=∫ A−A
ϕ(ω) lima,b→∞
∫ b−aejx
2−jxωdxdω =√π∫ +∞−∞
ϕ(ω)e−jω2−π
4 dω.
Deci transformata Fourier este distribuţia
√πe−
j(ω2−π)4 .
2. Reamintim transformata Fourier pentru funcţia u(t)e−at
F[u(t)e−at] = 1a+ jω =
1−j(−ω + ja) .
Dacă trecem la limită pentru a → 0, atunci ue−at → u ı̂n S′, iar operatorul F fiindcontinuu deducem ı̂n primul membru F[u(t)], iar al doilea membru tinde la 1
−j(−ω + j0)care din formulele lui Sohotski (6) este
−1j
(−jπδ − V p 1ω
) = πδ − jV p 1ω
4. Soluţii fundamentale ale operatorilordiferenţiali
Considerăm ecuaţia diferenţială de ordinul n ∈ N cu forma generală
an(t)U (n) + an−1(t)U (n−1) + . . .+ a0(t)U = T, (39)unde ai ∈ C∞(R), iar T ∈ D′. Notăm
L = and(n)
dtn+ . . .+ a0I
şi atunci ecuaţia (39) devineL(U) = T.
Definiţia 4.1. Numim soluţie generalizată (̂ın sensul teoriei distribuţiilor) pe intervalul(a, b), orice distribuţie S ∈ D′ care satisface
(an(t)S(n) + an−1(t)S(n−1) + . . .+ a0(t)S, ϕ) = (T, ϕ), ∀ϕ ∈ D(a, b).
-
Elemente de teoria distribuţiilor 29
Este evident că orice soluţie clasică este soluţie şi ı̂n sensul distribuţiilor. Reciproca estedată de umătoarea lemă.
Lema 4.1. Dacă T = Tf cu f ∈ C(a, b) şi soluţia generalizată este de forma S = Tyunde y ∈ Cm(a, b), atunci y este şi soluţie clasică a ecuaţiei diferenţiale asociate.
Considerăm ecuaţia cu coeficienţi constanţi
anS(n) + . . .+ a0S = T, a0, . . . , an ∈ C. (40)
Definiţia 4.2. Numim soluţie fundamentală a ecuaţiei (40) distribuţia U care satisface
L(U) = δ. (41)
Soluţia fundamentală nu este unică, ci este determinată până la o soluţie arbitrară aecuaţiei L(V ) = 0.
Lema 4.2. U este o soluţie fundamentală pentru L dacă şi numai dacă transformataFourier satisface
n∑k=0
ak(jω)kF[U ] = 1. (42)
Această lemă reduce rezolvarea ecuaţiei liniare cu coeficienţi constanţi la rezolvarea unorecuaţii algebrice de forma
P (ω)X = 1unde P (ω) este un polinom oarecare.Construcţia unei soluţii fundamentale este dată de următoarea teoremă.
Teorema 4.1. Fie y = y(x) soluţia problemei Cauchyany
(n) + an−1y(n−1) + . . .+ a0y = 0y(0) = . . . = y(n−2)(0) = 0y(n−1)(0) = 1.
(43)
Atunci distribuţia generată de u(x)y(x) este soluţie fundamentală.
Teorema 4.2. Fie U soluţie fundamentală a operatorului L şi T ∈ D′ astfel că existăconvoluţia U ? T . Atunci soluţia ecuaţiei (40) este
S = U ? Tşi este unică ı̂n clasa de distribuţii din D′ pentru care există convoluţia.
Exemplul 4.1. Să rezolvăm ecuaţia
T ′′ + 2T ′ + T = 2δ + δ′.
-
30 Daniela Roşu
Soluţie. Pentru soluţia fundamentală asociem problema Cauchy
y′′(x) + 2y′ + y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1,cu soluţia y(x) = c1e−x + c2xe−x. După folosirea condiţiilor iniţiale avem y(x) = e−x, iarsoluţia fundamentală este U = Tu(x)y(x), iar a problemei este
T = U ? (2δ + δ′) = 2U + U ′ = Tu(x)(x+ 1)e−x .
Problema Cauchy Considerăm ecuaţia diferenţială cu coeficienţi constanţi
any(n) + an−1y(n−1) + . . .+ a0y = f(t), t ≥ 0
cu condiţiile iniţialey(k)(0) = yk, k = 0, n− 1.
Funcţia f este presupusă continuă pe [0,+∞).Prelungim pe y şi pe f cu 0, pe intervalul (−∞, 0), ceea ce revine la ı̂nmulţirea lor cufuncţia unitate. Notăm cu ỹ şi f̃ prelungirile funcţiilor y şi f . Atunci au loc, dacă folosim(17) relaţiile:
T(k)ỹ = Tỹ(k) +
k∑j=1
ykδ(k−j), k = 1, . . . n.
Transformând ecuaţia, obţinem
L(Tỹ) = Tf̃ +n−1∑k=0
ckδ(k),
unde
c0 = an−1y0 + . . .+ a1yn−2 + yn−1cn−2 = a1y0 + y1cn−1 = y0.
Astfel problema Cauchy se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de tipul (40).
4.1. Probleme propuse.4.1 Arătaţi că dacă f, g : R → C astfel ca |f |, |g| ∈ L1loc(R), atunci f ? g există şi
este o funcţie absolut integrabilă pe R.4.2 Dacă f, g : R → C, |f |, |g| ∈ L1loc(R) şi f(t) = g(t) = 0, t < 0, atunci
f ? g ∈ L1loc(R).4.3 Dacă f, g : R → C astfel ca |f |, |g| ∈ L1loc(R) şi una dintre funcţii are suport
compact, atunci f ? g ∈ L1loc.4.4 Pentru orice distribuţie T au loc
a. δ(t− a) ? T (t) = T (t− a).b. δ(n)(t− a) ? T = T (n)(t− a).
-
Elemente de teoria distribuţiilor 31
4.5 Dacă distribuţiile S şi T admit produs de convoluţie, atunci are loc
(T ? S)(m+n) = T (m) ? S(n).
4.6 Arătaţi că pentru orice a ∈ R are loc:
δa ? δ−a ? T = T.
4.7 Să se calculeze următoarele produse de convoluţie:a) Tu ? Tub) Tu ? Tu · t2c) Tu · cos t ? Tu · t3d) Tu · sin t ? Tu · sh t
4.8 Arătaţi că dacă f, g ∈ L1loc este adevărată afirmaţia
eatTf ? eatTg = eatTf ? g.
4.9 Să se rezolve ı̂n clasa D′+ ecuaţiilea. T ′′ + 4T = δb. T ′′ − 4T = 2δ + δ′
c. T ′′ − 3T ′ + 2T = 2δ′
4.10 Să considerăm un circuit electric RLC (̂ın serie) conectat la momentul t = 0 lao sursă de tensiune constantă E0. Intensitatea i(t) verifică ecuaţia
Li′(t) +Ri(t) + 1C
∫ t0i(s)ds = u(t)E0
Deduceţi (prin derivare) că intensitatea verifică ı̂n sens distribuţional ecuaţia
LT ′′i +RT ′i +1CTi = E0δ.
4.11 Arătaţi că operatorul L = ddt
+a are ca soluţie fundamentală distribuţia Tu · e−at .
4.12 Arătaţi că operatorul L = d2
dt2+ a2 are ca soluţie fundamentală distribuţia
Tu · sin at
a
.
4.13 Rezolvaţi problema Cauchy
y′(t) + ay(t) = f(t), t ≥ 0y(0) = y0.
4.14 Rezolvaţi problema Cauchy
y′′(t) + a2y(t) = f(t), t ≥ 0y(0) = y0y′(0) = y1.
-
32 Daniela Roşu
4.15 Folosind trecerea la distribuţii să se rezolve problemele Cauchy:
a.{y′ + 3y = e−2ty(0) = 0 , t ≥ 0
b.
y′′ + 5y′ + 6y = 12y(0) = 2y′(0) = 0
, t ≥ 0
c.
y′′′ − 3y′ − 2y = t cos ty(0) = 1y′(0) = −1y′′(0) = 2
, t ≥ 0
d.
y′′′ + y′ = f(t), t ≥ 0y(0) = ay′(0) = y′′(0) = 0
, cu f(t) =
2 cos t, t ∈ [0, π]2 sin t, t ∈ (π, 2π]0, ı̂n rest
e.
y′′′ − y′′ − y′ + y = tety(0) = −1y′(0) = 2y′′(0) = 1
, t ≥ 0
f.
y′′ + y = f(t)y(0) = 0y′(0) = 1
unde f(t) =
t, t ∈ [0, 1]−2t+ 1, t ∈ (1, 2]0, ı̂n rest
4.16 Arătaţi că următoarele distribuţii au inversele specificate alăturat.
a. T = δ′ − λδ, λ ∈ R T−1 = Tu(t)eλtb. T = Tu(t) cos t T−1 = δ′ + Tu
4.17 Rezolvaţi ecuaţia T ′′ + 2T ′ + T = 2δ + δ′ folosind transformata Fourier.4.18 Rezolvaţi ecuaţia tnT = 0 folosind transformata Fourier.
4.2. Soluţii.4.1 Într-adevăr,
∫R|f ? g(t)|dt =
∫R|∫Rf(s)g(t− s)ds|dt ≤
∫R
∫R|f(s)||g(t− s)|dsdt =
=∫R|f(s)|ds
∫R|g(t− s)|dt =
∫R|f(s)|ds
∫R|g(u)|du 0 şi să calculăm
|∫ A−A
f ? g(t)dt| = |∫ A
0f ? g(t)dt| ≤
∫ A0
∫ t0|f(s)||g(t− s)|dsdt =
-
Elemente de teoria distribuţiilor 33
=∫ A
0|f(s)|ds
∫ As|g(t− s)|dt =
∫ A0|f(s)|ds
∫ A−s0|g(u)|du < +∞,
deci f ? g este local integrabilă.4.3 Într-adevăr, presupunem că supp f ⊂ [−A1, A1]; atunci
∫Rf(s)g(s− t)ds =
∫ A1−A1
f(s)g(t− s)ds
există şi deci produsul este bine definit; fie acum A > 0; să arătăm că produsuleste integrabil pe [−A,A].
|∫ A−A
∫ A1−A1
f(s)g(t− s)dt| ≤∫ A−A
∫ A1−A1|f(s)||g(t− s)dsdt =
=∫ A1−A1|f(s)|ds
∫ A−A|g(t− s)|dt =
∫ A1−A1|f(s)|ds
∫ A−s−A−s
|g(x)|dx ≤
≤∫ A1−A1|f(s)|ds
∫ A+A1−A−A1
|g(x)|dx ≤ ∞,
de unde afirmaţia.4.4 a. Rezultă prin particularizarea teoremei de translare a convoluţiei, iar b. din
teorema de derivare a convoluţiei.4.5 Au loc relaţiile
(T ? S)(m+n) = ((T ? S)(m))(n) = (T ? S(m))(n) = T (n) ? S(m).
4.6 Doarece δa ? δ−a = δ, afirmaţia rezultă imediat.4.7 a. Tu · t
b. Tu · t
3
3c. Tu · (3t2 + 6 cos t− 6)d. Tu
2 (sh t− sin t).
4.8 Prin efectuarea produsului de convoluţie obţinem∫ +∞−∞
eayf(y)ea(x−y)g(x− y)dy = eax∫ ∞−∞
f(y)g(x− y)dy = eaxf ? g(x).
4.9 a. Se obţine soluţia fundamentală. Soluţia problemei Cauchy{y′′ + 4y = 0y(0) = 1 este y(t) =
sin 2t2 , iar soluţia problemei iniţale este
distribuţia Tu · sin 2t2
.
-
34 Daniela Roşu
b. Soluţia problemei Cauchy{y′′ − 4y = 0y(0) = 1, y′(0) = 1 este y(t) =
e2t
4 , iar soluţia problemei este
distribuţia Tu · e
2t
4
.
c. Soluţia problemei Cauchy{y′′3y′ + y = 0y(0) = 1, y′(0) = 1 este y(t) = e
2t − et, iar soluţia problemei este
distribuţia Tu · (e2t − et).4.10 Prin derivarea ı̂n sens distribuţional şi ţinând cont de faptul că derivata distribuţiei
Heaviside este Dirac rezultă afirmaţia.4.11 Are loc
T ′u · e−at + aTu · e−at = T−u · ae−at + δ + aTu · e−at = δ.
4.12 AvemT ′′
u · sin ata
+ a2Tu · sin at
a
= δ.
4.13 Transformăm ecuaţia folosind T ′y = Ty′ + y0δ. Problema revine la rezolvareaecuaţiei:
T ′y + aTy = Tf + y0δcu soluţia fundamentală U = Tu·e−at şi soluţia
U ? (Tf + y0δ) = T∫ t0 e−asf(t−s)ds + y0Tu·e−at .
4.14 După transformări, ecuaţia devine
T ′′y + a2Ty = Tf + y1δ + y0δ′
care, dacă ţinem seama de exerciţiul 4.12 are soluţia
Tu· sin ata? (Tf + y1δ + y0δ′) =
T1a
∫ a0f(s) sin(t− s)ads
+ y1Tu · sin at
a
+ y0Tu · cos at.
4.15 a. Fie distribuţia Ty; avem T ′y = Ty′ şi ecuaţia devine T ′y + 3Ty = Tu(t)e−2t ,pentru care soluţia este Ty = U ? Tu(t)e−2t . Soluţia fundamentală este U = Tu(t)e−3tşi obţinem Ty = Tu(t)(e−2t−e−3t).
b. Pentru Ty derivatele sunt T ′y = Ty′ + 2δ şi T ′′y = Ty′′ + 2δ′; ecuaţia devine
T ′′y + 5T ′y + 6Ty = 12Tu(t) + 2δ′ + 10δ.Soluţia fundamentală este U = Tu(t)(e−2t−e−3t) şi soluţia este Ty = T2u(t).
c. Ecuaţia transformată este
-
Elemente de teoria distribuţiilor 35
T ′′′y − 3T ′y − 2Ty = Tu(t)t cos t − δ − δ′ + δ′′
cu soluţia fundamentală U = T 19 (e2t−(3t+1)e−t)
. Efectuând produsul de convoluţieobţinem soluţia Ty = Tu(t)f(t), unde
f(t) = (− t10 +74225) cos t− (
t
5 +121450) sin t+ (
t
3 +59)e
−t + 78225e2t.
d. Ecuaţia devine
T ′′′y + T ′y = Tf(t) + δ + δ′′
şi are soluţia fundamentală U = Tu(t)(1−cos t). Avem Tu(t)(1−cos t) ? Tf(t) = Tg(t) unde
g(t) =
0, t ∈ (−∞, 0)sin t− t cos t, t ∈ [0, π]−(π + 2) cos t+ (π − t) sin t− 2, t ∈ (π, 2π]−π cos t− π sin t− 4, t ∈ (2π,+∞)
sau ı̂ncă
g(t) = (sin t− t cos t)u(t) + ((π − t− 1) sin t− (π − t+ 2) cos t)u(t− π)+
+(2 cos t− (2π − t) sin t− 2)u(t− 2π).
Apoi avem U ?(δ+δ′′) = U+U ′′ = Tu(t)(1−cos t) +Tu(t) cos t = Tu(t). Soluţia problemeieste Tu(t)+g(t).
e. După transformări avem
T ′′′y − T ′′y − T ′y + Ty = Tu(t)tet + 3δ′ − δ′′,
pentru care soluţia fundamentală este
U = 14Tu(t)((2t−1)et+e−t)
iar Ty = Tu(t)f(t) cu f(t) = et(t3
12 −t2
8 + t−116) + e
−t( t8 −516).
f. Ecuaţia T ′′y + Ty = Tf(t) + δ are soluţia
Ty = Tu(t) sin t ? Tf(t) + Tu(t) sin t.
După calcule obţinem T = Tg(t) unde
g(t) = tu(t) + (1− 2t+ cos(t− 1) + 2 sin(t− 1))u(t− 1)+
+(t− 1)− cos(t− 2)− sin(t− 2))u(t− 2).
-
36 Daniela Roşu
4.16 a. Are loc
(δ′ − λδ) ? Tu(t)eλt = T ′u(t)eλt − λTu(t)eλt = δ
b. Avem de verificat egalitatea
Tu(t) cos t ? (δ′ + Tu) = T ′u(t) cos t + Tu(t) cos t ? Tu =
= T−u(t) sin t + δ + Tu(t) sin t = δ.4.17 Aplicăm transformata Fourier. Obţinem
(jω)2F + 2jωF + F = 2 + jω,
unde F = F[T ] este transformata lui T . Deducem
F = 2 + jω(1 + jω)2 =1
(1 + jω)2 +1
1 + jω .
Dar, din cazul clasic1
1 + jω = F[u(t)e−t],
iar1
(1 + jω)2 = −1j
( 11 + jω )′ = jF[−(jt)u(t)e−t] = F[tu(t)e−t].
Deducem căF = F[u(t)(1 + t)e−t],
iar prin inversareT = u(t)(1 + t)e−t.
4.18 Aplicăm transformata Fourier şi obţinem F(n)[T ] = 0. Din exerctţiul 3.6 deducemcă transformata este de forma c0 + c1 + . . . cn−1xn−1, de unde prin inversare găsimt = c0δ + c1δ′ + . . . cn−1δ(n−1).