Culegere Microunde

George LOJEWSKI

Nicolae MILITARU

MICROUNDECulegere de probleme

EDITURA ELECTRONICA 2000

Microunde Culegere de probleme

1LINII DE TRANSMISIUNE TEM1.1 S se calculeze parametrii lineici ai unui cablu coaxial fr pierderi avnd raza conductorului interior r = 3 mm i raza interioar a cmii R = 1 cm. Cablul are dielectricul din polietilen, r = 2,2. Rezolvare: ntr-un sistem de coordonate cilindrice, dat fiind simetria circular a cablului coaxial, fiecare dintre cele dou cmpuri conine cte o singur component, iar aceste componente nu depind de coordonata unghiular : r E = E0

H = H 0

r

, E0 = Z d H 0

Sarcina electric lineic q L de pe suprafaa conductorului interior poate fi dedus din legea fluxului electric aplicat unei suprafee cilindrice, coaxiale cu cablul, de lungime unitar i raz oarecare , (r < < R ) :

q L = D n dA = E n dA =

2 1 00

E ( )ddz = 2rE0

Cunoscnd cmpul, tensiunea dintre conductoare poate fi determinat aplicnd definiia ei clasic: R r A r r n care A i B sunt dou puncte arbitrare, situate fiecare pe cte unul dintre cele dou conductoare. Rezult astfel capacitatea pe unitatea de lungime a conductoarelor: 1 2 2,2 2rE 0 qL 36 10 9 = = = 101,5 10 12 F m = 101,5 pF m CL = 10 R U rE 0 ln ln 3 r d = E 0 r ln U = Edl = E ( )d = E0B R R

r

5

Linii de transmisiune TEM

Pe de alt parte, orice und TEM se propag cu o vitez de faz v egal cu viteza undelor plane n mediul dielectric respectiv, c. Astfel, tiind c 1 v = LL C L iar 1 c=

din egalarea celor dou expresii rezult relaia: LL C L = . Cu alte cuvinte, inductana lineic a cablului coaxial poate fi exprimat n funcie de capacitatea sa lineic. Se obine: R 4 10 7 10 ln = ln = 0,241 10 6 H m = 241 nH m . LL = 2 r 2 3 1.2 O poriune dintr-un cablu coaxial fr pierderi de lungime l = 10 cm, terminat n gol, prezint la frecvena f1 = 100 kHz o reactan de intrare capacitiv X i = 138 k. Mrind treptat frecvena, se constat o scdere a modulului impedanei de intrare pn la frecvena f 2 = 433 MHz , la care apare un minim. Din aceste msurri s se determine permitivitatea electric a dielectricului din cablu i impedana caracteristic a cablului. Rezolvare: Impedana de intrare a unei linii fr pierderi, terminat n gol, are expresia: Z + jZ C tg l Z i Z = = Z C S = jZ C ctg l = jX i , S Z C + jZ S tg l Z =S

unde X i = Z C ctg l este reactana de intrare a liniei de transmisiune considerate. La creterea frecvenei, minimul modulului impedanei de intrare are loc cnd l = 2 , adic l = 4 . Folosind datele din problem, rezult: c 2 = = 4 l = 40 cm. f2 Pe de alt parte, c0 c 2 = = = 02 f2 f2 r r de unde rezult valoarea constantei dielectrice:

02 c 3 10 8 =3. = 0 = r = 2 4lf 2 0,4 433 10 6 La frecvene mici ( >> l ), tg l = tg 2l l astfel nct impedana de intrare devine L 1 1 1 c = jZ C = jZ C = j L = j , Z i jZ C l C L l LL C L C i 2l 2fl

2

2

2

6


unde Ci = l C L reprezint capacitatea de intrare a liniei. La frecvena f1 la care >> l , se poate deci scrie 1 1 = Xi = 1C i 1C L l astfel nct se poate deduce capacitatea lineic a cablului coaxial de lungime l : 1 1 = = 115 10 12 F m = 115 pF m . CL = 5 3 2f1 X i l 2 10 138 10 0,1 De aici rezult i impedana caracteristic a cablului:ZC = LL 1 = CL CL LL C L =

r f X c 1 = = 0 (2f1 X i ) = 1 i c C L c0 C L 4lf 2 2 f2

deci

ZC =

10 5 138 10 32 433 10 6

= 50 .

1.3 Ct este rezistena lineic a unei linii de transmisiune avnd impedana caracteristic Z C = 100 , terminat adaptat, dac s-a constatat o atenuare a semnalului de 1 dB la fiecare 10 m parcuri? Pierderile n dielectricul liniei se consider neglijabile. Rezolvare: Constanta de atenuare a unei linii este legat de parametrii si lineici prin relaia: = Re{ } , unde constanta de propagare are expresia:

=

(RL + jLL )(GL + jC L ) .

Dac R L Z C1 = 50 , raportul de und staionar se poate calcula cu relaia: Z 150 1 = S1 = = 3. Z C1 50 Primul tronsonul are drept impedan de sarcin impedana de intrare n tronsonul repetor. Aceasta este egal cu impedana lui caracteristic, Z i1 = Z C = 150 , deci tronsonul este terminat adaptat, astfel nct raportul de und staionar = 1 iar tensiunea la sarcin este egal cu tensiunea de la intrare: U = U in = 24 V . Impedana lui de intrare are valoarea: Z in = Z C = 150 . Pentru tronsonul de lungime l1 = 2 , tensiunile de la extremiti sunt U , respectiv U 1 . ntruct impedana de sarcin Z S1 = 150 a acestui tronson este purrezistiv i mai mare dect Z C1 = 50 , rezult c la captul dinspre sarcin al tronsonului repetor va exista un maxim de tensiune, egal cu U1 = 24 V . Pe de alt parte, ntre dou maxime ale distribuiei de tensiune exist i un minim, situat, fa de sarcina tronsonului repetor, la distana + d= = = 2,5 cm . 4 4 n punctul de minim tensiunea are valoarea: U1 24 = =8V. 3 1 Pentru reprezentarea distribuiei de tensiune pe linii se face observaia c tensiunea la sarcin este U 2 . ntruct R2 = 100 < Z C 2 = 150 rezult c la sarcin exist un minim al distribuiei de tensiune de pe tronsonul inversor egal cu

10


24 = 16 V . 2 1,5 Distribuia de tensiune n lungul tronsoanelor este reprezentat n figura de mai jos.

U2 =

U1

=

U ( z ) [V]2416 8

17,5

7, 5

2,5

O

z [cm]

1.6 O linie avnd impedana caracteristic Z C = 50 este terminat pe o sarcin compus dintr-un rezistor cu rezistena de 20 n serie cu un condensator avnd capacitatea de 3 pF. S se calculeze raportul de und staionar i distana la care apare primul minim de tensiune, la frecvena f 0 = 1 GHz . Dielectricul liniei este aerul iar pierderile ei sunt neglijabile. Rezolvare: Reactana de sarcin are valoarea: 1 1 = = 53 XS = 2f 0C 0C astfel nct impedana de sarcin este Z S = RS + jX S = 20 j53 . Aceast sarcin determin un coeficient de reflexie al tensiunii, : Z Z C 20 j53 50 = S = = e j = 0,69 e j1, 43 rad . Z S + Z C 20 j53 + 50 Raportul de und staionar este determinat de modulul coeficientului de reflexie: 1 + 1 + 0,69 = = = 5,45 . 1 1 0,69 Poziia minimelor este determinat de faza coeficientului de reflexie. Calculnd nti lungimea de und pe linie, c0 3 10 8 = = 9 = 0,3 m = 30 cm f 0 r 10 1 se obine n final poziia minimului, calculnd distana lui de la sarcin:11


d min =

Altfel: Pe diagrama Smith: Se reprezint punctul corespunztor impedanei normate de sarcin: ZS 20 j53 = rS + jx S = = 0,4 j1,06 . ZC 50 Acesta se afl deci la intersecia dintre cercul r = 0,4 cu arcul de cerc x = 1,06 . De pe diagram se identific cercul concentric cu diagrama 5,5 i poziia normat a punctului d 0,136 , de unde rezult distana cerut: d min 0,136 = 0,136 30 = 4,08 cm . 1.7 Conectnd la captul unei linii de msur cu pierderi neglijabile o sarcin necunoscut, se msoar pe linie un raport de und staionar = 2, iar la distana d = 22 cm de captul liniei se constat existena unui minim al distribuiei tensiunii. Cunoscnd lungimea de und pe linie = 30 cm i impedana caracteristic a liniei de msur Z C = 75 , s se determine impedana sarcinii de la captul liniei. Rezolvare: Din datele experimentale se poate calcula coeficientul de reflexie al sarcinii, = e j : =

+ 1,43 30 = 4,08 cm . = 4 4

1 1 = 0,333 , +1 3 d min

22 1 = 4 1 = 2 rad . 15 30 Reinnd o valoare ( , ) , rezult: = 41 j = e 15 0,33 e j0, 209 rad . 3 Din expresia coeficientului de reflexie al tensiunii la sarcin, Z ZC Z S ZC 1 zS 1 = S = = Z S + ZC Z S ZC + 1 zS + 1 se determin impedana normat de sarcin: 1 + 1 + 0,333 e j0, 209 zS = = 1,955 e j0,154 rad = 1,932 j0,3 . = j0, 209 1 1 0,333 e n final, prin denormare, se obine valoarea impedanei de la captul liniei: Z S = z S Z C = (1,932 j0,3) 75 = (145 j22,5) . Observaie: Distana, fa de sarcin, la care apare primul minim rezult din relaia + d min = = 7 cm . 4 Pe o linie fr pierderi distana ntre dou minime consecutive este de 2 astfel nct minimul msurat este de fapt al doilea: d min + 2 = d min, 2 = 7 + 15 = 22 cm . 12


Altfel: Pe diagrama Smith: Se deseneaz cercul concentric cu diagrama = 2 , tangent exterior la cercul r = 2 i tangent interior la cercul r = 1 2 . Deplasrii pe linia fr pierderi de la intrarea sa spre sarcin i corespunde pe diagrama circular o rotaie n sens trigonometric, pe un cerc cu centrul n origine, pn la o deplasare normat: d 22 = 0,733 . 30 Aceasta presupune parcurgerea complet a diagramei plus nc o deplasare de 0,733 0,5 = 0,233 . Punctul astfel obinut, situat la intersecia dintre cercul = 2 i dreapta determinat de centrul diagramei i poziia 0,233, corespunde impedanei normate de sarcin. De pe diagram se citete: r = 1,93 ; x = 0,3 i deci valoarea impedanei necunoscute, obinut prin denormare, este: Z S = (r + jx )Z C = (1,93 j0,3) 75 (145 j22,5) . 1.8 O linie de transmisiune fr pierderi, cu impedana caracteristic Z C = 100 , este terminat pe o sarcin avnd impedana Z S = (50 + j150) . lafrecvena de lucru. tiind c puterea transmis sarcinii este PS = 10 W, s se calculeze valoarea maxim a tensiunii pe linie.

Rezolvare: Se calculeaz nti coeficientul de reflexie al sarcinii: Z Z C 50 + j150 1 + j3 1 + j2 = S = = = 0,33 + j0,66 = 0,745 e j1,107 rad . Z S + Z C 150 + j150 3(1 + j) 3 Rezult o valoare a coeficientului de reflexie al puterii: P 5 2 p = i = = . Pd 9 Puterea transmis sarcinii este diferena dintre puterea undei directe i puterea undei inverse,

PS = Pd Pi = Pd 1 p = Pd 1 inverse, Pi :Pd = Ps

(

)

(

2

).

Din datele problemei, se calculeaz puterea undei directe Pd i puterea undei=

1

2

10 = 22,5 W , 1 (5 9 )

Pi = Pd PS = 22,5 10 = 12,5 W .

Puterea undei directe Pd este legat de unda direct de tensiune U d prin relaia: 2Z C de unde se obine amplitudinea undei directe: U d = 2 Z C Pd = 2 100 22,5 = 67 V .Pd = Ud2

13


n mod similar se poate deduce i amplitudinea undei inverse: U i = 2 Z C Pi = 2 100 12,5 = 50 V . Valoarea maxim a tensiunii pe linie este suma amplitudinilor undelor direct i invers: U max = U d + U i = 67 + 50 = 117 V . Valoarea minim a tensiunii pe linie este U min = U d U i = 67 50 = 17 V . Observaie: Amplitudinea undei inverse poate fi calculat i din definiia coeficientului de reflexie: U i = U d = 0,745 67 50 V . Valorile maxime i minime calculate n cele de mai sus sunt condiionate de o lungime suficient a liniei.

1.9 S se stabileasc condiiile n care o linie fr pierderi, avnd ca sarcin o impedan pur rezistiv, prezint la intrare tot o impedan pur rezistiv. Rezolvare: Expresia impedanei de intrare a unei linii fr pierderi este: Z + jZ C tg l Zi = ZC S Z C + jZ S tg l ntruct linia este fr pierderi, Z C . Considernd Z S = RS , partea imaginar a impedanei de intrare are expresia: 2 Z 2 RS tg l Im{Z i } = Z C C . 2 2 Z C + RS tg l

(

)

Impedana de intrare este pur rezistiv atunci cnd Im{Z i } = 0, adic n unul din urmtoarele cazuri: a) R S = Z C , deci atunci cnd linia este terminat adaptat;

b) tg l = 0 , sau l = k , sau l = kde impedan);

2

, adic n situaia liniilor n

2

(repetoare

c) tg l , sau l = (2k + 1) , sau l = (2k + 1) , deci pentru liniile n 2 4 4 (transformatoare de impedan). Altfel: Pe diagrama Smith: Trecerea de la punctul corespunztor sarcinii pur rezistive, situat pe axa absciselor ( x = 0 ), la punctul corespunztor impedanei de intrare se face prin rotirea, n sens orar, pe un cerc cu centrul n originea diagramei circulare. i acest punct, corespunznd unei impedane cu partea reactiv normat nul, trebuie s se afle pe axa absciselor. Aceast situaie poate aprea dac: a) Punctul iniial se afl n origine, deci raza cercului pe care se face rotaia este nul, astfel nct punctul corespunztor impedanei de intrare este tot n origine. n acest caz R S = Z C , adic linia este terminat adaptat.14


b) Rotaia se face cu un unghi de 360 o astfel nct cele dou puncte se suprapun. n aceast situaie lungimea liniei este de 2 . c) Rotaia se face cu un unghi de 180 o astfel nct ambele puncte se afl pe axa absciselor, aezate simetric n raport cu centrul cercului. n acest caz lungimea liniei este de 4 .

1.10 Se consider o linie de transmisiune fr pierderi, prezentat n figura de mai jos. S se determine poziia seciunii AA pentru care modulul impedanei de intrare, Z i , trece printr-un maxim.

2z

A

ZCAOz

Rezolvare: Admitana de intrare a poriunii de lungime z terminate n scurtcircuit, de la dreapta seciunii AA , este: 2z Yisc = jYC ctg z = jYC ctg ,unde YC este admitana caracteristic, real, a liniei, iar este lungimea de und. Admitana de intrare a tronsonului terminat n gol, de la stnga seciunii AA , are expresia: 2 2z 2z . Yig = jYC tg z = jYC tg = jYC tg z = jYC tg 2 2 Admitana de intrare vzut n seciunea AA reprezint suma celor dou admitane calculate anterior: 2z 1 2z Yi = Yisc + Yig = jYC tg + ctg = jYC u + , u unde 2z u = tg . Rezult:

1 1 = YC u + . u u Deoarece produsul mrimilor u i 1 u este constant, suma lor este minim (adic modulul impedanei este maxim) atunci cnd cele dou mrimi sunt egale. Rezult deci condiia: u =1Yi = YC u +

15


sau tg de unde

2z

= 1 ,

2z

Se obine:

=

4

+ k , k Z .

z=

8

+k

2

.

ntruct z 0, , convin numai valorile 2z=

8

,

respectivz=

3 . 8

1.11 S se proiecteze circuitul cu schema din figura de mai jos astfel nct la frecvena corespunztoare unei lungimi de und = 50 cm s se obin adaptarea unei sarcini avnd impedana Z S = (25 j100) la o linie de acces cu impedanacaracteristic Z C = 75 . Toate liniile de transmisiune au ca dielectric aerul i prezint pierderi neglijabile.

4 ZC

d

ZC

ZC

ZS

Zi1

Zi 2

Rezolvare: Metoda 1. Lungimea tronsonului n /4 (inversor de impedan), la frecvena de lucru, este 50 l= = = 12,5 cm . 4 4 Din condiia de adaptare este necesar ca: Z i1 = Z C = 75 . Pe de alt parte, tronsonul inversor de impedan realizeaz adaptarea unei impedane de sarcin reale, Z i 2 , la o alt impedan, Zi1 , de asemenea real: Z C = Z i1 Z i 2 = Z C Z i 2 .

16


Se impune deci ca lungimea d a celui de-al doilea tronson s prezinte o valoare pentru care Im{Z i 2 } = 0 , astfel nct impedana Z i 2 s fie pur rezistiv. Impedana de intrare n tronsonul cu lungimea d , considerat fr pierderi, are expresia: Z + jZ C tg d . Zi2 = ZC S Z C + jZ S tg d n mrimi normate se obine: Z z + jt , zi 2 = i 2 = S Z C 1 + jz S t unde 25 j100 1 4 Z = j zS = S = ZC 75 3 3 reprezint impedana normat de sarcin, iar d t = tg d = tg 2 .

Astfel, rezult: 1 4 j + jt 1 + j(3t 4) [1 + j(3t 4)] [(3 + 4t ) jt ] zi 2 = 3 3 = = 1 4 (3 + 4t ) + jt (3 + 4t ) 2 + t 2 1 + j j t 3 3 adic

3 t2 +1 12t 2 8t 12 +j 2 . 17t 2 + 24t + 9 17t + 24t + 9 Din condiia Im{z i 2 } = 0 rezult valoarea lungimii d pentru care impedana z i 2 este pur rezistiv: 12t 2 8t 12 = 0 sau 3t 2 2t 3 = 0 deci 1 10 t1, 2 = . 3 Rezult astfel urmtoarele cazuri: t1 = tg d1 0,72 adic d1 = arctg( 0,72) + k1 , k1 Z deci zi 2 = ri 2 + jxi 2 =d1 =

(

)

0,624 + k 1 , k 1 Z ; 2 2 t 2 = tg d 2 1,387

adic deci

d 2 = arctg1,387 + k 2 , k 2

17


d2 =

0,946 + k2 , k 2 . 2 2

Rezult de aici c cele mai mici valori pozitive pentru lungimea d sunt: d1 = 20 cm d 2 = 7,53 cm Corespunztor acestor valori, impedana z i 2 , respectiv impedana caracteristic Z C a tronsonului inversor primesc urmtoarele valori: pentru d1 = 20 cm :zi2 =

3(t12 + 1) 17t12 + 24t1 + 9 t = 0,721

=

3(0,72 2 + 1) 8,55 17 0,72 2 + 24 0,72 + 9

i, corespunztor, Z C = Z C Z i 2 = 75 (75 8,55) = 219,3

pentru d 2 = 7,53 cm :2 3(t 2 + 1) 2 17t 2 + 24t 2 + 9 t2 =1,387

zi2 =

=

3(1,387 2 + 1) 0,117 17 1,387 2 + 24 1,387 + 9

i, corespunztor, Z C = Z C Z i 2 = 75 (75 0,117) = 25,65

Metoda 2. Se bazeaz pe observaia c impedana pe o linie de transmisiune fr pierderi este pur rezistiv numai ntr-un plan de maxim sau de minim al distribuiei de tensiune pe linie. n acest caz, impedana corespunztoare unui plan de minim al distribuiei de tensiune este Z = C , Z z=z( min )

unde Z reprezint impedana vzut ntr-un plan situat la z (min ) fa de sarcin. Similar, ntr-un plan de maxim se obine valoarea Z z=z = Z C ,( max )

unde Z reprezint impedana vzut ntr-un plan situat la z (max ) fa de sarcin iar este raportul de und staionar pe linie. Tronsonul n 4 , inversor de impedan, transform o impedan pur rezistiv

Z S n alt impedan, de asemenea real, Z C2 Z S . Distana d trebuie s fie astfel aleas nct impedana vzut n planul respectiv s fie real, deci s corespund fie unui minim, fie unui maxim al distribuiei de tensiune pe linie. Distana de la sarcin la care apare primul minim al distribuiei de tensiune este dat de relaia: + . d= 4 Cu datele problemei, impedana normat de sarcin este:

18


ZS 1 4 = j ZC 3 3 iar coeficientul de reflexie al tensiunii la sarcin are valoarea Z Z C zS 1 = S = 0, 79 e j1,249 rad . Z S + ZC zS + 1 Se obine astfel lungimea tronsonului terminal: 1, 249 50 7,53 cm . d= 4 n acest plan, impedana normat are valoarea: 1 1 zi 2 = = = 0,117 . 1+ Denormnd, se obine valoarea impedanei de intrare n tronsonul de lungime d : Z i 2 = Z C z i 2 = 75 0,117 = 8,775 . zS =

Impedana liniei de lungime l = 4 = 50 4 = 12,5 cm se calculeaz cu ajutorul relaiei: Z C = Z C Z i 2 = 75 8, 775 25, 65 . n mod similar se determin distana d i impedana caracteristic Z C n cazul unui maxim al distribuiei de tensiune. Primul maxim de tensiune pe linie este situat fa de sarcin la o distan d :

2 n acest plan, impedana normat are valoarea 1 + 1 + 0, 79 zi 2 = = = 8,52 . 1 1 0, 79 Denormnd, se obine valoarea impedanei de intrare n tronsonul de lungime d : Z i 2 = Z C zi 2 = 75 8,52 = 639 . Corespunztor, impedana caracteristic a tronsonului inversor are valoarea: Z C = Z C Z i 2 = 75 639 = 219 .

d=

20, 03 cm . 4

Metoda 3. Pe diagrama Smith. Se reprezint pe diagram punctul corespunztor impedanei normate de sarcin: ZS 25 j100 = rS + j xs = 0,333 j1, 333 . 75 ZC Acesta se afl deci la intersecia dintre cercul r = 0,333 i arcul de cerc x = 1,333 . Se citete de pe diagram poziia corespunztoare punctului obinut, notat cu A : (d ) A 0,348 . Corespunztoare unei deplasri de la sarcin pn ntr-un plan al liniei n care impedana este pur rezistiv, pe diagram se efectueaz o rotaie n sens orar (spre generator), pe un cerc cu centrul n origine, pn la intersectarea semidiametrului real negativ. Punctul astfel obinut, notat cu B , reprezint impedana normat z i 2 . De pe

19


diagram se citete valoarea acesteia,

= 0,5 . n acest fel, prin denormare se determin lungimea d a tronsonului terminal care asigur n planul su de intrare o impedan pur rezistiv, d = [(d )B (d ) A ] = (0,5 0,348) 50 = 7,6 cm , precum i valoarea ei: Z i 2 = ( z i 2 ) A Z C 0,12 75 = 9 . Urmnd relaiile prezentate n cadrul acestei probleme la metoda 2, poate fi determinat i valoarea impedanei caracteristice a tronsonului inversor, corespunztor datelor obinute pe diagrama circular. Astfel, rezult: Z C 26 . Continund rotirea din punctul B , pe acelai cerc concentric cu diagrama Smith, se constat intersecia cu semidiametrul real pozitiv, n punctul B . Se gsete astfel i cea de-a doua soluie a problemei: ( z i 2 )B = r 8,5 , adic, prin denormare, Z i 2 = ( z i 2 ) B Z C 8,5 75 = 638 de unde Z C 219 , respectiv d = [(d )B (d ) A ] = {[(d )B + 0,25] (d ) A } (0,75 0,348) 50 = 20,1 cm . Variaia cu frecvena a modulului coeficientului de reflexie pe linia de acces corespunztor celor dou soluii, obinut prin simulare pe calculator, este prezentat n figura 1.11.1.

(d ) B

z i 2 = r 0,12 , i poziia ei normat:

Figura 1.11.1.a d = 20 cm Z C = 219,3

Figura 1.11.1.b d = 7,53 cm Z C = 25,65

20


Observaie: Se constat c dei cele dou soluii obinute sunt ambele corecte la frecvena nominal, ele conduc la un rspuns n frecven uor diferit. Dac se accept o anumit dezadaptare pe linia de acces, exprimat printr-o valoare maxim admisibil a lui sau atunci se poate defini o band de frecvene n interiorul creia circuitul de adaptare considerat funcioneaz corect. Banda de frecvene este mai larg pentru prima soluie. 1.12 S se calculeze lungimile l1 , l 2 precum i impedana caracteristic Z C astfel nct circuitul cu schema din figura de mai jos s realizeze la frecvena f = 1 GHz adaptarea unei sarcini Z S = (20 + j10 ) la o linie de acces cu impedana caracteristic Z C = 50 . Att cele dou tronsoane ct i linia de acces au ca dielectric aerul i prezint pierderi neglijabile.

l1 = 4 ZC

ZC

ZS

ZCl2

Rezolvare: La frecvena f = 1 GHz lungimea de und este

=i deci l1 =

c0 3 108 = = 0,3 m = 30 cm f 109

30 = 7,5 cm . 4 4 Condiia de adaptare a impedanei complexe de sarcin Z S la linia de acces avnd o impedan caracteristic real impune ca admitana total de sarcin alctuit din admitana YS = 1 Z S i admitana de intrare n tronsonul derivaie pe sarcin terminat n scurtcircuit s fie real. n aceast situaie, tronsonul inversor de impedan are rolul de a transforma valoarea real obinut ntr-o valoare egal cu impedana caracteristic a liniei de acces, fapt care permite adaptarea. Admitana de sarcin este=

21


1 1 = = (0,04 j0,02 ) S Z S 20 + j10 iar admitana de intrare n tronsonul derivaie are expresia: Y + jYC tg l 2 Yi = YC S = jYC ctg l 2 . YC + jYS tgl 2 Y YS = GS + jBS =S

Admitana total n planul de sarcin al liniei n 4 are expresia Yt = Yi + YS = G S + j( BS YC ctgl 2 ) . Impunnd condiia de adaptare, Im{Yt } = 0 , rezult condiia: B ctg l 2 = S YC adic soluia: B l2 = arcctg S + k , k Z 2 YC 2 Urmrind obinerea unui tronson cu o lungime minim, se consider k = 0 i deci se obine: 0,02 3 3 3 30 l2 = arcctg = = = 11,25 cm . = 2 8 8 0,02 2 4 n aceast situaie, admitana total are o valoare real: Yt = GS = 0,04 S deci impedana din planul de sarcin al tronsonului inversor este:

Figura 1.12.1 l 2 = 11,25 cm Z C 35,35

22


1 1 = = 25 . Yt 0,04 Impedana caracteristic a tronsonului n 4 se calculeaz ca medie geometric a impedanelor terminale: Z C = Z C Z t = 50 25 35,35 . Variaia cu frecvena a modulului coeficientului de reflexie pe linia de acces obinut prin simulare pe calculator este prezentat n figura 1.12.1. Zt =

1.13 S se stabileasc n ce condiii o linie de transmisiune fr pierderi, intercalat ntre un generator cu impedana intern Z G i o sarcin cu impedana Z S poate fi utilizat ca circuit de adaptare. Rezolvare: Impedana de intrare a liniei fr pierderi, de impedan caracteristic Z C , 2 lungime l i constant de defazare = , are expresia:

Z S + jZ C tg l . Z C + jZ S tg l Transferul maxim de putere este obinut dac se ndeplinete condiia * Zi = ZG . Notnd Z G = RG + jX G , Z S = RS + jX S , tg l = u i innd seama de faptul c pentru linia fr pierderi Z C , se scrie: R + j( X S + uZ C ) RG jX G = Z C S . Z C uX S + juRS Prin egalarea prilor reale i a prilor imaginare de aici rezult: Z C (RG R S ) = u ( X S RG X G RS ), Zi = ZC2 uZ C + ( X S + X G )Z C u (RS RG + X S X G ) = 0 , de unde, prin eliminarea variabilei u , se obine ecuaia:

(R RS )(RS RG + X S X G ) RG RS 3 ZC + X S + X G G ZC = 0 . RG X S RS X G X S RG X G RS Renunnd la soluia Z C = 0 care nu convine rmne condiia:2 ZC 2 2 2 2 RS RG + X G RG RS + X S . = RG RS

(

)

(

)

2 Deoarece impedana caracteristic a liniei fr pierderi este real, trebuie ca Z C s fie pozitiv, adic 2 2 2 2 RG + X G RS + X S RG RS 0, 1 1 RG R S sau

23


RGp RSp 0, 1 1 RG RS n care s-au notat prin RGp i R Sp rezistenele corespunztoare reprezentrilor de tip paralel pentru impedanele Z G i, respectiv, Z S ( Z G = RGp || jX Gp , Z S = RSp || jX Sp ). Dac aceast condiie este satisfcut rezult u i din ecuaia tg l = u se determin lungimea necesar a liniei. n concluzie, adaptarea este posibil atunci cnd rezistena n reprezentarea paralel i conductana n reprezentarea serie ale impedanei generatorului sunt, ambele, ori mai mici, ori mai mari dect mrimile corespunztoare ale impedanei de sarcin.1.14 S se calculeze lungimea l a unui tronson de linie terminat n scurtcircuit i distana d , fa de sarcin, la care trebuie legat n derivaie acest tronson, pentru a se realiza adaptarea unei sarcini cu impedana Z S = (20 j10 ) la o linie de acces. Att linia principal ct i tronsonul de linie folosit pentru adaptare sunt fr pierderi i au impedana caracteristic Z C = 50 , iar lungimea de und pe linie este = 100 cm .d

ZC

Y1 Y2 ZCl

( 20 j10 )

ZS

Rezolvare: Analitic, problema se rezolv punnd condiia de adaptare; aceasta revine la a scrie c admitana total de la captul liniei de acces s fie egal cu admitana caracteristic a liniei de acces, YC = 1 Z C . Admitana normat de intrare n tronsonul de lungime d terminat pe admitana normat de sarcin y S = YS YC este: y + j tg d Y y1 = 1 = S . YC 1 + jy S tg d Admitana normat de intrare n tronsonul de lungime l terminat n scurtcircuit are expresia: Y y 2 = 2 = yi y = = j ctg l . S YC

24


Din condiia de adaptare: Y1 + Y2 = YC sau y1 + y 2 = 1 , se obine: y S + j tg d j ctg l = 1 1 + jy S tg d n care admitana normat de sarcin are valoarea Y Z 50 yS = S = C = = 2 + j. YC Z S 20 j10 Rezult relaia: 2 + j + j tg d j ctg l = 1 1 + j(2 + j) tg d adic tg 2 d 4 tg d + 1 2 1 + tg 2 d + j ctg l = 1 5 tg 2 d 2 tg d + 1 5 tg 2 d 2 tg d + 1 din care, prin identificarea prilor reale i imaginare, se deduc condiiile: 2 1 + tg 2 d =1 , 5 tg 2 d 2 tg d + 1 de unde se obine: 3 tg 2 d 2 tg d 1 = 0 . Rezult astfel dou valori pentru lungimea tronsonului terminal: 1 tg d1 = 3 adic 1 d1 = arctg( ) + k1 , k1 3 deci d1 44,8 cm , respectiv tg d 2 = 1 adic

(

)

(

)

d 2 =de unded2 =

4

ctg l = 0 5 tg 2 d 2 tg d + 1 Corespunztor celor dou valori ale tg d , se obin de aici dou soluii pentru lungimea tronsonului lateral: ctg l1 = 1 25

= 12,5 cm . 8 tg 2 d 4 tg d + 1


adicl1 =

8

= 12,5 cm ,

respectiv ctg l 2 = 1 , adic 3 l2 = = 37,5 cm . 8 Sintetiznd rezultatele obinute, se constat c adaptarea la linia de acces se produce pentru urmtoarele perechi de lungimi ale tronsoanelor: d = 44,87 cm, l = 12,5 cm ; d = 12,5 cm, l = 37,5 cm .

Altfel: Pe diagrama Smith: Se ncepe prin reprezentarea pe diagram, a punctului, notat cu A , corespunztor impedanei normate de sarcin z S = Z S Z C = 0,4 j0,2 . Datorit conexiunii paralel, se prefer calculul cu admitane. Admitana normat de sarcin y S = 1 z S = 2 + j este reprezentat de punctul notat cu A , simetric cu A n raport cu centrul diagramei. Determinarea distanei d revine la determinarea unghiului de rotaie n sens orar (spre generator), astfel nct admitana de sarcin, A , s se transforme ntr-o admitan avnd partea real egal cu unitatea (deoarece adugarea ulterioar a admitanei de intrare a tronsonului lateral pur reactiv nu va influena asupra prii reale a admitanei totale). Efectund rotaia din punctul A pn la intersectarea cercului g = 1 , se obine punctul B . Unghiul de rotaie, determinat cu ajutorul gradaiilor de pe periferia diagramei, corespunde unei distane normate la lungimea de und d = 0,125 , adic, denormnd, d = 0,125 = 12,5 cm . n punctul B , partea imaginar a admitanei (susceptana) tronsonului terminal, citit pe diagram, are valoarea normat b = 1 ; n consecin, lungimea tronsonului lateral trebuie astfel determinat nct susceptana lui de intrare s aib valoarea normat +1, necesar pentru compensare. Lungimea aceasta poate fi determinat tot pe diagram, prin intermediul unghiului de rotaie necesar pentru a transforma admitana terminal a tronsonului lateral, y = (reprezentat de punctul C ), n susceptana necesar pentru adaptare (punctul D ). Se obine: l = 0,375 , de unde, denormnd, rezult: l = 0,375 = 37,5 cm . Se constat c problema mai admite o soluie, reprezentat de punctul B . Pentru acest punct se obin: d = 0,449 , adic d = 0,449 = 44,9 cm i26


l = 0,125 ,l = 0,125 = 12,5 cm . Observaie: Prin acest procedeu poate fi adaptat orice sarcin Z S , deoarece oricare ar fi punctul de pornire, la rotirea n jurul originii se intersecteaz cercul g = 1 , deci se obin soluii. Variaia cu frecvena a modulului coeficientului de reflexie pe linia de acces, corespunztoare celor dou soluii, obinut prin simulare pe calculator, este prezentat n figura de mai jos. Se poate observa faptul c prima soluie conduce la o band ceva mai larg a circuitului de adaptare.

adic

Figura 1.14.2.a d = 44,87 cm l = 12,5 cm

Figura 1.14.2.b d = 12,5 cm l = 37,5 cm

1.15 Un cablu coaxial fr pierderi, de lungime l = 40 cm , are impedana caracteristic Z C = 200 i este terminat pe o impedan compus dintr-un rezistor cu rezistena de 100 n paralel cu un condensator avnd capacitatea de 5 pF .l

ZC

RS

CS

Zi

27


tiind c lungimea de und pe cablu este d = 25 cm iar dielectricul dintre conductoare prezint o constant dielectric r = 4 , s se calculeze impedana de intrare a liniei.

Rezolvare: Frecvena de lucru are valoarea: c0 3 10 8 c = = = 6 10 8 Hz = 600 MHz . f = d d r 0,25 4 Rezult c admitana de sarcin are valoarea 1 + jC S = 10 2 + j2 6 10 8 5 10 12 YS = G S + jBS = RS= 0,01 + j188,5 10 4 S sau, n mrime normat, Y y S = S = 2 + j3,77 . YC Admitana normat de intrare n linia de transmisiune are expresia: y + j tg l yi = S , 1 + jy S tg l unde l 40 l = 2 = 2 = 10,052 rad d 25 adic tg l = 0,726 . Rezult astfel valoarea admitanei de intrare: 2 + j3,77 + j0,726 yi = = 0,6 j2,09 = 2,174 e j1, 291 rad . (2 + j3,77 ) 0,726 1+ j Prin urmare, impedana de intrare normat este: zi = 1 yi = 0,127 + j0,442 sau, denormnd, Z i = z i Z C = (0,127 + j0,442 ) 200 = (25,4 + j88,4 ) .

(

)

Altfel: Pe diagrama Smith: Se reprezint pe diagram admitana normat de sarcin, y S = 2 + j3,77 . Punctul obinut se rotete apoi n jurul centrului diagramei, n sens orar (deplasare spre generator), cu un unghi corespunztor lungimii normate a liniei, l = 1,6 ; aceasta presupune parcurgerea complet a trei cercuri, plus nc o deplasare de 1,6 3 0,5 = 0,1 diviziuni. n punctul astfel obinut se citete admitana normat de intrare, yi = 0,6 j2,09 . Pentru a afla impedana normat de intrare, se consider punctulZ i = z i Z C = (24,5 + j88,4 ) , ceea ce corespunde soluiei obinute anterior pe cale analitic.

simetric lui y i fa de origine. Se obine z i = 0,127 + j0,442 sau, denormnd,

28


1.16 Pentru o impedan de sarcin Z S = (100 + j50 ) , s se calculeze lungimile

l1 , l 2 ale tronsoanelor de linie conectate n derivaie la distanele (fixe) l0 = 50 cm , respectiv l0 + d = 75 cm fa de captul liniei, astfel nct linia de transmisiune s fie terminat adaptat. Att linia principal ct i tronsoanele terminate n scurtcircuit sunt fr pierderi i au impedana caracteristic Z C = 50 . Lungimea de und pe linie este = 100 cm. Prin modificarea lungimilor l1 , l 2 ale tronsoanelor este posibil adaptarea oricrei impedane de sarcin ?dBA

l0y

ZCB

y

ZS y1

y2

A

l2

l1

Rezolvare: Se noteaz cu y1 , y 2 admitanele normate de intrare ale tronsoanelor laterale terminate n scurtcircuit. Deoarece l 0 = 1 2 , tronsonul terminal de lungime l0 este repetor de impedan astfel nct admitana lui normat de intrare are valoarea: 1 ZC 1 = = = 0,4 j0,2 = g + jb . y = y S = zS Z S 2 + j ntruct d = 1 4 rezult c tronsonul de lungime d este inversor de impedan astfel nct se poate scrie: 1 y = . y + y1 Condiia de adaptare la intrarea n tronsonul de lungime l 2 este: y2 + y = 1 . Pe de alt parte, admitanele de intrare n tronsoanele de linie laterale terminate n scurtcircuit au expresiile: y1 = j ctg l1 , y 2 = j ctg l 2 , prin urmare condiia de adaptare devine: 1 j ctg l 2 = 1. g + jb j ctg l129


Egalnd aici prile reale i imaginare, se obine sistemul: g = 1, 2 ( g ) + (b ctg l1 )2 b + ctg l1 ctg l 2 = . 2 ( g ) + (b ctg l1 )2 Rezolvnd sistemul, se obin soluiile: 1 6 , ctg l1 = b ' g ' 1 g ' = 5 1 6 ctg l 2 = ' 1 = , 2 g de unde l1' = 1,289 + k1' , k1' Z ,

(

)

" ' ' l1 = 0,967 + k 2 , k 2 Z

respectiv' " " l 2 = 0,685 + k1 , k1 Z , " " " l 2 = 0,685 + k 2 , k 2 Z .

Se obin urmtoarele valori pozitive minime ale lungimilor tronsoanelor: l1 = 20,5 cm; l2 = 10,9 cm sau

l1 = 34,6 cm; l2 = 39,1 cm. Observaie: Problema admite soluii numai dac g ' < 1. Variaia cu frecvena a modulului coeficientului de reflexie pe linia de acces corespunztoare celor dou soluii, obinut prin simulare pe calculator, este prezentat n figura de mai jos.

Figura 1.16.2a l1 = 20,5 cm l 2 = 10,9 cm

Figura 1.16.2b l1 = 34,6 cm l 2 = 39,1 cm

30


pe un cerc cu centrul n origine n sens orar (spre generator) cu (d ) 4 = . Se obine deci punctul diametral opus lui N , care se noteaz cu Q i cruia i corespunde admitana y = y A1 . Se impune condiia y + y 2 = 1 , adic y A1 j ctg l 2 = 1. Punctul Q se afl pe cercul g = 0,4 , rotit cu radiani. Se caut intersecia acestui cerc cu cercul g = 1 . Se gsesc punctele Q i Q prin care trec cercurile b = bQ , b = bQ , care corespund

Altfel: Pe diagrama Smith: Se pornete de la y = y S + g S + jbS = 0,4 j0,2 , creia i corespunde pe M. Admitana din stnga n seciunea AA , diagram punctul y A = y S + y1 = g S + j(bS ctg l1 ) , va fi reprezentat de un punct N a crui poziie pe cercul g = g S = 0,4 depinde de l1 . Trecerea n seciunea BB se face rotind punctul N

susceptanelor compensate de tronsonul cu lungimea l 2 . Rezult deci: b2 = bQ = 1,22 , b2 = bQ = 1,22 , adic punctele R i R care corespund admitanei de intrare n linia cu lungimea l 2 . Aceast lungime se obine prin deplasarea pe cercul exterior n sens orar (spre sarcin) pn se ajunge la scurtcircuit ( y = , notat cu S ). Se msoar: l 2 = 0,359 0,25 = 0,109 ; l 2 = 0,141 + 0,25 = 0,391 , de unde, prin denormare, rezult: l 2 = 0,109 = 10,9 cm , respectiv l 2 = 0,391 = 39,1cm . Se precizeaz poziiile N i N ale punctului N , ca simetrice ale punctelor Q i Q n raport cu originea. Prin N i N trec cercurile b = bN = 0,48 , respectiv b = bN = 0,48 care corespund susceptanei b A = bS + b1 . Deci susceptana liniei l1 poate avea valorile: b1 = b bS = 0,28 , N respectiv b1 = b N bS = 0,68 . Punctele reprezentative se noteaz cu T , respectiv T . Deplasndu-le n sens trigonometric (spre sarcin) pn n punctul S , se obine: l1 = 0,456 0,25 = 0,206 i l1 = 0,096 + 0,25 = 0,346 adic, prin denormare: l1 = 0,206 = 20,6 cm , respectiv l1 = 0,346 = 34,6 cm . Se constat n final c rezultatele obinute pe cale grafic, cu ajutorul diagramei circulare, sunt n bun concordan cu cele obinute pe cale analitic. 31


1.17 S se calculeze dimensiunile i poziia unui tronson de adaptare n 4 cu ajutorul cruia s se realizeze adaptarea unei sarcini Z S = (25 j100 ) la un cablucoaxial avnd impedana Z C = 75 . Dielectricul cablului este aerul. Raza mare a seciunii transversale a cablului este a = 1 cm. Tronsonul de adaptare se realizeaz prin modificarea razei conductorului interior. Frecvena de lucru este f = 600 MHz. Se neglijeaz pierderile.d l

2b ' 2a 2b

2b

z1Rezolvare: Lungimea de und corespunztoare frecvenei de lucru este: c 3 10 8 = 0 = = 0,5 m = 50 cm . f r 6 10 8 Schema echivalent structurii desenate este prezentat mai jos.

zS

4 ZC

d

ZC

ZC

ZS

Transformatorul de impedan n 4 schimb o impedan real Z S n alt

impedan real, Z C2 Z S . Distana d trebuie s fie aleas astfel nct impedana vzut n planul respectiv s fie real i mai mic dect Z C (deoarece b > b , Z C < Z C ), deci s corespund unui minim al tensiunii. Poziia minimului de tensiune este dat de relaia: 1 d = + . 4 4 Impedana normat de sarcin este Z 25 j100 1 4 zS = S = = j ZC 75 3 3 iar coeficientul de reflexie al tensiunii la sarcin este: Z Z C zS 1 10 ( jarctg3) S = S = = e 0, 79 e j1,249 rad . Z S + ZC zS + 1 432


Se obine: 1 1,249 d = 50 = 7,53 cm . 4 4 n acest plan de minim al distribuiei de tensiune impedana normat are valoarea: 1 1 S z1 = = = 0,117. 1 + S Impedana tronsonului de adaptare n 4 trebuie s corespund ecuaiei (zC )2 = 1 z1 , deci' z C = z1 = 0,342,

adic' ' Z C = Z C zC = 75 0,342 = 25,65 . Din expresia impedanei caracteristice pentru cablurile coaxiale, 60 a ln , ZC = r b

rezult c pentru cablul coaxial iniial, raza conductorului interior este: Z b = a exp C r = 2,86 mm , 60 iar pentru poriunea de lungime 4 Z' b = a exp C r = 6,52 mm . 60 Lungimea l a tronsonului cu impedana Z C este:

l = 4 = 50 4 = 12,5 cm.1.18 S se calculeze puterea maxim transmisibil printr-un cablu coaxial cu dimensiunile R = 2, 72 mm, r = 1mm avnd ca dielectric aerul, terminat pe impedana lui caracteristic. Se tie c n cazul aerului intensitatea cmpului electric maxim admisibil este de E0 str = 30 kV cm i se admite un coeficient de siguran C = 0,2. Rezolvare: Notnd cu E 0 intensitatea maxim a cmpului electric (de la suprafaa conductorului interior) rezult: B R r R U = Edl = E0 d = rE0 ln . A r r Dar:P= U2

2r 2R

2Z C

,

unde

33


Z C = 60 ln n consecin

R . r2

R R 2 r 2 E0 ln r = r W P= R 120 2 60 ln r iar dac se introduce coeficientul de siguran C rezult valoarea puterii maxime transmisibile prin cablul coaxial n condiiile date: R 2 2 r 2 E0, str ln 106 ( 3 106 ) ln 2, 72 r = 0, 2 Pmax,tr = C = 15 kW . 120 120 r 2 E0 ln 2

1.19 S se calculeze puterea maxim transmisibil printr-un cablu coaxial cu dimensiunile R = 2, 72 mm, r = 1mm, avnd ca dielectric aerul, dac impedana lui terminal este Z S = (90 + j60 ) . Se consider, ca i n cazul problemei precedente, intensitatea cmpului electric de strpungere a aerului E0 str = 30 kV cm i se admite un coeficient de siguran C = 0,2. Rezolvare: n cazul unui cablu coaxial, fr pierderi, dezadaptat, puterea transmis sarcinii are expresia , 2Z C 2Z C iar raportul de und staionar este U U + Ui = max = d U min Ud Ui

PS = Pd Pi =

Ud

2

Ui

2

deci

U 1 (U d U i )(U d + U i ) = max PS = 2Z C 2Z C Comparnd cu cablul terminat adaptat, (vezi problema 1.18), se constat c puterea maxim transmisibil scade de ori. Cu datele problemei, impedana caracteristic a cablului coaxial are valoarea: R Z C = 60 ln = 60 ln 2, 72 60 r iar impedana normat de sarcin este: Z 90 + j60 zS = S = = 1,5 + j ZC 60 astfel nct coeficientul de reflexie al tensiunii la sarcin z 1 0,5 + j 1 + j2 = S = = = 0,415 e j0,727 rad . z S + 1 2,5 + j 5 + j234

2


Rezult de aici valoarea lui : 1 + 1 + 0, 415 = 2, 42 . = 1 1 0, 415 Cablul fiind identic cu cel din problema anterioar, se deduce: (Pmax,transm. )adaptare 15 10 3 = = 6,2 kW . Pmax,transm. = 2,42

1.20 Ce capacitate trebuie s aib un condensator conectat la un capt al unei linii fr pierderi de lungime l = 3 cm pentru ca linia terminat n scurtcircuit la cellalt capt s rezoneze la frecvena de 1 GHz ? Impedana caracteristic a liniei este Z C = 50 iar dielectricul acesteia are o permitivitate electric relativ r = 4 .l

C

ZC

Zi

Rezolvare: Impedana de intrare n tronsonul cu lungimea l , terminat n scurtcircuit, are expresia: Z i = jZ C tg l , i cum lf r 0,03 109 2 l l = 2 = 2 = 2 = 0,4 rad c0 3 108 rezult: Z i = j50 tg (0,4 ) = j154 . Condiia de rezonan este: X C + X i = 0, de unde 1 XC = Xi = . C Se obine astfel capacitatea condensatorului: 1 1 = 10 12 F = 1 pF . C= 9 X i 2 10 154 1.21 Un emitor transmite semnalul antenei prin intermediul unei linii avnd constanta de atenuare = 0,0434 dB m i lungimea de 10 m . tiind c raportul de und staionar pe linie este = 1,25 i c puterea medie activ n anten este de 100 W , s se calculeze puterea debitat de emitor.35


Rezolvare: Randamentul unei linii de transmisiune are expresia:, 2 e 2l e 2l unde reprezint coeficientul de reflexie al sarcinii iar l este lungimea liniei avnd constanta de atenuare . Pentru datele numerice ale problemei, se obine: 1 l = 0,0434 10 = 0,05 Np m

Culegere Microunde

Documents

Transcript of Culegere Microunde