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CPGE: SETTAT TSI-sup 1 Devoir libre N˚3 MATHS A rendre le 2 d´ ecembre 2011 Exercice 1 : On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle (E ): y ′′′ y =0 . une solution de (E ) est une fonction f d´ efinie sur R ,3-fois d´ erivable sur R telle que t R : f ′′′ (t) f (t)=0 1. Montrer que toute solution f de (E ) est de classe C sur R Soit f une solution de (E ),montrons par r´ ecurrence que f est n-fois d´ erivable pour tout n N, – on a f est trois fois d´ erivable , la propri´ et´ e est vraie pour n=0,1,2,et 3 – Soitn N supposons que f est est n-fois d´ erivable , donc on a f (3) = f implique que f (3) est n fois d´ erivable , donc f est n +3 erivable sur R, donc elle est n +1 erivable 2. Soit f une solution r´ eelle de (E ) , on pose g = f ′′ + f + f , montrer que g est solution d’une ´ equation diff´ erentielle lin´ eaire du premier ordre , puis d´ eterminer g On a g = f ′′′ + f ′′ + f = f + f ′′ + f = g donc g est solution de l’´ equation diff´ erentielle lin´ eaire y = y, et par suite x R : g(x)= ke x , o ` uk R 3. Donner la solution g´ en´ erale r´ eelle de l’´ equation diff´ erentielle y ′′ + y + y =0 l’´ equation caract´ eristique de cette ´ equation diff´ erentielle est r 2 + r +1=0 qui admet deux solutions conjugu´ ees j = 1 2 +i 3 2 et j , donc la solution g´ en´ erale de l’´ equation y ′′ +y +y =0 est de la forme y H (x)= βe 1 2 x sin( 3x 2 )+ γe 1 2 x cos( 3x 2 ) 4. En d´ eduire que la solution g´ en´ erale r´ eelle de E est de la forme αf 1 + βf 2 + γf 3 Si f est la solution g´ en´ erale de E alors f ′′ + f + f = ke x , i.e f est la solution g´ en´ erale de y ′′ + y + y = ke x , une solution particuli` ere de cette ´ equation est y ( x)= αe x , o ` = k 3 , et par suite f (x)= y p (x)+ y H (x)= αf 1 (x)+ βf 2 (x)+ γf 3 (x) avec f 1 (x)= e x ,f 2 (x)= e 1 2 x sin( 3x 2 ),f 3 (x)= e 1 2 x cos( 3x 2 ) et (α,β,γ ) R 3 5. Soit (a, b, c) R 3 , donner le d´ eveloppement limit´ e` a l’ordre 2 de af 1 (x)+ bf 2 + cf 3 (x) ae x = a + ax + a x 2 2 + x 2 ε(x) be 1 2 x = b bx 2 + bx 2 8 + x 2 ε(x) sin( 3x 2 )= 3x 2 + x 2 ε(x) ;cos( 3x 2 )=1 3x 2 4 + x 2 ε(x) be 1 2 x sin( 3x 2 )= b 3x 2 b 3x 2 4 + x 2 ε(x) ce 1 2 x cos( 3x 2 )= c 3cx 2 4 cx 2 + cx 2 8 + x 2 ε(x)= c cx 2 + 5cx 2 8 + x 2 ε(x) donc ae x + be 1 2 x sin( 3x 2 )+ ce 1 2 x cos( 3x 2 )=(a + c)+(a + b 3 2 c 2 )x +( a 2 3b 4 5c 8 )x 2 + x 2 ε(x) avec lim x0 ε(x)=0 6. Supposons que x R : af 1 (x)+ bf 2 (x)+ cf 3 (x)=0 ,Montrer que a = b = c =0, x R : af 1 (x)+ bf 2 (x)+ cf 3 (x)=0 par unicit´ e du d´ eveloppement limit´ e en 0 ` a l’ordre 2 de af 1 (x)+ bf 2 (x)+ cf 3 (x)on obtient : a + c =0 a + b 3 2 c 2 =0 a 2 3b 4 5c 8 =0 c = a a + b 3 2 + a 2 =0 a 2 3b 4 + 5a 8 =0 c = a 3 a 2 + b 3 2 =0 9a 8 3b 4 =0 c = a 3 a 2 + b 3 2 =0 9a 4 3b 2 =0 c = a 3 a 2 + b 3 2 =0 15a 8 =0 a = b = c =0 7. D´ eterminer la solutions y de E erifiant lim x+y(x)=0, et y(0) = 0),y (0) = 1 y(x)= αe x + βe 1 2 x sin( 3x 2 )+ γe 1 2 x cos( 3x 2 ) ,|e 1 2 x sin( 3x 2 )|≤ e 1 2 x et |e 1 2 x cos( 3x 2 )|≤ e 1 2 x , donne lim x+e 1 2 x sin( 3x 2 )=0 et lim x+e 1 2 x cos( 3x 2 )=0, donc on a n´ ecessairement α =0 , y(0) = 0 donne γ =0 et y (0) = 1 lim x0 y(x) x =1 β 3 2 =1 β = 2 3 3 , donc y(x)= 2 3 3 e 1 2 x sin( 3x 2 ) Probl` eme I. On consid` ere l’´ equation (E): y +2xy =1 http://mathscpge.wordpress.com 1

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CPGE: SETTAT

TSI-sup 1

Devoir libre

N 3

MATHS

A rendre le 2 decembre 2011

Exercice 1 :On considere l’equation differentielle (E) : y′′′ − y = 0 .

une solution de (E) est une fonction f definie sur R ,3-fois derivable sur R telle que ∀t ∈ R : f ′′′(t)− f(t) = 0

1. Montrer que toute solution f de (E) est de classe C∞ sur R

Soit f une solution de (E),montrons par recurrence que f est n-fois derivable pour tout n ∈ N,– on a f est trois fois derivable , la propriete est vraie pour n=0,1,2,et 3– Soitn ∈ N supposons que f est est n-fois derivable , donc on a f (3) = f implique que f (3)

est n fois derivable , donc f est n+ 3 derivable sur R, donc elle est n+ 1 derivable

2. Soit f une solution reelle de (E) , on pose g = f ′′ + f ′ + f , montrer que g est solution d’uneequation differentielle lineaire du premier ordre , puis determiner gOn a g′ = f ′′′ + f ′′ + f ′ = f + f ′′ + f ′ = g donc g est solution de l’equation differentiellelineaire y′ = y, et par suite ∀x ∈ R : g(x) = kex, ouk ∈ R

3. Donner la solution generale reelle de l’equation differentielle y′′ + y′ + y = 0l’equation caracteristique de cette equation differentielle est r2 + r + 1 = 0 qui admet deux

solutions conjuguees j = −1

2+i

√3

2et j, donc la solution generale de l’equation y′′+y′+y = 0

est de la forme yH(x) = βe−1

2x sin(

√3x2 ) + γe−

1

2x cos(

√3x2 )

4. En deduire que la solution generale reelle de E est de la forme αf1 + βf2 + γf3Si f est la solution generale de E alors f ′′ + f ′ + f = kex , i.e f est la solution generale dey′′ + y′ + y = kex , une solution particuliere de cette equation est y(x) = αex, ouα = k

3 ,et par suite f(x) = yp(x) + yH(x) = αf1(x) + βf2(x) + γf3(x) avec f1(x) = ex, f2(x) =

e−1

2x sin(

√3x2 ), f3(x) = e−

1

2x cos(

√3x2 ) et (α, β, γ) ∈ R

3

5. Soit (a, b, c) ∈ R3, donner le developpement limite a l’ordre 2 de af1(x) + bf2 + cf3(x)

• aex = a+ ax+ ax2

2+ x2ε(x)

• be−1

2x = b− bx

2+

bx2

8+ x2ε(x)

• sin(√3x2 ) =

√3x2 + x2ε(x) ;cos(

√3x2 ) = 1− 3x2

4 + x2ε(x)

• be−1

2x sin(

√3x2 ) = b

√3x2 − b

√3x2

4 + x2ε(x)

• ce−1

2x cos(

√3x2 ) = c− 3cx2

4 − cx

2+

cx2

8+ x2ε(x) = c− cx

2+

−5cx2

8+ x2ε(x)

• donc aex + be−1

2x sin(

√3x2 ) + ce−

1

2x cos(

√3x2 ) = (a+ c) + (a+ b

√3

2 − c

2)x+ (

a

2−

√3b4 − 5c

8)x2 + x2ε(x)

avec limx→0

ε(x) = 0

6. Supposons que ∀x ∈ R : af1(x) + bf2(x) + cf3(x) = 0 ,Montrer que a = b = c = 0,∀x ∈ R : af1(x) + bf2(x) + cf3(x) = 0 par unicite du developpement limite en 0 a l’ordre 2

de af1(x) + bf2(x) + cf3(x)on obtient :

a+ c = 0

a+ b√3

2 − c

2= 0

a

2−

√3b4 − 5c

8= 0

c = −a

a+ b√3

2 +a

2= 0

a

2−

√3b4 +

5a

8= 0

c = −a

3a2 + b

√3

2 = 09a

8−

√3b4 = 0

c = −a

3a2 + b

√3

2 = 09a

4−

√3b2 = 0

c = −a

3a2 + b

√3

2 = 015a

8= 0

⇔ a = b = c = 0

7. Determiner la solutions y de E verifiant limx→+∞

y(x) = 0, et y(0) = 0), y′(0) = 1

y(x) = αex+βe−1

2x sin(

√3x2 )+γe−

1

2x cos(

√3x2 ) ,|e− 1

2x sin(

√3x2 )| ≤ e−

1

2x et |e− 1

2x cos(

√3x2 )| ≤

e−1

2x, donne lim

x→+∞e−

1

2x sin(

√3x

2) = 0 et lim

x→+∞e−

1

2x cos(

√3x

2) = 0, donc on a necessairement

α = 0 , y(0) = 0 donne γ = 0 et y′(0) = 1 ⇒ limx→0

y(x)

x= 1 ⇒ β

√3

2= 1 ⇒ β =

2√3

3,

donc y(x) =2√3

3e−

1

2x sin(

√3x2 )

Probleme

I. On considere l’equation (E) : y′ + 2xy = 1

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TSI-sup 1

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N 3

MATHS

A rendre le 2 decembre 2011

I.1. Resoudre (E) ( on donnera la solution a l’aide de

∫ x

0

et2

dt , on ne demande pas de

calculer cette integrale )

yH(x) = ke−x2

, ouk ∈ K, par la methode de variation de la constante on cherche une

solution particuliere sous la forme yp(x) = k(x)e−x2

, on derive yp , et puisque ypest

une solution de (E) , on a k′(x)e−x2

= 1, donc k′(x) = ex2

, dou k(x) =

∫ x

0

et2

dt +

c ouc ∈ K , on prend c = 0 , et donc yp(x) = e−x2

∫ x

0

et2

dt , finalement

yG(x) = yp(x) + yH(x) = ke−x2

+ e−x2

∫ x

0

et2

dt

I.2. Soit y une solution de (E) ,on pose y(0) = α ∈ R , y(1) = β ∈ R ,

I.2.1. Former l’equation cartesienne de la tangente Dα en A(0, α) a la courbe de y etl’equation de la tangente δβ en B(1, β) a la courbe de y .

• Dα : y = y′(0)(x− 0) + y(0), on y′(0) + 2× 0× y(0) = 1 , donc y′(0) = 1et Dα a pour equation cartesienne y = x+ α

• ∆β : y − y(1) = y′(1)(x− 1) et on a y′(1) + 2y(1) = 1, donc y′(1) = 1− 2βet ∆β a pour equation cartesienne y = (1− 2β)x+ 3β − 1

I.2.2. Montrer que lorsque α varie dans R , toutes les tangentes Dα sont paralleles a lapremiere bissectrice du repereon a toutes les droites Dα ont pour coefficient directeur(la pente) 1 , donc elle sontparallele a la droite D0

I.2.3. Montrer que lorsque β varie dans R , toutes les tangentes ∆β passe par un pointunique a determiner

y = (1 − 2β)x + 3β − 1 ⇔ (3 − 2x)β + x − y − 1 = 0, on a

{

3− 2x = 0x− y − 1 = 0

x =3

2

y =3

2− 1 =

1

2

, donc toutes les tangentes∆β passent par le point C(3

2,1

2)

et

II. Soit f la solution du probleme de Cauchy (S) :

{

y′ + 2xy = 1y(0) = 0

:

II.1. Montrer que f est de classe C∞ sur R

On montre par recurrence sur n,que f est de classe Cn sur R pour toute n ∈ N .• on a f est continue donc f est de classe C0 sur R

• Supposons que f est de classe Cnon a f ′(x) = −2xf(x)+ 1 donne f ′ est de classe Cn

, donc f est de classe Cn+1 sur R

II.2. Demontrer que ∀x : f(x) = e−x2

∫ x

0

et2

dt

on a f est une solution de (E , ,d’apres (I), il existe k ∈ K telle que f(x) = ke−x2

+

e−x2

∫ x

0

et2

dt, f(0) = 0 entraıne que k = 0 , dou le resultat

II.3. Donner le developpement limite de f en 0 a l’ordre 5

• on a e−x2

= 1− x2 +1

2x4 + x5ε(x)

• et2

= 1 + t2 +1

2t4 + t5ε(x)

•∫ x

0

et2

dt = x+x3

3+

x5

10+ x5ε(x)

• f(x) = x+x3

3+

x5

10− x3 − x5

5+

1

2x5 + x5ε(x) = x− 2x3

3+

4

15x5 + x5ε(x)

II.4. Montrer que la fonction x 7→ −f(−x) est solution de (S)

II.5. En deduire que f est impaireona la fonction x 7→ g(x) = −f(−x) est solution du probleme de cauchy donc g = f etpar suite f est impaire

II.6. Soit a0 + a1x+ a2x2 + ...+ a2n+2x

2n+2 + x2n+2ε(x) avec limx→0

ε(x) = 0

le developpement de f en 0 a l’ordre (2n+ 2)

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N 3

MATHS

A rendre le 2 decembre 2011

II.7. Montrer que ∀k ∈ N, a(2k) = 0puisque f est impaire , tous les coefficients des termes pairs sont nuls .

II.8. Montrer que ∀x ∈ R : ∀k ∈ N : f (k+2)(x) = −2xf (k+1)(x)−2(k+1)fk(x) par recurrencesur n

II.9. En deduire ∀k ∈ N : a2k+1 =(−4)kk!

(2k + 1)!∀x ∈ R : ∀k ∈ N : f (k+2)(x) = −2xf (k+1)(x) − 2(k + 1)fk(x) donne pour x = 0f (2k+1)(0) = −2(2k)f (2k−1)(0) = −4kf (2k−1)(0) = (−4k)(−4(k−1).....(−4×2)(−4)f ′(0) =(−4)kk! et puisque f est de classe C∞ sur R , la formule de Taylor -yong , donne que

a2k+1 =f (2k+1)

(2k + 1)!=

(−4)kk!

(2k + 1)!, donc f(x) =

n∑

k=0

(−4)kk!

(2k + 1)!x2k+1 + x2n+2ε(x), ou lim

x→0ε(x) = 0

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