Παν/μιο Πατρών – Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλεκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρεωτικό 3ου Εξαμήνου) Διδάσκων: Δ. Σκαρλάτος Ο Νόμος του Gauss

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρεωτικό 3ου Εξαμήνου)

Διδάσκων :Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος Καθηγητής ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ # 1: Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

Ο νόμος του Gauss αποτελεί έναν από τους θεμελιώδεις νόμους του Ηλεκτρομαγνητισμού, δεδομένου ότι αποτελεί μία μορφή σύνδεσης του ηλεκτρικού πεδίου με τις πηγές του (σημειακά φορτία ή συνεχείς κατανομές φορτίου).Δηλώνει ότι η ηλεκτρική ροή που διαπερνά μία κλειστή επιφάνεια που περικλείει έναν καθορισμένο όγκο είναι ανάλογη του ολικού καθαρού (με την έννοια του αλγεβρικού αθροίσματος) φορτίου που περικλείεται στον όγκο αυτό.Η διαπίστωση αυτή εκφράζεται με την πολύ απλή μαθηματική σχέση :

0

in

ήά

QE dAκλειστεπιϕ νεια

ε=∫∫ i [Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα]

που αποτελεί και την ολοκληρωτική μορφή του νόμου.

Στην παραπάνω έκφραση το κλειστό επιφανειακό ολοκλήρωμα του πρώτου μέλους αντιπροσωπεύει την ολική καθαρή ροή (διαφορά εξερχόμενης και εισερχόμενης) του ηλεκτρικού πεδίου διαμέσου της κλειστής επιφάνειας και η ποσότητα το ολικό καθαρό φορτίο (με την έννοια του αλγεβρικού αθροίσματος θετικών και αρνητικών φορτίων) που περικλείεται από την επιφάνεια αυτή.Στην συνέχεια θα παραθέσομε την απόδειξη του νόμου στις περιπτώσεις κλειστής επιφάνειας που περικλείει σημειακό φορτίο, σύνολο σημειακών φορτίων και συνεχή κατανομή φορτίου.Θα πρέπει όμως πρώτα να διαβαστεί το Παράρτημα στο τέλος του φυλλαδίου.

inQ

(i) Σημειακό φορτίο.Θεωρούμε μία κλειστή επιφάνεια Α τυχαίου σχήματος που περικλείει ένα (έστω θετικό) σημειακό φορτίο q,όπως φαίνεται στο Σχήμα Α(α).Είναι ήδη γνωστό ότι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου του συγκεκριμένου φορτίου κατευθύνεται ακτινικά προς τα έξω, όπως και οι δυναμικές γραμμές του πεδίου.Το

Σχήμα δείχνει ένα στοιχειώδες τμήμα της επιφάνειας dA που αντιπροσωπεύεται από το διάνυσμα ˆdA ndA= , όπου το μοναδιαίο κάθετο στην στοιχειώδη επιφάνεια διάνυσμα.Στο τμήμα αυτό εικονίζεται και το διάνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου.

n

Για την ολική ροή που διαπερνά την κλειστή επιφάνεια Α θα έχομε ότι :

2 20 0

coscos cos4 4

q q dE dA EdA dAr r

A θθ θπε πεΑ Α Α Α

Φ = = = =∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫i

Ο όρος cosdA θ αντιπροσωπεύει την προβολή της στοιχειώδους επιφάνειας dA σε επιφάνεια κάθετη στην ένταση και τις δυναμικές γραμμές του ηλεκτρικού πεδίου του φορτίου.Η επιφάνεια αυτή μπορεί κάλιστα να ανήκει σε

μία σφαίρα ακτίνας r με κέντρο το φορτίο q.Κατά συνέπεια η ποσότητα 2

cosdAr

θ αντιπροσωπεύει τη στερεά γωνία

που σχηματίζεται με κορυφή το φορτίο q και βάση του αντίστοιχου κώνου της την στοιχειώδη επιφάνεια cosdA θ .Κατά συνέπεια θα έχομε ότι:

0 0

44 4ί

ίr

q qdϕα ρα

ακτ νας

π0

qπε πεΣ

Φ = Ω = =∫∫ ε

(ii) Σύνολο διακριτών σημειακών φορτίων.Στην περίπτωση όπου ένα σύνολο σημειακών φορτίων περικλείεται από μία κλειστή επιφάνεια Α, όπως φαίνεται στο Σχήμα Α(β), σε κάθε στοιχείο επιφανείας dA η ένταση του συνολικού ηλεκτρικού πεδίου θα είναι :

1 2 ....... nE E E E= + + Κατά συνέπεια :

( ) 1 21 2 1 22 2 2

0 1 0 2 0

1 21 22 2 2

0 1 2

1 1 2 2 1 20

....... [ cos cos ...... cos ]4 4 4

coscos cos1 ......4

1 ....4

nn n

n

nn

nA A

qq qE E E dA dA dA dAr r r

dAdA dAq q qr r r

q d q d q d

θ θ θπε πε πε

θθ θπε

πε

Α Α

Α

Α Α Α

Φ = + + = + + + =

⎡ ⎤= + + + =⎢ ⎥

⎣ ⎦

= Ω + Ω + + Ω

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

i

( ) ( )1 21 2

0 0

........1 4 4 ........ 44

nn

q q qq q qπ π π

πε ε⎡ ⎤ + +

= + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫∫

Στην περίπτωση αυτή τα φορτία πρέπει να λαμβάνονται με το πρόσημό τους , δεδομένου ότι αυτό καθορίζει το άν η ροή του ηλεκτρικού τους πεδίου είναι εξερχόμενη ή εισερχόμενη στην κλειστή επιφάνεια.Συγκεκριμένα στο Σχήμα (β) θα έχομε ότι η ροή μέσω της στοιχειώδους επιφάνειας dA για τα φορτία q1 και q2 είναι θετική

1

Παν/μιο Πατρών – Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλεκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρεωτικό 3ου Εξαμήνου) Διδάσκων: Δ. Σκαρλάτος Ο Νόμος του Gauss (εξερχόμενη από την κλειστή επιφάνεια),ενώ για το φορτίο q3 είναι αρνητική (δηλαδή εισερχόμενη στην κλειστή επιφάνεια). (iii)Συνεχής κατανομή φορτίου. Έστω μία συνεχής κατανομή φορτίου όγκου V και συνολικού φορτίου Q που περικλείεται από μία κλειστή επιφάνεια Α τυχαίου σχήματος, όπως φαίνεται στο Σχήμα Α(γ).Θεωρούμε ότι η συνεχής κατανομή φορτίου αποτελέιται από στοιχειώδη φορτία dq.Σε ένα σημείο r που οριοθετεί το κέντρο ενός στοιχείου επιφανείας dA το στοιχειώδες ηλεκτρικό πεδίο θα είναι :

( )'2'0

14

dqdE r rr rπε

∧

= −−

Η στοιχειώδης ηλεκτρική ροή dΦ Διαμέσου της επιφάνειας Α που οφείλεται στο φορτίο dq θα είναι :

'

2 2' '0 0 0

1 coscos 44 4 4 4ί

ίr r

dq dq dA dq dq dqdE dA dA dr r r r ϕα ρα

κτ νας0 0

θθ ππε πε πε πεΑ Α Α Σ

Α−

Φ = = = = Ω = =− −

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫iε

Κατά συνέπεια η ολική ροή λόγω της συνολικής συνεχούς κατανομής θα είναι :

0 0V

dq Qε ε

Φ = =∫∫∫

(α) (β)

ΣΧΗΜΑ Α.Για την απόδειξη της ολοκληρωτικής (γ) μορφής του νόμου του Gauss.

2

Παν/μιο Πατρών – Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλεκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρεωτικό 3ου Εξαμήνου) Διδάσκων: Δ. Σκαρλάτος Ο Νόμος του Gauss Ο νόμος του Gauss όπως εξετέθει είναι μία ολοκληρωτική εξίσωση που εύκολα μπορεί να μετατραπεί σε διαφορική.Θεωρούμε μία κλειστή επιφάνεια Α που περικλείει έναν όγκο V μέσα στην οποία βρίσκεται μία κατανομή φορτίου Q όγκου V’ με (σταθερή ή μεταβλητή) πυκνότητα φορτίου ρ, όπως φαίνεται στο Σχήμα Β. Με βάση το νόμο του Gauss θα έχομε ότι:

( )Θεώρημα της Αποκλίσεως

0 0V

Q QdE dA dE dA E dVε εΑ Α

Φ = = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = ∇• =∫∫ ∫∫ ∫∫∫i i

Παράλληλα θα ισχύει και η γνωστή σχέση :

'

'V V

Q dVρ ρ= = dV∫∫∫ ∫∫∫

όπου επεκτείναμε εκ του ασφαλούς τον όγκο ολοκλήρωσης από V’ σε V δεδομένου ότι ο υπόλοιπος όγκος V-V’ δεν περιέχει φορτίο και δεν συνεισφέρει στο ολοκλήρωμα. Κατά συνέπεια θα έχομε ότι :

( )V V

E dV dVρ∇• =∫∫∫ ∫∫∫

Δεδομένου ότι η παραπάνω σχέση εξήχθει για τυχαία κλειστή επιφάνεια Α που περικλείει τυχαίο όγκο V θα έχομε ότι γενικά ισχύει:

0

E ρε

∇• = [Διαφορική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα]

σχέση που αποτελεί και την διαφορική μορφή του νόμου του Gauss. Κατά συνέπεια η απόκλιση ενός ηλεκτρικού πεδίου είναι ανάλογη της πυκνότητας φορτίου που αποτελεί την πηγή του. Η απόκλιση του ηλεκτρικού πεδίου στα βασικά συστήματα συντεταγμένων έχει την μορφή:

Καρτεσιανές (x,y,z): yx zEE EE

x y z∂∂ ∂

∇• = + +∂ ∂ ∂

( ) ( )Σφαιρικές (r,θ,φ):

2

2

sin1 1 1sin sin

rr E EEE

r r r rϕθ θ

θ θ θ ϕ

∂ ∂∂∇• = + +

∂ ∂ ∂

Κυλινδρικές (r,φ,z): ( )1 1r zErE EE

r r rϕ

ϕ z∂∂ ∂

∇• = + +∂ ∂ ∂

ΣΧΗΜΑ Β. Για την απόδειξη της διαφορικής μορφής του νόμου του Gauss.

Στο σημείο αυτό μπορούμε να κάνομε μία σειρά παρατηρήσεων επάνω σε αυτόν τον πολύ βασικό νόμο. (α) Τι δηλώνει ο νόμος του Gauss.Η ολοκληρωτική μορφή του νόμου δηλώνει ρητά ότι η καθαρή ηλεκτρική ροή διαμέσου μίας κλειστής επιφάνειας οφείλεται αποκλειστικά στα φορτία που αυτή περικλείει.Κανένα εξωτερικό φορτίο δεν συνεισφέρει σε καθαρή ροή διαμέσου αυτής. Αυτό είναι ένα εκ των προτέρων αναμενόμενο

3

Παν/μιο Πατρών – Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλεκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρεωτικό 3ου Εξαμήνου) Διδάσκων: Δ. Σκαρλάτος Ο Νόμος του Gauss αποτέλεσμα.Στο Σχήμα Γ(α) όπου εικονόζεται το ηλεκτρικό πεδίο ενός θετικού σημειακού φορτίου που είναι εξωτερικό μίας κλειστής επιφάνειας Α.Το πλήθος των δυναμικών γραμμών που εισέρχεται σε αυτήν είναι ίσο με το πλήθος αυτών που εξέρχονται από αυτήν δημιουργώντας έτσι μηδενική καθαρή ροή διαμέσου αυτής.Παράλληλα εάν ένα πλήθος κλειστών επιφανειών Α1, Α2, Α3 διαφορετικού σχήματος εγκλωβίζουν το ίδιο φορτίο στο εσωτερικό τους [όπως φαίνεται στο Σχήμα Γ(β)], η καθαρή ροή του ηλεκτρικού του πεδίου διαμέσου αυτών θα είναι η ίδια και ίση με q/ε0, καθώς το ίδιο πλήθος δυναμικών γραμμών τις διαπερνά όλες. Τέλος στην περίπτωση του Σχήματος Γ(γ) όπου διακρίνεται ένα εσωτερικό και ένα εξωτερικό ως προς μία κλειστή επιφάνεια Α φορτίο, η καθαρή ηλεκτρική ροή διαμέσου αυτής θα οφείλεται αποκλειστικά στο περικλειόμενο φορτίο Q.Στην έκφραση όμως του νόμου του Gauss

0 0

in

ήά

Q QE dAκλειστεπιϕ νεια

ε ε= =∫∫ i

η ένταση E αντιπροσωπεύει το συνολικό ηλεκτρικό πεδίο σε κάθε σημείο του χώρου που οφείλεται τόσο στο εξωτερικό φορτίο q όσο και στο εσωτερικό φορτίο Q

q QE E E= + Παράλληλα η διαφορική μορφή του νόμου αναδεικνύει πληρέστερα και το φυσικό του περιεχόμενο συνδέοντας άμμεσα το ηλεκτρικό πεδίο με την πηγή του (μην παραβλέπετε ότι για την απόδειξή της περικλείσαμε την πηγή του πεδίου σε μία κλειστή επιφάνεια).Η απόκλιση του πεδίου είναι ανάλογη της πυκνότητας φορτίου που το παράγει.

(α)

(β)

(γ)

q

ΣΧΗΜΑ Γ. Για την ανάδειξη του φυσικού περιεχομένου του Νόμου του Gauss.

(+)

Q (+)

A

q QE E E= +

4

Παν/μιο Πατρών – Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλεκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρεωτικό 3ου Εξαμήνου) Διδάσκων: Δ. Σκαρλάτος Ο Νόμος του Gauss (β) Χρήση του νόμου του Gauss για τον υπολογισμό εντάσεως ηλεκτρικών πεδίων.Ο νόμος του Gauss με την μαθηματική απλότητα που τον χαρακτηρίζει αποτελεί ένα πανίσχυρο εργαλείο για τον εύκολο υπολογισμό ηλεκτρικών πεδίων που προέρχονται από πηγές που παρουσιάζουν σφαιρική, κυλινδρική ή συμμετρία επιπέδου.Στην περίπτωση αυτή η γενική μεθοδολογία που ακολουθείται είναι η εξής: Θεωρούμε μια φανταστική κλειστή επιφάνεια που περιβάλλει την πηγή του πεδίου και έχει την ίδια συμμετρία με αυτήν. Η νοητή αυτή επιφάνεια ονομάζεται επιφάνεια Gauss και είναι: Σφαίρα στην περίπτωση σφαιρικής συμμετρίας της πηγής Κύλινδρος στην περίπτωση κυλινδρικής συμμετρίας της πηγής Παραλληλεπίπεδο ή κύλινδρος που τέμνει το επίπεδο στην περίπτωση συμμετρίας επιπέδου. Οι συνήθεις επιφάνειες Gauss εικονίζονται στο ακόλουθο Σχήμα Δ. Εφαρμόζομε τον νόμο του Gauss στην υποθετική κλειστή επιφάνεια που περιβάλλει την πηγή.Λόγω της συμμετρίας της πηγής η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε όλα τα σημεία της επιφάνειας Gauss θα έχει το ίδιο μέτρο και κατά συνέπεια βγαίνει έξω από το αντίστοιχο επιφανειακό ολοκλήρωμα σαν σταθερά που αναζητείται.Δηλαδή:

0 0

in in

ή ήά ά

Gauss Gauss

Q QE dA E dAκλειστ κλειστεπιϕ νεια επιϕ νεια

ε ε= ⇒ ± =∫∫ ∫∫i

dA

Επιφάνεια Gauss

dA

Επιφάνεια Gauss dA

dA dA

dA

Επιφάνεια Gauss

ΣΧΗΜΑ Δ. Οι συνήθως χρησιμοποιούμενες επιφάνειες Gauss.

5

Παν/μιο Πατρών – Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλεκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρεωτικό 3ου Εξαμήνου) Διδάσκων: Δ. Σκαρλάτος Ο Νόμος του Gauss (γ)Εξαγωγή του Νόμου του Coulomb από τον νόμο του Gauss.Υπάρχει πλήρης ισοδυναμία μεταξύ του νόμου του Gauss και του νόμου του Coulomb.Η απόδειξη του νόμου του Gauss στηρίχθηκε στην ισχύ του νόμου του Coulomb και στην ιδιότητα του να είναι «νόμος αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης».Σε περίπτωση διαφορετικής εξάρτησης της δύναμης (και κατά συνέπεια της έντασης) από την απόσταση,η τυχαία επιφάνεια Α δεν θα μπορούσε να προβληθεί ισότροπα σε επιφάνεια σφαίρας με κέντρο το σημειακό φορτίο και η συνολική ροή του ηλεκτρικού πεδίου θα εξαρτώνταν κυρίως από το τυχαίο σχήμα της επιφάνειας και όχι από το συνολικό φορτίο που αυτή περικλείει. Αντίστροφα ο νόμος του Coulomb μπορεί να εξαχθεί σαν μία εφαρμογή του νόμου του Gauss,όπως φαίνεται στη συνέχεια.

Θεωρούμε το θετικό σημειακό φορτίο Q του Σχήματος.Επιθυμούμε να υπολογίσομε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου του συναρτήσει της απόστασης r από αυτό.Το πρόβλημα παρουσιάζει προφανή σφαιρική συμμετρία και για τον λόγο αυτό θεωρούμε την νοητή σφαιρική επιφάνεια Gauss ακτίνας r του Σχήματος.Λόγω της συμμετρίας του προβλήματος η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου του φορτίου Q θα έχει το ίδιο μέτρο σε όλα τα σημεία αυτής της επιφάνειας κατευθυνόμενη ακτινικά προς τα έξω. Κατά συνέπεια εφαρμόζοντας τον νόμο του Gauss θα έχομε ότι :

( )

( )

0 0 0

0

0 0

22

0 0

ˆ

cos0

44

in

ά άί ί

r r

ά άί ί

r r

Q Q QE dA E n dA

Q QEdA E dA

Q QE r Er

επιϕ νεια επιϕ νειασϕα ρας σϕα ρας

επιϕ νεια επιϕ νειασϕα ρας σϕα ρας

ε ε ε

ε ε

πε πε

= = ⇒ =

⇒ = ⇒ =

⇒ = ⇒ =

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

i i ⇒

⇒

Ή διανυσματικά :

20

ˆ 4

QE rrπε

=

Παρατηρούμε ότι καταλήγομε στην γνωστή έκφραση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου σημειακού φορτίου.Εάν τώρα σε απόσταση r από αυτό φέρομε ένα σημειακό φορτίο q, η δύναμη που θα δεχθεί από την πηγή του πεδίου Q θα είναι:

20

ˆ 4

QqF qE rrπε

= =

που είναι η γνωστή έκφραση του νόμου του Coulomb. Σημείωση: Εάν το φορτίο Q ήταν αρνητικό η ένταση θα είχε φορά προς αυτό και επομένως :

( )

( )

0

0 0 0 0 0

22

0 0

ˆ cos180

44

in

ά ά ά άί ί ί ί

r r r r

Q Q Q Q QE dA E n dA EdA E dA

Q QE r Er

επιϕ νεια επιϕ νεια επιϕ νεια επιϕ νειασϕα ρας σϕα ρας σϕα ρας σϕα ρας

ε ε ε ε ε

πε πε

= = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ = − ⇒ = −

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫i i

Ή διανυσματικά :

20

ˆ 4

QE rrπε

= −

Παρά την ισοδυναμία των νόμων Gauss και Coulomb, η ισχύς του πρώτου επεκτείνεται και πέραν των ορίων της ηλεκτροστατικής.Ισχύει δηλαδή και για την περίπτωση χρονοεξαρτημένων ηλεκτρικών πεδίων Ε(r,t).Για τον λόγο αυτό ο νόμος του Gauss θεωρείται πιό γενικός από αυτόν του Coulomb αποτελώντας ένα από τα θεμέλια του Ηλεκτρομαγνητισμού.

6

Παν/μιο Πατρών – Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλεκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρεωτικό 3ου Εξαμήνου) Διδάσκων: Δ. Σκαρλάτος Ο Νόμος του Gauss (δ) Αντίστοιχη έκφραση που ονομάζεται «Νόμος του Gauss στο βαρυτικό πεδίο» είναι δυνατόν να εξαχθεί και στην περίπτωση της βαρυτικής αλληλεπίδρασης όντας ισοδύναμος στην περίπτωση αυτή με τον νόμο της παγκοσμίου έλξεως.Κατά συνέπεια ένας «νόμος Gauss» μπορεί να εξαχθεί για κάθε πεδίο δυνάμεων που η δύναμη ακολουθεί έναν νόμο αντιστρόφου τετραγώνου σε σχέση με την απόσταση από την πηγή του πεδίου. (ε) Εφαρμογή του νόμου του Gauss σε κοιλότητες που δεν περιέχουν φορτίο.Θεωρούμε έναν πολύ λεπτό θετικά φορτισμένο αγώγιμο φλοιό ακτίνας α και αμελητέου πάχους.Εάν ζητηθεί ο υπολογισμός του ηλεκτρικού πεδίου στο εσωτερικό του, όπου δεν υπάρχει φορτίο, η συμμετρία του προβλήματος υπαγορεύει την εφαρμογή του νόμου του Gauss θεωρώντας στο εσωτερικό της σχηματιζόμενης κοιλότητας μία φανταστική σφαιρική επιφάνεια Gauss ακτίνας r <α [Σχήμα Ε(α)].Θα έχομε επομένως ότι:

0

0 0in

άί

r

QE dAεπιϕ νειασϕα ρας

ε= = ⇒ Ε =∫∫ i

Η αυστηρότητα της παραπάνω προσέγγισης μπορεί να αμφισβητηθεί, δεδομένου ότι ο λεπτός φλοιός φαίνεται εκ πρώτης όψεως ότι δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο στην εσωτερική αυτή κοιλότητα με φορά μάλιστα προς το εσωτερικό της.Μια πιό λεπτομερής ανάλυση οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα,ακολουθώντας την προσέγγιση του Σχήματος Ε(β). Θεωρούμε ένα εσωτερικό σημείο της κοιλότητας που δέχεται την επίδραση δύο αντιδιαμετρικών στοιχειωδών επιφανειών του φλοιού dA1 και dA2 που τα κέντρα τους απέχουν απόστάσεις r1 και r2 αντίστοιχα από το σημείο.Οι στοιχειώδεις εντάσεις από κάθε τμήμα στο σημείο αυτό θα είναι συγγραμμικές και αντίρροπες με μέτρα:

1 11 12 2

0 1 0 1 0

2 22 22 2

0 2 0 2 0

4 4 4

4 4 4

dQ dAd dr r

dQ dAd dr r

σ σπε πε πε

σ σπε πε πε

Ε = = =

Ε = = =

Ω

Ω

όπου σ η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου του φλοιού και dΩ1,dΩ2 οι αντίστοιχες σχηματιζόμενες στερεές γωνίες με κορυφή το εν λόγω σημείο.Οι γωνίες αυτές είναι ίσες ως κατά κορυφήν και κατά συνέπεια τα μέτρα των εντάσεων είναι ίσα.Κατά τον ίδιο τρόπο αλληλοαναιρούνται και οι συνεισφορές των άλλων αντιδιαμετρικών τμημάτων του φλοιού.Κατά συνέπεια η ολική ένταση στο συγκεκριμμένο τυχαίο σημείο είναι μηδέν. Η απόδειξη αυτή είναι γενικότερη και μπορεί να εφαρμοσθεί και στην περίπτωση κοιλοτήτων ακαθόριστου σχήματος όπου η έλλειψη συμμετρίας δεν ευνοεί την εφαρμογή του νόμου του Gauss. Κατά συνέπεια το ηλεκτρικό πεδίο σε μία κοιλότητα τυχαίου σχήματος που δεν περιέχει φορτίο είναι μηδέν.

dA1

dA2

dE2

dE1

r1

r2

(α) (β)

Επιφάνεια Gauss

dΩ1

dΩ2

ΣΧΗΜΑ E.

7

Παν/μιο Πατρών – Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλεκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρεωτικό 3ου Εξαμήνου) Διδάσκων: Δ. Σκαρλάτος Ο Νόμος του Gauss

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Για την κατανόηση της έννοιας της στερεάς γωνίας είναι χρήσιμο να ξεκινήσομε από το ακόλουθο

διδιάστατο πρόβλημα που εικονίζεται στο Σχήμα.Έστω ότι επιθυμούμε να προβάλομε ένα στοιχειώδες μήκος Δr σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας R.Η προβολή του θα είναι ένα στοιχειώδες τόξο για το οποίο

θα ισχύει ότι: Δs=RΔθ

Κατά συνέπεια η προβολή του στην περιφέρεια κύκλου καθορίζεται αποκλειστικά από την γωνία Δθ=Δs/R, η οποία μετράται σε ακτίνια

[Εάν το στοιχειώδες μήκος και το αντίστοιχο τόξο είναι απειροστά μικρά μπορούμε εκ του ασφαλούς να θεωρήσομε το τρίγωνο ΑΒΓ ως ορθογώνιο και κατά συνέπεια θα έχομε ότι:ds=rdθ=drcosψ]

8

Δr

ψ 900

Η έννοια της στερεάς γωνίας υπεισέρχεται όταν θέλομε να επεκτείνομε το πρόβλημα στην προβολή μίας στοιχειώδους επιφάνειας σε επιφάνεια σφαίρας ακτίνας r, όπως εικονίζεται στο ακόλουθο Σχήμα.

r

Y

X

R Δs

Δθ

Α

Β

Γ

Επιφάνεια Σφαίρας Ακτίνας R

X

dΩ

R

θ

R’

dΑ

dA

n n

r

γ

dΑ’

dΑ’’

Z

Y O

r

Επιφάνεια Σφαίρας Ακτίνας R’

φ

Παν/μιο Πατρών – Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλεκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρεωτικό 3ου Εξαμήνου) Διδάσκων: Δ. Σκαρλάτος Ο Νόμος του Gauss

9

n

Η επιφάνεια dΑ αναπαριστάται από ένα κάθετο σε αυτή διάνυσμα με μέτρο όσο το εμβαδόν της σύμφωνα με τη σχέση:

ˆd dΑ = Α όπου το μοναδιαίο κάθετο στην επιφάνεια διάνυσμα. nΗ προβολή της επιφάνειας dΑ στην επιφάνεια σφαίρας ακτίνας R θα είναι:

2ˆ ˆ ˆ' ( ) cos sind d r d n r d R d dγ θ θ ϕΑ = Α• = Α • = Α = Η προβολή της επιφάνειας dΑ στην επιφάνεια ομόκεντρης σφαίρας ακτίνας R΄ θα είναι κατά τον ίδιο τρόπο:

2'' ' sind R d dθ θ ϕΑ = Παρατηρούμε ότι και οι δύο προβολές αποτελούν βάσεις κώνων με κορυφή την αρχή των αξόνων και συνευθειακά ύψη. Η στοιχειώδης στερεά γωνία ορίζεται ως το αδιάστατο μέγεθος

2 2

' '' sin'

dA dd dR R

dθ θ ϕΑΩ = = =

και αντιπροσωπεύει την βάση του κώνου που αντιστοιχεί στην προβολή της επιφάνειας σε σφαίρα με ακτίνα το μοναδιαίο διάνυσμα μέσα από την οποία «φαίνονται» και οι προβολές dA και dA’. rΙσχύει δε ότι :

sin 4ά άί ί

R R

d d dπιϕ νεια πιϕ νειαϕα ρας ϕα ρας

θ θ ϕ πΕ ΕΣ Σ

Ω = =∫∫ ∫∫

Γενικώτερα η στερεά γωνία ορίζεται ως

2

ARΔ

ΔΩ =

όπου ΔΑ το τμήμα επιφανείας μίας σφαιρικής επιφάνειας ακτίνας R και είναι ένα αδιάστατο μέγεθος που μετράται σε στερακτίνια (steradians ή συντομογραφικά sterads).