Cours SeriesFourier

CHAPITRE 3

SERIES DE F OURIER

3.1 Sries trigonomtriques

Dfinition 3.1.1 On appelle srie trigonomtrique relle, toute srie de fonctions de la forme :

a0 + X a

cos(nx) + b

sin(nx) (1)2n n n=1

avec x R, > 0 , an, bn R, pour tout n dans N.

Le problme est de dterminer lensemble tel que la srie (1) soit convergente pour toutx .

Remarque 3.1.1Supposons que la srie (1) converge et posons

f (x) = a0 + X a

cos(nx) + b

sin(nx).2n n n=1

Sachant que pour tous n N et k Z :

cos (n(x + 2k/)) = cos(nx + 2nk) = cos(nx)

sin (n(x + 2k/)) = sin(nx + 2nk) = sin(nx).

Alors la srie (1) converge en tout point de la forme x + 2k , k Z.Si la srie (1) converge dans R, on aura f (x) = f x + 2k ! et par suite la fonction f estpriodique de priode T = 2/.En conclusion, les proprits suivantes sont quivalentes :i) La srie trigonomtrique (1) converge dans R.ii) La srie trigonomtrique (1) converge dans [0, 2/] .

41

iii La srie trigonomtrique (1) converge dans [, + 2/], R

Proposition 3.1.1Si les sries numriques X an et X bn sont absolument convergentesalors la srie trigonomtrique (1) est normalement convergente sur R ; donc absolument et uniformment sur R.

Preuve :Cest vident puisque |an cos(nx) + bn sin(nx)| |an| + |bn|.

Proposition 3.1.2Si les suites numriques (an) et (bn) sont dcroissantes et tendent vers 0, alorsla srie trigonomtrique (1) est convergente pour x , 2k o k Z.

Preuve :Cest une application direct du thorme dAbel. Pour cela il suffit tout simplement demontrer que les sommes suivantes sont majores indpendamment de m et n.

3.1 Sries trigonomtriques

M r A N -E 43p=n

p=nS = X sin px C = X cos px.p=m

p=m

Commenons par calculer les sommes suivantes ; On a pour t , 2k o k Z :

p=n

p=n

p=nCn + iSn = X cos pt + i X sin pt = X(cos pt + i sin pt)p=0p=n

p=0

p=0

i(n+1)t= X eipt = 1 + eit + e2it + + eint = 1 e1 eitp=0

2 sin2 (n + 1) t 2i sin (n + 1) t cos (n + 1) t= (1 cos(n + 1)t) i sin(n + 1)t = 2 2 2(1 cos t) i sin t

2 sin2 (t/2) 2i sin(t/2) cos(t/2)

2i sin=

(n + 1)2 t

cos

(n + 1)t2

+ i sin

(n + 1)t !2 .2i sin(t/2) cos t + i sin t

sin

(n + 1)

t cos

(n + 1)t

2

+ i sin

2(n + 1)t = 2

sin(t/2)

(n + 1)sin t

2cos t2

2

+ i sin t 2

= 2 cos nt + i sin ntsin(t/2) 2 2

Do lon tire :

Cn =

sin

sin

(n + 1)t ntcos2 2sin(t/2)

(n + 1)t ntsin2 2

Maintenant on peut majorer, on a :

p=n X

Sn =

.sin(t/2)|S| =

p=m

sin px = |Sn Sm1 | |Sn | + |Sm1 | (n + 1)x

nx

mx

(m 1)x sin

sin2 2

sin

sin2 2 + sin(x/2)

sin(x/2)

1|sin(x/2)|

+ 1|sin(x/2)|

= 2 |sin(x/2)|

On a de mme |C| 2|sin(x/2)|

Les deux sommes tant majores indpendamment de m etn ; la srie X(an cos nx + bn sin nx) est donc convergente pour x ,n=1

2k

, k Z.

3.1.1 Reprsentation complexe dune srie trigonomtrique

Daprs les relations dEuler :

la srie (1) devient :

cos(nx) =

einx + einx2

#et sin(nx) =

einx einx2i

a0 + X "

einx

+ einx

einx

einx

= a0

X " einx an ibn

inx an + ibn #

2n=1

an + bn2 2i

+ + e2 2 2n=1

En posant :an ibn

an + ibn a0cn =

; cn = cn =2

et c0 =2

, la srie devient :2 c0 + X(cn einx +cn einx) = c0 + X cn einx + X cn einxn=1

n=1

n=1

1= c0 + X cn einx + X cn einx = X cn einxn=1

n=

nZCette dernire expression est appele forme complexe dune srie trigonomtrique.

3.1.2 Calcul des cfficients de la srie trigonomtrique. Cas rel

Mettons nous dans les conditions de convergence uniforme de la srie trigonomtrique(1) et posons f (x) = a0 + X(a

cos(kx) + b

sin(kx)). Alors2k k k=1

f (x) cos(nx) = a0 cos(nx) + X [a

cos(kx) cos(nx) + b

sin(kx) cos(nx)]2k k k=1

f (x) sin(nx) = a0 sin(nx) + X [a

cos(kx) sin(nx) + b

sin(kx) sin(nx)]2k k k=1

La convergence uniforme nous permet davoir :2/

Z

f (x) cos(nx)dx = a0 Z

2/

Zcos(nx)dx + X ak

2/

cos(kx) cos(nx)dx0 2 0

Z 2/

k=1 0 .+ X bk

sin(kx) cos(nx)dx.

2/

Z

k=1f (x) sin(nx)dx = a0 Z

02/

0sik , n/sik = nZsin(nx)dx + X ak

2/

cos(kx) sin(nx)dx0 2 0

Z 2/

k=1 0 .+ X bkk=1 0

sin(kx) sin(nx)dx.Or on a : ( faire titre dexercices.)Z 2/cos(kx) cos(nx)dx =0Z 2/

0Z 2/

sin(kx) sin(nx)dx =

0 si k , n/ si k = ncos(nx) sin(kx)dx = 0.0

On dduit alors les cfficients par les expressions suivantes :

Z 2/

an =0

f (x) cos(nx)dx

Z 2/bn =0

f (x) sin(nx)dx.Ces expressions sont valables mme pour n = 0.

Lemme 3.1.1

Soit f une fonction priodique de priode T > 0 et intgrable dans lintervalle

T[0, T]. Alors pour tout R, on a Z0

Zf (t)dt =

+T

f (t)dt.

Preuve.

SERIES DE F OURIERLa relation de Chasles nous permet dcrire :Z +T

f (t)dt =

Z 0 Z Tf (t)dt +a 0

f (t)dt +

Z +T

T

f (t)dt. Dans lintgrale

Z +T

T

f (t)dt on fait lechangement de variables y = t T.

Ceci nous donneZ +T

Z +T

TZ 0

f (t)dt =

Z Z f (y + T)dy =0 0Z T Z

f (y)dy.Z TDonc

f (t)dt =

f (t)dt + 0

f (t)dt +

f (t)dt =0

f (t)dt.0Moyennant ce lemme, les cfficients peuvent scrire :

Z 2/

an =0 Z 2/

bn =0

Z +2/f (x) cos(nx)dx =

Z +2/f (x) sin(nx)dx =

f (x) cos(nx)dx R.

f (x) sin(nx)dx; R.En particulier si = 1, cas des fonctions 2-priodique ;

1 Z 2an =01 Z 2

bn =0

1 Z

f (x) cos(nx)dx =1 Z

f (x) sin(nx)dx =

f (x) cos(nx)dx.

f (x) sin(nx)dx.

3.1.3 Calcul des cfficients de la srie trigonomtrique. Cas complexe

On a f (x) =Z 2/

X ck eikx .k=

Z 2/

0Or,

f (x) einx dx =

X ckk= 0

eix(kn) dx.Z 2/

0

eix(kn) dx =

0 si k , n2/ si k = n.Les cfficients sont alors donns par la relation :

cn = 2

Z 2/

0

f (x) einx

dx =2

Z +2/

f (x) e

inx

; n Z.

3.2 Sries de F ourier

Dans cette partie, on ne va considrer que les fonctions de priode 2. A chaque fois on prcisera les formules pour une priode quelconque.

ISoit f : R 7 R une application priodique de priode T = 2. On suppose que Zconverge sur un intervalle I = [, + 2] de longueur 2, R.

| f (t)|dt

Dfinition 3.2.1On appelle srie de F ourier associe f , la srie trigonomtrique

a0 + X [a

cos(nx) + b

sin(nx)]

1 Z 2

2n=1

n n

1 Z 2

avec an =0

f (x) cos(nx)dx et bn =

0

f (x) sin(nx)dxDeux questions se posent :1. La srie de F ourier associe f est-elle convergente ?2. En cas de convergence, peut-on dire que la srie converge vers f ? Rappelons la notion de discontinuit de premire espce.

Dfinition 3.2.2Une fonction f admet une discontinuit de premire espce en un point x0 si les limites droite et gauche de x0 existent. (Celles-ci ne sont pas forcment gales sauf en cas de continuit.)

Thorme 3.2.1 ( Dirichlet)

Soit f : R 7 R une fonction priodique de priode T = 2 satisfaisant aux conditions suivantes (appeles conditions de Dirichlet) :D1) Les discontinuits de f (si elles existent) sont de premire espce et sont en nombre fini dans tout intervalle fini.D2) f admet en tout point une drive droite et une drive gauche. Alors la srie de F ourier associe f est convergente et on a :

a0 + X [a

cos(nx) + b

sin(nx)]2n n n=1

f (x) si f est continue en x= f (x + 0) + f (x 0)si f est discontinue en x2De plus la convergence est uniforme sur tout intervalle o la fonction f est continue.

Les notations f (x + 0) et f (x 0) reprsentent respectivement les limites droite et gauche de f au point x.

Remarque 3.2.1Il y a un autre thorme quivalent au thorme (3.2.1) d Jordan.

Thorme 3.2.2 (Jordan)Soit f : R 7 R une fonction priodique de priode T = 2 satisfaisant aux

conditions suivantes :J1) Il existe M > 0 tel que | f (x)| M (i.e f est borne)J2) On peut partager lintervalle [, + 2] en sous-intervalles [1 , 2[, [2, 3 [. . ., [n1 , n], avec 1 = et n = + 2 tels que la restrictionf ] ,

soit monotone et continue.[j j+1Alors la srie de F ourier associe f est convergente et on a :

a0 + X [a

cos(nx) + b

sin(nx)]2n n n=1

f (x) si f est continue en x= f (x + 0) + f (x 0)si f est discontinue en x2De plus, la convergence est uniforme sur tout intervalle o f est continue.

Remarque 3.2.2Nous allons tudier quelques cas particuliers. Rappelons dabord quelques proprits.f : [k, k] 7 R une fonction intgrable sur [k, k].Z kSi f est paire alorsk

Z kf (x)dx = 20

f (x)dx.Z kSi f est impairek

f (x)dx = 0.Si f est dveloppable en srie de F ourier :a) Si f est paire :1 Z an =

2 Z

f (x) cos(nx)dx =0

f (x) cos(nx)dxcar la fonction x 7 f (x) cos(nx) est paire. bn = 0 car la fonction x 7 f (x) sin(nx) est impaireb) Si f est impaire : an = 0 car la fonction x 7 f (x) cos(nx) est impaire.1 Z

bn =

2 Z

f (x) sin(nx)dx =0

f (x) sin(nx)dxcar la fonction x 7 f (x) sin(nx) est paire.

Rsum 1f fonction paire :

2 Z

an =0

f (x) cos(nx)dx.bn = 0, n N.

f fonction impaire :

an = 0, n N.2 Z bn =

f (x) sin(nx)dx.0

Exemple 3.2.1Soit f :] , ] 7 R une fonction priodique, T = 2 dfinie par f (x) = x.

1. Les discontinuits de f sont les points de la forme xk = (2k + 1), k Z et sont de premire espce car f ( + 0) = et f ( 0) = 2. f est partout drivable sauf aux points xk. En ces points nous avons :

limx

f (x) f ()x

= 1 et limx+

f (x) f ()x

= 1.f vrifie les conditions de Dirichlet, donc dveloppable en srie de F ourier.1 Z f est impaire donc a0 = an = 0 et bn =

2 Z

x sin(nx)dx =0

x sin(nx)dx = 2

(1)n+1et parnsuite

n+1f (x) = 2 X (1)n

sin(nx)n=1

Exemple 3.2.2Soit f : [, ] 7 R une fonction de priode T = 2, dfinie par f (x) = |x|.

1. On a | f (x)| 2. f|[,0] est dcroissante continue et f|[0,] est croissante continue.f satisfait les conditions du thorme de Jordan donc dveloppable en srie de F ourier. De plus f est paire, ce qui nous donne bn = 0.1 Z a0 =1 Z

2 Z

f (x)dx =0

xdx = 2 Z

0 si n pairan =

|x| cos(nx)dx =

x cos(nx)dx = 4 0

n2 si n impair

La srie de F ourier converge alors vers f et on a f (x) = X2n=1

cos(2n + 1)x. (2n + 1)2Puisque f est continue, la convergence est uniforme.Remarquons enfin que lgalit f (0) = 0 se traduit par =2

4 Xn=1

1(2n + 1)2

et par consquent

2 = X8n=1

1(2n + 1)2 .Une des particularits des sries de F ourier est le calcul des sommes de certaines sries numriques.

3.2.1 Dveloppement en srie de F ourier de fonctions non priodiques

Il est clair que le dveloppement en srie de F ourier se pratique sur les fonctions priodiques. Cependant, il est possible, dans certains cas, de faire de tels dveloppements pour des fonctions quelconques.Soit f : [a, b] 7 R une fonction non priodique dfinie sur lintervalle [a, b]. Soit g : R 7 R

une fonction priodique de priode T b a telle que la restriction g [a,b] = f . Si g satisfait

les conditions de Dirichlet, on aura :

fg(x) = a0 + X [a

cos(nx) + b

sin(nx)]2n n n=1avec an et bn les cfficients de F ourier associs g. La somme de cette srie concide partout avec f dans lintervalle [a, b] sauf peut-tre aux points de discontinuits de f .Remarque 3.2.3

iSoit f :]0, [7 R une fonction quelconque, et > 0. On suppose que f peut-tre prolonge sur] , 0[ et que les conditions de Dirichlet ou de Jordan soient satisfaites. Dans ce cas, on a lechoix sur ce prolongement. On peut choisir soit un prolongement pair soit un prolongementimpair pour viter les longs calculs des cfficients.Exercice 1Donner une srie de Fourier de priode 2 qui concide sur ]0, [ avec la fonction f (x) = ex.Rponse :Ici on ne prcise que lintervalle o la srie de Fourier concide avec f , cest dire ]0, [. Comme la priode de la srie de Fourier est 2, il ya alors une infinit de rponses ; examinons trois cas diffrents.

fiNotons

, i = 1, 2, 3, le prolongement de f R tout entier.

sera une fonction de priode2 qui vaut exactement ex pour tout x dans ]0, [.a) Choisissons un prolongement pair et posons : f (x) = e

1x si x ]0, [.1 ex si x ] , 0[

f1On vrifie aisment que

est une fonction paire. Posons

f (0) = 1 et

f () = e, on a

1alors un prolongement continue sur R. Le graphe de f1 et celui de la srie de Fourierseront identiques.Le calcul des cfficients donne :

a0 =

2(e 1) , an = 2

(1)n e 1et bn = 0.1 + n2On a alors :e 1

(1)n e 1

ex si x [0, ]S1(x) =

+ X 2n=1

n2 + 1

cos(nx) =

ex si x [, 0]

e1F. 3.1 graphe de la fonction f (x)

e1F. 3.2 graphe de la fonction S1 (x) identique celui de f1

M r A N -E 51

b) Choisissons un prolongement impair et posons :

f2(x) =

ex si x ]0, [ ex si x ] , 0[

. Onremarque que

f2 est une fonction impaire mais nest pas continue sur R . Elle estdiscontinue en tout point de la forme k, k Z. Le calcul des cfficients donne :2n (1 (1)n e)an = 0 n N, bn =On a alors :

(1 + n2 ) .

ex si x ]0, [S2 (x) = X

2n (1 (1)n e)(1 + n2 )

sin(nx) = ex si x ] , 0[n=1

0 si x = 0 ou x =

e

3

1 3

e

2F. 3.3 graphe de la fonction

f (x)

e

3

1 3

e

F. 3.4 graphe de la srie S2 (x)

c) Choisissons un prolongement ni pair ni impair et posons : f3(x) = ex si x ] , [. On remarque que f est une fonction discontinue en tout point de la forme + 2k, k Z. On a le rsultat final :

e e 1

(1)n

ex si x ] , [

S3 (x) =

2

+ Xn=1

n2 + 1

cos(nx) n sin(nx) =

e + esi x = .2On a obtenu trois sries diffrentes qui valent exactement ex sur lintervalle ]0, [. Onpouvait choisir dautres prolongements et obtenir dautres sries.

e

1 3

3F. 3.5 graphe de la fonction f (x)

e

2e + e

1 3


Remarque 3.2.4 Si on voulait une srie de Fourier de priode , alors il ny a quune seule qui concide avec f sur ]0, [.On trouve ;2(e 1) 1 1

ex si x ]0, [ S4 (x) =

2

+ X

n=1

4n2 1

cos(2nx) 2n sin(2nx) =

1 + esi x = 0 ou x = .2

e

22123 1 + e


3.2.2 galit de Parseval

Thorme 3.2.3

galit de Parseval : Soit f une fonction dveloppable en srie de F ourieret de priode T = 2 > 0, alors on a pour rel quelconque :

a2

+2/0 + X(a2 + b2 ) = Z

f 2 (x)dx = 2 X |cn|2

n2 n n n=1

nZ

cn =

an ibn et c =2

an + ibn o n N.2

Remarque 3.2.5 1. Si f est de priode 2, on a :

a2

2 0 + X(a2 + b2 ) = 1 Z

f 2(x)dx = 1 Z

f 2(x)dx

02 n n n=1

2.

a2 f fonction paire = f 2 fonction paire =

0 + X a2 = 2 Z

f 2(x)dx

02 n n=1 f fonction impaire = f 2 fonction paire =

X b2 = 2 Z

f 2(x)dx

0n n=1

3.3 Applications

Exemple 3.3.1 f tant une fonction 2-priodique telle que :

f (x) = 1 si x ]0, [1 si x ] , 0[

1

SERIES DE F OURIER

-5

-4

-3

-2 -

0 2 3-1

4 5

F. 3.8 graphe de la fonction f (x)

f tant une fonction impaire === an = 0, n N2 Z

2 0 si n est pairn On a : bn =

sin(nt)dt = (1 (1) ) = 4n0La srie de F ourier associe est :

n si n est impair

S(x) = 4 X sin(2n + 1)x = 1 si x ]0, [n=0

2n + 1

0 si x = 0 ou si x =

1

-5

-4

-3

-2 -

0 2 3-1

4 5

F. 3.9 graphe de la fonction S(x)

nRemarque 3.3.1 :Pour x = /2 on a S(/2) = 1 = 4 X sin(2n + 1)/2 = 4 X

(1).

On tire :

X (1)n

n=0

1 1 1

2n + 1

n=0

2n + 1

n=0

2n + 1

= 1

+ 3 5 7

+ =4Appliquons lgalit de Parseval :2 Z

f 2 (t)dt = 1 = X 16 1 20 n=0

(2n + 1)2

et lon tire donc :

X

n=0

1 2=(2n + 1)2 8

Remarque 3.3.2 Posons S =

X 1n2n=1

srie convergente daprs le critre de Riemann. Ensparant les pairs et les impairs on a : S = Xn=1

1 (2n)2

+ Xn=0

1

2(2n + 1)2

(). Comme Xn=1

1 =(2n)2X

n=1

14n2

= 1 X 14 n2n=1

= S ; en substituant dans lgalit () on a :4S = S + X4n=0

1(2n + 1)2

3S = X4n=0

1 2=(2n + 1)2 8

S = X 1 = n2 6n=1

La mthode complexe :1 Z

int

1 Z 0

int

Z int !

1 eint !0

eint !

2cn = e

f (t)dt = e2

dt + e0

dt = +2 in

in

0

= i

1 (1)n= 1/2(an ibn)n


f (x) = |x| si x [, ]

f tant une fonction paire === bn = 0, n N1 Z

2 Z

2 t2 !On a : a0 =

|t|dt =

t dt =

0

= .2 0 1 Z

2 Z

2 t sin nt

Z sin nt !

Puis on a : an =

|t| cos nt dt =

t cos nt dt =0

dt n 0 0 n2 Z =

sin nt dt =

2 cos nt =

2 (1)n 1 =

0 si n est pair4n 0

n n 0

n2

n2

si n est impairLa srie associe est donc :

S(x) =

42

X

n=0

cos(2n + 1)x .(2n + 1)2

f tant une fonction continue sur R, et admet partout des drives droite et gauche alorsf (x) = S(x), x R.

+

|2

|0 2

F. 3.10 graphe de la fonction f (x) et celui de S(x).

Remarque 3.3.3 pour x = 0 on a f (0) = 0 et comme f (0) = S(0) on tire :

S(0) = 0 =

42

X

n=0

1

(2n + 1)2

2 X

2 n=0

1 2=(2n + 1)2 8Lgalit de Parseval donne :1 Z

f 2 (t)dt = 1

Z t2 dt =

= + 1 16 X 12

2

3 4 2

2n=0

(2n + 1)44X

n=0

1 = (2n + 1)4 96

Remarque 3.3.4 En crivant S = X 1n4n=1

= Xn=1

1 (2n)4

+ Xn=0

1 .(2n + 1)4

On dduit alors :

15S16

= Xn=0

1 =(2n + 1)4

496

X1 4=n4 90n=1


f (x) = x si x ] , [

3

2

2 3+ + +

0 + + +

F. 3.11 graphe de la fonction f (x).

f est une fonction impaire, continue pour tout x R sauf aux points x = (2k + 1), k Z. Elle admet en chaque point une drive droite et une drive gauche. elle admet un

dveloppement en srie de F ourier. f : impaire = an = 0, n N, et lon a :2 Z

2 " t cos nt

Z cos nt #

2(1)n+1bn =

t sin(nt)dt =0

+n 0 0

dt =

n n

n+1

f (x) si x , (2k + 1) avec k ZS(x) = 2 X (1)nn=1

sin nx = 0 si x = (2k + 1) avec k Z

2

2 +3

0 + 3

2F. 3.12 graphe de la fonction S(x).

2Remarque 3.3.5 En appliquant lgalit de Parseval, on obtient :

1 X 4

= 1 Z

t2 dt =

X 1 =

02 n2 n=1

3 n2 6n=1


f (x) = x2 si x ] , ]

f est une fonction paire, continue pour tout x R. Elle admet en chaque point une drive droite et une drive gauche. elle admet un dveloppement en srie de F ourier.

y- 2

+ + + + + + + + + + + + + x-6

-5

-4

-3

-2 -

0 2 3

4 5 6

F. 3.13 graphe de la fonction f (x) et celui de S(x)

f : paire = bn = 0, n N, et lon a :

2 Z a0 =0

t2 dt =

223

22 Z

2 " t2 sin nt #

Z 2t sin nt !an =

t cos nt dt =0

dt n 0 0 n4 Z =

t sin nt dt =

4 t cos nt

Z cos nt !

+ dt =

4(1)n 0

n 0 0 n n2

Comme f est continue sur R ; on a donc f (x) = S(x) et donc :

S(x) =

2 + X3n=1

4(1)nn2

cos nx = f (x) x R

Le graphe de f et celui de S sont identiques.

n+1 2Remarque 3.3.6 Pour x = 0, on a f (0) = S(0) = 0 ce qui donne X (1) = n2 12n=1

Exemple 3.3.5 f tant une fonction de priodique 2, telle que : x si 0 x < 1f (x) = 1si 1 x < 22

+ + +

y- 1-

+ + + +

+ + + + +-6 -5

-4 -3 -2 -1

O 1 2

3 4 5 6

F. 3.14 graphe de la fonction f (x)

f nest ni paire ni impaire et ne prsente des discontinuits que pour les points dabscisses un nombre entier positif ou ngatif. f admet alors un dveloppement de F ourier.On a p = 2 = 2 = . Z /

a0 =/

Z 2f (t)dt =0

f (t)dt =

Z 1t dt +0

Z 2 1dt = 1

21

an =

Z 1t cos nt dt +

Z 2 cos nt

dt =

(1)n 10 1 2

2 n2

bn =

Z 1t sin nt dt +

Z 2 sin nt

dt =

(1)n+1 10 1 2

2nLa srie de F ourier associe f est donc :

S(x) = 1 2

X cos(2n + 1)x 1

X sin 2nx2 2

n=0

(2n + 1)2

2 n

n=1

En prenant les demis sommes aux points de discontinuit on a pour x [0, 2[ : 1 si x = 0 4 x si 0 < x < 11 2

X cos(2n + 1)x 1

X sin 2nx = 2 2

n=0

(2n + 1)2

2 nn=1

3 si x = 1

4 1si 1 < x < 22

y- 1

+-6 -5 -4

+-3 -2

3/4 - -1/4

O+ + +-1 1 2 3

x

54 + 6

F. 3.15 graphe de la fonction S(x)

Exemple 3.3.6 Donner la srie de F ourier en sinus de la fonction :

f (x) = cos x pour x ]0, [.

On va faire un prolongement en fonction impaire de la fonction f . Comme la fonction sinus est de priode 2, posons alors :

f(x) = f (x) = cos x si x ]0, [ f (x) = cos x si x ] , 0[

La fonction f est une fonction impaire de priode 2, continue partout sur R sauf aux points x = k o k Z, o elle nest pas dfinie, et concide avec la fonction f sur ]0, [. Elle admet donc un dveloppement de F ourier.Comme f est impaire, an = 0, et on a :2 Z bn =

1 Z cos x sin nx dx =

sin(n + 1)x + sin(n 1)x dx0 0 n= 1 " cos(n + 1)x + cos(n 1)x #

= 2n((1)

+ 1)si n , 1. n + 1

2 Z

n 1

0 (n2 1)1 Z Pour n = 1, b1 = finalement on a :

cos x sin x dx =08n

sin 2x dx = 0

0b2n+1 = 0 et b2n = (4n2 1)

x ]0, [ cos x = Xn=1

8n(4n2 1)

sin 2nx

Remarque 3.3.7 La demi somme aux points de discontinuit est gale 0. On a donc :

cos x si x [ i2k, (2k + 1)h

kZS(x) = 8 X n sin 2nx = cos x si x [

i(2k + 1), (2k + 2)h

n=1

4n2 1

kZ

0 si x = k, k Z

La fonction S(x) est priodique de priode .

1

-2 - 0 2-1F. 3.16 graphe de la fonction S(x)

Quelques dveloppements intressants.

1. R/Z et x [, ]

cos x = 2 sin 1 X

n cos nx +

22

n=1

(1)

(n2 2 )

2. Fonction impaire de priode 2.

x

1 x

4 (1)nn

2nx

sin

pour 0 x < 2sin 2

X

n=1

4n2 1

sin

=

0 pour21

< x

pour x =2 23.

x

pour 2 < x < 0 2X sin nx =

x

pour 0 < x < 2nn=1

2 0 pour x = 0, x = 2, x = 2.

4.

M r A N -E 60

2 3x

+ 6x + 22

pour 2 x 0

X cos nx = 12n2n=1

5.

3x2

6x + 22pour 0 x 212

2 x

+ 3x + 22x

pour 2 x 0

X sin nx = 12

n3n=1

x2 3x + 22xpour 0 x 212

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