Cours Rdm - MS3 - Partie 1

Cours module MS3Organisation du module :

Cours 4hTD 16h (1 DS TD coef 2)

TP 8h (2TP coef 1 = total coef 2)DS 2h (coef 5)

1

Introduction

2

MS1 introduire les concepts de description du comportement des sections une chelle macroscopique et les efforts internes : sollicitations N, V et M

MS2 dfinir les efforts internes en tout point dune section : les contraintes normales et les dformations normales (lies N et M)les contraintes tangentielles et les dformations tangentielles (lies V)

G

section SG

section S

Nx

Vz My

G

section S

x

z

x x

Introduction

3

MS3 calculer les dplacements et tracer la dforme des structuresDfinition des termes :

Dplacement : distance parcourue dans une direction donne par un point dune structure sous laction dun chargement. Notation , unit cest une longueur exprime en m, cm, mm...

Dformation : (vue en MS2) allongement relatif (l/l) observ au niveau dun point dune section droite sous laction dun chargement. Notation x, sans unit.

Dforme : fonction (au sens mathmatique) obtenue partir du dplacement transversal z de tous les points dune structure. Notation w(x).

Point M

Point M

x

z

G

section S

x

z

Gsection S Point M

zx

z

dforme w(x)

Chapitre 1

Equations diffrentielles des poutres en flexion

Point de dpart... MS2 Equations diffrentielles des poutres

flchies

Proprits mathmatiques des fonctions Analyse des structures

4

1. Equations diffrentielles des poutres en flexion

Point de dpart

Chapitre 1

Point de dpart

Equations diffrentielles

Proprits mathmatiques

Analyse des structures

Cours de MS2!"!

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Point de dpart : un peu de maths...

Chapitre 1

Point de dpart




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R

%"!Dfinition du rayon de courbure :

Dfinition de la courbure :

w est la dforme !

Hypothse de petits dplacements



Chapitre 1

Point de dpart




EIGyw' '(x) = MGy x( )

G x

z

je drive...

jintgre...

EIGywIII (x) =

VGZ x( )

EIGywIV (x) =

p(x)

p(x) fonction de chargement

je drive...

EIGyw'(x) =

x( )

EIGyw (x) dforme !

x( ) rotation des sections

fd



Chapitre 1

Point de dpart




G x

z

je drive...

jintgre...

EIGywIII (x) =

EIGywIV (x) =

p(x)

p(x) fonction de chargement

je drive...

EIGyw'(x) =

x( )

EIGyw (x) dforme !

x( ) rotation des sections

fg


VGZ x( )



Chapitre 1

Point de dpart




je drive...

fgEn pratique...

EI wIV(x) = -p

p

lx

z

EI wIII(x) = -px + C = V(x)EI w(x) = -px2/2 + Cx + D = -M(x)EI w(x) = -px3/6 + Cx2/2 + Dx + EEI w(x) = -px4/24 + Cx3/6 + Dx2/2 + Ex+ F

Je cherche la dforme de la structure w(x)

Calcul des constantes : conditions aux limites

Pour la fonction M(x) on sait que :

si x=0, M(x=0) = 0 D=0

si x=l, M(x=l) = 0 -pl2/2 + Cl=0 C = pl/2

Pour la fonction w(x) on sait que :

si x=0, w(x=0) = 0 F=0

si x=l, w(x=l) = 0

-pl4/24 + pl4/12 + El =0 E = -pl3/24

soit :EIw(x) =

-px4/24 + plx3/12 + -pl3x/24

calcul du dplacement mi-trave :

w(L/2) =1/EI(-pL4/384 + pL4/96 - pl4/48)

w(L/2) =-5pL4/384EI

-5pL4/384EI



Chapitre 1

Point de dpart




je drive...

fgEn pratique... xp

l

z

EI w(x) = -M(x) = -px2/2 + plx/2

EI w(x) = -px3/6 + plx2/4 + C

EI w(x) = -px4/24 + plx3/12 + Cx + D

Je cherche la dforme de la structure w(x)

Calcul des constantes : conditions aux limites

Pour la fonction w(x) on sait que :

si x=0, w(x=0) = 0 D=0si x=l, w(x=l) = 0 -pl4/24 + pl4/12 + Cl =0

C = -pl3/24

soit :EIw(x) =

-px4/24 + plx3/12 + -pl3x/24

calcul du dplacement mi-trave :

w(L/2) =1/EI(-pL4/384 + pL4/96 - pl4/48)

w(L/2) =-5pL4/384EI

-5pL4/384EI

M(x) = px2/2 - plx/2



Chapitre 1

Point de dpart




je drive...

En pratique...

Avantages de cette mthodede calcul des dplacements

Inconvnients de cette mthodede calcul des dplacements

Calculs simples... ... mais longs !

On obtient lquation de la dforme, donc le

dplacement en tout point...

... mais, en pratique, la connaissance de lquation exacte de la dforme nest pas trs utile ! On ne sintresse quau calcul des dplacements en des points

prcis (calcul discret).

En conclusion...

Ces relations ne seront utilises que pour limiter les calculs en servant de moyen danalyse des structures.

Le calcul des dplacements en un point donne fera lobjet du chapitre suivant...


Proprits mathmatiques des fonctions

Chapitre 1

Point de dpart




je drive...

Rappel sur la drive seconde dune fonction...

... la drive premire dune fonction caractrise ses variations : fonction monotone, croissante ou dcroissante.

... la drive seconde dune fonction caractrise sa concavit :

drive seconde positive drive seconde ngative

... un changement de signe de la drive seconde se traduit donc par un changement de courbure :



Chapitre 1

Point de dpart




G x

z

je drive...

jintgre...

EIGyw'(x) =

x( )

EIGyw (x) dforme !

p (x) = 0

V (x) = -a

M (x) = ax + b

(x) = -ax2/2 - bx- c

w (x) = -ax3/6 - bx2/2 - cx - d

fonction allure

fg

je drive...

EIGywIII (x) =

EIGywIV (x) =

p(x)

VGZ x( )

+




Chapitre 1

Point de dpart




G x

z

je drive...

jintgre...

EIGywIII (x) =

EIGywIV (x) =

p(x)

je drive...

EIGyw'(x) =

x( )

EIGyw (x) dforme !

p (x) = 0

V (x) = -a

M (x) = ax + b

(x) = -ax2/2 - bx- c

w (x) = -ax3/6 - bx2/2 - cx - d

fonction allure

fg


VGZ x( )

-



Chapitre 1

Point de dpart




G x

z

je drive...

jintgre...

EIGywIII (x) =

EIGywIV (x) =

p(x)

je drive...

EIGyw'(x) =

x( )

EIGyw (x) dforme !

p (x) = 0

V (x) = -a

M (x) = ax + b

(x) = -ax2/2 - bx- c

w (x) = -ax3/6 - bx2/2 - cx - d

fonction allure

fg


VGZ x( )

- +



Chapitre 1

Point de dpart




G x

z

je drive...

jintgre...

EIGywIII (x) =

EIGywIV (x) =

p(x)

je drive...

EIGyw'(x) =

x( )

EIGyw (x) dforme !

p (x) = 0

V (x) = -ax - b

M (x) = ax2/2 + bx+ c

(x) = -ax3/6 - bx2/2 - cx - d

w (x) = -ax4/24 - bx3/6 - cx2/2 - dx -

e

fonction allure

fg


VGZ x( )

+



Chapitre 1

Point de dpart




G x

z

je drive...

jintgre...

EIGywIII (x) =

EIGywIV (x) =

p(x)

je drive...

EIGyw'(x) =

x( )

EIGyw (x) dforme !

p (x) = 0

V (x) = -ax - b

M (x) = ax2/2 + bx+ c

(x) = -ax3/6 - bx2/2 - cx - d

w (x) = -ax4/24 - bx3/6 - cx2/2 - dx -

e

fonction allure

fg


VGZ x( )

-



Chapitre 1

Point de dpart




G x

z

je drive...

jintgre...

EIGywIII (x) =

EIGywIV (x) =

p(x)

je drive...

EIGyw'(x) =

x( )

EIGyw (x) dforme !

p (x) = 0

V (x) = -ax - b

M (x) = ax2/2 + bx+ c

(x) = -ax3/6 - bx2/2 - cx - d

w (x) = -ax4/24 - bx3/6 - cx2/2 - dx -

e

fonction allure

fg


VGZ x( )

- +



Chapitre 1

Point de dpart




je drive...

fgchauffement... Q p

AB C

L a

effort tranchant V(x)

moment flchissant M(x)

dforme w(x)

0 0pa2/2?

? ? ? 0? pa

d1 d1 d2

0 0d3 d3 d4

cste cste d1

Q p

AB C

L a



Chapitre 1

Point de dpart




je drive...

fgtirements...

?0

0

0

d1

d2d3

d4

0

p

Q

d1 cste

d3 d1

La suite en TD et ... au DS !

Cours Rdm - MS3 - Partie 1

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