Automatique Linaire 1 1A ISMIN -180 r-90FTBOdBArg(FTBO)P.I.D. = + = 0P.I.D. = + = 0 = + = 0d i 1=d i 1=d i 1= Automatique linaire 1 J.M. Dutertre 2011 Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 20112 Sommaire. I. Introduction, dfinitions, position du problme. p. 3 I.1. Introduction.p. 3 I.2. Dfinitions.p. 5 I.3. Position du problme. p. 6 II. Modlisation des systmes linaires. p. 11 II.1. Systme du premier ordre. p. 12 II.2. Systme du second ordre. p. 21 II.3. Systmes dordre suprieur 2. p. 31 III. Stabilit des systmes asservis.p. 33 III.1. Schma gnral dun asservissement. p. 33 III.2. Interprtation gomtrique du passage de la boucle ouverte la boucle ferme. p. 36 III.3. Rponse impulsionnelle dun systme boucl en rgime linaire. p. 40 III.4. Le critre de Routh-Hurwitz (critre algbrique). p. 41 III.5. Les critres gomtriques de stabilit. p. 44 IV. Performances des systmes asservis.p. 50 IV.1. Prcision.p. 50 IV.2. Rapidit des systmes. p. 56 V. Correction des systmes asservis.p. 59 V.1. Introduction. p. 59 V.2. Correction proportionnelle et drive (P.D.) Correction avance de phase. p. 63 V.3. Correction proportionnelle et intgrale (P.I.) Correction retard de phase. p. 66 V.4. Correction proportionnelle intgrale et drive (P.I.D.). p. 68 V.5. Modle du second ordre. p. 72 Bibliographie. p. 74 Annexe 1 Signaux type.p. 75 Annexe 2 Transforme de Laplace.p. 77 Annexe 3 Systmes linaires du second ordre.p. 80 Annexe 4 Abaque de Black-Nichols.p. 84 Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 20113 Automatique Linaire 1. I.Introduction, dfinitions, position du problme. I.1. Introduction. Dfinition :Lautomatiqueestladisciplinescientifiquequitudielessystmes dynamiques, les signaux et linformation, des fins de conduite ou de prise de dcision. Pour tre comprhensible, cette dfinition de lautomatique doit tre complte et prcise en dfinissant les termes : systme, dynamique, et conduite. En automatique, on appelle systme lobjet tudi, par exemple, la voiture reprsente figure I.1. La dfinition dun systme est lie aux grandeurs dentre et de sortie considres. dd0 Fig. I.1 Systme constitu dune voiture. Dans ce cas, la grandeur de sortie tudie est la distance d sparant le vhicule du trottoir, et la grandeur dentre (ou commande) langle de rotation du volant. La notion de dynamique est lie lvolution des grandeurs tudies au cours du temps. Cette volution peut tre due une modification de la commande (langle du volant, le conducteur tant distrait ou assoupi) ou une perturbation extrieure (une rafale de vent, par exemple)entrainant une diminution de d. Cest ici quentre en scne lautomatique, en tant que science permettant de matriser (ou conduire)lecomportementdunsystme.Ilexisteeneffet,depuispeu,desdispositifs permettant de corriger automatiquement la trajectoire dune voiture risquant de mordre sur le bas ct de la route. Lacommandeestalorslaboreenfonctiondelcartentreladistancedetunevaleurde consigne d0 (cf. Fig. I.2). Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 20114 Onparledslorsdecontre-raction(oufeedback),lacontre-ractionpermettantdefaire voluerlacommandeenfonctiondesonactionsurlavaleurdesortiedusystmeet galementenfonctiondelaconsignedsire.Elleestutilisepouroptimiserlaconduitedu systme. On dit alors que le systme est en boucle ferme, par opposition la boucle ouverte qui correspond au cas o la commande est labore sans utilisation dune contre-raction. systmela commande d0dlaboration de Fig. I.2 Schma fonctionnel dun asservissement en boucle ferme. La conduite dune automobile seffectue bien videment et naturellement en boucle ferme (il est dconseill de conduire les yeux ferms). Domaine dapplication.Ledomainedapplicationdelautomatiqueestextrmementvaste :lindustrie manufacturire,lachimie,larobotique1,lamcanique,llectronique,laronautique, lconomtrie, etc. Objectifs de cours. Lobjectifducoursdautomatiquelinaire1estltudedessystmeslinaires,continus, invariantsdansletemps(cestermestantdfinisdanslapartiesuivante).Ilsagit schmatiquementdelautomatiqueclassiqueformalisependantlapremiremoitidu vingtime sicle. Pr requis. Lecours Mathmatiquedusignal dupremiersemestreestunprrequisncessairela comprhension et au suivi du prsent cours. En particulier en ce qui concerne : -les signaux types (Dirac, chelon de Heavyside, etc.), -le thorme de convolution, -et le formalisme de Laplace. 1 Une illustration des capacits tonnantes (dpendant pour une part essentielle de lautomatique)dune main robot peut tre trouve sur le site du Ishikawa Komuro Laboratory : http://www.k2.t.u-tokyo.ac.jp/papers/index-e.htmlAutomatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 20115 I.2. Dfinitions. Cettepartierappelle,oudonne,uncertainnombrededfinitionspermettantdaborder rigoureusement la suite du cours.

Dfinition 1 : On appelle modle dun systme (ou processus) la loi qui relie lentre (cause) la sortie (effet). Dfinition 2 : On distingue deux rgimes dans le comportement des systmes : lergimepermanentoutabli,caractrisantlarponsestabilisedu systme une entre quelconque,le rgime transitoire, caractrisant lvolution de la rponse avant que le rgime permanent ne soit atteint. Lergimestatiqueestlergimepermanentdanslecasoulentreest constante. Dfinition 3 : Un systme est causal si sa sortie y(t) un instant t0 ne dpend que des valeurs de son entre u(t) pour t t0 (cf. figure I.3). systmey u Fig. I.3 Systme. Un systme causal ne rpond pas avant dtreexcit (systme non anticipatif).Les systmes physiques temporels ralisables sont causals. Un signal x(t) est causal si t < 0x(t) = 0. Enpratiqueunsignaltemporelesttoujourscausal,conditiondebienchoisirloriginedes temps. Dfinition 4 : Un systme temps invariant a un modle identique tout instant (un retard ne change pas la loi du modle) : ) ( ) ( ) ( ) ( t y t u t y t usystme systme Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 20116 Dfinition 5 : Un systme est dit instantan si un instant donn sa sortie ne dpend que de lexcitation cet instant : y(t) = a.u(t) Danstouslesautrescas,ilestdit,mmoireoudynamique,parexemple pour :y(t) = a.u(t-) ou :y(t) = a.u(t) + b.y(t) Dfinition 6 : Unsystmeeststablesietseulementsitouteentrebornegnreunesortie borne. Un systme physique est stable sil retourne spontanment vers sontat dquilibre lorsquil en est cart. Il est instable si sa sortie na pas de valeur fixe (asymptotiquement) lorsque son entre est nulle. Dfinition 7 : Un systme est linaire sil satisfait au principe de superposition : ) ( . ) ( . ) ( . ) ( .2 1.2 1t y b t y a t u b t u alinaire syst+ + Ce cours traite des systmes causals, linaires et temps invariant : les S.L.T.I. Les systmes tudis sont analogiques, leurs signaux dentre et de sortie sont continus la fois en temps et en amplitude. La relation qui lie leur entre et leur sortie2 est ds lors une quation diffrentielle linaire coefficients constants. I.3. Position du problme. a La commande automatique ou comment remplacer lhomme. La finalit de lautomatique, telle que nous venons de la dfinir, est de remplacer lhomme ou desupplerseslimitesdanslaconduitedunsystme(cf.figureI.4silonrevient lexemple de la partie I.1 concernant une automobile).Laproblmatiqueserduitalorsltudeetlamodlisationdusystmeconsidrdansle but dlaborer une commande automatique. 2 Au singulier, on se limitera en effet ltude des systmes monovariables, cest--dire ayant une entre et une sortie. Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 20117 voiture hommeu ycy()(d0) (d)systme?u ycy()(d0) (d) Fig. I.4 Remplacer lhomme. Poursefaire,lutilisationdunertroactionestncessaire.Lesystmeestplacenboucle ferme,cequiintroduitlesnotionsdasservissement(lorsdelapoursuiteduneconsigne variable) et de rgulation (concernant la compensation de perturbations3 externes). Le paragraphe suivant donne lexemple de lasservissement dun chauffage central individuel. b La boucle dasservissement. Considrons le systme de chauffage central dun logement reprsent figure I.5. systme T e Fig. I.5 Systme de chauffage central. Avec : temprature intrieure, Ttemprature de leau chaude envoye dans les radiateurs, e temprature extrieure (considre comme une perturbation). T est rgle par le chauffagiste pour obtenir unetemprature deconsigne donne c = 19C. Cependant, le rglage est refaire chaque variation de e. 3 On dfinira comme tant une perturbation une entre du systme imprvisible et/ou sur laquelle on ne peut agir. Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 20118 Une premire tentative de rglage automatique en boucle ouverte est reprsente figure I.6. systme T ea +_ c Fig. I.6 Asservissement en boucle ouverte.Unesondeestinstalleafindemesurereetlamesureestsoustraitelatemprature souhaite c(la consigne) pour laborer la loi de commande fixant la temprature T de leau : T = a.( c - e)a : constante rglable. Ainsi,toutevolutiondelatempratureextrieureestpriseencompteetlatempraturede leauducircuitdechauffageajusteenconsquence.Lesavoirfaireduchauffagisterside alors dans le choix de la constante a, lajustement pouvant tre fait par essai-erreur. Cettepremireapprocheprsenteuneamliorationnotable.Malheureusement,ellenestpas encore optimale. En effet, lors dune journe dhiver ensoleille (e faible), T va tre rgle une valeurleve, alorsque le soleil entrant parles fentres va surchauffer le logement.Les habitants vont alors ouvrir les fentres entrainant un gaspillage dnergie important. Lasolutionconsisteraliserunasservissementenboucleferm(cf.figureI.7)dusystme dechauffageenexploitantunemesuredelatempratureintrieurepluttquedessayer danticiper leffet de la temprature extrieure e sur le systme. systme T e_+_+a c Fig. I.7 Asservissement en boucle ferme dun systme de chauffage. Le recours une loi de commande proportionnelle est alors adapt : T = a.( c - ) a : constante rglable. Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 20119 Ralisainsi,lasservissementestmmederagirauxvariationsdelatemprature extrieure et aux changements de la consigne. La figure I.8 donne une vue plus gnrale dun asservissement en boucle ferme. systmey uP +_yc n Fig. I.8 Asservissement en boucle ferme. Avec : ycconsigne, ysortie (ou image de la sortie obtenue par un capteur), ucommande ou action, erreur ou cart,tel que = yc- y nperturbation extrieure, Psystme automatique de commande. La loi de commande tantu = P(). c Qualits dun asservissement, ncessit de la boucle ferme. Lesprincipalesqualitsdunasservissementsontaunombredetrois:stabilit,prcision,et rapidit. Concernant la stabilit, si on considre une loi de commande proportionnelle telle que : ) .( y y K uc = avec K constante SiKestchoisitropgrand,unepetitevaleurdelerreur=ycy>0suffiracrerune commandeuleve.Lacorrectionapportepourraalorstretellequelaconsignesoit dpasse : y > yc, et que la nouvelle erreur, , soit telle que = yc y > ; entrainant unecorrectioninverseelleaussidisproportionne.Danscettehypothse,ilyaapparition doscillationsdivergentes(croissantes),lesystmedevientinstable.Dautressources Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201110 potentielles dinstabilit sont le retard lexcution des ordres reus, ou pire lexistence dune contreractionpositive (=yc+y).Lastabilitdessystmesasservisesttudieau chapitre III. La prcision sexprime par lcart entre la consigne yc et la sortie y du systme. Dans le cas duneloidecommandeproportionnelledutypeu=K.,lobtentiondunebonneprcision ncessitedavoirungainlev(eneffetpourobtenirunevaleurdecommandeudonne,K devratredautantplusimportantequeserafaible).Demme,uneperturbationnsera dautant plus efficacement corrige (erreur rsiduelle faible) que K sera grand. Or, on a vu quun grand K peut tre source dinstabilit. Do le fait ( mmoriser) que la stabilit et la prcision soient des paramtres potentiellement contradictoires. La troisime qualit essentielle dun asservissement est sa rapidit. La rapidit dun processus peut se mesurer par son temps de rponse un chelon de commande comme dfini au IV.2. Les notions de prcision et de rapidit des systmes font lobjet du chapitre IV. Dunefaongnrale,lasynthsedunasservissementrsulteduncompromisstabilit prcision rapidit. Lautomatisation des processus requiert lutilisation dune boucle ferme (rtroaction), celle-ci est ncessaire afin de pouvoir : -stabiliser un systme instable en boucle ouverte, -compenser des perturbations externes, -compenser des incertitudes lies au systme lui-mme (vieillissement, imprcision du modle, etc.). Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201111 II.Modlisation des systmes linaires. Lacaractristiquestatique(c'est--direlarelationentrelentreetlasortieenrgime permanent) dun systme linaire est une droite (cf. figure II.1). systmey uuy Fig. II.1 Caractristique statique dun systme linaire. Celanedoitpasamenerdeconfusionaveclecomportementdynamiquedusystmeen rgimetransitoire.LafigureII.2reprsentelarponseensortiedunsystmelinaireun chelon sur son entre (on constate bien que y(t) nest pas une droite). tyK.E0= Y0tuE0entre au repossortie au repos Fig. II.2 Rponse de la sortie dun systme un chelon en entre. Nous avons dj nonc prcdemment que lquation liant la sortie et lentre dun systme linaire,continuetinvariantdansletempsestunequationdiffrentiellelinaire coefficientsconstants.Cettequationtraduitaussibienlecomportementdynamiquedu systme que son comportement statique (il suffit pour cela dannuler les drives). Les parties suivantestraitentdelamodlisationetducomportementdessystmesdupremierordre,du second ordre et dordre suprieur. Cependant,lessystmesphysiques(rels)nesontpasncessairementlinaires.Ilest nanmoinssouvent possible de les tudier avec les outils classiques de lautomatique linaire aprsavoirlinarisleurcomportementautourdunpointderepos.Cettefaondeprocder estfamilireauxlectroniciens,ilslutilisentparexemple,pourtudierlestransistorsen amplification ;lafigureII.3donnelexempledelalinarisationautourdunpointderepos, M0(V0,I0),dunediode.Lemodlelinaireobtenupermetdtudierlesvariationsdeidetvd autour de M0, ds lors que ces grandeurs restent dans le domaine de validit du modle. Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201112 iD(mA)vD(V)00,511,51Vseuilpt de polarisationI0V0M0M0vdid Fig. II.3 Linarisation dun systme autour dun point de repos. Il y a deux faons dobtenir le modle linaire dun systme : -parlamiseenquationdusystmepartirdecesloisphysiques(quations lectriques, mcaniques, etc.), -ouparidentification,lemodletantdterminexprimentalemententudiantla rponse du systme des stimuli classiques. II.1. Systme du premier ordre. Dfinition 8 : Un systme est dit du 1er ordre si la relation entre son entre et sa sortie est une quation diffrentielle du 1er ordre. Exemple : tablir lquation diffrentielle du circuit RC de la figure II.4. u(t) = vE(t) vS(t) = y(t)i(t)RC Fig. II.4 Circuit RC. Les quations lectriques du systme sont : Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201113 S Ev Ri v + = dtdvC iS=Do lquation diffrentielle du premier ordre liant lentre et la sortie du systme : E SSv vdtdvRC = + La forme gnrale de lquation diffrentielle dun systme du premier ordre dentre u et de sortie y est : ) ( ) () (t Ku t ydtt dy= + Eq. II.1 Avec :cconstante de temps du systme, Kgain statique. a Fonction de transfert. Dfinition 9 : la fonction de transfert (ou transmittance) dun systme linaire est le rapport entrelatransformedeLaplacedesasortieetcelledesonentre,en considrant des conditions initiales nulles. Le lecteur trouvera en annexe 2 quelques rappels utiles sur la transforme de Laplace (TL) et les TL usuelles. Par application de la TL lquation II.1 : ( ) ) ( . ) ( ) 0 ( ) ( . . p U K p Y y p Y p = + soit) 0 (. 1) (. 1) (+++= ypp UpKp Y Ainsi,Y(p)dpendnonseulementdelentre,U(p),maisaussidelavaleurdelacondition initiale y(0-). On en dduit lexpression de la fonction de transfert, H(p), en considrant y(0-) = 0 : pKp Up Yp H. 1 ) () () ( += = 4Eq. II.2 4 Attention p est not s dans la littrature scientifique anglo-saxonne. Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201114 Rappel :la rponse impulsionnelle (i.e. rponse un Dirac), h(t), dun S.L.T.I. vrifie : ) )( ( ) ( t h u t y =Ainsi,commesuggrparlquationII.2,pourdterminerlarponsedunsystmelinaire (quelque soit son ordre) une excitation u(t), plutt que de rsoudre lquation diffrentielle associe,ilestsouventplussimpledepasserenreprsentationdeLaplace.Ilfautalors calculerlaTLdeu(t) :U(p),lamultiplierparH(p)pourobtenirY(p),puisrepasserdansle domaine temporel pour obtenir y(t). La dtermination des TL et TL inverses, est facilite par lutilisationdestableauxdeTLusuellesdonnsenannexe2.Lesparagraphesb,c,etd illustrent ce mcanisme. b Rponse impulsionnelle. La dtermination en trois tapes de la rponse une impulsion damplitude A0 dun systme du 1er ordre est illustre ci-dessous : ) ( . ) (0t A t u = / 0..) (teA Kt y= Eq. II.3 1 3 0) ( A p U =2 pA Kp U p H p Y. 1.) (( ). ( ) (0 += =Letracdey(t)estdonnfigureII.4(sonallureent = 0estcaractristiquedunsystmedu 1er ordre). ty(t)37%t = 5%3K.A0 K.A0 Fig. II.4 Rponse impulsionnelle dun systme du 1er ordre. Pour t = , la rponse a dcru 37% de sa valeur initiale ; t = 3, elle nen reprsente plus que 5%. Sa drive lorigine coupe laxe des abscisses pour t = (la pente de la tangente lorigine vaut :-KA0/ 2). Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201115 c Rponse indicielle. Larponseindicielle,c'est--direunchelon(damplitudeA0),dunsystmedu1erordre est (on note (t) lchelon unitaire5) : ) ( . ) (0t A t u =( ) /01 . ) (te A K t y =Eq. II.4 1 3 pAp U0) ( =2 ( ) p pA Kp Y. 1 ..) (0 += La rponse indicielle est reprsente figure II.5. ty(t) 3K.A0= 100%95%63% Fig. II.5 Rponse indicielle dun systme du 1er ordre. La valeur finale atteinte en rgime permanent par y(t) est K fois la valeur de lentre (K est le gain statique). Pour t = ,y() atteint 63% de la valeur finale. Le temps de rponse 5% (le temps au bout duquel y(t) approche la valeur finale 5% prs, et y reste) est t = 3. Latangentelorigine(cf.Fig.II.5)aunepentedeKA0/,onobserveeffectivementune cassure assez nette de y(t) qui est caractristique de la rponse indicielle dun systme du 1er ordre. d Rponse une rampe. La rponse une rampe de pente a dun systme du premier ordre est : ) ( . ) ( t at t u =( ) /. . ) (te t a K t y+ = Eq. II.5 1 3 2) (pap U = 2 ( ) p pa Kp Y. 1 ..) (2 += 5 Le lecteur trouvera en annexe 1 quelques rappels sur les signaux type. Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201116 Le trac de la rponse une rampe est donn figure II.6. ty(t)a.tK.a.(t - )t Fig. II.6 Rponse une rampe dun systme du 1er ordre. Enrgimepermanent(t>>) onay(t)=Ka(t-):lasortietendversunerampede pente : Ka. PourK=1,y(t)suitlarampedentreavecunretardetlerreurdetrainage(ladiffrence entre lentre et la sortie) est : t = a. Pour K 1, les pentes tant diffrentes, t tend vers linfini (divergence). e Rponse harmonique. Larponseharmoniquedunsystmeestsarponseunesinusodepermanente, u(t) = Um.sin(.t) , le rgime transitoire tant teint. Rappel :Larponseharmoniquedunsystmelinaire(quelquesoitsonordre)estune sinusodedemmepulsation,damplitudeYm,dphasedunanglepar rapport lentre : y(t) = Ym.cos(.t + ) Lessignauxtantpriodiques,lanalysedelarponseharmoniquesefaitencomplexe (p = j), et plus prcisment en tudiant H(j). Soit : |||

\|+=+= = jKj H j UjKj U j H j Y1) ( ) ( .1) ( ). ( ) (qui donne : Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201117 m mUKj Y Y .1) (2 2 += = (Module) ( ) ( ) arctan ) ( = = j Y Arg (Argument) Ltudedespropritsfrquentiellesdessystmeslinaires(c'est--direleurrponseune actionsinusodalepermanentedontonfaitvarierlafrquence)permetdendduireles proprits dynamiques temporelles (cest--dire leur volution dans le temps en fonction des actionssubies)commenousleverronsparlasuite.Cestlaraisonpourlaquelleonattache tant dimportance cette tude. En gnral les paramtres tudis sont le gain et le dphasage : ) ( j HUYGainmm= = ( ) ) ( j H Arg Dphasage = =que lon reprsente sous forme de diagramme de Bode, de Black, ou de Nyquist (cf. ci-aprs). Diagramme de Bode. Le diagramme de Bode dune fonction de transfert comporte deux courbes : son module exprim en dcibels (dB), ) ( . 20 j H log HdB =et sa phase (ou argument), ( ) ) ( j H Argtraces en fonction de la pulsation (axe gradu suivant une chelle logarithmique). Pour un systme linaire du 1er ordre : jKj H+=1) (On en dduit : 2 21 log . 20 log . 20 ) ( . 20 + = = K j H log HdB ) arctan( = ArgHLa pulsation de coupure -3 dB,c, est la pulsation pour laquelle le gain exprim en dB est infrieur de 3 dB au gain statique (gain en = 0). Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201118 Les tracs du gain et de la phase sont donns figure II.7 en pointills rouge, pour un axe des abscisses gradu en pulsation rduite / c. On trouve c = 1/. /c(log)dBH1 0.1 10 1000 dB20.log(K)3 dB-20 dB / dcadeH Arg1 0.1 10 100 0.1-90 -45/c(log) Fig. II.7 Diagramme de Bode dun systme du 1er ordre. LetracdudiagrammedeBodeestsimplifiparunetudeasymptotiquepralable(enbleu sur la fig. II.7) : - pour > c : cjKj H ) ( soit) log( . 20 . log . 20 =c dBK Het2 / = ArgH- pour = c :3 log . 20 = K HdB 4 / = ArgH Pour >> c, la dcroissance du gain est de -20 dB/dcade, cest--dire que le gain diminue de20dBchaquefoisquelapulsationdusignaldentreestmultipliepardix ;cequi correspondgalementunedcroissancede-6dB/octave,uneoctavecorrespondantun doublement de la pulsation. Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201119 Reprsentation de Black. LareprsentationdeBlackdeH(j)consistetracerHdBenfonctiondeArgHenfaisant varierlapulsationdezrolinfini.Cettereprsentationpermetdavoirlesdeuxgrandeurs caractrisant un systme (gain et phase) sur un mme graphe. Une tudeasymptotique (cf.Bode) facilite le trac de lareprsentation de Black du systme linaire dordre 1 de la figure II.8 (la courbe est gradue en pulsation rduite / c). HdBArg H-45-9020.log(K)20.log(K) 3 dB / c= 0 / c= 1 / c + Fig. II.8 Reprsentation de Black de la rponse harmonique dun systme du 1er ordre. Reprsentation de Nyquist. LareprsentationdeNyquistconsistetracerH(j)danslelieudeNyquist(cest--dire Im[H(j)]enfonctiondeRe[H(j)])enfaisantvarierlapulsationdezrolinfini.Cette reprsentation permet, comme nous le verrons plus tard, dtudier rapidement la stabilit dun systme. LareprsentationdeNyquist(appelecommunmentlieudeNyquist)delafonctionde transfert dun systme du 1er ordre est un demi-cercle (cf. figure II.9) de centre (K/2,0) et de rayon K/2. En effet, on dmontre aisment que : ( ) ( )4) ( Im2) ( Re222Kj HKj H = +||

\| Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201120 ( ) ) ( Im j H( ) ) ( Re j HK K/2045 c= 1/ = 0 = + Fig. II.9 - Reprsentation de Nyquist de la rponse harmonique dun systme du 1er ordre. A la pulsation de coupure pour = c = 1/ :2 / ) ( K j H = ( ) 4 / ) ( = j H Arg f Relation temps frquence. La rapidit de la rponse dun systme linaire du 1er ordre est lie sa frquence de coupure (cest--dire sa bande passante, telle que,fc = 1/(2) ; daprs c = 1/ ). Letempsdemonte,tm,dunsystmesoumisunchelontantletempsmisparlasortie pour passer de 10% 90% de sa valeur finale est une faon dexprimer cette rapidit. Or on dmontre que tm = 2,2. On en dduit que : 35 , 0 . =c mf t Eq. II.6 Ainsi plus la bande passante dun systme sera large (fc eleve) plus il sera rapide (tm faible), et inversement. Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201121 II.2.Systme du second ordre. Dfinition 10 :Unsystmeestditdusecondordresilarelationentresonentreetsa sortie est une quation diffrentielle du 2me ordre. Laformegnraledelquationdiffrentielledunsystmedudeuximeordredentreuet de sortie y est (on prendra toujours un second membre indpendant de u(t)) : ) ( . ) ( .) (. 2) (2020 022t u K t ydtt dymdtt y d = + +Eq. II.7 Avec :Kgain statique, mcoefficient damortissement (parfois not ), 0pulsation propre non amortie. a Fonction de transfert. Par application de la TL lquation II.7 (en prenant des conditions initiales nulles) il vient : 202021) (ppmKp H+ += Eq. II.8 b Rponse indicielle. La rponse indicielle ( un chelon unitaire), dun systme du 2nd ordre est : ) ( ) ( t t u = 1 pp U1) ( =2 ( )20 022020202 .21 .) ( + +=|||

\|+ +=p m p pKppmpKp YLa dernire tape de dtermination de y(t) ncessite ltude de trois cas en fonction de m : m > 1, rgime apriodique. Le discriminant rduit de lquation caractristique du dnominateur est alors 0 ) 1 (202> = mAutomatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201122 Le dnominateur possde donc deux ples rels distincts : 120 0 2 , 1 = m m p ngatifs (car 0 . 0 220 2 1 0 2 1> = < = + p p et m p p ) tels que : ( )( )2 120. .) (p p p p pKp Y = On cherche alors exprimer Y(p) sous la forme : 2 1) (p p p p pp Y++ = afin de calculer aisment la TL inverse de Y(p). On obtient : ((

+ + =2 1 211 2 121.1.1. ) (p p p ppp p p pppK p YDo par TL-1 : ((

++ =t p t pep ppep ppK t y2 1. . 1 . ) (1 212 12Eq. II.9 On a : K t yt=+ ) ( lim (p1,2 ples rels ngatifs) y'(0) = 0la tangente lorigine est nulle Dans lhypothse ou m >> 1, on a1 220 2 1 = m p p grand en valeur absolue. Cest--dire 2 1p p 1. Aladiffrencedunpremierordreletracdey(t)(entraitplein)estcaractrispar labsencedecassurelorigine(y'(0) = 0),cependant,trsrapidement,ilrejointle trac du premier ordre (en pointills) exprim prcdemment (cf. figure II.11). ) (t yt 2 1 3. 1 Fig. II.11 Rponse indicielle dun 2nd ordre pour m >> 1. Dtermination du temps de rponse 5% pour m >> 1 : On a % 502% 5.10095) (trmKe K K tr y = =Soit3 .220 ln .20 0% 5 m mtr = Do m tr 320% 5 Eq. II.10 m = 1, rgime critique. Le discriminant rduit de lquation caractristique du dnominateur est nul = 0, le dnominateur possde donc une racine double relle p1 = p2 = -0 do ( ) ( )202020/ 1 . .) ( p pKp pKp Y+=+=On en dduit daprs les tables de TL-1 [ ]te t K t y0). 1 ( 1 . ) (0+ = Eq. II.11 120 0 1 + = m m p 120 0 2 = m m p Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201124 Lalluredey(t)estsimilairecelleobtenuepourlergimeapriodiquedelafigure II.11 (cas limite entre les rgimes apriodique et pseudopriodique). m < 1, rgime pseudopriodique. Lediscriminantrduitdelquationcaractristiquedudnominateurestngatif.Le dnominateur de Y(p) possde deux ples complexes conjugus : 20 0 2 , 11 m j m p = tel que 0 2 1 = = p pPour 0 0 de ) ( 1) (p Tp A+ Z+ = PBF+ples instables de la boucle ferme Soit N = PBF+ - PBO+ Ainsi,connaissantPBO+etN,onendduitlenombredeplesinstablesdelaFTBF(i.e.la stabilit). Point critique (-1,0) : plutt que de regarder le nombre de tours de () = {1 + T(p)} autour de lorigine, on trace ( ) = {T(p)} (la FTBO) et on regarde le nombre de tours autour du point critique (ce rsultat est obtenu par une simple translation de -1 selon laxe rel). On est alors mme dnoncer le : Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201146 CritredestabilitdeNyquist :lorsquepdcritlecontourdeBromwich(C)danslesens horaire, T(p) (la FTBO) dcrit une courbe () dans le plan complexe. Le systme est stable en boucle ferme si et seulement si le nombre de tours de () autour du point critique -1 compts dans le sens horaire est gal moins le nombrede ples instables de T(p) (ples Re>0 de la FTBO).Pourunsystmestableenboucleouverte,lesystmeeststableenbouclefermesi () nentoure pas le point critique. Rmq : pour un systme instable en BF, le nombre de ples instables est PBF+ = N + PBO+.

Laconnaissancedelaboucleouvertepermetdeconcluresurlastabilitenboucle ferme. Comportement lorigine : le contour dexclusion lorigine (pour p = 0) permet dviter les problmatiques dexistence de la FTBO dans le cas o elle peut sexprimer sous la forme : nnmmp a p ap b p bpap T+ + ++ + +=... 1... 1. ) (11avec > 0 Pour p 0 (au voisinage de 0) : pap T ) (Ainsi,enparcourantledemi-cerclederayonr,largumentdeppassede-/2+/2en faisantundemi-tourautourdeloriginedanslesensantihoraire,etdonclargumentdeT(p) passede/2-/2entournantdanslesenshoraire.Ainsi,onpassedeT(0-)T(0+)en faisant une rotation de dans le sens horaire. Lexemple suivant, qui sera corrig en TD, illustre ce comportement. Exemple : Etudier la stabilit du systme de FTBO, ) 2 ).( 1 .() (+ +=p p pKp T , par application du critre de Nyquist. Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201147 b Le critre du revers. Le critre du revers est une simplification du critre de Nyquist pour les systmes simples. Conditions suffisantes devant tre vrifies par la FTBO pour pouvoir appliquer le critre du revers : -systme stable en boucle ouverte, -ordre de la FTBO > 1, -T(p) phase minimale (i.e. pas de zro Re>0), -le rapport des coefficients de plus bas degr du numrateur et du dnominateur est positif. Critre du revers : si un systme vrifie les conditions suffisantes exposes prcdemment et silelieudeNyquistdelaFTBO,dcritdanslesensdespulsationscroissantes(0++), laisse le point critique sa gauche, alors, le systme sera stable en boucle ferme. La figure III .12 illustre lapplication du critre du revers pour des systmes instable et stable. -1Instable Stable < t t< ReIm T = 0= +-1ReIm T = 0= +cercle unitairecercle unitaire Fig. III.12 Illustration du critre du revers. CritredureversdansleplandeBlack:siunsystmeenboucleouvertevrifieles conditions suffisantes nonces prcdemment, et, si son lieu dans le plan de Black parcouru danslesensdespulsationscroissantes(0++)laisselepointcritiquesadroitealorsle systme est stable en boucle ferme. Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201148 La figure III .13 illustre lapplication du critre du revers dans le plan de Black. Arg TTdB = + = 0 t t-1 Arg TTdB = + = 0-1Arg TTdB = + = 0Arg TTdB = + = 0-1 Instable Stable < t t< t t Fig. III.13 Illustration du critre du revers dans le plan de Black. CestunrsultatquelonpeutillustrergalementsousformedediagrammedeBode(cf. figure III.14). t tArg T (log)TdB0 dB (log)-180Arg T (log)TdB0 dB (log)Arg T (log)TdB0 dB (log)-180 Instable < tInstable < t t tArg T (log)TdB0 dB (log)-180Arg T (log)TdB0 dB (log)Arg T (log)TdB0 dB (log)-180 Stable t< Stable t< Fig. III.14 Diagrammes de Bode de systmes instable et stable. Dune faon gnrale, pour des systmes satisfaisant aux conditions suffisantes du critre du revers, on retiendra que le systme est stable pour T< et instable pour < T. Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201149 c Marges de stabilit. Onintroduitlanotiondemargesdestabilitpoursassurerquunsystmeestloindupoint critique ;endautrestermes,ellespermettentdequantifierladistancesparantlelieudela FTBO du point critique (synonyme de limite de stabilit). On dfinit : -Marge de phase : [ ] + = = 180 ) (Tj p T Arg M [] -Marge de gain : dBGj p T M ) ( = = [dB] Les dfinitions de MG et de M sont telles quelles soient positives pour un systme stable. LafigureIII.15illustreletracdesmargesdephasedansleplandeBlacketdansle diagramme de Bode. Arg TTdB = 0-1 tMGM Arg T (log)TdB0 dB (log)-180 MG tM Fig. III.15 Marges de stabilit pour un systme stable. Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201150 IV.Performances des systmes asservis. Danscechapitreonconsidreraquelessystmestudissontstables(etretourunitaire).Les deux critres de performance tudis sont la prcisionet la rapidit (cf. I.3.c). IV.1. Prcision. Dfinition 11 :Estimerlaprcisiondunsystmeasservicestmesurerouprdire lvolutiontemporelledelcartentrelaconsignedentreetlasortie du systme ((t) = yc(t) y(t)). Le but tant de minimiser (t). Le systme est susceptible dvoluer sous leffet dune modification de la consigne yc(t) ou de lapparition de perturbations extrieures n(t). (p)+Yc(p)A(p) B(p)Y(p)_++N(p) Fig. IV.1 Schma bloc dun systme retour unitaire. Daprs la figure IV.1 on peut crire : ) ( ). ( ) ( . ) ( ). ( ) ('p N p B p p B p A p Yon perturbati de absence l en FTBO+ = 43 42 1 [ ] ) ( ). ( ) ( ) ( ). ( ) ( p N p B p Y p Y p T p Yc+ =[ ] ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( 1 ). ( p N p B p Y p T p T p Yc+ = +) ( .) ( 1) () ( .) ( 1) () ( p Np Tp Bp Yp Tp Tp YcFTBF+++=43 42 1 Ainsi, dune faon gnrale, on peut dcomposer ltude en deux : -d'unepartltudedelapoursuite :volutiondelerreurpourlesvariationsdela consigne en labsence de perturbations, -etdautrepartltudeenrgulation :volutiondelerreurenprsencede perturbations pour une consigne fixe. Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201151 a Prcision statique en poursuite Erreur en rgime permanent. Lerreur en rgime permanent est : s tt =+ ) ( limDonc, daprs le thorme de la valeur finale : ) ( lim ) ( lim0p p tp t s + = =Avec ) ( ) ( ) ( p Y p Y pc = ) ( .) ( 1) () ( ) ( p Yp Tp Tp Y pc c+ = ) ( 1) () (p Tp Ypc+= Do ) ( 1) ( .lim0p Tp Y pcp s+=Eq. IV.1 Lerreur statique, s, dpend du signal de consigne et de la FTBO. Dans le cas o lon peut crire la FTBO sous la forme : nnmmp a p ap b p bpap T+ + ++ + +=... 1... 1. ) (11(systme de classe , i.e. nb dintgrations pures) On a alors : pKp Tp p 0 0lim ) ( lim =LaFTBOcorrespondalorsauxexemplesdediagrammesdeBodeasymptotique(gain uniquement) donn figure IV.2. (log)TdB = 0(-1) (log)TdB = 1(-1)(-2) (log)TdB = 2(-2)(-3) Fig. IV.2 Allures du gain de systmes de classe 0, 1 et 2. Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201152 Rponse un chelon de consigne (erreur de position) : p p Y t t ycTLc/ 1 ) ( ) ( ) ( = =Do pKp Tp p s++= 11lim) ( 11lim0 0 et donc pour = 0 : Ks+=11et pour 1 : 0 =s Unsystmequipossdeaumoinsunintgrateur(1)en boucle ouverte a une erreur de position nulle. Rponse une rampe (erreur de trainage) : 2/ 1 ) ( ) ( p p Y t t ycTLc= =Do pKpp s+=11.1lim0 pour = 0+ spour = 1Ks1 = pour 20 =sUn systme qui possde au moins deux intgrateurs ( 2) en boucle ouverte a une erreur de tranage nulle. Rponse une parabolique (erreur en acclration) : 3 2/ 1 ) ( 2 ) ( p p Y t t ycTLc= =Do pKpp s+=11.1lim20 pour = 0 ou 1+ spour = 2Ks1 = pour 30 =s Un systme qui possde au moins trois intgrateurs ( 3) en boucle ouverte a une erreur dacclration nulle. Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201153 Quandsestfinieetnonnulle,lefaitdaugmenterKlafaitbaisser.Aurisquederendrele systme instable. Le tableau IV.1 rassemble les rsultats prcdents. sK +=11sK1=sK1=Classe = 0 1 2erreur de position (chelon)erreur de tranage (rampe)erreur de dacclrationClasse = 0 1 2erreur de position (chelon)erreur de tranage (rampe)erreur de dacclration0 00 Tab. IV.1 Erreur en fonction de la classe des systmes. b Prcision dynamique en poursuite. On a tabli prcdemment que : ) ( 11) () (p T p Ypc+= t t (log)TdB0 dB Fig. IV.3 Allure typique de la FTBO dun systme physique. Do, en considrant lallure typique de la FTBO dun systme physique donne figureIV.3 on peut tablir que : Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201154 -pour j T soit ) () () ( j Tj Yjc= petit.Cequicorrespondunetrsbonne prcision. -pour>>T,lescomposanteshautesfrquencesdessignaux,ona 1 ) ( 0, c..d. y < yc , on envoie u = UMAX , pour < 0, c..d. y > yc , on envoie u = 0. b La commande proportionnelle. Laction u est dose proportion du rsultat atteindre et donc de lerreur. On prend :u = K. = K.(yc y) SiKestgrand,lacorrectionestnergiqueetrapidemaislerisquededpassementet doscillationsdanslabouclesaccrot.Cependant,siKestpetit,lacorrectionestmolleet lente mais il y a moins de risque doscillations. Automatique Linaire 11A ISMIN www.emse.fr/~dutertre/enseignement.html - 201160 OnabienvuauIV.2quelacorrectionproportionnellepermetdamliorerlarapiditdun systme dautant plus efficacement que K est lev. Mais cela finit par poser un problme de stabilitcommeillustrdansleplandeNyquistlafigureV.2pourdesvaleursdeK croissantes. = + = 0-1ReImKK KK1K1 < K1K1K1