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  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    1

    ELEMENTS FINIS

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    2

    1. RAPPEL M.M.C. F

    f

    d u u =

    D

    sur Du

    sur Df

    Voici les notations utilises:

    Le repre fixe : R (0,x1,x2,x3)

    i j k, , , ,

    , , ,

    1 2 3

    1 2

    l ql q

    Nous travaillerons dans le cadre des petites dformations, cela implique que la position de rfrence reste la position initiale. Les chargements peuvent tre de type volumique ou de type surfacique dans le cas 3-D. La rsolution d'un problme de structure consiste tudier trois champs vectoriels ainsi que leur relation :

    Le champ de dplacement, not u xu x y zv x y zw x y z

    ( )( , , )( , , )( , , )

    =RS|T|

    Le champ des dformations not

    ( )x =

    L

    NMMM

    O

    QPPP

    L

    N

    MMMMMMM

    O

    Q

    PPPPPPP

    11 12 1321 22 2331 32 33

    112233

    2 122 132 23

    Le champ des contraintes not

    ( )x =

    L

    NMMM

    O

    QPPP

    L

    N

    MMMMMMM

    O

    Q

    PPPPPPP

    11 12 1321 22 2331 32 33

    112233121323

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

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    Les diffrentes relations entre ces quantits peuvent tre schmatises par la figure suivante:

    DEPLACEMENT DEFORMATION CONTRAINTE

    GEOMETRIE MATERIAU

    CHARGEMENT

    Dans le cas gnral, on montre que les quations d'quilibre s'crivent sous la forme

    div f d i + =G G qui se simplifient dans le cas de la statique :

    div fd i + =G G0

    o Gf est une force volumique dans le cas 3-D.

    1.1. Dformation

    Nous considrons Mxyz

    0

    0

    0

    0

    =RS|T|UV|W|

    un point dans la configuration de dpart et

    Mx dxy dyz dz

    0

    0 0

    0 0

    0 0

    ' =+++

    RS|T|

    UV|W|

    un point voisin. Suite au chargement il se transforme respectivement

    en Mx x uy y vz z w

    Mx x dxy y dyz z dz

    == += += +

    RS|T|

    UV|W|

    == += += +

    RS|T|

    UV|W|

    0

    0

    0

    et ''''

    . Ce qui donne sur un dessin la figure

    suivante :

    M'

    M0

    M0 '

    M

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

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    Si nous faisons une tude dans le cas 2-D, nous pouvons mettre en place la relation entre les dplacements et les dformations. Nous utilisons seulement des DL d'ordre 1.

    x x u x y

    u x dx y dy u x y ux

    x y dx uy

    x y dy

    x x dx dx x x ux

    x y dx uy

    x y dy

    dx ux

    x y dx uy

    x y dy

    = ++ + = + +

    + = + +

    = +FHGIKJ +

    0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0 01

    ,

    , , , ,

    , ,

    , ,

    b gb g b g b g b g

    b g b g b g b g b g

    b g b g

    Ce calcul peut tre effectu pour les autres composantes dy,dz , dans le cas 3-D, et crit sous la forme matricielle suivante :

    dXdxdydz

    Id dU dX Id

    ux

    uy

    uz

    vx

    vy

    vz

    wx

    wy

    wz x y

    dX

    z

    =F

    HGGI

    KJJ = + = +

    L

    N

    MMMMMMM

    O

    Q

    PPPPPPP

    F

    H

    GGGGGGG

    I

    K

    JJJJJJJ

    c h

    c h

    0

    0 0 0

    0

    , ,

    dU

    o

    grad U grad U

    grad U grad U

    T

    T

    = +FH IK

    = +

    =

    :

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    1212

    On montre alors que le tenseur des dformations H s'crit d'une faon gnrale :

    H = + FH IK +FH IK 12 Dans le cadre des petites perturbations (faible rotation, faible dplacement), il suffit de prendre la partie linaire de H.

    H = Le tenseur des dformations est symtrique par construction, il est dfini positif et donc il a des valeurs propres relles. Ces directions principales sont orthogonales. On les dtermine l'aide d'un cercle de Mohr et des mesures obtenues sur une rosette 45.

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

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    1.2. Contraintes

    Les contraintes n'ont de sens que par rapport une facette que l'on oriente par sa normale. Si on prend comme lment de volume un paralllpipde

    xy

    zn

    xxxzxy G est la contrainte dans le solide sur la facette de normal Gn. Dans le cas o le vecteur

    normal est colinaire un vecteur de base, on a:

    ij o i correspond la direction de la normal et j la composante dans le plan de la facette.

    1.2.1. Invariant du tenseur des contraintes

    Nous pouvons dfinir un certain nombre d'invariant sur une matrice et donc sur le tenseur des contraintes. Les trois premiers invariants sont :

    J

    J J

    J

    Tr ii

    Tr

    Det

    1

    2 1

    3

    11 22 33

    12

    2 2

    1 2 3

    = =

    = FHGIKJ

    = =

    + + =+

    ( )

    ij est un tenseur symtrique dfini positif et donc ses valeurs propres sont relles, notes : 1 2 3, , . Il est facile de montrer que les directions principales sont orthogonales.

    On dfinit galement la contrainte normale Gn et tangentielle G t .

    t

    n

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    On dfinit galement le tenseur des contraintes comme la somme de deux tenseurs : le tenseur sphrique, dont la forme correspond celle du tenseur des contraintes pour une pression hydrostatique, et le dviateur des contraintes.

    = + = +

    =

    L

    N

    MMMMMM

    O

    Q

    PPPPPP

    =

    =

    JI d sp d

    sp

    J

    J

    J

    d

    13

    1

    1

    1

    3

    3

    3

    3

    Tenseur de pression hydrostatique

    Partie deviatorique du tenseur des contraintes, qui correspond

    la cission du matriau

    Il est facile de montrer que si d Jn t= = =0 3 01 / et 1.3. Les relations de compatibilit.

    Quand on connat les dplacements il est simple de dterminer les dformations, mais le Pb inverse n'est pas aussi simple : 3 composantes pour le dplacement et 6 composantes pour le tenseur des dformations. On a donc 6 inconnues et trois quations : le problme n'a pas de solution unique. Cela est d au mouvement de corps solide : Rotation d'ensemble, translation (Mcanique des milieux indformables). Il existe des relations de compatibilit pour soulever ces indterminations qui sont :

    2

    2 2 22

    eiij k i

    ei

    ej

    ek

    eiji j

    eiii i

    ejjj j

    jk ik ji= + +FHGIKJ

    = +FHGIKJ

    R

    S||

    T||

    Ces formules sont donnes sans sommation de l'indice rpt.

    1.4. Loi de comportement - Loi de Hook

    La loi de comportement relie le tenseur des dformations au tenseur des contraintes. A chaque catgorie de matriau correspond un type de loi. Nous allons ici nous intresser seulement au matriau lastique linaire et donc la loi de Hook :

    =LNMOQP L

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    [L] est un tenseur d'ordre 4, mais comme les tenseurs des dformations et des contraintes sont symtriques, il est possible d'assimiler [L] une matrice [6,6] en utilisant une reprsentation vectorielle des champs de dformations et de contraintes. De plus dans le cas d'un processus adiabatique et isotherme rversible, on a :

    =

    = = = =

    12

    2 2

    L

    L L

    ijkl ij kl

    ijij

    ij klijkl

    kl ijklij

    d i

    est la densit d'nergie de dformation interne. Donc dans un cas gnral, il ne reste plus que 21 constantes diffrentes pour qualifier le comportement d'un matriau anisotrope.

    1.4.1. Matriau isotrope

    Aucune direction privilgie, matriau macroscopiquement homogne

    ex : Acier, inox, plastique ....

    Dfinition de la loi de Hook:

    ij ll ij ij= + 2 , sont les coefficients de Lam Maintenant nous allons tudier des cas simples de chargement pour mettre en vidence des coefficients ayant des sens physiques plus vidents.

    1.4.1.1. Cas compression uniforme

    Le solide est soumis un champ de pression surfacique et aucune force volumique.

    D

    F = -p n

    F = -p n

    D

    les quations d'quilibre locales donnent :

    ij j

    ijn j pni D

    , =RS|T| =0 sur D

    sur

    En introduisant la loi de Hook et = +12

    grad U grad U T( ) ( )

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    8

    Il est simple de montrer que ij p ij= est solution du problme. Calculons ii J= 1

    ii pp

    ii ii

    ii

    = = += +3 2

    32

    en introduisant ce rsultat dans la loi de Hook, on obtient :

    ijp

    ij ij= + +32

    2

    si i j

    si i j =

    ij ij

    ii sommation sur i

    = == = = +

    ( )

    0 0

    3 2 3iip p p

    Ksans

    Maintenant si nous calculons la variation relative de volume nous avons :

    V VV V

    u dv pKi iD

    = = z00 0

    1,

    La variation de volume pour une pression p est inversement proportionnelle K, qui est appel Module de rigidit la compression.

    Rq : Plus K augmente plus le matriau est peu compressible, et si K = le matriau est dit incompressible.

    1.4.1.2. Cas traction simple

    Considrons une poutre cylindrique de longueur L limite ses extrmits par deux surfaces i orthogonales l'axe de rvolution. Deux forces de traction opposes sont exerces sur la poutre chacune de ses extrmits.

    GFS

    F= , ,0 0b g . F est une force rpartie sur la surface i . Le matriau est suppos homogne isotrope, Il suit donc une loi de Hook.

    les quations d'quilibre locales donnent :

    ij j

    jn j F jn j jn j

    jn j F jn j jn j

    ijn j

    ,

    ,

    ,

    =R

    S||

    T||

    = == =

    =

    0

    1 2 2

    1 2 2

    0

    sur D

    =0 sur

    , =0 sur

    sur D-

    1

    0

    1 0m r

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    Il est simple de vrifier que la fonction 11 22 23 0= = = =F, ... est solution du Pb. En utilisant la loi de Hook on a :

    iiF

    F

    F

    = +

    = ++= = +

    RS||

    T||

    3 2

    3 2

    2 3 2

    11

    33 22

    b g

    b g

    En utilisant 11 = =FEl

    l , il est facile de montrer que le module d'lasticit ou module

    d'Young E est gal :

    E = ++

    3 2b g

    mais galement que :

    u X Fx cste

    u X Fx cste

    2 2

    3 3

    2 3 2

    2 3 2

    ( )

    ( )

    = + +

    = + +

    b g

    b g

    en posant classiquement = = 11 22 33, on en dduit que le coefficient de Poisson est :

    = +2b g

    Nous pouvons rcapituler ces quantits dans un tableau :

    = += + = =

    =

    E

    E G

    K E

    1 2 1

    2 1

    1 2

    b gb g

    b g

    b g

    Module de cisaillement

    o < 12

    (cas isotrope)

    En inversant la loi de Hook, et en introduisant les relations prcdentes on obtient :

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    10

    ij ij kk ijE E=+ 1

    ex : Expliciter les matrices de comportement en contrainte et en dformation plane.

    1.4.2. Matriau orthotrope

    Dfinition :

    Un matriau est dit orthotrope s'il a deux plans de symtrie de comportement mcanique, il y a donc trois axes d'orthotropies. Dans ce cas il y 9 constantes

    mcanique pour dfinir la loi de comportement.

    xxyy

    zz

    xy

    xz

    yz

    x

    xy

    y

    xz

    z

    xy

    y

    y

    yz

    z

    xz

    z

    yz

    z

    z

    xy

    xz

    yz

    xx

    yy

    zz

    xy

    xz

    yz

    E

    E

    E

    E

    E

    E

    E

    E

    EG

    G

    G

    2

    22

    1

    000

    1

    000

    1

    000

    000

    1

    00

    0000

    1

    00

    000000

    1

    L

    N

    MMMMMMMM

    O

    Q

    PPPPPPPP

    =

    L

    N

    MMMMMMMMMMMMMMM

    O

    Q

    PPPPPPPPPPPPPPP

    L

    N

    MMMMMMMM

    O

    Q

    PPPPPPPP

    exemple : Matriau composite (assemblage de pli 0-90)

    Isotrope transverse :

    C'est un orthotrope mais avec une seule direction diffrente. C'est donc la mme loi de

    comportement mais E EG Ey z xz xy xz

    yz

    y= = = +; ; 1 2 1d i

    exemple : Matriau composite (pli unidirectionnel 0), bois .......

    2. METHODE ENERGETIQUE EN ELASTICITE

    Pour effectuer un calcul de structure, il est ncessaire de connatre :

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    11

    *l'expression des quations d'quilibre et les efforts appliqus*les conditions aux limites*la loi de comportement

    RS|T|

    (1)

    Les diffrentes formulations nergtiques permettent de faire une synthse de ces trois lments constitutifs d'un problme de structure, et ainsi d'obtenir une formulation plus compacte et donc facile discrtiser. Ce sont ces formulations qui sont la base des mthodes par lments finis.

    2.1. Rappelle du thorme des puissances virtuelles

    Soit D le domaine 3-D,Gf les forces de volume,

    GF les forces de surface

    F

    f

    d uu =

    D

    sur Du

    sur Df

    Les champs virtuels vrifiant u x Du e j = 0 x sont dit cinmatiquement

    admissible 0, not C.A.{0}

    Les champs virtuels vrifiant u x Du e j = u xd sont dit cinmatiquement

    admissible, not C.A.

    Principe des Puissances Virtuelles :

    + =

    u x C A

    P u x P u x P u xext acc

    *

    int* * *

    ( ) . .

    ( ( )) ( ( )) ( ( ))

    0l q

    o

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    12

    P u x tr x x d

    P u x f x u x d F x u x dS

    P u x d u xd t

    u x d

    D

    extD D

    accD

    F

    int* *

    * * *

    **

    *

    ( ( )) ( ( ). ( ))

    ( ( )) ( ). ( ) ( ). ( )

    ( ( )) ( ( ( ))( )

    ) ( )

    =

    = +

    =

    zz z

    z

    2

    2

    Dans le cas particulier de la statique il s'crit :

    + =

    u x C A

    P u x P u xext

    *

    int* *

    ( ) . .

    ( ( )) ( ( ))

    0

    0

    l q (3)

    C'est partir de ce rsultat et en introduisant la loi de comportement du matriau que l'on obtient la formulation variationnelle d'un problme d'lasticit.

    2.2. Les diffrentes formulations

    Dans ce chapitre nous allons tudier le cas d'un problme d'lasticit isotherme statique.

    2.2.1. Formulation P.P.V.

    Nous allons dfinir les diffrentes relations permettant d'crire un problme complet d'lasticit isotherme statique .

    La loi de comportement :

    ij ijkl kl

    ij ijkl kl

    M M

    L L

    = =

    = =

    not

    ou not

    .

    .

    Les tenseurs L et M, ont des proprits de symtrie.

    Les conditions aux limites :

    u x u x x DF x F x x D

    d u

    d F

    ( ) ( ), ( )( ) ( ), ( )

    = =

    RST

    En introduisant la loi de comportement (4) dans l'criture du P.P.V., on obtient :

    = + +z z z z

    u x C A

    tr L x x d f x u x d F x u x dS n u x dSD D D

    dDF u

    *

    * * * *

    ( ) . .

    ( . ( ). ( )) ( ). ( ) ( ). ( ) . . ( ) b g

    .Gnb g sont les ractions inconnues le long de la surface, ou du bord , ayant un dplacement impos. Aussi pour liminer ces inconnues nous allons choisir un champ

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    13

    de dplacement virtuel cinmatiquement admissible zro.. En prenant un tel champ il est possible de rcrire la puissance virtuelle des efforts extrieurs, qui dans ce cas est rduite la puissance des efforts donns :

    = = +z z

    u x c a

    P u x P u x f x u x d F x u x dSext donnD D F

    *

    * * * *

    ( ) .

    ( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( )

    0l qe j e j

    Il est possible de montrer que tr L x x dD

    ( . ( ). ( ))* z est une forme bilinaire symtrique en u(x) et u*(x). Dsormais, nous noterons cette forme bilinaire par K(u,u*). Donc tout problme d'lasticit isotherme en petite dformation (indpendance du domaine envers u(x)) qui peut s'crire Pb(I):

    Pb I

    div f ut

    Lu x uF x u

    d

    d

    ( )

    ( )

    ( )( )

    + = =

    ===

    R

    S|||

    T|||

    2

    2 0 ( en statique )

    sur D sur D

    u

    F

    admet la formulation du principe des puissances virtuelles quivalente suivante :

    Formulation 1

    u x C A

    k u u Pdonn u u C A

    ( ) .

    ( , *) ( *) * .

    = 0l q (9)

    o :

    k u u tr L x x d

    P uD

    donn

    ( , ) ( . ( ). ( ))

    ( )

    * *

    *

    =

    =

    z La puissance virtuelle des efforts donns

    La dmonstration de l'quivalence entre le Pb(I) et la FV1 sera laisse la discrtion du lecteur!!!!!

    2.2.2. Energie Potentielle

    Dfinition :

    L'nergie de dformation par unit de masse ou densit d'nergie de dformation, note () , est une fonction telle que la loi de comportement s'crive :

    = = L

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    14

    * Le tenseur des contraintes drive d'un potentiel, (). * = =ij ij tr ( . ).

    Dterminons () : = = =ij ij ijkl kl ij ijkl ij klL L Nous faisons apparatre ici seulement la partie due un chargement mcanique car nous sommes dans un isotherme. Dans un cadre plus gnral il est facile de montrer qu'il s'crit de la faon suivante :

    = = =

    ij ij ijkl kl ij ijkl klth

    ij

    ijkl ij kl

    Mcanique

    ijth

    ij

    Thermique

    L L

    L

    Calculons :

    12

    12

    12

    L L L

    Ldonc

    L

    ijkl ij kl ijkl ij kl ijkl ij kl

    ijkl ij kl ijth

    ij

    ijkl ij kl ijth

    ij

    FHG

    IKJ = +

    = = +

    =

    d i

    b g

    Proposition 1 :

    i u W u W u u d

    ii dudt

    ddt

    W u

    iii

    D) ( ) ( )

    ) ( )

    )

    P avec

    P

    Dans un cycle u(x, t1) = u(x, t2) le travail des efforts intrieurs est nul

    int

    int

    b g b gc h= =

    FHGIKJ =

    R

    S

    |||

    T

    |||

    z

    Dfinition de l'nergie potentielle :

    On appelle nergie potentielle la fonctionnelle suivante : d du W u P u( ) ( ) ( )=

    Formulation 2

    u x C A u

    u P PVd

    d

    ( ) .

    ( ) .

    = l q

    b g 0

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    15

    Le champ de dplacement qui vrifie la formulation 2 est solution du Pb(I). La dmonstration de cette proposition est faire l'aide du travail virtuel des efforts donns.

    Rq: Cette formulation est trs adapte aux mthodes de discrtisation de type Gallerkine ou Ritz. Elle est gnralement le support pour la mthode par lment finis.

    2.2.3. Energie Potentielle complmentaire

    Nous rappelons que le problme complet s'crit de la faon suivante :

    Pb I

    div f u

    t

    M th

    u x udn Fd

    ( )

    ( )

    ( ).

    + = =

    = +=

    =

    R

    S|||

    T|||

    2

    2 0 ( en statique )

    sur Du sur DF

    Dfinition :

    * L'ensemble des champs de contraintes statiquement admissible not S.A. est dfini par :

    S A f Fd div f x D n Fd x. .( , ) / , .= + = = 0 DFl q Dfinition :

    L'nergie de dformation par unit de masse ou densit d'nergie de dformation, note wc() , est une fonction telle que la loi de comportement (4) s'crive dans le cas isotherme:

    = =c M

    * Le tenseur des contraintes drive d'un potentiel ,wc() * c ij ij tr= = ( . )

    Dterminons wc() : c ij ij Mijkl kl ij Mijkl ij kl= = =

    Nous faisons apparatre ici seulement la partie due un chargement mcanique car nous sommes dans un cadre isotherme. Dans un cadre plus gnral il est facile de montrer qu'elle s'crit de la faon suivante :

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    16

    c ij ij Mijkl kl ij Mijkl klth

    ij

    Mijkl ij kl

    Mcaniqueijth

    ij

    Thermique

    = = =

    Calculons :

    12

    12

    12

    Mijkl ij kl Mijkl ij kl Mijkl ij kl

    Mijkl ij kl ijth

    ij

    donc

    c Mijkl ij kl ijth

    ij

    FHG

    IKJ = +

    = = +

    =

    e j

    b g

    Dfinition de l'nergei potentielle complmentaire :

    * L'nergie de dformation complmentaire est dfinie par :

    * potentielle complmentaire est dfinie par :

    ( .n).uc d

    W d

    L nergie

    W ds

    c cD

    cD u

    ( )

    '

    ( )

    =

    =

    z

    z

    b g

    b g

    Thorme :

    Toute solution du problme initial ralise un minimum de l'nergie potentiel complmentaire sur l'ensemble des champs statiquement admissibles. Cette solution est unique.

    Dmonstration

    tape 1:

    On multiplie la loi de comportement par ijqui est un champ statiquement admissible S.A.(0,0) et on intgre.

    ij ij dD

    c

    ijij

    Dc

    wd W z z= =

    Soit un tenseur de contrainte ' lui aussi S.A.(0,0) et champ de dplacement rel u(x) correspondant au champ de contrainte rel. On a alors :

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    17

    P u P u

    n u ds d

    w d n u ds S A

    ext

    d ij ijDD

    c ij ijD

    d cD

    u

    u

    ' ( ) ' ( )

    '. . '

    . . . .

    int+ = =

    = = =

    zz

    z z

    0

    0

    0

    b g

    b gOn prend '= :

    Etape 2:

    L dfinie positif M dfinie positif

    = +

    z

    0 012

    M

    M dcD

    c

    b g

    b g

    termes lineaires en

    est strictement convexe.

    L'extremum est un minimum et il est unique.

    Formulation 2

    ( ) . ,

    ( ) .

    x S A f F

    P PVd d

    c

    = l q

    b g 0

    Rq: La discrtisation partir de cette formulation par la mthode de Gallerkine ou Ritz est possible mais dans un cas gnral impossible mettre en oeuvre. Car il faut identifier des champs de contrainte statiquement admissible. Il y a cependant deux exceptions notables :

    * Les modles une dimension o l'ensemble des S.A. est de dimension finie gale au degr d'hyperstaticit.

    * L'lasticit plane sans chargement volumique.

    2.2.4. Formulation mixte

    Les mthodes en dplacement sont prcises pour trouver u(x), mais moins prcises pour trouver les contraintes. Les mthodes en contraintes sont trs sduisantes car prcises en contrainte donc en dplacement, mais elles sont quasiment impossible mettre en oeuvre. D'o l'ide de mettre en place une fonctionnelle en (u,), pour cela il suffit d'introduire des multiplicateurs de Lagrange.

    On rappelle que le problme :

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    18

    f u g u

    f u g ucar

    f u g u f u g u g uet

    f u g ug u

    i

    i i

    i i i i i i

    i i

    i

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )( )

    = =

    =

    = =

    ==

    RST

    0 0

    0

    0

    00

    avec n contraintes est quivalent :

    donc :

    b g

    b g

    Avantage : on n'a plus imposer les conditions gi(u)=0, elles deviennent des consquences de f u( ) = 0 Inconvnient : Nous avons introduit des variables supplmentaires . On dit alors que l'on a relax les conditions.

    Pour mettre en vidence la fonctionnelle de Elinger-Reisner, il faut partir du thorme de l'nergie complmentaire.

    c dd d

    S A f FS A f F div f x D n F x

    ( ) . .( , ). .( , ) / , .

    = = + = =

    00

    DFl q

    Pour relaxer la condition div f+ = 0 , on introduit un multiplicateur u(x) dfini sur D et la fonctionnelle devient :

    L u u x div f dc

    D , ( )b g b g b g= + +z

    La deuxime intgrale tant mal commode pour une discrtisation, si u est linaire continue par morceau alors est constante par morceau et donc div( ) n'est pas dfinie. Nous allons donc faire une intgration par partie du second terme.

    u x div d tr d u n ds

    tr d u n ds u n dsD D D

    D D DF u

    ( ) ( . )

    ( . ) ( . )

    b g b g

    b gz z z

    z z z=

    = + +

    +

    u x div d tr d u n ds u F dsD D D

    dDu F

    ( ) ( . ) . b g b gz z z z= + + d'o :

    L u u x f d tr d u n ds u F dscD D D

    dDu F

    , ( ) ( . ) .b g b g b g b g= + + +z z z z

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    19

    O l'nergie potentiel complmentaire est dfinie par :

    ( .n).uc d b g b g= z zcD D

    x d dsu

    Si on calcule L u,b g = = = =0 avec u 0, v 0 et 0 , on obtient la loi de comportement du matriau :

    = =c M

    Le multiplicateur de Lagrange peut donc s'identifier au dplacement. De mme en faisant varier sur le bord de D, on obtient : =x D u x uu d, ( ) (x) Cette condition est facile raliser, elle correspond la condition des cinmatiquement admissibles. Nous pouvons donc crire la fonctionnelle mixte, L(u,), pour les champs cinmatiquement admissible :

    = = = + +

    = +

    z z zz

    u x C A u x u x u x D

    L u u x f d u F ds tr d

    L u P tr d

    d u

    cD

    dD D

    c dD

    F

    b g b g b gm rb g b g b g b g

    b g b g b g b g

    . . /

    , ( ) .

    ,

    u

    Formulation 3 :

    ( , ) , . . . . ( ) , . . ( ) . .L u u C A P P V u C A S Ad cb g = = = 0 0 0 Rq : La discrtisation l'aide de cette formulation est possible avec Gallerkine ou Ritz. Elle entrane l'utilisation des lments mixtes pour la mthode lments finis.

    3. PRINCIPE DE DISCRETISATION

    Les diffrentes formulations ont abouti des formulations variationnelles compactes mais continues. Le principe des lments finis tant de rsoudre un problme discrtis nous allons maintenant introduire des mthodes de discrtisation dans les diffrentes formulations.

    3.1. GALLERKINE

    La mthode de Gallerkine est adapte la formulation variationnelle dcoulant du P.P.V.

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    20

    Objectif : On se donne n fonctions de base {Pi(x)} appartenant au cinmatiquement admissible zro et on cherche la solution du Pb(I) comme une combinaison linaire de ces fonctions, dans le cas o il existe des dplacements imposs on rajoute une fonction les ralisant.

    u x QiPi xi

    nud x C A

    u x Pi x C A

    ( ) ( ) ( )

    *( ) ( )

    ==

    +

    =

    1

    0

    . .

    . .l q

    Le problme d'lasticit isotherme tant Pb(I) tant quivalent la formulation variationnelle Fv(I), il suffit d'introduire ces notations dans l'criture de (9) et nous obtenons alors :

    k u x P x P P xi donn i( ( ), ( )) ( ( ))= Il suffit alors de faire varier i de 1 n . Nous obtenons alors un systme linaire de n quations n inconnues. Ce systme peut s'crire sous forme matricielle :

    K Q Fo

    K K k P P

    Q

    F F f P k u P

    F f P tr P d k u P

    ij i j

    i i d i

    i ith

    i d i

    =

    =

    = = + z

    :

    est la matrice de rigidit

    est le vecteur des inconnues

    est le vecteur force

    o dans un cas plus gnral

    ,

    , ,

    , ( . ( )) ,

    d i

    b gb g

    La matrice K est symtrique. L'quation mis sous sa forme matricielle correspond la forme gnrale d'un problme discrtis. En effet, nous sommes pass d'un problme continu un problme discrtis, de l'tude u(x,y,z) l'tude de n inconnues Qi .

    3.2. RITZ

    3.2.1. Formulation en dplacement :

    Il suffit d'introduire dans l'criture de l'nergie potentielle la mme discrtisation que celle utilise dans la mthode de Gallerkine. Pour obtenir les quations il suffit de calculer la variation de l'nergie potentielle :

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    21

    u x Q P x u x C A

    u x Q P x C A

    k u x u x P u x

    k u x u x P u x

    k u x u x k u x u x P u x

    k Q P x

    i ii

    n

    d

    i ii

    n

    p don

    p don

    don

    i ii

    n

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    ,

    ,

    , ,

    ( )

    = +

    =

    =

    = FHGIKJ

    = +

    =

    =

    =

    =

    1

    1

    1

    0

    12

    12

    12

    12

    12

    . .

    . .

    l q

    b g b gc h b gc h

    d i b g b gc h b gc h

    b g b gc h b g b gc h b gc h

    , , ( ) ( )

    ( ) ( ), ( ) ( )

    ( ), ( ) ( ),

    u x k u x Q P x P Q P x

    k Q P x u x Q P x P Q P x

    k Q P x Q P x k u x Q P

    i ii

    n

    don i ii

    n

    i ii

    n

    d i ii

    n

    don i ii

    n

    i ii

    n

    i ii

    n

    d i i

    b g b gFHGIKJ +FHG

    IKJ FHG

    IKJ

    = +FHGIKJ FHG

    IKJ

    = FHGIKJ +

    = =

    = = =

    = =

    12 1 1

    1 1 1

    1 1

    comme k(u,u) est une forme biliaire symtrique

    ( ) ( )x P Q P x

    Q K Q Q F Q

    K Q F

    i

    n

    don i ii

    n

    = = FHG IKJ FHG IKJ

    = =

    =

    1 1

    0

    que l'on peux crire sous forme matricielle en utilisant les notation prcedentes

    et donc

    Ce qui revient crire les diffrentes quations suivantes

    p

    iQ= 0

    3.2.2. Formulation en Contrainte :

    Il suffit de faire la mme chose que pour la formulation en dplacement mais avec l'nergie potentielle complmentaire et une discrtisation sur le champ de contrainte. Il faut donc prendre des fonctions de base qui soient S.A. (c'est l que les athniens s'atteignirent).

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    22

    3.2.3. Formulation Mixte :

    Il suffit de faire la mme chose que pour la formulation en dplacement mais avec la fonctionnelle de Ellinger-Reisner et une discrtisation sur le champ de contrainte et sur le champs de dplacement. Il faut donc introduire deux bases.

    4. Intgration numrique

    Il est clair que pour rsoudre le systme K Q F= , il y a des intgrations faire. Si on utilise un ordinateur pour dterminer les solutions du systme, il faut faire des intgrations numriques, car seuls les codes de calcul formel font des intgrations exactes. La grande majorit des codes E.F. n'utilisent pas le calcul formel. Nous allons voir ici deux mthodes d'intgrations numriques dans le cas 1-D. Nous allons nous intresser au problme suivant :

    Dterminer l'intgrale suivante : I f x dx=z ( )1

    1

    4.1. Mthode de Newton-Cotes

    Cette mthode utilise n points, xi,rpartis rgulirement sur [-1,1], avec des poids wi. Le Pb est de dterminer la position et la valeur des poids pour avoir une intgration exacte dans certain cas et donc :

    I f x dx w f xi ii

    = =z ( ) ( )1

    1

    Exemple:

    Prenons xi = -1et 1. Dterminons les poids.

    I ax b dx b w f w f

    w ww w

    w w

    = + = = +

    + = =RST = =z ( )1

    1

    1 2

    1 2

    1 21 2

    2 1 1

    20

    1

    b g b g

    Donc avec deux points -1,1 ayant des poids gaux 1, nous intgrons de faon exacte un polynme d'ordre 1. Mais que se passe-t-il avec un polynme d'ordre suprieur ?

    I ax bx c dx a c

    w f w f a c

    = + + = + + = +

    z ( )21

    1

    1 2

    23

    2

    1 1 2 2b g b g

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    23

    Il semble donc qu'avec deux points et la mthode de Newton-Cotes, on intgre seulement un polynme d'ordre 1. A titre d'exercice on peut dterminer les poids en prenant comme points -1, 0, 1.

    Rq : On montre que la mthode de Newton-Cotes intgre exactement un polynme d'ordre n-1 avec n points.

    4.2. Mthode de Gauss

    Le principe de la mthode reste le mme, mais il faut prendre les points de faon symtrique 0 et dans 1 1, . Prenons deux points x1, x2, ayant des poids respectifs w1, w2 et un polynme d'ordre 1

    I ax b dx b w f x w f x

    w wx w x wx x

    w wx x

    wx x

    = + = = +

    + =

    + ==

    RS|T|

    = ==

    RST== =

    RST

    z ( )1

    1

    1 1 2 2

    1 2

    1 1 2 2

    1 2

    1 2

    1 2

    1

    1 2

    2

    20

    1 20

    b g b g

    deux types de solutions

    ou

    Donc avec un seul point il est possible de dterminer l'intgration exacte d'un polynme d'ordre 1.

    Prenons maintenant un polynme d'ordre 3 et deux points :

    I ax bx cx d dx b d w f x w f x

    w ww w x

    x w w

    w w x

    w w

    x x

    = + + + = + = +

    + = =

    + = =

    R

    S|||

    T|||

    = =

    = =RS|T|

    z ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    3 2

    1

    1

    1 1 2 2

    1 2

    1 2 1

    12

    1 2

    1 2 13

    1 2

    1 2

    23

    2

    20230

    113

    b g b g

    On observe qu'avec seulement deux points on intgre exactement un polynme de degr 3

    Rq : On montre que la mthode de Gauss permet d'intgrer exactement un polynme d'ordre 2n-1 avec n points.

    Dans le cas des intgrales double et triple cela marche de la mme faon. Les domaines sont dans le cas 2-D :

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    24

    -1 1

    -1

    1

    0

    1

    1

    Les valeurs des points de gauss sont donnes par exemple dans "Volume 1 Modlisation des structures par lments finis. J.L. Batoz et G.Dhatt ".

    5. E.F. TECHNIQUE DE RESOLUTION

    5.1. Principes gnraux

    On dcoupe une structure en lment de forme donne : triangle, quadrilatre, ttradre ... Puis on cherche des solutions comme une C.L. de fonctions donnes sur chaque lment et non plus sur la structure complte comme Ritz ou Gallerkine. La mthode par lments finis correspond donc un mthode de Ritz ou Gallerkine par morceau. L'ensemble de tous les lments constitue le Maillage.

    Nous allons dvelopper ici dans un premier temps la mthode avec une formulation en dplacement dans le cas 1-D et 2-D en lasticit linaire isotherme.

    5.2. Matrices lmentaires

    5.2.1. Approximation des dplacements

    Nous prenons ici une interpolation linaire des dplacements sur chaque lment :

    u x y a a x a y

    v x y a a x a y

    Uu x y

    v x yx y

    x y

    aaaaaa

    ,

    ,

    ,

    ,

    b gb g

    b gb g

    = + += + +

    RS|T|

    = LNMM

    OQPP

    = LNMOQP

    L

    N

    MMMMMMM

    O

    Q

    PPPPPPP

    1 2 3

    4 5 6

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    10 0 0

    01

    0 0

    .

    (x,y) sont les cordonnes d'un point de l'lment considr. Nous pouvons le rcrire de la faon suivante :

    U P x y ae e= ( , )

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    25

    5.2.2. Approximation nodale

    L'approximation des dplacements partir uniquement des coefficients des polynmes d'interpolation n'a pas de sens physique vident. Aussi pour des raisons de comprhension, on exprime les dplacements sur un lment partir des dplacements de ces sommets, ou d'autre point de la figure, appel Noeud. Nous allons dvelopper un exemple avec un triangle trois noeuds.

    iU

    V

    i

    i

    k

    j jU

    kU Vj

    Vk

    Elment triangle trois noeuds

    Les dplacements, ou les inconnues, en chacun des noeuds sont appels variable nodale, ou degr de libert (ddl), not [Q]:

    Q q U U U V V Vi i j k i j k= =

    Nous pouvons relier ces ddl aux coefficients des polynmes d'interpolation

    q a a x a y

    Q

    x yx yx y

    x yx yx y

    a

    a

    i i

    t

    i i

    j j

    k k

    i i

    j j

    k k

    1 1 2 3

    1

    6

    1 0 0 01 0 0 01 0 0 00 0 0 10 0 0 10 0 0 1

    = + +

    =

    L

    N

    MMMMMMMM

    O

    Q

    PPPPPPPP

    L

    N

    MMMMMMM

    O

    Q

    PPPPPPP

    et donc

    not : t n nQ P a P= o est la matrice nodale en introduisant cette notation dans l'interpolation des dplacements, nous obtenons :

    U P x y P Q

    N x y QNNy

    Q N x y

    e nt

    e

    te

    x te

    =

    = LNMOQP

    ( , )

    ( , ) ( , )

    1

    = o est la matrice

    d ' interpolation ou fonction de forme

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    26

    5.2.3. Approximation des dformations

    Dans un cadre de petites perturbations, nous avons dfini les dformations en fonction des dplacements. Il suffit d'appliquer correctement les formules prcdentes pour obtenir l'criture matricielle qui d'coule de la discrtisation. Pour des raisons de simplification d'criture nous allons tudier un cas 2-D de dformation plane :

    = =

    +FHGIKJ

    L

    N

    MMMMMMMM

    O

    Q

    PPPPPPPP

    ( )x y

    u x yx

    v x yyu x y

    yv x y

    x

    ,

    ,

    ,

    , ,

    b g

    b g

    b g b g12

    =

    +FHGIKJ

    L

    N

    MMMMMMMM

    O

    Q

    PPPPPPPP

    =

    L

    N

    MMMMMM

    O

    Q

    PPPPPP

    L

    N

    MMMMMMMMMM

    O

    Q

    PPPPPPPPPP

    =L

    N

    MM

    u x yx

    v x yyu x y

    yv x y

    x

    u x yx

    u x yy

    v x yx

    v x yy

    C

    NN

    N

    N

    x x

    x y

    y x

    y y

    ,

    ,

    , ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    b g

    b g

    b g b g

    b g

    b g

    b g

    b g12

    1 0 0 0

    0 0 0 1

    0 12

    12

    0

    MMM

    O

    Q

    PPPPP=t e e t eQ B Q

    Rq : Dans le cas d'une interpolation linaire des dplacements la matrice [B] est constante sur l'lment.

    5.2.4. Approximation de l'nergie potentielle sur un lment

    Nous nous plaons dans le cas de l'lasticit en dformation plane, isotrope et sans force de volume, dans ce cas l'nergie potentielle s'crit :

    dD

    W u

    dD

    u L d F udsF

    ( )

    ( )

    = z z12 Energie de def

    P ( u)Travail des efforts don

    d

    Nous pouvons crire la loi de comportement sous forme matricielle :

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    27

    e e

    D D= o est la matrice de comportement

    On dtermine la matrice [D] partir de la loi de Hook dans le cas lastique isotrope linaire.

    Nous allons maintenant expliciter l'nergie de dformation sur un lment :

    W L dt

    e ed

    te

    De

    d t Q et

    e D B e Q d

    t Q et

    e D B e d Qt Q e e

    Q

    e ee

    ee

    ee

    e ee

    ee

    e eK

    = =

    = =

    = =

    z zz zz

    12

    12

    12

    12

    12

    12

    B

    B

    o K est la matrice de rigidit lmentaire.

    W t Q e eQe eK=

    12

    Rq : Dans le cas des interpolations linaires l'nergie de dformation lmentaire est directement proportionnelle la surface de l'lment considr.

    Si l'lment n'est pas en contact avec la frontire alors le travail lmentaire des efforts donns est nul ( nous avons ici un chargement surfacique), sinon il s'crit :

    P (u)

    F ,Q F

    not F ,Q

    de

    d d

    de

    e e

    = =

    = = =

    z zz

    F uds F x y U ds

    F x y N ds Q Q

    d ee

    td e e

    et

    d ee

    et

    e

    ( , )

    ( , ) .

    [Q]e ne faisant intervenir ici que les variables nodales en contact avec DF.

    L'nergie potentielle lmentaire peut donc s'crire :

    de et Q e e QK= F ,Qd e12

    5.2.5. Proprits de la matrice de rigidit lmentaire

    Proprits:

    K

    Ke

    e

    est symtrique positive

    a trois Valeurs propres nulles et trois positives

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    28

    Ke

    tant dfinie partir de l'nergie de dformation interne lmentaire, qui est une

    forme bilinaire positive, cela implique que Ke

    est symtrique positive.

    W d Le eDe

    = = = =z 12 0 0 0

    Ces dformations nergie nulle sont les mouvements de corps rigide. Il est facile de voir partir de la dfinition de la dformation en petite perturbation et dans un cas de dformation plane la formel de ces dplacements

    e

    uxvyuy

    vx

    u x y a yv x y b x

    e

    =

    +

    R

    S

    |||

    T

    |||

    = = = +RST0 0

    ( , )( , )

    Ces dplacements rigides par lments sont inclus dans l'approximation linaire des

    dplacements, et donc l'ensemble Q W t Q e eQe e eK/ = =RST

    UVW 12

    0 est de

    dimension exactement trois. Donc il y a trois valeurs propres nulles et trois positive car We est positive.

    5.3. Matrices globales

    On appelle matrice globale la matrice correspondant l'assemblage de toutes les matrices lmentaires, aussi bien de rigidit que des efforts appliqus.

    5.3.1. Assemblage matrice de rigidit

    L'nergie de dformation totale de la structure est gale la somme de toutes les nergies de dformation lmentaires. Ce qui s'crit sous forme matricielle :

    W W t Q e eQ t Q

    tQe

    ee

    eK K= = 12

    12

    =

    Kt : est la matrice de rigidit globale.

    [Q] : est le vecteur contenant tous les ddl du problme

    Exemple d'assemblage pour une structure simple :

    Prenons une structure compose de deux lments barres ayant 1ddl ui par noeuds :

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    29

    1 2 3

    u1 u u2 3

    1 2F2 F3

    L'nergie de dformation lmentaire la forme suivante :

    W Q K Qet

    e e e=12

    o :

    Kk k

    k kQ

    uu1

    111

    121

    211

    221 1

    1

    2= LNMM

    OQPP =

    LNMOQP et

    et

    Kk k

    k kQ

    uu2

    112

    122

    212

    222 2

    2

    3= LNMM

    OQPP =

    LNMOQP et

    Pour obtenir la matrice de rigidit globale, il suffit d'assembler ces deux matrices de la faon suivante :

    K

    k k

    k k k k

    k k

    Quuu

    t = +L

    N

    MMMM

    O

    Q

    PPPP=L

    NMMO

    QPP

    111

    121

    211

    221

    112

    122

    212

    222

    1

    23

    0

    0

    et

    De part la mthode d'assemblage la matrice K conserve sa symtrie et est strictement dfinie positive s'il n'existe pas de dplacements rigides.

    5.3.2. Assemblage du vecteur des forces appliques

    Dans le cas o il n'existe pas de force volumique, nous avons montr que le travail des efforts appliqus, qui est une fonction linaire en [Q]e, s'crit :

    F ,Q Fd de e=t

    eQ.

    Il suffit d'assembler les matrices correspondantes. Dans l'exemple que nous tratons avec deux lments cela donne :

    F Q Q F

    Quuu

    F FF

    tt

    t

    t

    , =

    =L

    NMMM

    O

    QPPP

    =L

    NMMM

    O

    QPPP

    1

    2

    3

    0

    2

    3

    et

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    30

    5.3.3. Variation de l'nergie potentielle

    Nous venons de dcrire les diffrentes matrices ncessaire l'criture de l'nergie potentielle. Nous calculer maintenant la variation de l'nergie potentielle totale, qui nous donnera la solution du Pb(I) :

    u x C A u ud d( ) . / ( ) =l q b g 0 est solution du problme l'nergie potentielle total est donne par :

    d tt Q t QK= F ,Q12

    d t

    t

    t Qt

    Q

    tt

    Q t Qt

    tt

    tt

    Q t Qt

    tt

    tt

    Qt t

    tQ

    tt

    tt

    Qt

    t

    tt t

    t

    K

    Q K K Q Q F

    Q K K Q Q F

    Q K Q K Q F

    Q K Q F

    Q K Q F Q C A

    b g

    e j d i e je j d i e je j e j e je j e je jd i e j b g

    = FHGIKJ

    +

    + FH IK

    +

    ==== =

    12

    12

    12

    12

    12

    12

    12

    0 0

    F ,Q

    =

    .

    Nous obtenons donc le systme linaire suivant rsoudre :

    K t Q F t= C'est ce systme que rsout un code de calcul d'lments finis dans le cas de l'lasticit linaire. Donc en optimisant le maillage, vous rduisez la taille du systme rsoudre et donc vous gagnez du temps calcul !!!!.Mais avant de lancer votre calcul il faut introduire les conditions aux limites qui auront pour objet d'liminer les mouvements de corps rigide. Si vous ne bloquez pas suffisamment de ddl le systme n'a pas de solution unique et le calcul plante.

    5.3.4. Prise en compte des conditions aux limites.

    Nous prsentons ici les diffrents mthodes de prise en compte des condition aux limites en dplacements.

    5.3.4.1. Mthode brutale

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    31

    C'est la mthode la plus simple sur le plan de la conception mais la plus complexe mettre en oeuvre numriquement. Nous allons imposer qi =qd qui est le ime ddl ( qd peut tre nul). Avant la prise en compte des C.L. le systme s'crit :

    K t Q F t= Nous allons introduire qi =qd dans l'criture matricielle :

    K t

    K

    k k i k i k n

    k i k i i k i i k i nkii

    k i k i i k i i k i n

    kn kn i kn i knn

    = kij t devient :

    =

    11 1 1 0 1 1 1

    1 1 1 1 0 1 1 10 0 0 0

    1 1 1 1 0 1 1 1

    1 1 0 1

    # % # # # #

    # # # # % #

    +

    +

    + + + + +

    +

    ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( )

    L

    N

    MMMMMM

    O

    Q

    PPPPPP

    F t

    F

    f

    f ifi kii qd

    f i

    fn

    = fi t devient :

    =

    1

    1

    1

    #

    #

    =

    +

    ( )( )

    L

    N

    MMMMMM

    O

    Q

    PPPPPP

    *

    Il faut donc, pour appliquer cette mthode, modifier la matrice de rigidit sur toute une colonne et toute une ligne, en les remplissants de zro et la ime coordonne du second membre. Cette mthode ncessite (n-1)2.+1 oprations et pour consquence d'augmenter considrablement la largeur de bande de la matrice. Cela rduit la performance des algorithmes de rsolution des systmes linaires. Cette mthode n'est pas utilise dans la pratique.

    5.3.4.2. Mthode de pnalisation

    Cette mthode est base en gros sur le mme principe mais, plutt que de trouver un solution exacte on va prendre une solution approche de trs bonne prcision. Il suffit de pnaliser le coefficient kii par un terme trs grand devant ceux de la matrice de rigidit et d'ajouter la ime cordonne du second membre un terme:

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    32

    K t F t

    Kk k n

    kiikn knn

    F

    f

    f ifi qd

    f i

    fn

    o kij

    k k

    k

    = kij t devient : = fi t devient

    = =

    :

    11 1

    1

    1

    1

    1

    1010

    "# #

    "

    #

    #

    +

    ++

    LNMM

    OQPP

    ( )( )

    L

    N

    MMMMMM

    O

    Q

    PPPPPP=

    *

    * maxb g Avec cette mthode on obtient :

    q qkii

    kilkii kii q

    qi dqq d

    kk k

    fik

    l

    d= + + + +

    F

    H

    GGG

    I

    K

    JJJ +

    l prive de i e je j1

    Cette mthode est plus efficace que la mthode brutale, car elle comporte uniquement deux changements dans les matrices et ne modifie pas la largeur de bande. Cette mthode est souvent utilise dans les codes de calcul.

    5.3.4.3. Mthode Lagrangienne

    Cette mthode est la plus lgante car elle consiste relaxer les conditions aux limites et introduire de nouvelles variables. Supposons que nous avons r conditions aux limites et n d.d.l. Ces relations peuvent s'crire sous forme matricielle de la faon suivante :

    R Q Sr n =

    Il faut donc introduire r multiplicateur de Lagrange, que l'on crit sous forme vectoriel :

    tr LNM OQP = 1

    Nous avons donc n+r inconnues dans le nouveau problme qui s'crit sous la forme :.

    Fvt

    Qt

    Qt

    R Q SK t r n= + FH IK F ,Q

    12

    qui en calculant la variation de la fonctionnelle devient :

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    33

    FVt

    Qt

    Qt

    R Q S

    tQ K

    tQ F

    t

    tR

    r nQ

    tR Q

    tS

    K t r n

    r n

    e j

    e j e j

    c h

    = + FH IKFHGG

    IKJJ

    =

    FHIK +

    FHGIKJ

    + FHGIKJ

    12

    F ,Q

    = FHIK +

    FHGIKJ

    + FHGIKJ

    = FHGIKJFHGIKJ

    tQ K

    tQ F

    t

    tR

    r nQ

    t Q Rt

    S

    t t

    t

    r n

    Q C A

    e j e j

    c h

    e j0 0 , .

    Kt

    R

    R

    Q FS

    Q C At tLNM

    OQPLNMOQP

    LNMOQPLNMOQP

    L

    N

    MMMM

    O

    Q

    PPPP

    LNMMOQPPLNMMOQPP= FHG

    IKJFHGIKJ0

    0 0 , . e j

    L'inconvnient principal est d'avoir introduit des inconnues supplmentaires. Montrons sur un exemple simple la mise en pla ce de cette mthode.

    Exemple :

    1 2

    u1 u2

    1 F2ud=

    Dans cet exemple simple cela donne:

    [R]=[1 0], K k kk k

    uu

    = LNMM

    OQPP

    = LNMMOQPP

    = LNMMOQPP

    , Q , F 0F2

    1

    2, [S]=ud

    et donc le systme rsoudre est :

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    34

    k kk k

    uu

    ud

    L

    N

    MMM

    O

    Q

    PPP

    L

    N

    MMM

    O

    Q

    PPP

    L

    N

    MMM

    O

    Q

    PPP

    10

    1 0 0

    1

    2

    =0F2

    Dans ce cas le multiplicateur de Lagrange que nous avons introduit correspond la force de raction en 1.

    5.4. Approximation conforme

    Pb : A quelles conditions peut on affirmer que :

    dt eelt

    t eelt

    W W= = ou

    Considrons le cas 1-D pour y voir plus claire . L'nergie de dformation d'une poutre en flexion est :

    W EI v x dx M x v x dx

    M x v x M x v x M x v x dx

    flx

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    = =

    = + F

    HGG

    I

    KJJ

    z z

    z2

    12

    12

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    e je j e j e j

    e j e j e j e j e j e j

    Il faut donc que v(x) soit deux fois intgrables sur l'lment. M(x) et M'(x) sont continus s'il n'existe pas d'efforts ou de moments ponctuels aux extrmits. Maintenant assemblons deux lments, et donc leurs nergies de dformation:

    2 21 2 1 1 1 1 1 1

    2 2 2 2 2 2

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    2

    3

    2

    3 3

    W W M x v x M x v x M x v x dx

    M x v x M x v x M x v x dx

    fl flx

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    + = LNMOQP LNM

    OQP +

    + LNMOQP LNM

    OQP +

    z

    z

    e j e j e j e j e j e j

    e j e j e j e j e j e j

    en regroupant les termes de raccord, on observe que :

    M x v x v x M x v x v x1 21

    22

    21

    21

    22

    2e j e j e j e j e j e j FH IK FH IK et

    Il est claire que si v(x) et v'(x) ne sont pas continue il y a stockage d'une nergie finie chaque raccord qui peut tre assimile une rotule.

    On demande donc que v(x) soit deux fois intgrables sur l'lment et seulement qu'elle soit drive continue aux extrmits

    Def : Un lment vrifiant ces proprits de continuit est dit conforme.

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    35

    Rq : Dans le cas d'nergie dpendant d'un gradient, lasticit, il suffit que u(x) soit continue.

    6. Quelques lments

    Nous allons ici prsenter compltement un certain nombre d'lments, pour permettre une meilleur comprhension de la mthode par lments finis et de ces rsultats. Pour pouvoir assembler des matrices de rigidit lmentaire il faut pouvoir les expliciter, c'est ce que nous allons faire maintenant. Nous rappelons que dans un maillage il est possible d'utiliser uniquement des lments ayant les mme degrs d'interpolation pour la gomtrie et pour les dplacements.

    6.1. Elment 1-D

    6.1.1. Barre champ linaire (2 noeuds)

    C'est l'lment le plus simple : il est compos de deux noeuds ayant chacun 1 ddl. L'interpolation des dplacements sur l'lment est linaire. Cet lment est utilis pour traiter les problmes de traction-compression dans une barre.

    1 2

    q1

    q2

    En utilisant les notations classiques

    W ES u x dxex

    x= z12 2

    1

    2b gc h

    u x a a x

    u x N x q N x q N x qi i

    b gb g b g b g b g

    = += + =

    1 2

    1 1 2 2

    qi est le dplacement du noeud i dans le repre li la barre.

    Il est facile de dterminer les fonctions Ni(x) partir des relations suivantes :

    u x q

    u x q

    N x

    N xet

    N x

    N x1 1

    2 2

    1 1

    2 1

    1 2

    2 2

    1

    0

    0

    1

    b gb g

    b gb g

    b gb g

    ==

    RS|T| ==RS|T|

    ==

    RS|T|

    N xx x

    L

    N xx x

    L

    11

    2 11

    1b g

    b g

    =

    =

    RS||

    T||

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    36

    L est la longueur de l'lment considr. Il apparat donc que les fonctions de base ainsi dfinies dpendent de l'lment. Cette dpendance rend difficilement programmable de tel fonctions, chaque longueur d'lment correspond deux fonctions de base. Ce problme est rsolu en utilisant un lment de rfrence :

    r

    -1 1

    r est la coordonne intrinsque de l'lment de rfrence. Il est simple de passer de l'lment de rfrence l'lment rel l'aide du changement de variable suivant :

    x x r x r

    x G r x G r

    = + +

    = +1 2

    1 1 2 2

    12

    12

    b g b g

    o les Gi sont appeles les fonctions d'interpolation gomtrique. Il suffit alors de faire ce changement de variable dans les fonctions d'interpolation des dplacements, Ni(x) pour obtenir :

    G r N r

    G r N r1 1

    2 2

    b g b gb g b g

    ==

    RS|T|

    Dans ce cas particulier les deux couples de fonctions sont identiques, c'est pourquoi on parle d'lment Isoparamtrique. L'interpolation en dplacement est la mme que l'interpolation gomtrique.

    Calculons l'nergie de dformation sur l'lment de rfrence :

    W ESdu r

    drdrref = FHGIKJz

    12

    2

    1

    1 b g

    dudx

    dudr

    drdx

    dx dxdr

    dr L dr

    =

    = =2

    On peut maintenant calculer la matrice de rigidit lmentaire de l'lment de rfrence, en reprenant les notations classiques :

    K B D B dr

    BNN

    D ES

    reft

    t r

    r

    =

    = LNMMOQPP

    =z1

    1

    1

    2

    ,

    ,;

    ; K ES dr ESref =L

    N

    MMMM

    O

    Q

    PPPPLNMOQP =

    L

    N

    MMM

    O

    Q

    PPPz12

    12

    12

    12

    12

    12

    12

    12

    1

    1

    et donc la matrice de rigidit lmentaire

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    37

    K B D B dx

    BNN

    N drdx

    N drdx

    LB

    et

    e ex

    x

    te

    x

    x

    r

    r

    =

    = LNMMOQPP

    =L

    N

    MMMM

    O

    Q

    PPPP=

    z1

    2

    1

    2

    1

    2

    2,,

    ,

    ,

    K B D B dxL

    B DL

    B L drL

    Ket

    e ex

    xt

    ref= = =z z12 2 2

    22

    1

    1

    A ce stade nous pouvons faire deux remarques :

    Les matrices de rigidits lmentaires se dduisent de la matrice de rigidit lmentaire de rfrence. Il suffit de calcule une fois cette matrice pour tous les lments

    Comme l'interpolation des dplacements est linaire, les contraintes et les dformations sont constantes sur l'lment. Cet lment ne sera donc vraiment efficace que si le gradient de dformation est faible. Il donne une solution exacte dans le cas d'une force applique l'extrmit de l'lment.

    6.1.2. Barre champ quadratique (3noeuds)

    Cet l'lment est compos de trois noeuds ayant chacun 1 ddl et l'interpolation des dplacements sur l'lment est quadratique. Cet lment est utilis pour traiter les problmes de traction-compression dans une barre.

    1 2

    q1

    q2

    3

    q3

    Elment rel

    -1 0

    q1

    q2

    1

    q3

    Elment de rfrence

    En utilisant les notations classiques

    W ES u x dxex

    x= z12 2

    1

    2b gc h

    u x a a x a x

    u x N x q N x q N x q N x qi i

    b gb g b g b g b g b g

    = + += + + =

    1 2 32

    1 1 2 2 3 3

    qi est le dplacement du noeud i dans le repre li la barre.

    Il est facile de dterminer les fonctions Ni(r) partir des relations suivantes :

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    38

    u q

    u q

    u q

    N

    N

    N

    N

    N

    N

    et

    N

    N

    N

    ===

    RS|

    T|

    = = =

    RS|

    T|

    ===

    RS|

    T|

    ===

    RS|

    T|

    1

    0

    1

    1 1

    1 0

    1 0

    0 0

    0 0

    0 1

    1 0

    1 1

    1 0

    1

    3

    2

    1

    2

    3

    1

    2

    3

    1

    2

    3

    b gb gb g

    b gb gb g

    b gb gb g

    b gb gb g

    ;

    et donc

    N rr r

    N rr r

    N r r

    1

    2

    32

    12

    12

    1

    b g b g

    b g b g

    b g e j

    =

    = +

    =

    R

    S

    |||

    T

    |||

    Les fonctions d'interpolation gomtrique Gi sont inchanges :

    x x r x r

    x G r x G r

    = + +

    = +1 2

    1 1 2 2

    12

    12

    b g b g

    Dans ce cas les deux couples de fonctions sont diffrentes. Calculons l'nergie de dformation sur l'lment de rfrence :

    W ESdu r

    drdrref = FHGIKJz

    12

    2

    1

    1 b g ; du

    dxdudr

    drdx

    dx dxdr

    dr L dr= = = ; 2

    On peut maintenant calculer la matrice de rigidit lmentaire de l'lment de rfrence, en reprenant les notations classique :

    K B D B dr BNNN

    r

    r

    rref

    t tr

    r

    r

    = =L

    N

    MMM

    O

    Q

    PPP=

    +

    L

    N

    MMMMMMM

    O

    Q

    PPPPPPPz1

    1 1

    2

    3

    2 12

    2 12

    2

    ; ,

    ,

    ,

    et donc la matrice de rigidit lmentaire

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    39

    K B D B dx

    BNNN

    N drdx

    N drdx

    N drdx

    LB

    et

    e ex

    x

    te

    x

    x

    x

    r

    r

    r

    t

    =

    =L

    N

    MMM

    O

    Q

    PPP=

    L

    N

    MMMMMMM

    O

    Q

    PPPPPPP

    =

    z1

    2

    1

    2

    3

    1

    2

    3

    2,

    ,

    ,

    ,

    ,

    ,

    K B D B dxL

    B DL

    B L drL

    Ket

    e ex

    xt

    ref= = =z z12 2 2

    22

    1

    1

    K ES

    N N N N N

    N N N

    Symm N

    drref

    r r r r r

    r r r

    r

    =L

    N

    MMMMM

    O

    Q

    PPPPPz

    12

    1 2 1 3

    22

    2 3

    321

    1 , , , , ,

    , , ,

    ,

    d id i

    d i

    RQ : Les intgrations se font entre 1 et -1, on peut donc calculer ces intgrales l'aide des mthodes classique d'intgration numrique (Gauss ou Newton-Cotes). Il faut utiliser deux points de gauss pour obtenir une intgration exacte. On peut galement faire une intgration rduite, en utilisant un seul point. La mthode des lments finis ayant une tendance surestimer la raideur d'une structure, l'utilisation d'lments intgration rduite permet de compenser ce travers. Aussi pour faire un premier calcul sur une structure il est conseill d'utiliser peut d'lments mais intgration rduite.

    6.1.3. Barre 2 noeuds et 4 ddl

    Dans les problmes de flexion, il est ncessaire de satisfaire les conditions de continuit C1, et donc il faut introduire les drives des dplacements comme ddl.

    1 2

    v1 v21 2 En utilisant les notations classiques, l'nergie de flexion d'une poutre est :

    W EI v x dxex

    x= z12 2

    1

    2b gc h

    v x a a x a x a x

    v x N x q N x q N x q N x q N x qi i

    b gb g b g b g b g b g b g

    = + + += + + + =

    1 2 32

    43

    1 1 2 2 3 3 4 4

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    40

    Q v v vx

    xi i= =1 1 2 2, , , o b g Les Ni(x) sont les fonctions d'interpolations des dplacements sur l'lment rel. [Q] est le vecteur des inconnues nodales, ou ddl, sur l'lment de rel.

    Les fonctions Ni(r) sont celles sur l'lment de rfrence et [Qr] le vecteur des inconnues nodales, ou ddl, sur l'lment de rfrence.

    v r N r q N r q N r q N r q

    Qr v v vr

    v v

    vr

    vx

    x dxdr

    dxdr

    Qr v dxdr

    v dxdr

    r r r r

    r r r r iri

    r

    iri

    i i

    b g b g b g b g b gb ge j

    b ge j b g

    = + + += = =

    = =

    = LNMOQP

    1 1 2 2 3 3 4 4

    1 1 2 2 1 1

    1 1 2 2

    1

    1

    , , ,

    , , ,

    o et

    =

    Les fonctions d'interpolation gomtrique Gi sont inchanges :

    x x r x r

    x G r x G r

    = + +

    = +1 2

    1 1 2 2

    12

    12

    b g b g

    Nous allons comme dans les deux lments prcdents tudier l'nergie de dformation sur l'lment de rfrence .

    Nous allons crire un exemples des relation permettant de calculer les fonction Ni(r)

    N N N N1 1 2 21 1 1 0 1 0 1 0 = = = =b g b g b g b g, , ,' ' En rsolvant ce systme pour les quatre fonctions, on obtient :

    N r r r N r r r

    N r r r N r r r

    12

    22

    32

    42

    14

    2 1 1 1

    14

    2 1 1 1

    b g b gb g b g e jb g

    b g b gb g b g e jb g

    = + =

    = + = +

    RS||

    T||

    ,

    ,

    W EIdv r

    drdrref = FHGIKJz

    12

    2

    1

    1 b g ; dv

    dxdvdr

    drdx

    dx dxdr

    dr L dr= = = ; 2

    On peut maintenant calculer la matrice de rigidit lmentaire de l'lment de rel partir de l'lment de rfrence. Il faut dans ce cas faire attention au faite que les inconnues nodales de l'lment de rfrence,[Qr] ne sont pas les mme que celles de l'lment de rel [Q]:

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    41

    W Q B D B Q dr

    Qr v v v dxdr

    v dxdr

    reft

    rt

    r

    r r r r

    =

    = LNMOQP

    z12 11

    1 1 2 2 1 1 2 2

    =, , , , , ,

    W Q B D B Q dx Q v vet t

    e ex

    x= =z12

    1

    2

    1 1 2 2 o , , ,

    ddr

    v r N v N N v N

    N v N N v N

    Q N N N N

    Q B

    rr rr r rr r rr r

    rr rr rr r rr r

    t

    rr rr rr rr

    t

    2

    2 1 1 2 1 3 2 4 2

    1 1 2 1 3 2 4 2

    1 2 3 4

    b g =

    =

    = FHGIKJ

    FHG

    IKJ

    LNM

    OQP

    =

    , , , ,

    , , , ,

    , , , ,

    + + +

    + dxdr

    + + dxdr

    dxdr

    dxdr

    ddx

    v x Q B

    B N N N N

    B d rdx

    BL

    BL

    N N N N

    te

    e xx xx xx xx

    e rr rr rr rr

    2

    2

    1 2 3 42

    2 2 2 1 2 3 44 4

    b g ==

    = = = FHGIKJFHG

    IKJ

    LNM

    OQP

    , , , ,

    , , , ,

    dxdr

    dxdr

    K B D B dxL

    B DL

    B L dret

    e ex

    xt= =z z

    1

    2 4 422 21

    1

    KL

    EI

    N L N N N N L N N

    L N L N N L N N

    N L N N

    sym L N

    dre

    rr rr rr rr rr rr rr

    rr rr rr rr rr

    rr rr rr

    rr

    =

    L

    N

    MMMMMMMMM

    O

    Q

    PPPPPPPPP

    z16

    2 2

    4 2 4

    2

    4

    4

    12

    1 2 1 3 1 42

    22

    2 32

    2 4

    32

    3 42

    42

    1

    1

    , , , , , , ,

    , , , , ,

    , , ,

    ,

    d i

    d id i

    d i

    RQ : Ces lments sont dit de type Hermitte n Noeuds, 2n ddl, continuit C1. Les deux prsents prcdemment sont de type Lagrange (n+1) Noeuds, n+1 ddl, continuit C0 Toutes les remarques faites dans le cas 1-D sont valables dans les autres cas.

    6.1.4. Etude des valeurs propres.

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    42

    Cette tude doit nous permettre de mettre le doigt sur la relation entre les mouvements de corps rigide et le mode de dformation nergie nulle. Pour simplifier l'criture du problme nous allons considrer la barre deux noeuds.

    K ES L L

    L Le ==

    L

    N

    MMM

    O

    Q

    PPP

    1 1

    1 1

    Les valeurs propres vrifient :

    K Id ESL

    avecv

    ve =

    ==

    RS|T|

    ==

    RS|T|

    0

    02

    1 1

    1 1

    1

    2

    1

    2 comme vecteur propre

    b gb g

    La premire valeur propre correspond au mode de dformation nergie nulle qui correspond pour cet lment une translation d'ensemble q1=q2.

    La deuxime valeur propre correspond au mode de dformation nergie non nulle qui correspond pour cet lment une contraction de l'lment q1=-q2..

    Comme ce sont les seuls modes propres de dformation de cet lment, toute dformation en sera une combinaison linaire. Cet lment ne peut donc prendre en compte les rotations. Il est donc utilisable uniquement en traction compression. Ces observations rejoignent ce que nous avons dit sur cet lment. Une tude pour les autres lments 1-D permettrai de dfinir les modes propres de dformation pour chacun d'entre eux.

    6.2. Elment 2-D

    Nous prsentons succinctement ici seulement quelques lments 2-D. Les remarques que nous avons faites dans le cas 1-D reste valable. Il existe les mmes familles d'lments : isoparamtrique linaire ou non et les non isoparamtrique. Dans les bibliothques il existe de trs bons livres (Modlisation des structures par lments finis . J.L. Batoz et G. Dhatt - Analyse des structures par lments finis J.F. Imbert.- ...) numrant tous les lments ainsi que leurs matrices de rigidits.

    6.2.1. Isoparamtrique linaire.

    6.2.1.1. Le triangle.

    Le triangle trois noeuds est aux lments 2-D ce que la barre deux noeuds aux lments 1-D..Il est inutile d'introduire un lment de rfrence dans ce cas, mais il est plus avantageux d'utiliser le systme de coordonnes intrinsques d'un triangle : le systme des coordonnes barycentriques. La numrotation d'un lment se fait toujours dans le sens trigonomtrique positif.

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    43

    i

    j

    k

    Elment relx

    y

    Cet lment a 6 ddl qui sont les dplacements u(x,y) et v(x,y) chacun des noeuds. Le champ de contrainte sur cet lment est constant. Le champ de contraint est donc discontinu sur la structure discrtise. Cette caractristique fait que cet lment est trs rigide. On utilise cet lment soit dans les rgions flaibe gradient de contraintes ou pour raccorder des maillages de taille diffrente.

    Raccordement de maillage.

    6.2.1.2. Le quadrangle

    Le quadrangle 4 noeuds et 8ddl est un lment trs souvent utilis. Son champ de contrainte n'est plus constant. On peut galement choisir entre une intgration complte ou une intgration rduite de la matrice de rigidit. On trouve cet lment dans toutes les bibliothques d'lment des softs utiliss.

    i

    j

    k

    x

    y

    l

    Le quadrangle

    6.2.2. Isoparamtrique non linaire

    Il existe l aussi soit le triangle 6 ou 9 noeuds ou le quadrangle 8 ou 12 noeuds. Ces lments sont de bonnes qualits pour qui sait les utiliser convenablement. Il est souvent recommand de les utiliser avec une intgration rduite. Dans un cas on a une

  • Note de cour sur les lments finis 04/11/2003

    44

    interpolation quadratique (6-8) et dans l'autre cas une interpolation cubique. Le nombre de points de gauss ainsi que leurs positions sur l'lment sont donns dans les documentations des logiciels.

    6.2.3. Non isoparamtrique

    Il y a deux familles d'lments soit les Serendip ou les Lagrange.

    Les premiers ont une interpolation gomtrique linaire et quadratique ou cubique pour les dplacements avec des noeuds uniquement sur la frontire.

    Les seconds ont galement une interpolation gomtrique linaire et quadratique ou cubique pour les dplacements mais ils possdent des noeuds internes.