Cours 2Notion de cohérence

Préambule:interférences entre sources de

fréquences différentes

Rappel : détecteur quadratique

constconst

t

t

=

=+

=+

2/1)(cos

0)cos(2 φω

φω

),(

)',(

')',(1

2

0

02

0

tMIU

ttMEcU

dtttMEcT

UT

∝

−∝

−∫−

ε

εα

Le signal U délivré par le détecteur est proportionn el au carré du champ (ou proportionnel au module du vecteur de Poynting) mo yenné sur un temps T très long devant la période optique.

Rappel:

Interférence entre deux ondes de fréquences différentes

En notation réelle, les amplitudes des champs lumineux sont de la forme:

221

2222

1111

)),(),((

))(cos(),(

))(cos(),(

tMStMSI

MtatMS

MtatMS

M +=

+=+=

ϕωϕω

L’intensité au point M est alors:

Calculons l’intensité mesurée par le détecteur

( )

( )))()()cos((2

))()()cos(())()()cos((22

))(cos())(cos(2

))((cos))((cos

)),(),((

21212121

2121212121

22

21

221121

2222

1122

221

21

MMtIIIII

MMtMMtaaaa

I

MtMtaa

MtaMtaI

tMStMSI

M

M

M

M

ϕϕωω

ϕϕωωϕϕωω

ϕωϕω

ϕωϕω

−+−++=

−+−++++++=

+++

+++=

+=

21

21

IIIM +=≠ ωω

))()(cos(2 212121

21

MMIIIIIM φφ

ωωω

−++=

==

INTERFERENCES POSSIBLES!!!Simple addition des intensité

Conséquence IDeux ondes de fréquences différentes ne peuvent

interférer !!!

T/121 <<−ωω

Remarque

Le détecteur peut percevoir des battements

C’est une situation possible mais difficile à réaliser expérimentalement (2 sources très fines spectralement et très proches en fréquence. Exemples: modes d’un laser)

Si :

Généralisation:Deux ondes dont la différence de phase varie

rapidement ne peuvent interférer

( )( ))),(),(cos(2

)),(),()cos((2

212121

21212121

tMtMIIIII

tMtMtIIIII

M

M

ϕϕ

ϕϕωω

−++=

−+−++=

21 ωω =

SI ),(),( 12 tMtM ϕϕ − varie rapidement sur un temps plus court que T,

Il n’y aura pas d’interférences

Les sources de lumière « réelles »:

Modèle de la source quasi-monochromatique

Source ponctuelle quasimonochromatique (modèle)

• Le champ n’est plus déterministe -> sa phase ne peut être prévue.

• La phase de la source ponctuelle varie au cours du temps aléatoirement

Modèle mathématique : à des instants aléatoires, la phase de l’onde « saute »d’une quantité aléatoire mais reste constante entre ces instants.

Origine physique: effets des collisions des molécules environnantes avec l’atome émetteur, émission spontanée…

phase

Champ en un point

temps

« train d’onde »Saut de phase

)),(cos(),( 00 MttaMtS φω +=

Temps caractéristique entre deux « sauts »: τc

Absence de corrélations entre les sources.

La phase ne varie pas de la même manière d’une sourc e à une autre !

Champ de la première source

Champ de la deuxième source

t

(Phase de la source 2) –(Phase de la source 1) = fonction aléatoire du temps

Champ émis par deux sources ponctuelles réelles quasimonochromatique et INDEPENDANTES

Deux sources ponctuelles quasimonochromatiques indépendantes ne peuvent interférer

Deux sources ponctuelles quasimonochromatiques indépendantes ne peuvent interférer

On dit qu’elles sont MUTUELLEMENT INCOHERENTES

Montage des trous d’YoungPour faire des interférences il faut générer deux o ndes à partir d’une même source primaire quasimonochromatique

Exemple: Montage des trous d’Young

S

O1

O2

M

Fentes d’YoungEcran

I(x)x

Interférences

Inte

rfrang

e

D

a

i=λD/a

Source ponctuelle et quasimonochromatique

Plaque avec deux petits trous

Chaque petit trou DIFFRACTE l’onde incidente dans t outes les directions:Équivalent à deux sources d’ondes sphériques « liées »

S1

S2

Notion de temps de cohérence

S

O1

O2

M

Fentes d’YoungEcran

I(x)x

Interférences

Inte

rfrang

e

D

a

Source ponctuelle et monochromatique

Plaque avec deux petits trous

S1

S2

r1

r2

Différence de marche en M:

( )( )))',()',(cos(2

)),(),(cos(2

21212121

122121

tMtMkIIIII

tMtMIIIII

M

M

ϕτϕδ

ψψ

−−+++=

−++=

211221 )( τδ crrM =−=

Attention !

Temps de cohérence et interférences

( )

( )

21

2121

212121

2121

21212121

)',()',(

)cos(2

)',()',(

))',()',(cos(2

III

tMtM

kIIIII

tMtM

tMtMkIIIII

M

C

M

C

M

+=≠−>

++=

≈−<<

−−+++=

ϕτϕττ

δ

ϕτϕττ

ϕτϕδ

On retrouve la formule des interférences à deux onde s (ouf !!!)

Pas d’interférences possibles

La différence est une fonction aléatoire du temps variant rapidement

Pour faire des interférences…

• Les ondes qui interfèrent doivent provenir de la mê me source primaire

• La différence de marche δ21 ne doit pas être plus grande que Lc=c τc, la longueur de cohérence

Interférences en lumière polychromatique

Interférences en lumière polychromatique

S

O1

O2

M

Fentes d’YoungEcran

I(x)x

Interférences

Interfra

nge

Si la source émet deux longueurs d’ondes λA et λB Il y a, a priori, 4 champs: S1A, S1B, S2A, S2BSeuls ceux de même longueur d’onde (i.e de même fréq uences ) interfèrent

S1A et S1B interfèrent ���� IAS2A et S2B interfèrent ���� IB

I=IA+IB

BA

BBB

AA

AAAAAA

IIIc

II

cIIIIII

+=

+=

+=++=

))2

cos(1(2

))2

cos(1(2)2

cos(2

210

210210000

δπυ

δπυδλπ

Deux systèmes de franges vont se superposer en inte nsité.

Lorsque les franges sombres de l’un et les franges brillantes de l’autre se confondent���� brouillage

Interférences en lumière polychromatique (II)

δ21

))2

)(2cos()

2

)(2cos(22(2

))2

cos()2

cos(2(2

21210

21210

000

δυυπδυυπ

δπυδπυ

ccII

ccII

III

ABBA

BA

BA

+−+=

++=

==

Terme rapide avec δ21 �

franges correspondant à la fréquence moyenne

Terme lentement variable avec δ21

Contraste des franges

Interférences en lumière polychromatique (III)

δ21

Intensité mesuréeλ0

))(Re(22

)2exp()(Re22

)2cos()(22

)2cos()(22

))2cos(1()(2

))2cos(1()(2

))2

cos(1()(2

)(

00

2100

2100

0

2100

0

210

210

210

00

JTFII

diJII

dJII

dJII

dJI

dJdIc

dJdI

dJdI

+=

−+=

+=

+=

+=

+=

+=

=

∫

∫

∫

∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞

νπυτν

νπυτν

νπυτν

πυτνν

πυτνν

δπυνν

νν

Interférences en lumière polychromatique: généralisation

J0 = Spectre de la source

Interférences en lumière polychromatique: propriétés

)2cos()(~

22

)()(

210210

00

τπντνννFII

FJ

+=⇒

−= Spectre centré sur la fréquence ν0

Modulation rapide avec δ21 (ou τ21 )� Franges d’interférences

Modulation lente avec δ21 (ou τ21 ):CONTRASTE LOCAL DES FRANGES

Si F est large, sa TF est étroite�Franges uniquement pour τ21 proche de zéro.

Si F est étroite, sa TF est large���� Franges sur un grand intervalle de τ21 .

0

21)(~

I

FClocal

τ=

ν0

ν1/2

δ21

Lc

J0(ν)

I

δ21

ν1/2

5 ν1/2

25 ν1/2

125 ν1/2

Notion de cohérence temporelle;temps de cohérence

Interférences en lumière polychromatique: longueur de cohérence

La longueur de cohérence Lc est la différence de marche au-delàde laquelle le contraste des franges s’effondre.

�Demi largeur à 1/e de la transformée de Fourier du spectre�Plus le spectre est large, plus Lc est petite.�Lc est inversement proportionnelle à la largeur spectrale

� Temps de cohérence τC=Lc/c

ντ

∆≈ 1

C

Lien avec le modèle de la source quasi-monochromatique

temps

τC

On peut définir un spectre d’intensité J0( ν) (densité spectrale de puissance) pour un tel signal. Sa largeur spectrale est de l’ordre de:

ντ

∆≈ 1

C

On voit que le temps de cohérence d’une source poly chromatique et le temps de cohérence du modèle quasimonochromatique coincident.

Théorème de Wiener-Khintchine(appliqué à l’optique)

Le contraste des franges C( τ21 ) en fonction du retard τ21 est proportionnel à la transformée de Fourier du spectre en intensité J 0(ν) de la source.

Rq: Ceci est valable y compris si le champ est aléatoire, à condition que ses propriétés statistiques soient stationnaires, i.e ne dépendent pas du temps (C’est cela, le théorème de Wiener Khintchine)

Interférences avec une source étendue;

cohérence spatiale

S

O1

O2

M

Fentes d’YoungEcran

I(x)x

Interférences

Inte

rfrang

e

D

a

Plaque avec deux petits trous

expérience d’Young...avec une source étendueOn remplace la source ponctuelle S par une source étendue dans la direction X (largeur d)

S1

S2

X

Quel sera l’effet sur la figure d’interférence ???

expérience d’Young...avec une source étendue

• On décompose la source en une infinité de sources ponctuelles. • On détermine ensuite la figure d’interférence produite par chacune d’elles. • On somme enfin l’ensemble de ces figures d’interférence EN INTENSITE (les champs de deux sources différentes ne peuvent interférer)

X

S1

S2

x

M

D

r2

r1

L

S

L

aX

SSSS

D

axdXidXidXiMdI

λπφφ

λπφφ

φφλπ

2

)(2

)2

cos(2)(

12

1212

21000

−=−

−=−

−+++=

On va supposer que les trous sont équivalentsI1=I2

expérience d’Young...avec une source étendue

+=

−−++=

++=

++==

++=

−

−−∫∫

)2

cos()sin(22

12)(

)2

sin()2

sin(2

22)(

)22

sin(2

22)(

)22

cos(12)(

)22

cos(12)(

0

00

2/

2/00

2/

2/

2/

2/

0

0

D

ax

L

ad

ad

LdiMI

L

ad

D

ax

L

ad

D

ax

ad

LdidiMI

L

aX

D

ax

a

LidiMI

dXL

aX

D

axidIMI

L

aX

D

axdXiMdI

d

d

d

d

d

d

M

λπ

λπ

πλ

λπ

λπ

λπ

λπ

πλ

λπ

λπ

πλ

λπ

λπ

λπ

λπ

On retrouve le cosinus des franges d’interférencesFonction qui module la

visibilité GLOBALE des franges

Visibilité des franges avec une source étendue

)(sin

)2

cos()(sin12)(

minmax

minmax

0

L

adc

II

IIC

D

ax

L

adcdiMI

λπ

λπ

λπ

=+−=

+=

1)(sinlim

/)sin()(sin

0=

=

>−xc

xxxc

x

On rappelle les propriétés du sinus cardinal

Premier point d’annulation:

x = π ou x = -πx

Sin(x)/x

Position x du point M

Intensité en M

Taille de la source Sd= 100µm

Taille de la source Sd= 400µm

Taille de la source Sd= 800µm

Notion de longueur de cohérence spatiale

• Sur l’exemple précédent, on voit que le contraste des franges est maximale si d=0(source ponctuelle)• Le contraste tend vers zero si d augmente (source très étendue) � Avec une source trop grande, pas de franges !

• Pour une source étendue (taille d non nulle) il est en théorie toujours possible de choisir une distance a entre les trous suffisamment petite ou une distance L suffisamment grande pour garder des franges visible s:

Il faut que le sinus cardinal ne s’annule pas soit:

Td

La

L

ad

Λ=<

<

λ

πλ

π

ΛT est la longueur de cohérence transverse ou LONGUEUR DE COHERENCE SPATIALEdu champ, au niveau du plan des trous

GénéralisationSi on a une distribution d’intensité I(X) suivant X, on peut développer

un formalisme équivalent à celui de la cohérence temporelle:

−−+=

++=

++==

++=

∫

∫

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

dXL

aXiXi

D

axiIMI

dXL

aX

D

axXiIMI

dXL

aX

D

axXidIMI

L

aX

D

axdXXiMdI

M

)2

exp()()2

exp(Re22)(

)22

cos()(22)(

)22

cos(1)(2)(

)22

cos(1)(2)(

00

00

0

0

λπ

λπ

λπ

λπ

λπ

λπ

λπ

λπ

Généralisation: théorème de Van Cittert - Zernicke

Si on a une distribution d’intensité I(X) suivant X, on peut développer un formalisme équivalent à celui de la cohérence temporelle:

L

aq

dXqXiXiD

axiIMI

dXL

aXiXi

D

axiIMI

dXL

aX

D

axXiIMI

dXL

aX

D

axXidIMI

L

aX

D

axdXXiMdI

M

λ

πλπ

λπ

λπ

λπ

λπ

λπ

λπ

λπ

λπ

=

−−+=

−−+=

++=

−+==

−+=

∫

∫

∫

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

)2exp()()2

exp(Re22)(

)2

exp()()2

exp(Re22)(

)22

cos()(22)(

)22

cos(1)(2)(

)22

cos(1)(2)(

00

00

00

0

0

Contraste des franges …c’est la Transformée de Fourier de i0(X) !

Franges des trous d’Young

Applications

Application de la cohérence temporelle: Spectroscopie TF

• Objectif : déterminer le spectre d’une source J0(ν)• On enregistre le contraste des franges C(δ) en fonction

de la différence de marche δ.• La TF inverse de C(δ) permet de revenir à J0(ν).• Le plus petit écart en fréquence que l’on peut distinguer

est inversement proportionnel à la différence de marche δmax que l’on peut atteindre techniquement.

Application de la spectroscopie Infrarouge par tran sformée de Fourier (FTIR):Identification de molécules complexes (transitions ro-vibrationnelles) dans un milieu.Cosmochimie, planétologie (exobiologie), analyse d’ œuvres d’art, médecine légale, recherche de polluants…

!!!

Source cohérente temporellement

�c’est une source ayant une largeur spectrale très faible.� Sa longueur Lc de cohérence et donc son temps de cohérence sont grands

Sources:

Raie spectrale de lampe à vapeur métalliques (Lc=1mm à 1cm)

Laser monomode (Lc= 20cm !!!)

Intérêt : expériences d’interférométrie nécessitant des différences de marche importantes

� TP à vocation pédagogiques (pas trop précis sur les distances…)� interférométrie à grande distance� holographie (enregistrement d’objets en 3D, analyse de vibrations, de déformations)

Source incohérente temporellement

�c’est une source ayant une largeur spectrale très grande.� Sa longueur Lc de cohérence et donc son temps de cohérence sont petits

Sources:

�Lumière blanche� diodes blanches� lasers femtosecondes (Titane-Saphir)

Intérêt : permet de repérer la différence de marche nulle avec une très grande précision (franges nulle part saut près de la diffé rence de marche nulle)

� Mesure absolue de distance� Couplée à la microscopie: Tomographie par cohérence optique (OCT en anglais). Permet d’obtenir le profil vertical d’un tissus vivant (peau, rétine…) avec une très bonne résolution.

Application de la cohérence spatiale: télescope interférométrique

Si on mesure le contraste des franges en fonction de la différence de marche, on peut déterminer la répartition d’intensité dans la source.

Ce principe est à la base des télescopes interérométriques comme le VLTI (VeryLarge Telescope Interferometer).

En faisant interférer la lumière provenant de différents telescopes observant la même étoile, il est possible de reconstituer son image avec une résolution très supérieure à celle d’un seul des télescopes !

La différence de marche est « scannée » à l’aide de miroirs montés sur rails

Application de la cohérence spatiale: télescope interférométrique