cosa è una sezione? - Lezionididisegno · Ogni sezione è quindi determinata da un piano α...

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cosa è una sezione? Con il termine sezione si intende la figura piana risultante dall’intersezione di un solido con un piano. solitamente si indicano le sezione colorandole (a matita o utilizzando i retini) o semplicemente usando una campitura a linee a 45° piuttosto vicine tra loro

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Page 1: cosa è una sezione? - Lezionididisegno · Ogni sezione è quindi determinata da un piano α (alfa). I piani infatti in geometria descrittiva vengono descritti con una lettera dell’alfabeto

cosa è una sezione?Con il termine sezione si intende la figura piana risultante dall’intersezione di un solido con un piano.

solitamente si indicano le sezione colorandole (a matita o utilizzando i retini) o semplicemente usando una campitura a linee a 45° piuttosto vicine tra loro

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i piani di sezioneOgni sezione è quindi determinata da un piano α (alfa). I piani infatti in geometria descrittiva vengono descritti con una lettera dell’alfabeto greco.I piani più comuni nelle sezioni sono quelli paralleli ad uno dei piani delle proiezioni ortogonali e quelli perpendicolari ad uno dei pani e inclinati rispetto agli altri 2.

parallelo al piano laterale

parallelo al piano orizzontale

perpendicolare al piano verticale e incidente (inclinato) a P.O. e P.L

x

y

z

x

y

z

x

y

z

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Piano orizzontale + solidovediamo cosa ad un solido tagliandolo con un piano orizzontale (parallelo a P.O.)

un piano α viene definito dalle sue proiezioni ortogonali. Le proiezioni di un piano si chiamano tracce e sono le rette nelle quali il piano si interseca con i piani delle proiezioni. Nel caso del piano α le tracce saranno α’’ e α’’’ rispettivamente appaertentnti al piano verticale e laterale

x

y

z

α

α’’ α’’’

P.O.

P.V. P.L.

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Piano orizzontale + solidoper definire la sezione procedo quindi disegnado la proiezione del mio solido (intero) e sovrappongo il piano (i piani vanno sempre disegnati partendo dal piano di proiezione al quale sono perpendicolari). in questo caso il nostro piano è prpendicolare sia a P.V. che P.L.consideriamo un prisma triangolare: dove il piano (ad esempio nel piano

verticale) incorcia uno degli spigoli ci sarà uno dei vertici del nostro piano di sezione.Identificheremo così i tre vertici (che chiameremo 1, 2 e 3) e andremo a cercare le loro proiezioni in tutti gli altri piani. Immagineremo inoltre di tagliare il nostro solido in modo da conservare solo la parte al di sotto della linea di sezione (la parte superiore la lasceremo poco evidente senza calcare le linee di costruzione).La sezione è la parte colorata in rosso. per aiutarci immaginiamo di tagliare seguendo la proiezione sul piano degli oggetti di legno verniciati. le parti dove il legnoo risulta visibile sono quelle della sezione mentre le parti verniciate saranno facce e spigoli visibili del solido di partenza.

α’’ 1’’ 2’’ 3’’ α’’’

P.O.

P.V. P.L.

1’

2’

2’’’1’’’=3’’’

3’

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Piano orizzontale + solidonelle figure estruse la forma della sezione orizzontale coinciderà con quella delle due basi (superiore e inferiore) del solido.prismi, cilindri e parallelepipedi hanno sezioni orizzontali uguali tra loro facilmente misurabili in proiezione ortogonale.

visualizzazione del solido di partenza (un prisma a base triangolare) e del piano secante α.

visualizzazione assonometrica del solido sezionato. la parte colorata in rosso indica la sezione.

x

y

z

x

y

z

α

12

3

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Piano orizzontale + solidoconsideriamo un solido differente, non più con due pasi uguali ma con una base e un vertice. cominceremo con una piramide a base triangolare ma ovviamente quello che diremo vale anche per tutte le piramidi e i coni.

intuitivamente so che la sezione sarà una figura simile a quella della base ma rimpicciolita geometricamente per trovarne le dimensioni procedo come prima...

α

x

y

z

O

x

y

z

x

y

z

α

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Piano orizzontale + solido1 - disegno la proiezione ortogonale della figura se fosse intera

2 - tracciare le proiezioni del piano della sezione e trovare i punti dove il piano incrocia gli spigoli del solido (i punti 1, 2 e 3)α’’’α’’

1 2 3

P.O.

P.V. P.L.

A’

A’’

B’

B’’C’’

C’

V’

V’’

A’’’ C’‘’B’‘’

V’’’

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Piano orizzontale + solido

3 - partendo dai punti trovati sul P.V. tracciamo le loro proiezioni sugli altri piani individuando i vertici della figura creata dalla sezione. i punti 1 e 2 saranno riportati sul P.O. (trovo 1’ e 3’)

P.O.

P.V. P.L.

A’

A’’

B’

B’’C’’

C’

V’

V’’

A’’’ C’‘’B’‘’

V’’’

α’’’α’’1

1’

2 3

3’

1’’’=3’’’

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Piano orizzontale + solido

4 -il punto 2 al contrario dovrà essere proiettato su P.L. (dove il piano incrocia in modo chiaro il vertice BV sul quale cerchiamo il punto 2). Individuata la proiezione 2’’ la riporteremo al piano orizzontale trovando il terzo punto che ci permette di tracciare la superficie della sezione che stavamo cercando.

α’’’α’’1

1’

2

2’

2’’’3

3’

1’’’=3’’’

P.O.

P.V. P.L.

A’

A’’

B’

B’’C’’

C’

V’

V’’

A’’’ C’‘’B’‘’

V’’’

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Piano orizzontale + solido

5 -per concludere dovrmo mettere in evidenza i verticidel nostro solido (escludendo la porzione che sta sopra alla linea di sezione). disegnare l’assonometria del solido sezionato ci aiuta a visualizzare il processo di sottrazione legato al procedimento della sezione.

P.O.

P.V. P.L.

x

y

z

12

3

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Piano verticale + solidoimmaginiamo il solito prisma triangolare e consideriamo ora la sua sezione con un piano perpendicolare al piano orizzontale e al piano verticale.

nelle figure estruse la sezione verticale è un rettangolo (pensate anche ad un cilindro... se viene tagliato da un piano parallelo al suo asse la figura piana della superficie di taglio sarà un rettangolo).

x

y

z

x

y

z

x

y

z

α

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Piano verticale + solidoanche in questo caso procediamo partendo dalla proiezione ortogonale del solido intero, disegnamo poi le proiezioni del piano e cominciamo (parteno sempre dai piani di proiezione a cui il piano di sezione è perpendicolare) a trovare in cui il piano intercetta gli spigoli principali della figura.

α’’

α’

1’’’

x

y

z

P.O.

P.V. P.L.1’’=2’’ 2’’’

3’’’4’’’3’’=4’’

2’=3’

1’=4’

1

4

2

3

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Piano verticale + solidoConsiderando lo stesso piano di sezione vediamo cosa succede alla piramide.

i questo caso la forma della superficie di sezione è più difficile da determinare e va costruita con attenzione. anche il solido sezionato risultante è più deformato rispetto agli altri casi. quando infatti il piano di sezione taglia la base del solido questa modifica il numero dei suoi vertici strasformandosi in una figura irregolare diversa da quella di partenza.

α

x

y

z

O

x

y

z

x

y

z

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Piano verticale + solidoCome sempre procediamo com le proiezioni ortogonali e definiamo i punti di intersezione.

P.O.

P.V. P.L.

1’’

1’

2’

3’

1’’’

3’’’ 2’’’2’’=3’’

xy

z

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Piano inclinato + solidoImmaginiamo ora un piano inclinato (perpendicolare a P.V.).cominceremo con un cubo per semplicità.

per ora il nostro piano taglierà la sola base superiore

x

y

z

x

z

xy

z

O

y

α

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Piano inclinato + solidocome sempre:proiezioni --> piano --> punti --> sezioni --> assonometria

α’’’

α’’

P.O.

P.V.

P.L.1’’=2’’

1’’’ 2’’’

3’’’4’’’

1’

2’3’

4’

3’’=4’’

P.O.

P.V.

P.L.1’’=2’’

1’’’2’’’

3’’’4’’’

1’

2’ 3’

4’

3’’=4’’

x

z

y

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Piano inclinato + solidoe se il piano taglia entrambe le basi?

α

x y

z

x

z

xy

z

O

y

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Piano inclinato + solidocome sempre:proiezioni --> piano --> punti --> sezioni --> assonometria

α’’’

α’’

P.O.

P.V. P.L.

1’’=2’’1’’’ 2’’’

3’’’4’’’

1’

2’ 3’

4’

3’’=4’’

P.O.

P.V. P.L.

1’’=2’’1’’’ 2’’’

3’’’4’’’

1’

2’ 3’

4’

3’’=4’’

x

z

y

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Piano inclinato + solidoimmaginiamo ora un prisma triancolgolare:seguiremo il solito procedimento proiezioni --> piano --> punti --> sezioni --> assonometria (facendo particolarmente attenzione agli spigoli della figura che vengono ora intercettati a 3 diverse altezze)

α

x

y

z

x

y

z

x

y

z

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Piano inclinato + solidoimmaginiamo ora un prisma triancolgolare:seguiremo il solito procedimento proiezioni --> piano --> punti --> sezioni --> assonometria (facendo particolarmente attenzione agli spigoli della figura che vengono ora intercettati a 3 diverse altezze)

12

3

x

y

z

P.O.

P.V. P.L.

1

1

1

2

2

2

3

3

3

α’’

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Piano inclinato+solido: il ribaltamento del pianoi questa situazione la mia superficie di sezione è inclinata. quindi per conoscerne le dimensioni (per quotarla o ricostruirne il modellino) devo geometricamente andare a riportare la figura su uno dei piani di riferimento. per fare ciò si usa il ribaltamento del piano. è come se immaginassi di fare ruotare il piano α sulla sua traccia sul piano a cui è perpendicolare (in questo caso il piano verticale P.V.).

così facendo ricostruirò il tringolo che sto cercando sul piano ribaltato (α) (si scrivono tra parentesi le proiezioni sul piano ribaltato). in questo caso ho ribaltato il piano sul piano verticale... vediamo come procedere con la costruizione geometrica.

α

(α)

x

y

z

x

y

z

x

y

z

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Piano inclinato+solido: il ribaltamento del pianodopo avere determinato la forma del solido sezionato e avere trovato la sezione in scorcio possiamo procedere al ribaltamento del piano seguendo questa sequenza:1. traccio il prolungamento della traccia del piano sul piano verticale P.V. (sempre sul piano a cui il piano di sezione è perpendicolare)2. nel punto in cui incontro la linea di terra traccio una retta inclinata a 90° verso l’alto e una retta verticale verso il basso sotto la linea di terra.

2

3

1

P.O.

P.V. P.L.

1’’

1’

1’’’

2’’

2’

2’’’3’’

3’

3’’’ (α)

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Piano inclinato+solido: il ribaltamento del piano3.partendo dai punti della sezione (1, 2, 3) traccio delle rette perpendicolri al piano della sezione. paralleli alla retta versol’alto che abbiamo tracciato prima)

(α)

P.O.

P.V. P.L.

1’’

1’

1’’’

2’’

2’

2’’’3’’

3’

3’’’

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Piano inclinato+solido: il ribaltamento del piano4.devo incrociare queste rette con i dati relativi alla profondità (che prenderemo leggendoli dal P.O.procederemo quindi riportando le misure dei punti 1, 2, 3 e 3 sulla retta verso il basso (con rette parallele alla linea di terra) e poi li riporteremo sul lato del piano proiettato con il compasso. da qui faremo partire rette parallele ad α’’ trovando così i punti che ci interessano.

(α)

P.O.

P.V. P.L.

1’’

1’

1’’’

2’’

2’

2’’’3’’

3’

3’’’

P.O.

P.V. P.L.

1’’

1’

1’’’

2’’

2’

2’’’3’’

3’

3’’’

2

2

1-3

1-3

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Piano inclinato+solido: il ribaltamento del piano

(α)

(α)

α’’

2

2

1-3

1-3

P.O.

P.V. P.L.

1’’

1’

1’’’

2’’

2’

2’’’3’’

3’

3’’’

P.O.

P.V. P.L.

1’’

(1)

(2)

(3)

1’

1’’’

2’’

2’

2’’’3’’

3’

3’’’

unendo i punti trovati andiamo a definire la figura della sezione in dimensione reale.questo ci può essere molto utile per quotare queste superfici o nel caso in cui si debba andare a costruire un modellino.

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Piano inclinato+solido: il ribaltamento del pianovediamo ora la sezione di una piramide a base triangolare tagliata rispetto ad un piano inclinato (sempre perpendicolare a P.V.). con relativo ribaltamento del piano.

x

y

z

x

y

z

O

x y

z

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Piano inclinato+solido: il ribaltamento del pianovediamo ora la sezione di una piramide a base triangolare tagliata rispetto ad un piano inclinato (sempre perpendicolare a P.V.). con relativo ribaltamento del piano.

P.O.

P.V. P.L.

1’’

1’

1

3

2

3’

2’

1’’’ 2’’ 2’’’

3’’ 3’’’

x

y

z

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P.O.

P.V. P.L.

1’’2’’

3’’

1’’’

2’’’

3’’’

1’

2’

3’

(1)

(2)(3)

ed ecco il ribaltamento del piano relativo a questa costruzione.Piano inclinato+solido: il ribaltamento del piano