STANDARDIZZAZIONE

ΨPsicometria (8 CFU)

Corso di Laurea triennale

STANDARDIZZAZIONE

Un punteggio all’interno di una distribuzione è in realtà privo di significato se preso da solo.

Sapere che un soggetto ha ottenuto un punteggio x=52 in una scala di aggressività

STANDARDIZZAZIONEΨ

punteggio x=52 in una scala di aggressività dice abbastanza poco sulla caratteristica del

soggetto

Non si sa, cioè, se è poco o molto aggressivo o se la sua aggressività è nella media.

STANDARDIZZAZIONE

Per variabili misurate su scale a rapporti un singolo valore è già più informativo

Sappiamo ad esempio cosa vuol dire avere 18

Ψ

Sappiamo ad esempio cosa vuol dire avere 18 anni

Tuttavia anche con variabili di questo tipo conoscere un punteggio potrebbe non essere informativo delle caratteristiche del soggetto

STANDARDIZZAZIONE

Se si sa che un soggetto è alto 1.80 m

ΨEsempio

Questa informazione assume un significato ben diverso se il soggetto è

un pigmeo o uno svedese

Nel primo caso sarebbe “molto alto” mentre nel secondo sarebbe “nella

media”

Per avere un’idea chiara del significato di un dato valore dobbiamo riferire il valore stesso

alla distribuzione di punteggi del gruppo di cui fa parte

STANDARDIZZAZIONEΨ

fa parte

Gli aspetti da considerare sono due:

la scala di misura utilizzata

il confronto tra punteggi in test diversi

• la scala di misura

i punteggi di un test sono su scale a intervalli

equivalenti prive dello zero (utilizzabile come

• confronto tra punteggi in

STANDARDIZZAZIONEΨ

(utilizzabile come riferimento); i punteggi

vengono quindi riferiti alla media e alla varianza di un

gruppo

• confronto tra punteggi in test diversi

per confrontare misure ottenute con strumenti

diversi è necessario riferirle ad una scala comune o standard

STANDARDIZZAZIONE

• Questa operazione consente di definire laposizione di un soggetto all’interno di unadistribuzione di frequenza e, dunque, di:

Ψ

a) confrontare due prestazioni dello stessosoggetto entro due diverse distribuzioni

b) confrontare le prestazioni di soggettidiversi in differenti distribuzioni

STANDARDIZZAZIONE

Standardizzare significa riferire la misura ad una scala standard di cui sono noti i parametri (media e varianza)

Ψ

Gli indicatori di tendenza centrale e di dispersione (media e deviazione standard) possono essere utilizzati per ottenere la standardizzazione delle misure

noti i parametri (media e varianza)

STANDARDIZZAZIONE

Una delle scale più comunemente utilizzate è detta “standard” o “z” e ha media = 0 e varianza = 1

Ψ

Questa scala si ottiene trasformando i punteggi xi di una distribuzione in punteggi zi tramite la formula

s

XXz

−=PUNTI z

PUNTI zeta

Consentono riferire una misura ad una scala standard con media uguale a zero

e deviazione standard uguale a 1

Ψ STANDARDIZZAZIONE

e deviazione standard uguale a 1

La trasformazione dei valori Xi in valori zisignifica esprimere i valori come distanza dalla media in termini di

deviazioni standard

(cioè, usare la deviazione standard come unità di misura)

STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z

In un test di percezione visiva la media è21.25 e la deviazione standard di 6.74.

ΨEsempio

21.25 e la deviazione standard di 6.74.

Trasformare in punti z i seguenti punteggiottenuti da 6 soggetti dislessici.

Ss 1 2 3 4 5 6 xi 8 15 17 20 25 28

STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z

Si standardizzano i punteggi:

97.174.6

25.218z1 −=−= 10.1

74.6

25.2114z2 −=−=

Ψ

74.6 74.6

63.074.6

25.2117z3 −=−= 18.0

74.6

25.2120z4 −=−=

56.074.6

25.2125z5 =−= 00.1

74.6

25.2128z6 =−=

Ψxi 8 14 17 20 21.25 25 28 zi -1.97 -1.10 -0.63 -0.18 0 0.56 1.00

MEDIA

STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z

Il soggetto n°2 con 14 è una deviazione standardsotto alla media (21.25 - 6.74 ≅≅≅≅ 14)

Il soggetto n°6 con 28 è una deviazionestandard sopra alla media (21.25 + 6.74 = 28)

Ψx i 8 14 17 20 21.25 25 28 z i -1.97 -1.10 -0.63 -0.18 0 0.56 1.00

MEDIA

STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z

Il soggetto n°5 con 25 è circa mezza deviazionestandard sopra la media e, ad esempio, distadalla media la metà rispetto al soggetto n°6

Il soggetto n°1 con 8 è due deviazioni standardsotto la media e, ad esempio, dista dalla media ildoppio rispetto al soggetto n°2.

ΨSTANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z

Un soggetto ha ottenuto il punteggio di 30 sia in un test che misura l’ansia sia in uno che

misura l’introversione; come è possibile sapere se in certe situazioni il soggetto si

ESEMPIO

sapere se in certe situazioni il soggetto si dimostra più introverso o più ansioso?

E’ necessario utilizzare una scala comune sulla quale “leggere” i punteggi dei due test

Ψ STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z

Sapendo che la media dei punteggi al test di ansia è 36,6 e la deviazione standard 5.97 il punteggio 30 del nostro soggetto potrà essere trasformato in

ESEMPIO

essere trasformato in

07.197.5

6.3630z −=−=

Sapere che ha ottenuto un punto zeta di -1.05significa che si trova al di sotto della media (segno negativo) di circa 1 dev st

Ψ STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z

Il nostro soggetto ha un uguale punteggio (30) anche alla scala di introversione;

affermare che le due caratteristiche sono presenti in ugual misura è un errore, poiché si

ESEMPIO

presenti in ugual misura è un errore, poiché si deve tener conto del fatto che le due scale possono essere diverse

Per poter confrontare le due misure occorre standardizzarle, cioe’ fare riferimento ad una scala comune

Ψ STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z

La media dei punteggi al test di introversione è 31.2 e la deviazione standard 5.62; di conseguenza il punteggio 30 diviene

ESEMPIO

Quindi z ansia= -1.05 e z introversione= -0.21Su questa base si può affermare che il nostro soggetto è molto meno ansioso che introverso anche se in ambedue le caratteristiche si colloca al di sotto della media

21.062.5

2.3130z −=−=

Ψ STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z

Naturalmente può essere effettuato il percorsoinverso nel caso in cui si voglia conoscere ilvalore di x a partire dal valore di zcorrispondente. Basta trasformare la formula

XX −

Risolvendo l’equazione con incognita X

s

XXz

−=

zsXX +=

Ψ STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z

In un test attitudinale la media dei punteggi è72 con s=4

Se si volesse conoscere il punteggio di unosoggetto di cui si conosce z= -.25

ESEMPIO

soggetto di cui si conosce z= -.25

711724x)25.0(72X =−=−+=

zsXX +=

Ψ STANDARDIZZAZIONE

Oltre alla scala in punti z, nei manuali dei test psicologici si incontrano altre scale che sono trasformazioni lineari della scala z:

ALTRE SCALE

scala z:

- Scala in punti T

- Scala stanine (standard nine)

- Scala sten (standard ten)

Ψ STANDARDIZZAZIONE

Si tratta di una scala con M= 50 e s=10

Si ottiene applicando la formula:

Scala in punti T

Si ottiene applicando la formula:

z1050T +=

Varia tra 0 e 100

Non prevede valori negativi

Ψ STANDARDIZZAZIONE

Scala stanine (standard nine)

La scala ha M = 5 e s = 2

z25inetans += z25inetans +=

Divide la distribuzione in 9 categorie

Ψ STANDARDIZZAZIONE

Scala sten (standard ten)

La scala ha M = 5.5 e s = 2

z25.5sten += z25.5sten +=

Divide la distribuzione in 10 categorie

RANGO PERCENTILE

DEFINIZIONE

STANDARDIZZAZIONEΨ

Il rango percentile di un punteggio X, Il rango percentile di un punteggio X, RP(x)

può essere definito come la percentuale didati che assumono valore

minore o uguale a X

RANGO PERCENTILE

ESEMPIO

STANDARDIZZAZIONEΨ

Se un soggetto ha un punteggio X , Se un soggetto ha un punteggio Xi,

dire che RP(Xi) = 35significa che nella distribuzione ordinata

dei dati il punteggio Xi

lascia alla sua sinistra il 35% dei datidella distribuzione

CALCOLO DEL RANGO PERCENTILE

Dati non raggruppati in classi

STANDARDIZZAZIONEΨ-si dispongono i dati in ordine crescente

-si individua la posizione (POS) del punteggio che

( ) 1001N

POSXRP ⋅

+=

-si individua la posizione (POS) del punteggio che

interessa

- si applica la formula

Se N è > o = a 30 ( ) 100N

POSXRP ⋅=

CALCOLO DEL RANGO PERCENTILE

ESEMPIO

STANDARDIZZAZIONEΨSupponiamo di aver ottenuto i seguenti punteggi:

25 43 34 58 48 38 54

( ) 1001N

POSXRP ⋅

+=

Vogliamo conoscere il RP del punteggio 38

Ordino i dati: 25 34 38 43 48 54 5838 occupa la terza posizione

( ) 5.3710017

3XRP =⋅

+=

CALCOLO DEL RANGO PERCENTILE

Dati raggruppati in classi (distribuzione di frequenza)

STANDARDIZZAZIONEΨ-si dispongono le classi in ordine crescente

-si individua la posizione (POS) del punteggio Xi che

interessa con la formula

i0

cum fi

XXfPOS

0

−+=

interessa con la formula

fcumo= frequenza cumulata immediatamente inferiore al

valore Xifi = frequenza della classe che include il valore Xii = ampiezza della classe che include il valore XiX0= limite reale inferiore della classe che include il valoreXi

STANDARDIZZAZIONE

Classi

18-20

21-22

f

15

18

ΨESEMPIO

fcum

15

33

i

3

Limiti reali

17.5-20.5

20.5-22.521-22

23-24

25-26

27-30

18

20

16

13

82

33

53

69

82

2

2

2

4

22.5-24.5

20.5-22.5

24.5-26.5

26.5-30.5

Calcoliamo il RP del punteggio 28

CALCOLO DEL RANGO PERCENTILE

ESEMPIO

fXX

fPOS−+=

STANDARDIZZAZIONEΨ- si individua la posizione (POS) del punteggio 28 con

la formula

i0

cum fi

XXfPOS

0

−+=

74134

5.262869POS ≅−+=

( ) 9010082

74XRP ≅⋅=

ESERCIZIO

Nella classe di Giulio i voti all’ultimocompito di Matematica sono stati iseguenti

STANDARDIZZAZIONEΨ

seguenti

Giulio ha preso 6 al compito di matematica.Come valuto la sua prova?

xi 3 4 5 6 7 8 9 10 f 3 10 6 4 3 2 1 1

ESERCIZIO (Soluzione)

Si calcola il rango percentile del voto 6

STANDARDIZZAZIONEΨ

x i 3 4 5 6 7 8 9 10 f 3 10 6 4 3 2 1 1 f 3 10 6 4 3 2 1 1 fc 3 13 19 23 26 28 29 30

i0

cum fi

XXfPOS

0

−+= 2141

5.5619POS =−+=

( ) 7010030

216RP =⋅=

CALCOLO DEL RANGO PERCENTILE

Se le classi hanno ampiezza unitaria si puòusare la formula abbreviata:

STANDARDIZZAZIONEΨ

100N

2

ff

)X(RP

icum 0

⋅

+=

ESERCIZIO

Giulio ha preso 6 anche al compito diItaliano. I voti della classe sono iseguenti

STANDARDIZZAZIONEΨ

seguenti

Come valuto la sua prova? Avendo preso siaa Matematica che a Italiano 6, posso dire cheGiulio è ugualmente bravo nelle due materierispetto alla sua classe?

xi 4 5 6 7 8 9 10 f 2 3 4 12 7 1 1

ESERCIZIO (Soluzione)

Si calcola il rango percentile del voto 6

STANDARDIZZAZIONEΨ

xi 4 5 6 7 8 9 10 xi 4 5 6 7 8 9 10 f 2 2 4 13 7 1 1 fc 2 4 8 21 28 29 30

100n

2

ff

)X(RP

icum 0

⋅

+=

2010030

24

4)6( =⋅

+=RP

ESERCIZIO (Soluzione)

• Il voto 6 in Italiano corrisponde al 20°percentile ���� Giulio lascia dietro di sésoltanto il 20% dei compagni.

STANDARDIZZAZIONEΨ

soltanto il 20% dei compagni.

• Sebbene il voto sia lo stesso, la suaprova è peggiore rispetto a quella dimatematica relativamente alla classe ����

Giulio non è particolarmente bravo inItaliano, mentre è abbastanza bravo inMatematica (RP=70).

ESERCIZIO

Marta ha preso 6 al compito di Matematica. I voti della sua classe sono i seguenti:

STANDARDIZZAZIONEΨ

sono i seguenti:

xi 3 4 5 6 7 8 9 10 f 1 5 5 8 7 2 1 1

Come valuto la sua prova? Posso dire che Giulio

e Marta sono ugualmente bravi in Matematica,

tenendo conto dei risultati delle rispettive

classi di appartenenza?

ESERCIZIO (Soluzione)

Si calcola il rango percentile del voto 6 di Marta

STANDARDIZZAZIONEΨ

xi 3 4 5 6 7 8 9 10 f 1 5 5 8 7 2 1 1

100n

2

ff

)X(RP

icum 0

⋅

+=

f 1 5 5 8 7 2 1 1 fc 1 6 11 19 26 28 29 30

5010030

2

811

)6(RP =⋅

+=

ESERCIZIO (Soluzione)

Il voto 6 in matematica corrisponde al50° percentile ���� Marta lascia dietro di

STANDARDIZZAZIONEΨ

50° percentile ���� Marta lascia dietro disé il 50% dei compagni.

Sebbene il voto sia lo stesso di Giulio,

relativamente alle classi di appartenenza, la sua prestazione è peggiore rispetto a quella Giulio

PERCENTILE E RANGO PERCENTILE

NOTA BENE

Il percentile è un valore

STANDARDIZZAZIONEΨ

Il percentile è un valore

Il rango percentile è una posizione

Il 20° percentile è 6 valore

Il rango percentile di 6 è 20 posizione