CORRIGES DES EXAMENS D ... - physique-univ.fr

CORRIGES DES EXAMENS

D’ELECTROMAGNETISME

ET D’OPTIQUE

Christian Carimalo

Superposition, interferences

1˝) k “ω

c;ÝÑu1“

ÝÑ

k1 k1 “ ´ cos θÝÑex ` sin θ

ÝÑez

2˝)ÝÑ

B1“ ´j

2B0

ÝÑey ejpωt´

ÝÑ

k1 ¨ÝÑr q, avec

ÝÑ

k1 ¨ÝÑr “ kp´ cos θx` sin θzq.

3˝) La relationÝÑ

rotÝÑ

B1 “ jω

c2

ÝÑ

E1 , donne iciÝÑ

E1 “ÝÑ

B1 ^cÝÑu1 d’ou

ÝÑ

E1 “ ´jc

2B0

”

sin θÝÑex ` cos θ

ÝÑez

ı

ejpωt´ÝÑ

k1 ¨ÝÑr q.

4˝)ÝÑe1“ <r

ÝÑ

E1s “cB0

2

”

sin θÝÑex ` cos θ

ÝÑez

ı

sinpωt´ÝÑ

k1 ¨ÝÑr q ;

ÝÑ

b1 “ <rÝÑ

B1s “B0

2

ÝÑey sinpωt´

ÝÑ

k1 ¨ÝÑr q

5˝)

1

x

z

b1

θ

θ

k1

e

6˝)ÝÑ

R1“1

µ0

ÝÑe1 ^

ÝÑ

b1 “cB2

0

4µ0sin2pωt´

ÝÑ

k1 ¨ÝÑr q

ÝÑu1 . 7˝) r1 “

cB20

8µ0“ 3, 3 10´4 W/m2

(puissance moyenne transferee par unite de surface).

8˝)ÝÑ

B2“j

2B0

ÝÑey ejpωt´

ÝÑ

k2 ¨ÝÑr q, avec

ÝÑ

k2 ¨ÝÑr “ kpcos θx` sin θzq ;

ÝÑ

E2“ÝÑ

B2 ^cÝÑu2 avec

ÝÑu2“ cos θ

ÝÑex ` sin θ

ÝÑez , soit

ÝÑ

E2 “jc

2B0 e

jpωt´ÝÑ

k2 ¨ÝÑr q

”

sin θÝÑex ´ cos θ

ÝÑez

ı

9˝)ÝÑ

E “ cB0 ejpωt´k sin θzq

”

sin θÝÑex sinpk cos θxq ´ j cos θ

ÝÑez cospk cos θxq

ı

ÝÑ

B “ B0ejpωt´k sin θzq ÝÑey sinpk cos θxq. Cette onde se propage dans la direction z1z, avec la

vitesse de phase vφ “ ωpk sin θq “ c sin θ ą c ; les champs reels sont :

ÝÑe “ cB0

”

ÝÑex sin θ sinpk cos θxq cosϕ`

ÝÑez cos θ cospk cos θxq sinϕ

ı

et

Christian Carimalo 3 Superp., interf.

ÝÑ

b “ B0ÝÑey sinpk cos θxq cosϕ, ou ϕ “ ωt´ k sin θz.

10˝) a)ÝÑ

R “1

µ0

ÝÑe ^

ÝÑ

b “cB2

0

µ0

”

ÝÑez sin θ sin2pk cos θxq cos2 ϕ

´1

4

ÝÑex cos θ sinp2k cos θxq sin 2ϕ

;

ăÝÑ

R ą “ IÝÑez avec I “

cB20

2µ0sin θ sin2pk cos θxq “

cB20

4µ0cos θ r1´ cosp2k cos θxqs.

b) L’interfrange est : ` “λ

2 cos θou λ “ 2πcω.

11˝) i) Circulation du champ electrique.

E “ż a2

á2dz rEzpt, 0, zq ´ Ezpt, a, zqs `

ż a

0dx rExpt, x, a2q ´ Expt, x,á2qs ;

ż a2

á2dz rEzpt, 0, zq ´ Ezpt, a, zqs “ ´jcB0 e

jωt r1´ cospka cos θqs2 cos θ

k sin θsinp

ka sin θ

2q,

ż a

0dx rExpt, x, a2q ´ Expt, x,á2qs “ ´jcB0 e

jωt sinpka sin θ

2q

2 sin θ

k cos θr1´ cospka cos θqs,

d’ou E “ ´ 4jcB0

k sin θ cos θsin2p

ka cos θ

2q sinp

ka sin θ

2q ejωt.

ii) Flux du champ magnetique.

E “ ´ 9Φ “ ´jω ejωtż a2

á2dz e´jk sin θz

ż a

0dx sinpk cos θxq “ ´jω ejωt

´2j sinpka sin θ

2q

´jk sin θˆ

r1´ cospka cos θqs

k cos θ“ ´

4jcB0

k sin θ cos θsin2p

ka cos θ

2q sinp

ka sin θ

2q ejωt.

a

z

x

a/2

−a/2

M0

0

Christian Carimalo 4 Superp., interf.

Cable coaxial

1˝) a) b) La relationÝÑ

rotÝÑ

E “ ´jωÝÑ

B donne en coordonnees cylindriques

´jωBρ “1

ρ

BEzBϕ

´BEϕBz

, ´jωBϕ “BEρBz

´BEzBρ

, ´jωBz “1

ρ

"

B

BρrρEϕs ´

BEρBϕ

*

La symetrie cylindrique impose que les derivees partielles par rapport a ϕ soient nulles et queEϕ “ 0 car les demi-plans definis par ϕ “ constante sont ici consideres comme des P`. Lesseules composantes a priori non nulles sont donc Eρ, Ez et Bϕ.

2˝) a) On prend Ez “ 0, d’ouBEρBz

“ ´jωBϕ. La relationÝÑ

rotÝÑ

B “ jω

v2

ÝÑ

E , ou v “ 1?εµ0,

conduit aBBϕBz

“ ´jω

v2Eρ.

b) La relation divÝÑ

E “ 0 “1

ρ

B

BρrρEρs implique que Eρ soit de la forme (en notation

complexe) Eρpρ, z, tq “F pzq

ρejωt.

3˝) a) b) Combinant les deux relations du 2˝) a), on deduitB2EρBz2

“ ´k2Eρ ou k “ ωv “

ω?µ0ε. La fonction F du 2˝) b) doit donc satisfaire l’equation

d2F

dz2“ ´k2F dont la

solution generale peut etre ecrite sous la forme F pzq “ F“

e´jkz ` rejkz‰

ou F et r sontdeux constantes. Le premier terme Fe´jkz represente une onde progressive dans la directionz1z tandis que le second represente une onde retrograde dans la direction opposee, cettederniere pouvant resulter d’une reflexion de la premiere, avec un coefficient de reflexion r.

R Dans la suite, pour simplifier l’ecriture, nous omettons, partout ou cela est possible, lefacteur temporel ejωt.

c) Bϕ “1

v

F

ρ

”

e´jkz ´ rejkzı

.

4˝) a) σa “ εEρpρ “ a` 0q “εF

a

”

e´jkz ` rejkzı

; Qa “ 2πaσa ;

σb “ ´εEρpρ “ b´ 0q “εF

b

”

e´jkz ` rejkzı

; Qb “ 2πb σb “ ´Qa.

b) Ja “1

µ0Bϕpρ “ a`0q “

1

µ0v

F

a

”

e´jkz ´ rejkzı

; Ia “ 2πa Ja “2π

µ0vF”

e´jkz ´ rejkzı

;

Jb “ ´1

µ0Bϕpρ “ b´ 0q “ ´

1

µ0v

F

b

”

e´jkz ´ rejkzı

; Ib “ 2πb Jb “ ´Ia.

5˝) a)ÝÑ

B “ÝÑ

rotÝÑ

A ;ÝÑ

E “ ´ÝÑ

grad V ´

ÝÑ

BA

Bt; Eϕ “ 0 et

BV

Bϕ“ 0 conduisent a Aϕ “ 0. Si l’on

peut prendre de plus Aρ “ 0, alors Eρ “ ´BV

Bρet Bϕ “ ´

BAzBρ

.

Christian Carimalo 5 Cable coaxial

b)BV

Bρ“ ´Eρ “ ´

F

ρ

”

e´jkz ` rejkzı

. En integrant cette equation par rapport a ρ et en

ajustant la “constante d’integration” de telle sorte que V soit nul pour ρ “ b, on obtient

V “ F lnrb

ρs

”

e´jkz ` rejkzı

.

c) Puisque Ez “ 0 “ ´BV

Bz´ jωAz, on deduit Az “ ´

1

jω

BV

Bz, soit, en tenant compte de

kω “ 1v, Az “F

vlnr

b

ρs

”

e´jkz ´ rejkzı

.

6˝) a) Upz, tq “ V pa, z, tq “ F lnrb

as

”

e´jkz ` rejkzı

ejωt ;

Up0, tq “ F lnrb

as r1` rs ejωt, donc F “

U0

p1` rq lnrb

as

.

b) Upz, tq “ U0

“

e´jkz ` rejkz‰

1` rejωt, Iapz, tq “

2π

µ0v

U0

p1` rq lnrb

as

”

e´jkz ´ rejkzı

ejωt

7˝) a) Z “µ0v

2πlnb

a

„

e´jkz ` rejkz

e´jkz ´ rejkz

“ Zc

„

e´jkz ` rejkz

e´jkz ´ rejkz

“ Zc1` x

1´ x, avec x “ re2jkz “

Z ´ ZcZ ` Zc

.

b) A z “ h, re2jkh “Z0 ´ ZcZ0 ` Zc

. On supprime la reflexion en prenant Z0 “ Zc.

c) Zc “ 60 Ω.

8˝) a) Pour z ą ` : Eąρ “ejωt

ρF t e´jk

1z ou t est un coefficient de transmission, et k1 “

ω?µ0ε1 ;B

ąϕ “

F

ρv1e´jk

1z ; pour z ă ` : Eăρ “F

ρ

”

e´jkz ` rejkzı

,Băϕ “F

ρv

”

e´jkz ´ rejkzı

.

b) En z “ ` : e´jk` ` rejk` “ te´jk1` ;

1

v

”

e´jk` ´ rejk`ı

“t

v1e´jk

1`. En posant v “ cn,

v1 “ cn1, on obtient

r “ e´2jk` n´ n1

n` n1, t “ ejpk

1´kq` 2n

n` n1

Christian Carimalo 6 Cable coaxial

Onde electromagnetique dans l’ionosphere

1˝) ρ “ eN ´ epN ` nq “ én.

2˝) m

ÝÑ

dv

dt“ é

ÝÑ

E “ jmωÝÑv , d’ou, en notation complexe,

ÝÑv “ ´

e

jmω

ÝÑ

E

3˝)ÝÑ “ Ńe

ÝÑv “

Ne2

jmω

ÝÑ

E

4˝) divÝÑ

E “ρ

ε0“ ´

ne

ε0; div

ÝÑ

B “ 0 ;ÝÑ

rotÝÑ

E “ ´jωÝÑ

B ;ÝÑ

rotÝÑ

B “ µ0

”

ÝÑ `jωε0

ÝÑ

Eı

.

5˝) La conservation de la charge s’exprime par la relation divÝÑ

j `Bρ

Bt“ 0, qui se transcrit

ici comme div”

ŃéÝÑvı

` jωpńeq “ 0, soit div”

N´ÝÑvı

“ ´jωn.

6˝) a)ÝÑ

rotÝÑ

B “ µ0

„

Ne2

jmω

ÝÑ

E `jωε0ÝÑ

E

“ jωµ0ε0 εÝÑ

E , avec ε “ 1Ńe2

mε0ω2.

b) De 6˝) a) on deduit divÝÑ

rotÝÑ

B “ 0 “ jωµ0ε0 div”

εÝÑ

Eı

, donc div”

εÝÑ

Eı

“ 0.

c)ÝÑ

rotÝÑ

E “ ´jωÝÑ

B (voir 4˝)).

d) divÝÑ

B “ 0 : c’est une equation fondamentale du magnetisme.

7˝) De la relationÝÑ

rotÝÑ

rotÝÑ

E “ÝÑ

grad divÝÑ

E ´ÝÑ

∆E, on tire, compte tenu de 6˝) b) (ε est ici

une constante), ´ÝÑ

∆E“ÝÑ

rot”

´jωÝÑ

Bı

“ ´jω”

jωµ0ε0εÝÑ

Eı

, soitÝÑ

∆E“ ´ω2

c2εÝÑ

E , avec

c “ 1?ε0µ0. En procedant de la meme maniere pour le champ

ÝÑ

B , on trouve que celui-cisatisfait la meme equation.

8˝) a) k2 “ω2

c2ε.

b) La propagation dans le mileu ionise n’est possible que si k2 est positif, et cela n’est realise

que si ω ą ωp ou ωp “

d

Ne2

mε0.

c) ωp » 2, 4 107 rd/s ; λp “2πc

ωp» 75 m ; la propagation se fait sans attenuation dans le

domaine λ ă λp.

9˝) a) Vφ “ω

k“

c?ε“

cc

1´ω2p

ω2

; Vg “dω

dk“

ˆ

dk

dω

˙´1

“ c

d

1´ω2p

ω2

Christian Carimalo 7 Onde em dans l’ionosphere

b)

10˝) Continuite des composantes paralleles au plan xOy des champs electrique et magnetique.

11˝) a) k0 “ω

c.

b)ÝÑ

B1“ ´E0

c

”

e´jk0z ´ rejk0zı

ejωtÝÑex ;

ÝÑ

B2“ ´E0n

cτ e´jkzejωt

ÝÑex , avec n “

?ε.

12˝) Continuite de Ey a z “ 0 : 1` r “ τ ; continuite de Bx a z “ 0 : 1´ r “ nτ . On endeduit

r “1´ n

1` n, τ “

2

1` n

13˝) 14˝) R “ r2 “

„

1´ n

1` n

2

“

„

1´ n2

p1` nq2

2

“u4

p1`?

1´ u2q4; Rp0, 6q “ 1, 2 10´2 ;

Rp0, 8q “ 6, 25 10´2 ; Rpa

p8081qq “ 0, 64.

15˝) a) Le facteur de reflexion R devient de plus en plus important en avoisinant 100%, amesure que λ s’approche de λp “ 75 m par valeurs inferieures.

b) h “ cδt

2“ 90 km.

Christian Carimalo 8 Onde em dans l’ionosphere

Vitesse de phase, vitesse de groupe, reflexion

Exercice I

1˝) Les equations de Maxwell dans ce milieu sont :

ÝÑ

rotÝÑ

B “ jωn

c2

ÝÑ

E , divÝÑ

B “ 0,ÝÑ

rotÝÑ

E “ ´jωÝÑ

B , divÝÑ

E “ 0, ou c “ 1?ε0µ0. On a

ÝÑ

rotÝÑ

rotÝÑ

E “ÝÑ

grad divÝÑ

E ´ÝÑ

∆E“ ´ÝÑ

∆E“ ´jωÝÑ

rotÝÑ

B “ω2

c2nÝÑ

E , doncÝÑ

∆E“ ´ω2

c2nÝÑ

E . Le

champ magnetique satisfait la meme equation. On a ici k “ω

cn.

2˝) a) Voir le cours. b) vφ “ ωk “ cn, vg “

ˆ

dk

dω

˙´1

. Avec n “

c

1´ω2

0

ω2ou ω0 “

2πca, on obtient vφ “c

c

1´ω2

0

ω2

et vg “ c

c

1´ω2

0

ω2. La vitesse de groupe, associee a

la propagation de l’energie, est inferieure a c, ce qui est en accord avec la relativite, tandisque la vitesse de phase peut bien etre superieure a c comme ici car elle ne represente pas lapropagation d’un phenomene materiel.

Exercice II

1˝) a) b)ÝÑ

k “ω

c

ÝÑu , avec c “ 1

?ε0µ0. Les ondes incidente et reflechie se propageant

dans le meme milieu ont des vecteurs d’onde de meme module, donc ||ÝÑ

k1 || “ k “ω

c.

2˝) a) Les composantes du champ electrique dans les directions paralleles a xOz, soit Ex etEz, doivent etre continues en y “ 0. Le miroir etant suppose parfait, le champ electrique estnul dans la region y ă 0 et par consequent, Ex “ 0 et Ez “ 0 pour y “ 0.

b) Le champ total dans la region y ą 0 est la somme du champ de l’onde incidente et de

celui de l’onde reflechie :ÝÑ

Etot“ÝÑ

E `ÝÑ

E1 . Pour y “ 0, on a,

E0xe´jpkxx`kzzq ` E10xe

´jpk1xx`k1zzq “ 0, E0ze

´jpkxx`kzzq ` E10ze´jpk1xx`k

1zzq “ 0

Ces egalites doivent etre verifiees pour tout x et pour tout z. Par consequent, on doit avoird’une part k1x “ kx “ k sin θ, k1z “ kz “ 0, et, d’autre part, E10x “ ´E0x et E10z “ ´E0z.

c) Puisque pÝÑ

k1 q2 “ k2 “ pk1xq2 ` pk1yq

2 ` pk1zq2 “ k2

x ` k2y ` k

2z , et compte tenu des egalites

precedentes, on a pk1yq2 “ k2

y, soit k1y “ ˘ky. Seule la solution k1y “ ´ky represente uneonde reflechie.

d) Dans le milieu y ą 0, depourvu de charge, est verifiee l’equation divÝÑ

Etot“ 0, laquelle

conduit aÝÑ

k ¨ÝÑ

E `ÝÑ

k1 ¨ÝÑ

E1“ 0. En prenant x “ 0 et z “ 0, cette equation donne elle-memekx

“

E0xe´jkyy ` E10xe

jkyy‰

` kz“

E0ze´jkyy ` E10ze

jkyy‰

` ky“

E0ye´jkyy ´ E10ye

jkyy‰

“ 0.

En passant a la limite y “ 0 et en tenant compte des egalites etablies precedemment, onobtient ky

“

E0y ´ E10y

‰

“ 0, donc E10y “ E0y.

Christian Carimalo 9 Vitesses de phase, de groupe, reflexion

3˝)ÝÑ

ET “ 2 ejpωt´kxxq!

´j sin kyy”

ÝÑex E0x`

ÝÑez E0z

ı

` cos kyyÝÑey E0y

)

Ex “ 2E0x sin kyy sinpωt´ kxxq, Ey “ 2E0y cos kyy cospωt´ kxxq,

Ez “ 2E0z sin kyy sinpωt´ kxxq.

4˝) a)ÝÑ

rotÝÑ

Ei,r “ ´jωÝÑ

Bi,r “ ´jÝÑ

ki,r ^ÝÑ

Ei,r, doncÝÑ

Bi,r “1

c

ÝÑui,r ^

ÝÑ

Ei,r. On en deduit

ÝÑ

B “1

ωejpωt´kxx´kyyq

”

kyE0zÝÑex ´kxE0z

ÝÑey `pkxE0y ´ kyE0xq

ÝÑez

ı

ÝÑ

B1“1

ωejpωt´kxx`kyyq

”

kyE0zÝÑex `kxE0z

ÝÑey `pkxE0y ´ kyE0xq

ÝÑez

ı

.

b) Bx “2

ωkyE0z cos kyy cospωt´ kxxq, By “ ´

2

ωkxE0z sin kyy sinpωt´ kxxq

Bz “2

ωpkxE0y ´ kyE0xq cos kyy cospωt´ kxxq

5˝) L’onde incidente etant plane, on doit aussi avoirÝÑ

k ¨ÝÑ

E “ 0 “ kxE0x ` kyE0y “

k rsin θE0x ´ cos θE0ys. On posera donc E0x “ E0 cos θ, E0y “ E0 sin θ. Exprimant toutesles constantes en fonction de E0, θ, ω et c, il vient Ez “ 0 et

Ex “ ´2E0 cos θ sinpω cos θ

cyq sinωpt´

sin θ

cxq,

Ey “ 2E0 sin θ cospω cos θ

cyq cosωpt´

sin θ

cxq, puis Bx “ By “ 0 et

Bz “ 2E0

ccosp

ω cos θ

cyq cosωpt´

sin θ

cxq.

6˝) a) Energie transferee, par unite de surface et par unite de temps :ÝÑ

P “1

µ0

ÝÑ

E ^ÝÑ

B “1

µ0

”

EyÝÑex ´ Ex

ÝÑey

ı

Bz, Pz “ 0.

b) ă Py ą“ 0, ă Px ą“ 2E2

0

cµ0sin θ cos2p

ω cos θ

cyq

7˝) La fonction cos2pω cos θ

cyq s’annule pour

ω cos θ

cy “

π

2`mπ ou m est un entier relatif,

soit y “λ

cos θ

ˆ

1

4`m

2

˙

ou λ “ 2πcω.


8˝) a) σ “ ε0 Ey|y“0` “ 2E0ε0 sin θ cosωpt´sin θ

cxq

b) jx “1

µ0Bz|y“0` “

2E0

cµ0cosωpt´

sin θ

cxq

9˝) a) b)BjxBx

“2E0

cµ0

ˆ

ω sin θ

c

˙

sinωpt´sin θ

cxq “ 2ε0E0 sin θ ω sinωpt´

sin θ

cxq

Bσ

Bt“ ´2ε0E0 sin θ ω sinωpt ´

sin θ

cxq. On a donc

BjxBx

“ ´Bσ

Bt, equation qui traduit la loi

de conservation de la charge.


Milieu dielectrique absorbant

1˝) a) b)ÝÑ

∆E“ ´k2ÝÑ

E , avec k “ω

cn ou n “

?εr.

2˝) Pour l’air, n “ 1, donc k ” k0 “ω

c.

3˝) Pour une onde plane,ÝÑ

B “1

ω

ÝÑ

k ^ÝÑ

E ;

ÝÑ

Bi “E0

c

ÝÑez ^

ÝÑex e

jpωt´k0zq “E0

c

ÝÑey e

jpωt´k0zq ;ÝÑ

Br “ ´rE0

c

ÝÑey e

jpωt`k0zq ;

ÝÑ

Bi “ nτE0

c

ÝÑez ^

ÝÑex e

jpωt´kzq “ nτE0

c

ÝÑey e

jpωt´kzq

4˝) n2 “ n1 2 ´ n2 2 ´ 2jn1n2 “ ε1r ´ jε2r , donc n1 2 ´ n2 2 “ ε1r, 2n1 n2 “ ε2r

5˝) e´jkz “ e´jk0n1z e´k0n

2z. L’existence d’une partie imaginaire de l’indice doit rendrecompte d’un phenomene d’absorption du milieu. Elle fait apparaıtre dans l’amplitude duchamp un facteur reel e´k0n

2z qui doit etre decroissant lorsque z augmente. On doit doncavoir n2 ą 0.

6˝) D’une facon generale, continuite des composantes tangentielles du champ electrique et dela composante normale du champ magnetique. Pour un dielectrique, toutes les composantesdu champ magnetique sont continues.

7˝) Continuite du champ electrique : 1`r “ τ ; Continuite du champ magnetique : 1´r “ nτ .D’ou

τ “2

n` 1, r “

1´ n

1` n.

8˝) r “1´ n1 ` jn2

1` n1 ´ jn2“

1´ n12 ´ n22 ` 2jn2

p1` n1q2 ` n22, donc r0 “ |r| “

d

p1´ n1q2 ` n22

p1` n1q2 ` n22

et tanφ “ ´2n2

1´ n12 ´ n22.

9˝) τ0 “ |τ | “2

a

p1` n1q2 ` n22, tanφ1 “

n2

1` n1;

τ 10 “ |nτ | “ 2

?n12 ` n22

a

p1` n1q2 ` n22, tanφ2 “ ´

n2

n1p1` n1q ` n22;

Eix “ E0 cospωt´ k0zq, Biy “E0

ccospωt´ k0zq ;

Erx “ r0E0 cospωt` k0z ´ φq, Bry “ ´r0E0

ccospωt` k0z ´ φq ;

Etx “ τ0 e´k0n2z E0 cospωt´ k0n

1z ` φ1q, Bry “ τ 10 e´k0n2z

E0

ccospωt´ k0n

1z ` φ2q

Christian Carimalo 12 Dielectrique absorbant

10˝)ÝÑ

Pi “1

µ0

ÝÑ

E i ^ÝÑ

B i “ÝÑez

E2ix

cµ0;ÝÑ

Pr “ ´ÝÑez

E2rx

cµ0;ÝÑ

Pt “ÝÑez

EtxBtyµ0

;

ÝÑ

Pi “ÝÑez

E20

cµ0cos2pωt´ k0zq, ă

ÝÑ

Pią “ÝÑez

E20

2cµ0;

ÝÑ

Pr “ ´ÝÑez r2

0

E20

cµ0cos2pωt´ k0z ´ φq, ă

ÝÑ

Prą “ ´ÝÑez r2

0

E20

2cµ0;

ÝÑ

Pt “ÝÑez τ0 τ

10 e´2k0n2z

E20

cµ0cospωt´ k0n

1z ` φ1q cospωt´ k0n1z ` φ2q,

ăÝÑ

Ptą “ÝÑez τ0τ

10 e´2k0n2z

E20

2cµ0cospφ1 ´ φ2q ;

11˝) a) T “ τ0τ10 cospφ1 ´ φ2q ; or, τ‹τ 1 “ τ0τ

10ejpφ2´φ1q. On a donc T “ <pττ 1‹q.

b) R “ r20 “

p1´ n1q2 ` n22

p1` n1q2 ` n22; τ‹τ 1 “

4n

|1` n|2, et <pτ‹τ 1q “ 4n1

p1` n1q2 ` n22; d’ou

R`T “ 1. Cette relation exprime la conservation de l’energie au passage de l’onde a traversle plan z “ 0.

12˝) R “4625

7585“

18500

30100» 0, 6 ; T “ 1´R » 0, 4 ; Pabs. » 0, 4 mW.

13˝) δ “1

2k0n2“

c

4πn2ν» 2, 5 cm.

Christian Carimalo 13 Dielectrique absorbant

Ondes em guidees - I

1˝) Les deux conducteurs etant supposes parfaits, le champ electrique doit y etre nul. On saitqu’a la traversee de la surface separant deux milieux quelconques, les composantes du champelectrique dans les directions paralleles a la surface sont continues. Or, ici, le champ etudien’a qu’une seule composante Ex, parallele aux deux plans y “ 0 et y “ a. Par consequent,Exp0q “ 0 et Expaq “ 0.

2˝)ÝÑ

rotÝÑ

E “ ´jωÝÑ

B , d’ou Bx “ 0, By “k

ωEx et Bzpyq “ ´

j

ω

dE

dypyq ejpωt´kzq ;

ÝÑ

rotÝÑ

B “ jωε0µ0

ÝÑ

E , d’ou, avec c “ 1?ε0µ0,

jω

c2Ex “

BBzBy

´BByBz

“ ejpωt´kzq„

´j

ω

d2E

dy2pyq ` j

k2

ωEpyq

. On obtient ainsi l’equation

differentielled2E

dy2“ pk2 ´

ω2

c2qE “ K2E, avec K2 “ k2 ´

ω2

c2.

3˝) Si k “ ωc, la solution generale de l’equation differentielle est Epyq “ A1y `A2, ou lesdeux constantes doivent etre ajustees de telle sorte que Ep0q “ 0 et Epaq “ 0. On obtientA2 “ 0, A1 “ 0. Dans ce cas, la solution avec lesdites conditions aux limites est nulle et ilne peut y avoir propagation.

Supposons donc K ‰ 0. Epyq est alors de la forme Epyq “ A1eKy ` A2e

´Ky. Les deuxconditions aux limites donnent A1 “ ´A2, et 0 “ A1

`

eKa ´ e´Ka˘

. La solution n’estdifferente de zero que si A1 ‰ 0, ce qui implique que la deuxieme condition soit realiseeavec eKa ´ e´Ka “ 2 sinhpKaq “ 0. Mais cette nouvelle condition n’est realisable quesi K est complexe. La propagation de l’onde n’est donc possible que si k ă ωc. Posons

maintenant K “ jχ avec χ “

c

ω2

c2´ k2. La solution generale de l’equation differentielle

peut maintenant s’ecrire comme Epyq “ E0 sinχy ` A cosχy. On a Ep0q “ A “ 0, puisEpaq “ E0 sinχa “ 0. Cette deuxieme condition est verifiee si χa “ pπ ou p est un entier.

Il existe donc a priori une infinite (discrete) de solutions du type Eppyq “ E0p sin´pπ

ay¯

.

4˝) a) b) k2p “

ω2

c2´p2π2

a2. Si ω ă cpπa, kp est purement imaginaire. Ecrivant kp “ ´jαp,

le facteur de propagation e´jkz devient alors un facteur d’attenuation e´αpz : l’onde ne peutalors se propager. La propagation de ce mode n’est donc possible que si ω ą cpπa. On voitdonc qu’il n’y aura de possibilite de propagation d’un quelconque mode que si ω est superieur

a la valeur minimum ωm “cπ

a.

c) kp “

c

ω2

c2´p2π2

a2; vπp “

ω

kp“

cc

1´ω2p

ω2

; vgp “

ˆ

dkpdω

˙´1

“ c

c

1´ω2p

ω2.

5˝)ÝÑ

Bp “j

ω

ÝÑ

rotÝÑ

Ep “j

ω

„

´jkpEpxÝÑey ´

BEpxBy

ÝÑez

“

Christian Carimalo 14 Ondes em guidees - I

E0p ejpωt´kpzq

„

kpω

sinχpyÝÑey ´j

χpω

cosχpyÝÑez

, avec χp “ pπa.

6˝) p “ 1, k ” k1 “

c

ω2

c2´π2

a2, χ1 “

π

a;

ÝÑ

B1 “ E01 ejpωt´k1zq

„

k1

ωsinπ

y

a

ÝÑey ´j

π

aωcosπ

y

a

ÝÑez

,

On sait que les discontinuites des composantes tangentielles du champ magnetique a latraversee de la surface d’un conducteur sont dues a la presence de courants superficiels surladite surface. Comme ici Bx “ 0 a l’interieur comme a l’exterieur des deux conducteurs, ilne peut y avoir sur les deux surfaces y “ 0 et y “ a de composante de courant superficieldans la direction z1z. Par contre, il y a sur les deux surfaces des courants superficiels dans ladirection x1x dont les densites sont donnees par

Jx “1

µ0rBzp0`q ´Bzp0´qs ”

Bzp0`q

µ0“ ´jE01

π

aωejpωt´k1zq pour y “ 0 ;

J 1x “1

µ0rBzpa´ 0q ´Bzpa` 0qs ”

Bzpa´ 0q

µ0“ `jE01

π

aωejpωt´k1zq “ ´Jx pour y “ a ;

7˝) Ecrivant le champ electrique sous la forme Ex “jE0

2ejωt

”

e´jpχy`kzq ´ e´jp´χy`kzqı

,

celui-ci apparaıt comme la somme du champ electrique d’une onde se propageant dans ladirection du vecteur χ

ÝÑey `k

ÝÑez , et du champ electrique d’une onde se propageant dans la

direction du vecteur ´χÝÑey `k

ÝÑez . Cette derniere onde provient de la reflexion de la premiere

sur la surface conductrice y “ a, et la premiere provient de la reflexion de la seconde surla surface conductrice y “ 0 (voir dessin), les reflexions s’effectuant avec un coefficient dereflexion egal a ´1.

θ

y

z

θθ

G

L

H

L’angle de reflexion θ est donne par sin θ “k

a

k2 ` χ2“kc

ω“

c

vφ“vgc“

d

1´ω2p

ω2.

On constate ainsi qu’une onde ne se propage pas en ligne droite dans l’espace inter-conducteur0 ď y ď a, mais y progresse par reflexions successives sur les parois des conducteurs. Ladistance GL par exemple est parcourue a la vitesse c en un laps de temps ∆t “ GLc, tandisque le transfert d’energie progresse de H a L a la vitesse HL∆t “ cHLGL “ c sin θ “ vg.

Christian Carimalo 15 Ondes em guidees - I

Effet Faraday

1˝) m

ÝÑ

dv

dt“ ´mω2

0ÝÑu `q

´ÝÑ

E `ÝÑv ^

ÝÑ

B¯

2˝) Pour une onde plane se propageant a la vitesse V , on a |ÝÑ

B | “ |ÝÑ

E |V . Puisquev ! V , on peut negliger la partie magnetique de la force de Lorentz.

3˝) a) b) ´mω2 ÝÑu “ ´mω20ÝÑu `q

ÝÑ

E , d’ou ~u “qÝÑ

E

mpω20 ´ ω

2q;ÝÑp “ q

ÝÑu “

q2ÝÑ

E

mpω20 ´ ω

2q.

c)ÝÑ

P “ NÝÑp “ ε0 χ

ÝÑ

E , avec χ “Nq2

mε0pω20 ´ ω

2q.

4˝) a) b) c)ÝÑ

rotÝÑ

E “ ´jωÝÑ

B ;ÝÑ

rotÝÑ

B “ µ0

”

jωÝÑ

P `ε0jωÝÑ

Eı

“ jωε0µ0p1` χqÝÑ

E ;

divÝÑ

B “ 0 ; divÝÑ

E “ 0 (car χ est independant des coordonnees) ; εε0 “ εr “ n2 “ 1` χ,

et n “

d

1`Nq2

mε0pω20 ´ ω

2q.

d) vφ “ ωk ; vg “

ˆ

dk

dω

˙´1

, avec ici k “ωn

c. D’ou, d’une part, vφ “

c

n, et, d’autre part,

dk

dω“n

c`

ω

2cn

dn

dω“n

c`

ω

2nc

„

Nq2

mε0

2ω

pω20 ´ ω

2q2

“1

nc

„

n2 `Nq2

mε0

ω2

pω20 ´ ω

2q2

“1

nc

„

1`Nq2

mε0

ω20

pω20 ´ ω

2q2

, donc vg “n c

1`Nq2

mε0

ω20

pω20 ´ ω

2q2

5˝)ÝÑ

E pM, tq “ E0ÝÑex ejpωt´kzq ;

ÝÑ

B pM, tq “E0n

c

ÝÑey ejpωt´kzq.

6˝) a) mpω20 ´ ω

2qux “ qEx ` jωqB0 uy ; mpω20 ´ ω

2quy “ qEy ´ jωqB0 ux

mpω20 ´ ω

2quz “ qEz “ 0.

b) u˘ “qE˘

mpω20 ´ ω

2q ¯ ωqB0.

7˝) a) ∆E˘ “ ´ω2

c2p1` χ˘qE˘ , avec χ˘ “

Nq2

ε0

1

mpω20 ´ ω

2q ¯ ωqB0.

b) n˘ “?

1` χ˘ ; k˘ “ k0 n˘, avec k0 “ ωc.

8˝) n2˘ » 1`

Nq2

mε0pω20 ´ ω

2q

„

1˘ωqB0

mpω20 ´ ω

2q

“ n2

„

1˘Nq3B0ω

m2n2ε0pω20 ´ ω

2q2

, soit

n˘ » n˘Nq3B0ω

2m2nε0pω20 ´ ω

2q2.

Christian Carimalo 16 Effet Faraday

9˝) a) b) E˘ “ E0 ejpωt´k˘zq, d’ou

Ex “E0

2ejωt

”

e´jk`z ` e´jk´zı

, Ey “E0

2jejωt

”

e´jk`z ´ e´jk´zı

c) On pose k` “ k1 ` k2, k´ “ k1 ´ k2. On a alors

Ex “ E0 ejpωt´k1zq cos k2z , Ey “ É0 e

jpωt´k1zq sin k2z. Le rapport EyEx “ ´ tan k2zreste constant au cours du temps : en chaque point, le champ electrique garde une orientationconstante au cours du temps.

10˝) L’angle θ de cette orientation par rapport a l’orientation initiale selon x1x est donne par

θ “ KB0z avec K “ Ńq3ω2

2m2 c n ε0pω20 ´ ω

2q2“

Ne3ω2

2m2 c n ε0pω20 ´ ω

2q2pour q “ é. Cette

derniere expression peut encore s’ecrire K “epn2 ´ 1q

2mcn

ω2

ω20 ´ ω

2.

Christian Carimalo 17 Effet Faraday

Ondes guidees - II

z

n1

n2

x

1˝)ÝÑ

rotÝÑ

E “ ´jωÝÑ

B ;ÝÑ

rotÝÑ

B “ jωµ0εÝÑ

E ; divÝÑ

E “ 0 ; divÝÑ

B “ 0.

2˝) Les equations du 1˝) donnent ici

BExBz

´BEzBx

“ ´jωBy ; jωµ0εEx “ ´BByBz

; jωµ0εEz “BByBx

; d’ou

´jωBy “B

Bz

„

´1

jωµ0ε

BByBz

´B

Bx

„

1

jωµ0ε

BByBx

, soit finalement

B2ByBx2

`B2ByBz2

“ ´k2By en posant k “ωn

cou n “

a

εε0. Ainsi, k1 “ωn1

c, k2 “

ωn2

c.

3˝) a) Posant By “ fpxqgpyqejωt, on deduit de l’equation du 2˝) : f2g` fg2 “ ´k2fg, ou

f2

fpxq`

g2

gpyq “ ´k2. Les deux variables x et y etant independantes, cette derniere equation

ne peut etre satisfaite que si et seulement si chaque membre du terme de gauche est une

constante, soitf2

f“ constante “ γ et

g2

g“ ´k2 ´ γ.

b) La composante Ez du champ electrique est tangentielle vis-a-vis des parois conductrices et

de ce fait doit etre continue au passage a travers ces parois. Or,ÝÑ

E “ÝÑ

0 dans le conducteur

suppose parfait. Donc Ez “ 0 pour x “ 0 et pour x “ a, et comme Ex 9BByBx

, on en deduit

f 1p0q “ f 1paq “ 0.

c) L’equation f2 “ γf a pour solution generale :

i) fpxq “ A1 xÀ2 si γ “ 0 ;

ii) fpxq “ A1 coshp?γxq À2 sinhp

?γxq si γ ą 0 ;

iii) fpxq “ A1 cosp?´γxq À2 sinp

?´γxq si γ ă 0 ;

dans chaque cas, les constantes A1 et A2 doivent etre ajustee de telle sorte que les deuxconditions du b) soient verifiees. On montre facilement que compte tenu de ces conditions,les formes i) et ii) ne conviennent pas car elles conduisent a la solution nulle. La forme iii) est

Christian Carimalo 18 Ondes guidees - II

la seule acceptable. En effet, posant α “?´γ, on a f 1pxq “ ´A1α sinpαxq`αA2 cospαxq,

et lesdites conditions donnent f 1p0q “ αA2 “ 0, soit A2 “ 0, et f 1paq “ ´αA1 sinpαaq “ 0,soit sinpαaq “ 0, si l’on veut eviter la solution nulle. On obtient donc des solutions non nullessi αa “ pπ ou p est un entier que l’on peut supposer positif (strictement), et par consequent,

γ “ ´p2π2

a2.

4˝) a) g2 “ ´pk2 ` γqg “ ´χ2 g avec χ2 “ k2 ´ p2π2

a2.

b) Il y a propagation sans attenuation si et seulement si χ2 ą 0, soit k ą pπ

a(sinon, χ “ jη

avec η ą 0, ce qui conduirait a un gpzq proportionnel au facteur decroissant e´ηz).

c) k “2πnν

cěπ

a, d’ou (pour p “ 1), νmin “ νc “

c

2na; on trouve ν1c “ 7, 5 109 Hz pour

n “ n1 et ν2c “ 15 109 Hz pour n “ n2.

Or, ν “ cλ “ 20 109 Hz, soit ν2c pp “ 1q ă ν ă 2ν2c pp “ 2q : dans le milieu II, seul lemode p “ 1 se propage sans attenuation.

5˝) a) Pour p “ 1, fpxq 9 cosαx avec α “π

a, et χ “

c

k2 ´π2

a2. En supposant que le

milieu II soit illimite vers les grandes valeurs positives de z, les expressions de By sont

By “ cosαxB2 ejpωt´χ2zq pour z ą 0,

By “ cosαx ejωt“

B0 e´jχ1z `B1 e

jχ1z‰

pour z ă 0,

ou B0, B1 et B2 sont des constantes, χi “

c

k2i ´

π2

a2, ki “

ω

cni (i “ 1, 2).

b) Le terme proportionnel a B1 rend compte de la reflexion de l’onde a l’interface z “ 0.

c) i) Pour z ă 0 :

Ex “ωχ1

k21

cosαx“

B0´jχ1z ´B1 e

jχ1z‰

ejωt ;

Ez “jωα

k21

sinαx“

B0 e´jχ1z `B1 e

jχ1z‰

ejωt ;

ii) pour z ą 0 :

Ex “ωχ2

k22

cosαxB2 ejpωt´χ2zq ; Ez “

jωα

k22

sinαxB2 ejpωt´χ2zq.

6˝) a) By continu, Ex continu.

b) B0 ` B1 “ B2,χ1

k21

rB0 ´B1s “χ2

k22

B2, d’ou, en posant ρi “ εiχi, r “ B1B0,

τ “ B2B0 : 1` r “ τ , 1´ r “ρ1

ρ2τ , soit

r “ρ2 ´ ρ1

ρ2 ` ρ1, τ “

2ρ2

ρ2 ` ρ1.

7˝) a) Les composantes des champs reels sont :

i) pour z ă 0 : by “ B0 cosαx r cospωt´ χ1zq ` r cospωt` χ1zq s,


ex “B0ωχ1

k21

cosαx r cospωt´ χ1zq ´ r cospωt` χ1zq s,

ez “ ´B0ωα

k21

sinαx r sinpωt´ χ1zq ` r sinpωt` χ1zq s.

ii) pour z ą 0 : by “ B0 τ cosαx cospωt´ χ2zq ;

ex “ B0 τωχ2

k22

cosαx cospωt´ χ2zq ; ez “ ´B0 τωα

k22

sinαx sinpωt´ χ2zq.

La forme generique du vecteur de Poynting estÝÑ

P “1

µ0

ÝÑe ^

ÝÑ

b “1

µ0

”

exÝÑuz ´ez

ÝÑux

ı

by ;

le flux d’energie radiante s’exprime comme Φ “

ż h

´hdy

ż a

0dx Pz “ 2h

ż a

0dx Pz. Tenant

compte de

ż a

0dx cos2 αx “

a

2, on obtient :

Φ1pt, zq “ah

µ0

ωχ1B20

k21

“

cos2pωt´ χ1zq ´ r2 cos2pωt` χ1zq

‰

;

Φ2pt, zq “ah

µ0

ωχ2B20τ

2

k22

cos2pωt´ χ2zq.

La conservation de l’energie implique Φ1 “ Φ2 pour z “ 0, soitχ1

k21

p1 ´ r2q “χ2

k22

τ2.

Verifions cette relation. Comme τ “ 1 ` r, k2i “

ω2

c2n2i “ ω2µ0 εi, on devrait donc avoir

χ1

ε1p1´ rq “

1´ r

ρ1“χ2

ε2τ “

τ

ρ2, et cette relation est bien verifiee d’apres 6˝) b).

c) R “ rΦrefl.Φinc.sz“0 “ r2 “pρ2 ´ ρ1q

2

pρ2 ` ρ1q2

, T “ rΦtrans.Φinc.sz“0 “ρ1

ρ2τ2 “

4ρ1ρ2

pρ2 ` ρ1q2

,

et l’on verifie aisement la relation R ` T “ 1 qui exprime la conservation de l’energie enz “ 0.


Modele plan d’une fibre optique

(1)

(2)

(3)

x

x’

z’ z

n2

n2

n1

−a

a

1˝)ÝÑ

rotÝÑ

E “ jωÝÑ

B ,ÝÑ

rotÝÑ

B “ jω

c2n2

ÝÑ

E , divÝÑ

B “ 0, divÝÑ

E “ 0.

2˝) Les deux milieux sont supposes illimites dans les directions paralleles a y1y : il y ainvariance par translation parallelement a cet axe, y ne peut etre une variable sensible, lescomposantes du champ em n’en dependent pas.

3˝) ´ωBx “ kEy, ωBy “ kEx ´ jBEzBx

, ωBz “ jBEyBx

,BExBx

“ jkEz ;

ωn2

c2Ex “ kBy,

ωn2

c2Ey “ ´kBx ` j

BBzBx

,ωn2

c2Ez “ ´j

BByBx

,BBxBx

“ jkBz.

4˝) Les composantes Bx, By, Bz, Ey, Ez sont continues pour x “ a et pour x “ á.

5˝) Ez “ 0, Bz “ 0. On a alorsBExBx

“ 0 etBBxBx

“ 0. Les deux composantes Ex et Bx

ne dependent pas de x, aussi bien dans le milieu (I) que dans le milieu (II). Or, les champssont supposes nuls pour |x| infini. Par suite, Ex “ 0 et Bx “ 0 pour x ą a et x ă á.Utilisant les relations du 3˝), on en deduit By “ 0 et Ey “ 0 dans ces deux regions. Commeconsequence de la continuite de ces deux dernieres composantes et de Bx pour x “ a etx “ á, on a aussi Ey “ 0, By “ 0 et Bx “ 0 aussi bien dans la region á ď x ď a.

Utilisant la relationωn2

c2Ex “ kBy, on en deduit enfin Ex “ 0 dans la region á ă x ă a.

En conclusion, le champ electromagnetique est nul partout si Ez “ 0 et Bz “ 0.

6˝) a) On a ωBy “ kEx et kBy “ωn2

c2Ex, donc ωkBy “

ω2n2

c2Ex “ k2Ex. Si k ‰

ωn

c,

cette relation n’est satisfaite que si Ex “ 0 et aussi By “ 0. On en conclut que dans ce casEx “ 0 et By “ 0 partout (par continuite).

b) ´ωkBx “ k2Ey “ ω

„

ωn2

c2Ey ´ j

BBzBx

“ω2n2

c2Ey `

B2EyBx2

, soit

B2EyBx2

“ pk2 ´ω2

v2qEy (v “ cn)

Christian Carimalo 21 Fibre optique

c) Ey “ A1 eα1x ` A11 e

´α1x pour á ď x ď a ; Ey “ A2 e´α2x pour x ě a ;

Ey “ A3 eα2x pour x ď á.

d) Ey est une composante tangentielle du champ electrique vis-a-vis des deux interfaces

x “ a et x “ á ;BEyBx

9 Bz et Bz est continu.

‚ Continuite en x “ a :

A1 eα1a À11 e

´α1a “ A2 e´α2a, α1 rA1 e

α1a Á11 e´α1a s “ ´α2A2 e

´α2a , d’ou

2A1 eα1a “

„

1´α2

α1

A2 e´α2a, 2A11 e

´α1a “

„

1`α2

α1

A2 e´α2a.

‚ Continuite en x “ á :

A1 e´α1a À11 e

α1a “ A3 e´α2a, α1 rA1 e

´α1a Á11 eα1a s “ α2A3 e

´α2a , d’ou

2A1 e´α1a “

„

1`α2

α1

A3 e´α2a, 2A11 e

α1a “

„

1´α2

α1

A3 e´α2a.

D’ou :

4A1A11 e

2α1a “

„

1´α2

α1

2

A2A3 e´2α2a et 4A1A

11 e´2α1a “

„

1`α2

α1

2

A2A3 e´2α2a

Si les constantes sont differentes de zero, on en deduit la relation e4α1a “pα1 ´ α2q

2

pα1 ` α2q2

.

Etant donne que α1 ą 0, α2 ą 0, cette relation est impossible a realiser puisque le membrede gauche est superieur a 1 tandis que celui de droite est inferieur a 1. Par consequent,A1A

11 “ A2A3 “ 0. Si A1 “ 0, alors, d’apres les relations precedentes, A2 “ A3 “ 0 et

donc A11 “ 0. De meme, si A11 “ 0 alors A2 “ A3 “ 0 et par suite A1 “ 0. On en conclutque pour le cas etudie, le champ electromagnetique est nul partout.

7˝) a) Ep1qy “ A1 cosα1x ` A11 sinα1x, soit, en tenant compte des conditions a x “ 0 :

Ep1qy “ E0 cosα1x ; E

p2qy “ A2 e

´α2x ; Ep3qy “ A3 e

α2x.

b) ‚ Continuite en x “ a :

E0 cosα1a “ A2 e´α2a ; α1E0 sinα1a “ α2A2 e

´α2a, donc, necessairement (E0 ‰ 0 etA2 ‰ 0),

tanpα1aq “α2

α1, cospα1aq “

α1a

α21 ` α

22

, sinpα1aq “α2

a

α21 ` α

22

puis A2 “ eα2aE0 α1

a

α21 ` α

22

;

‚ Continuite en x “ á : E0 cosα1a “ A3 e´α2a ; ´α1E0 sinp´α1aq “ α2A3 e

´α2a ; ontrouve donc A3 “ A2.

8˝) a) Deωn2

că k ă

ωn1

c, on tire

n2

n1ă cos θ ă 1, soit encore

0 ă sin θ ă sin θc “

d

1ń2

2

n21


On a α2 “ωn1

c

a

sin2 θc ´ sin2 θ , d’ouα2

α1“

d

sin2 θc

sin2 θ´ 1 et tanpα1aq “

tanp2πn1a

λsin θq. La relation (3) prend donc la forme tanp

2πn1a

λsin θq “

d

sin2 θc

sin2 θ´ 1

d) Le graphe de la fonction f1puq “ tanpψpuqq ou ψpuq “2πn1a

λu, possede, dans chaque

intervalle Mπ ă ψ ă pM`1qπ, ou M est un entier positif, une branche positive allant jusque

l’infini. A cet intervalle de longueur π pour ψ correspond pour u l’intervalleλ

2n1aM ă u ă

λ

2n1apM ` 1q, de longueur ∆u “

λ

2n1a. La fonction positive f2puq “

c

sin2 θcu2

´ 1 est

strictement decroissante jusque la valeur zero dans l’intervalle 0 ă u ă sin θc et son graphepeut donc intercepter une ou plusieurs branches de celui de f1puq. Pour connaıtre le nombrep de points d’intersection entre les deux graphes, qui represente aussi le nombre de modestransmissibles, il suffit de diviser sin θc par ∆u pour obtenir :

p “ E

„

2n1a

λsin θc

` 1 “ E

„

2a

λ

b

n21 ´ n

22

` 1

ou E rHs represente la partie entiere de H. Ce nombre croıt avec a.

d) Pour que le premier mode soit le seul transmissible, on ne doit observer qu’une seuleintersection entre les graphes de f1puq et de f2puq, et ceci n’est realise que si le second zero

de f1puq se trouvant apres le zero u “ 0, c’est-a-dire u “λ

2n1a(correspondant a ψ “ π), est

plus eloigne que le zero u “ sin θc de f2puq. Dans ce cas, p “ 1, soit E

„

2a

λ

b

n21 ´ n

22

“ 0,

ou encore2a

λ

b

n21 ´ n

22 ă 1. La condition sur 2a est donc 2a ă

λa

n21 ´ n

22

“ 6, 25µm.


Rayonnement d’une antenne

1˝) Tout plan defini par ϕ “ constante est un P` et en chacun de ses points le champmagnetique lui est orthogonal, tandis que le champ electrique est contenu dans ce plan ;donc Bρ “ Bz “ 0 et Eϕ “ 0. La symetrie cylindrique fait que ϕ n’est pas une variablesensible, les composantes non nulles du champ em n’en dependent pas.

2˝) L’equationÝÑ

rotÝÑ

B “ jω

c2

ÝÑ

E donne ´BBϕBz

“ jω

c2Eρ, et

1

ρ

B

BρrρBϕs “ j

ω

c2Ez.

L’equationÝÑ

rotÝÑ

E “ ´jωÝÑ

B donneBEρBz

´BEzBρ

“ ´jωBϕ.

3˝) Les equations du 2˝) conduisent aB2BϕBz2

`B

Bρ

„

1

ρ

B

BρrρBϕs

“ ´ω2

c2Bϕ ; si ρBϕ “

F pzqejωt, cette derniere equation conduit elle-meme ad2F

dz2“ ´k2F ou k “

ω

c. La fonction

F pzq a donc necessairement la forme generale F pzq “ Ae´jkz `B ejkz, A et B etant deuxconstantes.

4˝) a) Le corps de l’antenne etant parfaitement conducteur, le champ electromagnetique y estnul. Le champ magnetique ne s’annulant lorsqu’on approche de l’antenne depuis l’exterieur,subit donc une discontinuite qui mesure le vecteur densite superficielle du courant qui circulesur la surface de l’antenne. Ce vecteur n’a qu’une seule composante jz selon z1z, donnee par

jz “1

µ0Bϕpa` 0, z, tq “

F pzq

µ0aejωt.

b) Ipz, tq “ 2πajz “2πF pzq

µ0ejωt.

5˝) On doit avoir F p0q “ A ` B “µ0I0

2π‰ 0, et F ph2q “ Ae´jkh2 ` B ejkh2 “ 0,

F p´h2q “ Aejkh2 ` B e´jkh2 “ 0. Sommant les deux dernieres conditions, on obtient

2 cos

„

kh

2

pA`Bq “ 0, soit pA`B ‰ 0qkh

2“ pn`

1

2qπ ou (k “ 2πλ) h “ pn`

1

2qλ.

Comme Aejkh2 “ ´B e´jkh2 et Ae´jkh2 “ ´B ejkh2, on a A2 “ B2 et comme B ‰ Á,

il vient B “ A “µ0I0

4π. L’intensite I a ainsi pour expression Ipz, tq “ I0 cos kz ejωt.

6˝) PM2 “ r2 ` z2 ´ 2rz cos θ ; Pour r " |z|, on a PM “ r

c

1`z2

r2´ 2

z

rcos θ »

r´ z cos θÒpz2

rq,

1

PM»

1

rÒp

z

r2q, d’ou Az »

µ0I0

4πrejωpt´rcq

ż h2

´h2cos kz ejkz cos θ dz

7˝) J “

ż h2

´h2cos kz ejkz cos θ dz “

1

2

ż h2

´h2

”

ejkzp1`cos θq ` e´jkzp1ćos θqı

dz “

1

2

„

2 sin kp1` cos θqh2

kp1` cos θq`

2 sin kp1´ cos θqh2

kp1´ cos θq

“

Christian Carimalo 24 Antenne

1

k

„

sinp1` cos θqπ2

1` cos θ`

sinp1´ cos θqπ2

1´ cos θ

“λ

π

cospπ

2cos θq

sin2 θ, d’ou

Az »µ0I0λ

4π2rejωpt´rcq

cospπ

2cos θq

sin2 θ

8˝) a) Ar “ÝÑer ¨

ÝÑez Az “ cos θAz, Aθ “

ÝÑeθ ¨

ÝÑez Az “ ´ sin θAz.

b) DeÝÑ

B “ÝÑ

rotÝÑ

A on tire Br “ 0, Bθ “ 0, Bϕ »1

r

B

BrrrAθs “ ´jkAθ, puis j

ω

c2

ÝÑ

E “ÝÑ

rotÝÑ

B

donne Er » 0, Eϕ » 0 et jω

c2Eθ » ´

1

r

B

BrrrBϕs » ´

ω2

c2Aθ, soit Eθ » ´jωAθ. Cette

derniere relation montre que l’on a fait le choix d’un potentiel electrique nul, puisque, d’une

facon generale, on aÝÑ

E “ ´ÝÑ

grad V ´

ÝÑ

BA

Bt. Comme Bϕ » ´j

ω

cAθ, on a bien Eθ » cBϕ

avec

Bϕ » jµ0I0

2πrejωpt´rcq

cospπ

2cos θq

sin θ

9˝) a)ÝÑ

P “1

µ0

ÝÑe ^

ÝÑ

b “c

µ0b2ϕ

ÝÑer , Pr “

cµ0I20

4π2r2

»

–

cospπ

2cos θq

sin θ

fi

fl

2

sin2 ωpt´ rcq,

ă Pr ą“cµ0I

20

8π2r2

»

–

cospπ

2cos θq

sin θ

fi

fl

2

, puisW “cµ0I

20

8π2r2

ż π

0r2 sin θdθ

ż 2π

0dϕ

»

–

cospπ

2cos θq

sin θ

fi

fl

2

,

soit

W “cµ0I

20

4πˆ 1, 22

b) R “cµ0

2πˆ 1, 22 » 73 Ω.

Christian Carimalo 25 Antenne

Diffraction par une fente rectangulaire - Apodisation

1˝) Voir le cours.

2˝) a) Epα, β, γq “

ż a2

´a2dxP

ż b2

´b2dyP e

j2π

λpαxP ` βyP q

“1

j2πα

λ

»

–ej2πα

λ

a

2 ´ e´j

2πα

λ

a

2

fi

flˆ

1

j2πβ

λ

»

–ej2πβ

λ

b

2 ´ e´j

2πβ

λ

b

2

fi

fl “ absinX

X

sinY

You X “

παa

λet Y “

πβb

λ.

b)ÝÑu “

ÝÑ

O1M

O1M, α “

ÝÑu ¨

ÝÑex“

ÝÑex ¨

ÝÑ

FM

O1M“

x

O1M»x

fet X »

πa

λfx ;

de meme, β “ÝÑu ¨

ÝÑey »

y

fet Y »

πb

λfy.

u

y

x

y

x

u

O O’ F

M

f

L

c) et 3˝) L’intensite de l’eclairement est proportionnelle a |E|2 et peut etre prise egale a

I “ HpXqHpY q avec HpUq “sin2 U

U2.

Christian Carimalo 26 Diffraction-Apodisation

D’ou la repartition de l’intensite lumineuse dans le plan F schematisee par la figure ci-dessus,

centree sur le foyer F . Les premiers minima d’intensite nulle sont obtenus pour x “ ˘λf

aet

pour y “ ˘λf

b. La region centrale de la figure de diffraction a donc pour dimensions

∆x “2λf

a“ 1, 2 mm, ∆y “

2λf

b“ 0, 04 mm

On note que les zeros de HpXq sont donnes par X “ nπ avec |n| entier superieur ou egal a1, tandis que ses maximas secondaires sont obtenus lorsque X est solution de tanX “ X,soit X “ ˘4, 49 (3π2 “ 4, 71), X “ ˘7, 72 (5π2 “ 7, 85), X “ ˘19, 9 (7π2 “ 10, 99),

c’est-a-dire, pour des valeurs de X voisines de Xp “ ˘p2p` 1qπ

2avec p entier superieur ou

egal a 1, donnant HpXpq “4

π2p2p` 1q2, soit HpX1q “ 0, 045, HpX2q “ 0, 016, etc. Ces

maximas sont a l’interieur de bandes de largeur δX “ π, soit δx “ ∆x2.

4˝) E1pα, β, γq “ bsinY

YJ avec

J “

ż a2

´a2dxP

1

2ej2πα

λxP

«

ejπxPa ` e

´jπxPa

ff

“1

2j

»

—

–

12πα

λ`π

a

¨

˝ejp

2πα

λ`π

aqa

2

´e´jp

2πα

λ`π

aqa

2

˛

‚`1

2πα

λ´π

a

¨

˝ejp

2πα

λ´π

aqa

2 ´ e´jp

2πα

λ´π

aqa

2

˛

‚

fi

ffi

fl

“1

2

»

—

–

12πα

λ`π

a

˜

ejπαa

λ ` e´jπαa

λ

¸

´1

2πα

λ´π

a

˜

ejπαa

λ ` e´jπαa

λ

¸

fi

ffi

fl

“2a

πF pXq avec F pXq “

cosX

1´4X2

π2

, X “παa

λ. Ainsi, E1pα, β, γq “ a b

2

πF pXq

sinY

Y.

5˝) a) b)

F pXq

F p´Xq “ F pXq ; F p0q “ 1 ; F pπ2q “ π4 ; F pπq “ 13 ; F p3π2q “ 0 ; F 1p3π2q “´18 ; F p2πq “ ´115 ; F p5π2q “ 0 ; F 1p5π2q “ 124.


F pXq “ 0 pour X “ p2n ` 3qπ

2avec n entier ě 0. Pour X1 “ 5, 93557 » 2π intervient

le premier extremum negatif de F pXq, egal a ´0.07. Le second extremum, positif et egal a0, 02927, est obtenu pour X2 “ 9, 203 » 3π.

c) Les deux figures ci-dessous permettent d’evaluer l’effet que provoque, sur la distributionen X de l’intensite lumineuse, l’introduction de la pellicule transparente.

F 2pXqsin2X

X2

On constate :

‚ que la largeur de la region centrale a augmente de 50%, passant de 2π a 3π ;

‚ que les maximas secondaires sont notablement amoindris : la valeur des premiers passentde 0, 045 pour HpXq a 0, 0049 pour F pXq, soit une diminution d’un facteur 10.

Ainsi, le “corps” de la distribution, represente par la region centrale, a ete elargi, tandisque le reste de la distribution, caracterise par les maximas secondaires qualifies de “pieds”,a ete quasiment supprime. C’est pourquoi on parle “d’apodisation” de la distribution. Cecipeut presenter un avantage pour l’utilisation de certains instruments optiques. Cependant,a intensite lumineuse incidente donnee, l’intensite lumineuse maximum dans la figure dediffraction a ete reduite d’un facteur 4π2, soit d’environ 60%.


Diffraction et interferences - I

1˝), 2˝), 3˝) Se reporter aux questions 1, 2 et 3 du probleme sur l’apodisation.

4˝) a) On prend encore l’origine des phases en O. CommeÝÑ

OP 1“ÝÑ

OO1 `ÝÑ

O1P 1, on a

E1 “ ej2π

λ

ÝÑ

OO1 ¨ÝÑu

ĳ

dx1P dy1P e

j2π

λ

ÝÑ

O1P 1 ¨ÝÑu“ ejϕEpα, β, γq ou

ϕ “2π

λ

ÝÑ

OO1 ¨ÝÑu “

πh

λα »

πh

λfx.

b) Puisque |E1| “ |E|, la figure de diffraction est inchangee.

5˝) a) Les ondes reemises par les quatre ouvertures etant coherentes, l’amplitude totale del’onde derriere l’ecran est E1 “ E1 ` E2 ` E3 ` E4 avec E1 “ ejϕE et E2 “ e3jϕE, E3 “

e´jϕE, E4 “ e´3jϕE, soit E1 “ 2 rcosϕ` cos 3ϕs E. Or, cosϕ ` cos 3ϕ “ 2 cosϕ cos 2ϕ

d’ou E1 “ GpZqF pXqF pY q avec F pUq “sinU

Uet GpZq “ 4 a bZ, Z “ cosϕ cos 2ϕ.

b) Ipx, yq “ |E1|2 “ 16a2b2 Z2 F 2pXqF 2pY q ; ϕX “ ha.

6˝) a) Zpϕq est une fonction periodique de periode 2π ; de plus, Zp2π´ϕq “ Zpϕq. Posantu “ cosϕ, on a Z “ up2u2 ´ 1q ; dans l’intervalle r0, 2πs, on a :

‚ Z “ 1 pour u “ 1, soit ϕ “ 0 et ϕ “ 2π ; Z “ ´1 pour u “ ´1, soit ϕ “ π ;

‚ Z “ 0 pour u “ 0 et pour u “ ˘1?

2, soit pour ϕ “ π4, ϕ “ π2, ϕ “ 3π4, ϕ “ 5π4,

ϕ “ 3π2 et ϕ “ 7π4 ;

‚ Z 1pϕq “ ´ sinϕ“

6 cos2 ϕ´ 1‰

; cette derivee est nulle pour ϕ “ 0, π, 2π, et pour cosϕ “

˘1?

6, soit ϕ “ φ0 “ 1, 15 rd“ 65, 9˝ (minimum negatif), ϕ “ π ´ φ0 “ 1, 99 rd“ 114˝

(maximum positif), ϕ “ π ` φ0 “ 4, 29 rd“ 245, 9˝ (maximum positif), ϕ “ 2π ´ φ0 “

5, 13 rd“ 294˝ (minimum negatif).

Z en fonction de ϕ dans l’intervalle r0, 2πs

Christian Carimalo 29 Diffraction et interferences

b)

Z2 en fonction de ϕ

7˝) a)

Z2 F 2pXq en fonction de ϕ

b) La distance separant deux maxima principaux consecutifs est telle que ∆iϕ “ π “ πh∆ix

fλ,

soit ∆i x “λf

h“ 6 10´2mm.

c) La largeur suivant x1Fx de la region centrale de la figure de diffraction est ∆d x “2λf

aet

l’on a∆d x

∆i x“

2h

a“ 20 : il y a donc dans cette zone 19 maxima principaux correspondant a

des franges d’interference brillantes, celles-ci etant par ailleurs de moins en moins lumineusesa mesure qu’on approche des bords.


Diffraction et interferences - II

1˝) Voir le cours.

2˝) a) Le calcul est similaire a celui de la question 2˝) du probleme sur l’apodisation, enremplacant α et β par α ´ α0 et β ´ β0, respectivement. On trouve donc Epα, β, γq “

a bF pXqF pY q ou F pUq “sinU

Uet X “

πa

λpα´ α0q, Y “

πb

λpβ ´ β0q.

b) α“ÝÑex ¨

ÝÑu “

ÝÑex ¨

ÝÑ

O1M

O1M“ÝÑex ¨

ÝÑ

FM

O1M“

x

O1M»x

f.

De meme, α0 “ÝÑex ¨

ÝÑu0“

ÝÑex ¨

ÝÑ

O1M0

O1M0“ÝÑex ¨

ÝÑ

FM0

O1M0“

x0

O1M0»x0

f, d’ou X »

πa

fλpx ´ x0q.

Avec la meme approximation, Y »πb

fλpy ´ y0q.

c) Ipx, yq “ |E|2 “ a2b2F 2pXqF 2pY q. La figure de diffraction est ici centree sur le pointM0. Pour sa representation schematique en deux dimensions, voir 2˝) c) du probleme surl’apodisation.

3˝) ∆x “2λf

a“ 1, 2 mm, ∆y “

2λf

b“ 0, 04 mm.

4˝) a) L’origine des phases est prise en O. CommeÝÑ

OP 1“ÝÑ

OO1 `ÝÑ

O1P 1, on a

E1 “ ej2π

λ

ÝÑ

OO1 ¨ÝÑ

∆uĳ

dx1P dy1P e

j2π

λ

ÝÑ

O1P 1 ¨ÝÑ

∆u“ ejϕEpα, β, γq ou

ÝÑ

∆u“ÝÑu ´

ÝÑu0 ,

ϕ “2π

λ

ÝÑ

OO1 ¨ÝÑ

∆u“πh

λpα´ α0q »

πh

λfpx´ x0q.

b) Puisque |E1| “ |E|, la figure de diffraction est inchangee.

5˝) a) Voir le cours. b) Les ondes reemises par les deux ouvertures etant coherentes, l’am-plitude totale de l’onde derriere l’ecran est E1 “ E

`

ejϕ ` e´jϕ˘

“ 2 cosϕE, et l’intensitede l’eclairement dans le plan F est I 1px, yq “ 4a2b2 cos2 ϕF 2pXqF 2pY q.

cos2p4Xq sin2pXqX2 en fonction de X

c) d) Dans la zone centrale de la figure de diffraction ou l’eclairement est le plus important,


on observe des franges d’interference, l’interfrange, distance entre deux franges voisines etant

` “λf

h. On a ici ϕX “ ha “ 4, et ∆x` “ 2

h

a“ 8 : il y a donc 7 franges d’interference

brillantes a l’interieur de la zone centrale (voir figure). On note que plus h est grand, plus ily a de franges d’interferences dans la zone centrale de diffraction.

6˝) a) b) Les lumieres emises par les deux etoiles etant incoherentes, l’intensite lumineusedans le plan F est I “ I`I 1 “ 4a2b2

“

cos2 ϕF 2pXq ` cos2 ϕ1 F 2pX 1q‰

F 2pY q. On supposeraici que h est grand devant a, et que le nombre de franges d’interference dans chacune desdeux zones centrales de diffraction est donc grand. Admettant aussi que ces deux zones sontproches l’une de l’autre et en portant l’observation au voisinages de leurs centres qui sont lesplus lumineux, on peut negliger l’influence de la diffraction et ecrire F 2pXq » 1, F 2pX 1q » 1.En outre, b est suppose suffisamment grand pour que l’on puisse aussi faire l’approximationF 2pY q » 1. La partie interessante de l’intensite totale est donc I 1 “ cos2 ϕ ` cos2 ϕ1.Dans cette situation, on constate que les deux systemes de franges se brouillent lorsque ϕ

et ϕ1 different de p2k ` 1qπ

2ou k est un entier relatif, puisqu’alors cos2 ϕ “ sin2 ϕ1 et

I 1 “ 1, c’est-a-dire que dans ce cas, l’intensite lumineuse devient uniforme dans la regionetudiee. Concretement, ce brouillage apparaıt lorsque les franges brillantes de l’un des deuxsystemes d’interference viennent a la place des franges sombres de l’autre. Par exemple, les

franges brillantes dues a la lumiere provenant de S correspondent a ϕ “ k1π “ 2k1π

2ou

k1 est un entier relatif, tandis que les franges sombres dues a la lumiere provenant de S1

correspondent a ϕ1 “ p2k2 ` 1qπ

2ou k2 est aussi un entier relatif. Si ces valeurs de ϕ et

de ϕ1 sont effectivement prises au meme point M du plan F , on a α ´ α0 “λ

2hp2k1q et

α´α10 “ p2k2` 1qλ

2h, soit α10´α0 “

λ

2hr2pk1 ´ k2q ` 1s “

λ

2hr2k ` 1s ou k est un entier

relatif. Cette circonstance intervient lorsque la distance h entre les ouvertures, supposee

variable, prend l’une des valeursλ

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

2k ` 1

α10 ´ α0

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

, la plus petite etant hm “λ

2|α10 ´ α0|. On en

deduit |α10 ´ α0| “λ

2hm“ 6 10´6 rd. En fait, le brouillage effectivement observe peut se

manifester bien avant que h ne prenne exactement l’une des valeurs critiques, car , selon lasensibilite de l’appareil de mesure utilise, le contraste de la figure resultante peut vite s’averertrop faible pour qu’on puisse deceler avec precision les faibles variations d’intensite lumineuse.

Pour finir, on notera qu’ici ∆x` “ 2ha et que chaque zone centrale de diffraction contientau minimum une centaine de franges brillantes plus ou moins lumineuses des que h ě hm.


CORRIGES DES EXAMENS D ... - physique-univ.fr

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