Experience No 39

Constante de Stefan-Boltzmann

1 Introduction

Tout corps a temperature T 6= 0 K emet et absorbe une radiation electromagnetique dansle domaine des longueurs d’onde λ variant de 0 a l’infini. Cette radiation electromagnetiqueest engendree par les fluctuations de charges dues a l’agitation thermique de la matiere.Un corps est en equilibre thermique avec le milieu environnant lorsqu’il absorbe autant derayonnement qu’il en emet. A temperature ambiante le rayonnement est important dansl’infrarouge (I-R, λ ≈ 10 µm). A plus haute temperature, le spectre d’emission se deplacevers le visible, a commencer par le rouge (loi de Wien : filament de lampe incandescente).

Le point a etudier dans cette experience est l’expression de l’intensite du rayonnement enfonction de la temperature (loi de Stefan-Boltzmann).

Pour introduire cette loi, voyons quelques grandeurs caracteristiques de la radiation ther-mique :

Emission Lorsqu’une surface emet un rayonnement, la puissance dP rayonnee danstoutes les directions par une unite de surface dS s’ecrit :

dP = E dS

E etant l’emittance 1. Mais pour preciser la distribution spatiale et la composition spec-trale on introduit la luminance spectrale Lθλ de maniere a ecrire :

dP = Lθλ dS dΩ dλ

ou dΩ est l’angle solide dans la direction θ (voir Fig. 1). La luminance spectrale d’un corpsest en relation avec son pouvoir d’absorption (loi de Kirchhoff).

Absorption Lorsqu’un rayonnement de puissance incidente Pi tombe sur un corps,celui-ci peut en reflechir une partie Pr, en transmettre une partie Pt, le reste Pa etantabsorbe.

Le rapport Pa/Pi = Aλ est appele le facteur d’absorption monochromatique (lumiere delongueur d’onde λ donnee). Ce facteur depend en general de la nature du corps, de l’etatde sa surface, de la temperature et de la direction de la lumiere incidente.

1Unite de l’emittance : [E] = watt/m2

1

Fig. 1 –

Un corps pour lequel Aλ = 1 pour tout λ et T est par definition un corps noir : toutrayonnement tombant sur un tel corps est totalement absorbe. Cependant, une telle surfacematerielle n’existe pas (la meilleure realisation d’un corps noir est l’orifice d’une enceintea parois absorbantes) et donc en general Aλ < 1.

Loi de Kirchhoff La luminance spectrale d’une surface quelconque est egale a celled’une surface noire (n) de meme temperature, multipliee par le facteur d’absorption :

Lθλ(T ) = Aλ(T ) L(n)λθ (T )

La luminance spectrale du corps noir

L(n)λθ (T ) = L

(n)λ (T ) cos θ (cos θ provient de la loi de Lambert)

est directement liee a la densite spectrale d’energie u(λ, T ) par la relation :

L(n)λ (T ) =

c

4πu(λ, T )

et u(λ, T ) est donnee par la celebre loi de distribution de Planck :

u(λ, T ) =8πhc

λ5

1

ehc/λkT − 1(1)

h = 6.63× 10−34 Js constante de Planckk = 1.38× 10−23 JK−1 constante de Boltzmannc = 2.998× 108 ms−1 vitesse de la lumiereT [K] temperature absolue du corps considere.

Loi de Stefan-Boltzmann Pour calculer l’emission totale d’energie par unite de tempset de surface d’un corps noir, on integre L

(n)λθ (T ) sur toutes les directions du demi-espace

et sur toutes les longueurs d’onde. Cette integrale est l’emittance energetique du corpsnoir E(n) et est donnee par :

E(n) = σ T 4 (2)

2

avec σ = 2π5k4

15 h3c2= 5.67× 10−8 watt

m2K4 =constante de Stefan-Boltzmann.

Pour un corps gris (Aλ < 1) la relation ci-dessus s’ecrit :

E = A σ T 4 (3)

ou A < 1 est une valeur moyenne des Aλ.

Determination experimentale de σ D’apres ce qui precede, un transfert de cha-leur par rayonnement thermique peut donc se produire entre deux corps de temperaturedifferente, separes par le vide ou par un milieu transparent.

Considerons deux spheres concentriques aux temperatures T0 et T ayant des facteursd’absorption moyens A0 et A voisins de 1 (Fig. 2). Pour calculer, de maniere simple, lapuissance perdue par radiation par la sphere interieure, il faut supposer tout d’abordque d/ri 1 de telle facon que toute la radiation emise par la sphere exterieure ailledirectement sur la sphere interieure. Ceci implique aussi l’approximation S = S0. Pourla sphere interieure le bilan des puissances radiatives peut s’ecrire, au premier ordre desreflexions2 :

Puissance emise par la sphere interieure : Pe = A S σ T 4 i)dont sera reflechie par la sphere ext. : (1− A0)Pe

puis absorbee par la sphere interieure : A(1− A0)Pe ii)

La puissance emise par la sphere ext. : A0S0σ T 40

dont sera absorbee par la sphere interieure : A A0S0σ T 40 iii)

La puissance nette perdue par la sphere interieure est donc :

P = i)-ii)-iii)

et comme S ≈ S0

P = A S σ T 4 − (1− A0)A2 S σ T 4 − A A0S0σ T 4

0

P = A A0S0σ(1− A + A A0

A0

)T 40 − A A0S0σ T 4

0

Avec A = 0.91 et A0 = 0.96 (voir page 5), le terme entre () vaut 1.004 ≈ 1. Alors :

P ≈ α0 S σ(T 4 − T 40 ) avec α0 = A A0 (4)

Connaissant A, A0 et S, il suffit de mesurer P pour determiner σ.

2 Appareillage et methode de mesure

Determination de σ Pour la determination de σ, nous disposons de deux spheresconcentriques (Fig. 2). L’espace entre les deux spheres est evacue de sorte qu’un echanged’energie ne peut se faire que par rayonnement (pas de conduction thermique, pas de

2Si on tient compte de tous les ordres de reflexion, on arrive a un resultat identique.

3

Fig. 2 – Appareillage

convection). Pour stabiliser la temperature To de la sphere exterieure, celle-ci est plongeedans un bain d’eau. La sphere interieure sera remplie d’eau a la temperature T = T0 +∆.Elle se refroidira par rayonnement et, en mesurant la vitesse du refroidissement ∆ =d∆/dt, il sera possible de determiner P .

Si C = Ceau + Cverre est la capacite calorifique de la sphere interieure, on aura

C d∆ = −P dt (signe - car perte d’energie)

Cd∆

dt= +C∆ = −α0 S σ(T 4 − T 4

0 ) (5)

Pour faciliter les calculs, nous travaillerons de preference avec ∆ T0. De cette facon, ilest possible de faire l’approximation suivante (developpement au deuxieme ordre) :

(T 4 − T 40 ) ≈ 4 T 3

0 ∆(1 + 1.5∆

T0

) (6)

L’equation differentielle (5) devient donc

∆ = −4α0SσT 30

C∆(1 + 1.5

∆

T0

) (7)

dont la solution peut s’ecrire3 :

ln∆

(1 + 1.5 ∆T0

)= −4α0SσT 3

0

Ct + Cste (8)

ou

ln∆

(1 + 1.5 ∆T0

)= −γ2t + Cste

.

3par la methode de separation de variables

4

Donc : en reportant ln ∆(1+1,5 ∆

T0)

en fonction de t, on obtient une droite de pente :

γ2 = −4α0SσT 30

C(9)

Pour determiner σ, il est necessaire de connaıtre α0. Le verre, transparent pour la lumierevisible, est fortement absorbant dans l’infrarouge pour des longueurs d’onde superieures a≈ 50’000 A. Comme tout corps dielectrique dont l’indice de refraction n est > 1, le verrereflechit une partie du rayonnement incident (lois de Fresnel). Le facteur de reflexiondans l’infrarouge autour de 1000’000 A est d’environ R = 0.09 pour la sphere interieure(valeur moyenne de tous les angles d’incidence) et de R0 = 0.04 pour la sphere exterieure(incidence normale). Les facteurs d’absorption correspondants sont donc A = 0.91 etA0 = 0.96. Le coefficient α0 = 0.87.

Determination du coefficient αd d’un dewar4 On peut reduire sensiblement l’echanged’energie par rayonnement entre les deux spheres en argentant les surfaces (Aλ < 1 pourles metaux). En mesurant ∆(t) en fonction de t pour le premier recipient (argente ), il estpossible de determiner αd.

Comparaison avec la conduction thermique Nous disposons d’un troisieme reci-pient semblable au premier, mais rempli d’air entre les deux parois. La conductibilite parl’air a pour effet d’augmenter l’echange de chaleur. La conduction de chaleur dans l’aircompris entre les parois est donne par :

dQ

dt= K∆

L’equation (5) doit etre completee et devient :

Cd∆

dt= −α0Sσ(T 4 − T 4

0 )−K∆ (10)

En developpant au premier ordre : T 4 − T 40 ≈ 4T 3

0 ∆ ce qui donne :

d∆

dt= −

[4α0SσT 30

Cσ +

K

C

]∆ (11)

qui s’integre par separation des variables pour donner :

ln ∆ = −[γ2 +

K

C

]t + ln ∆0 (12)

droite de pente γ3 = γ2 + KC

.

4le mot scientifique pour un thermos

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3 Problemes et manipulations

1. Calculer la puissance rayonnee par une surface noire de 1 m2 a la temperature am-biante5.

2. Mesurer la temperatures T0 des bains dans lesquel sont plonges les 3 recipients devolume identique. Les remplir chacun de 288 ml d’eau ayant une temperature entre15 et 20 C au-dessus de T0 (pour respecter la condition ∆/T0 1)

3. Determiner le volume V interieur et la surface S exterieure de la sphere interieure(epaisseur de la paroi 1.5 mm) pour le recipient evacue-non argente, admettant quela masse volumique de l’eau est ρ ≈ 1 g/cm3.

4. A l’aide des 3 thermometres a disposition, relever toutes les 5 ou 10 min la tempe-rature T des spheres interieures des 3 recipients et ceci pendant environ une heureet demie. Reporter apres chaque mesure :

• ln ∆1+1.5 ∆

T0

en fonction de t pour les recipients evacues argente

et non argente.• ln ∆ en fonction de t pour le recipient rempli d’air• et determiner les pentes γ1, γ2 et γ3 respectives.

(a) Determiner la constante de Stefan-Boltzmann σ pour lerecipient evacue-non argente.ceau = 1 cal

g K , cverre = 0.2 calg K , mverre ≈ 82 g.

Attention : Ceau = meau ceau, Cverre = mverre cverre

(b) Determiner le coefficient αd du recipient evacue-argente(dewar) et comparer avec α0 du recipient non argente.

(c) Donner en % les contributions respectives de la conduc-tion thermique et du rayonnement pour le troisieme re-cipient rempli d’air en calculant (γ3 − γ2)/γ3.

(d) Estimer les erreurs possibles.

5. Au fin, vider les spheres interieures a l’aide de la trompe a eau (Fig. 3).

Fig. 3 – trompe a eau

5Ce qu’on considere generalement comme 20 C

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4 Liste du materiel

– 3 bacs– 3 thermometres– 1 entonnoir– 1 trompe a eau avec tuyeau– 1 mesurette– 1 eprouvette

Fig. 4 – Materiel a disposition

5 decembre 2003 MG

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