Conjuntos de Borel_Informe Final

5/9/2018 Conjuntos de Borel_Informe Final - slidepdf.com

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L o s C o n j u n t o s d e B o r e l y s u R e l a c i ó n c o n

l o s C o n j u n t o s C e r r a d o s

D i a n a R o c i o D u a r t e R o a

N o v e m b e r 2 7 , 2 0 1 0

R e s u m e n

E n e l d e s a r r o l l o d e e s t e t r a b a j o s e p r e s e n t a r á n v a r i o s c o n c e p t o s i m p o r t a n t e s d e

l a m a t e m a t i c a , e s t o s s o n , e l σ − anillo d e B o r e l y a l g u n a s n o c i o n e s b á s i c a s d e

T o p o l o g í a y d e l a T e o r i a d e l a M e d i d a . T e m a s q u e e s t á n f u e r t e m e n t e l i g a d o s

e n t r e s i d e b i d o a q u e e l σ − anillo d e B o r e l s e g e n e r a m e d i a n t e u n a t o p o l o g i a

d a d a , e s t o e s , m e d i a n t e u n i o n e s e i n t e r s e c c i o n e s c o n t a b l e s y c o m p l e m e n t o s e n t r e

l o s e l e m e n t o s d e l a T o p o l o g í a .

I n t r o d u c c i ó n

L o s e l e m e n t o s d e l

σ−anillos o n l l a m a d o s c o n j u n t o s d e B o r e l , l o s c u a l e s t i e n e n l a

p r o p i e d a d d e q u e t o d o s e s t o s s o n c o n j u n t o s m e d i b l e s , h e a q u i d o n d e i n t e r v i e n e

l a T e o r i a d e l a M e d i d a . U n o d e l o s p r i m e r o s m a t e m á t i c o s d e d i c a d o s a t r a b a j a r

s o b r e e s t o s t e m a s f u e F é l i x É d o u a r d J u s t i n É m i l e B o r e l ( S a i n t - A r i q u e , 7 d e

e n e r o d e 1 8 7 1 - P a r í s , 3 d e f e b r e r o d e 1 9 5 6 ) , m a t e m á t i c o y p o l í t i c o f r a n c é s q u e

j u n t o c o n R e n é - L o u i s B a i r e y H e n r i L e b e s g u e f u e r o n l o s p i o n e r o s d e l a T e o r í a

d e l a M e d i d a .

S e r e a l i z a r á u n a b r e v e r a l a c i ó n e n t r e l o s c o n j u n t o s c e r r a d o s y l o s c o n j u n t o s d e

B o r e l , o b j e t i v o p r i n c i p a l d e e s t e t r a b a j o ; p a r a l o c u a l s e p r e s e n t a r á n e j e m p l o s

c o n e l n d e q u e e l l e c t o r c o m p r e n d a d e u n a f o r m a s e n c i l l a y c l a r a t o d o s l o s

t e m a s e x p u e s t o s .

1



D e n i c i ó n 1 [ A n i l l o ]

U n a f a m i l i a R d e c o n j u n t o s , e s u n a n i l l o s i p a r a

A ∈ R y

B ∈ R i m p l i c a q u e :

1 . A ∪ B ∈ R

2 . A − B ∈ R 1

S i R e s u n a n i l l o e n t o n c e s s e c u m p l e q u e :

• A ∩ B ∈ R

D e n i c i ó n 2 [ σ − anillo]

U n a n i l l o R s e l e l l a m a

σ − anillos i p a r a

An

∈ R c o n

n = 1, 2, 3,...c u m p l e q u e :

∞n=1

An ∈ R

S i R e s u n

σ − anillos e t i e n e q u e :

∞n=1

An ∈ R

D e n i c i ó n 3 [ C o n j u n t o d e B o r e l ]

E s u n c o n j u n t o q u e s e o b t i e n e h a c i e n d o u n i o n e s , i n t e r s e c c i o n e s y c o m p l e m e n -

t o s d e u n a f a m i l i a d e c o n j u n t o s a b i e r t o s n i t o s n u m e r a b l e s d a d o s . L a f a m i l i a

f o r m a d a p o r t o d o s l o s c o n j u n t o s d e B o r e l e s σ − anillo.

A c o n t i n u a c i ó n s e p r e s e n t a n d o s e j e m p l o s c o n e l n d e a p l i c a r l a s d e n i c i o n e s

a n t e r i o r e s :

1 A−B = {x : x ∈ A, pero x /∈ B}N o t a c i ó n u t i l i z a d a e n e l A n á l i s i s M a t e m á t i c o d e A p o s t o l

2



E j e m p l o 1

¾ E l i n t e r v a l o (−∞, 0] e s u n c o n j u n t o d e B o r e l ?

S o l u c i ó n :

P a r a v e r i c a r q u e (−∞, 0] e s u n c o n j u n t o d e B o r e l s e d e b e e n c o n t r a r u n a f a -

m i l i a d e c o n j u n t o s e n e l q u e a l h a c e r u n i o n e s , i n t e r s e c c i o n e s y c o m p l e m e n t o s

o b t e n g a m o s e s t e i n t e r v a l o , e n t r e m u c h o s m a s . S e a

F = {(0, ∞) , (−11, 5), (0, 1), (4, 9)}

u n a f a m i l i a d e c o n j u n t o s a b i e r t o s s o b r e R. H a c i e n d o u n i o n e s , i n t e r s e c c i o n e s y

c o m p l e m e n t o s e n t r e l o s e l e m e n t o s d e F , o b t e n e m o s :

B = { (−11, ∞), (0, ∞) , (−11, 5), (−11, 9), {(0, 1) ∪ (4, 9)} , (0, 5), (0, 1), (4, 9), (4, 5) , ∅ ,

(−∞, 0], {−∞, −11] ∪ [5, ∞)} , {(−∞, 0] ∪ [1, ∞)} , {(−∞, 4] ∪ [9, ∞)}}

O b s e r v a n d o l o s e l e m e n t o s q u e c o n f o r m a n a B e n c o n t r a m o s q u e u n o d e e l l o s e s

e f e c t i v a m e n t e (−∞, 0] , p o r t a n t o e s t e i n t e r v a l o e s u n c o n j u n t o d e B o r e l .

E j e m p l o 2

E n c o n t r a r t o d o s l o s c o n j u n t o s d e B o r e l e n

X = {1, 2, 3, 4} c o n

τ = {∅, X, {1} , {2} , {1, 2}}y v e r i c a r q u e é s t o s f o r m a n u n σ − anillo.

S o l u c i ó n :

H a c i e n d o u n i o n e s , i n t e r s e c c i o n e s y c o m p l e m e n t o s e n t r e l o s e l e m e n t o s d e τ o b t e n -

e m o s :

B = {X, {1} , {2} , {1, 2} , ∅, {2, 3, 4} , {1, 3, 4} , {3, 4}}

3



L o s e l e m e n t o s d e l a f a m i l i a B s o n t o d o s c o n j u n t o s d e B o r e l . A h o r a v e a m o s q u e Be s u n a n i l l o y l u e g o u n σ − anillo:

• V e a m o s q u e e l r e s u l t a d o d e h a c e r u n i o n e s d o s a d o s e n t r e e l e m e n t o s d e Be s t a n e f e c t i v a m e n t e c o n t e n i d a s e n é s t a f a m i l i a :

X ∪ {1} = X ∈ B {1} ∪ {2} = {1, 2} ∈ B {2} ∪ {1, 2} = {1, 2} ∈ B

X ∪ {2} = X ∈ B {1} ∪ {1, 2} = {1, 2} ∈ B {2} ∪ ∅ = {2} ∈ B

X ∪ {1, 2} = X ∈ B {1} ∪ ∅ = {1} ∈ B {2} ∪ {2, 3, 4} = {2, 3, 4} ∈ B

X ∪ ∅ = X ∈ B {1} ∪ {2, 3, 4} = X ∈ B {2} ∪ {1, 3, 4} = X ∈ B

X ∪ {2, 3, 4} = X ∈ B {1} ∪ {1, 3, 4} = {1, 3, 4} ∈ B {2} ∪ {3, 4} = {2, 3, 4} ∈ B

X ∪ {1, 3, 4} = X ∈ B {1} ∪ {3, 4} = {1, 3, 4} ∈ B

X ∪ {3, 4} = X ∈ B

{1, 2} ∪ ∅ = {1, 2} ∈ B ∅ ∪ {2, 3, 4} = {2, 3, 4} ∈ B {2, 3, 4} ∪ {1, 3, 4} = X ∈ B

{1, 2} ∪ {2, 3, 4} = X ∈ B ∅ ∪ {1, 3, 4} = {1, 3, 4} ∈ B {2, 3, 4} ∪ {3, 4} = {2, 3, 4} ∈ B

{1, 2} ∪ {1, 3, 4} = X ∈ B ∅ ∪ {3, 4} = {3, 4} ∈ B

{1, 2} ∪ {3, 4} = X ∈ B {1, 3, 4} ∪ {3, 4} = {1, 3, 4} ∈ B

• A h o r a r e v i s e m o s q u e e l r e s u l t a d o d e h a c e r d i f e r e n c i a s d o s a d o s e n t r e

e l e m e n t o s d e B e s t a n e f e c t i v a m e n t e e n B :

X − {1} = {2, 3, 4} ∈ B {1} − {2} = {1} ∈ B {2} − {1, 2} = ∅ ∈ B

X − {2} = {1, 3, 4} ∈ B {1} − {1, 2} = ∅ ∈ B {2} − ∅ = {2} ∈ B

X − {1, 2} = {3, 4} ∈ B {1} − ∅ = {1} ∈ B {2} − {2, 3, 4} = ∅ ∈ B

X − ∅ = X ∈ B {1} − {2, 3, 4} = {1} ∈ B {2} − {1, 3, 4} = {2} ∈ B

X − {2, 3, 4} = {1} ∈ B {1} − {1, 3, 4} = ∅ ∈ B {2} − {3, 4} = {2} ∈ B

X − {1, 3, 4} = {2} ∈ B {1} − {3, 4} = {1} ∈ B

X − {3, 4} = {1, 2} ∈ B

{1, 2} − ∅ = {1, 2} ∈ B ∅ − {2, 3, 4} = ∅ ∈ B {2, 3, 4} − {1, 3, 4} = {2} ∈ B

{1, 2} − {2, 3, 4} = {1} ∈ B ∅ − {1, 3, 4} = ∅ ∈ B {2, 3, 4} − {3, 4} = {2, } ∈ B

{1, 2} − {1, 3, 4} = {2} ∈ B ∅ − {3, 4} = ∅ ∈ B

{1, 2} − {3, 4} = {1, 2} ∈ B {1, 3, 4} − {3, 4} = {1} ∈ B

P o r t a n t o , t e n e m o s q u e B e s u n a n i l l o .

4



A h o r a r e v i s e m o s q u e s e a u n σ−anillo. P a r a e s t o l a u n i ó n d e t o d o s l o s e l e m e n t o s

d e B d e b e p e r t e n e c e r a é s t e :

X ∪ {1} ∪ {2} ∪ {1, 2} ∪ ∅ ∪ {2, 3, 4} ∪ {1, 3, 4} ∪ {3, 4} = X ∈ B

P o r l o t a n t o B e s u n σ − anillo. P o r u l t i m o , c o m o B e s σ − anillo d e b e v e r -

i c a r q u e e l r e s u l t a d o d e h a c e r l a i n t e r s e c c i ó n e n t r e t o d o s s u s e l e m e n t o s d e b e

p e r t e n e c e r a é s t e :

X ∩ {1} ∩ {2} ∩ {1, 2} ∩ ∅ ∩ {2, 3, 4} ∩ {1, 3, 4} ∩ {3, 4} = ∅ ∈ B

P r o p o s i c i ó n 1

S e a F u n a c o l e c c i ó n ( n i t a o i n n i t a ) d e c o n j u n t o s . E n t o n c e s : A∈F

A

c

=A∈F

Ac


U n c o n j u n t o E e s a b i e r t o s i y s o l o s i s u c o m p l e m e n t o e s c e r r a d o .

T e o r e m a 1

L a i n t e r s e c c i ó n d e u n a c o l e c c i ó n a r b i t r a r i a d e c o n j u n t o s c e r r a d o s e n u n E s p a c i o

M é t r i c o o T o p o l ó g i c o e s u n c o n j u n t o c e r r a d o .

D e m o s t r a c i ó n :

S e a {F λ} u n a c o l e c c i ó n a r b i t r a r i a d e c o n j u n t o s c e r r a d o s . C o m o :

λ

F λ

c

=λ

F λc

5



y a q u e c a d a F λ ∈ {F λ} e s u n c o n j u n t o c e r r a d o , e n t o n c e s , F λc

e s u n c o n j u n t o

a b i e r t o , y d a d o q u e l a u n i ó n a r b i t r a r i a d e c o n j u n t o s a b i e r t o s e s u n c o n j u n t o

a b i e r t o ; e n t o n c e s : λ

F λc

e s u n c o n j u n t o a b i e r t o . L u e g o , λ

F λ

e s u n c o n j u n t o c e r r a d o .

T e o r e m a 2

S e a {τ i}i∈I u n a c o l e c c i ó n d e t o p o l o g í a s s o b r e X . E n t o n c e s

i∈I

τ t

e s t a m b i é n u n a t o p o l o g í a e n X .


C o m o {τ i}i∈I e s u n a c o l e c c i ó n d e t o p o l o g í a s , X ∈ τ i y ∅ ∈ τ i p a r a c a d a i ∈ I .

A s í ,

X, ∅ ∈i∈I

τ i

A h o r a s e a , {Gα}α∈Λ u n a c o l e c c i ó n n i t a d e c o n j u t o s t a l e s q u e

{Gα}α∈Λ ∈i∈I

τ i

E s t o e s ,

{Gi}α∈Λ ∈ τ i

P a r a c a d a

i ∈ I.L u e g o , c o m o c a d a

τ ie s u n a t o p o l o g í a , t e n e m o s q u e

α∈Λ

Gα ∈ τ i

6



y p o r t a n t o

α∈Λ

Gα ∈i∈I

τ i

P o r ú l t i m o , t o m e m o s {Lλ}λ∈Γ u n a c o l e c c i ó n a r b i t r a r i a d e c o n j u n t o s t a l e s q u e

{Lλ}λ∈Γ ∈i∈I

τ i

L u e g o ,

{Lλ}λ∈Γ ∈ τ i

P a r a c a d a i ∈ I. P o r l o q u e s e t i e n e q u e λ∈Γ

Lλ ∈ τ i

p a r a c a d a i ∈ I. , p o r t a n t o λ∈Γ

Lλ ∈i∈I

τ i

L u e g o ,

i∈I τ i

e s u n a t o p o l o g í a e n X .

E j e m p l o 3

S e a X = {0, 2, 4, 6, 8} y

τ 1 = {∅, X, {2} , {6} , {2, 6} , {4, 8} , {2, 4, 8} , {4, 6, 8} , {2, 4, 6, 8}}

τ 2 = {∅, X, {2, 4} , {2, 8} , {2, 6} , {2, 4, 8} , {2, 4, 6} , {2, 6, 8} , {2} , {2, 4, 6, 8}}

τ 3 = {∅, X, {0, 4, 8} , {6, 8} , {2, 4} , {0, 4, 6, 8} , {0, 2, 4, 8} , {2, 4, 6, 8} , {8} , {4}}

τ 4 = {∅, X, {0} , {4, 6, 8} , {4, 6} , {2} , {0, 4, 6, 8} , {0, 4, 6} , {0, 2} , {2, 4, 6, 8} , {2, 4, 6}}

7



T o p o l o g í a s s o b r e X . V e m o s q u e

4i=1

τ i = {∅, X, {6} , {2, 6} , {2}}

L a c u a l e s t a m b i é n t o p o l o g í a s o b r e X .

C o n j e t u r a 1

S e a {F i}i∈I u n a c o l e c c i ó n d e σ−anillos d e B o r e l , e n t o n c e s

i∈I

F i

e s u n

σ − anillod e B o r e l .


E n p r i m e r l u g a r s e d e m o s t r a r á q u e

i∈I F i e s u n a n i l l o y p o s t e r i o r m e n t e u n

σ − anillo .

• S e a {Hj}j∈Λ u n a f a m i l i a d e c o n j u n t o s , t a l e s q u e

{Hj}j∈Λ ⊆

i∈I

F i ( 1 )

y a q u e c a d a F i c o n i ∈ I e s u n a n i l l o , s e t i e n e q u e p a r a Hα, Hβ ∈ {Hj}j∈Λ

Hα

Hβ ∈ F i

p a r a c a d a

i ∈ I . L u e g o

Hα

Hβ ∈

i∈I

F i

D e l a m i s m a m a n e r a ,

Hα − Hβ ∈ F i

p a r a c a d a i ∈ I . P o r l o q u e

Hα − Hβ ∈i∈I

F i

L u e g o

i∈I F i e s u n a n i l l o .

8



• D a d o q u e F i p a r a c a d a i ∈ I e s u n σ − anillo y p o r (2), s e t i e n e q u e

{Hj}j∈Λ ∈ F i p a r a c a d a i ∈ I . L u e g o

j∈Λ

Hj ∈ F i

y d e e s t a m a n e r a , j∈Λ

Hj ∈i∈I

F i

P o r l o t a n t o ,

i∈I F i e s u n

σ − anillo.

S e d e b e r t e n e r e n c u e n t a q u e l a t o p o l o g í a a s o c i a d a a l σ − anillo i∈I F i e s l a i∈I τ i p r e s e n t a d a e n e l T e o r e m a a n t e r i o r .

E j e m p l o 4

S e a X = {1, 2, 3, 4} y

τ 1 = {∅, X, {1, 2} , {1, 3} , {1, 2, 3} , {1}}

τ 2 = {∅, X, {1} , {3, 4} , {1, 4} , {2, 3} , {1, 3, 4} , {1, 2, 3} , {2, 3, 4} , {4} , {3}}

τ 3 = {∅, X, {2, 3} , {1, 2} , {1, 4} , {1, 2, 3} , {1, 2, 4} , {2} , {1}}

T o p o l o g í a s e n X . A h o r a s e a n

β1 = {X, {1, 2} , {1, 3} , {1, 2, 3} , {1} , ∅, {3, 4} , {2, 4} , {4} , {2, 3, 4}}

β2 = {∅, X, {1} , {3, 4} , {1, 4} , {2, 3} , {1, 3, 4} , {1, 2, 3} , {2, 3, 4} , {4} , {3} , {1, 2} , {1, 4} , {2} , {1, 2

β3 = {∅, X, {2, 3} , {1, 2} , {1, 4} , {1, 2, 3} , {1, 2, 4} , {2} , {1} , {3, 4} , {4} , {3} , {1, 3, 4} , {2, 3, 4}}

L o s σ −anillo d e B o r e l g e n e r a d o s p o r l a s t o p o l o g í a s τ 1, τ 2,τ 3 r e s p e c t i v a m e n t e . A

c o n t i n u a c i ó n s e r e a l i z a l a i n t e r s e c c i ó n e n t r e l o s σ−anillo d e B o r e l :

γ =3

i=1

βi = {∅, X, {1, 2} , {1, 3} , {1, 2, 3} , {1} , {3, 4} , {2, 4} , {4} , {2, 3, 4}} = β1

9



E l c u a l e s g e n e r a d o p o r l a t o p o l o g í a :

η =3

i=1

τ i = {∅, X, {1, 2} , {1, 3} , {1, 2, 3} , {1}} = τ 1

E s n o t o r i o q u e

ηg e n e r a m e d i a n t e u n i o n e s , i n t e r s e c c i o n e s y c o m p l e m e n t o s e n t r e

s u s e l e m e n t o s a

γ , p o r l o t a n t o

γ e s u n

σ − anillod e B o r e l .

C o n j e t u r a 2

L a i n t e r s e c c i ó n c o n t a b l e d e c o n j u n t o s c e r r a d o s e s u n c o n j u n t o d e B o r e l


S e a (X, τ ) u n e s p a c i o t o p o l ó g i c o y s e a {An} u n a f a m i l i a d e c o n j u n t o s c e r r a d o s ,

t a l q u e :

{An} ⊆ τ c

Y a q u e

An e s u n c o n j u n t o c e r r a d o , s e t i e n e q u e

An ⊆ τ c

A h o r a , s e a β e l σ − anillo d e B o r e l o b t e n i d o a l r e a l i z a r u n i o n e s , i n t e r s e c c i o n e s y

c o m p l e m e n t o s e n t r e l o s e l e m e n t o s d e τ . L u e g o ,

An ∈ β

y d e e s t a m a n e r a ,

An e s u n c o n j u n t o d e B o r e l .

E j e m p l o 5

S e a X = {a,b,c,d,e} y

τ = {∅, X, {a, b} , {a, c} , {c, e} , {b,d,e} , {a,b,c} , {a,b,c,e} , {a,b,d,e} , {a,c,e} ,

{b,c,d,e} , {a} , {b} , {c} , {e}}

u n a t o p o l o g í a e n X . T o m e m o s

A = {{c,d,e} , {b,d,e} , {d, e} , {b,c,d,e}} u n a

c o l e c c i ó n d e c o n j u n t o s c e r r a d o s c o n r e s p e c t o a

τ . H a g a m o s

A = {d, e}

1 0



e l c u a l e s u n c o n j u n t o c e r r a d o y a q u e {d, e} ∈ A. A h o r a , f o r m a n d o e l σ − anillod e B o r e l d e a c u e r d o a τ , s e t i e n e q u e

β = {∅, X, {a,b,c} , {a,b,c,e} , {a,b,d,e} , {a, b} , {a,b,e} , {a, c} , {c, e} , {b,d,e} ,

{a,c,e} , {b,c,d,e} , {a} , {b} , {c} , {e} , {b, e} , {b,c,e} , {a, e} , {c,d,e} ,

{a,b,d} , {d, e} , {d} , {b, d} , {a,c,d,e} , {a,b,c,d}}

D e d o n d e s e o b s e r v a q u e {d, e} ∈ β . P o r t a n t o , {d, e} e s u n c o n j u n t o d e B o r e l .

D e n i c i ó n 4 [ L o n g i t u d d e u n I n t e r v a l o ]

D e n i m o s l a l o n g i t u d d e l o s i n t e r v a l o s

a < x < b,

a ≤ x ≤ b,

a ≤ x < b,a < x ≤ b , c o m o b − a. L a l o n g i t u d d e u n i n t e r v a l o i n n i t o t a l c o m o x > a o

x ≤ b s e d e n e c o m o ∞ . E n e l c a s o a = b, e l i n t e r v a l o a ≤ x ≤ b d e g e n e r a e n

u n p u n t o q u e t i e n e l o n g i t u d c e r o . A s i l a l o n g i t u d e s u n n u m e r o n o n e g a t i v o .

D e n i c i ó n 5

S i I 1, I 2, ...... s o n i n t e r v a l o s m u t u a m e n t e d i s j u n t o s , e n t o n c e s

L

I 1

I 2

...

= L (I 1) + L (I 2) + ...


L a l o n g i t u d d e l c o n j u n t o v a c i o e s c e r o

L (∅) = 0

D e n i c i ó n 6 [ L o n g i t u d d e u n C o n j u n t o A b i e r t o ]

P u e s t o q u e c u a l q u i e r c o n j u n t o a b i e r t o O s e p u e d e e x p r e s a r c o m o u n i ó n e n u -

m e r a b l e d e i n t e r v a l o s m u t u a m e n t e d i s j u n t o s y a b i e r t o s

I 1, I 2, ......d e m a n e r a

ú n i c a e x c e p t o p o r e l o r d e n e n q u e s e c o n s i d e r e n , s e t i e n e q u e l a l o n g i t u d d e u n

c o n j u n t o a b i e r t o

O =∞k=1 I k d o n d e l o s

I k s o n i n t e r v a l o s a b i e r t o s m u t u a m e n t e

d i s j u n t o s , e s

L (O) = L (I 1) + L (I 2) + ... =∞k=1

L (I k) ( 2 )

1 1



S i s e r e s t r i n g e O d e m o d o q u e e s t e s i t u a d o e n a l g ú n i n s t e r v a l o f u n d a m e n t a l

I = [a, b], e n t o n c e s (2) c o n v e r g e h a c i a u n n u m e r o n o n e g a t i v o m e n o r o i g u a l q u e

b − a,

0 ≤ L(O) ≤ b − a

D e n i c i ó n 8 [ M e d i d a d e u n C o n j u n t o ]

U n a g e n e r a l i z a c i ó n d e l c o n c e p t o d e l o n g i t u d a c o n j u n t o s a r b i t r a r i o s d e l a r e c t a

r e a l l l e v a a l c o n c e p t o d e m e d i d a d e u n c o n j u n t o E , d e n o t a d o p o r m (E ) l a c u a l

s a t i s f a c e :

1 . m (E ) e s t á d e n i d a p a r a c u a l q u i e r c o n j u n t o E

2 .

m (E ) ≥ 03 . S i E =

nk=1 E k d o n d e E k s o n m u t u a m e n t e d i s j u n t o s , e n t o n c e s

m (E ) =

nk=1

m (E k)

4 . S i

E =∞k=1 E k d o n d e

E k s o n m u t u a m e n t e d i s j u n t o s , e n t o n c e s

m (E ) =∞k=1

m (E k)

5 . S i

E 1

⊂ E 2

, e n t o n c e s

m (E 1

) ≤ m (E 2

)

6 . S i c a d a p u n t o d e u n c o n j u n t o E s e t r a s l a d a d i s t a n c i a s i g u a l e s e n l a m i s m a

d i r e c c i ó n s o b r e l a r e c t a r e a l , l a m e d i d a d e l s e g m e n t o t r a s l a d a d o e s l a m i s m a

m (E ) .

T e o r e m a 3

T o d o c o n j u n t o d e B o r e l e s m e d i b l e .

1 2



E j e m p l o 6

2

E n e s t e e j e r c i c i o s e d e s c r i b e u n e j e m p l o d e u n c o n j u n t o n o m e d i b l e d e R , e s t o e s

u n c o n j u n t o q u e n o e s d e B o r e l . S i x e y s o n n ú m e r o s r e a l e s d e l i n t e r v a l o [0, 1],

d i r e m o s q u e x e y s o n e q u i v a l e n t e s , y e s c r i b e m o s x ∼ y , s i x − y e s r a c i o n a l .

L a r e l a c i ó n ∼ e s u n a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a , y e l i n t e r v a l o [0, 1] s e p u e d e

e s c r i b i r c o m o r e u n i ó n d e c o n j u n t o s d i s j u n t o s ( l l a m a d o s c l a s e s d e e q u i v a l e n c i a )

e n c a d a u n o d e l o s c u a l e s n o h a y p u n t o s e q u i v a l e n t e s .

E l e g i m o s u n p u n t o d e c a d a c l a s e d e e q u i v a l e n c i a y s e a E e l c o n j u n t o d e l o s p u n t o s

e l e g i d o s . S u p o n g a m o s q u e E e s m e d i b l e y l l e g a r e m o s a u n a c o n t r a d i c c i ó n .

S o l u c i ó n

L a c o n s t r u c c i ó n s e b a s a e n l a s p r o p i e d a d e s f u n d a m e n t a l e s p r e s e n t a d a s e n l a

d e n i c i ó n d e m e d i d a d e u n c o n j u n t o . E n p r i m e r l u g a r s e d e m o s t r a r a q u e ∼ e s

u n a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a :

• O b s e r v e m o s q u e e n e f e c t o s i x ∼ y e n t o n c e s y − x = −(x − y) e s r a c i o n a l

t a m b i é n , l u e g o y ∼ x.

• S i x ∼ y e y ∼ z e n t o n c e s s e a

u =

x − y =

p

q

v =

y − z = p'

q

l u e g o

u + v =

x − z =

pq

+ qp

qq

p o r t a n t o x ∼ z .

• P o r ú l t i m o , x ∼ x y a q u e x − x = 0

S e a a h o r a A0 u n s u b c o n j u n t o d e [0, 1] f o r m a d o p o r u n ú n i c o e l e m e n t o d e c a d a

c l a s e d e e q u i v a l e n c i a , y c o n s i d e r e m o s l a s u c e s i ó n {rn}n∈N d e t o d o s l o s n ú m e r o s

r a c i o n a l e s d e l i n t e r v a l o [−1, 1] (rn = rm si n = m) . P a r a c a d a n ∈ N d e n i m o s

e l c o n j u n t o An c o m o e l c o n j u n t o d e p u n t o s

An = {rn + x, x ∈ A0}

2

E j e r c i c i o p r o p u e s t o e n e l A n á l i s i s M a t e m á t i c o d e A p o s t o l . P á g i n a 3 7 0 , e j e r c i c i o 1 0 . 3 6

1 3



Q u e c o n s i s t e e n t r a s l a d a r e l c o n j u n t o A0 s u m a n d o l e e l n ú m e r o rn .

S i

A0 e s m e d i b l e , s e t i e n e q u e :

• E n t o n c e s c a d a c o n j u n t o An e s m e d i b l e y a q u e e s t r a s l a c i ó n d e u n c o n j u n t o

m e d i b l e .

• P a r a c a d a

n ∈ N,

m (An) = m (A0)

• L o s c o n j u n t o s An s o n d i s j u n t o s d o s a d o s :

S i h u b i e s e u n

x ∈ (AM AN ) e x i s t i r i a n

xN ∈ A0 y

xM ∈ A0 d e m o d o q u e

x = rN + xN = rM + xM

d e d o n d e xN − xM = rM − rN ∈ Q. L u e g o xN ∼ xM .

C o m o e n A0 s o l o h a y u n e l e m e n t o d e c a d a c l a s e d e e q u i v a l e n c i a , t i e n e q u e s e r

xN = xM y p o r t a n t o rN = rM y e n t o n c e s N = M.

• L a u n i ó n d e t o d o s l o s c o n j u n t o s An ,

A =∞

n=1An

c o n t i e n e a l i n t e r v a l o [0, 1] y e s t á c o n t e n i d a e n e l i n t e r v a l o [−1, 2]. T o d o p u n t o

x ∈ [0, 1] t i e n e q u e e s t a r e n a l g u n a d e l a s c l a s e s d e e q u i v a l e n c i a d e n i d a s p o r l a

r e l a c i ó n , l u e g o t i e n e q u e e x i s t i r u n x0 ∈ A0 t a l q u e x ∼ x0 y p o r t a n t o r = x − x0e s u n r a c i o n a l , y c o m o x y x0 e s t á n e n [0, 1], r ∈ [−1, 1] s e r á u n o d e l o s e l e m e n t o s

d e l a s u c e s i ó n {rn}n∈N , r = rk y x = rk + x0 ∈ Ak .

1 4



A s í q u e

[0, 1] ⊆ n∈N

An

P o r o t r o l a d o , s i x e s t á e n u n c o n j u n t o An , x = rn + xn c o n rn ∈ [−1, 1] y

x0 ∈ A0 ⊆ [0, 1], l u e g o x ∈ [−1, 2]

• E n c o n s e c u e n c i a

1 = m ([0, 1]) ≤ m

n∈N

An

=n∈N

m (An) ≤ 3 = m ([−1, 2])

l o q u e e s i m p o s i b l e t a n t o s i

m (An) = m (A0) = 0 p a r a t o d o

n, c o m o s i

m (An) =

m (A0) > 0p a r a t o d o

n.

P o r t a n t o A0 n o e s m e d i b l e y t a m p o c o c o n j u n t o d e B o r e l .

D e n i c i ó n 9

S e a X u n c o n j u n t o y τ f l a c o l e c c i ó n d e t o d o s l o s s u b c o n j u n t o s U d e X t a l e s

q u e X − U e s n i t o o e s t o d o X . E n t o n c e s τ f e s u n a t o p o l o g í a e n X , l l a m a d a

T o p o l o g í a d e l o s c o m p l e m e n t o s n i t o s .

E j e m p l o 7

G e n e r a r e l σ − anillo d e B o r e l a p a r t i r d e (R, τ f ).

S o l u c i ó n

E n p r i m e r l u g a r s e d e b e t e n e r c l a r o q u e e s (R, τ f ) , p a r a e s t o , u t i l i z a n d o l a

d e n i c i ó n d e t o p o l o g í a d e l o s c o m p l e m e n t o s n i t o s s e o b t i e n e q u e :

τ f = {A ⊆ R : Ac es finito} ∪ { ∅ }

A h o r a s e c o n s t r u i r á e l σ−anillo d e B o r e l c o r r e s p o n d i e n t e a τ f :

B =

∅,R,

∞n=0

{An ⊆ R : Acn es finito} ,

∞n=0

{An ⊆ R : Acn es finito} , Ac

n

1 5



V e a m o s g r á c a m e n t e c o m o s o n l o s c o n j u n t o s d e B o r e l :

O b s e r v a m o s e n l a g r á c a a n t e r i o r q u e

∞n=0 {An ⊆ R : Ac

n es finito} = R e n

e l c a s o e n q u e t o d o s l o s

Ai p a r a

i = 0, 1, 2,....s o n d i s t i n t o s t o d o s a l a v e z .

E n e s t e c a s o

∞n=0 {An ⊆ R : Ac

n es finito} = R− A0 d e b i d o a q u e A0 e s c o m ú n

a t o d o s y n o h a y u n Aj t a l q u e r e c u b r a a A0 .

1 6



P a r a t e r m i n a r e l a n á l i s i s d e l o s c o n j u n t o s d e B o r e l y s u r e l a c i ó n c o n l o s c o n j u n t o s

c e r r a d o s , s e m o s t r a r á a c o n t i n u a c i ó n q u e e l σ − anillo d e B o r e l c o n t i e n e t o d o s

l o s c o n j u n t o s a b i e r t o s y t o d o s l o s c o n j u n t o s c e r r a d o s d e l e s p a c i o .

D e n i c i ó n 1 0

E l

σ − anillod e B o r e l d e Rn e s e l

σ − anillom á s p e q u e ñ o e n Rn q u e c o n t i e n e

t o d o s l o s s u b c o n j u n t o s a b i e r t o s d e Rn .


S i

Ae s u n a c l a s e d e s u b c o n j u n t o s d e

X , e n t o n c e s e l

σ − anillog e n e r a d o p o r

A,

d e n o t a d a p o r σ A, s e d e n e c o m o :

σ A =

F ∈I (A)

F

d o n d e

I (A) = {F : A ⊂ F y F es un σ − anillo en X } e s l a c o l e c c i ó n d e t o d o s

l o s σ − anillos q u e c o n t i e n e n a A .


S i X e s u n e s p a c i o t o p o l ó g i c o , s e p u e d e c o n s t r u i r e l σ − anillo T , d o n d e T e s

e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s s u b c o n j u n t o s a b i e r t o s . É s t a e s l l a m a d a σ − anillo d e

B o r e l d e n o t a d a p o r B (X ).

E j e m p l o 8

S e a BRk

e l σ − anillo d e B o r e l e n Rk , 1 ≤ k < ∞ . E n t o n c e s

BRk

= σ

A/A es un subconjunto abierto de Rk

q u e s e g e n e r a p o r l a s s i g u i e n t e s c l a s e s d e s u b c o n j u n t o s :

O1 = {(a1, b1) × ... × (ak, bk) / − ∞ ≤ ai ≤ bi ≤ ∞, 1 ≤ i ≤ k}

O2 = {(−∞, x1) × ... × (−∞, xk) /x1,...,xk ∈ R}

O3 = {(a1, b1) × ... × (ak, bk) /ai, bi ∈ Q, ai < bi, 1 ≤ i ≤ k}

O4 = {(−∞, x1) × ... × (−∞, xk) /x1,...,xk ∈ Q}

1 7



P a r a v e r q u e σ Oi = B

Rk

, n o t e q u e σ Oi ⊂ B

Rk

p a r a i = 1, 2, 3, 4 y

b a s t a r í a m o s t r a r q u e σ Oi ⊃ B Rk .

S e a G u n σ − anillo q u e c o n t i e n e a O3 . O b s e r v e q u e d a d o c u a l q u i e r c o n j u n t o

a b i e r t o A ⊂ Rk , e x i s t e u n a s u c e s i ó n d e c o n j u n t o s {Bn}n≥1 e n O3 t a l q u e

A =n≥1

Bn

Y a q u e G e s u n σ − anillo y Bn ∈ G p a r a t o d o n ≥ 1 , A ∈ G . P o r l o t a n t o , G e s

u n σ − anillo q u e c o n t i e n e t o d o s l o s s u b c o n j u n t o s a b i e r t o s d e Rk y p o r l o t a n t o

σ Oi ⊃ B

Rk

.

1 8



C o n c l u s i o n e s

•E l σ − anillo d e B o r e l c o n t i e n e t o d o s l o s c o n j u n t o s a b i e r t o s , t o d o s l o s c o n -

j u n t o s c e r r a d o s y u n i o n e s e i n t e r s e c c i o n e s c o n t a b l e s d e c o n j u n t o s a b i e t o s

y c e r r a d o s d e u n e s p a c i o X .

• E n c o n t r a r c o n j u n t o s q u e n o s e a n d e B o r e l , n o e s t a n s e n c i l l o , p o r l o q u e

e s p r e f e r i b l e c o n s i d e r a r l a t e o r í a d e l a m e d i d a y b u s c a r e n é s t a c o n j u n t o s

n o m e d i b l e s y a q u e a q u i s e c u e n t a c o n m u c h a s m a s h e r r a m i e n t a s c o n q u e

t r a b a j a r . S i s e e n c u e n t r a u n c o n j u n t o n o m e d i b l e , é s t e n o e s d e B o r e l .

• L a i n t e r s e c c i ó n c o n t a b l e d e c o n j u n t o s d e c e r r a d o s e s u n C o n j u n t o d e B o r e l ,

é s t o d e b i d o a q u e e l σ − anillo c o n t i e n e a t o d o s l o c o n j u n t o s c e r r a d o s .

• S i e m p r e s e p o d r á e n c o n t r a r u n σ − anillo a p a r t i r d e l a i n t e r s e c c i ó n d e

σ − anillos d e B o r e l d a d o s .

• D e c u a l q u i e r f a m i l i a d e c o n j u n t o s a b i e r t o s s e p o d r á g e n e r a r m e d i a n t e

u n i o n e s , i n t e r s e c c i o n e s y c o m p l e m e n t o s u n σ − anillo d e B o r e l .

1 9



B i b l i o g r a f í a

1 . R u d i n , W a l t e r . P r i n c i p i o s d e l A n á l i s i s M a t e m á t i c o . T e r c e r a E d i c i ó n .

2 . A p o s t o l , T o m . A n á l i s i s M a t e m á t i c o . S e g u n d a E d i c i ó n .

3 . L i p s c h u t z , S a y m o u r . T e o r í a y P r o b l e m a s d e T o p o l o g í a G e n e r a l .

4 . M a r r e r o , M . T o p o l o g í a . E d i t o r i a l A l h m a b r a .

5 . B a c h m a n , G e o r g e . A n á l i s i s F u n c i o n a l . E d i t o r i a l T é c n o s .

6 . A t h r e y a , K r i s h n a . M e a s u r y T h e o r y a n d P r o b a b i l i t y T h e o r y . E d i t o r i a l

B o a r d .

7 . C h e n g , S t e v e . A S h o r t C o u r s e o n t h e L e b e s g u e I n t e g r a l a n d M e a s u r y

T h e o r y .

8 . B a r t l e , R o b e r t . M e a s u r y T h e o r y .

9 . G a r i e p y , R o n a l d . M e a s u r y T h e o r y a n d n e P r o p e r t i e s o f F u n c t i o n s .

1 0 . M u n k r e s , J a m e s . T o p o l o g y . S e g u n d a E d i c i ó n .

2 0

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