Conjunctive normal formFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 (, )-denition of limit 11.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Informal statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Precise statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Worked example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6 Comparison with innitesimal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.9 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Algebraic normal form 52.1 Common uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Performing operations within algebraic normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Converting to algebraic normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Formal representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4.1 Recursively deriving multiargument Boolean functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Andrzej Ehrenfeucht 83.1 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Arithmetical hierarchy 104.1 The arithmetical hierarchy of formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 The arithmetical hierarchy of sets of natural numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Relativized arithmetical hierarchies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4 Arithmetic reducibility and degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.5 The arithmetical hierarchy of subsets of Cantor and Baire space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.6 Extensions and variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.7 Meaning of the notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

i

ii CONTENTS

4.8 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.9 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.10 Relation to Turing machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.11 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.12 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Automated theorem proving 155.1 Logical foundations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 First implementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3 Decidability of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.4 Related problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.5 Industrial uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.6 First-order theorem proving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.7 Benchmarks and competitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.8 Popular techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.9 Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.9.1 Free software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.9.2 Proprietary software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.10 Notable people . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.11 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.12 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.13 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6 Axiom schema of predicative separation 23

7 Boolean algebra 247.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.2 Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.3 Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.3.1 Basic operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.3.2 Derived operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.4 Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.4.1 Monotone laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.4.2 Nonmonotone laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.4.3 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.4.4 Duality principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7.5 Diagrammatic representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.5.1 Venn diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.5.2 Digital logic gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7.6 Boolean algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.6.1 Concrete Boolean algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.6.2 Subsets as bit vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

CONTENTS iii

7.6.3 The prototypical Boolean algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.6.4 Boolean algebras: the denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327.6.5 Representable Boolean algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7.7 Axiomatizing Boolean algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.8 Propositional logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.8.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.8.2 Deductive systems for propositional logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7.9 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.9.1 Two-valued logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.9.2 Boolean operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7.10 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.11 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.12 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.13 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8 Boolean satisability problem 398.1 Basic denitions and terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.2 Complexity and restricted versions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8.2.1 Unrestricted satisability (SAT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408.2.2 3-satisability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408.2.3 Exactly-1 3-satisability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418.2.4 2-satisability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428.2.5 Horn-satisability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428.2.6 XOR-satisability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.2.7 Schaefers dichotomy theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.3 Extensions of SAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.4 Self-reducibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.5 Algorithms for solving SAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.9.1 SAT problem format . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.9.2 Online SAT solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.9.3 Oine SAT solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.9.4 SAT applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.9.5 Conferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.9.6 Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.9.7 Benchmarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.9.8 Evaluation of SAT solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

9 Bounded quantier 49

iv CONTENTS

9.1 Bounded quantiers in arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.2 Bounded quantiers in set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

10 Branching quantier 5110.1 Denition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5110.2 Relation to natural languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5210.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5210.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

11 Canonical normal form 5411.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5411.2 Minterms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

11.2.1 Indexing minterms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5511.2.2 Functional equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

11.3 Maxterms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5511.3.1 Indexing maxterms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5511.3.2 Functional equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

11.4 Dualization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5611.5 Non-canonical PoS and SoP forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5611.6 Application example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

11.6.1 Canonical and non-canonical consequences of NOR gates . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5611.6.2 Design trade-os considered in addition to canonical forms . . . . . . . . . . . . . . . . . 5711.6.3 Top-down vs. bottom-up design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

11.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5811.8 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5811.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5811.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

12 Classical logic 5912.1 Examples of classical logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5912.2 Non-classical logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5912.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6012.4 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

13 Clause (logic) 6113.1 Empty clauses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6113.2 Implicative form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6113.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6113.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6213.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

CONTENTS v

14 Computability theory 6314.1 Computable and uncomputable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.2 Turing computability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6414.3 Areas of research . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

14.3.1 Relative computability and the Turing degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6514.3.2 Other reducibilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6614.3.3 Rices theorem and the arithmetical hierarchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6614.3.4 Reverse mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6714.3.5 Numberings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6714.3.6 The priority method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6714.3.7 The lattice of recursively enumerable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6714.3.8 Automorphism problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6814.3.9 Kolmogorov complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6814.3.10 Frequency computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6814.3.11 Inductive inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6814.3.12 Generalizations of Turing computability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6914.3.13 Continuous computability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

14.4 Relationships between denability, proof and computability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6914.5 Name of the subject . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6914.6 Professional organizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7014.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7014.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7014.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7014.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

15 Computational complexity theory 7315.1 Computational problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

15.1.1 Problem instances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7315.1.2 Representing problem instances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7415.1.3 Decision problems as formal languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7415.1.4 Function problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7615.1.5 Measuring the size of an instance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

15.2 Machine models and complexity measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7615.2.1 Turing machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7615.2.2 Other machine models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7715.2.3 Complexity measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7715.2.4 Best, worst and average case complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7815.2.5 Upper and lower bounds on the complexity of problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

15.3 Complexity classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7915.3.1 Dening complexity classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7915.3.2 Important complexity classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7915.3.3 Hierarchy theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

vi CONTENTS

15.3.4 Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8115.4 Important open problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

15.4.1 P versus NP problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8115.4.2 Problems in NP not known to be in P or NP-complete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8215.4.3 Separations between other complexity classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

15.5 Intractability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8315.6 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8315.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8415.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

15.8.1 Textbooks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8515.8.2 Surveys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

15.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

16 Conditional quantier 8616.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

17 Conjunctive normal form 8717.1 Examples and Non-Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8717.2 Conversion into CNF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8817.3 First-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8817.4 Computational complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8817.5 Converting from rst-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8917.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8917.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9017.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9017.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

18 Constructive set theory 9118.1 Intuitionistic ZermeloFraenkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

18.1.1 Predicativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9118.2 Myhills constructive set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9218.3 Aczels constructive ZermeloFraenkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9218.4 Interpretability in type theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9318.5 Interpretability in category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9318.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9318.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9318.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

19 Context-sensitive grammar 9419.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9419.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9519.3 Kuroda normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9619.4 Properties and uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

CONTENTS vii

19.4.1 Equivalence to linear bounded automaton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9619.4.2 Closure properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9619.4.3 Computational problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9619.4.4 As model of natural languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

19.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9719.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9719.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9719.8 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9819.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

20 Counting quantication 9920.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9920.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

21 De Morgans laws 10021.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

21.1.1 Substitution form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10221.1.2 Set theory and Boolean algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10221.1.3 Engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10321.1.4 Text searching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

21.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10321.3 Informal proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

21.3.1 Negation of a disjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10421.3.2 Negation of a conjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

21.4 Formal proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10521.5 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10521.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10621.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10721.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

22 Dependence logic 10822.1 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

22.1.1 Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10822.1.2 Atomic formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10822.1.3 Complex formulas and sentences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

22.2 Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10922.2.1 Teams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10922.2.2 Positive and negative satisfaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10922.2.3 Semantic rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

22.3 Dependence logic and other logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11122.3.1 Dependence logic and rst-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11122.3.2 Dependence logic and second-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

viii CONTENTS

22.3.3 Dependence logic and branching quantiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11122.3.4 Dependence logic and IF logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

22.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11222.5 Complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11222.6 Variants and extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

22.6.1 Team logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11222.6.2 Modal dependence logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11222.6.3 Intuitionistic dependence logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11322.6.4 Independence logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11322.6.5 Inclusion/exclusion logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11322.6.6 Generalized quantiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

22.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11322.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11422.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11422.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

23 Disjunctive normal form 11623.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11723.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

24 Distributive property 11824.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11824.2 Meaning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11824.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

24.3.1 Real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11924.3.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12024.3.3 Other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

24.4 Propositional logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12024.4.1 Rule of replacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12024.4.2 Truth functional connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

24.5 Distributivity and rounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12124.6 Distributivity in rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12124.7 Generalizations of distributivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

24.7.1 Notions of antidistributivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12224.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12224.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12324.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

25 Donkey sentence 12425.1 Features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12425.2 Discourse representation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12525.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

CONTENTS ix

25.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12525.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12625.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12625.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

26 Double negation 12926.1 Double negative elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

26.1.1 Formal notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13026.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13026.3 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13026.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

27 ELEMENTARY 13227.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13227.2 Lower elementary recursive functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13327.3 Basis for ELEMENTARY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13327.4 Descriptive characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13327.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13327.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

28 Equisatisability 13428.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

29 Existential quantication 13529.1 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13529.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

29.2.1 Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13629.2.2 Rules of Inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13729.2.3 The empty set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

29.3 As adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13729.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13829.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13829.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

30 First-order logic 13930.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13930.2 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

30.2.1 Alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14030.2.2 Formation rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14230.2.3 Free and bound variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14330.2.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

30.3 Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14430.3.1 First-order structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

x CONTENTS

30.3.2 Evaluation of truth values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14530.3.3 Validity, satisability, and logical consequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14630.3.4 Algebraizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14630.3.5 First-order theories, models, and elementary classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14730.3.6 Empty domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

30.4 Deductive systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14830.4.1 Rules of inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14830.4.2 Hilbert-style systems and natural deduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14830.4.3 Sequent calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14930.4.4 Tableaux method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14930.4.5 Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14930.4.6 Provable identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

30.5 Equality and its axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15030.5.1 First-order logic without equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15030.5.2 Dening equality within a theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

30.6 Metalogical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15130.6.1 Completeness and undecidability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15130.6.2 The LwenheimSkolem theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15130.6.3 The compactness theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15230.6.4 Lindstrms theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

30.7 Limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15230.7.1 Expressiveness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15230.7.2 Formalizing natural languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

30.8 Restrictions, extensions, and variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15330.8.1 Restricted languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15330.8.2 Many-sorted logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15330.8.3 Additional quantiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15430.8.4 Innitary logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15430.8.5 Non-classical and modal logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15430.8.6 Fixpoint logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15530.8.7 Higher-order logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

30.9 Automated theorem proving and formal methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15530.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15630.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15630.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15730.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

31 Game semantics 16031.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16031.2 Classical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16031.3 Intuitionistic logic, denotational semantics, linear logic, logical pluralism . . . . . . . . . . . . . . 16131.4 Quantiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

CONTENTS xi

31.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16131.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

31.6.1 Articles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16231.6.2 Books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

31.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

32 Generalized quantier 16432.1 Type theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16432.2 Typed lambda calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16532.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

32.3.1 Monotonicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16532.3.2 Conservativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

32.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16732.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16732.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16732.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

33 Horn clause 16833.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16833.2 Logic programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16833.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16933.4 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

34 Independence-friendly logic 17134.1 Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17134.2 Extended IF logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17134.3 Properties and critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17234.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17234.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17234.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

35 Jaakko Hintikka 17435.1 Selected books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17435.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17635.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17735.4 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17735.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17735.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

36 Jon Barwise 17836.1 Works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17836.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17936.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

xii CONTENTS

36.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

37 KripkePlatek set theory 18037.1 The axioms of KP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18037.2 Proof that Cartesian products exist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18137.3 Admissible sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18137.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18137.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

38 Leon Henkin 18238.1 The completeness proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18238.2 Early life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18238.3 Academic career . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18238.4 Awards received . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18438.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18438.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18438.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18438.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

39 Lindstrm quantier 18639.1 Generalization of rst-order quantiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18639.2 Expressiveness hierarchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18739.3 As precursors to Lindstrms theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18739.4 Algorithmic characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18739.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18739.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18839.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

40 Literal (mathematical logic) 18940.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18940.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

41 Logic 19041.1 The study of logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

41.1.1 Logical form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19041.1.2 Deductive and inductive reasoning, and abductive inference . . . . . . . . . . . . . . . . . 19141.1.3 Consistency, validity, soundness, and completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19241.1.4 Rival conceptions of logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

41.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19241.3 Types of logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

41.3.1 Syllogistic logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19441.3.2 Propositional logic (sentential logic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19441.3.3 Predicate logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

CONTENTS xiii

41.3.4 Modal logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19541.3.5 Informal reasoning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19541.3.6 Mathematical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19641.3.7 Philosophical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19641.3.8 Computational logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19641.3.9 Bivalence and the law of the excluded middle; non-classical logics . . . . . . . . . . . . . 19741.3.10 Is logic empirical?" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19841.3.11 Implication: strict or material? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19841.3.12 Tolerating the impossible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19841.3.13 Rejection of logical truth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

41.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19941.5 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20041.6 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20241.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

42 Logical conjunction 20442.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20542.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

42.2.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20642.3 Introduction and elimination rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20642.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20742.5 Applications in computer engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20842.6 Set-theoretic correspondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20842.7 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20842.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20942.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20942.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

43 Logical disjunction 21043.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21143.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

43.2.1 Truth table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21243.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21243.4 Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21343.5 Applications in computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

43.5.1 Bitwise operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21343.5.2 Logical operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21443.5.3 Constructive disjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

43.6 Union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21443.7 Natural language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21443.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21443.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

xiv CONTENTS

43.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21543.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

44 Logical equivalence 21644.1 Logical equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21644.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21644.3 Relation to material equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21744.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21744.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

45 Lvy hierarchy 21845.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21845.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

45.2.1 0=0=0 formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21845.2.2 1-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21945.2.3 1-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21945.2.4 1-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21945.2.5 2-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21945.2.6 2-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21945.2.7 2-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21945.2.8 3-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22045.2.9 3-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22045.2.10 3-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22045.2.11 4-formulas and concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

45.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22045.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22045.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

46 Mathematical logic 22146.1 Subelds and scope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22146.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

46.2.1 Early history . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22246.2.2 19th century . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22246.2.3 20th century . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

46.3 Formal logical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22446.3.1 First-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22546.3.2 Other classical logics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22546.3.3 Nonclassical and modal logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22646.3.4 Algebraic logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

46.4 Set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22646.5 Model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22746.6 Recursion theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

CONTENTS xv

46.6.1 Algorithmically unsolvable problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22846.7 Proof theory and constructive mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22846.8 Connections with computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22846.9 Foundations of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22946.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22946.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23046.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

46.12.1 Undergraduate texts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23046.12.2 Graduate texts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23146.12.3 Research papers, monographs, texts, and surveys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23146.12.4 Classical papers, texts, and collections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

46.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

47 Mathematics 23547.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

47.1.1 Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23647.1.2 Etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

47.2 Denitions of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23947.2.1 Mathematics as science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

47.3 Inspiration, pure and applied mathematics, and aesthetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24247.4 Notation, language, and rigor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24347.5 Fields of mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

47.5.1 Foundations and philosophy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24447.5.2 Pure mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24547.5.3 Applied mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

47.6 Mathematical awards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24747.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24847.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24847.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25047.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25147.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

48 Maxima and minima 25348.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25448.2 Finding functional maxima and minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25448.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25448.4 Functions of more than one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25548.5 Maxima or minima of a functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25648.6 In relation to sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25648.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25748.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25748.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

xvi CONTENTS

49 Negation 25849.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25849.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25849.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

49.3.1 Double negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25949.3.2 Distributivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25949.3.3 Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25949.3.4 Self dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

49.4 Rules of inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25949.5 Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25949.6 Kripke semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26049.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26049.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26149.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26149.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

50 Negation normal form 26250.1 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26250.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26350.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

51 Nonrstorderizability 26451.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26451.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

52 NP-complete 26652.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26752.2 Formal denition of NP-completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26752.3 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26752.4 NP-complete problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26852.5 Solving NP-complete problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26952.6 Completeness under dierent types of reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27052.7 Naming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27052.8 Common misconceptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27052.9 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27152.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27152.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27152.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27252.13Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

53 Peano axioms 27453.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27453.2 Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

CONTENTS xvii

53.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27653.2.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27653.2.3 Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

53.3 First-order theory of arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27753.3.1 Equivalent axiomatizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

53.4 Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27953.4.1 Nonstandard models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27953.4.2 Set-theoretic models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27953.4.3 Interpretation in category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

53.5 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28053.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28153.7 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28153.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28253.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

54 Plural quantication 28454.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28454.2 Background and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

54.2.1 Multigrade (variably polyadic) predicates and relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28454.2.2 Nominalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

54.3 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28554.3.1 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28654.3.2 Model theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

54.4 Criticism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28754.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28754.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28754.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

55 Polynomial hierarchy 28955.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28955.2 Relations between classes in the polynomial hierarchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29055.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29055.4 Problems in the polynomial hierarchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29255.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29255.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

56 Predicate logic 29356.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29356.2 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29356.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

57 Primitive recursive function 29557.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

xviii CONTENTS

57.1.1 Role of the projection functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29657.1.2 Converting predicates to numeric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29657.1.3 Computer language denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

57.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29657.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29657.2.2 Subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29757.2.3 Operations on integers and rational numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

57.3 Relationship to recursive functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29757.4 Limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29857.5 Some common primitive recursive functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29957.6 Additional primitive recursive forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30057.7 Finitism and consistency results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30057.8 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30157.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30157.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

58 Propositional formula 30358.1 Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

58.1.1 Relationship between propositional and predicate formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . 30458.1.2 Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

58.2 An algebra of propositions, the propositional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30458.2.1 Usefulness of propositional formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30558.2.2 Propositional variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30558.2.3 Truth-value assignments, formula evaluations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

58.3 Propositional connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30658.3.1 Connectives of rhetoric, philosophy and mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30658.3.2 Engineering connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30658.3.3 CASE connective: IF ... THEN ... ELSE ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30658.3.4 IDENTITY and evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

58.4 More complex formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30858.4.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30858.4.2 Axiom and denition schemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30958.4.3 Substitution versus replacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

58.5 Inductive denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30958.6 Parsing formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

58.6.1 Connective seniority (symbol rank) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31058.6.2 Commutative and associative laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31158.6.3 Distributive laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31158.6.4 De Morgans laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31158.6.5 Laws of absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31258.6.6 Laws of evaluation: Identity, nullity, and complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31258.6.7 Double negative (Involution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

CONTENTS xix

58.7 Well-formed formulas (ws) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31258.7.1 Ws versus valid formulas in inferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

58.8 Reduced sets of connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31358.8.1 The stroke (NAND) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31358.8.2 IF ... THEN ... ELSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

58.9 Normal forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31558.9.1 Reduction to normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31558.9.2 Reduction by use of the map method (Veitch, Karnaugh) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

58.10Impredicative propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31758.11Propositional formula with feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

58.11.1 Oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31858.11.2 Memory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

58.12Historical development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31958.13Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32158.14References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

59 Propositional variable 32959.1 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32959.2 In rst order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32959.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32959.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

60 Quanticational variability eect 33060.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33060.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33060.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33060.4 Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

61 Quantier (linguistics) 33261.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33261.2 Nesting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33261.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33361.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33361.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

62 Quantier (logic) 33462.1 Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33462.2 Algebraic approaches to quantication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33462.3 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33562.4 Nesting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33662.5 Equivalent expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33662.6 Range of quantication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33762.7 Formal semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

xx CONTENTS

62.8 Paucal, multal and other degree quantiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33962.9 Other quantiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33962.10History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34062.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34062.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34062.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

63 Quantier rank 34263.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34263.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34263.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34363.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34363.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

64 Quantier variance 34464.1 Quantiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34464.2 Usage, not 'existence'? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34564.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34564.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

65 QuineMcCluskey algorithm 34765.1 Complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34765.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

65.2.1 Step 1: nding prime implicants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34765.2.2 Step 2: prime implicant chart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

65.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34865.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34865.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

66 Second-order arithmetic 35066.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

66.1.1 Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35066.1.2 Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35166.1.3 Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35166.1.4 The full system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

66.2 Models of second-order arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35266.3 Denable functions of second-order arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35366.4 Subsystems of second-order arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

66.4.1 Arithmetical comprehension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35366.4.2 The arithmetical hierarchy for formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35366.4.3 Recursive comprehension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35466.4.4 Weaker systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35466.4.5 Stronger systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

CONTENTS xxi

66.5 Projective Determinacy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35566.6 Coding mathematics in second-order arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35566.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35566.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

67 Second-order logic 35767.1 Syntax and fragments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35767.2 Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35867.3 Expressive power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35867.4 Deductive systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35967.5 Non-reducibility to rst-order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35967.6 Metalogical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36067.7 History and disputed value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36067.8 Relation to computational complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36167.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36167.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36267.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36267.12Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

68 Sentence (logic) 36368.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36368.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36368.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

69 Subtyping 36569.1 Origins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36569.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36669.3 Subtyping schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36669.4 Record types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36769.5 Function types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36769.6 Coercions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36769.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36869.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36869.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36869.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

70 System F 37070.1 Logic and predicates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37070.2 System F Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37170.3 Use in programming languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37270.4 System F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37270.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37270.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

xxii CONTENTS

70.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37370.8 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37370.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

71 System F-sub 37471.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37471.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

72 Time complexity 37572.1 Table of common time complexities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37572.2 Constant time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37572.3 Logarithmic time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37672.4 Polylogarithmic time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37672.5 Sub-linear time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37672.6 Linear time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37772.7 Quasilinear time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

72.7.1 Linearithmic time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37772.8 Sub-quadratic time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37772.9 Polynomial time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

72.9.1 Strongly and weakly polynomial time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37872.9.2 Complexity classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

72.10Superpolynomial time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37972.11Quasi-polynomial time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

72.11.1 Relation to NP-complete problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38072.12Sub-exponential time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

72.12.1 First denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38072.12.2 Second denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

72.13Exponential time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38172.14Double exponential time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38172.15See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38272.16References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

73 Tseitin transformation 38473.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38473.2 Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38473.3 Gate Sub-expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38473.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38573.5 Simple combinatorial logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38573.6 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

73.6.1 OR Gate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38573.6.2 NOT Gate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38673.6.3 NOR Gate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

CONTENTS xxiii

73.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

74 Two-variable logic 38774.1 Decidability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38774.2 Counting quantiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38774.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

75 Type theory 38875.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38875.2 Basic concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38875.3 D