configuraciones planetariasconfiguraciones planetarias

cuadratura conjunción

oposición

posiciones de los planetas con respecto al Sol y a la Tierra

elongación de un planeta (λ): ángulo que forman las visuales dirigidas al Sol y al planeta desde la

Tierra

λ = 0°

λ =180°λ = 90°

diferentes valores de λ diferentes configuraciones

planetas exteriores planetas exteriores

3 y 4 máxima elongación este u oeste

2 conjunción inferior 1 conjunción superior

planetas interioresplanetas interiores

3 y 4 cuadratura este u oeste

1 conjunción 2 oposición

Mercurio: 28° Venus: 47°

1

2

3 4T

1

2

3 4

período sidéreo de un planeta: tiempo que le toma al planeta en recorrer los 360° de

su órbitaperíodo sinódico de un planeta:

tiempo que le toma al planeta volver a la misma configuración con respecto al sol

1S

1P

1E= -per. sinódico

del planeta

per. sidéreo del planeta

per. sidéreo de la tierra

planeta exterior planeta exterior

planeta interior planeta interior

1S

1P

1E= -

movimientos planetariosmovimientos planetariosleyes de Keplerleyes de Kepler

leyes de Kepler: leyes empíricas!

primer ley de keplerprimer ley de kepler: los planetas se mueven describiendo elipses de las cuales el sol ocupa uno

de los focos segunda ley de keplersegunda ley de kepler: el radio vector que une el centro del planeta con el centro del sol describe

áreas iguales en tiempos igualestercera ley de keplertercera ley de kepler: los cuadrados de los períodos

de revolución de los planetas son inversamente proporcionales a los cubos de sus distancias

medias al sol

primer ley de keplerprimer ley de kepler: los planetas se mueven describiendo elipses de las cuales el sol ocupa uno de los focos

definición de elipse: lugar geométrico de los puntos del plano cuyas sumas de distancias a dos puntos

fijos, llamados focos, es constante

P

F2F1

d1 d2

d1 d2+ = cte

P’

d’1d’2

d’1 d’2+ = cte

P”

d”1

d”2

d”1 d’2+ = cte

PF2F1

d1

d2

eje mayor

semieje mayor = a

eje menor

semieje menor = b

d1 d2+ = cte

c

excentricidad = e =cF/a cF = e a

a+ae + a-ae = 2a

Pd1

d2

P’

d’1

d’2

d1 = d’2d2=d’1

F2F1 a b

d1 d’1+( ) / 2 = ?

d1 d’1+( ) / 2 = d1 +( ) / 2 d2 = a

la distancia media de un planeta al sol es igual al semieje mayor de su órbita

distancia media de un planeta al soldistancia media de un planeta al sol

P

d1d2

F2F1 a b

d1 + d2 = 2 a d1 = d2= a

=a

ae b

a² = b² + (ae)² b =√ a² - (ae)² = a √ 1 - e²

perihelio afelio

d = a – ae = a(1-e)p

d = a + ae = a(1+e)a

d + d = 2a a p

d - d = 2ae a pd - d 2a

a pe=

qué se obtiene a partir de las qué se obtiene a partir de las leyes de la mecánica clásica ?leyes de la mecánica clásica ?

a partir de las tres leyes de Newton y de la ley de gravitación universal se deduce que un cuerpo orbitando alrededor de otro bajo la atracción

gravitatoria mutua describe una cónica

elipsecircunferencia

parábolahipérbola

cualquier cónica!

curvas obtenidas al seccionar un cono con un plano

generatriz

eje del cono

circunferencia elipse parábola hipérbola

curvas cerradas curvas abiertas

elipse: lugar geométrico de los puntos del plano cuyas sumas de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante

Pd1

d2

d1 d2+ = 2a

F2F1 a b

c

e=cF/a

e<1

circunferencia: lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias a un punto fijo, llamado centro, es constante

cP

d

d=cte=R

cF=0 e=0

parábola: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistas de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz

e=1d1

d2

d2d1 =

centro en el infinito

cFa

∞∞

F

directriz

hipérbola: lugar geométrico de los puntos del plano cuyas diferencias de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante

e>1

PF’-PF=2a

segunda ley de keplersegunda ley de kepler (o ley de las áreas): el radio vector que une el centro del planeta con el centro del sol describe áreas iguales en tiempos iguales

línea de las ápsides

perihelio afelioP1

P2

P3

P4 radio vector

A

el radio vector barre el área A en el intervalo

de tiempo Δt

A’

el radio vector barre el área A’ en el intervalo

de tiempo Δt’

si Δt = Δt’, A=A’

perihelio

afelioP1

P2

P3

P4

AA’

si Δt = Δt’, A=A’

2) velocidad orbital cerca del perihelio mayor que cerca del afelio

1) velocidad areal constante

Var = A / ΔtVorb

h

= Vorb Δt h / (2 Δt)

Vorb h = cte

m Vorb h = ctem Vorb h = L = momento angular

la segunda ley de Kepler es equivalente al principio de conservación del momento angular

tercera ley de keplertercera ley de kepler (o ley armónica): los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son inversamente proporcionales a los cubos de sus distancias medias al sol

P² a³ = cte P²

a³ m

m

P² a³

v

v=

P² a³

t

t= = …

P² a³

si conocemos el período y la distancia media al sol de alguno de los planetas podemos calcular la cte

para la tierraP=1añoA=1ua

= 1

cuidado! sólo válida para cuerpos que giran alrededor del sol y siempre que los períodos de

revolución estén expresados en años y las distancias medias al sol en unidades astronómicas

qué se obtiene a partir de las leyes de la mecánica clásica ?

CM

Rp

Rs

F=ma

G(Ms mp)(Rs+Rp) ²

mpV²orb,p Rp=

fuerza de atracción gravitatoria mutua

aceleración centrípeta

Vorb,p=2πRp / PRs+Rp=aRs mpRp Ms

=

1

2

3

4

reemplazando , y en 12 3 4 P² a³ = 4π²

G(Ms+mp)

a) órbitas circulares

P² a³ = 4π²

G(M+m)

válida para TODO! par de cuerpos moviéndose bajo la atracción

gravitatoria mutua

para los planetas del sistema solar mp es despreciable frente a Ms

P² a³ = 4π²

GMs

P² a³ = 4π²

G(Mt+ml)para la Tierra y la Luna

P² a³ = 4π²

G(Mj+mg)para Júpiter y Ganímedes

la misma cte para todos los planetas!

P² a³ = 4π²

G(Ms+mp)para el Sol y un planeta

b) órbitas no circulares

m M(m+M)

12

V² - G m M r

+ = Em = cte

Ec + Ep = Em = cteprincipio de conservación de la energía mecánica

en particular Em,A= Em,P

m M(m+M)

12

V² - G m M r

+AA

m M(m+M)

12

V² - G m M r

+P

P=

r =a(1+e) (2)A r =a(1-e) (3)P

(1)

Vorb

h

Var = Vorb h/2

Vorbh

2 Var / h Vorb = Var = área de la elipse / período

Var = π a b / P Vorb = 2 π a b / (P h)

Vorb,p = 2 π a b / (P rp) (4)Vorb,A = 2 π a b / (P rA) (5)

reemplazando (2), (3), (4) y (5) en (1)

P² a³ = 4π²

G(Ms+mp)

= Em

Ec + Ep = Em = cteprincipio de conservación de la energía mecánica

m M(m+M)

12

V² - G m M r

+AA

Em es la misma para todos los puntos de la órbitapero cuanto vale Em ?

para una órbita elíptica (planteando la expresión para Em en el afelio):

Em = -G M m 2 a

para una órbita circular:

para una órbita parabólica:

para una órbita hiperbólica:

Em = -G M m 2 R

Em = 0 Em = G M m

2 a

energía mecánica del sistemaenergía mecánica del sistema

velocidad en la órbitavelocidad en la órbita

= m M(m+M)

12

V² - G m M r

+ G M m 2 a

órbita elíptica (o circular)

+_

órbita hiperbólica

V² =G(M+m) 2r

1a( )+_

órbita circular r=a=R

órbita parabólica ∞ a

V² = G(M+m) R

V² =G(M+m) 2r ( )

satélites artificialessatélites artificiales

lanzamiento de un satélite artificial dos etapas:

• transporte hasta el punto de inyección

•puesta en órbita

la órbita que describa dependerá sólo de la intensidad y dirección de la velocidad inicial !

si la dirección de la velocidad inicial es paralela a la tangente a la superficie de la tierra, ese punto de la órbita será cualquier punto de una órbita circular, el

apogeo o el perigeo de una órbita elíptica, o el vértice de una órbita parabólica o hiperbólica

Tierra R

h

V² =G(M+m) 2r

1a( )+_

R+h

si a=R+h Vc

Vc si a<R+h Ve,A

si a>R+h Ve,P

Ve,A Ve,P Vp Vh

p25arábola rama de hipérbola

desigual duración de las estacionesdesigual duración de las estaciones

ɤ

ecuadoreclíptica

T

PN

Ω

línea de los solsticios

línea de los ápsides

P A

Sdic

Sjun

Ω

ɤ 50”/año

11”/año

13°

la línea de las ápsides y la línea de los equinoccios coinciden cada 21000 años

retrogradación del equinoccio

avance del perigeo

P A

Sdic

Sjun

Ω

ɤ

otoño

inviernoprimavera

verano

segunda ley de Kepler

áreas iguales se recorren en tiempos iguales

desigual duración de las estaciones