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configuraciones planetarias cuadratura conjunción oposición posiciones de los planetas con respecto al Sol y a la Tierra elongación de un planeta (λ): ángulo que forman las visuales dirigidas al Sol y al planeta desde la Tierra λ = 0° λ =180° λ = 90° diferentes valores de λ diferentes configuraciones

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configuraciones planetarias

cuadratura

conjunción

oposición

posiciones de los planetas con respecto

al Sol y a la Tierra

elongación de un planeta (λ): ángulo que forman

las visuales dirigidas al Sol y al planeta desde la

Tierra

λ = 0°

λ =180°

λ = 90°

diferentes valores de λ diferentes configuraciones

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planetas exteriores

3 y 4 máxima elongación este u oeste

2 conjunción inferior

1 conjunción superior

planetas interiores

3 y 4 cuadratura este u oeste

1 conjunción

2 oposición

Mercurio: 28°

Venus: 47°

1

2

3 4T

1

2

3 4

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período sidéreo de un planeta: tiempo que le toma al planeta en recorrer los 360° de

su órbita

período sinódico de un planeta: tiempo que le toma al planeta volver a la misma

configuración con respecto al sol

1

S1

P

1

E= -per. sinódico

del planeta per. sidéreo del planeta

per. sidéreo de la tierra

planeta exterior

planeta interior

1

S

1

P

1

E= -

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movimientos planetarios

leyes de Kepler

leyes de Kepler: leyes empíricas!

primer ley de kepler: los planetas se mueven

describiendo elipses de las cuales el sol ocupa uno

de los focos

segunda ley de kepler: el radio vector que une el

centro del planeta con el centro del sol describe

áreas iguales en tiempos iguales

tercera ley de kepler: los cuadrados de los períodos

de revolución de los planetas son directamente

proporcionales a los cubos de sus distancias

medias al sol

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primer ley de kepler: los planetas se mueven describiendo

elipses de las cuales el sol ocupa uno de los focos

definición de elipse: lugar geométrico de los puntos del plano cuyas sumas de distancias a dos puntos

fijos, llamados focos, es constante

P

F2F1

d1 d2

d1 d2+ = cte

P’

d’1d’2

d’1 d’2+ = cte

P”

d”1

d”2

d”1 d’’2+ = cte

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PF2F1

d1

d2

eje mayor

semieje mayor = a

eje menor

semieje menor = b

d1 d2+ = cte

c

excentricidad = e =cF/a cF = e a

a+ae + a-ae = 2a

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Pd1

d2

P’

d’1

d’2

d1 = d’2

d2=d’1

F2F1

a b

d1d’1+( ) / 2 = ?

d1d’1+( ) / 2 = d1 +( ) / 2 d2

= a

la distancia media de un planeta al sol

es igual al semieje mayor de su órbita

distancia media de un planeta al sol

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P

d1d2

F2F1

a b

d1 + d2 = 2 a d1 = d2= a

=a

ae

b

a² = b² + (ae)² b =√ a² - (ae)² = a √ 1 - e²

perihelio afelio

d = a – ae = a(1-e)p

d = a + ae = a(1+e)a

d + d = 2a a p

d - d = 2ae a pd - d

2a a p

e=

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qué se obtiene a partir de las

leyes de la mecánica clásica ?

a partir de las tres leyes de Newton y de la ley de

gravitación universal se deduce que un cuerpo

orbitando alrededor de otro bajo la atracción

gravitatoria mutua describe una cónica

elipse

circunferencia

parábola

hipérbola

cualquier cónica!

curvas obtenidas al seccionar un cono con un plano

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generatriz

eje del cono

circunferencia elipse parábola hipérbola

curvas cerradas curvas abiertas

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elipse: lugar geométrico de los puntos del plano cuyas sumas de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante

Pd1

d2

d1 d2+ = 2a

F2F1

a b

c

e=cF/a

e<1

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circunferencia: lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias a un punto fijo, llamado centro, es constante

c

Pd

d=cte=R

cF=0 e=0

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parábola: lugar geométrico de los puntos del plano

que equidistas de un punto fijo llamado foco y una

recta fija llamada directriz

e=1d1

d2

d2d1 =

centro en el infinito

cF

a

∞∞

F

directriz

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hipérbola: lugar geométrico de los puntos del plano cuyas diferencias de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante

e>1

PF’-PF=2a

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segunda ley de kepler (o ley de las áreas): el radio vector que

une el centro del planeta con el centro del sol describe áreas

iguales en tiempos iguales

línea de lasápsides

perihelio afelio

P1

P2

P3

P4

radio vector

A

el radio vector barre el

área A en el intervalo

de tiempo Δt

A’

el radio vector barre el

área A’ en el intervalo

de tiempo Δt’

si Δt = Δt’, A=A’

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perihelio

afelioP1

P2

P3

P4

AA’

si Δt = Δt’, A=A’

2) velocidad orbital cerca del perihelio mayor que cerca del afelio

1) velocidad areal constante

Var = A / ΔtVorb

h

= Vorb Δt h / (2 Δt)

Vorb h = cte

m Vorb h = cte

m Vorb h = L = momento angular

la segunda ley de Kepler es equivalente al principio

de conservación del momento angular

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tercera ley de kepler (o ley armónica): los cuadrados de los

períodos de revolución de los planetas son directamente

proporcionales a los cubos de sus distancias medias al sol

a³ = cte

a³ m

m

a³ v

v=

a³ t

t= = …

si conocemos el período y la distancia media al sol

de alguno de los planetas podemos calcular la cte

para la tierraP=1año

A=1ua= 1

cuidado! sólo válida para cuerpos que giran

alrededor del sol y siempre que los períodos de

revolución estén expresados en años y las

distancias medias al sol en unidades astronómicas

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qué se obtiene a partir de las leyes de la

mecánica clásica ?

CM

Rp

Rs

F=ma

G(Ms mp)

(Rs+Rp) ²

mpV²orb,p

Rp=

fuerza de atracción gravitatoria mutua

aceleración centrípeta

Vorb,p=2πRp / P

Rs+Rp=a

Rs mp

Rp Ms=

1

2

3

4

reemplazando , y en 12 3 4

a³ = 4π²

G(Ms+mp)

a) órbitas circulares

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a³ = 4π²

G(M+m)

válida para TODO! par de cuerpos

moviéndose bajo la atracción

gravitatoria mutua

para los planetas del sistema solar

mp es despreciable frente a Ms

a³ = 4π²

GMs

a³ = 4π²

G(Mt+ml)para la Tierra y la Luna

a³ = 4π²

G(Mj+mg)para Júpiter y Ganímedes

la misma cte para todos los planetas!

a³ = 4π²

G(Ms+mp)para el Sol y un planeta

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b) órbitas no circulares

m M

(m+M)1

2V² - G m M

r + = Em = cte

Ec + Ep = Em = cte

principio de conservación de la energía mecánica

en particular Em,A= Em,P

m M

(m+M)1

2V² - G m M

r +A

A

m M

(m+M)1

2V² - G m M

r +

P

P=

r =a(1+e) (2)A

r =a(1-e) (3)P

(1)

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Vorb

h

Var = Vorb h/2

Vorb

h

2 Var / h Vorb =

Var = área de la elipse / período

Var = π a b / P

Vorb = 2 π a b / (P h)

Vorb,p = 2 π a b / (P rp) (4)

Vorb,A = 2 π a b / (P rA) (5)

reemplazando (2), (3), (4) y (5) en (1)

a³ = 4π²

G(Ms+mp)

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= Em

Ec + Ep = Em = cteprincipio de conservación

de la energía mecánica

m M

(m+M)1

2V² - G m M

r +A

A

Em es la misma para todos los puntos de la órbita

pero cuanto vale Em ?

para una órbita elíptica (planteando la expresión

para Em en el afelio):

Em =-G M m

2 a

para una órbita circular:

para una órbita parabólica:

para una órbita hiperbólica:

Em =-G M m

2 R

Em = 0

Em =G M m

2 a

energía mecánica del sistema

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velocidad en la órbita

= m M

(m+M)1

2V² - G m M

r +

G M m

2 a

órbita elíptica (o circular)

+_

órbita hiperbólica

V² =G(M+m) 2

r

1

a( )+_

órbita circular r=a=R

órbita parabólica ∞a

V² =G(M+m)

R

V² =G(M+m) 2

r ( )

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satélites artificiales

lanzamiento de un

satélite artificial dos etapas:

•transporte hasta el punto de inyección

•puesta en órbita

la órbita que describa dependerá sólo de la

intensidad y dirección de la velocidad inicial !

si la dirección de la velocidad inicial es paralela a la

tangente a la superficie de la tierra, ese punto de la

órbita será cualquier punto de una órbita circular, el

apogeo o el perigeo de una órbita elíptica, o el

vértice de una órbita parabólica o hiperbólica

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Tierra

R

h

V² =G(M+m) 2

r

1

a( )+_

R+h

si a=R+h Vc

Vc si a<R+h Ve,A

si a>R+h Ve,P

Ve,A Ve,P Vp Vh

parábolarama de

hipérbola

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desigual duración de las estaciones

ɤ

ecuador

T

PN

Ω

línea de los solsticios

línea de los ápsides

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P A

Sdic

Sjun

Ω

ɤ

50”/año

11”/año

13°

la línea de las ápsides y la línea de los

equinoccios coinciden cada 21000 años

retrogradación del equinoccio

avance del perigeo

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P A

Sdic

Sjun

Ω

ɤ

otoño

inviernoprimavera

verano

segunda ley de Kepler

áreas iguales se recorren en tiempos iguales

desigual duración de las estaciones