Condução elétrica em sólidos -...
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Os estados quânticos num cristal
−ℏ2
2m∂2ψ ( x )
∂ x2 +U ( x ) ψ ( x )=E ψ ( x )
a
Potencial realPotencial de “Kronig-Penney”
Soluções• Auto energias &• Novos números quânticos:
os vetores de onda
Abertura de intervalosproibidos : os gaps
E=p2
2m=ℏ
2 k2
2m
Solução para o elétron livre
• Observe: transição poço quântico - potencial periódico
• Largura das bandas: largura das barreiras ou distância entre poços• Tamanho dos gaps: idem• Periodicidade da densidade de estados
http://www.falstad.com/qm1dcrystal/
Soluções simuladas
Propriedades de transporte (condutividade) depende de...• Estrutura eletrônica +
ocupação dos estados • Densidade dos portadores
de carga• Espalhamento dos
portadores de carga• Resposta aos campos
externos
J⃗ =σ⋅E⃗
σ=e2 τm n
Sistema isotrópico
Tempo de espalhamento
Densidade de portadores
Estrutura eletrônica (massa efetiva)
Condutividade versus temperatura
σ
Temperatura
Isolantes e semicondutores( aumento do número de portadores )
Metais( número de portadores constante com T )
Números típicos a temperatura ambiente
Tipo Unidade Metal(Cobre)
Semicondutor(Silício)
resistividade Ω . m 2 x 10-8 3 x 103
Concentração de portadores de
carga
m-3 9 x 1028 1 x 1016
ρ=1σ
nat=M amostra
Mmolar.N Avogadro
n=nel . cond .
Vol .nel .cond .=nat .×nel .val .onde:
Densidade de portadores I
f (E )=1
1+e
(E−EF )
kB T
Distribuição de Fermi Dirac:
Metal
Semicondutor
EF
• Densidade de estados quânticos [ No. de estados / (m3.Joule) ] :
N (E )=8√2πm3/2
h3 E1/2
P(E )=1
1+e(E−EF )/kBT
• Probabilidade de ocupação P(E) [ Estatística de Fermi-Dirac] :
Portanto, em T = 0: EF=(3
16 √2 π )2/3 h2
m n2/3=0 .121 h2
m n2/3
N0 (E )=N (E) P(E )• Densidade de estados ocupados:
Para T = 0, o No. de elétrons de condução do metal (p. unid. de vol.) será:
n=∫0
EF
N 0(E ) dE=8√2 πm3/ 2
h3 ∫0
E F
E1/2dE=8√2 πm3 /2
h3
2EF3/2
3
Onde usamos que N0(E) = N(E), pois P(E) = 1 em T = 0
Densidade de portadores II
• Em metais n não varia com T• Em metais qualquer perturbação faz as cargas se deslocarem
• Em semicondutores n varia com T
• Em semicondutores os portadores precisam ser criados com gasto finito de energia
Temperatura
Isolantes e semicondutores(aumento do número de portadores)
Metais(número de portadores constante com T)
Semicondutores dopados
Nova energia de Fermi
Semicondutor
Semicondutor tipo n
Semicondutor
Semicondutor tipo p
Portadores em maioria e minoria
Semicondutor n Semicondutor p
T finita
Portadores majoritários
Portadoresminoritários
Ainda assim :1/1000
do cobre !
Semicondutores dopados II
• Concentração de portadores de carga em semicondutores intrínsecos:
≈ 1016 m-3
• Concentração de portadores de carga em semicondutores dopados:
≤ 1025 m-3
O Diodo Emissor de Luz (LED: Light-Emitting Diode)
p
p
λ=cf =
cEg /h
=hcEg
nRecombinação
Corte de um LED (detalhe)
O Laser Semicondutor
p
λ=cf =
cEg /h
=hcEg
n
Recombinação
Coerente
Espelho
Espelho semi-transparente