Concreto Armado I

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Concreto Armado I - Jueves 02 de setiembre 2010 Viga.Se disea por estos tres criterios o mtodos: Flexin: La viga esta diseada para soportar cargas vivas y cargas muertas. Corte Torsin Fecha Mircoles 15 de setiembre del 2010 Ejercicio de Predimensionamiento

Datos: Columna 0.4 x 0.4 Altura de Piso: 3 m fc: 210 kg/cm2 c: 2400 kg/m3, Peso especfico del Concreto Armado. m: 1800 kg/m3 Muros: 0.25 m Parapeto: 0.15 m Predimensionamos la Viga h= L/12, Peralte h= 0.67 m = 0.65 m b= 0.5*h, ancho o base de la Viga b= 0.325 m = 0.4 m, Consideramos la base de la viga el mismo que el ancho de la columna. - La base de la Viga no puede ser mayor que el ancho de la columna. (Elar)

Metramos: Carga Muerta Ppv = Peso propio de la viga Ppv = 0.4*0.65*2.4= 0.624 t/m (Carga Distribuida) PLosa = Peso de Losa Consideramos una losa de 0.2 m de altura PLosa = 0.3*6.5 = 1.95 t/m (Carga Distribuida) Muro = e*h*m = 0.25*3*1.8 = 1.35 t/m (Carga Distribuida) Parapeto = e*h*Ancho Tributario*m = 0.15*1.2*6.5*1.8 = 2.106 Ton (Carga Puntual) Solo Afectan a las Aulas CM = Ppv +PLosa+PMuro = 3.924 T/m (Carga Distribuida) Solo Afectan al volado o pasadiso CM = Ppv +PLosa = 2.574 T/m (Carga Distribuida) Carga Viva Cargas Repartidas de Colegios (Aulas) es: 0.25 T/m2 Pasadiso : 0.4 T/m2 Aulas =Ancho Tributario*Cargas repartidas = 6.5*0.25 =1.625 T/m Pasadiso = Ancho Tributario*Cargas repartidas = 6.5*0.4 = 2.6 T/m Resistencia Requerida Para cargas muertas y vivas sera: U = 1.4CM+1.7CV Wu Para las Aulas Wu = 1.4*(3.924)+1.7*(1.625) = 8.256 T/m Wu Para el Volado o pasadiso Wu = 1.4*(2.574)+1.7*(2.6) = 8.024 T/m Carga Puntual La carga puntual del parapeto que se ubica en el pasadiso. P = 1.4*(2.106) = 2.95 Ton

Colocar las cargas en el Sap Utilizando Combinaciones Cargas Muertas: Para las aulas: 3.924 t/m (Cargas Distribuida) Para el Voladizo: 2.574 t/m (Carga Distribuida) El parapeto: 2.106 Ton (Carga Puntual, Parapeto) Cargas Vivas: Para las aulas: 1.625 t/m (Cargas Distribuidas) Para pasadiso: 2.6 t/m (Cargas Distribuidas) Notas: Utilizamos los Momentos para disear el Acero de Refuerzo Longitudinal. - Utilizamos momento negativo para disear la parte superior de la viga. - Utilizamos momento positivo para disear la parte inferior de la viga. - Utilizamos los cortantes Extremos, para disear Estribos. En el metrado de Cargas no se metra las vigas perpendiculares a nuestra viga de diseo por que esta se apoya en las columnas. 2 Ejemplo En el caso que tuviera una puerta. El prtico Numero 2

Cuando tenemos una Puerta en al

Fecha Jueves 16/09/2010 Segunda Clase Diseo de Vigas.Ecuaciones Para el diseo en Flexin VIGA SIMPLEMENTO REFORZADA d = Peralte efectivo del elemento = Porcentaje de refuerzo de acero ( CUANTA) b = Ancho del bloque comprimido (ancho de la seccin transversal rectangular) As = rea de acero en traccin c = Profundidad del eje neutro a = Profundidad del bloque comprimido rectangular equivalente

Se define cuanta o porcentaje de refuerzo como: Por equilibrio en la figura tenemos: Fuerza de Compresin = Fuerza de Traccin Despejamos a =

Remplazando As : I Tomando momentos en la ubicacin de la resultante en traccin: Mu = Fuerza de Compresin por distancia Mu = (0.85*fc*b*a)*(d-a/2) II Tomando momentos en la ubicacin de la resultante en comprensin: Mu = (As*fy)(d-a/2) III Se define Cuanta Mecnica o ndice de refuerzo () a: IV Remplazamos (IV) en (I): V Remplazamos (V) en (II) : [ ]

Para el diseo se usar un factor = 0.9 que es el factor de Resistencia para vigas.

Ejemplo de Diseo:

Utilizamos el momento Mximo Positivo: Mu = 32.34 Ton-m = 3234000 Kg-cm 3234000 = 0.9*210*40*592**(1-59*) Despejamos : Nota: = 0.13338 d = h-6, 1 Capa Utilizamos la ecuacin en la que interviene la cuanta mecnica: d = h-9, 2 Capas = 0.006669 d = h-11, 3 Capas El Valor de ro lo remplazamos en la siguiente ecuacin: Buscamos los Aceros que sus areas sumadas cumplan esa Cantidad: - El Acero que utilicemos para nuestro diseo debe ser igual o mayor a nuestro requerimiento As. - El recubrimiento mnimo para Viga Peraltada es de 4 cm. Ahora Comprobaremos que el Acero entra en la Seccin dada con la Siguiente comprobacin: Con la tabla de aceros que tenemos: Colocaremos: 2 de 3/4" + 2 de 1" que juntas hacen un As = 15.83 cm^2 Donde comprobamos la Distribucin: Recubrimiento Mnimo Dimetro del Estribo 4 cm Para Vigas Peraltadas 0.96 cm 8 cm 1.92 cm 3.81 cm 5.08 cm 26 cm

Acero

Recubrimiento total en la Viga Dimensin del Estribo en la viga 2 Varillas 3/4 2 Varillas 1 Espaciamiento de # Varillas

26 cm es menor que 40 cm, entonces si esta bien distribuida. Nota: La distribucion del acero debe ser simtrica. Las barras con mayor diametro deben ir a los extremos.

Tablas para Diseo en Flexin Revisamos la Cuanta - La cuanta mnima segn el ACI: Utilizamos este Elar

- Acero mnimo por flexin: Para evitar la falla frgil en la zona de traccin de la viga es necesario proveer una cantidad mnima de acero que garantice una resistencia agrietamiento de la seccin de la viga. El rea de acero suministrada no deber ser menor de:

fc (kg/cm^2) 175 210 280 350 - Cuanta balanceada:

As min 0.22%bd 0.24%bd 0.28%bd 0.31%bd ( )

La cuanta balanceada para un: fc = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 tiene un b=0.02125 - Cuanta mxima: Entonces la Por qu la cuanta mxima en las tablas es de 0.162? Factor de Reduccin de Resistencia - Norma Peruana Solicitacin Factor de Reduccion Flexin 0.90 Traccion y Traccion+Flexion 0.90 cortante 0.85 Torsion 0.85 cortante y torsion 0.85 Compresion y flexocompresion Elementos con espirales 0.75 Elementos con estribos 0.70 Aplastamiento en el concreto 0.70 Zonas de anclaje del postensado 0.85 Concreto Simple (sin armaduras) 0.65

El factor 1 deber tomarse como 0.85 para resistencias de concreto fc hasta de 280 kg/cm2, y para resistencias mayores se disminuir a razn de 0.05 por cada 70 kg/cm2 de aumento, debiendo tomarse un valor mnimo de 1=0.65. Nota: - Diseamos el Momento ms Crtico - Tomamos el momento a la cara de columna. - Los aceros tienen que combinarse los inmediatos superiores y los inmediatos inferiores. Continuamos resolviendo el ejercicio anterior

Tenemos el Momento: Viga = 0.65x0.40 fc = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 Mu = -18.97654 ton-m d = 59 cm = 0.07547 = 0.00377 As = 8.9054 cm2 2 5/8" + 4 1/2" = 9.16 cm2 Ocupa un espacio de 30.88 cm > 40 cm Nota: - Ahora vamos a utilizar tablas de Ku vs .

Mu = 32.33525 ton-m d = 59 cm ku = 23.2227 = 0.0067 As = 15.74 cm2 2 1" + 2 3/4" = 15.88 cm2 Ocupa un espacio de 26.44 cm > 40 cm

Mu = -36.27517 Ton-m d = 59 cm ku = 26.05 = 0.0076

As = 17.86 cm2 2 1" + 2 3/4" + 1 5/8" = 17.88 cm2 Ocupa un espacio de 30.57 cm > 40 cm

Mu = -18.54960 Ton-m d = 59 cm ku = 13.32 = 0.0037 As = 8.70 cm2 2 5/8" + 2 1/2" + 2 12 mm = 8.84 cm2 Ocupa un espacio de 30.74 cm > 40 cm Nota: - En la zona de compresin colocaremos el acero mn. de acuerdo a la frmula:

* Acero de Montaje. * Donde se corta el Acero Positivo y Negativo. * Como se hace el Gancho. * Longitud de Gancho. * Tipos de Gancho. * Longitud de Anclaje. * Longitud de Empalme. * Tipos de Empalme. * Estribo. * Longitud de Desarrollo. Qu es el Estado de Fluencia de Acero? * Falla Dctil: Cuando el Acero de refuerzo longitudinal en Traccin empieza a deformarse antes que el concreto se aplaste en Comprensin. Cuando la Seccin esta Subreforzado. Tambin se puede dar cuando: < b

y: Es el valor de la deformacin unitaria para el cual se inicia la fluencia del acero. s: Es el valor de la deformacin unitaria alcanzada por el acero.* Falla Balanceada: Cuando Simultneamente se inicia la fluencia del acero y el aplastamiento del concreto.

* Falla Frgil: Si primeramente se inicia el aplastamiento del concreto antes que el inicio de la fluencia de acero en traccin es decir: Cuando la Seccin esta Sobrereforzada. Tambin se puede dar cuando: > b

VIGA DOBLEMENTE REFORZADA Vamos a tener acero de refuerzo longitudinal en la zona de compresin y en la zona de traccin. As = As1 + As, rea de acero de refuerzo en la zona de traccin. As = rea de acero en la zona de compresin. Se coloca el As en ambas partes de la viga. - Zona de Compresin. - Zona de Traccin. Tenemos que verificar si el acero en la zona de compresin trabaja o no trabaja.

s = Deformacin del Acero en Compresin. Es = Modulo de Elasticidad.

Verificamos si el Acero Fluye o no Fluye

Ejemplo viga Doblemente Reforzada

Viga = 0.40 x 0.50 m fc = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 Mu = -13.39458 Ton-m d = h-6 = 44 cm ku = 17.2967 = 0.00485 As = 8.5428 cm2 2 5/8" + 2 1/2" + 2 12 mm = 8.84 cm2 Ocupa un espacio de 30.74 cm < 40 cm; Conforme.

Viga = 0.40 x 0.50 m Mu = 30.83170 Ton-m fc = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 d = h-6 = 44 cm ku = 39.8137 = 0.0123 As = 21.69 cm2 2 1" + 2 3/4" + 3 5/8" = 21.88 cm2 Ocupa un espacio de 38.83 cm < 40 cm; Conforme.

Mu = -52.41346 Ton-m Viga = 0.40 x 0.50 m fc = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 d = h-6 = 44 cm ku = 67.6827 > 49.5301 Segn la tabla de Ku vs. Se pasa el Valor Ku, quiere decir que lo disearemos como Viga doblemente reforzada. Kumax = 49.5301 max = 0.162 As1 = max*b*d As1 = 28.512 cm2 Mu1 = Kumax * b*d2 Mu1= 3834209.28 kg-cm Mure= Mu-Mu1 Mure= 1407136.72 kg-cm Mure= As fy (d-d) As = 9.796 cm2 ; tiene una Cuanta = 0.0056 min = 0.0033 Asmin = 5.808 cm2 ; para traccin. As = As1 + As As = 38.3083 cm2 6 1" + 3 3/4" = 39.12 cm2 Ocupa un espacio de 51.21 cm > 40 cm; Inconforme. - 7 Barras Total de 2 1" + 2 3/4" + 2 3/4" +1 1/2" = 21.17 cm2 ; Espacio = 38.51 cm2 - 6 Barras Total de 6 1" = 30.60 cm2 ; Espacio = 37.86 cm2, Es la mxima rea para una viga de una sola capa.

Diseamos a doble capa d = h-9 = 41 cm ku = 77.9498 > 49.5301 = Kumax Segn la tabla de Ku vs. Se pasa el Valor Ku, quiere decir que lo disearemos como Viga doblemente reforzada. Kumax = 49.5301 max = 0.162 As1 = max*b*d As1 = 26.568 cm2 Mu1 = Kumax * b*d2 Mu1= 3330403.924 kg-cm Mure= Mu-Mu1 Mure= 1910942 kg-cm Mure= As fy (d-d) As = 14.444 cm2 ; tiene una Cuanta = 0.0088 min = 0.0033 Asmin = 5.412 cm2 ; para traccin. As = As1 + As As = 41.012 cm2 = 0.025 6 1" + 4 3/4" = 41.96 cm2 Ocupa un espacio de 30.6 cm > 40 cm; Conforme. - Verificamos si el Acero en la zona de compresin As fluye o no fluye.

0.025 - 0.0088 > 0.0176 0.0162 > 0.0176 ; Quiere decir que No fluye en traccin no es necesario colocarlo. - Pero en el Proceso constructivo es necesario colocar el mnimo. Asmin=5.412 cm2. VERIFICAMOS UNA SECCION DISEADA DOBLEMENTE REFORZADA Por relacin de tringulos del diagrama de deformacin unitaria. d= 6 cm ; Despejamos c : Por equilibrio en la viga diseada doblemente reforzada tenemos: Fuerza en Traccin = Fuerza en Comprensin (1) s = Es el valor de la deformacin alcanzada por el esfuerzo aplicado. fs = Esfuerzo alcanzado por las cargas aplicadas. Es = Elasticidad del Acero. De la ecuacin (1) Despejamos c :

Reemplazamos la Ecuacin (b) en (a).

( Igualamos las ecuaciones c y despejamos "fs". Teniendo el fs hallamos a.

)

El momento resistente de la seccin, Entonces podemos hallar el momento resistente que soporta la seccin. Tomamos momentos en la zona de Traccin. ( Tomamos momentos en la zona de Compresin. ( ) ( ) Se calcula el momento resistente despreciando el efecto del refuerzo en compresin. - Comnmente los diseos se evala el requerimiento del refuerzo en traccin sin tomar en cuenta el acero en compresin. )

Mu = -51.16868 Ton-m Viga = 0.40 x 0.50 m d = h-9 = 41 cm fc = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 Ku = 76.099 49.5301, Doblemente Reforzada. Ku max = 49.5301 Mu1 = 3330403.924 kg-cm As1 = 26.568 cm2 Mu re = 1786464.076 kg-cm As = 13.50 cm2 = 0.00823 Asmin = 5.47 cm2 As = 40.068 cm2 = 0.02443 6 1" + 2 3/4" + 2 5/8" = 40.28 cm2 0.0245 - 0.00828 > 0.0176 0.0162 > 0.0176 quiere decir que no fluye no es necesario colocarlo. Asmin = 5.47 cm2 para proceso constructivo colocamos el mnimo.

Mu = 3166987 ton-m Viga = 40 x 50 cm fc = 210 kg/cm2

fy = 4200 kg/cm2 Ku = 40.89600 = 0.0127 As = 22.408 2 1" + 4 3/4" + 1 5/8" = 23.51 cm2 ASmin = 5.87 cm2

Mu = -44.94158 Ton-m Viga = 40 x 50 cm fc = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm d = h-9 = 41 cm Ku = 66.837, Doblemente reforzada Ku max = 49.5301 max = 0.0162 Mu1 = 3330403.924 kg-cm As1 = 26.568 cm2 Mure = 658547.056 Ton-m As = 4.978 cm2 As = 31.546 cm2 4 1" + 4 3/4" = 31.76 cm2 As min = 5.467 cm2 > As = 4.978 cm2 ; Colocamos el mayor en nuestro proceso contructivo, no es necesario comprobrar si fluye o no fluye.

Mu = -34.59000 ton -m Viga = 0.4x0.5 m fc = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 d = h-6 = 44 cm ku = 44.667 = 0.0142 As = 24.9813 5 1" = 25.5 cm2 As min = 5.86 cm2

DISEO DE LA VIGA T 1.- Suponer que el bloque comprimido no ha excedido el espesor de la losa, esto significa disear una viga rectangular de ancho b (incluyendo ancho de alma y zona participante de la losa) 2.- Determinar el rea de acero requerida para la seccin rectangular de ancho b, se encuentra el valor de "a" mediante el equilibrio. 3.- Si el valor de "a" es menor a igual al espesor de la losa la suposicin hecha es correcta y el diseo estar concluido. 4.- Para esta primera viga se obtiene el acero en traccin que equilibra el bloque comprimido en base a: y se obtiene un momento resistente mediante: 5.- Conocido el momento actuante en base al anlisis estructural y conocido el momento resistente de la primera viga de ancho (b-bw), se obtiene por diferencia el momento que debera resistir la segunda viga. En base a este momento que corresponde a la segunda viga, se calculara el acero requerido con traccin, considerando una viga rectangular de ancho bw. Para esto se usa todo lo indicado para las vigas rectangulares, determinndose as un rea As2 (Viga de ancho bw). 6.- Conocido As1y As2 se suman estos refuerzos obtenindose el rea total de la viga real de seccin T. Se debe recordar que cuando se trabaja con vigas T y el diseo ha considerado el ancho b (rectangular), no debe aplicarse el fierro mnimo a este ancho, sino a bw. Por ejemplo si el porcentaje de refuerzo mnimo es 0.0026, este deber aplicarse a bw d y no a b d. Ejemplo de diseo de una viga T

b = 80 cm bw = 30 cm h = 60 cm d = 54 cm t = 10 cm

Mu = 8465710 kg-cm Ku = 36.29 = 0.011 As = 47.69 cm2; (1) a = 14.025 cm > 10.00 = t Diseo como viga T b - bw = 80 - 30 = 50 Despejamos (1) con estos datos: b1 = 50 cm a = 10 cm As1 = 21.25 cm2 ; 1era Viga. El As1 que hayamos corresponde a un momento 1. Mu1 =3935925 Mure = 4507879 kg-cm Diseamos la segunda viga. bw = 30 d = 54 Ku = 51.5304 > Ku max, Solucin aumentamos el peralte de la viga.

h = 70 cm d = h - 9 = 61 cm, Doble capa. Mu = 8977493 kg-cm ku = 30.1582 = 0.0089 As = 43.51 cm2 a = 12.79 cm > 10.00 = t Diseo como viga T a = 10 cm b1 = 50 cm As1 = 21.25 cm2 ; 1era Viga. El As1 que hayamos corresponde a un momento 1. Mu1 = 4498200 kg-cm Diseamos la segunda Viga. Mure = 4479293 kg-cm bw = 30 cm d = 61 cm Ku = 40.126 < 49.5301

= 0.0124 As2 = 22.769 cm2 Ast = 44.019 cm2 9 1" = 45.90 cm2 Distribuido a doble capa no entra (60.48 cm > 60.00 cm) Solucin: Aumentamos el ancho de la viga b = 35 cm

b = 80.00 cm bw = 35.00 cm h = 70.00 cm d = h -9 = 61.00 cm fc = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 Mu = 9077036 kg-cm Ku = 30.492 = 0.00902 As = 44.060 cm2 a = 12.959 > 10.00 = t Diseamos Viga T As1 = 21.25 cm2 Mu1 = 4498200 kg-cm Mure = 4578836 kg-cm bw = 35.00 cm d = 61.00 cm ku = 35.158 = 0.0106 As2 = 22.708 cm2 As = 43.958 cm2 7 1" + 3 3/4" = 44.22 cm2 1era Capa 5 1" = 25.50 ; 32.78 cm b min. 2da Capa 2 1" + 3 3/4" = 18.72 cm2 ; 30.89 cm b min.

DISEO POR CORTANTE

Viga = 0.55x0.30 m d = h-6 = 49 cm La cortante me interesa a la distancia D eje Columna + peralte efectivo = 0.20+0.49 = 0.69 D1 = 0.69 m

Vu 1= 31658.90 kg fc = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 d = 49 cm Vu1 < Vc; no necesito estribos. Vu1 > Vc; Si necesito estribos. Vc = 11290.232 < 31658.9 si necesito estribos. Vs = 25955.53 Av = 0.71*2 = 1.42 cm2 s = 11.259 Los estribos se colocan a 5.00 cm 7.50 cm 10.00 cm 12.50 cm 15.00 cm 17.50 cm 20.00 cm 22.50 cm max 25.00 cm 27.50 cm Elegimos el inmediato inferior s = 10.00 cm Comprobamos el Espaciamiento mximo 1 era Condicion Vs < 44734.88 Smax = d/2 25955.53 < 44734.88 si cumple d/2 = 24.5 2 da Condicion Vs > 23432.56 Si cumple Smax = d/4 = 12.25 S max Seguimos trabajando con S = 10 Distribuimos El primer Estribo a 5 cm

1@5+ 44/10 = 4.4 utilizamos 5 @ 10; Espacio de 50 cm. 20cm + 1 @ 5 + 5 @ 10 + 49cm = Distancia Siguiente D2 = 1.24 m, hallamos el Vu2

Vu2 = 24233.9 kg Vs = 17220.24 s = 16.97 cm == 15.00 cm Hallo el espaciamiento mximo Vs < 44734 Si cumple Smax = d/2 = 24.5 cm Vs > 23432 No cumple Distribuimos el Acero 49/15 = 3.26 Utilizamos 4 Estribos 4 @15 cm 20cm + 1 @ 5 + 5 @ 10 + 4 @15 + 49 cm = Distancia Siguiente = 1.84 m

D3 = 1.84 m Vu3 = 16133.9 kg d = 49 cm b = 30 cm Vc = 11290.23 Vs = 7690.827 Estribo = 3/8 ; Area 0.71 cm2 ; Av = 1.42 cm2 s = 37.99 1era Condicin: Vs < 44734 2 da Condicin: Vs > 23432 Cumple la primera condicin : S max = d/2 = 24.5 cm == 22.5 cm Distribuimos el Acero 49/22.5 = 2.177; Utilizamos 3 Estribos. 3 @ 22.5 20cm + 1 @ 5 + 5 @ 10 + 4 @15 + 3 @ 22.5 + 49 cm = Distancia Siguiente 4 = 251.5 cm

D4 = 2.515 m Vu4 = 1378.6 kg Vu4 < Vc; No necesita estribos. Vc = 11290.23

Tomamos Momentos a 20cm + 1 @ 5 + 5 @ 10 + 4 @15 + 3 @ 22.5 = 202.5 cm

Vu = 5236.4 kg Vu < Vc; No necesita estribos. El diseo de izquierda a derecha termina pues ya no necesita estribos. Analizamos de Derecha a Izquierda

Vu5 = 47511.1 kg Vc = 11290 kg Vs = 44605.18 kg s = 6.55 cm == 5 cm Vs < 44734.88; no Cumple Vs > 23432.57; Si Cumple d/4 = 12.25 es el S max. Distribucin: 44/5 = 9 20 cm + 1 @ 5 + 9 @ 5 + 49 cm = D6 = 1.19 cm 6 - 1.19 = 4.81

Vu6 = 40761.10 kg Vs = 36664.00 kg Vs < 44734.88; Si cumple d/2 = 24.5 es el Smax Vs > 23432.57; Si cumple d/4 = 12.25 es el Smax Si el "S" nos sale menor que 5 cm Solucin Aumentar el Valor fc Aumentar el Peralte Aumentar el dimetro del Estribo s = 7.97 == 7.5 cm Distribucin 49/7.5 = 6.533 == 7 Estribos 20 cm + 1 @ 5 + 9 @ 5 + 7 @ 7.5 + 49 cm = D7 = 171.5 cm 600 - 171.5 = 428.5 cm

Vu7 = 33673.6 kg Vs = 28325.768 kg s = 10.32 cm == 10.00 cm Distribucin 49/10 = 4.9 == 5 Estribos 20 cm + 1 @ 5 + 9 @ 5 + 7 @ 7.5 + 5 @ 10 + 49 cm = D8 = 221.5 cm 600 - 221.5 = 378.5

Vu8 = 18523.6 kg Vs = 10502.239 Vs < 44734.88 S max d/2 = 24.5 cm s = 24.5 cm == 22.5 cm distribucion 49/22.5 = 2.177 == 3 Estribos 3 @ 22.5 20 cm + 1 @ 5 + 9 @ 5 + 7 @ 7.5 + 5 @ 10 + 3 @ 22.5 = 240.00 cm 600 - 240.00 = 360.00 cm

Vu9 = 16026.1 kg Vs = 7564.00 kg s = 38.635 cm Vs < 44734.88 cm si cumple d/2 = 24.5 cm es el Smax s = 22.5 cm aumentamos un estribo y comprobamos si no necesita. 20 cm + 1 @ 5 + 9 @ 5 + 7 @ 7.5 + 5 @ 10 + 4 @ 22.5 = 262.5 cm 600 - 262.50 = 337.5 cm

Vu = 12988.6 < 11290.23 todava necesita estribos. 20 cm + 1 @ 5 + 9 @ 5 + 7 @ 7.5 + 5 @ 10 + 5 @ 22.5 = 285.00 cm 600 - 285 = 315 cm

Vu = 9951.10 kg < 11290.23 no necesita estribos 1 era Prctica Calificada de Concreto Armado 01 Fecha 21/10/2009 1.-) Determinar si la seccin es Subreforzado o Sobrereforzada. fc = 350 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 40 cm As = 3 5/8" = 6.00 cm2 Solucin < b Subreforzada (Falla Dctil) > b Sobrereforzada (Falla Frgil) ( )

25 cm

Hallamos primero el 1 que es mayor que 280 por lo tanto es necesario hallarlo. Datos : fc = 350 kg/cm2 1= 0.8 Remplazamos en la ecuacin de la cuanta balanceada (b) b = 0.0333 AS = *25*34 = 6.00 cm2 = 0.007 Comparamos las Cuantas tenemos. < b; Subreforzada, Falla Dctil.

Verificamos si cumple con las condiciones de Cuanta mnima y Cuanta Mxima. min = 0.003563 b = 0.0333 max = 0.025 > min ; Si cumple < max ; Si cumple

2.-) Calcular la resistencia a flexin de la seccin del problema anterior, determinar la deformacin unitaria en el acero en el momento de alcanzar la resistencia. La resistencia a la flexin es una medida de la resistencia a la traccin del concreto (hormign). Es una medida de la resistencia a la falla por momento de una viga de concreto. Del diagrama de esfuerzos equivalentes, la resistencia a flexin estar dada por la sumatoria de momentos en el eje de compresin.

As = 6 cm2 fy = 4200 kg/cm2 d = 34 a = Lado del rectngulo equivalente de Whitney. a = ? Lo deducimos de la ecuacin Fuerza Compresin = Fuerza Traccin fc = 350 kg/cm2 b = 25 cm Despejo a: a = 3.38823 cm Remplazo para hallar Mn: Mn = 814108.235 kg-cm Mu = Mn = 0.9 Mu = 732697.412 kg-cm Para determinar la deformacin: Utilizamos la ecuacin Fuerza Compresin = Fuerza Traccin donde: a = 1 c 1 = 0.8 c = Profundidad al eje neutro Despejo C: c = 4.2353 cm

Para determinar la deformacin unitaria del acero en el momento que alcanza la resistencia, Deducimos las relaciones del diagrama de deformacin unitaria.

C = 0.003 Despejo S: S = 0.021 , Rpta. La deformacin unitaria del Acero. Otra forma de deducir la deformacin unitaria del acero sera la siguiente:

De mi grfico de Esfuerzos equivalentes tomo momentos en el punto de la fuerza de traccin. ( Datos: Mn = 814108.235 kg-cm Despejo C: c = 4.235294 y remplazo en la ecuacin para hallar s: s: 0.021; rpta )

Condiciones de Servicio para elementos en flexin (B.B. pg. 190) Generalidades DEFLEXIONES EN VIGAS Mircoles 13 de octubre 2010

-Deflexin Instantnea: Se presenta al desencofrar un elemento trabajando en flexin -Deflexin Diferida: Se presenta como incremento de la primera, conforme aumenta el tiempo desde el desencofrado, llegando a una estabilidad casi definitiva al cabo de 5 aos aproximadamente. La deflexin instantnea se puede evaluar considerando las teoras de resistencia de materiales y esttica. Ejemplo.: 1 Viga de ancho Doble b = 70 cm h = 120 cm fc = 280 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2 L = 18 m d = 5 cm d = h - 6 = 114 cm Apoyo Izquierdo = Apoyo Derecho Mcm = 215 Ton - m Mcv = 100 Ton - m As = 120 cm2

As = 40 cm2 Seccin Central Mcm = 110 t-m Mcv = 45 t-m As = 50 cm2 As = 60 cm2 I .- Calcular la deflexin Inmediata: 1.- Inercia de la seccin Bruta Ig = 10080000 cm4 Ig = Inercia de la seccin bruta.

2.- Momento de fisuracin Mcr = Momento de fisuracin. fr = Mdulo de rotura del concreto.

fr = 33.466 kg/cm2 Mcr = 5622355.378 kg-cm 3.- Calcular la inercia de la seccin fisurada En Los Apoyos IZQ = DER ( ) b = 70 cm As = 40 cm2 d= 5 cm2 As = 120 cm2 d = 114 cm c = 41.28 cm

Icr = 7507807.67285 cm4 3.- Calcular la inercia de la seccin fisurada En la seccin Central As = 50 As = 60 c = 30.024 cm Icr = 4486106.2355 cm4 Promedio de las Inercias Icr1 = Apoyo IZQ Icr2 = Apoyo DER

Icr CL= Inercia al centro de luz Icr Prom = 5996956.96418 cm4 4.- Deflexin inmediata debido a carga muerta.

Para el primer tramo es entre 3 [ ]

Esta frmula solo se aplica para cargas distribuidas en resistencia de materiales. L= 1800 cm EC = 250998.008 kg/cm2 ICR PROMEDIO = 5996956.95418 cm4 Y = 1.502 cm 4.01.- Deflexin inmediata debido a Carga viva. Y = 0.561 cm 4.02.- Deflexin inmediata debido a Carga viva + Carga Muerta Y = 2.063 cm 4.03.- Deflexin inmediata debido a 50% Carga viva + Carga Muerta Y = 1.783 cm 4.04.- Deflexin inmediata debido a 1.4 Carga viva + 1.7 Carga Muerta Y = 3.056 cm II .- Calculo de la deflexin diferida: Transcurrido 5 aos. La carga viva podemos asumir 5 aos 50% [ ]

F = a 1 para 3 meses. 1.2 para 6 meses. 1.4 para 12 meses. 2 para 5 aos o ms. Cuanto es la cuanta (') En la seccin central

= 1.523 El momento en el centro de luz: Mcm + 50%Mcv Y = 1.78 cm YDiferida= 1.523*1.783 = 2.715 cm YTotal = YInmediata + YDiferida YTotal = 2.06 + 2.71 = 4.77 cm Si fuera un puente de 18 m sabemos que se va a deflectar 4.77 cm. Aumenta Seccin Aumenta Acero Para hacer una contra flecha

Deflexiones elsticas de vigas simples

MUROS DE GRAVEDAD 1.- Cargas Gravitacionales = 0.0012 5/8" = 0.0015 5/8" = 0.0020 5/8" = 0.0025 5/8" [ Refuerzo Vertical

Refuerzo Horizontal

(

) ]

= 0.7 Lc = Distancia Vertical entre apoyos k = Factor de restriccin k = 0.8 Muros arriostrados arriba y abajo Restringidos contra la rotacin en uno o ambos extremos (superior y/o inferior). k = 1 Muros arriostrados arriba y abajo, sin rotacin restringida. No restringidos contra la rotacin en ambos extremos. k = 2 Muros sin arriostre lateral Para muros no arriostrados con el fin de evitar el desplazamiento lateral. Tomar en cuenta: - Espesor mnimo 10 cm.

- Cuando el espesor sea mayor e igual a 25 cm deber colocarse refuerzo en las 2 caras. - Menor de 25cm 1 capa de acero. - Mayor de 25 cm 2 capas de acero. 1.- Ejemplo Disear un muro de gravedad o muro de carga. f'c = 175 kg/cm2 Lc = 3 metros, distancia vertical entre apoyos. Pu = 70 ton, Carga actuante. Carga admisible [ ( ) ]

Comienzo a tantear, que espesor que tiene que tener el muro. t = 10 cm

Ag = rea del muro t = 10cm b Tomamos el ancho de acero cada 1 metros. Ag = 1000 cm2 k = 0.8 Pn = 29476.56 kg, no va a resistir. - Aumentamos "t" generalmente los espesores se aumentan de 5 en 5. Probamos un espesor de : t = 15 cm Ag = 1500 cm2 Pn = 75796.88 kg puede resistir ms de 70 ton. Colocamos el Acero Utilizamos el acero de 5/8" v = 0.0012, nos dan el diseo. b = 100 cm t = 15 cm Si usamos un acero de: 3/8" rea = 0.71 cm2 Entonces calculamos el espaciamiento:

- El espaciamiento se coloca a mltiplos de 5 cm. S = 35 cm 3/8" c/35cm para acero vertical

Smax = 3*t 40 cm ACERO HORIZONTAL h = 0.0020 b = 100 cm t = 15 cm AsH = 3 cm2 S = 23.67 ==22.5 cm 3/8" c / 35 cm 3/8" c / 22.5 cm

2.- Ejemplo Calcular el espesor de muro. Lc = 300 cm f'c = 175 kg/cm2 Pu = 150 ton = 0.70 Calculamos el espesor despejamos de la formula. [ ( ) ]

t = 25 cm Pn = 153278.25 ton < Pu Ag = 2500 cm Diseamos para dos capas de acero. AsV = 3 cm2 Como es doble capa trabajamos con As = 1.5 S = 47.33 cm = Smax = 3*t 40 cm Calculamos el Acero Horizontal = 0.0020 t = 25 b = 100 As = 5 cm2 Como es doble capa trabajamos con As = 2.5 S = 28.4 == 27.5 cm

3/8" c / 40 cm 3/8" c / 27.5 cm

Dnde se usa el muro de gravedad de concreto a gravedad? Se usa en zonas donde no se consideran los sismos Determinar los metrados de cargas y transformarlos al Pu? La carga puntual tiene incidencia en una zona o en todo el muro?

FISURACION POR FLEXIN

dc = Recubrimiento inferior medido desde el centro de la varilla ms cercana al borde del elemento. Ancho de fisuras: A = rea de concreto que rodea a cada varillas. Determinacin del parmetro "Z": Si relacionamos las ecuaciones: Si trabajamos con el factor de 1.2 aprox. :

Ejemplo 01.- Revisar el agrietamiento para la siguiente viga.

2 1" b r = 4 cm Estribos = 3/8" Calculamos el parmetro Z : fy = 4200 kg/cm2

dc = 4 + 0.95 + 2.54/2 = 6.22 A = 155.5 cm2 Z = 24921.497 < 26000 w = 0.023 cm w = 0.23 mm Solo utilizamos 26000 Qu haramos si sale mayor a 0.03 cm?

Solucin Cuando disminuimos el acero 3/4 " dc = 5.905 A = 147.625 Z = 24072.8297 w = 0.023 DIAGRAMA DE INTERACCIN DE COLUMNAS 27 OCTUBRE 2010

AS1

5 cm 15 cm

8 5/8" fc = 210 kg/cm2 fy = 4200 kg/cm2

AS215 cm

AS35 cm 15 cm 15 cm 5 cm

5 cm

El diagrama de interaccin es fundamental para disear columnas y placas. De esta manera se verifica si la columna resiste o no. Ejercicio Dibujar el diagrama de interaccin de cargas nominales y momentos flectores nominales con respecto al eje centroidal "X". La cuanta de refuerzo longitudinal no ser menor que 1% ni mayor que 6% del rea total de la seccin transversal. Cuando la cuanta exceda de 4%, los planos debern incluir detalles constructivos de la armadura en la unin viga columna. mn. = 1% mx. = 6% Ac = 1600 cm2 Ac ,min. = 16 cm2 Smin = 4 cm Smax = 15 cm Centroide Plstico.- Es donde se va a ubicar el maximo momento. Diagrama de Interaccin de una Columna

Cargas Nominales Axial Mximo - Momento Cero

Momentos Nominales Se chequea las hiptesis de diseo, si un punto cae fuera de diagrama la seccin falla. Trabajamos por capas: As1, As2 Como mnimo tenemos que encontrar 5 puntos para trazar la curva. Punto 1 - Se supone que todas las fibras tienen una deformacin unitaria igual a la mxima deformacin permitida en el concreto. c = 0.003 - Su rectngulo equivalente se encuentra en el infinito. - Calculamos la deformacin de los aceros. - Debido a la deformacin va a ver tres fuerzas que se aplican en las tres capas mas la Fuerza de compresin de Concreto. - Teniendo las deformaciones calcular las fuerzas. Elaboracin de la curva de diagrama de interaccin se utiliza el siguiente procedimiento. 1.- Se definen diferentes posiciones del eje neutro. 2.- Para cada posicin del eje neutro se calculan las deformaciones unitarias, tomando como base una deformacin mxima de 0.003 del concreto. 3.- En funcin de las deformaciones en el acero y en el hormign se determinan los diagramas de esfuerzos en el concreto y la magnitud de las esfuerzos en el acero. 4.- Se calculan los momentos flectores centroidales y cargas axiales internas que por equilibrio deben ser iguales a los momentos flectores y cargas axiales externas solicitantes. La deformacin unitaria que provoca la fluencia del acero fy = 4200 kg/cm2: Cualquier deformacin unitaria en el acero que est por debajo de la deformacin de fluencia, define esfuerzos en el acero que se pueden calcular con la siguiente expresin.

Cualquier deformacin unitaria en el acero que supere la deformacin de fluencia. Determinara un esfuerzo en el acero igual al esfuerzo de fluencia. Cuando nos sale valores mayores colocamos el valor mximo. Eso se demuestra en la solucin del problema.

Columnas de Hormign Armado Segn su seccin transversal, existen columnas cuadradas, rectangulares, columnas circulares, en forma de "L", "T", en cruz, etc. Segn su comportamiento ante las solicitaciones, existen fundamentalmente dos tipos de columnas de hormign armado: columnas con estribos y columnas zunchadas.

Los estribos cumplen las siguientes funciones en las columnas: - Definir la geometra de la armadura longitudinal. - Mantener en su sitio al hierro longitudinal durante la construccin. - Controlar el pandeo transversal de las varillas cuando estn sometidas a compresin. - Colaborar en la resistencia a las fuerzas cortantes. Los Zunchos helicoidales cumplen las siguientes funciones: - Confinar al hormign del ncleo de la columna para mejorar su capacidad resistente. - Definir la geometra de la armadura longitudinal. - Mantener en su sitio al hierro longitudinal durante la construccin. - Controlar el pandeo transversal de las varillas cuando estn sometidas a compresin. - Colaborar en la resistencia a las fuerzas cortantes. Modelacin de una Estructura de Aulas de 2 Pisos en el Etabs .- 28 OCTUBRE 2010 Hemos revisado los resultados en el SAP de la Edificacin. Los resultados Axial y Momento 2-2 Comb1 Comb2 Comb3 Comb4 Comb5 Analizamos estos 5 puntos que no estn dentro de la curva de interaccin de la Columna.

Solucin Tenemos que aumentar el rea de Acero Trabajamos con el 4% pero tambin tenemos que modelar de nuevo en el sap. Metrados de la Estructura de Aulas de 3 Pisos.- 03 OCTUBRE 2010 Modelo de la Estructura Segn el Metrado de Cargas Desarrollado en Excel Colocamos las Cargas de las Columnas, sobre las columnas definidas, Z = -1.152 Ton Verificamos la Curvatura de la columna. Analizamos los Momentos De todas las Combinaciones Comb1-Comb2 en el Momento 3-3 para obtener Mu M3-3, Mzx para analizar en el eje X M2-2, Mzy para analizar en el eje Y Analizamos la Fuerza Axial Esta se visualizar en el Eje ZX Para Ver la Fuerza Ssmica CS Shear 3-3 Se Visualizara en el plano ZY Diseo de Columnas

Uso de bacos con Diagramas de Interaccin

TORSION.- Tenemos 2 tipos -Torsion de equilibrio. -Torsion de Compatibilidad. Cuando diseamos por torsin, diseamos para colocar estribos.