Τεχν. Χρον.- Α, 1994, Τόμ. 14, Τεύχ. 3 Tcch. Chron.-A, Greece. 1994, Vol. 14, Ν ο 3

Μελέτη της Μετάδοσης Πλημμυρικού Κύματος σε Φυσικούς Αγωγούς

Κ.Β. ΜΠΕΛΛΟΣ

Περiληψη

Στην εργασία αυτή περιγράφονται και συγκρίνονται δύο υπολογιιπικά ομοιώματα κατάλληλα για τη μt:f..έτη της διάδοσης ;τλημμυρικου κ{ψατος σιc φυοικοί1ς αyωγο{'ς μεταβλητής εν γένει δια­τομής. Το πριίJtΟ είναι ένα. διδιάστατο ομοίωμα. ενι:J το δείπερο μονοδιάστατο, με προσθήκη κα­ηίλληλων όρων, ιίJστε να λαμβάνεται υπίJψη η μt:ταβληη\τητα της διατομής. Χρησιμοποιείται

ένα ρητό αριθμητικό σχήμα πεπερασμένων διαφοριίιν δύο βημάτων με την ι·..:ανότητα να περι­

γράφrι υποκρίσιμες και υπερκρίσιμι::ς ροές χωρίς ιδιαίτερη αvτιμετιVπιση. Στο τέλος γίνεται έ­

λεγχος των αποτελεσμάτων των μοντέλων με αντίστοιχα ππραματικc"χ Χαι τα αποτελέσματα εί­

ναι ιχανωτοιητικιί.

Computation of Flood Propagation in Natural Channels

C.V.BELLOS

Abstract

In thc prescnt research work the problem of tlood ρropagation ίη natural channels is examined. Two numerical modcls 2D aιld quasi-2D are described and compared. Α finite-differencc. explicit, two step numcrical scheme is used. Predicted re~ults ar~ compared \.νith coτresponding measurcments for νarious cascs. c:omparisoπs bct\Ιιeen computcd <ιnd experimental data shO\.\' οι

satisfactory agrcement.

Υποβλι}θηκt·: 21.4.1993 "k:-;ιι't δε;.lτiι*: 7.3.1994

.\Ίιlηιιιιtι•d: Apr_ 21, 1993

Acι-eρlι'd"': Μαπh 7. 1994

*Για την αρ-,•u;τορiα της: α..ϊοδοχή; δπ ει•θί•νπαι ο υu'{'ιριιφfα; *"fΊ1e ~ ιιthor cπιJnot b~ held rcspon~ihlc for Ιhe dι:lay.

162 Τεχν. Χρον.- Α, 1994, Τόμ. 14, Τεύχ. 3

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Το πρόβλημα της μελέτης της διάδοσης μιας πλημμύρας έχει απασχολήσει πολούς ερευνητές τις τελευταίες δεκαετίες. Αναλυτικές λύσεις με διάφορες aπλοποιητικές προσεγγίσεις άρχισαν να αναπτύσσονται από τον περασμένο αιώνα (Ritter 1862). Κατά το πρώ~rο ήμισυ του 20ού αιώνα αναπτύχθηκαν κυρίως πεφαμαηκές προσεγγίσεις του προβλήματος. Μετά τον 2ο Παγκόσμιο Πόλεμο με την διάδοση των Η/Υ άρχισαν να ανατπύσσοντaι υπολογιστικές λύσεις. Οι πρώτες υπολογιστικές λύσεις ήσαν μονοδιάστατης μορφής και διακρίνονται σε γενικές γραμμές σε λύσεις που στηριζονται στις ιδιότητες των χαpακτηρισηκων, σε λύσεις πεπερασμένων διαφορών και σε λύσεις πεπερασμένων στοιχείων. Στην πρώτη κατηγορία εξέχοντες ερευνητές μεταξύ των άλλwν ήταν οι Fletcher (1967), Terzίdίs aπd Strelkoff (1970), Sakkas aπd Strelkoff (1973), κ.ά. Στην δεύτερη κατηγορία Preίssman (1961), Rajar and Cetίna (1983), Vasίlieν (1970), Κουτίτας και ΞανΙJόπουλος (1977), Fennema and Chaυdhry (1987) κ.ά. Στην τελευταία κατηγορία οι Keuπίng (1976), Kίng (1976), Dί Monaco and Molίnaro (1982), κatoρodes (1984) κ.ά. Οσον αφορά στα διδιάστατα μοντέλα σημσντική είναι η συνεισφορά των Cunge (1975), Abbot (1979), Katopodes (1979), Smίtsh et al (1983), Garcίa and ΚShaνίta (1986), Hromadca and Yen (1986) κ.ά.

Λόγω της ιδιαίτερης φύσης του προβλήματος ήτοι απότομες μεταβολές των υδραυλικών μεγι:θών του βάθους και της ταχύτητας και της κλίσεως της γραμμής ενέργειας ιδιαίτερα στην περιοχή του μετώπου του κύματος η ισχύς των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την ροή είναι περιορισμένη και ως εκ τούτου τα αντίστοιχα αριθμητικά μοντέλα έχουν περιορισμένες δυνατότητες προβλέψεως του φαινομένου. Για τον λόγο αυτόν τα τελευταία χρόνια άρχισαν να χρησιμοποιούνται μοντέλα με ισχυρές ικανότητες περιγραφής του υδραυλικού αλματος όπως αυτό του MacCormack (Bellos 1984, Garcίa and ΚShaνίta, 1986, Fennema and Chaudhry 1987).

Στην παρούσα εργασία αναπτύχθηκαν ένα διδιάστατο και ένα ψευδο-διδιάστατο μοντέλο πεπφασμένων διαφορών. Τα μοντέλα στηρίζονται σε ένα ρητό αριθμητικό σ)(Ιιiμα δύο βημάτων προβλέψεως-διορθώσεως και αποδείχθηκαν ικανά να περιγράφουν ροές σε υποκρίσιμες ή υπερκρίσιμες συνθήκες καθώς και aσυνέχειες όπως π.χ. υδραυλικά αλματα. Το αριθμητικό αυτό σχήμα χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον MacCormack (1970) σε προβλήματα συ~πιεστών ρευστών και ανήκει στην ευρύτερη κατηγορία των σχnμάτων Lax-Wendroff. Η αξιοπιστία των μοντέλων έχει ελεγχθεί με συγκρίσεις με αντίστοιχα υπολογιστικά άλλων ερευνητών καθώς και με πειραματικά αποτελέσματα που προέκυψαν από σειρές πειραμάτων που διεξήχθησαν στο Εργαστήριο Υδραυλικής της Πολυτεχνικής Σχολής του Δ. Π. θράκης (Μrέλλος 1990).

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ

Α εμβαδόν υγρής διατομής

b πλάτος υγρής διατομής σε βάθος ζ

c ταχύτητα διάδοσης μικρών κυματισμών

C αριθμός Courant

01 συνάρτηση της δυναμικής επιδράσεως της πλευρικής παροχής

F h δύναμη υδροστατικής πιέσεως στην εγκάρσια διατομή

F συνιστώσα της δυνάμεως υδροστατικής πιέσεως που ασκείται στην παράπλευρη

'·' επιφάνεια ανά μονάδα μήκους του αγωγού

g επιτάχυνση της βαρύτητας

h βάθος νερού

Η πίνακας μετασχηματισμού των χ , y σε ξ , η

J η αντίστροφη της ορίζουσας μετασχηματισμού των χ , y σε ξ , η

π συντελεστής Manning

Tech. Chron.-A, Grcece. 1994, Vol. 14. Νο 3

Ν συνάρτησεις μορφης

Ο παροχΓJ

qι παροχή πλευρικής εισροής ανά μονάδα μηκους του αγωγοlι

R υδραυλική ακτίνα

S~ κλίση πυθμένα κατά την διεύθυνση χ

Sb κλίση πυθμένα κατά την διεύθυνση y

S~ κλίση τριβών κατά την διεύθυνση χ

S~ κλίση τριβών κατά την διεύθυνση y

t χρόνος

u συνιστώσα της μέσης ταΧύτητας κατά την διεύθυνση χ

U ανταλλοίωτος συνιστώσα της μέσης ταχύτητας κατά την διεύθυνση χ

Uι συνιστώσα της ταχύτητας του εισρέοντας υγρού κατά την διεύθυνση της ροής

ν συνιστώσα της μέσης ταχύτητας κατά την διεύθυνση y

V αvταλλοiωτος συνιστώσα της μέσης ταχύτητας κατά την διεύθυνση y

χ,y καρτεσιανές συντεταγμένες

ξ,η καμπυλόγραμμες συντεταγμένες

ρ πυκνότητα

ζ βάθος από την ελεlιθερη επιφάνεια

ΔΕΙΚΤΕΣ

μεταβολή κατά τον άξονα χ

j μεταβολή κατά τον άξονα y

k μεταβολή κατά τον άξονα των χρόνων

2. ΔΙΔΙΑΗΑΤΟ ΟΜΟΙΩΜΑ

2.1 Διαφορικές εξισώσεις της διδιαστάτου ροής

163

Για την ανάπτυξη των εξισώσεων που περιγράφουν τη διδιάστατη κίνηση του νερού με ελεύθερη επιφάνεια γίνονται οι ακόλουθες παραδοΧές:

α) Το νερό ειναι aσυμπίεστο και ομογενές. β) Εισάγεται η έννοια των μέσων ταχυτήτων υ και ν με την θεώρηση ότι οι μεταβολές

των ταχυτήτων κατά την κατακόρυφη διεύθυνση z είναι αμελητέες, θεωρείται δηλαδή ότι η ροή είναι πλήρως αναμεμειγμένη κατά την κατακόρυφη διεύθυνση.

γ) Οι συνιστώσες της ταχύτητας κατά την κατακόρυφη διεύθυνση παραλείπονται ως αμελητέες (διδιάστατη ροή).

δ) Η κατανομή των πιέσεων σε οποιοδήποτε κατακόρυφο επίπεδο μέσα στο πεδίο ροής είναι υδροστατικης μορφής.

ε) Δεν υπάρχουν aσυνέχειες ή απότομες μεταβολές στο πεδίο ροής. στ) Οι εσωτερικές δυνάμεις τριβής (ιξώδες) και οι αντίστοιχες εξωτερικές (τριβές

στον πυθμένα και αντίσταση του αέρα στην ελεύθερη επιφάνεια) αντικαθίστανται στο σύνολό τους από ημιεμπειρικές εκφράσεις όπως π.χ. η εξίσωση του Manning. Η τελική μορφή των εξισώσεων υπό μητρωική μορφή είναι η εξής:

aw + ~ + _Ξ§_= D _a_t_ ax ay (1)

όπου

164

w

και

υ = ν =

s' ο

sν ο

s' f

F [hν ] hυν

hν2 +gh';2

μέση ταχύτητα ροής κατά την διεύθυνση χ μέση τα)(ύτητα ροής κατά την διεύθυνση y

dz - dx η κλίση πυθμένα κατά την διεύθυνση χ

dz - ay η κλίση πυθμένα κατά την διεύθυνση y

D

Ί'εχν. Χρο\'. -Α, I 994, Ίl'ψ. 14, Τεί'Χ· 3

[~h(S~-S~)J gh(SY-sΊ

ο f

n2υ,ιG"Γν2 h4/3

η κλίση τριβών κατά Manning κατά την διεύθυνση χ

" 2v~ η κλίση τριβών κατά Manning κατά την διεύθυνση y h

n = συντελεστής τραχύτητας κατά Manning Οι παραπάνω εξισώσεις αποτελούν ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους το οποίο είναι υπερβολικού τύπου (Lax 1954}. Για την λύση του ανωτέρω συστήματος είναι απαραίτητος ο καθορισμός των αρχικών αλλά και των οριακών συνθηκών του προς επίλυση προβλήματος. Με την λύση των ανωτέρων εξισώσεων είναι δυνατόν να υπολογισθούν οι ταχύτητες ροής υ και ν και το βάθος ροής h σε κάθε σημείο του πεδίου ροής. Οι εξισιJσεις ισχύουν με την προυπόθεση οτι η ενεργειακή κατάσταση του συστήματος είναι ισοθερμική. Οι απώλειες ενέργειας λόγω τριβών μετασχηματίζονται αε θερμότητα η οποία θεωρείται ση διαχέεται στον περιβάλλοντα χώρο κατά τρόπον ώστε να ικανοποιείται η υπόθεση της ισοθερμικής μεταβολής του συστήματος. Ο υπολογισμός των απωλειών ενεργείας μπορεί να γίνει με ξεχτ.ιριστή ενεργειακή εξίσωση.

2.2 Αρχικές και οριακές συνθήκες

Το πρόβλημα που εξετάζεται στην εργασία αυτή ανήκουν στην κατηγορία των προβλημάτων "αρχικών συνθηκών" (ίnίtίal-νalυe problems). Στα προβλήματα αυτά, που περιγράφονται γενικά από ένα σύστημα μερικWν διαφορικών ή ολοκληρωματικών εξισώσεων, μια από τις ανεξάρτητες μεταβλητές είναι ο χρόνος ι Το σύστημα των εξισώσεων αυτών είνΟ' τέτοιο, ώστε άν υπάρχει λύση για την τιμή t=t

0, υπάρχει μονοσήμαντη λύση και για

ω0αν είναι γvwστές οι οριακές συνθήκες (Rίchtmyeι and Moιton 1967). Στο διδιάστατο

πρόβλημα, ως πεδίο εφαρμογής των μερικών διαφορικών εξισώσεων Θεωρείται ο χώρος στον οποίο πρόκειται να μελετηθεί η ροή, να υπολογισθούν δηλαδή το βάθος και οι ταχύτητες ροής τού νερού. Στον χώρο αυτό πρέπει κατά την χρονική στιγμή t0=0 να είναι γνωστές οι

τιμές του βάθους του νερού h καθώς και οι ταχύτητες ροής u και ν. Πρέπει δηλαδή να δίδονται οι ποσότητες: h(x,y,t0), u(x,y,ν και ν(χ,yν. Στην περίπτωση ξηρού

πυθμένα ή ακινήτου νερού το μεν αρχικό βάθος είναι μηδέν ή προσδιορίζεται από τα γεω·;ετρικά χαρακτηριστικά, οι δε ταχύτητες είναι μηδενικές. Στην περiπτωση αρχικής ροής νερού, πρέπει να υπολογισθούν το αρχικό βάθος και οι ταχύτητες σε όλο το πεδίο υπολογισμών. Ο υπολογισμός αυτός γίνεται με μεθόδους υπολογισμού σταθερής ανομοιόμορφης ροής.

Οι οριακές συνθήκες κατατάσσονται γενικά σε τρείς κατηγορίες: α) οριακή συνθήκη εισCιδου νερού στο εξεταζόμενο πεδίο, β) οριακή συνθήκη εξόδου νερού από το θεωρούμενο πεδιο και γ) στερεά τοιχώματα. Οι απαιτούμενες οριακές συνθήκες για τις περιπτώσεις α) και β) φαίνονται στον Πίνακα 1 (Abbott 1979). Η θεώρηση αφορά μονοδιάστατες και διδιάστατες ροές.

Tech. (~hΓOn.-A. (Jn~cce, l9Y4, Vol. 14, Ν ο 3

ΠΙΝΑΚΑΣ 1 Απαιτούμενος αριθμός οριακών συνθηκών TABLE 1 Reqυίred nυmber of boυndary condί1ίons

πεδίο Υnοκρίσιμη ροή Υnερκρίσιμη ροή

ροής είσοδος νερού έξοδος νερού είσοδος νερού έξοδος νερού

1-D 1 1 2 ο

2-D 2 1 3 ο

165

Στην περίπτωση των στερ~Wν τοιχωμάτων ισχύει η συνθήκη μηδενισμού της κάθετης nρός το τοίχωμα ταχύτητας ήτοι U n = Ο, όπου n είναι η κάθετη προς το τοίχωμα διεύθυνση. Επί

πλέον τα τοιχώματα θεωρούνται, χάριν απλουστεύσεως, κατακόρυφα και οτι δεν ασκούν δυνάμεις τριβής στο κινούμενο νερό (slip condί1ίon). Ειδικά στα προβλήματα μετάδοσης κύματος σε ξηρό πυθμένα εμφανίζεται και ένα άλλο είδος ορίου, το όριο του κινουμένου μετWnου. Η μελέτη των συνθηκών στην περιοχή του μετώπου παρbυσιάζεr πολλές δυσκολίες και απασχόλησε πολλούς ερευνητές όπως π.χ. Dressler (1952), Whίlham (1955), Sakkas and Slrelkoff (1973). Η κύρια δυσκολία οφείλεται στο γεγονός οτι η περιοχή αυτή κινείται κατά την εξέλιξη του φαινομένου. Επίσης πρέπει να σημειωθεί οτr στην περιοχή αυτή λόγω της έντονης κλίσεως της επιφανείας του νερού δεν ισχUουν οι παραδοχές για ης εξισώσεις της διδιάστατης ροής. Το κινούμενο μέτωπο τελικά αντιμετωπίζεται σαν ένα κινούμενο υδραυλικό αλμα.Στην παρούσα εργασία η γραφή των εξισώσεων με συντηρητική μορφή εξασφαλίζει μετά την διακριτοποίηση την ισχύ τους και σε περιοχές της ροής οι οποίες περιέχουν μεν aσυνέχειες όπου υπάρχουν συγκεντρωμένες απώλειες ενεργείας, ισχύει όμως η διατήρηση της ορμής. Ετσι, όλος ο Χώρος ροής αντιμετωπίζεται ενιαία και η επίλυση των εξισώσεων θα προσδιορίσει και την θέση των υδραυλικών αλμάτων πού θα σχηματισθούν κατά την εξέλιξη του φαινομένου.

2.3 Οργάνωση υπολογισμών

Ο χώρος ροής διακριτοποιείται σε ισαποστάσεις Δχ και Δψ οπότε δημιουργείται κάνναβος κόμβων (ί,j) που απέχουν αντίστοιχα (ί-1)ΔΧ και ϋ-1)Δψ από την αρχή του συστήματος συντεταγμένων. Οι τιμές προβλέψεως θα προκύψουν από το σύστημα:

wk+1 = w' - Δ1 [ F' . F' ] -ΔΙ [ G' . G' .] + ΔΙD' ί,j ί,j Δχ i+1,j i,j Δy i,j+1 I,J I,J

(2)

Οι τιμές διορθώσεως αντίστοιχα θα είναι:

w~+~ = .![w~ . + W~+~. Δt [ F~+:. F~+ 1 .J ΔΙ [ G~+ 1 . G~+~ J + ΔtDk+~] (3) Ι,J 2 l,j l,j Δχ l,j 1-1,] Δy 1,) l,j-1 l,j

Οι Εξ. 2,3 περιγράφουν ένα υπολογιστικό ομοίωμα της διδιάστατης κίνησης του νερού που στηρίζεται στην μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών. Το ομοίωμα αυτό παρουσιάζει μερικά μειονεκτήματα με κυριώτερο την ακαμψία του δικτύου των κόμβων. Με τον όρο ακαμψία του δικτύου εννοείται ότι οι τιμές των Δχ και Δy είναι σταθερές σε όλο το πεδίο.Το μειονέκτημα αυτό είναι αισθητό σε πεδία ροής με πολύπλοκες γεωμετρίες οπότε προκύπτουν δυσκολίες στον προσδιορισμό των οριακών συνθηκών. Η αντιμετώπιση τέτοιων περιπτώσεων γίνεται ή με εξομοίωση των εν γένει καμπύλων ορίων με ευθύγραμμα τμήματα παράλληλα προς την χ ή y διεύθυνση ή με υπολογισμό των φυσικών ποσοτήτων ροής σε σημεία μεταξύ των κόμβων με κάποια μέθοδο παρεμβολής. Και στις δύο περιπτώσεις η απώλεια σε ακρίβεια υπολογισμών είναι προφανής και σε μερικές περιπτώσεις είναι τόσο έντονη ώστε η χρήση των μεθόδων αυτών να είναι απαγορευτική.

166 Τε .ν. Χρον. -Α, 1994, Τόμ.14, Τεύχ. 3

Για την αποφυγή των μειονεκτημάτων αυτών χρησιμοποιεiται συνtlθως η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων η οποία όμως έχει αρκετά μειονεκτήματα όπως πολύπλοκο προγραμματισμό, μεγάλες απαιτήσεις υπολογιστικής μνήμης και σύμφωνα με ωρισμένους ερευνητές δεν συνιστάται σε προβλήματα "υπερβολικού τύπου·. Στην παρούσα εργασία αναπτύσσεται μία μέθοδος που πλεονεκτεί ενανη των δύο κλασσικών μεθόδων διόη διατηρεί ολα τα πλεονεκτήματα των πεπερασμένων διαφορών ήτοι απλότητα nρογραμμαησμού, δυνατότητα ελέγχου σε όλα τα στάδια υπολογισμού, οικονομία υπολογιστικού χρόνου και υπολογιστικής μνήμης καθώς και εκείνα των πεπερασμένων στοιχείων ήτοι ακριβή υnολeιγισμό των οριακών συνθηκών, ευκαμψία υπολογιστικού δικτύου κ.ά. Σύμφωνα με την μέθοδο αυτή ο υπολογιστικός χώρος διαιρείται σε τετράπλευρα των οποίων οι πλευρές συμπίπτουν με τις ροικές γραμμές και τις ισοδυναμικές επιφάνειες. Η διαίρεση αυτή γίνετcιι εμπειρικά η με την χρήση θεωρητικών τεχνικών (grid generatίon methods) με την βοήθι:ια των οποlων σχηματίζεται το δίκτυο. Εισάγεται κατόπιν ένας μετασχηματισμός αξόνLJν από το Καρτεσιανό σύστημα χ, y σε ένα άλλο τοπικό σύστημα ξ, η, έτσι ώστε κάθε τετράπλευρο να μετασχηματίζεται σε τετράγωνο (Σχήμα 1). Τοιουτοτρόπως ο υπολογιστικός χώρος υποδιαιρείται σε ίσα μεταξύ τους επιφανειακά στοιχεία και οι κορυφές των στοιχείων αυτών είναι δυνατόν να αποτελέσουν τους κόμβους ενός δικτύου, όπου μπορεί να εφαρμοσθεί οποιοδήποτε σχήμα πεπερασμένων διαφορών. Εάν είναι επιθυμητή ακρίβεια ανwτι:ρας τάξεως λαμβάνονται κόμβοι και στα μέσα των πλευρών (ακρίβεια δευτέρας τάξεως) ή δίιο σε κάθε πλευρά (ακρίβεια τρίτης τάξεως) όπως αντίστοιχα στην θεωρία των πεπερασμένων στοιχείων. Λόγω του μετασχηματισμού του συστήματος συντεταγμένων, οι Εξ. 1, που περιγράφουν την ροή στο σύστημα συντεταγμένων χ, y, μετασχηματίζονται σης εξισι;ισεις (Σούλης και Μπέλλος 1988):

(4)

όπου

(t, 11 - •

(•1,-1)

Σχ. Μετασχηματισμός τυχοντος τετραπλεύρου του φυσθκού χώρου σε τετράγωνο του υπολογιστικού χώρου

Fig. Quadrlaterals of physical domain mapped into squares in computational domain

Tech. Chron.-A, Greece, 1994, Vol. 14, Ν ο 3 167

U και V είναι οι ανταλλοίωτες (contraνariant) των υ και ν και από φυσική άποψη εκφράζουν τrς ταχύτητες του νερού στο σύστημα συντεταγμένων ξ, η είναι δηλαδή:

υ dξ aξ+Ξiυ+~ ατ at ax ay

ν = dη ατ

είναι η ορίζουσα του πίνακα μετασχηματισμού

[

ax aχ ] όπουΗ= ;~

(5)

(6)

Η και είναι, (Steger 1978)

(7)

Στο εξεταζόμενο πρόβλημα η γεωμετρία θεωρείται σταθερή αρα οι όροι aξf at, aηf at είναι μηδενικοί οπότε οι Εξ. 5,6 γράφονται ως εξής,

(8)

Ισχύουν επίσης οι εξής σχέσεις (τhomas aπd Lombard 1979)

(9)

Οι συντεταγμένες ενός σημείου x,y μέσα σε τυχόν τετράπλευρο με συντεταγμένες κορυφών χ 1 , χ2 , χ3 , χ4 , y

1, y

2, y

3, y

4 για γραμμική παρεμβολή πρώτης τάξεως είναι:

όπου οι συναρτήσεις μορφής δίδονται από τις εξισώσεις:

(1-ξ)(1-η)/4

(1 +ξ)(1-η)/4

(1 +ξ)(1 + η)/4

(1-ξ)(1 +η)/4

(10)

(11)

(12)

Σημαντικό πλεονέκτημα του μετασχηματισμού του συστήματος συντεταγμένων είναι ότι μία από τις ανταλλοίωτες ταχύτητες είναι πάντα κάθετη στο όριο που προκύπτει από τον μετασχηματrσμό του συστήματος χ, y στο σύστημα ξ, η. Το βάθος h και η άλλη ανταλλοίωτη ταχύτητα, η παράλληλη προς το όριο, υπολογίζονται από τrς εξισώσεις συνεχείας και της ορμής κατά την παράλληλη προς το όριο διεύθυνση αντίστοιχα.

Η οργάνωση των υπολογισμών γίνεται ως ακολούθως. Σύμφωνα με το Σχήμα 1 κάθε τετράπλευρο του υπολογιστικού χώρου μετασχηματίζεται σε τετράγωνο πλευράς 2 μονάδων και με την αρχή των συντεταγμένων στο κέντρο. Ετσι οι κορυφές (ί,j), (ί+ 1 ,j), (i+1,j+1), (ί,j+1) του τετραπλεύρου σντιστοιχούν στrς κορυφές (-1,-1), (+1,-1), ( + 1, + 1), (-1, + 1) του τετραγώνου. Για κάθε τετράπλευρο του υπολογιστικού χώρου πρέπει να ηροσδιοριστc:ύν οι αντίστοιχες σταθερές μετασχηματισμού ήτο_ι, α) οι ποσότητες χξ,

χη, yξ, Υη από τrς Εξ. 10-11, β) η ορίζουσα του πίνακα μετσσχηματrσμού J- 1 από την Εξ.

168 Τεχν. Χuον. Α, 1994, ΤC:ψ. 14, Τεύχ. 3

7, γ) οι ποσότητες ξ , ξ , η , η από τις Εξ. 9. Οι παραπάνω ποσότητες υπολογίζονται χ Υ χ Υ

μια φορά, διότι η γεωμετρία του δικτύου υποτίθεται σιαθερή ήτοι ανεξάρτητη του χρόνου. Με βάση τις Εξ. 4 η τιμή προβλέψεως του β(]θους h θα είναι

hk+1 = hk - Δt [ J::ι,j(hU)' - (hU)' .] - Δt [<ί+ 1 (hV)k .. (hV)' .] I ' J I' J Δξ' J~ 1 . I + 1 'J I I I Δη J:1' I 'I + 1 I 'J

(13)

I, J Ι,J

όπου U και V υπολογίζονται σuνι;ιρτήσει των υ και ν από την Εξ. 8. Από την εξίσωση της ξ-ορμής προκύπτει η ποσότητα (hu)

(hC)'"' = (hu)' , ~[ J; +111 -ί(hυU+ξ gh2/2). '1- (huU+ξ ghΊ2)' .]

Ι J . I, j .ι..ιcο J' Χ I + ,J Χ I, J

j' J J-1

-~[ --'F 1 (huV+η ghΊ2)' . - 1 (huV+η gh ~2) Ή] + Δtgh' . [s~-s~JΆ η J: Χ I,J+ Χ l,j 1,] Ι,J

ι,j

Από την εξίσωση της η- ορμής προκύπτει αντίστοιχα η ποαότητα (hν)

·1

(h~)k+1 = (hν)', Δt [ Ji+ 1 ,ί(hUν+ξ gh2 j2) k -.(hUν+ξ gh2 j2)' .] I , J . . I , J Δξ' j' 1 'J I + 1 1 J 'J I , j

'' I J-1

Δ t [ i, Ι+ 1 2/ ) k (h ~ ) k ] k [sY y] k -= --(hVν+ηgh 2 .. - 1 Vv+ηghι2 .. +Δtgh .. 0

-S1 .. u.η J-1 Υ Ι , J + Υ Ι , I Ι, J ι ,J

i,j

(14)

(15)

Από τις παραπόνω εξισώσεις προκύπτουν οι τιμές προβλέψεως των ταχυτήτων u και ν. Στην συνέχεια γίνεται ο υπολογισμός των τελικών τιμών h, u και ν στην χρονική στιγμή t + Δt,

hk+1=l[h' + ;;k+1]· Δt[(hU)k+1_J;',_ί(hU)k+1 .]· Δt[(h~k+1_J:\1(h~k+1 ] (16) 1,12 l,j Ι,J 2Δξ' I,JJ:1_ 1-1,] 2Δη I,JJ:1. l,j-1

I,J I,J

(hu)k+1= ![ιhu)' + ι;;C)'+ 1]. Δt[ι;;Cu+ξ gh2/2)'+ 1 _J;',_ 1 ι;;Cu+ξ gh2f2)'+ 1 .] I , j 2 I , J I , J . _.2ilξ' Χ I , J J-1 Χ I - 1, J

'·I -1

. Δ<'[ιt;Cv+η 9;;2 /2)'~ 1 . J'·ί· 1 ι;;cν+η 9;;2 /2)'+ 1 ] + $g;;'' 1[s'-s']'' 1 (17) 2Δr1 Χ Ι,j J~1. Χ Ι,j-1 2 I,J Q f I,J

'·I

Οι τιμές των υ και ν υπολογiζοvται επίσης από ης αντίστοιχες τιμές των u, ν με την βοήΟεια της Εξ. 8. Οι κλίσεις τριβών είναι αναλλοίωτες στον μετασχημαησμό και δiνσ..παι από ης Εξ. 1. Η σειρά των υπολογισμών μπορεί να παρασταθεί σχηματικά με το παρακάτω διaγραμμα:

Tech. Chron.-A, Greece, 1994, Vol.14, Νο 3 169

1) Ανάγνωση γεωμετρικών δεδομένων I

~ 2) Υπολογισμός aξjax,aηjax, aξ Ι a y , aηjay

και της ορίζουσας J' 1

~ 3) Υπολογισμός των κλίσεwν πυθμένα

χ

so, s~ I I

4) Ανάγνωση αρχικών συνθηκών j

• 5) Υπολογισμός των τιμών του χρονικού βήματος Δt

Προσδιορισμός νέου χρόνου t = t + Δ1

J 6) Υπολογισμός των τιμών προβλέψεως για τις ποσότητες h, υ, νΙ

• 7) Υπολογισμός τwν ποσοτήτων h, υ και ν στα όρια του πεδ i ου j

~ Β) Υπολογισμός τwν ανταλλοιώτwν υ και ν από τις Εξ. 81

~ 9) Υπολογισμός των τελικών τ ι μών των μεταβλητών h, υ, ν I

~ 10) Υπολογισμός των μεταβλητών h, υ και ν στα όρια του πεδ ί ouj

t 11) Υπολογισμός των ανταλλοιώτων υ και ν από τ ι ς Εξ. sj

• 12) τ ~- Tmax Ι όχι

ι να Ι 13) Εκτύπωση αποτελεσμάτwνj

+ 14 ι ελος

170 Ιt-·χν. Χρον. -Α, 1994, Τόμ. 14, Τεύχ. 3

2.4 '5ριτήρια ευσταθείας

·ra χρησιμοποιούμενο αριθμητικό σχήμα είναι ρητό και προυπόθεση ευσταθείας είναι η ικανοποίηση του κριτηρίου CFL (Rίchtmyer and Morton, 1967). Σύμφωνα με το κριτήριο αυτό το χρησιμοποιούμενο χρονικό βήμα Δt πρέπει να πληρεί την εξίσωση:

c :s . (19)

όπου C = ο αριθμός Coυranι που δίδεται από την εξίσωση (MacCormack 1970):

c = Δt [ιυΙ/Δχ + ΙνΙ/Δy +c11;Δχ2 +1/Δy2 J και c = η ταχύτητα μετάδοσης μικρών κυματισμών. Αριθμητικές δοκιμές έδειξαν ότι η βέλτιcιτη τιμή του C είναι 0.80 (Bellos and Sakkas 1987}.

3. ΜΙΙθΗΜΑτΙΚΟ ΟΜΟΙΩΜΑ ΨΕΥΔΟ-ΔΙΔΙΑΗΑΤΗΣ ΡΟΗΣ

3.1 Διαφορικές εξισώσεις της ψευδο-διδιαστάτου ροής

Το χαρακτηριστικό των ροών σε φυσικούς αyωγούς μεταβλητής διατομής είναι οι μεγάλες τιμές της ταχύτητας κατά την ζ;ιεύθυνση του άξονα του αγωγού σε σχέση με τις εγκάρσιες ταχύτητες. Σε ένα τέτοιο πρόβλημα τα ζητούμενα στοιχεία είναι η μέση ταχύτητα ροής κατά την διεύθυνση του άξονα του αγωγού και το βάθος του νερού, οπότε, ενώ πρόκειται για διδιάστατο πρόβλημα, η λύση μπορεί να επιτευχθεί με μονοδιάστατη τεχνική. Τα μοντέλα που χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων της κατηγορίας αυτήι; ονομάζονται "ψευδο-διδιάστατα" (quasί-20). Οι διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν ασταθή ροή αε φυσικό αγωγό μεταβλητής διατομής είναι (Strelkoff 1969):

aw +..iE...=o ar~ aχ

όπου

w = F

και

q1 = παροχή πλευρικής εισροής ανά μονάδα μήκους αγωγού

F h = δύναμη υδροστατικής πιέσεως στην εγκάρσια διατομή

D1= συνάρτηση της δυναμικής επιδράσεως της πλευρικής παροχής

(20)

~J ρ

F = συνιστώσα κατά την διεύθυνση της ροής της δυνάμεως υδροστατικής πιέσεως που Ι, χ

ασκείται στην παράπλευρη επιφάνεια ανά μονάδα μήκους του αγωγού Q = υΑ = παροχή.

Οι ποσότητες F h' F 1, χ' Ο 1, S f δίνονται από τις σ)(έσεις

h

Fh ~- ρgHh(x,t)·ζ]b(x,ζ)dζ (21)

ο

lech. Chron.-A, Greece, I 994. Vol. 14, Ν ο 3

h

F1 ,,~ ρgHh(χ,t)·ζ] 8bJ~'ζ)dζ ο

όπου ζ απόσταση από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού (βλ Σ χ. 2).

- - ... - ... '?J_

Σχ. 2 Στοιχειώδης όγκος ελέγχου σε αγωγό μεταβλητης διατομΓ]ς Fig. 2 Control νolume in an open channel with νariable cross sectίon

ο για μαζ ι κη πλευρική εκροη

D 1

= {υq 1/2gA για εκροή δ ι ηθΓ]σεως

u-Uι για πλευρική εισροΓ] gA

(22)

(23)

υ 1 = συνιστώσα της ταχύτητας του εισρέοντος υγρού κατά την διεύθυνση της ροής

n 2 u2 s, = R4/3 (24)

171

όπου R = Α/Ρ η υδραυλική ακτίνα, Α = εμβαδόν υγρης διατομης, Ρ = βρεχομένη περίμετρος. Στην περίπτωση ορθογωνικού αγωγού είναι

R = Bh/(B+2h) (25)

ενώ στην περίπτωση αγωγού μεγάλου πλάτους

R " h (26)

3.2 Αρχικές και οριακές συνθήκες

Οπως αναφέρθηκε στην περίπτωση της διδιάσrαrης ροής, στην χρονική στιγμή t =Ο πρέπει να είναι γνωστό το βάθος και η ταχύτητα ροής του νερού σε όλο το μήκος του εξεταζομένου αγωγού. Οταν το νερό είναι ακίνητο, όπως στις περιπτώσεις φράγματος αποθηκεύσεως, το αρχικό βάθος προσδιορίζεται από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά, η δε μέση ταχύτητα ροής εiναι μηδενική σε όλο το πεδίο. Στην περίπτωση αρχικής ροής το αρχικό βάθος και η ταχύτητα ροής υπολογίζονται, όπως και στην διδιάστατη ροή, με τις μεθόδους υπολογισμού σταθερής ανομοιόμορφης ροής.

172 Τι'χν. Χρον. -Λ, I 994. Τίψ.. 14, Τεί,χ. 3

Οι απαιτούμενες οριακές συνθήκες περιγράφονται στον Πlνακα 1, όταν δηλαδή η ροή είναι uποκρίσιμη απαηούνται μία οριακή συνθήκη ανάντη και μία κατάντη ενώ σε uπερκρίσιμες συνθήκες ροής απαιτούνται δύο οριακές συνθήκες ανάντη. Στην περίπτωση της μεταδόσεως κύματος σε ξηρό πυθμένα το βάθος και η ταχύτητα ροής του νερού λαμβάνονται ίσα προς το μηδέν στον πόδα του κύματος, η δε θέση του κύματος καθορίζεται από τα σημεία όπου η τιμή του βάθους h αποκτά μια ελάχιστη επιτρεπτή τιμή ώστε οι Sx, S/ να διατηρούνται πεπερασμένες. 1

3.3 Ο ργaνωση υnολογισμών

Στην περίπτωση φυσικού αγωγού μεταβλητής διατομής στην οποία ισχύουν σι Εξ. 20 η τιμή rφοβλέψεως είναι

Wk+1 = w' - Δt [ F' - F' J - Δt ο' i I Δχ I +1 i I

(27)

όnου με το nίνσκα W είναι οι τιμές της υγρής διατομής και της nαροχής. Αnό τις Εξ. 27 nροκίιnτουν οι τιμές nροβλέψεως της υγρής διατομής και της nαροχής στον κόμβο ;_ Το βάθο<; του νερού υπολογίζεται από την υγρή διατομή και την γεωμετρία της διατομής και η μέση ταχύτητα από την σχέση u = Qj Α. Ο υπολογισμός των τιμών προβλέψεως γίνεται για το σύνολο του πεδίου και στην συνέχεια ακολουθεί ο υnολογωμός των τελικών τψών. Η τελικr'. τιμή του εμβαδού της υγρής διατομής Α και της παροχής Ο προκύπτει από την εξίσωση:

(28)

Οι τιμές των δυνάμεων υδροσταηκής πιέσεως F h και Fι,χ (προβλέψεως και τελικές)

υπολογίζονται συναρτήσει του h και της γεωμετρίας της υγρής διατομής και με την παραδοχή της υδροστατικής κατανομής των πιέσεων. Η κλίση τριβών λαμβάνεται από την εξίσωση Mannίng (Εξ.24).

Η γενική διάρθρωση του αλγορίθμου είναι: α) Ορίζεται το μήκος μελέτης και το μορφολογικά γνωρίσματα του αγωγού και γίνεται ο υδραυλικός καθορισμός των ορίων. β) Γίνεται διακριτοποίηση κατά την διεύθυνση του άξονος του αγωγού σε lM ισαπέχοvτες κόμβους με ισαnοχή Δχ ανάλογη με το μέσο αναμενόμενο βaθος νερού. γ) Προσδιορίζονται οι αρχικές συνθήκες του εξεταζομένου προβλήματος και ορίζεται ο τελευταίος κόμβος μηδενικού βάθους ροής αnό τα κατaντη προς την αρχή (Ιτ). δ) Προσδιορίζεται το ελαχιστο χρονικό διάστημα Δt, στο πεδίο που ορίζεται από τις αρχικές συνθήκες, με βάση τοκριτήριο CFL και χρησιμοποιείται ως βήμα χρόνου για την επόμενη χρονική επαύξηση. ε) Υnολαγίζοντσι οι τιμές nροβλtψεως των ζητουμένων μεγεθών συμφωνα με τις Εξ. 27 για τους κόμβους από ί""2 έως ί"'ΙΤ. Τα μεγέθη που δεν υπολογίζονται άμεσα, όπως π.χ. οι τιμές του βάθους του νερού καθώς και των δυνάμεων F h και F

1 χ' υπολογίζονται σύμφωνα

με τις Εξ. 21-22. στ) Προσδιορίζονται οι τιμες nροβλέψεως στο όρια. ζ) Υnολογιζονται τέλο~, οι τιμές διορθώσεως με τις Εξ. 28 καθώς και οι τελικές τιμές στα όρια. Στη συνέχεια η διαδικασία επανέρχετω στο στάδιο (γ) από onou και συνεχίζετω με παρόμοιο τροπο.

Κριτήριο ευσταθείας είναι το αντίστοιχο κριτήριο CFL στη μία διάσταση όπου ο αριθμός Courant δίδεται από την εξίσωση:

(29)

Tech. Chron.-Λ, Greece. 1994. Vol. 14. Ν ο 3 173

4. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΞΙΟΠΙΣΓΑΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΠΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Ο έλεγχος αξιοπισ1 iας ενός μαθηματικού ομοιώματος γίνεται κυρίως με αναλυτικές λύσεις. Η σύγκριση μΕ πειραματικά αποτελέσματα επαυξάνει την αξιοπιστία των υπολογισμών με την προυπόθεση της ισχύος των φυσικών παραδοχών για το είδος της ροής. Η σύγκριση επίσης με άλλες υπολογιστικές λύσεις εκτός από την επαύξηση της αξιοπιστίας δίνει και την δυνατότητα γενικώτερης αξιολόγησης του ομοιώματος. Το προτεινόμενο μαθηματικό ομοiωμα εφαρμοσθηκε κατ'αρχάς σε προβλήματα σταθερής ροής για τα οποiα υπήρχαν διαθέσιμες άλλες υπολογιστικές λύσεις καθώς και πειραματικά αποτελέσματα.

4.1 Εφαρμογή σε αγωγό μεταβαλλομένης κλισεως πυθμένα

Οnως αναφέρθηκε στην παράγραφο 1, το προτεινόμενο μαθηματικό ομοίωμα έχει την δυνατότητα περιγραφής υδραυλικών αλμάτων με ελάχιστη διάχυση στην περιοχή της aσυνέχειας. Για να φανεί η δυνατότητα αυτή έγιναν συγκρίσεις λύσεων του προβλήματος 9.8 του συγγράμματος ''Opeπ Chaπnel Hydraulics", v.τ.Chow, (1959), ελαφρώς τροποποιημένου (Moliπas aπd Yaπg 1985). Στο παΒάδειγμα αUJό ο αγωγός έχει πλάτος 6.1 m (20 ff), η παροχή εiναι σταθερή 0= 14.186 m js (500 ff js) και ο συντελεστής κατά Maπning π""Ο.Ο15. Η κλίση του αγωγού στο πρώτο τμήμα είναι S01 ""0.010, που σε συνδυασμό

με τα παραπάνω στοιχεία αντιστοιχεί σε υπερκρίσιμη ροή, στο δεύτερο τμήμα είναι S02 "" 0.0004 που αντιστοιχεί σε υποκρίσιμη ροή και τέλος στο τρίτο τμήμα είναι

803

=0.00317, που αντιστοιχεί σε κρίσιμη ροή. Η ανάντη οριακή συνθήκη είναι το βάθος

και η ταχύτητα που αντιστοιχούν στην ομοιόμορφη ροή με τις δοθείσες συνθήκες και κατάντη η στάθμη του αποδέκτη η οποία λαμβάνει τις τιμές hk = 1.516 m και hk"" 2.430 m.

Στην εφαρμογή αυτή λύνεται ένα πρόβλημα σταθερής ροής με μέθοδο επιλύσεως προβλημάτων aσταθούς ροής. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται ευρύτατα σε προβλήματα ρευστομηχανικής (tίme-marching method). Οι συγκρίσεις φαίνονται στο Σχ. 3. Τα αποτελέσματα της παρούσας μεθόδου και τα υπολογιστικά αποτελέσματα των Molίnas and Yang συμπίπτουν εκτός της περιοχής στην οποία αναμένεται ο σχηματισμός υδραυλικού αλματος. Στην περιοχή αυτή η παρούσα μέθοδος σε αντίθεση με την μέθοδο των Molίnas and Yang περιγράφει ικανοποιητικά το σχηματιζόμενο υδραυλικό άλμα.

4.2 Μετάδοση πλημμυρικού κύματος σε αγωγό μεταβλητής διατομής

Για τον έλεγχο των υπολογιστικών ομοιωμάτων χρησιμοποιήθηκε μια σειρά πειραμάτων που έγιναν στον αγωγό μεταβλητής διατομής του εργαστηρίου Υδραυλικών Εργων της Πολυτεχνικής Σχολής του Δ.Π. Θράκης. Πλήρης περιγραφή του συστήματος μετρήσεων αναφέρεται στις εργασiες Μπέλλος 1990, Bellos et al. 1992 και Μπέλλος κ.ά 1992. Ο συντελεστής Maπning θεωρήθηκε iσος με 0.012 διότι ο πειραματικός αγωγός έχει πυθμένα από πλάκες χάλυβα σχετικά λείες στις οποίες αντιστοιχεί η ανωτέρω τιμή (Ven Te Chow 1959). Ενδεικτικές περιπτώσεις φαίνονται στα Σχήματα 5-8. Στα Σχήματα αυτά παρουσιάζονται οι μεταβολές του βάθους συναρτήσει του χρόνου στις θέσεις χ= -8.5, -0.0 και + 10.0 m. Από την πλήρη σειρά των μετρήσεων επιλέχθηκαν οι περιπτώσεις με κλίσεις

πυθμένα S~ =0.00 και S~ ""0.010. Οι συγκρίσεις μεταξύ πειράματος και θεωρίας θεωρούνται

πολύ ικανοποιητικές είτε πρόκειται για υποκρίσιμη ροή (κυρίως ανάντη του θυροφράγματος) εiτε για υπερκρiσιμη ροή (κατάντη). Ενδεικτικά επιλέχθησαν να παρουσιασθούν τα αποτελέσματα των συγκρίσεων για δύο (2) τιμές του αρχικού βάθους ήτοι 20, και 30 cm αντίστοιχα. Σε γενικές γραμμές οι συγκρίσεις στην υποκρίσιμη ζώνη είναι ικανοποιητικώτερες και γενικά δεν παρατηρήθηκαν συστηματικές aποκλίσεις των υπολογιστικών στοιχείων από τα μετρηθέντα (Σχ. sa, βα, 7α, Ba). Χαρακτηριστικό είναι ότι στην περιοχf1 αυτή το μονοδιάστατο ομοίωμα προσεγγίζει τα πειραματικά αποτελέσματα καλίτερα από το διδιάστατο. Στην περιοχή του φράγματος υπόρχουν κάποιες αποκλίσεις μεταξύ πειραματικών και υπολογιστικών αποτελεσμάτων που οφείλονται μάλλον στο γεγονός ότι δεν είναι δυνατή η εξομείωση κάποιων προεξοχών που ήταν αναγκαίες για την στήριξη

174 Τεχν. Χρον. -Α, 1994, Τόμ. 14, Τεύχ. J

- --- --·

,, ~ Ι.ι

,, ~--τ.-,.- r7'??22L.!:j=<~~-k

β)

~

' ,, _,, '

' r - :_ι ι~_ ι

'-

_, '

Σχ. 3 Κατατομές του νερού σε σταθερή ροή.

α) βάθος του νερού κατάντη h, = 1,516 m β) βάθος του νερού κατάντη h, =2Α30 m

Fig. 3 Flow profiles in steady flow α) water depth downstream hk"'1.516 m β) water depth downstream hk=2.430 m

-nM -·χ

<Ω . ...... J1;>; Ο> Ω "~ ο 9.3 ω~ σο ο c S..g ο< -<ο =S C_:> 3Ό ΦQ

a C·

Ω

ε -< ο C·

Ν ο χ Υ Ν ο χ

Υ Ν ο χ Υ Νο - χ

Υ [mJ ιmJ [m] [mJ ιmJ [mJ ιmJ [mJ ] 8.50 .40 9 ο. σο o-:-eo 17 4.00 ο. 9 25 8.00 ~ 2 .50 .40 10 0.50 .61 18 τ. ο 1 :oa 26 12.70 1.40 3 3.00 1. 2 11 .ο 0.8 19 5.0 1' 15 4 -2, ο 1. 05 12 1. 0.64 20 5.50 .24

-2. ο O.QO 2.0 0.68 21 6.00 1. 28 t-----6 1. 50 0.77 2. ο 0.75 22 6.50 1 c23 7 -Γ. οο 0.67 15 . 00 0.8 23 7.00 1. 37 -8 -0.50 0.62 16 3.50 0.9 24 7.50 1. 39

••• 11.δ0 4.70 --t

Pr]sure transducers

- -------·-------Υ

-·---- ----I 1,40

~ ·- _,.... --- ---- _ ..... --

~ ......... * """" :φ:;,:;:; ·Ψ•':::Ψ.W"' %"';;;: :; ..... Jz:;:: ... 4 ... κ ::;::;: .. :;;:: ::: {$ * +, "=""" z::;:: .... :::: "'"'~""_..,..,J ι •χ l-------2.50 _.__ 2.60----t

5,0 ------t----- ••• ,_ 7.50 ---------~------------ 7.δο Γ

1----------8.50 10.00-----------------; 21-20

ΔIΑΗΑΣΕΙΣ ΣΕ ΜΕτΡΑ

ο' !} g ~ _;;, q ο ο

~

-~ 9: ~ _ ... ~ w

~ CΛ

176

α) 0.30

Ι ο.2ο b ib z t3 0.10 Q)

"' <D

0.00

β) 0.30

Ι ο.2ο

~ w z ι...ι 0.10

~ <D

0.00

γ) 0.30

1Ξ -0.20

~ w z ~ 0.10

"' <D

0.00

-

-

-ιο

~

J 1 J -' -

-; ~

--

-10

J J

~

~ -

l J ~ I

-10

I

i

'

ο

I ο

ψ

ο I I

ο

I

I I

ο ο ο

-τ

ο

Τεχν. Χρον. -Α, 1994, Τόμ. 14, Τε{,χ. 3

ι 1-- QUA I-2D CΟ}~!!τΑτ!ΟΝ I - 20 ΟΜΡUτΑΊΙΟΝ '

σο ο ο ΕΧΡ RIMENTAL i

1

! ~-\ I

ο σ

'

' 10

I

~"-.

~

I '

20

ΧΡΟΝΟΣ (sec)

30 40 50

·1---- QUA I-2D CO_~UTAIION - - 20 OMPU1AΊIPN ο::.οο ΕΧΡ RIMENTAL!

I i !

I

0-..." I

ιο

'

I

'-<)~ ......._ ~C)...!.!._

I

20

ΧΡΟΝΟΣ (sec)

30

-I I

" i - -I

40 50

Ρ QUA Ί-20 cοΜΙΡι:τΑΊΙΟ!\ 1

ο ΕΧΡ RIMENT AL - 20 OMPU1AΊI !\ ι

I I

~ I

ο ο ·-" '

ο ?ι lib--ο _Q_

~-ι

'

10 I

20

ΧΡΟΝΟΣ (sec)

I

30 40 50

50

= ο.ο h1 = 20 cm

Σχ. 5. Σταθμηγραφήματα στις θέσεις α) χ = - 6.5 m β) χ = - 0.0 m γ) χ = + 10 m Fig.5 Stage hydrographs atthe positions α) χ =- 6.5 m β) χ =- 0.0 m γ) χ = + 10 m

Tech. Chroπ.-A, Greece. )994, Vol.14, Νο 3

α) 0.30

Ι ο.2ο ~ w z ~ 0.10

9i "'

0.00

β) 0.30

Ι 0.20

>-:r w z

"' 0.10 ο <D <(

"' 0.00

γ) 0.30

Ι

~ w z

0.20

~ 0.10

"'

"

J

I -10

~ ~ ----J

'

' ί

-10

" ---"

J I ί

1 1

0.00 I -10

I ' '

I

I - QUA r-zo co~'6ΊuτAτroNI - 20 ΟΜΡuτΑτΙ Ν

coooo ΕΧΡ RIMENTAL I

ο~

I \?,

ο

I !

~

( ο'

' ο

I

I

1 I

ο

-~

' - Ο I

-

~ i

ο c n l n

10

I '

'

-

i'~ I

20

ΧΡΟΝΟΣ (sec)

ο

I 30

ο

' ' I 40 50

t=Ξ QUA3!-2D COMPUTAτiO:-<! . - 20 OMPUΎAτrpN ; αoaoa ΕΧΡ RIME~TAL .

i I

I ' I

~ i I I

~ο 6 I ο o._o.J. c..._o

I I I ' '

10 20 ΧΡΟΝΟΣ (sec)

30 40 50

-- QUAJr-2D coMIPuτAτroc; - - 20 qOMPUΎAτiDN ~QOOC ΕΧΡ RIMENTALI

I !

I

I I

I

ο ο υ-" υ " ~ I

10 20

ΧΡΟΝΟΣ (sec)

t I

30

. • ' I

I

I

I 1 '

' I I

40

i

'

!

i I ' ·Ι

' I ;

50

S0

= 0.010 h1 = 20 cm

Σχ. 6. Σταθμηγραφήματα σης θέσεΙς α) χ = · 8.5 m β) χ = . 0.0 m γ) χ = + 10 m Fig.6 Stage hydrographs at the positions α) χ =· 8.5 m β) χ =· 0.0 m γ) χ = + 10 m

177

178 Τεχν. Χρον. -Α, 1994, Τόμ. 14, Τεύχ. 3

α) ο .~ο -,--"Γ'<~,.-----,---,------,----,------,

Ι ~ \

i 020 ~ I t~ ~ ~ @ ο. ιο ~~'-----t-~----+I----',--=-~2::Ξ:~::--+-----i

~ ο. σο +~ ,-----;-;-+! .,.-----,, -+-τΙ --τ-τ--h-1,-,---, ;-;-, -'--τ-,, ,--,--,.---, ---τ-c-, - ιο ο ιο 20 ~ο 40 so

ΧΡΟΝΟΣ (sec)

β) 0.30 -----,---,----,---τ----;--­+--- Qι:Ag!-2D COMif'UΊA.ΠON t - 2D QOMPυrAτiD:-.1 ι

Ι " yocc EXPjRIMENτALI ι ο.2ο ----,

1-/7-"'1\Γ-----+---+----'---------i

>-~ UJ z

J ,:σοι," I Ι 11

· ~ ~ ,ο ο~"'- I j a.1 ο -~----o-'------'-------:"'----"'--"-Lrv~-"-~~---o'--l--0-o ___ o __ ~---_-_-l

J I . l 0.00

νJ ο.::ω

Ι ο.2ο

~ UJ z ι,...ι 0.10 @ <(

"' 0.00

-10

~

' I

'

-J

ϊ -' I

J J

1 I

-!Ο

ο

ο

I

ο

ο ο

'

' ' I

10 20 30 40 50

ΧΡΟΝΟΣ (sec)

f---- QUAS!-2D co;iPuΊA. π οΝ - 2D OOMPUHτJD:-1

' oaao EXPER!)ΛENTA!.i I

I I

I

~--I I

G I S! -' I

/~/- c ~=:;:; -ο I ο ο

I

- -

'

I I I ι ' '

' ' ιο 20 3ο 40 50

ΧΡΟΝΟΣ (sec)

s0 ~ ο.ο h1 ~ 30 cm

Σχ. 7. ΣταΒμηγραφήματα στις θέσεις α) χ ~ - 8.5 m β) χ ~ - 0.0 m γ) χ ~ + 10 m Fig.7 Stage hydrographs at the positions α) χ =- 8.5 m β) χ =- ο.ο m γ) χ = + 10 m

Ί'cch. C:hron.-A. Greece, 1994, VoJ. 14, l\Ό 3

α) 0.30 -,----,---,----,----,----,----ι

Γ-=: 2)) GOMPlΠAτipN ~ ο ι C-.J:..

l QuΛ:$I-2D cοιbuτΑτιοΝ Ε c 0000 EXPιjRIMENTAL I

- o.zo -,-----+-4,--+----+---+-I __ _J_ __ ---1

1 ~~ι 'ι·, 2 w z ~ \'?. i 0.10 +---+-----"-k;:::;::---"--'-"---. ~I -----j-----1

0.00 _1~1 -rτ-rτ~1 -,-,-~1 -rτ-~~,-.,---~~~~rt-f,-μo~~~, - ιο ο 10 zo 30 40 5ο

6) 0.30

Ι ο.2ο >-ii: w z .-. ο. ιο ο

~ <D

ΧΡΟΝΟΣ (sec)

, , , .

1

ι.

~~ lo / " ."' I

/ ""'~ ~'--.ι.

·~c~cl~! ο. σ ο ----

0:;-'---,--,---+, -τ-τ-,.--c---,----,-+, -:-τ-c-c-'---,--,---,-

-!Ο o 10 20 30 40 50

ΧΡΟΝΟΣ (sec)

γ) 0.30 ~ QUASI-2D co~riPuτ.υιo:-: l - 2D GOMPlΠAΠD:-:

Ι lcooo EXP,RIMEC'ΠALI j

0.20 -j--+---+--_!_---+---+1--~ z " _l~---~---r----~---r--------0 0.10 I

~ ϊ

ω j , I • (j ο ι ο • ---~α. -,-.,-,_,",-.ι"'""c~..--i,_,_.~ ο. 00 -'---,--,.,"-+, 0,'\"'-C,-------,----,-+, --,-,-+, -,-,---

-ι ο 0 10 20 30 40 50

ΧΡΟΝΟΣ (sec)

80

= 0.010 h1

= 30 cm

Σχ. 8. Σταθμηγραφήματα στις θέσεις α) χ = . 8.5 m β) χ = . 0.0 m γ) χ = + 10 m Fig.8 Stage hydrographs at the positions α) χ =. 8.5 m 6) χ =. n.o m γ) χ = + 10 m

179

1~0 Τεχν. Χρον. -Α. 1994. Τόμ. 14. ΤειΊχ. 3

της θυρίδας ατην πειραματικιj διάταξη (Σχ. 5β, 6β, ?β, 8β). Στην κατάντη περιοχη (Σχ. 5γ, 6y, 7γ, 8γ) παρατηρείταt επίσης ικανοποιητική προσέγγιση υπολογιστικών και πειραματικών αποτελεσμάτων. Σημαντικό είναι ότι οι υπολογισμοί προβλέπουν με αρκετή ακρίβεια την χρονική στιγμή της διελεύσεως του μεγίστου βάθους από ένα σημείο, γεγονός που έχει μεγόλη πρακτική σημασία για την αντιπλημμυρική προστασία μιάς περιοχής.

Σrο συγκεκριμένο παράδειγμα οι διαφορές μεταξύ διδιαστάτου και ψευδοδιδιαστάτου μοντέλου είναι ασήμαντες με ελαφρώς καλίτερη συμπεριφορά του ψεuδοδιδιαστάτου, όπως φαίνεται στα σχήματα ?α, θα. Η πιθανή αιτία είναι ότι στους διδιάστατους αλγορίθμους λόγω ··ου κριτηρίου CFL το χρονικό βήμα των υπολογισμών μειώνεται πάρα πολύ με αποτέλεσμα την δυσανάλογη αύξηση του αριθμού των πράξεων και την επακόλουθη μείωση της ακριβείας των αποτελεσμάτων λόγω λαθών στρογγυλεύσεως (roυndoff errors).

ΣΥΜΠΙΞΡΑΣΜΑΤΑ -----

Τα υπολογιστικά ομοιώματα που αναπτύχΘηκαν παρουσιάζουν σημαντική ικανότητα προβλέψεως των υδραυλικών στοιχείων κατά την μετάδοση ενός πλημμυρικού κύματος σε φυσικούς αγωγούς. Είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν σε περιπτώσεις μεταδόσεως πλημμιρικού κύματος σε ξηρό πυθμένα χωρiς καμμιά aπλουστευτική υπόθεση και να περιγριJ.ψουν την περιοχή του μετώπου του κύματος. Τέλος είναι σε θέση να περιγράψουν υποκρί~ιμες και υπερκρίσιμες ροές χωρίς διακριση.

Στην σύγκριση των αποτελεσμάτων του διδιάστατου και του ψευδοδιδιάστατου ομοιώματος προκύπτει το συμπέρασμα ότι σε προβλήματα όπως αυτό της μετάδοσης

πλημμυρικού κύματος σε φυσικό αγωγό, όταν οι μεταβολές της γεωμετρίας κατά μιjκος του άξονα του αγωγού είναι ήπιες, είναι προτιμώτερη η χρήση μοντέλων ψευδσδιδιάστατης ροής για οικονομικούς λόγους δεδομένου ότι η αναμενόμενη μεγαλύτερη ακρίβεια των αποτελεσμάτων του διδιαστάτου αλγορίθμου δεν επιτυγχάνεται στην πράξη.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Abbott, Μ.Β. Compυtatίonal Hydraυlics. Pίtman Pυblίshίng Ltd., London, England, 1979.

2. Bellos, C.V. "Fiood surge ρropagatίon on land of a giνen toρography". Proc. 5th lnt.Conf Water Resources Planing Mgmt. Athens, Greece, 8.59-8.71, 1984-. --

3. Bellos, C.V., and Sakkas, J.G. ''1-D Dam-break flood-waνe propagatίon on dry bed". Journal of Hydraυlίc Engineerίng, ASCE, 113(12), 1510·1524, 1987.

4. Bellos, C.V.,Soυlis, J.V., and Sakkas, J.G. "Compυtatίons of two-dίmensίonal dam-break·ίndυced flows". Adνances ίn Water Resoυrces, Vol. 14, 1:31-41, 1991.

5. Bellos, C.V.,Soυlis, J.V., and Sakkas, J.G. (1992). Έxperίmental ίnνestίgatίon of two-dimensioπal dam-break induced flows". Journal of Hydraulic Research, Vol. 30, 1:47-63. -==.c"'--=---'-"==--'-==

6. Chow, V.T. Open channel Hydraυlίcs. McGraw-Hίll Book Co., lnc., New York, Ν.Υ, 1959.

7. Cunge, J.A. ''τwο dimensional modeling of flood plains". Vol. 11, Water Resources ~· Fort Collίns, Colorado, 705-762, 1975

8. Di Monaco, Α., and Molinaro, Ρ. "Finite element solution of the Lagrangian equations of unsteady free-surface flows on dry riνer beds". Finite Elements in Water Resources, Κ. Ρ. Holz et al., eds., Sρringer, Berlin, Germany 4.25-4.35, 1982.

8. Dressler, R.F. "Comparison of theories dam-break waνe'. lnter. Association of 319-328, 1954.

and eχperiments for the hydraulic Scίentίfic Hydrology, Publ. Νο. 38,

9. Fennema, A.J., and Chaudhry, Μ.Η. "Simulation of one dimensional dam-break

Tech. Chron.-A, Greece, I 994. Vol. 14. Ν ο J IHI

flows". Journal of Hydraulic Research, 25(1), 41-51, 1987.

10. Fletcher, A.G., and Hamilton, W.S. "Fiood routing in an irregular channel". Journal of the Engineering mechanics Division, ASCE, Vol. 93, Νο. ΕΜ3, Proc. Paper 5282, June, 45-62, 1967.

11. Garcia, R., and l<ahawita, R.A. "Numerical solution of the St. Venant equations with the MacCormack finite-difference scheme". lnternational Journal of Numerical Methods in Fluids, 6, 259-274, 1986.

12. Hromadka 11, T.V., and Ye,n, C.C. 'Ά diffusion hydrodynamic model (DHM)". Advances in Water Resources, Vol.9, 118-170, 1986.

13. Hunt, Β. ''Dam-break solution". Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, 110(6), 675-686, 1984.

14. Katopodes, N.D., and Strelkoff, Τ. "Two-dimensional shallow water-wa-·ιe models". Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, 105(4), 317-334, 1979.

15. Katopodes, N.D. ''Α dissipative Galerkin scheme for open-channel flow". Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, 110(4), 450-466, 1984.

16. Keuning, D.H. 'Άpplication of finite element method to open channel flow", Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, 102(4), 459-468, 1976.

17. King, Ι.Ρ. "Finite elemP.r,/ models for unsteady flow routing through irregular channels". Finite Elemenι ιn Water Resources, I.C.A. Brebbia et al. eds., Pentech Press, London, England, 4.165-4.184, 1976.

18. Κουτίτας, Χ. και Ξαvθόnουλος, θ. ''Αριθμητική επίλυση μονοδιάστατης διαδόσεως πλημμuρικού κύματος λόγω θραύσεως φράγματος". τΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ, Μάιος-Ιούνιος, 229-232, 1977.

19. Lax, P.D. "Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation". Communications on pure and applied Mathematics, Vol. 7, 159-163, 1954.

20. Lax, P.D., and Wendroff, Β. "Difference schemes for hyperbolic equatioπs with

21.

high order of accuracy". Communications on pure and applied Mathematics, Vol.17, 381-398, 1964.

MacCormack, R.W. "Numerical solution of the laminar of the 2nd lnt. California, Berkeley, Sept. 15-19, 1970.

22. Molinas, Α., and Yang, C.T. "Generalized water surface profile computations". Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, 111(3), 381-397,1985.

23. Μπέλλος, Κ.Β. "Ασταθής ροή σε ανοιχτοuς αγωγούς", Διδακτορική διατριβή nou εκπονήθηκε στην Πολυτεχνική Σχολή του Δ.Π. Θράκης, Ξάνθη 1990.

24. Μnέλλος, Κ., Βάραος, Δ., Βασδαβάνος, Β., και Καλφόπουλος, Α. "Μετρήσεις πλημμυρικού κύματος που προκύπτει από την απότομη θραύση φράγματος". ΠΡΑΚΙΙΚΑ 5ο ΠΑΝΕΛΛΗΝίΟΥ ΣΥΝΕΔΡίΟΥ ΕΥΕ, 9-12 Νοεμβρίοι .. Λάρισα, 404-415, 1982.

25. Preismann Α .. "Propagation des intoumescences dans Ιes cειnaυχ et reviers". First ConfJAί-of the .. French Ass. for ___ g_~_1P-~~1ion, Grenoble. Sept. 14-16. Procc., Α.τ. '· .. , 433·442, 1961

26. Rajar. R., and Cetina Μ. "Tvιo-dimensicnai danι-break t:ovv in steep curved ~han~~~~ ΧΧ _!AHR ~~ιgress, Proc., Subject A.d., Vol. 11, Sε-:pt. 5-9. Moskow, 571-579, 1983.

27. Richtmyer, R.D., ar1d Morton, Κ.\1\ι'. DiHerence Met!ωds for lnitial Value Problems. 2nd Ed .. lnterscience Pυblischers, New York,N. Υ., 1967.

1~2 Τεχν. Χρον. -Α, 1994. Τόμ.14, Τεύχ. 3

28. Ritter, Α. ''Die Fortpflanzung der Wasserwellen", Zeitschtitt des Vereines Deu1scher lngeniere, 36(33), 947·954, 1882.

29. Sakkas, J.G., and S1relkoff, Th. "Dam-break flood in a prisma1ic dry channel'. Journal of 1he Hydraulics Diνίsion, ASCE, 99(12), 2195·2216, 1973.

30. Schmi1z, G., Seus, G.J., and Czirwi1zky, H.J. 'Simula1ing two-dimensional fluid flow". lnternational Conference ση the Hydraulic Aspects of floods and Flood Con1rol, Sept. 13·15, London, 195-206, 1983.

31. Σούλης, Ι.Β., και Μnέλλος, Κ. 'Συντηρητικές εξισώσεις μηχανικής ρευστών διατυπωμένες σε γενικευμένο σύστημα σuvτεταγμένwν, Μέρος Α': Μαθηματική Ανάλυση". ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ, Περιοχή Β, Τεύχος 4. 1988.

32. Steger, J.L. "lmplicit finite differenze simulation of flow about arbitrary two-dimensional geometries". American lnst. Aeronautics and Astronautics (ΑΙΑΑ), Vol. 16, Νο 7,679·686, 1978.

33. Strelkoff, Th. 'Όne-dimensional equations of open channel flow'. Journal of the Hydraulics Diνision, ASCE, 95(ΗΥ3), 861-876, 1969.

34. Terzidis, G., and Strelkoff, Th. "Computation of open-channel surges and socks". Joυrnal of 1he Hydraulics Diνision, ASCE, 96(ΗΥ12), 2581·2610, 1970.

35. Thomas, P.D., and Lombard, C.L. "Geometric conserνation law and its application to flow computation on moνing grids". Americal lnst Aeronautics and As1ronau1ics (ΑΙΑΑ), Vol. 27, Νο 110, 1030·137, 1979.

36. Vasi1ieν, O.F. 'Numerical of in open channels". Dynamics, Berkeley,

37. Xanthopoulos, Th., and Koutitas, Ch. "Numerical simulation of a two-dimensional flood waνe propagation due to a dam failure". Journal ot Hydraulic Researche, 14 Νο 4, 1976.

38. Whitham, G.B. "The effects of hydraulic resistance in the dam-break problem". Royal Socie1y of London, Series Α, 227, London, England, 399·407, 1955.

Κων. I!. Μnέλλος Δρ. Πολιτικός Μηχανικός Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή Θράκης 67100 Ξάνθη

Tech. Chron.-A, Greece, 1994. Vol. 14, Ν ο 3 1R3

COMPUTAτiON OF FLOOD PROPAGAτiON ΙΝ NATURAL CHANNELS

by C. V. Bellos

Απ extended summary

INTRODUCTION

The problem of the flow computation in narrow stretched valleys that results from

aπ instantaneous dam break has been investigated by

decades. lnitially the problem was appraached

Computational methods followed.

many researchers during the last

experimentally and analytically.

The computational methods can be divided in three classes: The methods of

characteristics, of Finite Oifferences and of Fίnite Elements. Pioneei'ing works with

the method of characteristics are those af Fletcher and Hamilton (1967), Terzidis and

Strelkoff (1970) and Sakkas and Strelkoff (1973). Finite differences were used by

Preissman (1961), Rajar and Cetina (1983), Vasilieν (1970), Koutitas and Xanthopoulos

(1977), Fennema and Chaudhry (1987). Finite elements were used, among others, by

Keuning (1976), King (1976), Di Monaco and Molinaro (1982) and Katopodes (1984).

The first computer models were one dimensional. Two dimensional models were

deνeloped by Cunge (1975), Abbott (1979), Smitsh et al. (1983), Garsia and Kahavita

(1986), Hromadca and Yen (1986), Fennema and Chaudhry (1987).

ln the present work two numerical models ( quasi-20 and 20) are presented. Bath

models use the well known Mac Cormack two step predictor-corrector, second order

accurate, explicit numerical scheme. The 20 hydradynamic equations are solved in a

non-arthogonal body fitted coordinate system. The results of the two models are

compared with measurements.

The measurements were conducted in a gradually converging- diverging open channel

flume at the Hydraulics Laboratory of Civil Engineering Department, Democritus

University of Thrace. Both numerical models compare well with the experiments.

ΤΗΕ 20 MODEL

The flow is assumed to be homogeneous, incompressible, two dimensional and

viscous with wind and Coriolis forces neglected. The pressure is assumed hydrostatίc

throughout the flow fιeld. With the above assumptions the flow is described by eqs (1)

where: χ and y are the Cartesian coordinates in the axial and transverse directions

184 Τεχν. Χρον.- Α, 1994, ΊΟμ. 14, Τεύχ. 3

resp19ctiνely; t is the time; u and ν are the depth averaged velocity camponents in χ

and y directions; h is the water depth; g is the acceleration due to gravity; s; and

Sb Hre the channel slopes. S~ and Si are friction slopes and are defined by the

equcιtion of Manning.

The problem to be solved is aπ initial value problem. The initial conditions

require the water depth h(x,y,to) and the u(x,y,to) and v(x,y,to) veιocities at the

time t=O to be known. For the boundary conditions the water depth and water velocities

at tl1e boundaries with respect to time are required. The number of conditions needed

at tt1e open boundaries is shown in table (1). At the solid boundaries the condition of

zero normal velocity (Un=O) is used.

After the flow field discretization (in space steps Δχ and Δy), the flow

equιιtions are solved in two steps (predictor- corrector) as shown in Eqs (2) and (3).

Caardinate transformation is used to confront the complex geometric configuration. The

corr,•sponding Eqs are (4)-(12) and the respectiνe algorithm is described by Eqs

(13)·(18). For the stability of the numerical scheme the CFL criterion applies. The

Courant number is given in Eq. (19).

ΤΗΕ' QUASI-20 MOOEL

ln natural channels the flow is described by the de Saint-Venant equations, Eqs

(20)-(26). The initial and the boundary conditions are similar to those that apply in

the 20 model. The solution algorithm is described by Eqs (27) and (28). The stability

crite~rion is again the CLF condition. The Courant number is given by Eq. (29).

APF'LΙCATIONS

1. 8teady flow in a flume with different slopes.

The first application concerns a steady flow problem in a flume with three

diffειrent slopes such that supercritical, critical and subcritical flows occur

(Mc·linas and Yang, 19??). Α time marching method was used. The numerical model results

are compared with those of Molinas and Yang (1985). lt follows that the present model

defines more clearly the region of the hydraulic jump (fig.3).

2. ι=ιοοd propagation in a flume of variable cross-section.

Computed results are also compared with measurements conducted in a gradually

carινerging-diverging open channel flume. The eχperiment took place at the Hydraulics

LatΙoratory of Civil Engineering Depar1ment, Democritus University of Thrace. The basic

eχρerffflental ring is a titled, smooth steel glass, open channel flume, 21.20 m Ιong,

1.4J m wide and 0.60 m deep. The testing flume geometry is shown in Fig. (3) and is

described in detail by Bellos et al. (1992).

Tech. Chron.-A, Greece. 1994, Vol. 14. Ν ο 3 185

Figs (5-8) show the comparison between the measurBd and computed water depths

along the center line of the channel at three positions χ= -8.5 m χ= 0.0 m and χ= 10.0

m as functions of time. The results of two runs with initial depths at the dam

location h1 =0.20 m and h2=0.30 m are shown.

At the upstream region (χ=-8.5 m) the computational results and the measurements

show a satisfactory agreement. The Quasi-20 model gives better results than the 20,

see Fgs (5a), (6a), (7a), (Ba). At the dam position a discrepancy appears between the

measured and calculated water depths for both models, see Fgs (5b), (6b), (7b) and

(8b). At the downstream region very good agreement between computational results and

the measurements exists, see Fgs (5c), (6c), (7c) and (Bc).

CONCLUSIONS

The 20 and Ouasi-20 models that have been developed in the above work are capable

to describe subcritical and supercritical flood flows that arise from a sudden dam

release on dry or wet bed without any special treatment concerning the flood front. ln

the case of narrow stretched valleys the quasi-20 model is very efficient and probably

preferable to the corresponding 20. This can be explained by the fact that time step

restrictions, owing to the small space step in the transverse direction, result in

very large CPU time and consequently in accumulation of significant round off errors.

C. V. Bellos Or. Engineer, Asst. Professor Civil Engineering Oepartment Oemocritus University of Thrace 67100 Xanthi