Computacao Numérica

Fernando Simeone

Computação Numérica

1 1 1 1 1… …

Sumário

1. Cálculo de Funções

2. Computação Numérica

3. Operações Sequenciais

4. Criando uma Linguagem de Programação

5. Considerações Finais

Cálculo de Funções1

Máquina de TuringReconhecimento de Linguagens

MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0)

q0 qs

qn

q1

q2

B a c c b B B B B B B… …Entrada:

Máquina de TuringReconhecimento de Linguagens

MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0)

q0 qs

qn

q1

q2

B a c c b B B B B B B… …

x Não aceita

✓ Aceita

Entrada:

Máquina de TuringCálculo de Funções

MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf)

q0 qfFim da

computação

B a c c b B B B

Entrada:

M


MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf)

q0 qfFim da

computação

B a c c b B B B

Entrada:

B a a B B B B B

Resultado:

M

Máquina de TuringCálculo de Funções (Turing computáveis)

MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf)

q0 qfFim da

computação

B a c c b B B B

Entrada:

B B B B B B B B

Resultado:

q1 q2

(B, B, ➞)

(B, B, ➞)(b, b, ➞)

(b, b, ➞)(a, a, ➞)

(a, a, ➞) (B, B, ➞)

(b, B, ➞)(a, B, ➞)


MT = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qf) computa f: ∑* ⟶ ∑*

q0 qfq1 q2

(B, B, ➞)

(B, B, ➞)(b, b, ➞)

(b, b, ➞)(a, a, ➞)

(a, a, ➞) (B, B, ➞)

(b, B, ➞)(a, B, ➞)



q0 qfq1 q2

(B, B, ➞)

(B, B, ➞)(b, b, ➞)

(b, b, ➞)(a, a, ➞)

(a, a, ➞) (B, B, ➞)

(b, B, ➞)(a, B, ➞)

• Apenas uma transição partindo do estado q0: δ(q0,B) = [qi, B, ➞];



q0 qfq1 q2

(B, B, ➞)

(B, B, ➞)(b, b, ➞)

(b, b, ➞)(a, a, ➞)

(a, a, ➞) (B, B, ➞)

(b, B, ➞)(a, B, ➞)


• Não há transições que retornam para q0;



q0 qfq1 q2

(B, B, ➞)

(B, B, ➞)(b, b, ➞)

(b, b, ➞)(a, a, ➞)

(a, a, ➞) (B, B, ➞)

(b, B, ➞)(a, B, ➞)



• Não há transições na forma δ(qf,B);



q0 qfq1 q2

(B, B, ➞)

(B, B, ➞)(b, b, ➞)

(b, b, ➞)(a, a, ➞)

(a, a, ➞) (B, B, ➞)

(b, B, ➞)(a, B, ➞)




• A MT com entrada u para com configuração q0BvB se f(u) = v;



q0 qfq1 q2

(B, B, ➞)

(B, B, ➞)(b, b, ➞)

(b, b, ➞)(a, a, ➞)

(a, a, ➞) (B, B, ➞)

(b, B, ➞)(a, B, ➞)




• A MT com entrada u para com configuração q0BvB se f(u) = v;

• A MT não pára se f(u) for indefinido.

Máquina de TuringLendo argumentos e escrevendo resultado


B a b B B B B B B B B B b a B B

• f(ab) = baEntrada Resultado




B a b B c c B b a c B B a b B B

• f(ab, cc, bac) = abEntrada Resultado




B a b B c c B b a c B B a b B B

• f(ab, cc, bac) = abEntrada Resultado

B a b B B b a c B B B B B B B B

• f(ab, λ, bac) = λEntrada Resultado

Cálculo de FunçõesExemplo: concatenando palavras

q0 q1

(B, B, ➞)q2 q5

q3

q4

q6

qf

(b, b, ➞)(a, a, ➞)

(B, B, ➞)

(a, B, ←) (B, a, ➞)

(b, B, ←) (B, b, ➞)

(B, B, ➞)

(B, B, ←)

(B, B, ←)

(b, b, ←)(a, a, ←)

B a b B b a BEntrada Resultado

B a b b a B B

Computação Numérica2

Funções Numéricas

Funções Numéricas• f: N × N × N × … × N ⟶ N


• Exemplos


• Exemplos

• sq(n) = n2


• Exemplos

• sq(n) = n2

• db(n) = 2n


• Exemplos

• sq(n) = n2

• db(n) = 2n

• add(x, y) = x + y

RepresentaçãoComo representar números na fita

Representação

• n = 1n+1

Como representar números na fita

Representação

• n = 1n+1

• 0 = 1


Representação

• n = 1n+1

• 0 = 1

• 1 = 11


Representação

• n = 1n+1

• 0 = 1

• 1 = 11

• 2 = 111



B 1 1 1 B B B B B B B B 1 1 B B

• f(2) = 1Entrada Resultado


B 1 1 1 B B B B B B B B 1 1 B B

• f(2) = 1Entrada Resultado

B 1 1 1 1 B 1 B B B B B 1 1 1 B

• f(3, 0) = 2Entrada Resultado

Cálculo Funções NuméricasSucessor

q0 q1

(B, B, ➞)qf

(1, 1, ➞)

(B, 1, ➞)

(1, 1, ←)

B 1 1 1 B B BEntrada Resultado

B 1 1 1 1 B B

S:

• s(n) = n + 1

Cálculo Funções NuméricasZero

q0 q1

(B, B, ➞)qf

(1, 1, ➞)

(B, B, ←)

B 1 1 1 B B BEntrada Resultado

B 1 B B B B B

Z:

• z(n) = 0

q2

(1, B, ←)

(B, B, ➞) (B, 1, ←)q3

Cálculo Funções NuméricasAdição

q0 q1

(B, B, ➞)qf

(1, 1, ➞)

(B, 1, ➞)

Entrada Resultado

B 1 1 1 1 B B

A:

• a(n, m) = n + m

q2

(1, 1, ➞)

(B, B, ←) (1, B, ←)q3

(1, B, ←)q4

(1, 1, ←)

B 1 1 B 1 1 1 B

Cálculo Funções NuméricasDecremento

q0 q1

(B, B, ➞)

qf

(1, 1, ➞)

Entrada Resultado

B 1 1 B B B B

D:

• a(n) = n - 1

q2

(1, 1, ➞)

(1, 1, ➞)

(B, B, ←)

q3(B, B, ←)

q4

(1, 1, ←)

B 1 1 1 B B B B

(1, B, ←)

Operações Sequenciais3

Operações SequenciaisCom máquinas de Turing

qs,0 qs,1

(B, B, ➞)qs,f

(1, 1, ➞)

(B, 1, ➞)

(1, 1, ←)

S:

qz,0 qz,1

(B, B, ➞)qz,f

(1, 1, ➞)

(B, B, ←)Z: qz,2

(1, B, ←)

(B, B, ➞) (B, 1, ←)qz,3

Zero

Sucessor

z(n) = 0

s(n) = n + 1

Operações SequenciaisCom máquinas de Turing

qs,1

(B, B, ➞)

qs,f

(1, 1, ➞) (B, 1, ➞)

(1, 1, ←)

qz,0 qz,1

(B, B, ➞)qz,f = qs,0

(1, 1, ➞)

(B, B, ←)qz,2

(1, B, ←)

(B, B, ➞) (B, 1, ←)qz,3

s( z(n) ) = 0 + 1 = 1

Operações SequenciaisMacros

*

f(n) = s( z(n) )

Z * S *F:


*

f(n) = s( z(n) )

Z * S *

• Nem todas as computações irão iniciar com a cabeça de leitura na posição 0 da fita;

F:


*

f(n) = s( z(n) )

Z * S *

• Nem todas as computações irão iniciar com a cabeça de leitura na posição 0 da fita;

• Toda computação deve iniciar lendo o símbolo branco (B) da fita.

F:

MacrosNotação utilizada

B n1 B n2 B … B nk B



k-ésimo número na fita"(sequência de 1s)



k-ésimo número na fita"(sequência de 1s)

B 1 1 B 1 1 1 B B

Exemplo:

{ {n1 n2

MacrosExemplo

MRk B n1 B n2 B … B nk BMove Right


MacrosExemplo

q0 q1

(B, B, ➞)qf

(1, 1, ➞)

(B, B, ➞)MR2:

(1, 1, ➞)



MacrosExemplo

q0 q1

(B, B, ➞)qf

(1, 1, ➞)

(B, B, ➞)MR2:

(1, 1, ➞)



q0 q1

(B, B, ➞)qf

(1, 1, ➞)

(B, B, ➞)MRk:

(1, 1, ➞)

(B, B, ➞)qk-1

(1, 1, ➞)

…(B, B, ➞)

MacrosMRk B n1 B n2 B … B nk BMove Right




MLk B n1 B n2 B … B nk BMove Left






FR B B B n1 B n2 B BFind Right

B B B n1 B n2 B B






B B B n1 B n2 B B

FLFind Left

B BB n1 B n2 B B B BB n1 B n2 B B






B B B n1 B n2 B B

FLFind Left

B BB n1 B n2 B B B BB n1 B n2 B B

EkErase

B B B B B … B B BB n1 B n2 B … B nk B

MacrosCPYkCopy

B n1 B n2 B … B nk B B B B B … B B B

B n1 B n2 B … B nk B n1 B n2 B … B nk B

MacrosCPYkCopy



CPYk, iCopy

B n1 B … B nk B B nk+i… B B B … B B B

B n1 B … B nk B B nk+i… B n1 B … B nk B

MacrosCPYkCopy



CPYk, iCopy

B n1 B … B nk B B nk+i… B B B … B B B

B n1 B … B nk B B nk+i… B n1 B … B nk B

T B B B n1 B B B BTranslate

B BBn1 B B B B

MacrosBRNBranch on zero

B n1 B n2 B … B nk B B n1 B n2 B … B nk B

* BRNn = 0

n > 0

*

*

INTInterchange

B n B m B B B

* * E1 * T * MR1 * T * ML1 *CPY1,1

B m B n B B B

Utilizando outras macrosMacros

* * MR1 * * A * ML1 * A *CPY1

Exemplo de utilizaçãoMacros

• f(n) = 3n

CPY1

Exemplo de utilizaçãoMacros

T

*

E1 * ML1 *q0

(B, B, ➞)q

1

(1, 1, ➞)q

2

(B, B, ➞)

E1

*

T

q3

CPY1

*

q5

q4

ML1A *MR1 *CPY1,1

q8

q7

q6

*

MULT:(1, X, ➞)

(1, 1, ➞)

(B, B, ➞)

(B, B, ←)

(X, B, ←) (B, B, ➞)

(X, B, ←)(1, B, ←)

(1, 1, ←)

(1, 1, ←)

(X, X, ➞)(1, X, ➞)

(1, 1, ➞)

(B, B, ➞)

Criando uma Linguagem de Programação

4

Arquitetura

B v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …

Variáveis de entrada

Variáveis locais

Registradores e espaço de trabalho

home


Variáveis de entrada Variáveis locais Registradores e espaço de trabalho

Início

INIT v Inicializa variável local



Início


HOME t Move a cabeça de leitura para home quando há t variáveis alocadas.



Início



LOAD v Carrega a variável



Início




STOR v Armazena o valor do registrador



Início





RETURN v Limpa todas as variáveis deixando o valor de



Início






CLEAR t Limpa o valor do registrador t



Início







BRN L, t Vai para a instrução L se o valor do registrador t é 0.



Início








GOTO L Executa a instrução L.



Início









NOP “No operation” (utilizada em conjunto com a instruçõ GOTO)



Início










INC t Incrementa o valor do registrador t.



Início











DEC t Decrementa o valor do registrador t.



Início











DEC t Decrementa o valor do registrador t.

ZERO t Substitui o valor do registrador t por 0.



Início

InstruçõesB v1 B v2 B … B vk B vk+1 B vn B … B B B… B …


home



home

HOME t

MR t



home

INIT vi MR i - 1

ZR ML i - 1

HOME t

MR t



home

INIT vi MR i - 1

ZR ML i - 1

HOME t

MR tSTOR vi, t

MR t - 2

INT ML1

INT MR1

INT MR 1

ER 1

ML t - 1

( )( )

t + n - i - 1

t + n - i - 1



home

INIT vi MR i - 1

ZR ML i - 1

HOME t

MR tSTOR vi, t

MR t - 2

INT ML1

INT MR1

INT MR 1

ER 1

ML t - 1

( )( )

t + n - i - 1

t + n - i - 1

LOAD vi, t

ML n - i + 1

CPY 1, n - i + 1 + t MR n - i + 1

Exemplo

INIT v2

INIT v3

HOME 3 LOAD v1,1 STOR v2,1 L1 LOAD v2,1 BRN L2,1 LOAD v1,1 INC

STOR v1,1 LOAD v2,1 DEC STOR v2,1 GOTO L1 L2 LOAD v1,1 INC STOR v1,1 RETURN v1

Início

• f(n) = 2n + 1

Considerações Finais5

Referências

• SUDKAMP, T. A. Languages and Machines: An Introduction to the Theory of Computer Science (3rd Edition). Boston, MA, USA: Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., 2005. ISBN 0321322215.

Obrigado Dúvidas ??

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