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CHAPITRE 4. COMPORTEMENT « ELASTIQUE » : PARAMETRES E,G,ν ET LIMITES DES APPROCHES CLASSIQUES 4.1. Introduction 177 4.2. Modules de déformation E et G : éléments bibliographiques 178 4.2.1. Définition des modules de déformation 178 4.2.2. Evolution des paramètres avec la déformation 179 4.2.3. Différents facteurs d’influence 180 4.2.4. Influence de l’état du matériau 180 a) Influence de la granulométrie 180 b) Influence de l’indice des vides 181 4.2.5. Influence des contraintes 183 a) Pression de confinement P c 183 b) Contraintes principales 185 c) Précisaillement 186 4.2.6. Influence de la vitesse de sollicitation 188 4.3. Modules maximaux expérimentaux à l’état isotrope de contraintes 190 4.3.1. Modules expérimentaux « quasi-statiques » 191 a) Modules d’Young maximaux « quasi-statiques » 192 b) Modules de cisaillement maximaux « quasi-statiques » 194 4.3.2. Modules expérimentaux « dynamiques » 196 a) Modules d’Young « dynamiques » 197 b) Modules de cisaillement « dynamiques » 199 4.3.3. Comparaison avec des expressions issues de la bibliographie 201 a) Influence de la pression de confinement 201 b) Influence de l’indice des vides 202 4.3.4. Conclusion 203 4.4. Détermination du coefficient de Poisson à l’état de contrainte isotrope 205 4.4.1. Coefficient de Poisson calculé à partir des modules « quasi-statiques » 205 4.4.2. Coefficient de Poisson calculé à partir des modules « dynamiques » 207 4.5. Evolution des modules maximaux en fonction de l’état de contrainte 209 4.5.1. Etat de contraintes sans rotation d’axes principaux 209 a) Evolution du module d’Young en fonction de la contrainte axiale 210 b) Evolution du module de cisaillement en fonction de la contrainte axiale 213 c) Conclusion 215 4.5.2. Etat de contraintes avec rotation des axes principaux 216 a) Essais de type « torsion pure » 216 b) Essais de type « torsion à K 0 » 217 4.6. Conclusion 219

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CHAPITRE 4. COMPORTEMENT « ELASTIQUE » : PARAMETRES E,G,ν ET

LIMITES DES APPROCHES CLASSIQUES

4.1. Introduction 177

4.2. Modules de déformation E et G : éléments bibliographiques 178 4.2.1. Définition des modules de déformation 178 4.2.2. Evolution des paramètres avec la déformation 179 4.2.3. Différents facteurs d’influence 180 4.2.4. Influence de l’état du matériau 180

a) Influence de la granulométrie 180 b) Influence de l’indice des vides 181

4.2.5. Influence des contraintes 183 a) Pression de confinement Pc 183 b) Contraintes principales 185 c) Précisaillement 186

4.2.6. Influence de la vitesse de sollicitation 188

4.3. Modules maximaux expérimentaux à l’état isotrope de contraintes 190 4.3.1. Modules expérimentaux « quasi-statiques » 191

a) Modules d’Young maximaux « quasi-statiques » 192 b) Modules de cisaillement maximaux « quasi-statiques » 194

4.3.2. Modules expérimentaux « dynamiques » 196 a) Modules d’Young « dynamiques » 197 b) Modules de cisaillement « dynamiques » 199

4.3.3. Comparaison avec des expressions issues de la bibliographie 201 a) Influence de la pression de confinement 201 b) Influence de l’indice des vides 202

4.3.4. Conclusion 203

4.4. Détermination du coefficient de Poisson à l’état de contrainte isotrope 205 4.4.1. Coefficient de Poisson calculé à partir des modules « quasi-statiques » 205 4.4.2. Coefficient de Poisson calculé à partir des modules « dynamiques » 207

4.5. Evolution des modules maximaux en fonction de l’état de contrainte 209 4.5.1. Etat de contraintes sans rotation d’axes principaux 209

a) Evolution du module d’Young en fonction de la contrainte axiale 210 b) Evolution du module de cisaillement en fonction de la contrainte axiale 213 c) Conclusion 215

4.5.2. Etat de contraintes avec rotation des axes principaux 216 a) Essais de type « torsion pure » 216 b) Essais de type « torsion à K0 » 217

4.6. Conclusion 219

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.1. INTRODUCTION

– 177 –

4. Comportement « élastique » : paramètres E,G,ν et limites des approches classiques

4.1. Introduction

Dans ce chapitre, l’étude porte sur les paramètres classiques de comportement des sols, que sont le module d’Young E, le module de cisaillement G et le coefficient de Poisson ν. Ces paramètres sont liés au modèle défini par Hooke pour modéliser un comportement élastique linéaire isotrope. Ce modèle fut un des premiers utilisés pour définir le comportement des sols avant rupture. De nos jours, l’évolution des connaissances sur le comportement des sols restreint l’utilisation de l’hypothèse de comportement élastique linéaire à un domaine pour lequel les déformations demeurent faibles. Cette notion de faibles déformations est évidemment subjective et dépend du degré de précision de l’appareillage.

Au-delà, de ce domaine de petites déformations, la rigidité du sol évolue avec la déformation appliquée et cette évolution devient fortement non-linéaire. La notion de module d’Young et de cisaillement peut néanmoins être étendue. Pour chacun d’eux, il est alors possible de définir des modules sécants et des modules tangents, pour une sollicitation monotone et des modules équivalents pour une sollicitation cyclique.

Dans un premier temps, une revue des différents paramètres qui influent sur les modules est proposée. Les résultats expérimentaux sont ensuite étudiés, en s’intéressant d’abord à l’influence de la pression de confinement et de l’indice des vides sur les modules déterminés à l’état isotrope de contrainte. L’évolution des modules en fonction de l’état de contrainte est étudiée par la suite. Les modules « dynamiques » et « quasi-statiques » sont étudiés parallèlement.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES

– 178 –

4.2. Modules de déformation E et G : éléments bibliographiques

Afin de modéliser le comportement des sols, des lois simples ont d’abord été développées en se fondant sur des paramètres devenus classiques pour définir le comportement des sols, le module d’Young et le module de cisaillement. Une définition de ces paramètres est d’abord proposée. Ensuite, une revue des différents facteurs susceptibles d’influencer ces deux paramètres est présentée à partir des résultats trouvés dans la littérature.

4.2.1. Définition des modules de déformation

Les modules de déformation classiquement utilisés sont le module d’Young E et de cisaillement G. La rigidité d’un sol étant fortement liée à la déformation appliquée, il convient de définir plusieurs paramètres pour la caractériser. Le module d’Young, E, est obtenu par la relation entre le déviateur de contraintes (q) et la déformation axiale (εa) lors d’essais triaxiaux classiques. De la même façon, le module de cisaillement, G, peut être obtenu par la relation entre la contrainte de cisaillement (τ) et la distorsion (γ) lors d’essais de cisaillement pur. La figure 4.1 présente le cas d’un essai triaxial pour lequel un déviateur de contrainte q est appliqué (q=σv-σh, σv contrainte verticale et σh contrainte horizontale) et une déformation verticale εa correspondante est observée, pour des chargements monotones et des chargements cycliques. Cette figure permet d’illustrer comment la réponse non linéaire du matériau, en terme de rigidité, peut être décrite à l’aide des différents modules d’Young. Les définitions des différents modules d’Young, obtenus lors d’essais triaxaiux classiques et des différents modules de cisaillement, obtenus lors d’essais de cisaillement pur sont les suivantes (ces définitions sont classiques et reconnues internationalement [Yamashita et al, 2001]) :

les modules d’Young et de cisaillement sécants :

Esec=Erreur ! , Gsec=Erreur ! (4.1)

les modules d’Young et de cisaillement tangents :

Etan=Erreur ! , Gtan=Erreur ! (4.2)

les modules d’Young et de cisaillement maximaux :

Emax=Erreur !(q=0) , Gmax=Erreur !(τ=0) (4.3)

les modules d’Young et de cisaillement équivalents :

Eeq=Erreur ! , Geq=Erreur ! (4.4)

L’indice « SA » dans l’équation 4.4 est le raccourci pour « simple amplitude », ce qui correspond à l’amplitude pic à pic.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES

– 179 –

Modules équivalentsfonction de l'amplitudedes cycles

Module sécant au point M

Module tangentau point M

M

Déformation axiale

Dév

itaeu

r de

cont

rain

t es

q

Module équivalentau point P

2εSA

2σSAP

FIGURE 4.1 : Définition des différents modules

4.2.2. Evolution des paramètres avec la déformation

Dans l’analyse du comportement des sables, les rigidités sont représentées classiquement en fonction du logarithme de la déformation. Cette représentation des modules, qui porte le nom de ses auteurs Seed-Idriss, permet d’illustrer leur évolution en fonction du niveau de déformation. La diminution des modules de déformation avec l’augmentation de l’amplitude des déformations est ainsi mise en évidence (Figure 4.2). Dans le cas de sollicitations cycliques, la courbe de dégradation associe les modules équivalents aux amplitudes de déformation.

FIGURE 4.2 : Représentation de type Seed-Idriss des modules sécants et équivalents, [Tatsuoka et Shiuya, 1991]

Dans la suite, une revue des différents facteurs influençant ces paramètres de comportement est proposée.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES

– 180 –

4.2.3. Différents facteurs d’influence

Dans cette partie, les principaux facteurs influençant les paramètres de comportement des sols décrits dans la littérature sont détaillés. Tatsuoka et Shibuya [1991] ont énuméré les principaux facteurs intervenant sur les propriétés des sols et des roches mesurées en laboratoire :

la non-homogénéité du matériau, particulièrement sensible sur les roches fissurées,

le remaniement des échantillons, que ce soit la destruction partielle lors du prélèvement des échantillons ou par densification lors de la manipulation en laboratoire,

l’anisotropie lors de la mise en place de l’échantillon (avant consolidation),

le niveau de déformation auquel est appliqué le cycle, en raison des fortes irréversibilités des matériaux constituant les sols dès les faibles déformations,

le chemin de consolidation (isotrope, anisotrope...), le temps de consolidation,

la pression moyenne,

le chemin de contrainte suivi lors du cisaillement (rotation des axes principaux…),

la nature du chargement appliqué (cyclique ou monotone, drainé ou non drainé) et de la vitesse de sollicitation.

Ces paramètres ne sont pas tous de même nature. Il faut distinguer en effet, ceux qui relèvent des erreurs ou approximations expérimentales, ceux qui concernent l’histoire subie par le matériau, ceux qui portent sur le comportement au cours de la mesure. Il convient de s’intéresser aux paramètres qui ne dépendent pas de l’expérience, et qui peuvent donc être considérés comme intrinsèques aux matériaux. Dans le cas du sable, il faut prendre en compte l’état du matériau (granulométrie et nature des grains, mise en place du matériau, indice des vides) et les sollicitations auxquelles le matériau est soumis au cours de son histoire (la pression moyenne ou les différentes contraintes, la rotation des contraintes, la vitesse des sollicitations…).

4.2.4. Influence de l’état du matériau

a) Influence de la granulométrie

Il semble intuitivement raisonnable de croire que la granulométrie a une influence sur la structure de l’assemblage des grains et donc sur la rigidité d’un tel assemblage. Il n’existe cependant que très peu d’informations sur l’influence de la granulométrie sur le comportement des sables en faibles déformations. Hameury [1995] observe une décroissance plus rapide de la rigidité avec le niveau de déformation pour des sables à granulométrie étalée. Il compare la courbe de décroissance du module de cisaillement et celle de l’augmentation de l’amortissement du sable de Quiou avec celles du sable d’Hostun à granulométrie plus serrée. La granulométrie semble influencer l’évolution de l’amortissement avec la distorsion. Cependant, elle ne modifie pas la valeur de l’amortissement dans le domaine des petites déformations.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES

– 181 –

Yasin et al [1999] présentent une étude sur deux types de sable (Toyoura du Japon et Silver Leighton Buzzard du Royaume-Uni). Pour chaque sable, deux groupes d’échantillons sont réalisés avec du sable acheté à différentes périodes. Des différences importantes sont obtenues lors d’essais de compression plane à faible niveau de confinement alors que les différences de granulométrie, de forme des grains, de densité minimum et maximum, entre les deux groupes pour chaque sable sont très faibles.

b) Influence de l’indice des vides

L’influence de l’indice des vides e sur l’évolution des modules d’Young et de cisaillement se traduit généralement par une fonction nommée f(e).

Hardin et Richart (1963) sont parmi les premiers à étudier l’influence de l’indice des vides sur les différents modules à partir de mesures de propagation d’onde. Ils montrent qu’une relation linéaire lie la célérité des ondes mesurée c et l’indice des vides e, pour une pression de confinement constante Pc :

c=a (b-e) Pcn/2 (4.5)

A partir de cette observation, ces auteurs déduisent que les modules de cisaillement dépendent de l’indice des vides par l’intermédiaire d’une fonction de la forme générale :

f(e) = Erreur ! (4.6)

avec a et b deux constantes dépendant du matériau [Hardin et al, 1969]. Plusieurs auteurs adoptant la même forme pour la fonction d’indice des vides proposent des valeurs empiriques pour a et b dans le cas de nombreux matériaux et notamment le sable d’Hostun. Ces valeurs sont obtenues à partir d’essais quasi-statique ou dynamique. Quelques expressions des fonctions f(e) sont présentées dans le tableau 4.1 ainsi que le type d’essais ayant permis de les obtenir.

Type d’essai Matériau Module interpolé

Auteurs Fonction d’indice

des vides f(e)

Essai triaxial divers matériaux dont

les sables propres G

Hardin et Drnevich [1972]

Erreur !

Essai triaxial G Iwasaki et

Tastuoka [1977] Erreur !

Essai triaxial de précision et colonne résonnante

Sable d’Hostun E Rivera [1988] Erreur !

Essai triaxial de précision et colonne résonnante

Sable d’Hostun E Charif [1991] Erreur !

Essai triaxial de précision et colonne résonnante

Sable d’Hostun G Hameury [1995] Erreur !

TABLEAU 4.1 : Formulation empirique des modules d’Young et de cisaillement pour le sable d’Hostun en

fonction de l’indice des vides e et de la pression moyenne P par différents auteurs

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES

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Hicher [1996] explique que la constante a dépend de la nature du milieu granulaire étudié, à savoir la composition minéralogique et la forme des grains, ainsi que la distribution des grains. Des essais réalisés sur le même sable avec des granulométries différentes ont montré que ce paramètre a augmente lorsque le coefficient d’uniformité Cu (D10/D60) diminue. Pour la constante b, qui dépend aussi de la nature du sol, les valeurs sont généralement comprises entre 1 et 4.

Hicher propose en outre des expressions simplifiées pour la fonction f(e) en fonction du type de sol (Figure 4.3). Pour des sables ou des argiles avec une faible limite de liquidité (WL<50%), la fonction peut s’écrire :

f(e) = Erreur ! (4.7)

FIGURE 4.3 : Evolution du module d’Young en fonction de l’indice des vides et de la pression moyenne pour différents sables et argiles, [Hicher, 1996] d’après Bard [1993]

Dano [2001] utilise la même forme hyperbolique pour définir l’influence de l’indice des vides sur le module de cisaillement du sable de Fontainebleau déterminés par propagation d’ondes. Il montre en outre que le module de cisaillement semble influencé par l’état dilatant ou contractant dans lequel se trouve le sable. La figure 4.5 présente ainsi les valeurs du module de cisaillement déterminées au cours d’un essai de compression triaxiale sur sable lâche. La valeur du module augmente jusqu’à ce que le taux de déformation volumique s’annule.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES

– 183 –

FIGURE 4.4 : Evolution du module de cisaillement (déterminés par propagation d’onde) au cours d’un essai triaxial sur sable lâche [Dano, 2001]

4.2.5. Influence des contraintes

Afin d’étudier le comportement d’un sol en approchant au plus près la réalité, les essais de laboratoire doivent pouvoir reproduire les contraintes auxquelles ce sol serait soumis sur le terrain. Dans le cas des échantillons artificiels recréés en laboratoire, il faut tenir compte de l’histoire ancienne des contraintes inévitablement subie par le matériau, lorsqu’il est en place sur le terrain. De plus, un matériau est généralement testé afin de prédire son comportement sous des sollicitations nouvelles, mises en jeu lors d’une utilisation future, qu’il faut être capable de reproduire en laboratoire. Afin de prédire le comportement d’un sol, il faut donc être capable de déterminer la réponse à de nombreuses sollicitations complexes.

Pour le sable, différentes études ont permis de limiter le nombre de facteurs à prendre en compte afin de modéliser son comportement pour des sollicitations relativement simples. Ainsi, pour des chargements monotones, deux paramètres interviennent généralement : la contrainte moyenne et le rapport des contraintes principales.

L’influence de sollicitations plus complexes, tels que des chargements cycliques a aussi fait l’objet de plusieurs études. Cette étude se limite à l’influence d’un cisaillement simple applicable pour des sollicitations avec un nombre de cycles qui demeure peu élevé.

a) Pression de confinement Pc

Le plus souvent, les expériences réalisées dans le domaine des petites déformations sont menées sur des échantillons à partir d’un état de contrainte isotrope. Les modules d’Young et de cisaillement dépendent alors de la pression de confinement au travers d’une fonction puissance [Hardin et Richart, 1963], [Iwasaki et Tatsuoka, 1977], [Jamiolkowski et al, 1994], [Hicher, 1996], [Jovicic et Coop, 1997], [Yamashita et al, 2000]. En tenant compte de l’indice des vides et de la pression de confinement, les autres paramètres restant fixes, l’expression du module de cisaillement s’écrit :

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES

– 184 –

Gmax = f(e).Pcm (4.8)

En réalité la valeur de l’exposant m varie avec le niveau de déformation cyclique. Yasuda et Matsumoto [1993] mesurent sur le sable de Toyoura des valeurs comprises entre 0,4 et 0,53 pour des déformations de 10-5 à 10-4. Tatsuoka [1985] reprend également plusieurs études sur le sable de Toyoura et trace l’évolution de l’exposant m avec l’amplitude de la déformation, en l’occurrence, la distorsion, m étant calculée à partir du module de cisaillement (Figure 4.5).

FIGURE 4.5 : Evolution de l’exposant de la pression moyenne, m, en fonction de la distorsion pour le module de cisaillement du sable de Toyoura [Tatsuoka, 1985]

Pour des déformations cycliques de l’ordre de 10-5, l’exposant m se situe aux alentours de 0,5 et semble croître avec le niveau de déformation cyclique. De même, Biarez et Hicher [1994] et Hicher [1996], en s’appuyant sur des essais réalisés par Bard [1993] sur différents géomatériaux, retiennent la valeur de 0,5 pour l’exposant m, en petites déformations cycliques (Figure 4.3). Cette valeur de 0,5 est couramment utilisée pour le sable d’Hostun [Hardin et Drnevich, 1972], [Rivera, 1988], [Charif, 1991]. Enfin, Hameury [1995] détermine avec plus de précision l’exposant m à partir d’essais triaxiaux de précision et d’essais à la colonne résonnante et fixe sa valeur à 0,46.

La pression de confinement a donc une influence sur la valeur maximale des modules. Elle influence aussi les courbes de dégradation des modules, représentant l’évolution des modules en fonction du niveau de déformations. Plus la pression de confinement est faible, plus la décroissance de la rigidité avec le niveau de déformation est accentuée. Ceci est constaté par Hameury [1995] sur le sable Hostun RF dense avec des essais à la colonne résonnante sur des échantillons à différents niveaux de pression de confinement. Il apparaît qu’une pression moyenne effective élevée retarde la décroissance du module. Ce phénomène a été observé pour les résultats des essais réalisés au cours de cette étude. Ces résultats ont été présentés au Chapitre 3, lors de l’analyse des essais.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES

– 185 –

b) Contraintes principales

Roesler [1979] réalise des essais de propagation d’ondes de cisaillement sur du sable, sous un état anisotrope de contraintes. Les ondes sont polarisées suivant les directions principales de contrainte. Il montre que leur célérité dépend uniquement des contraintes principales dans les directions de propagation et de polarisation. La vitesse de ces ondes reste indépendante de la troisième contrainte principale. Pour traduire cette dépendance, il propose d’utiliser plusieurs formulations de la vitesse de propagation Vs :

Vs = K σana σb

nb (4.9)

ou bien Vs = K Erreur ! (4.10)

où σa est la contrainte principale dans la direction de propagation, σb celle dans la direction de polarisation (σc étant la troisième contrainte principale) et K est un facteur de proportionnalité (dépendant d’autres paramètres tels que l’indice des vides ou la pression de confinement). De la relation existante entre le module de cisaillement et la célérité des ondes de cisaillement, on peut déduire l’expression du module de cisaillement :

Gab = K’ σama σb

mb (4.11)

ou Gab = K’ Erreur ! (4.12)

où K’ est un facteur de proportionnalité (qui peut dépendre des autres paramètres).

Hardin et Blandford [1989] proposent alors d’exprimer la dépendance du module de cisaillement vis à vis de l’état de contrainte pour un matériau normalement consolidé par la relation :

G = K f(e) σiniσj

nj (4.13)

où K est un paramètre qui dépend du matériau, et σi et σj les contraintes principales agissant dans le plan où G est mesuré.

Pour les ondes de compression, la direction de propagation coïncide avec celle de polarisation, si bien que Hardin et Blandford [1989] proposent la formulation suivante du module d’Young, par analogie avec le cas des ondes de cisaillement :

Ei = K σin (4.14)

où K est un facteur de proportionnalité. Cela implique que le module d’Young dans une direction est une fonction unique de la contrainte normale dans cette direction.

Lo Presti [1995] confirme ce fait pour des argiles à l’aide d’essai triaxiaux ainsi que Hoque et al [1996] pour les sables. Ces derniers réalisent plusieurs essais triaxiaux sur un échantillon à section rectangulaire. Ils mesurent ainsi le module d’Young dans la direction verticale Ev et dans la direction horizontale Eh. Ils déterminent l’influence des contraintes horizontales σh et verticales σv sur chacun de ces modules. Sur la figure 4.6 sont ainsi représentées d’une part, l’évolution du module d’Young Ev en fonction de la contrainte verticale σv pour différents niveaux de contrainte horizontale σh et d’autre part, l’évolution du module d’Young Eh en fonction de la contrainte horizontale σh pour différents niveaux de contrainte verticale σv.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES

– 186 –

Les auteurs parviennent à la conclusion que le module d’Young dans une direction n’est influencé que par la contrainte dans cette direction. Les relations suivantes sont exprimées :

Ev = Ev0.f(e).σvnv et Eh = Eh0 f(e).σh

nh (4.15) et (4.16)

avec Ev0 et Eh0 le module d’Young dans la direction verticale, respectivement horizontale, à l’état isotrope et nv et nh les valeurs des exposants.

FIGURE 4.6 : Relations Ev en fonction de σv pour différentes valeurs de σh et relations Eh en fonction de σh pour différentes valeurs de σv [Hoque et al, 1996]

c) Précisaillement

Hardin et Drnevich [1972] ont réalisé une campagne d’essais à la colonne résonnante et d’essais de cisaillement simple sur cylindre creux. Il apparaît que le module de cisaillement a tendance à être plus faible pour le premier cycle de chargement sur un matériau déjà cisaillé. Mais l’influence de ce cisaillement disparaît après une dizaine de cycles de chargement.

Tatsuoka et Shibuya [1991] présentent trois essais monotones de cisaillement simple sur sable de Toyoura lâche : tout d’abord sur un échantillon non cisaillé (τat=0), ensuite sur un échantillon cisaillé dans le sens du cisaillement monotone (τat=+10 kPa) et enfin sur un échantillon cisaillé dans le sens contraire au cisaillement monotone (τat=-10 kPa). La contrainte axiale est maintenue à 167 kPa dans les trois cas. Le chemin du cisaillement initial est donné sur la figure 4.7b. Il apparaît (figure 4.7a) que le module de cisaillement maximum est relativement identique pour les trois essais. Toutefois, l’évolution du module de cisaillement tangent (figure 4.7c), immédiatement après le début du cisaillement monotone est influencée par le cisaillement initial. L’influence s’atténue

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES

– 187 –

pour des niveaux plus élevés de distorsion puisque les modules des trois essais se rejoignent par la suite.

a)

,

b)

,

c)

FIGURE 4.7 : Effet d’un cisaillement initial sur le comportement du sable de Toyoura lâc en faibles déformations : a) Relation contrainte-déformation, b) Chemin de sollicitation, c) Dégrada n du module

tangent avec la distorsion [Tatsuoka et Shibuya, 1991]

hti

e o
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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES

– 188 –

4.2.6. Influence de la vitesse de sollicitation

L’influence de la vitesse de sollicitation est un facteur important pour l’étude des sols présentant des caractéristiques visqueuses, par exemple, des sols argileux. Les paramètres mécaniques peuvent varier de façon importante en fonction notamment de la durée de consolidation.

Il a longtemps été supposé que dans le domaine des très petites déformations, le sable était élastique et que son comportement ne dépendait pas de la vitesse de sollicitation. Hardin et Drnevich [1972] montrent que pour une plage de fréquence de 0,1 à 260 Hz, les variations de rigidité mesurées sous des sollicitations cycliques restaient négligeables pour des déformations inférieures à 10-5. Hoque et al [1996] mesurent les modules de plusieurs sables à l’aide d’un essai triaxial sur de grands échantillons. Il montrent que dans la gamme de fréquence choisie, les modules de faibles déformations ne sont que peu influencés par la vitesse de déformation. La figure 4.8 présente le rapport des modules déterminés avec une fréquence de 0,0066 Hz et ceux avec une fréquence de 0,1 Hz. Le rapport très proche de 1 permet aux auteurs de conclure que les effets de la fréquence sont négligeables sur la mesure des modules.

FIGURE 4.8 : Rapport des modules déterminés dans la direction verticale à l’aide d’essais triaxiaux pour une fréquence de 0,0066 Hz et 0,1 Hz en fonction de la pression moyenne [Hoque et al, 1996]

Toutefois, les effets de la vitesse de sollicitations peuvent intervenir. Di Benedetto et Tatsuoka [1997] ont réalisé des essais de fluage (Figure 4.9) et ont mis en évidence l’apparition de déformations visqueuses non négligeables après un certain temps même pour des niveaux de déformation de l’ordre de 10-4. Ils concluent qu’il existe des effets dus à la vitesse de sollicitation sur le sable dans le domaine des petites déformations et que ces effets ne varient d’un matériau à un

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.2. ELEMENTS BIBLIOGRAPHIQUES

– 189 –

autre que par leur niveau et le temps nécessaire pour les observer. Lors de périodes de fluage par exemple, les modules sécants ou tangents dépendent donc (au moins localement) de la vitesse de sollicitation. Ces phénomènes sont aussi susceptibles d’influencer la mesure des propriétés élastiques dans le domaine des petites déformations. L’application d’une période de fluage permet d’obtenir des cycles stabilisés et de s’affranchir de ces phénomènes ce qui permet de mesurer les propriétés en petites déformations à l’aide de sollicitations cycliques.

80

160

240

320

0 0,1 0,2 0,3 0,4

Déviateur axial (kPa)

Déformation axiale (%)

Périodes de fluage

over stress

232

240

248

256

264

0,18 0,2 0,22

Déviateur axial(kPa)

EmaxEt

Début du fluage

Fin du fluageDéformation axiale (%)

FIGURE 4.9 : Essai triaxial de fluage sur le sable Hostun (Pc=80 kPa) [Di Benedetto et a., 2000]

Tous ces phénomènes dépendant du temps sont décrits plus en détails dans le Chapitre 6.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE

– 190 –

4.3. Modules maximaux expérimentaux à l’état isotrope de contraintes

Dans cette partie, l’étude porte sur les modules maximaux déterminés à l’état isotrope de contraintes, à l’aide de l’appareil « T4CStaDy ». Cet état isotrope des contraintes est observé dans l’échantillon lors de la phase de mise sous confinement des échantillons. L’étude de ces modules doit permettre de déterminer l’influence de la pression moyenne, et l’influence de l’indice des vides sur les modules.

Les modules maximaux sont obtenus expérimentalement par deux méthodes différentes. La première méthode permet d’obtenir les modules « quasi-statiques » en appliquant des sollicitations cycliques axiales et de torsion de différentes amplitudes. Dans le cadre de notre campagne expérimentale, les modules équivalents ont été déterminés pour différents états de contraintes à partir de sollicitations cycliques (Chapitre 2). Les différentes amplitudes des cycles appliqués ont permis d’obtenir les modules d’Young et de cisaillement en fonction de différents niveaux des sollicitations, qui couvrent une gamme de déformation de quelques 10-6 jusqu’à quelques 10-4, selon les essais. Les résultats obtenus pour chaque essai peuvent être représentés sous la forme de « courbes de dégradation » des modules en fonction de la déformation. Par exemple, les figures 4.10a et 4.10b présentent respectivement l’évolution des modules d’Young E

EQ

zz et celle des modules de cisaillement GEQ

θz, en fonction respectivement de la déformation axiale εa

SA et de la distorsion, γSA, déterminés à différents niveaux de contraintes lors de l’essai de type « torsion pure » T80.66.

a)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 10 100 1000

Distorsion (10-6)

Mod

ule

de c

isai

llem

ent (

MP

a)

Point 0 - Tau=0 kPa Point 1 - Tau=20 kPa

Point 2 - Tau=45 kPa Point 3 - Tau=0 kPa

Point 4 - Tau=-40 kPa Point 5 - Tau=0 kPa

Point 6 - Tau=20 kPa Point 7 - Tau=40 kPa

b)

0

50

100

150

200

250

1 10 100 1000Déformation axiale (10-6)

Mod

ule

d'Yo

ung

(MPa

)

Point 0 - Tau=0 kPa Point 1 - Tau=20 kPa

Point 2 - Tau=45 kPa Point 3 - Tau=0 kPa

Point 4 - Tau=-40 kPa Point 5 - Tau=0 kPa

Point 6 - Tau=20 kPa Point 7 - Tau=40 kPa

FIGURE 4.10 : Evolution des modules d’Young EEQ

zz (a) et de cisaillement GEQ

θz (b) en fonction de la déformation pour l’essai de type « torsion pure » sur sable dense (e=0,66) et à pression de confinement Pc=80 kPa

Ces modules présentent des valeurs limites maximales pour des déformations inférieures à 10-5. Ces valeurs limites correspondent aux modules maximaux, Emax et Gmax, qui sont qualifiés par la suite de modules maximaux « quasi-statiques ». Les valeurs limites des modules à l’état isotrope de contraintes permettent de déterminer les modules maximaux Emax,0 et Gmax,0.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE

– 191 –

La seconde méthode utilisée est celle qui consiste à déterminer la vitesse de propagation des ondes dans le matériau. Les modules ainsi obtenus sont qualifiés de modules « dynamiques » Edyn et Gdyn et sont comparés aux modules quasi-statiques.

4.3.1. Modules expérimentaux « quasi-statiques »

Pour tous les essais de la campagne expérimentale, présentés en détail au Chapitre 3, les échantillons ont été préparés de manière identique et ne diffèrent initialement que par leur indice des vides, e0. Ils ont ensuite été confinés pour atteindre un état de contrainte isotrope (σz=σθ=σr=P), préalable à tout cisaillement.

Deux catégories d’essais sont distingués pour les résultats obtenus lors des mesures quasi-statiques, compte-tenu des évolutions de l’appareil « T4CstaDy » (cf. paragraphe 3.4). La première catégorie regroupe les essais réalisés avec le système actuel de mesure des déformations (cibles fixées sur deux anneaux et 14 capteurs de déplacements, voir Figure 2.19). Les résultats d’essais précédents sont aussi présentés. Ils ont été réalisés avec l’ancien système de fixation des cibles (fixées sur des épingles piquées dans l’échantillon et seulement 12 capteurs de déplacement). Ils constituent la deuxième catégorie.

Les modules maximaux d’Young et de cisaillement déterminés pour un état de contrainte isotrope sont présentés dans le tableau 4.3 pour les essais les plus récents et dans le tableau 4.2 pour les plus anciens. Pour chaque essai, l’indice des vides initial e0 est indiqué ainsi que la pression de confinement Pc qui définit l’état de contrainte isotrope. Il faut noter que pour quelques essais, les modules ont été mesurés à différents niveaux de pression Pc lors de la mise en confinement. Les différents cycles réalisés alors sont restés dans le domaine des très faibles déformations (inférieures à 2.10-5) pour ne pas perturber l’échantillon.

Essais Pc (kPa) e0 Module d’Young maximal

E0max (MPa)

Module de cisaillement maximal G0

max (MPa) T50.65 50 0,65 232 75

K50.65 50 0,65 255 94

T50.78 50 0,78 203 50

K70.79 70 0,79 185

T80.67 80 0,67 306 83

C80.75

25 50 80

0,75 0,75 0,75

126 217 258

39 55 65

T80.79 80 0,79 235

C80.81 80 0,81 264 129

TABLEAU 4.2 : Modules d’Young et de cisaillement maximaux « quasi-statiques » à l’état isotrope de

contrainte, déterminés par des sollicitations cycliques axiales et de torsion (essais réalisés avec l’ancien système de mesure des déformations)

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE

– 192 –

Essais Pc (kPa) e0 Module d’Young maximal

E0max (Mpa)

Module de cisaillement maximal G0

max (Mpa) C50.64 50 0,64 188 67

K50.72 50 0,72 213 51

C50.81 50 0,81 122 42

K50.82 50 0,82 184 52

C80.63 80 0,63 215 77

T80.66 80 0,66 231 79

T300.72 300 0,72 413 139

C300.74 300 0,74 377 110

K300.74 300 0,74 404 116

C300.86

55 117 155 199 248 283

0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86

164 225 238 283 292 326

53 80 83 95

107 106

T300.90 300 0,90 254 94

C300.95 300 0,95 260 72

K300.99 300 0,99 258 78

TABLEAU 4.3 : Modules d’Young et de cisaillement maximaux « quasi-statiques » à l’état isotrope de

contrainte, déterminés par des sollicitations cycliques axiales et de torsion

Différentes interpolations ont été réalisées à partir de ces résultats et des formules suivantes, déduites de l’étude bibliographique précédente :

E0=αE Erreur !P nE (4.17)

G0=αG Erreur !P nG (4.18)

Les trois paramètres αE, βE et nE sont déterminés pour le module d’Young et αG, βG et nG pour le module de cisaillement, en minimisant l’écart entre les résultats expérimentaux et l’interpolation, par la méthode des moindres carrés.

a) Modules d’Young maximaux « quasi-statiques »

Les résultats obtenus pour le module d’Young sont présentés dans le tableau 4.4. Trois interpolations sont proposées. La première interpolation prend uniquement en compte les anciens essais. La deuxième interpolation est basée uniquement sur les essais réalisés au cours de cette étude. Enfin, la troisième interpolation tient compte de tous les essais réunis, sans aucune distinction. La moyenne et l’écart type des différences relatives Erreur !entre les valeurs expérimentales des modules Eexp et les valeurs données par l’interpolation Ecal sont aussi reportés dans le tableau 4.4.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE

– 193 –

Essais Nombre de mesures

Formule E0 (MPa) (P en MPa) Erreur moyenne Ecart Type

Anciens essais (8) 10 429 Erreur !P 0,566 -0,3 % 6,2 %

Nouveaux essais (13) 18 350 Erreur !P 0,495 0,3 % 9,4 %

Essais réunis (21) 28 292 Erreur !P 0,384 -1,2 % 12,5 %

TABLEAU 4.4 : Différentes interpolations des modules d’Young maximaux à l’état isotrope

Des différences nettes apparaissent entre les anciens essais et les essais réalisés au cours de cette étude. Elles s’expliquent naturellement par les changements apportés au système de mesure des déformations et l’ajout des deux nouveaux capteurs pour la mesure des déformations axiales. Il faut donc se méfier de la formule obtenue en réunissant les résultats de la totalité des essais, qui n’a pas de réelle signification.

Afin de traduire graphiquement l’influence de l’indice des vides, les modules d’Young maximaux initiaux, normalisés par la pression de confinement Pc élevée à la puissance 0,495, sont comparés à la fonction d’indice des vides f(e). Les résultats sont présentés sur la figure 4.11. La puissance appliquée à la pression de confinement et la fonction f(e) sont celles déterminées à l’aide des essais effectués pour cette étude. Les modules d’Young obtenus lors des essais réalisés précédemment ne sont pas correctement modélisés par cette fonction d’indice des vides. Leur valeurs sont en effet plus élevées, ce qui a justifié les changements opérés sur l’appareil « T4CStaDy ».

0

200

400

600

800

1000

1200

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

Indice des vides e

E0 max

/P0,

495

f(e)

Valeurs expérimentales

Valeurs expérimentales(ancien système de mesure)

Ecart type: 9 %

=350 (2,6-e)²1+e

FIGURE 4.11 : Modules d’Young « quasi-statiques » maximaux à l’état isotrope, normés par la pression de confinement comparés à la fonction f(e)

Les modules normalisés par la fonction f(e) dépendant de l’indice des vides sont présentés sur la figure 4.12 afin de montrer l’influence de la pression de confinement. A nouveau, les modules déterminés lors des essais précédents avec l’ancien système de mesure se détachent et présentent des valeurs plus élevées.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE

– 194 –

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 50 100 150 200 250 300 350

Pression de confinement (kPa)

E0 m

ax/f(

e) (M

Pa)

P^0,495

Valeurs expérimentales

Valeurs expérimentales(ancien système de mesure)

Ecart type: 9 %

FIGURE 4.12 : Modules d’Young « quasi-statiques » maximaux à l’état isotrope normés par la fonction f(e) en fonction de la pression de confinement

b) Modules de cisaillement maximaux « quasi-statiques »

Une démarche identique à celle utilisée pour réaliser l’interpolation des modules d’Young maximaux « quasi-statiques » est suivie pour les modules de cisaillement maximaux. Les essais sont d’abord séparés suivant leur ancienneté (c’est-à-dire suivant le dispositif de mesure des déplacements verticaux utilisé) pour présenter deux interpolations différentes. Puis, une interpolation sur la totalité des essais est présentée. Cette dernière est sans doute plus intéressante pour les modules de cisaillement que pour les modules d’Young. Les résultats obtenus pour ces modules ne doivent en effet pas ou très peu être affectés par le changement de dispositif de mesure. Contrairement aux modules d’Young, le nombre de capteurs utilisés pour la mesure des modules de cisaillement est resté identique et la différence entre l’ancien et le nouveau système de fixation des cibles affecte moins la mesure des déplacements orthoradiaux. Le tableau 4.5 regroupe les résultats obtenus pour ces interpolations, ainsi que la moyenne et l’écart type des erreurs relatives Erreur ! des modules de cisaillement expérimentaux Gexp et des modules calculés à l’aide de l’interpolation proposée Gcal.

Essais Nombre de mesures

Formule G0 (MPa) (P en MPa) Erreur moyenne Ecart Type

Anciens essais (7) 9 581 Erreur !P 0,421 -0,3 % 6,3 %

Nouveaux essais (13) 18 130 Erreur !P 0,467 0,1 % 10,6 %

Essais réunis 27 148 Erreur !P 0,454 -0,2 % 10,3 %

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE

– 195 –

(21)

TABLEAU 4.5 : Différentes interpolations des modules de cisaillement maximaux à l’état isotrope

Les résultats des interpolations ne montrent pas une grande différence entre la formule calculée pour les nouveaux essais seuls et celle calculée à partir de tous les essais réunis (notamment pour l’exposant de la pression de confinement). La formule déterminée à partir des résultats des essais plus anciens diffère principalement à cause de la faible gamme de pression qui est prise en compte.

Les figures 4.13 et 4.14 présentent l’influence de l’indice des vides et de la pression de confinement pour ces modules de cisaillement maximaux, à l’état isotrope.

0

50

100

150

200

250

300

350

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

Indice des vides e

G0 m

ax/P

0,45

f(e)

Valeurs expérimentales

Valeurs expérimentales(ancien système de mesure)

Ecart Type : 10%

=148 (2,4-e)²1+e

FIGURE 4.13 : Modules de cisaillement « quasi-statiques » maximaux à l’état isotrope, normés par la pression de confinement comparés à la fonction f(e)

Les modules normalisés par la fonction f(e) dépendant de l’indice des vides sont présentés sur la figure 4.14 afin de montrer l’influence de la pression de confinement.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE

– 196 –

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 50 100 150 200 250 300 350

Pression de confinement (kPa)

G0 m

ax/f(

e) (M

Pa)

P^0,45

Valeurs expérimentales

Valeurs expérimentales(ancien système de mesure)

Ecart Type : 10%

FIGURE 4.14 : Modules de cisaillement « quasi-statiques » maximaux à l’état isotrope, normés par la fonction f(e) et tracés en fonction de la pression de confinement

4.3.2. Modules expérimentaux « dynamiques »

Ces modules sont directement obtenus à l’aide des mesures de vitesse de propagation d’ondes. Les expressions 4.19 et 4.20 (identiques aux expressions 2.95 et 2.96 déterminées au Chapitre 2) sont utilisées pour lier les vitesses estimées aux modules de déformation :

Edyn= ρ Vp2 et Gdyn= ρ Vs

2 (4.19 et 4.20)

L’analyse des mesures dynamiques, réalisée au Chapitre 3, a permis de montrer que l’expression 4.19 ne permet pas d’obtenir la meilleure corrélation entre les modules d’Young « quasi-statiques » et les modules d’Young « dynamiques ». Cette expression a été choisie pour sa simplicité au début de l’étude, et parce qu’elle ne requiert aucun hypothèse sur la valeur du coefficient de Poisson. Les valeurs qu’elle fournit pour le module d’Young « dynamique » sont supérieures de 10% environ aux valeurs du module d’Young « quasi-statique ». D’autres expressions, déterminées au Chapitre 1, permettent d’obtenir une très bonne corrélation entre les modules d’Young « dynamiques » et « quasi-statiques ». Elles sont obtenues en supposant que la propagation d’ondes s’effectue dans un milieu semi-infini lors de l’analyse inverse, ce qui nécessite de connaître la valeur du coefficient de Poisson. Néanmoins, pour la suite de ce chapitre, les valeurs des modules d’Young « dynamiques » prises en compte sont celles déterminées à l’aide de l’expression 4.19. Il convient de garder à l’esprit que ces valeurs dépendent du choix du comportement pour l’analyse inverse et qu’elles peuvent être abaissées d’environ 10% en choisissant une loi de comportement plus appropriée à l’échantillon de l’appareil « T4CStaDy ».

Contrairement aux mesures quasi-statiques, il n’est pas nécessaire de séparer les essais plus anciens des plus récents. La détermination des vitesses de propagation des ondes s’est toujours effectuée de la même façon. Dans le tableau 4.6 sont regroupées les valeurs des modules de déformation dynamiques à l’état isotrope, E0,dyn et G0,dyn .

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE

– 197 –

Essais P (kPa) e0 ρ (kg/m3) E0,dyn (MPa) G0,dyn (MPa) C50.64 50 0,64 1619 204 84 T50.65 50 0,65 1616 228 98 K50.65 50 0,65 1607 210 84 K50.72 50 0,72 1539 117 56 C50.81 50 0,81 1462 109 60 K50.82 50 0,82 1460 155 78

C50.85 20 50

0,85 0,85 1434 –

141 36 57

K50.86 50 0,86 1424 141 65 C50.88 50 0,88 1413 127 53 C80.63 80 0,63 1627 262 113 T80.67 80 0,67 1586 262 105

T300.72 300 0,72 1539 430 182

C300.74 150 300

0,74 0,74 1525 320

429 131 178

K300.74 150 300

0,74 0,74 1523 203

456 70 168

K300.75 52 0,75 1519 203 70

C300.86

55 117 155 199 248 283

0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,86

1425

172 237 261 288 316 354

71 98 107 116 130 138

T300.90 50 300

0,90 0,90 1397 158

313 50 113

T300.92 50 150 300

0,92 0,92 0,92

1379 151 232 297

55 87 133

C300.95 300 0,95 1356 295 106

T300.98 50 300

0,98 0,98 1341 –

289 48 114

K300.99 300 0,99 1337 302 103

TABLEAU 4.6 : Modules d’Young et de cisaillement « dynamiques » à l’état isotrope

Une méthode d’interpolation identique à celle utilisée pour les modules « quasi-statiques » est mise en oeuvre. Les résultats obtenus à l’état de contraintes isotrope initial pour les modules d’Young « dynamiques » sont présentés puis ceux pour les modules de cisaillement « dynamiques ».

a) Modules d’Young « dynamiques »

Deux interpolations ont été réalisées à partir des résultats expérimentaux des modules d’Young « dynamiques » à l’état isotrope de contraintes. L’une prend en compte l’ensemble des mesures disponibles, et la seconde exclut les résultats de deux essais K50.72 et C50.81. Les expressions obtenues sont présentées dans le tableau 4.7.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE

– 198 –

Essais Nombre de mesures

Formule G0 (MPa) (P en MPa) Erreur moyenne Ecart Type

Tous les essais (21) 31 387 Erreur !P 0,493 -1,5 % 12,3 %

Tous les essais exceptés C50.81 et K50.72 (19) 29 364 Erreur !P 0,465 0,1 % 6,3 %

TABLEAU 4.7 : Différentes interpolations des modules d’Young dynamiques à l’état isotrope

Les résultats de deux essais (C50.81 et K50.72) donnent en effet des résultats très éloignés du faisceau englobant les autres valeurs. L’imprécision est sans aucun doute due à la faible amplitude des signaux reçus par les capteurs piézo-électriques lors de ces deux essais. La lecture du temps de parcours de l’onde n’a pas pu être estimée avec suffisamment de confiance. La figure 4.15 présente l’évolution des modules normés par la fonction f(e), qui permet d’apprécier l’influence de la pression de confinement.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 50 100 150 200 250 300 350

Pression de confinement (kPa)

E0 dyn/f

(e) (

MP

a)

P̂ 0,465

Modules d'Young dynamiques mesurés

Essais: C50.81, K50.72

Ecart type = 6%

FIGURE 4.15 : Modules d’Young dynamiques à l’état isotrope, normés par la fonction f(e) en fonction de la pression de confinement

Sur la figure 4.16 sont présentés les modules d’Young dynamiques normés par la pression de confinement comparés à la fonction d’indice des vides f(e).

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE

– 199 –

0

200

400

600

800

1000

1200

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

Indice des vides e

Edy

n/P0,

465

f(e)

Modules d'Young dynamiques mesurés

Essais: C50.81, K50.72

=387 (2,61-e)2

1+e

Ecart type = 6%

FIGURE 4.16 : Modules d’Young dynamiques à l’état isotrope, normés par la pression de confinement, comparés à la fonction d’indice des vides f(e)

Pour les deux figures 4.15 et 4.16, les courbes d’interpolation choisies excluent les résultats des essais C50.81 et K50.72. Le fuseau de résultats pour les modules d’Young dynamiques est plus étroit que celui des modules d’Young quasi-statiques, ce qui montre une meilleure précision des mesures dynamiques.

b) Modules de cisaillement « dynamiques »

Pour le module de cisaillement, deux nouvelles interpolations sont proposées. La valeur obtenue pour le module de cisaillement dynamique lors de l’essai K50.72 semble bien plus faible que la valeur attendue. Comme pour les modules d’Young, il semble que les résultats de cet essai doivent être mis à l’écart, au moins à l’état isotrope. Les résultats des deux interpolations (avec et sans les résultats de l’essai K50.72) sont présentés dans le tableau 4.8. Il n’y a finalement que peu de différences entre ces résultats puisque la correction apportée ne concerne qu’une valeur sur 33. Néanmoins, l’écart type des erreurs relatives est tout de même plus restreint sans la valeur de l’essai K50.72.

Essais Nombre de mesures

Formule G0 (MPa) (P en MPa) Erreur moyenne Ecart Type

Tous les essais (21) 33 195 Erreur !P 0,472 -0,1 % 10,1 %

Tous les essais exceptés K50.72

(19) 32 197 Erreur !P 0,462 0,0 % 8,9 %

TABLEAU 4.8 : Interpolations des modules de cisaillement dynamiques à l’état isotrope

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE

– 200 –

La figure 4.17 représente l’influence de la pression de confinement sur les modules de cisaillement dynamiques à l’état isotrope. Ceux-ci sont normalisés par la fonction d’indice des vides f(e) obtenue par la seconde interpolation (ne tenant pas compte du résultat de l’essai K50.72).

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 50 100 150 200 250 300 350

Pression de confinement (kPa)

G0 dy

n/f(e

) (M

Pa)

P^0,46Modules de cisaillement expérimentauxModule de cisaillement : essai K50.72

Ecart type = 9%

FIGURE 4.17 : Modules de cisaillement dynamiques à l’état isotrope, normés par la fonction f(e), en fonction de la pression de confinement

La figure 4.18 présente la fonction d’indice des vides obtenue, comparée aux valeurs expérimentales du module de cisaillement « dynamique » normé par la pression de confinement élevée à la puissance 0,46.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

Indice des vides e

G0 dy

n/P0,

46

f(e)

Modules de cisaillement expérimentaux

Module de cisaillement : essai K50.72

=197 (2,38-e)2

1+e

Ecart type = 9 %

FIGURE 4.18 : Modules de cisaillement dynamiques, à l’état isotrope, normés par la pression de confinement comparés à la fonction d’indice des vides f(e)

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE

– 201 –

4.3.3. Comparaison avec des expressions issues de la bibliographie

Plusieurs formules ont pu être calculées à partir d’expressions classiques pour déterminer les modules d’Young et les modules de cisaillement à l’état isotrope de contraintes, dans le domaine des très petites déformations. Les modules « quasi-statiques » ont permis de déterminer l’expression suivante pour le module d’Young « quasi-statique » à l’état isotrope de contraintes :

Emax,0 = 350 Erreur !P 0,495 (4.21)

Alors que les modules « dynamiques » ont permis de déterminer l’expression qui suit, pour le module d’Young « dynamique » à l’état de contraintes isotrope :

Edyn,0 = 364 Erreur !P 0,465 (4.22)

Dans la littérature, les modules maximaux à l’état isotrope ont été exprimés pour le sable d’Hostun par différents auteurs :

Emax,0 = 1568 Erreur !P 0,5 par Rivera [1988] (4.23)

Emax,0 = 940 Erreur !P 0,5 par Charif [1991] (4.24)

Emax,0 = Erreur !P 0,5 par Hicher [1996] (4.25)

Gmax,0 = 118 Erreur !P 0,4 par Ktari [1986] (4.26)

Gmax,0 = 89 Erreur !P 0,46 par Hameury [1995] (4.27)

Quelques comparaisons sont proposées entre les expressions déterminées au cours de cette étude et ces expressions tirées de la littérature. Les comparaisons sont menées pour les modules d’Young. Hameury [1995] et Ktari [1986] donnent les expressions du module de cisaillement. Hameury [1995] propose d’utiliser l’hypothèse d’un comportement élastique linéaire isotrope pour déterminer le module d’Young. Il détermine une valeur du coefficient de Poisson de 0,22 à partir de ses résultats expérimentaux. Le même calcul est réalisé pour déterminer l’expression du module d’Young à partir de l’expression donnée par Ktari [1986] avec une valeur du coefficient de Poisson fixée à 0,22. Dans le cas d’un comportement élastique linéaire isotrope, le module d’Young E et le module de cisaillement G sont liés par l’expression suivante :

E = 2G(1+ν) (4.28)

où ν est le coefficient de Poisson.

a) Influence de la pression de confinement

La figure 4.19 présente l’évolution des modules d’Young maximaux déterminés à partir de ces différentes expressions (Equation 4.23 à 4.27) ainsi que les deux expressions déterminées lors de notre étude, à partir des mesures quasi-statiques (Equation 4.21) et dynamiques (Equation 4.22), en fonction de la pression de confinement. L’indice des vides a été fixé à la valeur de 0,75.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE

– 202 –

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 50 100 150 200 250 300 350

Pression de confinement (kPa)

Mod

ule

d'Yo

ung

initi

al (M

Pa)

Charif [1991]Rivera [1988]Hicher [1996]Ktari [1986]Hameury [1995]Etude présente (modules "q-s")Etude présente (modules "dyn")

e=0,75

FIGURE 4.19 : Evolution des modules d’Young maximaux à l’état isotrope exprimés par différents auteurs (Equations 4.23 à 4.27 et un coefficient de Poisson de 0,22) et déterminés lors de la présente étude à partir

des résultats de mesures quasi-statiques (« q-s ») et dynamiques (« dyn ») (Equations 4.36 et 4.42), en fonction de la contrainte de confinement, pour un indice des vides de 0,75

L’expression déterminée à l’aide des résultats « dynamiques » obtenus lors de l’étude présente donne des valeurs plus élevées que toutes les autres expressions. Lors de l’analyse des résultats réalisée au Chapitre 3, il a été montré que l’expression utilisée pour déterminer les valeurs des modules d’Young à partir des mesures de vitesses de propagation n’est pas appropriée. Les résultats obtenus en choisissant des hypothèses correspondant mieux au milieu étudié lors de l’analyse inverse permettent d’obtenir des valeurs de modules d’Young inférieures de 10% à celles obtenues. Dans ce cas, la courbe obtenue pour la figure 4.19 entre dans le fuseau des autres courbes. Sur la Figure 4.19, la courbe représentant les valeurs calculées à partir de l’expression donnée par Hicher [1996] est éloignée du fuseau. Cependant, la formule qu’il propose est une expression simplifiée, destinée à s’appliquer à de nombreux matériaux.

b) Influence de l’indice des vides

La figure 4.31 compare les différentes expressions permettant de déterminer les modules maximaux à l’état isotrope. Les modules d’Young sont représentés en fonction de l’indice des vides pour un pression de confinement de 100 kPa.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE

– 203 –

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

Indice des vides

Mod

ule

d'Yo

ung

max

imal

à l'

état

isot

rope

(MPa

)

Charif[1991]Rivera[1988]Hicher [1996]Ktari [1986]Hameury [1995]Etude présente (modules "q-s")Etude présente (modules "dyn")

P=100 kPa

FIGURE 4.20 : Evolution des modules d’Young maximaux à l’état isotrope exprimés par différents auteurs (Equations 4.23 à 4.27 et un coefficient de Poisson de 0,22) et déterminés lors de la présente étude à partir

des résultats de mesures quasi-statiques (« q-s ») et dynamiques (« dyn ») (Equations 4.36 et 4.42), en fonction de l’indice des vides, pour une pression de confinement de 100 kPa

Les différences entre les diverses expressions sont cette fois-ci plus marquée, ce qui s’explique par le choix des auteurs concernant la fonction d’indice des vides. Les valeurs données par l’expression déterminée à l’aide des résultats « dynamiques » obtenus lors de l’étude présente sont une nouvelle fois plus élevées, ce qui s’explique par l’expression choisie pour lier les mesures des vitesses de propagation aux modules d’Young.

4.3.4. Conclusion

Plusieurs expressions ont été calculées pour prendre en compte l’influence de l’indice des vides et de la pression de confinement sur les modules d’Young et les modules de cisaillement dans le domaine des très petites déformations, à l’état isotrope de contraintes, en se fondant sur des formulations devenues classiques dans la littérature.

Pour les modules maximaux « quasi-statiques », il convient de faire la distinction entre les essais réalisés au cours de cette étude, qui ont bénéficiés d’un nouveau système de mesure des déformations axiales et de la distorsion, et des essais plus anciens. La comparaison entre les modules d’Young pour tous ces essais montre que les améliorations apportées au montage (cf. Chapitre 2) ont permis de réduire significativement les valeurs des modules jugées trop élevées.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE

– 204 –

L’interpolation des modules d’Young et de cisaillement « quasi-statiques » déterminés à l’état isotrope de contraintes permet de déterminer l’influence de l’indice des vides e et de la pression de confinement Pc, égale à la pression moyenne P pour cet état de contrainte. Les expressions suivantes ont été obtenues :

Emax,0 = 350 Erreur !P 0,495 et GErreur ! = 130 Erreur !P 0,467 (4.29) et (4.30)

Pour les modules « dynamiques », cette distinction n’est pas nécessaire entre les différents essais puisque la méthode de détermination de la vitesse de propagation des ondes est identique entre les essais. Deux expressions ont donc été déterminées pour prendre en compte l’influence de l’indice des vides et de la pression de confinement :

Edyn,0 = 364 Erreur !P 0,465 et GErreur ! = 197 Erreur !P 0,462 (4.31) et (4.32)

Les expressions obtenus pour les modules d’Young s’intègrent de façon très satisfaisante parmi les résultats obtenus par d’autres auteurs, en tenant compte de l’écart sur les valeurs des modules d’Young « dynamiques » qui s’explique par l’expression simple choisie pour calculer les modules d’Young à partir des vitesses de propagation d’ondes.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE

– 205 –

4.4. Détermination du coefficient de Poisson à l’état de contrainte isotrope

Le coefficient de Poisson peut être déterminé de deux manières différentes. La première méthode consiste à mesurer les déformations radiales en même temps que les déformations axiales, pour un essai triaxial classique. La seconde méthode, indirecte, nécessite de faire l’hypothèse d’un comportement élastique linéaire isotrope. Le coefficient de Poisson est alors calculé à partir des modules d’Young et de cisaillement. Dans le cas d’un comportement élastique linéaire isotrope, le module d’Young E et le module de cisaillement G sont liés par l’expression suivante :

E = 2G(1+ν) (4.33)

où ν est le coefficient de Poisson.

L’analyse des résultats expérimentaux réalisée au Chapitre 3 a permis de déterminer de façon directe les valeurs du coefficient de Poisson à l’état isotrope. Le coefficient de Poisson peut en effet être déterminé à l’aide des mesures de déformations radiale et orthoradiale réalisées sur l’appareil « T4CStaDy ». Ces deux mesures permettent de déterminer les coefficients de Poisson νrz reliant la déformation radiale à la déformation axiale et νθz liant la déformation orthoradiale et la déformation axiale :

νrz = -Erreur ! = -Erreur ! et νθz = -Erreur ! = -Erreur ! (4.34) et (4.35)

Les valeurs moyennes obtenues sont 0,273 pour νrz et 0,206 pour νθz à l’état de contrainte isotrope initial. L’hypothèse d’un comportement élastique linéaire isotrope implique que les deux valeurs soient égales. Malgré les différences obtenues expérimentalement, cette hypothèse n’est pas à exclure compte-tenu de l’incertitude sur la mesure de la déformation radiale, dont dépend νrz et νθz. L’analyse des résultats a en outre montré que cette hypothèse de comportement est compatible avec les valeurs mesurées pour les autres termes du tenseur (M

EQ

rγ , MEQ

θγ, MEQ

zγ et MEQ

γz qui peuvent être considérés comme nuls à l’état de contrainte isotrope).

Dans les paragraphes suivants, l’hypothèse d’un comportement élastique linéaire isotrope est admise, assez raisonnablement d’après les remarques précédentes. La seconde méthode de calcul est alors utilisée pour déterminer la valeur du coefficient de Poisson à l’état isotrope de contraintes, à partir des modules d’Young et des modules de cisaillement (Equation 4.33). Les modules « quasi-statiques » sont utilisés tout d’abord et ensuite, les modules « dynamiques ».

4.4.1. Coefficient de Poisson calculé à partir des modules « quasi-statiques »

Dans le cas d’un comportement parfaitement élastique isotrope, le coefficient de Poisson ν se déduit du module d’Young E et du module de cisaillement G par la formule :

ν = Erreur !– 1 (4.36)

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE

– 206 –

L’application directe de l’expression 4.36 pour chaque essai pris séparément ne permet pas d’obtenir des valeurs réalistes pour le coefficient de Poisson. Un rapide calcul d’erreur permet d’obtenir la relation entre l’erreur relative du coefficient de Poisson (δν/ν) due aux erreurs relatives des modules (δE/E et δG/G) :

δν ν = Erreur !Erreur !≈ 6Erreur ! (4.37)

Dans le cas attendu où le coefficient de Poisson est égal à 0,2, l’erreur commise sur le coefficient de Poisson est égale à 6 fois la somme des erreurs sur chacun des modules. Pour une erreur acceptable de l’ordre de 10% sur les modules, il est possible d’avoir une erreur de 120% sur le coefficient de Poisson.

Cependant, les deux expressions 4.29 pour le module d’Young et 4.30 pour le module de cisaillement peuvent être utilisées pour évaluer le coefficient de Poisson νqs. L’expression obtenue fait intervenir l’indice des vides e et la pression de confinement (égale à la pression moyenne) P :

νqs = 1,35 Erreur !P 0,028 - 1 (4.38)

Dans ce cas, les valeurs du coefficient de Poisson s’échelonnent en fonction de l’indice des vides autour d’une courbe moyenne croissant de 0,40 à 0,50 pour des pressions de confinement de 50 kPa à 300 kPa. Les valeurs obtenues sont trop élevées par rapport à la valeur attendue proche de 0,20. Cette observation confirme le fait que les modules de cisaillement mesurés sont sous-évalués.

Le calcul précédent donne une expression du coefficient de Poisson, dépendant de l’indice des vides et de la pression moyenne, puisque les fonctions d’indice des vides et les exposants de la pression moyenne sont différents pour les modules d’Young et les modules de cisaillement. Il est possible de supposer le coefficient de Poisson constant, pour obtenir une unique fonction d’indice des vides f(e) et une unique valeur n pour la puissance de la pression moyenne P. Dans ce cas, une nouvelle interpolation doit être réalisée. L’interpolation est réalisée sur les valeurs du module d’Young :

d’une part les valeurs expérimentales des modules d’Young « quasi-statiques » mesurés à l’état isotrope,

d’autre part les valeurs des modules d’Young calculés à partir des modules de cisaillement « quasi-statiques » en fonction du coefficient de Poisson νqs (Equation 4.33).

Le coefficient de Poisson νqs est alors ajusté pour déterminer la meilleure interpolation sur l’ensemble des valeurs du module d’Young. La figure 4.21 représente l’évolution des modules d’Young en fonction de l’indice des vides et en fonction de la pression de confinement pour l’interpolation retenue.

La valeur du coefficient de Poisson ainsi estimé est 0,453 et l’expression obtenue pour les modules d’Young et les modules de cisaillement « quasi-statiques » est la suivante :

Emax,0 = 387 Erreur !P 0,468 (4.39)

Gmax,0 = Emax,0

2(1+νqs) = 133 Erreur !P 0,468 (4.40)

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE

– 207 –

νqs = 0,453 (4.41)

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

Indice des vides e

E0 m

ax/P

0,46

8

f(e)

Valeurs expérimentales E

E calculés à partir des valeursexpérimentales de G

Ecart Type : 10%

=387 (2,48-e)²1+e

ν = 0,453

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 50 100 150 200 250 300 350Pression de confinement (kPa)

E0 m

ax/f(

e) (M

Pa)

P^0,468

Valeurs expérimentales E

E calculés à partir des valeursexpérimentales de G

Ecart Type : 10%

FIGURE 4.21 : Evolution des modules d’Young à l’état isotrope, mesurés d’une part et calculés à partir des modules de cisaillement expérimentaux d’autre part, comparée à l’évolution donnée par l’expression 4.36

La valeur de 0,453 obtenue pour le coefficient de Poisson par cette méthode d’interpolation permet d’estimer l’erreur systématique commise sur le module de cisaillement. La valeur attendue du coefficient de Poisson se situant autour de 0,20, et en supposant les valeurs du module d’Young correctes, le module de cisaillement mesuré est environ 20% inférieur aux valeurs attendues.

4.4.2. Coefficient de Poisson calculé à partir des modules « dynamiques »

Dans le cadre de l’hypothèse d’un comportement élastique isotrope, les modules d’Young et de cisaillement sont liés par l’intermédiaire du coefficient de Poisson (Equation 4.36).

En supposant qu’il demeure indépendant de la pression de confinement et de l’indice des vides, il est possible d’évaluer le coefficient de Poisson. Pour cela, la méthode utilisée demeure identique à celle utilisée pour les modules « quasi-statiques » ; il s’agit d’obtenir la meilleure interpolation des modules d’Young (ceux mesurés expérimentalement ainsi que ceux calculés à partir des modules de cisaillement) en déterminant la meilleure valeur possible pour le coefficient de Poisson.

L’expression ainsi obtenue pour les modules d’Young et les modules de cisaillement « dynamiques » à l’état isotrope est la suivante :

Edyn,0 = 417 Erreur !P 0,462 (4.42)

Gdyn,0 = E0,dyn

2(1+νqs) = 168 Erreur !P 0,462 (4.43)

νdyn = 0,238 (4.44)

Le coefficient de Poisson déterminé a la valeur de 0,238. Cette valeur semble bien meilleure que celle obtenue à partir des modules expérimentaux « quasi-statiques ». Elle se situe en effet proche des valeurs données dans la littérature et de la valeur 0,2de νθz.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.3 MODULES MAXIMAUX EXPERIMENTAUX A L’ETAT ISOTROPE

– 208 –

Afin de visualiser la qualité de l’interpolation, les valeurs expérimentales des modules d’Young « dynamiques » et celles calculées à partir des modules de cisaillement expérimentaux sont comparées à la fonction d’indice des vides et à la pression de confinement à la puissance 0,46 sur la figure 4.22.

0

200

400

600

800

1000

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

f(e)

E mesurés

E calculés à partir des G mesurés

E0dy

n /P0,

48

Indice des vides e

=417 (2,50-e)2

1+e

Ecart type = 8%

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 50 100 150 200 250 300 350

P^0,46

E mesurés

E calculés à partir des G mesurés

Ecart type = 8%

Pression de confinement (kPa)

E0dy

n /f(e)

FIGURE 4.22 : Evolution des modules d’Young dynamiques, à l‘état isotrope, mesurés et calculés à partir des modules de cisaillement dynamiques expérimentaux, comparée à l’évolution donnée par l’expression 4.42

Les deux valeurs du coefficient de Poisson, à l’état isotrope de contraintes, déterminés à partir des modules « quasi-statiques » et des modules « dynamiques » sont très différentes. L’explication tient au fait que le module de cisaillement « quasi-statique » est sous-estimé. Néanmoins, l’évaluation du coefficient de Poisson par ce calcul permet d’obtenir des fonctions d’indices des vides et des exposants pour la pression de confinement très proches pour les modules « dynamiques » et « quasi-statiques » :

Emax,0 = 387 Erreur !P 0,468 et EErreur ! = 417 Erreur !P 0,462

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.5 EVOLUTION DES MODULES EN FONCTION DE LA CONTRAINTE

– 209 –

4.5. Evolution des modules maximaux en fonction de l’état de contrainte

La pression moyenne a souvent été considérée comme étant le paramètre à prendre en compte pour modéliser les modules d’Young ou de cisaillement. Cependant, comme le montrent les mesures du module d’Young lors de l’essai C300.86, la pression moyenne n’est pas suffisante pour expliquer certaines évolutions. La figure 4.32 présente les valeurs obtenues pour le module d’Young maximal en fonction de la pression moyenne. Jusqu’à une pression de 283 kPa, l’échantillon a été soumis à une compression isotrope (augmentation de la pression de confinement). A partir de cet état de contrainte isotrope, un essai de compression a commencé durant lequel seul le déviateur axial a augmenté. Pour cette phase de l’essai, la pression moyenne n’est plus un paramètre pertinent pour modéliser l’évolution du module d’Young maximal.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

50 100 150 200 250 300 350 400

Pression moyenne (kPa)

Mod

ule

d'Y

oung

max

imal

(Mpa

)

Emax dynamiques (Compression isotrope)

Emax quasi-statique (compression isotrope)

Emax dynamiques (Déviateur axial appliqué)

Emax quasi-statique (Déviateur axial appliqué)

E0 Modèle

Compression isotropeApplication d'un déviateur axial

Pc=283 kPa

FIGURE 4.23 : Evolution du module d’Young maximal lors de l’essai C300.86 (mesures dynamiques et quasi-statiques) comparée au modèle obtenu pour le module d’Young maximal à l’état isotrope

4.5.1. Etat de contraintes sans rotation d’axes principaux

Les essais de type « compression » qui ont été réalisés doivent permettre d’étudier l’influence de la contrainte axiale σz sur l’évolution des modules de déformation. Au cours de ces essais, les contraintes horizontales demeurent constantes, égales à la pression de confinement Pc appliquée en début d’essai. Les modules d’Young Ezz et de cisaillement Gθz sont déterminés tout au long de l’essai pour différentes valeurs du déviateur axial.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.5 EVOLUTION DES MODULES EN FONCTION DE LA CONTRAINTE

– 210 –

a) Evolution du module d’Young en fonction de la contrainte axiale

Les différentes études présentées auparavant montrent que le module d’Young déterminé dans une direction ne semble influencé que par la valeur de la contrainte dans cette direction (pour des états de contrainte sans rotation des axes). Une fonction puissance est utilisée pour relier les deux paramètres. Par conséquent, il convient de déterminer l’influence de la contrainte verticale sur les modules d’Young déterminés durant cette étude. Afin de s’affranchir de l’influence des indices des vides (dont les variations peuvent être considérées comme négligeables lors de l’essai), différents selon les essais, les modules d’Young sont normés par la valeur du module d’Young déterminé à l’état initial Emax,0. Cet état initial est défini par un état de contrainte isotrope avec une contrainte verticale :

σz0 = σr = σθ = Pc (4.45)

La figure 4.24 présente l’évolution des modules d’Young maximaux déterminés au cours des essais de compression en fonction de la contrainte verticale. Chacun de ces deux paramètres est normé par sa valeur à l’état initial et le logarithme des valeurs normées est considéré. Certaines valeurs des essais de type « torsion à K0 » sont aussi représentées. Pour ces essais, les modules d’Young utilisés sont ceux mesurés durant la phase de consolidation anisotrope (qui correspond à un essai de type « compression ») qui précède la phase du chargement en torsion. A la fin de la consolidation la contrainte verticale vaut deux fois la pression de confinement (sur la figure 4.24, les abscisses de ces points ne dépassent pas log(2)≈0,30). Sur la figure 4.24 apparaît un point pour lequel le module d’Young semble plus élevé que le module d’Young à l’état initial, alors que la valeur de la contrainte axiale est égale à la valeur de la contrainte axiale initiale. Ce point appartient à l’essai C50.81. Il s’agit en fait d’un module déterminé à un état de contrainte isotrope (équivalent à l’état de contrainte initial) mais mesuré après un chargement puis un déchargement axial. Le module obtenu alors n’est pas égal au module déterminé à l’état initial.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

C50.64C50.81C50.88C80.63C80.75C300.74C300.86C300.95K300.74K300.99K50.65

Logarithme du rapport des contraintes σz/σz0

Loga

rithm

e du

rapp

ort d

es m

odul

es

d'Y

oung

Em

ax/E

max

0

10,492

44 points

FIGURE 4.24 : Evolution du module d’Young « quasi-statique » en fonction de la contrainte verticale au cours des essais de type « compression » et de type « torsion à K0 » avant la rotation des axes principaux –

Le module Emax et la contrainte axiale σz sont normés par leur valeur respective, Emax0 et σz0, à l’état isotrope

initial et le logarithme décimal est considéré

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.5 EVOLUTION DES MODULES EN FONCTION DE LA CONTRAINTE

– 211 –

En considérant tous les essais sans distinction, une relation linéaire est proposée entre le logarithme du module d’Young normé et le logarithme de la contrainte axiale normée. Cette relation conduit à l’expression suivante qui donne l’évolution du module d’Young maximal « quasi-statique » en fonction de la contrainte verticale appliquée :

Emax = Emax

, 0 Erreur ! (4.46)

avec Emax

, 0 la valeur du module d’Young maximal quasi-statique déterminée pour une contrainte axiale de σz0 correspondant à un état de contraintes isotrope. Cette relation est représentée sur la figure 4.25 avec tous les points de mesure et l’écart type des erreurs relatives calculé à 8%.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0

Rapport des contraintes σz/σz0

Rap

port

des

mod

ules

d'Y

oung

Em

ax/E

max

0

Ecart type : 8%

EmaxEmax σz

0=

σz0

0,492

FIGURE 4.25 : Evolution du module d’Young maximal « quasi-statique » en fonction de la contrainte verticale et interpolation proposée

La même démarche est adoptée pour les modules d’Young « dynamiques ». Les essais sont différents compte-tenu de la disponibilité des mesures de propagation d’ondes. La figure 4.26 présente donc l’évolution du module d’Young « dynamique » normé par la valeur mesurée à l’état isotrope initial en fonction de la contrainte verticale, normée aussi par sa valeur initiale. Des mesures réalisées lors des essais de type « compression » et lors des essais de type « torsion à K0 » sont utilisées. Ces mesures ont été réalisées en des points pour lesquels l’échantillon n’a subi qu’un essai de compression axiale, ce qui est le cas pour tous les points des essais de compression et pour les points de la phase initiale de consolidation anisotrope des essais de « torsion à K0 ».

Une interpolation linéaire dans les axes logarithmiques est réalisée et permet de déterminer l’évolution des modules d’Young « dynamiques » en fonction de la contrainte axiale :

Edyn = Edyn0 Erreur ! (4.47)

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.5 EVOLUTION DES MODULES EN FONCTION DE LA CONTRAINTE

– 212 –

avec Edyn0 la valeur du module d’Young « dynamique » déterminée pour une contrainte axiale de σz0

pour un état de contraintes isotrope.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

C50.64

C50.88

C80.63

C300.74

C300.86

C300.95

K300.74

K300.99

K50.65

K50.82

Logarithme du rapport des contraintes σz/σz0

Loga

rithm

e du

rapp

ort d

es m

odul

es

d'Y

oung

Edy

n /Edy

n 0 1

0,469

42 points

FIGURE 4.26 : Evolution des modules d’Young « dynamiques » en fonction de la contrainte verticale au cours des essais de type « compression » et de type « torsion à K0 » avant la rotation des axes principaux –

Les modules Edyn et les contraintes σz sont normés par leur valeur respective, Edyn0 et σz0, à l’état isotrope

initial et le logarithme décimal est considéré Afin de mieux rendre compte de l’évolution des modules d’Young « dynamiques » en fonction de la contrainte axiale , la relation obtenue est tracée sur la figure 4.27 dans des axes non logarithmiques en superposant les différentes mesures disponibles. La valeur de l’écart type des différences relatives entre les mesures et l’interpolation est calculée.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0

Rapport des contraintes σz/σz0

Rap

port

des

mod

ules

d'Y

oung

Edy

n /Edy

n 0 Ecart type : 6,5%

EdynEdyn σz

0=

σz0

0,469

FIGURE 4.27 : Evolution du module d’Young « dynamique » en fonction de la contrainte verticale et interpolation proposée

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.5 EVOLUTION DES MODULES EN FONCTION DE LA CONTRAINTE

– 213 –

b) Evolution du module de cisaillement en fonction de la contrainte axiale

Le module de cisaillement est sensé dépendre de la contrainte axiale par l’intermédiaire d’une fonction puissance. Comme pour les modules d’Young, les modules de cisaillement « quasi-statiques » sont d’abord traités puis les modules de cisaillement « dynamiques ». Les mesures réalisées lors des essais de compression sont utilisées, ainsi que les mesures réalisées lors de la phase de consolidation anisotrope des essais de type « torsion à K0 ». Cette phase correspond tout simplement à un essai de compression. Afin de s’affranchir des différences de pression de confinement et d’indice des vides entre essais, les modules de cisaillement sont normés pour chaque essai par la valeur mesurée à l’état isotrope initial.

La figure 4.28 présente l’évolution des modules de cisaillement normés en fonction de la contrainte verticale, normée elle aussi par sa valeur à l’état isotrope, dans des axes logarithmiques.

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

C50.64C50.88C80.63C80.75C300.74C300.86C300.95K300.74K300.99K50.65K50.72K50.82

Logarithme du rapport des contraintes σz/σz0

Loga

rithm

e du

rapp

ort d

es m

odul

es

de c

isai

llem

ent G

max

/Gm

ax0

10,239

FIGURE 4.28 : Evolution du module de cisaillement « quasi-statique » en fonction de la contrainte verticale au cours des essais de type « compression » – Le module Gmax et la contrainte axiale σz sont normés par leur

valeur respective , Gmax

, 0 et σz0 , à l’état isotrope initial et le logarithme décimal est considéré

Une régression linéaire est proposée dans ces axes logarithmiques. Cette régression conduit à l’expression suivante qui donne l’évolution du module de cisaillement maximal « quasi-statique » en fonction de la contrainte verticale appliquée :

Gmax = Gmax

, 0 Erreur ! (4.48)

avec Gmax

, 0 la valeur du module de cisaillement maximal « quasi-statique » déterminée pour une contrainte axiale de σz0 correspondant à un état de contraintes isotrope. Cette relation est représentée sur la figure 4.29 avec tous les points de mesure et l’écart type des erreurs relatives calculé à 7% environ.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.5 EVOLUTION DES MODULES EN FONCTION DE LA CONTRAINTE

– 214 –

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0

Rapport des contraintes σz/σz0

Rap

port

des

mod

ules

de

cisa

illem

ent

Gm

ax/G

max

0

Ecart type : 7,4%

GmaxGmax σz

0=

σz0

0,283

FIGURE 4.29 : Evolution du module de cisaillement maximal « quasi-statique » Gmax en fonction de la contrainte verticale σz et interpolation proposée

La même démarche est adoptée pour les modules de cisaillement « dynamiques ». La figure 4.30 présente donc l’évolution du module de cisaillement « dynamique » normé par la valeur mesurée à l’état isotrope initial en fonction de la contrainte verticale, normée aussi par sa valeur initiale. Une interpolation linéaire dans les axes logarithmiques est réalisée et permet de déterminer l’évolution des modules d’Young « dynamiques » en fonction de la contrainte axiale :

Gdyn = Gdyn

,0 Erreur ! (4.49)

avec Gdyn

,0 la valeur du module de cisaillement « dynamique » déterminée pour une contrainte axiale de σz0 correspondant à un état de contraintes isotrope.

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

C50.64C50.88C80.63C300.74C300.86C300.95K300.74K300.99K50.65K50.72K50.82

Logarithme du rapport des contraintes σz/σz0

Loga

rithm

e du

rapp

ort d

es m

odul

es

de c

isai

llem

ent G

max

/Gm

ax0

10,283

FIGURE 4.30 : Evolution des modules de cisaillement « dynamiques » en fonction de la contrainte verticale au cours des essais de type « compression » – Les modules Gdyn et les contraintes σz sont normés par leur

valeur respective, Gdyn

,0 et σz0, à l’état isotrope initial et le logarithme décimal est considéré

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.5 EVOLUTION DES MODULES EN FONCTION DE LA CONTRAINTE

– 215 –

La relation obtenue est tracée sur la figure 4.31 dans des axes non logarithmiques en superposant les différentes mesures expérimentales. La valeur de l’écart type des différences relatives entre les mesures et l’interpolation est estimée à environ 7%.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0

Rapport des contraintes σz/σz0

Ecart type : 7,4%

GmaxGmax σz

0=

σz0

0,283

Rap

port

des

mod

ules

de

cisa

illem

ent

Gdy

n /Gdy

n 0

FIGURE 4.31 : Evolution du module de cisaillement « dynamique » en fonction de la contrainte verticale et interpolation proposée

c) Conclusion

Les relations données dans la littérature pour traduire l’influence de la contrainte verticale sur les modules d’Young E ou de cisaillement G ont été utilisées :

E = E0 Erreur ! et G = G0 Erreur ! (4.50) et (4.51)

avec E0 et G0 des valeurs références du module d’Young et de cisaillement, choisies dans cette étude à l’état isotrope initial. Les exposants ont été déterminés à partir des mesures quasi-statiques et dynamiques, et leurs valeurs sont regroupées dans le tableau 4.9. Il semble que ces formules puissent traduire l’évolution des modules observée lors de cette étude.

Modules maximaux « quasi-statiques » Modules « dynamiques » Emax Gmax Edyn Gdyn

0,492 0,239 0,469 0,283

TABLEAU 4.9 : Valeur des exposants de la contrainte axiale déterminés pour chacun des modules

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.5 EVOLUTION DES MODULES EN FONCTION DE LA CONTRAINTE

– 216 –

4.5.2. Etat de contraintes avec rotation des axes principaux

Durant les essais de type « torsion pure » et les « essais de type « torsion à K0 » (équivalent à un essai de torsion partir d’un état anisotrope de contrainte pour lequel le rapport des contraintes horizontales σr=σθ sur la contrainte verticale σz est égal à K0=0,5), une rotation des axes principaux des contraintes est observée. Pour les essais de type « torsion pure », dès l’application d’une contrainte de cisaillement τ, les directions principales de contraintes qui coïncident à l’état isotrope avec eθ

^ et ez ^, opèrent une rotation de 45°. Pour les essais de type « torsion à K0 », l’application d’une contrainte de cisaillement τ, crée une rotation continue à partir de 0° des axes de contraintes qui coïncident avec eθ

^ et ez ^. La rotation des axes principaux est continue à partir de 0° et augmente avec l’augmentation de τ.

Dans la suite, les modules maximaux « quasi-statiques » et « dynamiques » sont étudiés durant ces essais.

a) Essais de type « torsion pure »

La figure 4.32 présente l’évolution des modules maximaux « quasi-statiques », Emax et Gmax, durant les essai de type « torsion pure ». Pour chaque essai, les modules sont normés par leur valeur respective, E

max,0 et G

max,0, déterminée à l’état de contrainte isotrope. L’évolution des modules est

représentée en fonction du rapport des contraintes τ/Pc, représentatif de l’évolution de la contrainte de cisaillement au cours des essais.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8

Essai T80.66 Essai T80.67 Essai T50.65Essai T50.78 Essai T300.72 Essai T80.79Essai T300.90

Rapport des contraintes τ/Pc

Rap

port

des

mod

ules

d'Y

oung

Em

ax/E

max

0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8

Essai T80.66 Essai T80.67 Essai T50.65Essai T50.78 Essai T300.72 Essai T80.79Essai T300.90

Rapport des contraintes τ/Pc

Rap

port

des

mod

ules

de

cisa

illem

ent

Gm

ax/G

max

0

FIGURE 4.32 : Evolution des module maximaux « quasi-statiques » au cours des essais de torsion – Les modules Emax et Gmax sont normés par leur valeur E

max,0 et G

max,0 à l’état de contrainte isotrope

Les modules semblent assez nettement évoluer en fonction de la contrainte de cisaillement : plus la contrainte de cisaillement augmente (en valeur absolue) plus les modules diminuent. La modélisation simple proposée, qui fait dépendre ne permet donc pas de modéliser correctement ce phénomène.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.5 EVOLUTION DES MODULES EN FONCTION DE LA CONTRAINTE

– 217 –

La figure 4.33 propose une représentation identique pour les modules « dynamiques ». L’évolution des modules en fonction de la contrainte de cisaillement τ est similaire à celle observée pour les modules maximaux « quasi-statiques ».

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8

Essai T80.67 Essai T50.65

Essai T300.72 Essai T300.90

Rapport des contraintes τ/Pc

Rap

port

des

mod

ules

d'Y

oung

Edy

n /Edy

n 0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8

Essai T80.67 Essai T50.65

Essai T300.72 Essai T300.90

Rapport des contraintes τ/Pc

Rap

port

des

mod

ules

de

cisa

illem

ent

Gdy

n /Gdy

n 0

FIGURE 4.33 : Evolution des module « dynamiques » au cours des essais de torsion – Les modules Edyn et Gdyn sont normés par leur valeur E

dyn,0 et G

dyn,0 à l’état de contrainte isotrope

b) Essais de type « torsion à K0 »

La figure 4.34 présente l’évolution des modules maximaux « quasi-statiques ». Pour chaque essai les modules sont normés par leur valeur respective déterminée à l’état de contraintes défini par une contrainte axiale égale au double de la contrainte de confinement (c’est-à-dire à la fin de la compression axiale qui suit la compression isotrope). Les axes principaux de contrainte coïncident encore avec les axes du laboratoire. La contrainte de cisaillement est appliquée à partir de cet état de contraintes. Une rotation des axes principaux continue s’ensuit en partant de 0°.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8

Essai K50.65 Essai K50.72 Essai K50.82Essai K75.65 Essai K70.79 Essai K300.99Essai K300.74

Rapport des contraintes τ/Pc

Rap

port

des

mod

ules

d'Y

oung

E

max

/Em

ax( τ

=0kP

a)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8

Essai K50.65 Essai K50.72 Essai K50.82Essai K75.65 Essai K70.79 Essai K300.99Essai K300.74

Rapport des contraintes τ/Pc

Rap

port

des

mod

ules

de

cisa

illem

ent

Gm

ax/G

max

( τ=0

kPa)

FIGURE 4.34 : Evolution des modules maximaux « quasi-statiques » au cours des essais de torsion – Les modules Emax et Gmax sont normés par leur valeur Emax(τ=0 kPa) et Gmax(τ=0 kPa) à l’état de contrainte

atteint à la fin de la consolidation anisotrope (σr=σθ=Pc, σz=2Pc, τ=0)

De la même façon, l’évolution des modules dynamiques est représentée sur la figure 4.35.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.5 EVOLUTION DES MODULES EN FONCTION DE LA CONTRAINTE

– 218 –

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8

Essai K50.65 Essai K50.72 Essai K50.82Essai K75.65 Essai K70.79 Essai K300.99Essai K300.74

Rapport des contraintes τ/Pc

Rap

port

des

mod

ules

d'Y

oung

E

max

/Em

ax( τ

=0kP

a)

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8

Essai K50.65 Essai K50.72 Essai K50.82Essai K75.65 Essai K70.79 Essai K300.99Essai K300.74

Rapport des contraintes τ/Pc

Rap

port

des

mod

ules

de

cisa

illem

ent

Gm

ax/G

max

( τ=0

kPa)

FIGURE 4.35 : Evolution des modules « dynamiques » au cours des essais de torsion – Les modules Emax et Gmax sont normés par leur valeur Emax(τ=0 kPa) et Gmax(τ=0 kPa) à l’état de contrainte atteint à la fin de la

consolidation anisotrope (σr=σθ=Pc, σz=2Pc, τ=0)

L’évolution des modules en fonction de la contrainte de cisaillement est moins marquée mais demeure perceptible.

Les modèles développés pour des sollicitations sans rotations des axes, à partir d’essais triaxiaux ne sont pas capables de modéliser l’évolution des modules en fonction de la contrainte de cisaillement. Ainsi, l’hypothèse d’un comportement élastique linéaire isotrope ne permet pas de prendre en compte l’anisotropie induite par les rotations d’axes principaux.

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.5 EVOLUTION DES MODULES EN FONCTION DE LA CONTRAINTE

– 219 –

4.6. Conclusion

Le comportement en petites déformations a été étudié au travers de deux paramètres classiques qui sont le module d’Young et le module de cisaillement.

Deux méthodes sont utilisées pour déterminer ces modules. Des sollicitations cycliques de faibles amplitudes appliquées par la presse à l’échantillon permettent de déterminer les modules « quasi-statiques », Ezz et Gθz , pour lesquels des valeurs maximales sont relevées dans le domaine des très petites déformations, Emax,0 et Gmax

0 , à l’état de contrainte isotrope. Des essais de propagation d’ondes permettent de déterminer les modules « dynamiques », Edyn et Gdyn, par analyse inverse.

L’étude des modules maximaux « quasi-statiques » et des modules « dynamiques » à l’état isotrope permet de déterminer l’influence de l’indice des vides et de la pression de confinement (égale à la pression moyenne à l’état isotrope). A partir des résultats expérimentaux, deux expressions 4.29 et 4.30 sont proposées pour les modules maximaux « quasi-statiques » :

Emax,0 = 350 Erreur !P 0,495 et GErreur ! =148 Erreur !P 0,454

Pour les modules dynamiques, deux expressions 4.31 et 4.32 sont proposées :

Edyn 0 = 364 Erreur !P 0,465 et GErreur !=197 Erreur !P 0,462

Les expressions présentent des coefficients très proches pour la fonction d’indice des vides et pour l’exposant de la pression moyenne, qui peuvent être utiliser pour estimer les modules à l’état isotrope de contrainte.

Dans le cas d’un comportement élastique isotrope, il existe une relation entre les deux modules qui fait intervenir le coefficient de Poisson ν :

E = 2G(1+ν)

Compte tenu des résultats présentés au Chapitre 3, pour les termes de la matrice MEQ à l’état isotrope de contrainte, l’hypothèse semble raisonnable pour une majorité d’essais. Pour quelques essais, cette hypothèse peut sembler en contradiction avec certains résultats expérimentaux, notamment lorsque les déformations radiale et orthoradiale, qui sont supposées égales pour cet état de contrainte isotrope, sont comparées. Toutefois, des imprécisions sur la mesure de la déformation radiale ne sont pas exclues pour expliquer ces différences, plutôt qu’un réel comportement anisotrope du matériau. Dans le cadre de l’hypothèse d’un comportement linéaire isotrope, et en supposant le coefficient de Poisson ν constant, il est possible de déterminer une unique fonction d’indice des vides et un unique exposant pour la contrainte de confinement, dont dépendent les modules. L’expression 4.39 obtenue pour le module d’Young « quasi-statique » est :

Emax,0 = 387 Erreur !P 0,468 avec un coefficient de Poisson ν=0,453

L’expression 4.42 du module d’Young « dynamique » obtenue est :

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4. COMPORTEMENT ELASTIQUE : PARAMETRES E,G ,ν 4.5 EVOLUTION DES MODULES EN FONCTION DE LA CONTRAINTE

– 220 –

Edyn 0 = 417 Erreur !P 0,462 avec un coefficient de Poisson ν=0,238

La détermination de ces coefficients Poisson permet de se rendre compte que le module de cisaillement quasi-statique est sous-évalué. Le Chapitre 3 a montré en effet que la corrélation entre les modules d’Young « dynamiques » et « quasi-statiques » est bonne. Le faible écart (moins de 10%) s’expliquant par le choix du comportement du matériau pour l’analyse inverse des propagations d’onde. Par contre, la différence entre les modules de cisaillement « quasi-statiques » et « dynamiques » est plus importante. Le calcul des coefficients Poisson à partir des mesures « dynamiques » se rapproche de la valeur 0,206 pour le coefficient de Poisson νθz, déterminé directement par la mesure des déformations orthoradiales, et des valeurs données par la littérature autour de 0,2. Le coefficient de Poisson obtenu à partir des modules d’Young et de cisaillement « quasi-statiques » est, par conséquent, trop élevé, du fait que les modules de cisaillement « quasi-statiques » sont trop faibles d’environ 20% en moyenne. Une amélioration de l’appareillage est donc envisagée. La mesure de la distorsion n’étant effectuée que d’un côté de l’échantillon, l’ajout de deux capteurs de déplacement s’avère nécessaire pour réaliser une mesure supplémentaire de la distorsion, en un point diamétralement opposé. Cette mesure doit permettre de ne pas prendre en compte des déplacements d’ensemble de l’échantillon qui peuvent fausser les mesures actuelles de la distorsion.

Classiquement, les modules d’Young ou de cisaillement sont mesurés pour des états de contrainte appliqués à l’aide d’appareils triaxiaux (ou équivalents) et par conséquent sans rotation des axes principaux. Dans ce chapitre, la modélisation qui est proposée ne s’applique qu’à des états de contrainte sans rotation des axes principaux et ne permet pas de modéliser les observations réalisées lors des essais avec rotation des axes principaux. Le chapitre suivant propose un modèle plus évolué pour tenir compte de l’anisotropie induite par l’état de contraintes, pour des sollicitations avec ou sans rotation des axes principaux de contraintes.