Comportamento Dinâmico de Sistemas de Segunda Ordem · ζ – fator de amortecimento:...

Comportamento Dinâmico de Sistemas de SegundaOrdem

Sistemas de Segunda Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 1 / 72

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Roteiro1 Sistemas de Segunda Ordem

Função de Transferência de Sistemas de Segunda Ordem2 Resposta Transiente de Sistemas de Segunda Ordem

Resposta ao DegrauResposta OscilatóriaResposta Criticamente AmortecidaResposta Não-Oscilatória

Resposta ao ImpulsoResposta OscilatóriaResposta Criticamente AmortecidaResposta Não-Oscilatória

Resposta Senoidal3 Exemplos

ManômetroDois Reatores CSTR IsotérmicosInteração Térmica

4 Atividades Complementares



Sistemas de Segunda Ordem

Sistema de Segunda Ordem (ou retardo quadrático) é aquele cuja re-sposta y(t) é descrita por uma equação diferencial de segunda ordem:

a2d2ydt2 + a1

dydt

+ a0y = bu, y(0) = y ′(0) = 0

Se a0 6= 0, então

a2

a0

d2ydt2 +

a1

a0

dydt

+ y =ba0

u, y(0) = y ′(0) = 0

Fazendoa2

a0= τ2

p ,a1

a0= 2ζτp e

ba0

= Kp

tem-se

τp2 d2y

dt2 + 2 ζ τpdydt

+ y = Kp u, y(0) = y ′(0) = 0

que é a forma padrão de representar um sistema de segunda ordem,



Sistemas de Segunda Ordemcontinuação

ondeτp – tempo característico ou período natural de oscilação: indica arapidez (ou equivalentemente o tempo de resposta) com que aresposta do sistema reage a uma perturbação em uma certaentradaζ – fator de amortecimento: adimensional, é uma medida do graude amortecimento (ou do caráter oscilatório) da resposta dosistema; isto é, o grau de oscilação na resposta após umaperturbação em alguma variável de entradaKp – ganho do processo: é a razão entre os valores finais daresposta e de uma determinada entrada considerada

Kp =∆y∆u

(degrau em u), ou

Kp = lims→0

[Gp(s)]



Função de Transferência de Sistemas de 2a OrdemAplica-se a Transformada de Laplace em ambos os lados da equaçãodiferencial de um sistema de segunda ordem, obtendo

τ2p s2Y (s) + 2ζτpsY (s) + Y (s) = KpU(s)

(τ2p s2 + 2ζτps + 1)Y (s) = KpU(s)

Gp(s) =Y (s)

U(s)=

Kp

τ2p s2 + 2ζτps + 1

t p 2 s 2 + 2 z t p s + 1K pU ( s ) Y ( s )

D i a g r a m a d e B l o c o s



Resposta ao DegrauAs respostas transientes de sistemas de 2a ordem são apresentadaspara três tipos de perturbações diferentes, bastante comuns no estudoexperimental e teórico do controle de processos.

Resposta ao Degrau

A função degrau de amplitude A é expressa por

u(t) = Au(t)∗, t ≥ 0

onde u(t)∗ é a função degrau unitário

0

u

t

AU ( s ) = A

s

Figura: Perturbação degrauSistemas de Segunda Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 6 / 72


Resposta ao Degraucontinuação

Combinando a função de transferência de um sistema de 2a ordem e aTransformada de Laplace da função degrau com amplitude A,

Y (s) =Kp

τ2p s2 + 2ζτps + 1

As

=

KpAτ2

p

s(s − p1)(s − p2)

cuja transformada inversa de Y (s), y(t), dependerá da natureza dosdois pólos (p1 e p2) da equação característica (o outro pólo se encontrana origem)

τ2p s2 + 2ζτps + 1 = 0

Esses pólos assumem as seguintes expressões:

p1 = − ζ

τp+

√ζ2 − 1τp

e p2 = − ζ

τp−√

ζ2 − 1τp



Resposta ao Degrauoscilatória

Podem-se distingüir três casos:

CASO I: 0 ≤ ζ < 1 → resposta subamortecida ou oscilatória ("under-damped")

Neste caso, as duas raízes da equação característica (p1 e p2) sãocomplexas conjugadas, com parte real negativa. Portanto, a transfor-mada inversa de Y (s), y(t), fornecerá

y(t) = KpA

[1− 1√

1− ζ2e−ζt/τp sen(wt + φ)

], onde

w =

√1− ζ2

τp

φ = arctg

(√1− ζ2

ζ

)Sistemas de Segunda Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 8 / 72


Resposta ao Degrauoscilatória (continuação)

A figura a seguir apresenta o comportamento da saída adimensionaly(t)/KpA contra o tempo adimensional t/τp:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Sistema de Segunda Ordem: resposta ao degrau (0≤ζ<1)

t/τp

y/K

pA

ζ=0,2

ζ=0,4

ζ=0,6

ζ=0,8




Destacam-se nessa resposta:1 todas as curvas respostas ultrapassam o valor estacionário final.

Se ζ < 0, 707, as curvas respostas não só ultrapassam, comotambém oscilam em torno do valor final. Elas tornam-se menososcilatória à medida que ζ aumenta

2 o comportamento subamortecido é bastante comum em sistemasde controle. Por este motivo, foram criados diversos termos paradescrever quantitativamente este tipo de resposta

Sobre-Elevação ("overshoot"): a sobre-elevação é a medida de quantoa resposta do sistema a uma perturbação degrau excede o seu valorfinal. Ela é expressa pela razão A/B

OS = exp

(−πζ√1− ζ2

)=

AB




0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Sistema de Segunda Ordem: resposta ao degrau (0≤ζ<1)

t/τp

y/K

pA

A

B

C

T

tr t

s

±5%

tmáx

Figura: Características da resposta oscilatória ao degrau




Tempo do Primeiro Máximo: o instante do pico correspondente aoprimeiro máximo; isto é, para se alcançar a sobre-elevação

tmáx =πτp√1− ζ2

Razão de Declínio ("decay ratio"): a razão de declínio, C/A, é a razãoentre as alturas de dois picos sucessivos. Ela se relaciona com ζ pelaexpressão

DR = exp

(−2πζ√1− ζ2

)=

CA

= (OS)2

Em sistemas de segunda ordem, a DR é constante para par sucessivode picos. Um ζ maior significa um amortecimento maior e, portanto,um declínio maior.




Tempo de Ascensão: esse é o tempo que a resposta leva para alcançarpela primeira vez o seu valor final. Observe que tr aumenta com oaumento de ζ:

tr =τp√

1− ζ2arctg

(−√

1− ζ2

ζ

)

ou aproximadamente 1/4 de τp.

Tempo de Resposta: esse é o tempo que a resposta leva para alcançaruma faixa de ±5% do seu valor final e nela permanecer. Para 0 < ζ <0, 9, o tempo de acomodação correspondendo a faixa de ±5% é dado,aproximadamente, por

ts =3τp

ζ




Caso seja utilizado o critério de ±2%, então ts é dado por, aproximada-mente,

ts =4τp

ζ

Período de Oscilação: a freqüência, em radianos (radianos/tempo), daoscilação de uma resposta subamortecida é dada por

w =

√1− ζ2

τp

Desta forma, a freqüência, em ciclos/tempo, é igual a

f =w2π

=

√1− ζ2

2πτp




Segue-se que, o período de oscilação (tempo/ciclo) é o inverso de f

T =1f

=2πτp√1− ζ2

e corresponde ao tempo decorrido para se completar um ciclo (ou otempo entre dois picos).

Período Natural de Oscilação: se o amortecimento é eliminado (ζ = 0),o sistema oscila continuamente, sem atenuação, com amplitude con-stante. Nestas condições naturais, ou não amortecidas, a freqüênciaem radianos (radianos/tempo) é conhecida como freqüência natural deoscilação, wn

wn =1τp




Desta forma, a freqüência cíclica natural, em ciclos/tempo, é igual a

fn =wn

2π=

12πτp

E o período natural de oscilação (tempo/ciclo) é igual a

Tn =1fn

= 2πτp

O efeito do amortecimento é reduzir a freqüência a um valor inferiora freqüência natural. No entanto, para valores de amortecimento 0 <ζ < 0, 5, a freqüência é somente um pouco menor do que a freqüêncianatural e a diferença entre as duas, mesmo para ζ > 0, 5, está em tornode 13%.



Resposta ao Degraucriticamente amortecida

CASO II: ζ = 1 → resposta criticamente amortecida

Neste caso, as duas raízes da equação característica (p1 e p2) sãoiguais (raíz dupla) – p1 = p2 = −ζ/τp, com parte real negativa. Por-tanto, a transformada inversa de Y (s), y(t), fornecerá

y(t) = KpA[1−

(1 +

tτp

)e−t/τp

]



Resposta ao Degraucriticamente amortecida (continuação)

A figura a seguir apresenta o comportamento da saída adimensionaly(t)/KpA contra o tempo adimensional t/τp:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Sistema de Segunda Ordem: resposta ao degrau (ζ=1)

t/τp

y/K

pA

ζ=0,6

ζ=1

ζ=1,6



Resposta ao Degraucriticamente amortecida

A resposta para ζ = 1 permite a aproximação mais rápida e não-oscilatória do seu valor final, semelhante a um sistema de 1a ordem.Essa condição é chamada de amortecimento crítico e conhecida comoresposta criticamente amortecida.



Resposta ao Degraunão-oscilatória

CASO III: ζ > 1 → resposta superamortecida ou não-oscilatória("overdamped")

Neste caso, as duas raízes da equação característica (p1 e p2)são reais e negativas. A transformada inversa de Y (s), y(t), fornecerá

y(t) = KpA{

1− e−ζt/τp

[cosh

(√ζ2 − 1

tτp

)+

ζ√ζ2 − 1

senh(√

ζ2 − 1tτp

)]}Uma expressão alternativa para y(t) é

y(t) = KpA[1− 1

τp1 − τp2

(τp1e−t/τp1 − τp2e−t/τp2

)], onde

τp1 =(ζ +

√ζ2 − 1

)τp e τp2 =

(ζ −

√ζ2 − 1

)τp



Resposta ao Degraunão-oscilatória (continuação)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Sistema de Segunda Ordem: resposta oa degrau (ζ>1)

t/τp

y/K

pA

ζ=1

ζ=1,4

ζ=1,8

ζ=2,2

Figura: Resposta ao degrau: não-oscilatória



Resposta ao Degraunão-oscilatória (continuação)

Algumas observações sobre a resposta não-oscilatória:

o sistema de segunda ordem pode ser considerado como oproduto de dois sistemas de 1a ordem, com constantes de tempoτp1 e τp2 distintasobserve que a resposta é não-oscilatória, não ultrapassa o valorfinal (sem sobre-elevação) e se torna mais morosa à medida queζ aumenta



Resposta ao Degrau

Observações Finais:

para os três casos da resposta ao degrau, ela se aproximaassintoticamente de seu valor final, KpA, analogamente ao casoda resposta ao degrau de um sistema de 1a ordem:

∆y∆u

= Kp ⇒ y(t →∞) → KpA

entretanto, a inclinação das curvas respostas, na origem, é zero,diferentemente ao observado para um sistema de 1a ordem



Resposta ao Impulso

Resposta ao Impulso

A função impulso de intensidade A é definida por

u(t) = Aδ(t), t = 0

onde δ(t) é a função impulso unitário

0

u

t

AU ( s ) = A

b

b

0

u

t

Ab ® 0



Resposta ao Impulsocontinuação

A resposta impulsional de um sistema de segunda ordem, perturbadopor um impulso de intensidade A, pode ser expressa por:

Y (s) =Kp

τ2p s2 + 2ζτps + 1

A =

KpAτ2

p

(s − p1)(s − p2)

cuja transformada inversa de Y (s), y(t), dependerá da natureza dosdois pólos (p1 e p2) da equação característica

τ2p s2 + 2ζτps + 1 = 0

Esses pólos assumem as seguintes expressões:

p1 = − ζ

τp+

√ζ2 − 1τp

e p2 = − ζ

τp−√

ζ2 − 1τp



Resposta ao Impulsooscilatória

Podem-se distingüir três casos:

CASO I: 0 ≤ ζ < 1 → resposta subamortecida ou oscilatória ("under-damped")

As duas raízes da equação característica (p1 e p2) são complexas con-jugadas, com parte real negativa. Portanto, a transformada inversa deY (s), y(t), fornecerá

y(t) =KpAτp

1√1− ζ2

e−ζt/τp sen(√

1− ζ2 tτp

)



Resposta ao Impulsocriticamente amortecida

CASO II: ζ = 1 → resposta criticamente amortecida

Neste caso, as duas raízes da equação característica (p1 e p2) sãoiguais (raíz dupla) – p1 = p2 = −ζ/τp, com parte real negativa. Por-tanto, a transformada inversa de Y (s), y(t), fornecerá

y(t) =KpAτ2

pte−t/τp



Resposta ao Impulsonão-oscilatória

CASO III: ζ > 1 → resposta superamortecida ou não-oscilatória("overdamped")

Neste caso, as duas raízes da equação característica (p1 e p2)são reais e negativas. A transformada inversa de Y (s), y(t), fornecerá

y(t) =KpAτp

1√ζ2 − 1

e−ζt/τp senh(√

ζ2 − 1tτp

)



Resposta ao Impulsocontinuação

A figura a seguir apresenta o comportamento da saída adimensionaly(t)τp/KpA contra o tempo adimensional t/τp:

0 5 10 15−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Sistema de Segunda Ordem: resposta ao impulso

t/τp

yτ p

/KpA

ζ=0,2

ζ=0,6

ζ=1

ζ=1,4

Note que a respostasempre retornaao valor inicialyτp/KpA = 0.



Resposta Senoidal

Resposta Senoidal

Se a função perturbação é senoidal

u(t) = A sen(wt), t ≥ 0

onde A é a amplitude e w é a freqüência angular (igual a 2πf ,f=freqüência em ciclos por tempo).

A Transformada de Laplace de u(t) é

U(s) =Aw

s2 + w2



Resposta Senoidalcontinuação

A resposta transformada, Y (s), será igual a

Y (s) =Kp

τ2p s2 + 2ζτps + 1

Aws2 + w2

As raízes do denominador de Y (s) são iguais a:

p1 = − ζ

τp+

√ζ2 − 1τp

e p2 = − ζ

τp−√

ζ2 − 1τp

p3 = ıw e p4 = −ıw

O comportamento da resposta y(t) dependerá da natureza dos pólosdo sistema.




Para o caso de um sistema subamortecido (0 ≤ ζ < 1), o par de raízescomplexas conjugadas (p1 e p2) e o par de raízes puramente imag-inárias (p3 e p4) resultarão na expansão em frações parciais de Y (s),conforme a seguinte expressão

Y (s) =A1

s − ıw+

A2

s + ıw+

A3

s −(− ζ

τp+

√ζ2−1τp

) +A4

s −(− ζ

τp−√

ζ2−1τp

)cuja transformada inversa y(t) será

y(t) = A1 cos(wt) + A2 sen(wt)+

e−ζt/τp

[A3 cos

(√1− ζ2 t

τp

)+ A4 sen

(√1− ζ2 t

τp

)]Sistemas de Segunda Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 32 / 72



Note que para t →∞, o termo contendo e−ζt/τp tende a zero,

y(t) = A1 cos(wt) + A2 sen(wt)+

e−ζt/τp︸︷︷︸→0

[A3 cos

(√1− ζ2 t

τp

)+ A4 sen

(√1− ζ2 t

τp

)]

restando apenas a solução periódica final, algumas vezes chamada desolução estacionária

y(t)|s = A1 cos(wt) + A2 sen(wt)

Esta solução periódica final também é observada para quando ζ ≥ 1.




Após calcular as constantes A1 e A2,

y(t)|s =KpA√[

1− τ2p w2

]2+ (2ζτpw)2

sen(wt + φ)

φ = arctg

[2ζτpw

1− (τ2p w2)

]

Pode-se verificar as seguintes características da resposta senoidal:1 a resposta é também uma onda senoidal com freqüência w igual

à onda senoidal do sinal de entrada




2 a razão entre as amplitudes da resposta (solução estacionária) eda entrada – chamada de razão de amplitude, AR,

AR =

KpAq[1−τ2

p w2]2+(2ζτpw)2

A=

Kp√[1− τ2

p w2]2

+ (2ζτpw)2

A razão de amplitude normalizada, ARN ,

ARN =ARKp

=1√[

1− τ2p w2

]2+ (2ζτpw)2

pode ser maior ou menor do que 1, dependendo de ζ e τpw3 a resposta atrasa em relação à entrada por um ângulo de fase,|φ|. Pode-se verificar que |φ| tende assintoticamente para 180o àmedida que w aumenta



Manômetro

ExemploUm manômetro, vertical, em forma de U é mostrado abaixo

hh

P 1 P 2

n í v e l q u a n d oP 1 = P 2

Figura: Manômetro em U



Manômetro

Exemplo (continuação)O aumento da diferença de pressão imediatamente resulta em umdesequilíbrio de forças no líquido, provocando a sua aceleração. Issoé impedido pela resistência oferecida ao fluido pela parede interna dotubo e pelo peso da coluna de fluido.



Manômetro

SoluçãoBalanço de Forças (2a Lei de Newton:

∑i Fi = ma)(

força de pressãoP1 na perna 1

)︸︷︷︸

P1A

−(

força de pressãoP2 na perna 2

)︸︷︷︸

P2A

−

força da diferençade nível de líquidonas duas pernas

︸︷︷︸

2ρghA

−

(força de atrito

do fluido

)︸︷︷︸

32LµAD2

dhdt

=

(massa do líquido

no tubo

)︸︷︷︸

ρAL

×(

aceleração)︸︷︷︸

d2hdt2

onde A é a área transversal do tuboρ é a massa específica do líquidog é a aceleração da gravidadeL é o comprimento da coluna de líquidoµ é a viscosidade do fluido ed2h/dt2 é a aceleração do fluido no tubo.



Manômetrocontinuação

Balanço de Forças (2a Lei de Newton:∑

i Fi = ma)

O termo da força de atrito no fluido provém da Eq. de Poiseuille, a qualrelaciona a força de atrito com a velocidade de escoamento

Q =πR4

8µ

∆PL→ A

dhdt

=πR4

8µ

∆PL⇒ πR2∆P =

8LµAR2

dhdt

=32LµA

D2dhdt

com Q a vazão volumétrica de líquido.Re-escrevendo a eq. do balanço de forças tem-se

ρALd2hdt2 +

32LµAD2

dhdt

+ 2ρghA = (P1 − P2)A

L2g

d2hdt2 +

16Lµ

ρgD2dhdt

+ h =∆P2ρg

e as condições h(0) = hs e h′(0) = 0.




Balanço de Forças (2a Lei de Newton:∑

i Fi = ma)

Definindo as variáveis-desvio h̄ = h − hs e ∆̄P = ∆P −∆Ps e substi-tuindo na equação de balanço

L2g

d2h̄dt2 +

16Lµ

ρgD2dh̄dt

+ h̄ =∆̄P2ρg

, com h̄(0) = 0 e h̄′(0) = 0




Função de Transferência

Aplicando Transformada de Laplace na equação do balanço (linear),obtém-se:

L2g

d2hdt2 +

16Lµ

ρgD2dhdt

+ h =∆P2ρg

, com h(0) = 0 e h′(0) = 0

(L

2g

)s2H(s)− s h(0)︸︷︷︸=0

−h′(0)︸︷︷︸=0

+

(16Lµ

ρgD2

)sH(s)− h(0)︸︷︷︸=0

+

H(s) =

(1

2ρg

)∆P(s)(

L2g

s2 +16Lµ

ρgD2 s + 1)

H(s) =

(1

2ρg

)∆P(s)




Função de Transferência

Rearranjando, calcula-se a seguinte função de transferência de 2a or-dem

Gp(s) =H(s)

∆P(s)=

12ρg

L2g s2 + 16Lµ

ρgD2 s + 1, ou

Gp(s) =H(s)

∆P(s)=

Kp

τ2p s2 + 2ζτps + 1

, onde

Kp =1

2ρg; τp =

√L

2g; ζ =

16µ

ρD2

√L

2g



Dois Reatores CSTR Isotérmicos

ExemploDois reatores CSTR isotérmicos estão dispostos conforme a figuraabaixo:

F

FC A 0

C A 1

V 1 C A 1FC A 2

V 2 C A 2

Figura: Reatores CSTR isotérmicos




Exemplo (continuação)Os conteúdos de líquido (volumes) nos dois reatores sãoconsiderados constantes e iguais a V1 = V2 = 1, 05 m3. As reaçõesquímicas que neles ocorrem são do tipo A → B, de 1a ordem, comrA = kCA e k = 0, 040 min−1. O calor de reação é desprezível, bemcomo as perdas de calor para o ambiente. As condições dealimentação no 1o reator são F = 0, 085 m3/min e CA0 = 0, 925mol/m3.




Exemplo (continuação)Deste modo,

1 determine a função de transferência entre CA2(s)/CA0(s)

2 considere uma perturbação degrau em CA0 de amplitude∆CA0 = 0, 925 mol/m3

3 por questão de segurança, a concentração de reagente nosegundo reator não deve ultrapassar o valor de 0,85 mol/m3. Paraevitar que isso ocorra, um alarme será tocado no momento emque a concentração do reagente atingir 0,80 mol/m3. Essasituação chegará a acontecer? Se sim, estime o tempo decorridoapós a perturbação até esse momento.




SoluçãoBalanço de Massa do Componente A: volumes dos reatoressão constantes

reator 1:dmA1

dt= FCA0 − FCA1 − V1rA1, com mA1 = V1CA1

V1dCA1

dt= FCA0 − FCA1 − V1rA1

dCA1

dt=

FV1

(CA0 − CA1)− rA1

reator 2:dmA2

dt= FCA1 − FCA2 − V2rA2, com mA2 = V2CA2

V2dCA2

dt= FCA1 − FCA2 − V2rA2

dCA2

dt=

FV2

(CA1 − CA2)− rA2



Dois Reatores CSTR Isotérmicoscontinuação

Equações Auxiliares: cinética de reatores

rA1 = kCA1

rA2 = kCA2

Modelo Não-Linear: espaço de estados

reator 1:dCA1

dt=

FV1

(CA0 − CA1)− kCA1, CA1(0) = CA1s

reator 2:dCA2

dt=

FV2

(CA1 − CA2)− kCA2, CA2(0) = CA2s

este modelo não apresenta termos não-lineares.




Modelo Linear: variável-desvio

C̄A0 = CA0 − CA0s



as equações anteriores formam o modelo linear, onde asvariáveis CA0, CA1 e CA2 são variáveis-desvio.

Função de Transferência CA2(s)/CA0(s)

CA2(s)

CA0(s)=

CA1(s)

CA0(s)

CA2(s)

CA1(s)





CA1(s)

CA0(s): reator 1→ sistema de 1a ordem

1︸︷︷︸a1

dCA1

dt+

(FV1

+ k)

︸︷︷︸a0

CA1 =FV1︸︷︷︸b0

CA0, CA1(0) = 0

Gp1(s) =CA1(s)

CA0(s)=

Kp1

τp1s + 1, onde

Kp1 =b0

a0=

F/V1

F/V1 + k=

(0, 085/1, 05)

(0, 085/1, 05 + 0, 040)= 0, 67 [–]

τp1 =a1

a0=

1F/V1 + k

=(1)

(0, 085/1, 05 + 0, 040)= 8, 27 min





CA2(s)

CA1(s): reator 2→ sistema de 1a ordem

1︸︷︷︸a1

dCA2

dt+

(FV2

+ k)

︸︷︷︸a0

CA2 =FV2︸︷︷︸b0

CA1, CA2(0) = 0

Gp2(s) =CA2(s)

CA1(s)=

Kp2

τp2s + 1, onde

Kp2 =b0

a0=

F/V2

F/V2 + k=

(0, 085/1, 05)

(0, 085/1, 05 + 0, 040)= 0, 67 [–]

τp2 =a1

a0=

1F/V2 + k

=(1)

(0, 085/1, 05 + 0, 040)= 8, 27 min





Desta forma,

CA2(s)

CA0(s)=

Kp1

τp1s + 1Kp2

τp2s + 1=

(0, 67)(0, 67)

(8, 27s + 1)(8, 27s + 1)

CA2(s)

CA0(s)=

0, 45(8, 27s + 1)(8, 27s + 1)

=Kp

(τps + 1)(τps + 1)




Comportamento Transiente: degrau em CA0 (∆CA0)

CA2(s) =Kp

(τps + 1)(τps + 1)

∆CA0

s

CA2(t) = Kp∆CA0

[1−

(1 +

tτp

)e−t/τp

]já que tem-se duas raízes reais e iguais a p1 = p2 = −1/τp. Ou

CA2(t) = CA2s + Kp∆CA0

[1−

(1 +

tτp

)e−t/τp

]Agora, CA2 não é variável-desvio.




a condição de CA2 = 0, 80 mol/m3 será alcançada após odegrau?cálculo de CA2s: no estado estacionário

reator 1:(

FV1

+ k)

CA1s =FV1

CA0s

CA1s =F/V1

F/V1 + kCA0s =

(0, 085/1, 05)

(0, 085/1, 05 + 0, 040)(0, 925)

CA1s = 0, 62 mol/m3

reator 2:(

FV2

+ k)

CA2s =FV2

CA1s

CA2s =F/V2

F/V2 + kCA1s =

(0, 085/1, 05)

(0, 085/1, 05 + 0, 040)(0, 62)

CA2s = 0, 42 mol/m3




a condição de CA2 = 0, 80 mol/m3 será alcançada após odegrau?cálculo de CA2(∞): valor final (t→∞)

CA2(∞) = CA2s + Kp∆CA0 = (0, 42) + (0, 45)(0, 925)CA2(∞) = 0, 84 mol/m3 > 0, 80 mol/m3

em algum momento, o valor de CA2 para o acionamento do alarme será alcançado!

quando este valor limite será alcançado, após o degrau?

CA2(t) = CA2s + Kp∆CA0

[1−

(1 +

tτp

)e−t/τp

]para t = talarme e CA2 = CA2alarme

CA2alarme(talarme)−CA2s = Kp∆CA0

[1−

(1 +

talarme

τp

)e−talarme/τp

]Sistemas de Segunda Ordem (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 54 / 72



a condição de CA2 = 0, 80 mol/m3 será alcançada após odegrau?

Esta equação algébrica não-linear em talarme deve ser resolvida apartir de (f (x) = 0)

0, 420, 80− 0, 42

[1−

(1 +

talarme

8, 27

)e−talarme/8,27

]− 1 = 0

obtendo-se talarme = 32, 67 min .



Interação Térmica

ExemploO processo na figura abaixo envolve um tanque agitado com um mate-rial sólido em seu interior:

F

FT 0

TV T

T m M

Figura: Tanque agitado com interação térmica




Exemplo (continuação)As considerações para o sistema são: (i). o tanque é perfeitamenteagitado; (ii). as propriedades físicas são constantes; (iii). V e F sãoconstantes; (vi). o material sólido contribui significativamente com oarmazenamento de energia, sendo a temperatura dele uniforme; (v). ocalor transferido do líquido para o metal é UA(T − Tm); (vi). perdas decalor são desprezíveis e (vii). todas as variáveis estão inicialmente noestado estacionário. Dados: V = 2 m3; F = 1 m3/h; ρCp = 1000kcal/m3.oC; MCpm = 2000 kcal/oC; UA = 1000 kcal/h.oC.




Exemplo (continuação)As equações do modelo dinâmico do processo são as seguintes:

BE – tanque : ρCpVdTdt

= ρCpF (T0 − T )−Q, T (0) = Ts

BE – sólido : MCpmdTm

dt= Q, Tm(0) = Tms

eq. auxiliar : Q = UA(T − Tm)

1 obtenha a função de transferência entre T (s) e T0(s).2 calcule a constante de tempo e o ganho do processo.3 verifique se o sistema é estável ou instável e oscilatório ou

não-oscilatório, justificando a sua resposta.4 descreva , sucintamente, como os resultados obtidos nos itens (b)

e (c) são afetados quando UA →∞. Analise o significado físicodesta situação.




Solução

Balanço de Energia Total: tanque com volume constantes

ρCpVdTdt

= ρCpFT0 − ρCpFT −Q, com T (0) = Ts

dTdt

=FV

(T0 − T )− QρCpV

Balanço de Energia Total: sólido com parâmetrosconcentrados

MCpmdTm

dt= Q, com Tm(0) = Tms

dTm

dt=

QMCpm



Interação Térmicacontinuação

Equação Auxiliar: transferência de calor

Q = UA(T − Tm)

Modelo Não-Linear: espaço de estados

tanque:dTdt

=FV

(T0 − T )− UA(T − Tm)

ρCpV, T (0) = Ts

sólido:dTm

dt=

UA(T − Tm)

MCpm, Tm(0) = Tms

este modelo não apresenta termos não-lineares.




Modelo Linear: variável-desvio

T̄0 = T0 − T0s

T̄ = T − Ts

T̄m = Tm − Tms

as equações anteriores formam o modelo linear, onde T0, T e Tm sãovariáveis-desvio.




Funções de Transferência (T(s)/T0(s))? e T(s)/Tm(s)

tanque: 1︸︷︷︸a1

dTdt

+

(FV

+UA

ρCpV

)︸︷︷︸

a0

T =FV︸︷︷︸b0

T0 +UA

ρCpV︸︷︷︸b1

Tm, T (0) = 0

G?p1(s) =

(T (s)

T0(s)

)?

=K ?

p1

τ?p1s + 1

, onde

K ?p1 =

b0

a0=

FV

FV + UA

ρCpV

; τ?p1 =

a1

a0=

1FV + UA

ρCpV

Gp2(s) =T (s)

Tm(s)=

Kp2

τp2s + 1, onde

Kp2 =b1

a0=

UAρCpV

FV + UA

ρCpV

; τp2 =a1

a0=

1FV + UA

ρCpV




Função de Transferência Tm(s)/T(s)

sólido: 1︸︷︷︸a1

dTm

dt+

UAMCpm︸︷︷︸

a0

Tm =UA

MCpm︸︷︷︸b0

T , Tm(0) = 0

Gpm(s) =Tm(s)

T (s)=

Kpm

τpms + 1, onde

Kpm =b0

a0=

UAMCpm

UAMCpm

= 1

τpm =a1

a0=

1UA

MCpm

=MCpm

UA




Sistema de Equações Transformadas: solução

tanque: T (s) = G?p1(s)T0(s) + Gp2(s)Tm(s)

sólido: Tm(s) = Gpm(s)T (s)

substituindo a equação transformada do sólido na do tanque e rearran-jando

T (s) = G?p1(s)T0(s) + Gp2(s)Gpm(s)T (s)[

1−Gp2(s)Gpm(s)]

T (s) = G?p1(s)T0(s)

T (s)

T0(s)=

G?p1(s)

1−Gp2(s)Gpm(s)

T (s)

T0(s)=

K ?p1

τ?p1s+1

1− Kp2τp2s+1

Kpmτpms+1

=

K ?p1

τ?p1s+1

(τp2s+1)(τpms+1)−Kp2Kpm(τp2s+1)(τpms+1)




Sistema de Equações Transformadas: solução

como τ?p1 = τp2 e escrevendo T (s)/T0(s) na forma geral da função de

transferência de um sistema de segunda ordem

T (s)

T0(s)=

K ?p1(τpms + 1)

(τp2τpm)s2 + (τp2 + τpm)s + 1− Kp2Kpm

T (s)

T0(s)=

K ?p1

1−Kp2Kpm(τpms + 1)(

τp2τpm

1− Kp2Kpm

)︸︷︷︸

τ2p

s2 +

(τp2 + τpm

1− Kp2Kpm

)︸︷︷︸

2τpζ

s + 1




Tempo Característico e Ganho do Processo

τp =

√τp2τpm

1− Kp2Kpm=

√√√√√√√1

FV + UA

ρCpV· MCpm

UA

1−UA

ρCpVFV + UA

ρCpV· 1

=

√VF·

MCpm

UA

=

√(2)

(1)· (2000)

(1000)= 2 h

Kp = lims→0

[T (s)/T0(s)] =K ?

p1

1− Kp2Kpm=

FV

FV + UA

ρCpV

FV

FV + UA

ρCpV

= 1 [–]




O Sistema Oscila?

2τpζ =τp2 + τpm

1− Kp2Kpme, portanto

ζ =12· 1τp·

1FV + UA

ρCpV+

MCpmUA

1−UA

ρCpVFV + UA

ρCpV· 1

=12· 1τp·

1FV + UA

ρCpV+

MCpmUA

FV

FV + UA

ρCpV

=12· 1(2)

·

1(1)(2)

+ (1000)(2000)

+ (2000)(1000)

(1)(2)

(1)(2)

+ (1000)(2000)

= 1, 5 > 1

não oscila




Estabilidade do Sistema: raízes da equação característica(pólos do sistema)

eq. característica: τ2p s2 + 2τpζs + 1 = (2)2s2 + 2(2)(1, 5)s + 1

= 4s2 + 6s + 1

pólos: p1 =(−6) +

√(6)2 − 4(4)(1)

2(4)= −0, 19 < 0

p2 =(−6)−

√(6)2 − 4(4)(1)

2(4)= −1, 31 < 0

o sistema é estável, pois possui pólos com parte real negativa.




Comportamento do Sistema Quando UA →∞

quando UA →∞:

τpm =MCpm

UA→ 0

Kp =K ?

p1

1− Kp2Kpm=

FV

FV + UA

ρCpV

1−UA

ρCpVFV + UA

ρCpV

=

FV

FV + UA

ρCpV

FV

FV + UA

ρCpV

= 1 [–]

τ2p =

τp2τpm

1− Kp2Kpm→ 0





quando UA →∞:

2τpζ =τp2 + τpm

1− Kp2Kpm=

τp2

1− Kp2=

1FV + UA

ρCpV

1−UA

ρCpVFV + UA

ρCpV

=

1FV + UA

ρCpV

FV

FV + UA

ρCpV

=VF

=

=(2)

(1)→ 2 h





desta forma, a função de transferência original do sistema T (s)T0(s) (2a

ordem), torna-se uma de 1a ordem

T (s)

T0(s)=

K ?p1

1−Kp2Kpm(τpms + 1)(

τp2τpm1−Kp2Kpm

)s2 +

(τp2+τpm

1−Kp2Kpm

)s + 1

→K ?

p11−Kp2Kpm(τp2

1−Kp2Kpm

)s + 1

=1

2s + 1

onde a resposta é mais rápida, já que não haverá o retardo dinâmico dosólido no interior do líquido; isto é, a temperatura do sólido acompanhainstantaneamente qualquer variação em T (t).



Leitura I

Leitura Complementar

Próxima aula:

apostila do Prof. Wua, capítulo 12 e 13 (volume II).

livro do Stephanopoulosb, capítulos 12 e 13.

livro do Seborg et al.c , capítulos 6 e 8.

aKwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB.Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, 2002.

bStephanopoulos, G., Chemical Process Control. An Introduction to Theory andPractice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA, 1984.

cSeborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A., Process Dynamics and Control. 1st

Edition, John Wiley, New York, USA, 1989.



Comportamento Dinâmico de Sistemas de Segunda Ordem · ζ – fator de amortecimento:...

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