Complex Tests

ΓΕΛ ΣΟΧΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

1Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑ Α

Α. Να αποδειχθεί ότι 1 2 1 2 1 2, ,z z z z z z⋅ = ⋅ ∈ℂ (10 μονάδες)

Β. Τι ονομάζεται μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού; (5 μονάδες)

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ).

α) Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύει 2 2 0z w+ = τότε αναγκαστικά θα είναι 0z w= =

β) Για κάθε μιγαδικό 0z ≠ ισχύει ότι 0 1z =

γ) Αν είναι { }, , 0z iα β α β= + ∈ −ℝ τότε 1 1 1

iz α β= +

δ) Οι εικόνες δύο αντίθετων μιγαδικών αριθμών είναι συμμετρικές ως προς το σημείο Ο(0,0).

ε) Αν είναι 2 2z z= − τότε αναγκαστικά ο z είναι φανταστικός αριθμός.

(10 μονάδες)

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει: ( )1 2 11 2 2 5i z i− − + = (1)

Α) να δειχθεί ότι ισχύει 3 4 2z i− − = και να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας Μ(z).

( 8 μονάδες)

Β) να βρεθούν η ελάχιστη και η μέγιστη δυνατή τιμή του z . ( 6 μονάδες)

Γ) αν είναι 1 2,z z δύο μιγαδικοί που ικανοποιούν τη σχέση (1) για τους οποίους ισχύει

1 2 4z z− = να υπολογιστεί το μέτρο 1 2z z+ . (5 μονάδες)

Δ) αν για το μιγαδικό w ισχύει 2 2w w− = +

i) ποιός ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας N(w); (3 μονάδες)

ii) ποιά η ελάχιστη δυνατή τιμή του z w− ; (3 μονάδες)



ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται ότι ο μιγαδικός ( ) ( )w z i z i= + ⋅ + είναι φανταστικός.

Α) να δειχθεί ότι 1z = (5 μονάδες)

Β) να δειχθεί ότι 2 22 3 3 2 1z z z z− + = − + (5 μονάδες)

Β) να δειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού 2 3

2 3

ziv

zi

+=

+ ανήκει στον μοναδιαίο κύκλο. (5 μονάδες)

Γ) να δειχθεί ότι ο μιγαδικός ( )

5

5

z iu

z i

+=

+ είναι πραγματικός. (5 μονάδες)

Δ) για κάθε μιγαδικό b να δειχθεί ότι ισχύει 2b z b z− + + ≥ (5 μονάδες)

ΘΕΜΑ Δ

Έστω μιγαδικός z με 3z = (1)

Α) να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μιγαδικού 9

w zz

= + (5 μονάδες)

και να δειχθεί ότι η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών z και w είναι σταθερή.

(2 μονάδες)

Β) αν είναι 1 2,z z δύο μιγαδικοί που ικανοποιούν τη σχέση (1) για τους οποίους ισχύει

1 2 3z z− = , να υπολογιστεί το μέτρο 1 2z z+ . (6 μονάδες)

Γ) να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του μιγαδικού ( ) ( )2 ,u iσυνθ ηµθ θ= + ∈ℝ

(6 μονάδες)

Δ) να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη δυνατή τιμή του z u− (6 μονάδες)

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!




ΛΥΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ Α

Α. Να αποδειχθεί ότι 1 2 1 2 1 2, ,z z z z z z⋅ = ⋅ ∈ℂ (σχολικό βιβλίο σελ. )

Β. Τι ονομάζεται μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού; (σχολικό βιβλίο σελ. )

Γ. ΛΑΘΟΣ-ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ-ΣΩΣΤΟ-ΣΩΣΤΟ

ΘΕΜΑ Β

Α) ( ) ( ) ( )1 2 11 2 2 5 1 2 11 2 2 5i z i i z i− − + = ⇔ − − − = ⇔

( ) ( )11 21 2 2 5 1 2 3 4 2 5

1 2

ii z i z i

i

− − − = ⇔ − ⋅ − + = ⇔ −

( ) ( )5 3 4 2 5 3 4 2z i z i⋅ − + = ⇔ − + =

Άρα ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας Μ(z) είναι ο κύκλος με

κέντρο το Κ(3,4) και ακτίνα ρ=2.

Β) ( ) 2 23 4 5OK = + =

min ( ) 5 2 3

max ( ) 5 2 7

z OK

z OK

ρ

ρ

= − = − =

= + = + = άρα είναι 3 7z≤ ≤

Γ) αφού για τους 1 2,z z που ικανοποιούν τη σχέση (1) ισχύει

1 2 4 2z z ρ− = = , άρα οι εικόνες τους είναι σημεία

αντιδιαμετρικά του κύκλου.

Έχουμε 1 2 2 2 5 10z z+ = ΟΑ+ΟΒ = ⋅ΟΚ = ⋅ =��

Δ) αν w=x+yi έχουμε: ( ) ( )2 2 2 2w w x yi x yi− = + ⇔ − + = + +

( ) ( )2 22 22 2 .... 0x y x y x− + = + + ⇔ ⇔ =

Άρα ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας N(w) είναι η ευθεία x=0 , δηλαδή ο άξονας y΄y.

H ελάχιστη δυνατή τιμή του z w− είναι η απόσταση του κύκλου από τον άξονα y΄y.

Άρα ( )min , 3 2 1z w d K y΄y ρ− = − = − =



ΘΕΜΑ Γ

Α ) ( ) ( ) ( ) ( )w I w w z i z i z i z i∈ ⇔ = − ⇔ + ⋅ + = − − ⋅ −

1 1zz iz iz zz iz iz+ + − = − + + + ⇔

2

2 2 1 1zz z z= ⇔ = ⇔ =

Β) είναι 2 1

1 1 1z z z z zz

= ⇔ = ⇔ ⋅ = ⇔ =

Έχουμε ότι 2 2 22 3 2 3 2 3z z z z z z− + = − + = − + =

222

22 2

3 2 11 1 3 2 12 3 3 2 1

z zz zz z

z z z z

− +− +− + = = = − +

Γ ) για να δειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού 2 3

2 3

ziv

zi

+=

+ ανήκει στον μοναδιαίο κύκλο αρκεί να

δειχθεί ότι 2 22 32 3

1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 32 3 2 3

ziziv zi zi zi zi

zi zi

++= ⇔ = ⇔ = ⇔ + = + ⇔ + = +

+ +

( )( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 3 2 3zi zi zi zi+ − = + − + ⇔

4 6zi− 6zi+ 9 4 6zz zz zi+ = + 6zi− 9 5 5 1zz z+ ⇔ = ⇔ = που ισχύει από το (Α).

Γ) έχουμε ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )

5 5

55 5 5 525

5 55 2 5 55

5

1 1

11

izi i izz i i i z i zz zu uizz i i iz i zi i z

izz

−− − −− − + + = = = = = = =−− − − +− + −

άρα ο u είναι πραγματικός.

Ε) επειδή είναι z b b z− = − σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα έχουμε

( ) ( ) 2 2 2b z b z z b b z z b b z z z− + + = − + + ≥ − + + = = =

ΘΕΜΑ Δ

Α) έχουμε 2 9

3 9 9z z zz zz

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Άρα 9

2 ,w z z z x ό z x yiz

που= + = + = ⋅ = +

άρα w∈ℝ



Όμως 3 3x− ≤ ≤ άρα 6 2 6 6 6x w− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤

Άρα ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του w είναι το ευθύγραμμο τμήμα του άξονα x΄x με άκρα τα σημεία (-6,0) και (6,0) .

η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών z και w είναι ( ) 3z w z z z z z− = − + = = = (σταθ.)

Β) 1 2

3 32 2 3 3

2z z+ = ΟΑ+ΟΒ = ⋅ΟΚ = ⋅ =

��

Διότι είναι ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 9 279

4 4OK OA AK OK= − ⇔ = − =

.

Άρα ( ) 3 3

2OK =

Γ) ( ) ( )2 ,u iσυνθ ηµθ θ= + ∈ℝ

Έστω , ,u x yi x y= + ∈ℝ

Άρα ( )

22 2

2

2 2

212 4

4

x xx xy

yy y

συνθ συνθ συν θηµθ ηµθ ηµ θ

+= = = ⇔ ⇔ + =

= = = ⇔

Άρα ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του u είναι η έλλειψη με εστίες στον άξονα x΄x ,

α=2 και β=1 ( άρα 2 2 3aγ β= − = )

Δ) ( )min 3 2 1z u A ρ α− = Γ = − = − =

( )max 3 2 5z u A΄ ρ α− = Γ = + = + =

Άρα 1 5z u≤ − ≤




ΘΕΜΑ Α

Α. Να αποδειχθεί ότι 1 2 1 2 1 2, ,z z z z z z+ = + ∈ℂ (9 μονάδες)

Β. Τι παριστάνει η εξίσωση 0oz z ρ− = > , όπου zo ένας γνωστός μιγαδικός ; (3 μονάδες)

Γ. Τι παριστάνει η εξίσωση 1 2z z z z− = − , όπου z1 , z2 δύο γνωστοί μιγαδικοί ; (3 μονάδες)

Δ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ).

α) Ισχύει πάντα ότι 1 2 1 2 1 2, ,z z z z z z C− ≤ + ∀ ∈

β) Αν είναι 0 0 0z z w w− + − = τότε αναγκαστικά είναι 0 oz z w wκαι= =

γ) Αν είναι 2 2z z ό z ή z Iτ τε= ∈ ∈ℝ

δ) Οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα y΄y.

ε) Αν είναι *,i iν ν= − ∈ℕ τότε ο (ν-3) είναι πολλαπλάσιο του 4.

(10 μονάδες)

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει: 2 5 4z z− = − (1)

Α) να δειχθεί ότι ισχύει 2 1z − = και να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας Μ(z).

( 6 μονάδες)

Β) να δειχθεί ότι 4 5 4 6z i≤ − + ≤ . ( 6 μονάδες)

Γ) να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μιγαδικού 1

2 , 22

w z zz

= − − ≠−

(5 μονάδες)

και να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη απόσταση των εικόνων των μιγαδικών z και w

(3 μονάδες)

Δ) Αν οι μιγαδικοί 1 2,z z ικανοποιούν την (1) και είναι ρίζες της εξίσωσης

2 4 0 ,x x k k− + = ∈ℝ , να βρεθούν οι 1 2,z z καθώς επίσης και η τιμή της παραμέτρου k.

(5 μονάδες)



ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται ότι ο μιγαδικός 1

1 3

2 2z i= − + είναι ρίζα της εξίσωσης 2 0 , ,z zα β α β+ + = ∈ℝ

Α) να δειχθεί ότι 1α β= = (5 μονάδες)

Β) αν z2 η άλλη ρίζα της εξίσωσης να δειχθούν οι σχέσεις: 2 3 31 2 1 2, 1z z z z= = = (6 μονάδες)

Γ) να δειχθεί ότι 20151 2014

2

11 0z

z+ + = (5 μονάδες)

Δ) αν για το μιγαδικό w ισχύει 1 3

2 1 32 2

w w+ + + = , να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος

της εικόνας Μ(w) είναι κύκλος με κέντρο 1

,02

K −

και ακτίνα 3

2ρ = (5 μονάδες)

Ε) να βρεθεί η τιμή της παράστασης 2 2

1 2K w z w z= − + − , όπου w ο μιγαδικός του

παραπάνω ερωτήματος (4 μονάδες)

ΘΕΜΑ Δ

Έστω μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει 2z = (1)

Α) να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μιγαδικού 8

, 0w z zz

= + ≠ (5 μονάδες)

και να δειχθεί ότι η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών z και w είναι σταθερή.

(2 μονάδες)

Β) αν είναι 1 2,z z δύο μιγαδικοί που ικανοποιούν τη σχέση (1) για τους οποίους ισχύει

1 2 2 2z z− = , να υπολογιστεί το μέτρο 1 2z z+ . (6 μονάδες)

Γ) αν 1 2,w w είναι δύο μιγαδικοί που βρίσκονται στον γεωμετρικό τόπο του w για τους

οποίους είναι 1 2 12w w− = , να βρεθεί η τιμή του μέτρου 1 2w w+ . (6 μονάδες)

Δ) αν για τις εικόνες των μιγαδικών 1 2,u u ισχύει ότι Γ(u1) εσωτερικό σημείο του κύκλου Μ(z)

και Δ(u2) εξωτερικό σημείο του κύκλου Μ(z) να δειχθεί ότι 1 2 1 24 2u u u u− ⋅ < ⋅ − .

(6 μονάδες)

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!!




ΘΕΜΑ Α

Α. ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (σελ. )

Β. ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (σελ. )

Γ. ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ (σελ. )

Δ. ΣΩΣΤΟ-ΣΩΣΤΟ-ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ-ΣΩΣΤΟ

ΘΕΜΑ Β

Α) Θέτω 2 2z u z u− = ⇔ = +

( )

( ) ( ) ( ) ( )22

(1) 2 2 5 2 4 2 1 2

2 1 2 2 1 2 1 2 2

4 2 2 1 2 2 4 ... 1

u u u u

u u u u u u

uu u u uu u u u

⇒ + − = + − ⇔ − = −

⇔ − = − ⇔ − − = − −

⇔ − − + = − − + ⇔ ⇔ =

Άρα 2 1z − = , άρα ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας Μ(z) είναι ο κύκλος με κέντρο το Κ(2,0)

και ακτίνα ρ=1.

Β) έχουμε ( )5 4 5 4z i z i− + = − − . Έστω ( )5, 4P −

Άρα ( )max 5 4 5 1 6z i PK ρ− + = + = + =

Και ( )min 5 4 5 1 4z i PK ρ− + = − = − = . Άρα 4 5 4 6z i≤ − + ≤

Γ) Έχουμε ( ) ( )2 12 1 2 1 2 2 1 2

2z z z z z

z− = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ − =

−

Άρα 1

2 2 ( 2) z z 2 yi2

z x yi

w z w z zz

= +

= − − ⇔ = − − − = − =−

Άρα ( )N w y΄y∈ . Όμως 1 1 2 2 2 2 2y y w− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤

Άρα ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του μιγαδικού w είναι το ευθύγραμμο τμήμα του άξονα

y΄y με άκρα ( ) ( )0, 2 0,2A Bκαι−

Έχουμε ( ) w z z z z z zΜΝ = − = − − = − =

Άρα ( )min min 2 1 1w z z OK ρ− = = − = − =

Και ( )max max 2 1 3w z z OK ρ− = = + = + =



Δ) Επειδή είναι 1 2 4z zβα

+ = − = .

Αν 1 2,z z ∈ℝ τότε προφανής λύση

είναι 1 21 , 3z z= =

Άρα 1 2 3z zγ

κ κα

⋅ = = ⇔ =

Αν 1 2,z z C∈ τότε 2 1z z= , άρα

1 1 1 14 2Re( ) 4 Re( ) 2z z z z+ = ⇔ = ⇔ =

Επειδή όμως οι εικόνες των μιγαδικών 1 2,z z

βρίσκονται στον κύκλο του z άρα

(βλέπε σχήμα)

είναι 1 22 , 2z i z i= + = −

Έχουμε ( )( )1 2 2 2 5z z i i⋅ = + − =

Όμως 1 2 5z zγ

κ κα

⋅ = = ⇔ =

ΘΕΜΑ Γ

Α) είναι γνωστό ότι η άλλη ρίζα της εξίσωσης είναι η συζυγής της. Άρα 2

1 3

2 2z i= − −

Επειδή είναι 1 2 1 2,z z z zβ γ

κ λα α

+ = − = − ⋅ = =

Όμως 1 2 1 2... 1 , ... 1z z z z+ = = − ⋅ = =

Άρα είναι 1 1κ και λ= =

Β) έχουμε

2

21 2

1 3 1 3...

2 2 2 2z i i z

= − + = = − − =

Αφού 1

2 3 2 3 21 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1

z

z z z z z z z z⋅

+ + = ⇔ + + = ⇔ = − − =

Γ) έχουμε 2015 3 671 2 , 2014 3 670 1= ⋅ + = ⋅ +

Άρα ( )6712015 3 2 671 2 21 1 1 1 11z z z z z= ⋅ = ⋅ =



και ( )6702014 32 2 2 2 1...z z z z z= ⋅ = = =

άρα έχουμε : 2015 2 21 1 1 1 1 22014

2 2

1 11 1 1 0 ( 1)z z z z z z

z z+ + = + + = + + = =

Δ) έχουμε: 1 3 1 1 3 1 1 3

2 1 3 2 3 2 32 2 2 2 2 2 2 2

w w w w w w+ + + = ⇔ + + + = ⇔ + + + = ⇔

1 3 1 33 3

2 2 2 2w w+ = ⇔ + =

Άρα ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας Μ(w) είναι κύκλος με κέντρο 1

,02

K −

και ακτίνα

3

2ρ = .

Ε) Παρατηρούμε ότι οι εικόνες των

μιγαδικών ( ) ( )1 2,z zΑ Β είναι

αντιδιαμετρικά σημεία του παραπάνω

κύκλου (βλέπε σχήμα) . Άρα για κάθε σημείο

Μ(z) του κύκλου η γωνία 0ˆ 90AMB = , Άρα

ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Έχουμε ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2

1 2 2 3K w z w z AM BM AB ρ= − + − = + = = =



ΘΕΜΑ Δ

Α) Έχουμε: 2 4 8

2 4 4 2z z z z z zz z

= ⇔ = ⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔ =

8

2 3z i

w z z z iz

α β

α β= +

= + = + = − . Έστω w x yi= +

Άρα έχουμε 2 2

2 2 222

4

34 13

2 9 36 4

zxx x x y

yy

yα β

α αβ β

=

+ =

= = ⇔ ⇔ + = ⇔ + = = − = −

Άρα ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του μιγαδικού w είναι η έλλειψη με εστίες στον άξονα

x΄x και 2 26 , 2 , 32 6 2α β γ α β= = = − = =

Έχουμε 8 8 8 8

42

w z z z ήz z z

σταθερ− = + − = = = = =

Β) Προφανώς ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του μιγαδικού z είναι ο κύκλος με κέντρο

Ο(0,0) και ακτίνα ρ=2

Από τον κανόνα του παραλληλογράμμου ή με χρήση του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε

1 2 2 2z z+ = .

Γ) αφού 1 2,w w είναι δύο μιγαδικοί που βρίσκονται στον γεωμετρικό τόπο του w για τους

οποίους είναι 1 2 12w w− = αναγκαστικά οι εικόνες τους βρίσκονται στις κορυφές του μεγάλου

άξονα , άρα έχουμε 1 2 0 ,w w ύαϕο+ = ΟΓ +Ο∆ = Ο∆ = −ΟΓ��

.



Δ) αφού η εικόνα του u1 είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου του z , ενώ η εικόνα του u2 είναι

εξωτερικό σημείο του κύκλου του z.

Άρα είναι 1 22 2u uκαι< > (2)

Έχουμε: 2 2

1 2 1 2 1 2 1 24 2 4 4u u u u u u u u− ⋅ < ⋅ − ⇔ − ⋅ < ⋅ − ⇔

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 24 4 4u u u u u u u u− ⋅ − ⋅ < ⋅ − − ⇔

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 216 4 4 4 4 4 4u u u u u u u u u u u u u u u u− ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ < + − − ⇔

1 2 1 2 1 1 2 216 4 4 0u u u u u u u u+ ⋅ ⋅ ⋅ − − < ⇔

( ) ( ) ( )( )2 2

1 1 2 2 1 24 4 0 4 4 0u u u u u u− − < ⇔ − − < που ισχύει λόγω των σχέσεων (2).

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΟΚΤ.2014 Τμήμα:………………………………..

Ονοματεπώνυμο………………………….………

Βαθμός………………………………….

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΘΕΜΑ 1ο

1 2

z ,z 1 2 1 2

z z z z

z x yi

1 2

z ,z 1 2

Re(z z ) 0 1 2

Re(z ) Re(z ) 0 .

.

i i

22

z z z .

1

z 1 2

z z 2 2 1

z z .

z1 , z

2 2 2

1 2 1 2z z 0 z z 0 5)

2

z z 3i

f z , z 3iz 3i

3

1z 3i 3f i .

f z 1 z z 3i . )

f z f z z )

1z . )

w

1 1

1

if z zw z

2 5 i

)

w

)

3

z,w

3 2 2z 3z 3z 1 z 2z 1 3 z 1 z w iw .

) z K 1,0

)

) w. )

) 23 2

z 3z z 3z 1 1 2z 2 . )

) 1 2

z ,z z 1 2

z z 2 1 2

Im z Im z

1 2

z z 6 . )

) )

ΛΥΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1

Α 3: Σ Σ Λ Σ Λ

ΘΕΜΑ 2

z 3i z 3iz 3if z 1

z 3i z 3i z 3i

z 3i z 3if z f z z 3i z 3i z 3i z 3i

z 3i z 3i

2 2zz 3iz 3iz 9i zz 3iz 3iz 9i 6iz 6iz z z z I

3

1

i 3i 4iz 3i 3f i 3i 3 3i 3 3 3i

i 3i 4i

22

1 11 1

12

2

i f z z 3 31 1 3 3iif z z 18w z 2

32 5 i 92 5 i 2 5

.

w 1

K z 2 .

w

w

OK

31

3 y x .

2 2

x 3 y 3 2

22 2 2

x 3 x 3 2 x 3 x 3 2

2 2

2 x 3 2 x 3 1 x 3 1 x 2 x 4

x 4 y 4 A 4,4 w w 4 4i .

x 2 y 2 B 2,2 w w 2 2i .

ΘΕΜΑ 3

3 23 2 2

z 3z 3z 1 z 2z 1 3 z 1 z 1 z 1 z 1 3 0

3 2

z 1 z 1 z 1 3 0

2

z 1 1 z 1 2 z 1 3 0

1 1 1 3 1

1 2 3

1 2 3 0

z 1 1 2

z 1 2 z 1 3 0 0 ).

z K 1,0

z w iw z 1 i w z 1 1

2 2

1 1 i1 i w 1 1 1 i w 1 1 i w 1

1 i 1 1

1 1 1 1 1 22 w i 1 w i

2 2 2 2 22.

w

1 1,

2 2

2

2.

333 2 3 2

z 3z 3z 1 z 3z 3z 1 z 1 z 1 1

2 222 2

z 1 2z z 1 2z z 1 2z z 1 z 1 1

23 2

z 3z z 3z 1 1 2z 2

1 2

z ,z

1 2

z z OA OB 2O 2 O

2

2 2 2 2 2 1K KA A 1

2 2

2 2 2 1 3 3 6

O OK K 1 O2 2 2 2

1 2

6z z 2 6

2

w x yi, x,y .

z 1 i x yi x yi xi y x y x y i .

2 2 2 2 2 2 2

OM x y x y x 2xy y x 2xy y 2

2 2OM 2x 2y ,

2

2 2ON x y

2 2 2 2MN z w x y x y i x yi y xi y x .

2 2 2

2 2ON MN 2x 2y OM , OMN

.

Κ

1A z 2

B z Γ

Ο

_____________________________________________________________________________________ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης

Διαγώνισμα Μιγαδικών – Συναρτήσεις

1ο ΘΕΜΑ Α. Να αποδείξετε τις παρακάτω σχέσεις:

(i) 2121 zzzz +=+ Μονάδες 5

(ii) 2121 zzzz ⋅=⋅ Μονάδες 6

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α. Ισχύει ότι z2 = zz και 0=+− zz Μονάδες 2

β. Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων

τους. Μονάδες 2

γ. Αν 21 zz = , τότε οι z1, z2 είναι ίσοι ή αντίθετοι. Μονάδες 2

δ. Αν η f : Α → ℝ είναι «1 – 1» τότε f(α) = f(β) ⇔ α = β Μονάδες 2

ε. Οι γραφικές παραστάσεις των f και f –1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x. Μονάδες 2

στ. Αν η Cf έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία y = x, τότε και το Α ανήκει και στη γραφική

παράσταση της 1−fC της f –1. Μονάδες 2

ζ. Τα κοινά σημεία των 1−fC και Cf βρίσκονται πάνω στην ευθεία y = x. Μονάδες 2

2ο ΘΕΜΑ

Α. Αν z1, z2, z3 ∈ℂ* με 1zzz 321 === και z1 + z2 + z3 = 1 τότε να δείξετε ότι:

1z1

z1

z1

321

=++ . Μονάδες 6

Β. Έστω iz2zw

−+

= με z∈ℂ και z ≠ i.

Αν ο w είναι πραγματικός, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z. Μονάδες 6

Γ. Να βρεθεί ο μιγαδικός z όταν ισχύει: 2z – Re(z)i = (Re(z) – 2Im(z))i + 2 Μονάδες 6

Δ. Aν 7i31z =+− , να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w, όταν ισχύει

2z – w = 3 – 7i. Μονάδες 7

_____________________________________________________________________________________ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης

3ο ΘΕΜΑ

Αν για μια συνάρτηση ισχύει ότι (fοf)(x) + 3f(x) = 2x – 3, για κάθε x ∈ ℝ και f(3) = 2, τότε

A. Να δείξετε ότι η f είναι «1 – 1». Μονάδες 5 B. Να λύσετε την εξίσωση f –1(e2x – 1) = 3 Μονάδες 6

Γ. Αν f(1) = 0 και η f γνησίως μονότονη να λύσετε την ανίσωση )2(f1x2xf1f 1 ≥

+−

+ −

Μονάδες 7

Δ. Να βρείτε που ανήκει το σύνολο των εικόνων Μ του μιγαδικού z, για τον οποίον ισχύει:

( ) 23i2zf >−− Μονάδες 7

4ο ΘΕΜΑ Για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν αντιστοίχως οι σχέσεις: 1)zz(izz =−+ και

( )2014 1 2iw 32 i−

− =+

Α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο C1 των εικόνων των z στο μιγαδικό επίπεδο. Μονάδες 6

Β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο C2 των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο. Μονάδες 6

Γ. Αν Μ(z) ∈ C1 και N(w) ∈ C2 , να βρείτε την ελάχιστη και μέγιστη τιμή του μέτρου wz −

Μονάδες 6

Δ. Αν z1, z2 ∈ C1 και w1, w2 ∈ C2 τότε να αποδείξετε ότι: ( )212wwzz 2121 +≤−+−

Μονάδες 7

Απαντήσεις διαγωνίσματος Μαθηματικών Κατεύθυνσης Επιμέλεια: Κάκανος Γιάννης

Απαντήσεις διαγωνίσματος Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου 1ο ΘΕΜΑ Α. (i) Σχολικό βιβλίο, σελίδα 91 (ii) Σχολικό βιβλίο, σελίδα 98

B. α. Λ, β. Σ, γ. Λ, δ. Σ, ε. Σ, στ. Σ, ζ. Λ.

2ο ΘΕΜΑ

A. 1

1112

11 z1z1zz1z1z =⇔=⋅⇔=⇔= .

Ομοίως 2

2 z1z = ,

33 z

1z =

Άρα 1 2 3 1 2 3z z z 1 z z z 1+ + = ⇔ + + = ⇔

1 2 3z z z 1⇔ + + = ⇔

1 2 3

1 1 1 1z z z

⇔ + + =

Β. w: πραγματικός w w⇔ = ⇔

z 2 z 2z i z i

+ +⇔ = ⇔

− +

( )( ) ( )( )z 2 z i z 2 z i⇔ + + = + − ⇔

( )( ) ( )( )z 2 z i z 2 z i⇔ + + = + − ⇔

zz 2z zi 2i zz 2z zi 2i⇔ + + + = + − − ⇔

(z z)i 2(z z) 4i 0⇔ + − − + = ⇔

2xi 4yi 4i 0⇔ − + = ⇔

x 2y 2 0⇔ − + = , ευθεία.

Γ. 2z – Re(z)i = (Re(z) – 2Im(z))i + 2 ⇔

⇔ 2x + 2yi – xi = (x – 2y)i + 2⇔

⇔

=

=⇔

−=−=

21y

1x

y2xxy22x2


Δ. 2z – w = 3 – 7i ⇔2z – 2 + 6i = w + 3 – 7i – 2 +6i ⇔

⇔ 2(z – 1 + 3i) = w + 1 – i ⇔

⇔ 2 z 1 3i w 1 i− + = + − ⇔

w 1 i 14⇔ + − =

Άρα κύκλος με κέντρο Κ(–1, 1) και ακτίνα ρ = 14.

3ο ΘΕΜΑ

Α. Έστω x1, x2 ∈ ℝ με f(x1) = f(x2) ⇔ ))x(f(f))x(f(f 21 = �

f(x1) = f(x2) ⇔ 3f(x1) = 3f(x2) �

Από � + � ⇔ 1 1 2 2f (f (x )) 3f (x ) f (f (x )) 3f (x )+ = + ⇔

1 22x 3 2x 3⇔ − = − ⇔

1 22x 2x⇔ = ⇔

21 xx =⇔ άρα η f: «1 – 1».

Β. f –1(e2x – 1) = 3 ⇔ f –1(e2x – 1) = f(2) 11:f −

⇔

⇔e2x – 1 = 2 ⇔

⇔2

2n1x2n1x2 ll +=⇔=−

Γ. ⇒

==

0)1(f2)3(f

1 < 3 ⇒f(1) < f(3) τονηµονωςγνησ

⇒όί:f

f: γνησίως αύξουσα.

Είναι f: ί ύ

1 x 2f 1 f f (2)x 1

γνησ ως α ξουσα− − + ≥ ⇔ +

1 x 21 f 2x 1

− − ⇔ + ≥ ⇔ +

f : ί ύ

1 x 2f 1x 1

γνησ ως α ξουσα− − ⇔ ≥ ⇔ +


1 x 2f f f (1)x 1

− − ⇔ ≥ ⇔ +

x 2 0 x ( , 1) [2, )x 1

−⇔ ≥ ⇔ ∈ −∞ − ∪ + ∞

+

Δ. ( ) ( )f: ί ύ

f z 2i 3 2 f z 2i 3 f (3)γνησ ως α ξουσα

− − > ⇔ − − > ⇔

z 2i 3 3⇔ − − > ⇔

z 2i 6⇔ − >

που είναι τα εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο Κ(0, 2) και ακτίνα ρ = 6.

4ο ΘΕΜΑ Α. 01y2yx1)zz(izz 22 =−−+⇔=−+

Α2 + Β2 – 4Γ = (–2)2 – 4(–1) = 8 > 0 άρα παριστάνει κύκλο με κύκλο Κ1(0, 1) και ακτίνα

ρ1 = 22

2228

24BA 22

===Γ−+

Β. ( ) ( )2014 20141 2i 1 2iw 3 w 32 i 2 i− −

− = ⇔ − = ⇔+ +

2014 1 2iw 3

2 i−

⇔ − = ⇔+

2014 5w 35

⇔ − = ⇔

2014w 3 1⇔ − = ⇔

w 3 1⇔ − =

άρα κύκλος με κέντρο Κ2(3, 0) και ακτίνα ρ2 = 1

Γ. (Κ1Κ2) = 1019)10()03( 22 =+=−+−

1210)(wz 2121 −−=ρ−ρ−ΚΚ=−ελ

1210)(wz 2121 ++=ρ+ρ+ΚΚ=−µεγ

Δ. Επειδή z1, z2 ∈ C1 ισχύει 22zz2zz 21121 ≤−⇔ρ≤− �


Επειδή w1, w2 ∈ C2 ισχύει 2ww2ww 21221 ≤−⇔ρ≤− �

Από � + � ⇔ ( )212wwzz 2121 +≤−+−

Γ΄ ΤΑΞΗ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΘΕΜΑ 1o

Α. Να αποδείξετε ότι: z w z w

Μονάδες 9

B. Τι ονομάζουμε μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z; (Να δώσετε τον ορισμό με γεωμετρικό και

αλγεβρικό τρόπο)

Μονάδες 6

Γ.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή

Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

α) Για κάθε μιγαδικό 1 2,z z ισχύει 1 2 1 2z z z z

Μονάδες 2

β) Για κάθε μιγαδικό 1 2,z z ισχύει η ισοδυναμία 1z > 2z 1z - 2z >0.

Μονάδες 2

γ) Αν z μιγαδικός με 3 1z τότε 5

5 3 3( ) 1z z

Μονάδες 2

δ) Αν 1z , 2z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει πάντα 1 2 1 2 1 2| z | | | | | | | | |z z z z z .

Μονάδες 2

ε) Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z,w ισχύει 2 2 2

z w z w

Μονάδες 2

ΘΕΜΑ 2o

Δίνονται οι μιγαδικοί 1 2z i και 2 1 2z i να αποδείξετε ότι:

α) 1

2

z

z=i

β) 1 2

1 2

xz zi

z xz

, x

γ) 2014 2014

1 2 0z z

δ) Aν A, B είναι οι εικόνες των 1z , 2z και Ο(0,0) δείξτε ότι το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο

ισοσκελές.

ε)Aν για τον μιγαδικό z ισχύει z =1 , να δείξετε ότι: 1

2

3 1 3 1

3 1 3 1

z z

z z

Μονάδες (5x5)

ΘΕΜΑ 3o

α) Αν 1 2 3, ,z z z και Α,Β,Γ οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο ώστε ΑΒΓ τρίγωνο και

3 2

2 1

1 3

2

z z i

z z

να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.

Μονάδες 11

β) Έστω οι μιγαδικοί z για τους οποίους ισχύει: 4

Re 2Re( )z zz

i) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z.

ii) Αν Re(z)≠0, να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός 4

w zz

είναι πραγματικός και ισχύει -4≤w≤4

Μονάδες 7+7

ΘΕΜΑ 4o

Δίνεται η ισότητα z+iz+(2z-1)x-1=0 με x πραγματικό,

i)Να δειχτεί ότι 2Re( ) Im( ) 2z z z

ii) Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι κύκλος 1C κέντρου Κ

1 1( , )4 4 και ακτίνας R=

2

4 από

τον οποίο εξαιρείται το σημείο

1,0

2.

iii) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο 2C του z .

iv) Αιτιολογήστε ότι τα κοινά σημεία των 1C , 2C βρίσκονται στον x΄x και να τα βρείτε.

v) Να βρείτε το μέγιστο του z z

vi) Αν z z =max z z να βρεθεί ο z.

Μονάδες (5x4+5)

Καλή επιτυχία!

Βαγγέλης Ραμαντάνης

1

Γ΄ ΤΑΞΗ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΛΥΣΕΙΣ)

ΘΕΜΑ 1o

A. 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z i i i i

1 2( ) ( )i i z z

Β. Έστω M(x, y) η εικόνα του μιγαδικού z x yi

στο μιγαδικό επίπεδο. Ορίζουμε ως μέτρο του z την απόσταση του M από την αρχή O, δηλαδή

2 2| | | |z OM x y

Γ. i) Σ ii) Λ iii) Λ

iv) Σ v) Λ

ΘΕΜΑ 2o

i) i. 2z 1 2i i = 2 i = 1z άρα 1

2

z

z=i

ii) Από i) 1 2z iz ( 2 0)z

1 2 2 2 2

1 2 2 2 2

(xi 1)

( )

xz z xz i z z

z xz z i xz z i x=

xi 1

i x=

i( )i xi

i x

iii) 2014 2014 2014 2014 2014 2014 20141 2 2 2 2 2( )z z iz z i z z = 4 503 2 2014 2014

2 2( )i i z z 2014 20142 2 0z z

iv) 1 2 1 2 1 2 ( ) ( )z iz z iz z z άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

1 2 2 2 2 2( 1) . 2 ( )z z iz z z i z AB

Επειδή 2 2 22 2 2

2 1 22AB z z z OA OB το τρίγωνο ΟΑΒ είναι

ορθογώνιο.

v) 1ος τρόπος

z =1 συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο μοναδιαίος κύκλος.

Επειδή (ΟΑ)= 1 2 3 1z i , το Α εξωτερικό σημείο του μοναδιαίου κύκλου, άρα

13 1 3 1z z (1)

Είναι (ΟΒ)= 2 1 2 3 1z i Β εξωτερικό σημείο του μοναδιαίου κύκλου, άρα

x

M(x,y)

|z |

Ο

β

a

y

2

23 1 3 1z z 2

1 1 1

3 1 3 1z z (2) πολλαπλασιάζοντας τις (1) και (2) (όλοι

οι όροι μη αρνητικοί) προκύπτει

1

2

3 1 3 1

3 1 3 1

z z

z z

2ος τρόπος

1 1 1 11 3 1 3z z z z z z z z 13 1 1 3z z (1)

2 2 2 21 3 1 3z z z z z z z z 23 1 1 3z z

2

1 1 1

3 1 3 1z z (2)

Πολλαπλασιάζοντας τις (1),(2) κατά μέλη έχουμε:

1

2

1 1 13 1 1 3

3 1 3 1z z

z z

1

2

3 1 3 1

3 1 3 1

z z

z z

ΘΕΜΑ 3o

A.

3 2

2 1

1 3

2

z z i

z z

3 2

2 1

1 3

2

z z i

z z

3 2

2 1

1z z

z z 3 2 2 1z z z z

άρα (ΒΓ)=(ΑΒ) (1)

3 2

2 1

1 3

2

z z i

z z

3 2 2 1

2 1

1 3 2

2

z z z z i

z z

3 1

2 1

1 3

2

z z i

z z

3 1

2 1

1 3

2

z z i

z z

3 1

2 1

1z z

z z 3 1 2 1z z z z

(ΑΓ)=(ΑΒ) (2)

Από (1),(2) το ΑΒΓ τρίγωνο είναι ισόπλευρο

B. i) Πρέπει z 0

) 2(4

Re z Re zz

4 4

22 2

z zz zz z

4 42( )z z z z

z z

4 0z z

z zzz

1

( )(1 4 ) 0z zzz

2

0 ή 4 4 2z z zz z z

Ο γεωμετρικός τόπος είναι ο άξονας ψ΄ψ (x=0) ή ο κύκλος κέντρου (0,0) και ακτίνας 2 , με

εξαίρεση το σημείο (0,0).

ii) Αν Re(z)≠0 τότε ο γεωμετρικός τόπος του z είναι ο κύκλος κέντρου (0,0) και ακτίνας 2.

Ο γεωμετρικός τόπος του z είναι ο κύκλος κέντρου (0,0) και ακτίνας 2 συνεπώς

-2 Re( ) 2z -4 2 Re( ) 4z -4 ≤w ≤ 4

3

ΘΕΜΑ 4o

i) z+iz+(2z-1)x-1=0 (2z-1)x=1-z-iz (1)

Αν 2z-1=0 1

2z στην (1) 0=

1 1

2 2i άτοπο

Άρα 1

2z * οπότε

2 1

1x

z

z iz άρα

1 1

2 1 2 1

z iz z i

z

z

z 2 1 2 2 2 2 2 1z zz z izz iz z zz izz z iz

4 ( ) 0z z izz i z z 2

2Im( ) 4 2Re( ) 0z i i z i z 2Re( ) Im( ) 2z z z

ii) Aν z=x+ψi με x,ψ τότε

2Re( ) Im( ) 2z z z 2 22( ) x x

2 2( ) 02 2

x

x

. ο γεωμετρικός τόπος του z είναι κύκλος 1C κέντρου Κ 1 1

( , )4 4

και

ακτίνας R=2

4, δηλαδή 2 21 1 1

( ) ( )4 4 8

x {*το σημείο 1

( ,0)2

εξαιρείται του κύκλου}

iii) Η εικόνα του z είναι συμμετρική ως προς τον χ΄χ της εικόνας του z. Συνεπώς ο γεωμετρικός

τόπος της εικόνας του z είναι συμμετρικός του γεωμετρικού τόπου της εικόνας του z ως προς χ΄χ.

Άρα ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z έχει εξίσωση 2 21 1 1( ) ( )

4 4 8 x

2 21 1 1( ) ( )

4 4 8 x δηλαδή είναι κύκλος 2C

κέντρου Λ1 1

( , )4 4

και ακτίνας R=2

4 από τον

οποίο εξαιρείται το σημείο 1

( ,0)2

.

iv) τα κοινά σημεία των 1C , 2C είναι σημεία όπου z z z ψ=0

2 21 1 1( ) ( )

4 4 8

0

x

10 ή

2

0

x x

άρα τα κοινά σημεία των

δυο κύκλων είναι Α(0,0) και Β(1

,0)2

όμως το Β απορρίπτεται γιατί δεν

είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου.

v) Τα κέντρα των δυο κύκλων είναι σε ευθεία κάθετη στον χ΄χ λόγω

συμμετρίας ως προς τον χ΄χ οπότε το max z z επιτυγχάνεται για τα

σημεία που η ΚΛ τέμνει τους δυο κύκλους και επειδή οι κύκλοι τέμνονται

4

( δυο κοινά σημεία)

max z z =(ΚΛ)+ R+R= 1 2 1 2

22 4 2

.

vi) Τα κέντρα των δυο ίσων κύκλων είναι σε ευθεία κάθετη στον χ΄χ λόγω συμμετρίας ως προς τον χ΄χ

και επειδή το κέντρο Κ είναι κάτω από το κέντρο Λ οπότε το max z z επιτυγχάνεται για το

σημείο που η ΚΛ τέμνει τον 1C και είναι κάτω από τον χ΄χ έστω το σημείο Δ με τετμημένη χ=1

4 και

τεταγμένη ψ=1 1 2

4 4 4R Άρα ο z ώστε να έχουμε max z z είναι z=

1

4

1 2

4i

.

Βαγγέλης Ραμαντάνης

1o 2014-2015

1. z i

z =

i.

2. 2003

= i.

3.

4.

5.

6.

7. z 2 + 1) i

x x .

8. 1 2

z z z z z C z1, z

2 C

9. Αν z1 , z2 , τότε : z

2 2

1 2 2z z 0 z 0

10. 1 2 1 2

z z z z

11. z1 , z

2

1 2 1 2z z z z

12. z1 z

2

x x

1 2

1 2z z .

x2

1 2z ,z 0 1 2

2 1

z z1

z z

1) 3 3

1 2z z

2)

1821 1821

1 2

2 1

z z2

z z

3) 1 2

z ,z

.

4)

6 1

1 1 2

2 1

z z z

z z, .

z 0 z z z z 2 z .

) z

) u,w w u 1 zi

) 4

wz i

.

i. w K 0,2

ii. 1 2

w ,w w

1

2

w 3 2i15

5 w 3 2i

.

z z z z z z z .

) z

) 3 2z 3z 4z 12 6 .

) 1 2

z ,z z

1 2

z z 2 1 2

z z .

) 1 2

3z xz

2 x 1 2

1Re z z

2.

1

1o 2014-2015

2 2 2 21 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 1

z z1 z z z z z z z z 0

z z

3 3 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2z z z z z z z z

03 3

1 20 z z

3

3 3 1

1 2

2

zz z 1

z

3

2

1

z1

z

607 6071821 1821 3 3

607 6071 2 1 2

2 1 2 1

z z z z1 1 1 1 2

z z z z

1

z 2

z

1 2 1 2

OA OB AB z z z z

3 33 3 3 3

1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z

2 2

1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2z z z z z z z z z z z z

1 1 1 2 2 1 2 2

z z z z z z z z 2 2

z z 1 1 1 2 2 1

z z z z z z (1)

1 2

z z

2

2

1 1 2 2 1

1

z z z z zz

2

2

2

zz

2

2

1z

2

2

2

zz

1

z 1 2

2 1

z z1

z z

26 1 3

21 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2

2 1 2 2 1 2 1 2 1

z z z z z z z z z z z1 1 1

z z z z z z z z z

2 2

z z z z 2 z z z z z 2 z

2 2 2

z z z z 2 z z z z 4 z

2 22

z z z z z z z z 2 z z 4 z

z z2 22

zz z z z z z z zz z z z z z z 2 z z 4 z

2

2 2 2 2 2 22

z z z z z z z z z z z z 2 z z 4 z

2 22 2 2

2 z z 0 z z 0 z zz 0

z z z 0 z 0 z z z

) OA u , 2OB w u 1 zi u 1 z AB u w u u 1 zi z u

2 2 2

OA AB OB

) i. 2 2

4 4z 4w i

z i z 1 z 1

w x yi

2

2 2

4z 4 4x , y z 1

yz 1 z 1

4z x

x zy z4 y

y

w K 0,2

ii. w K 0,2

w 2i 2

w 2i 3 w 3 2i w 2i 3 1 w 3 2i 5

1

1 w 3 2i 5 2

2

1 11 w 3 2i 5 1

5 w 3 2i

1

1

2 2

w 3 2i1 1 11 w 3 2i 5 1 5

5 w 3 2i 5 w 3 2i

1

2

w 3 2i15

5 w 3 2i

) z z z z z z z z z z z z 0 z z 1 z z 1 0

z 1 z z 0 z 1 z z z

) 3 2 2 2 2z 3z 4z 12 z z 3 4 z 3 z 3 z 4 z 3 z 4

z 3 z 3 3 2 2 2z 4 z 4 1 4 3

2z 3 z 4 6

) 1 2

z ,z

1 2

z z AB 2 .

2

z

1 2 1 2

z z z z A

2 2 2

AB A B

1

22 2 2

1 x y 4y x y 2 4

3

2 2 22

1 2 1 2 1 22 z z 2 z z 2 z z 2

) 2

1 2 1 2 1 2 1 2

3 3 3z xz z xz z xz z xz

2 4 4

2 22

1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2

3 3z z xz z xz z z z z x z z z z x z 0

4 4

2

1 2

1x x 2Re z z 0

4 (1)

x

2 2

1 2 1 2 1 2

1 1 10 4 Re z z 4 0 Re z z Re z z

4 4 2

Complex Tests

Documents

Transcript of Complex Tests