COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA CLASSE 5D (recupero)Durata della prova 1 ora

1) a)Leggi la seguente definizione:

 Data la funzione f(x), definita in un intervallo A, se xo è un punto di accumulazione di A, diciamo che il limite di f(x) per x che tende ad x0 vale l, in simboli

se comunque si prende ε>0 esiste un intorno I(x0) completo di x0 tale che, per ogni x di I(x0) escluso al più il punto x0,si ha:

b)Osserva la figura a lato

c) Disponi opportunamente , nella figura, le etichette

xo I(xo) l ε

d) Qual è la definizione di punto di accumulazione?

2)Dopo aver dato la definizione di funzione continua in un punto, determina gli eventuali punti di discontinuità della seguente funzione, classificandoli

F(x)=

3)Con riferimento al quesito precedentea) Stabilisci se si può applicare alla funzione il teorema di Weierstrass ( enunciare il teorema)

nell’intervallo [-1;0]Determina, se esistono, il massimo e il minimo assoluto di F(x) nello stesso intervallo . Trova un intervallo del dominio di F(x) in cui è possibile applicare (alla stessa funzione) il teorema di esistenza degli zeri

LICEO SCIENTIFICO “CAVOUR”COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA CLASSE 5D (recupero)Durata della prova 1 ora

1) a)Osserva la figura a lato e leggi la seguente definizione:

 Data la funzione f(x), definita in un intervallo A , se c è un punto di accumulazione di A, diciamo che il limite di f(x) è + ∞ per x che tende a c ,in simboli

      

se comunque si prende un M>0 esiste un intorno completo di c I(c) in modo tale che per ogni xєI(x0)   si ha:f(x)>M

b)Disponi opportunamente, nella figura, le etichette M ed I(c)

c)Modifica opportunamente la definizione e il grafico adattandoli alla definizione di

2)Con riferimento alle funzioni seguenti,spiega perché si può affermare che solo f(x) possiede una

discontinuità <<eliminabile>>

A quale ( o a quali funzioni) si può applicare il teorema della permanenza del segno relativamente al punto c=0?.

3)Una funzione F(x) ha per dominio un intervallo [a;b] ed è ivi continua.Quale delle seguenti proprietà non è necessariamente verificata?

□ Il Codominio di F(x) è limitato□ F(x) ammette sia massimo che minimo assoluto□ F(x) assume tutti i valori compresi tra il suo massimo e il suo minimo□ Esiste almeno un punto interno ad[a;b] in cui F(x) assume il valore 0

Motivare la risposta portando anche un opportuno esempio.

LICEO SCIENTIFICO “CAVOUR”COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA CLASSE 5D (recupero)Durata della prova 1 ora

1) Calcolare i seguenti limiti ( senza fare ricorso alla regola di ) dopo aver studiato il dominio delle funzioni corrispondenti

2) Determinare gli asintoti e tracciare il grafico della seguente funzione

LICEO SCIENTIFICO “CAVOUR”COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA CLASSE 5D (recupero)Durata della prova 1 ora

1) Calcolare i seguenti limiti (senza fare ricorso alla regola di dopo aver studiato il dominio delle funzioni corrispondenti

1) Determinare gli asintoti e tracciare il grafico della seguente funzione

COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA CLASSE 5D (recupero)Durata della prova 1 ora

1) Applicando la definizione di limite dimostra che

a) b) +

2 ) Dopo aver dato la definizione di funzione continua in un punto e dopo aver dato la definizione di discontinuità di prima, seconda e terza specie, risolvi i seguenti quesitia)determina gli eventuali punti di discontinuità delle seguenti funzioni, classificandoli

b)determinare il valore del parametro reale a, affinché la funzione:

risulti continua nel punto x=1

3)Un funzione può avere due o più asintoti verticali? Può avere due o più asintoti orizzontali?Può avere due o più asintoti obliqui?Motivare le risposte o portare qualche esempio.

COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA CLASSE 5D (recupero)Durata della prova 1 ora

1)Applicando la definizione di limite dimostra chea) b)

2 ) Dopo aver dato la definizione di funzione continua in un punto e dopo aver dato la definizione di discontinuità di prima, seconda e terza specie, risolvi i seguenti quesitia)determina gli eventuali punti di discontinuità delle seguenti funzioni, classificandoli

b)determinare il valore del parametro reale a, affinché la funzione:

risulti continua nel punto x=0

3)Enuncia le condizioni necessarie e le condizioni sufficienti affinché una funzione f(x) ammetta un asintoto obliquo

SOLUZIONI Recupero

ESERCIZI

A)Limiti

1) Calcolare i seguenti limiti ( senza fare ricorso alla regola di ) dopo aver studiato il dominio delle funzioni corrispondenti

a) Poiché il numeratore tende a 2 mentre il denominatore tende a 0, il limite è infinito.Per precisarne il segno osserviamo che il numeratore è sempre positivo, mentre il denominatore è positivo nell’intorno sinistro di π e negativo nell’intorno destro.

Poiché si deve determinare il limite sinistro possiamo precisare +∞

b) 0

c)Campo di esistenza x≤-1 vel x≥1Si può effettuare sia il limite per x tendente a +∞ che per x tendente a -∞

=1

=-1

Funzione

Dominio x≠1/2Segno Numeratore sempre positivo

Denominatore positivo per x<1/2Si tratta di un’iperbole ( funzione di secondo grado fornita di asintoti)Asintoto verticale 1-2x=0Asintoto obliquo 2x+4y+3=0Il centro di simmetria è il punto comune ai due asintoti C(1/2;-1)

Grafico probabile

B) a)

b) Il dominio della funzione èx≤0 vel x≥1

Si può effettuare sia il limite per x tendente a +∞ che per x tendente a -∞

=

c)

Funzione

Dominio x≠ -1 x=-1 asintoto verticale

Segno :negativo per x<-2 positivo per -2<x<-1 negativo per -1<x<2 positivo per x>2zeri: x =-2 x=2 Anche in questo caso si tratta di un’iperbole ( funzione di secondo grado fornita di asintoti)L’asintoto obliquo è la retta y=x-1

QUESITI

PER LE VARIE DEFINIZIONI O PER GLI ENUNCIATI DEI TEOREMI FARE RIFERIMENTO AL LIBRO DI TESTO

COMPITO A

2)Dopo aver dato la definizione di funzione continua in un punto, determina gli eventuali punti di discontinuità della seguente funzione, classificandoli

F(x)=

Discontinuitàx=-1 prima speciex=1 seconda specie

Grafico (non richiesto ma utile)

Nell’intervallo [-1,0] non è rispettata una delle ipotesi del Teorema di Weierstrass poiché la funzione non è continua per x=-1In questo intervallo ammette comunque minimo assoluto F(-1)=-4

Non ammette però massimo assoluto , in quanto l’estremo superiore del codomino , il valore y=e,non è un valore effettivamente assunto dalla funzione

3)Il teorema di esistenza degli zeri può essere applicato in un intervallo in cui la funzione sia continua e assuma valori di seno opposto agli estremi.Vanno esclusi pertanto gli intervalli in cui la funzione è sempre negativa (semiretta) o in cui è sempre positiva (archi di funzione esponenziale)Prendendo invece in esame la curva logaritmicadi argomento x-1 (ricordando che il logaritmo di un numero maggiore di 1 è positivo mentre il logaritmo di un numero minore di 1 è negativo) si può scegliere un qualsiasi intervallo che contenga il numero 2 , che è proprio lo zero.

COMPITO B

2)Con riferimento alle funzioni seguenti,spiega perché si può affermare che solo f(x) possiede una

discontinuità <<eliminabile>>

A quale ( o a quali funzioni) si può applicare il teorema della permanenza del segno relativamente al punto c=0?.

Poichè

la funzione ha una discontinuità di terza specie Per la funzione si può costruire un prolungamento continuo, assegnandole , per x=0; il valore del suo limite

Le altre funzioni ammettono discontinuità, rispettivamente, di prima e seconda specie, non eliminabili

3)Una funzione F(x) ha per dominio un intervallo [a;b] ed è ivi continua.Quale delle seguenti proprietà non è necessariamente verificata?

□ Il Codominio di F(x) è limitato□ F(x) ammette sia massimo che minimo assoluto□ F(x) assume tutti i valori compresi tra il suo massimo e il suo minimo□ Esiste almeno un punto interno ad[a;b] in cui F(x) assume il valore 0

Motivare la risposta portando anche un opportuno esempio.

Non è necessariamente verificata l’ultima, in quanto manca l’ultima ipotesi del Teorema di esistenza degli zeri .

La prima è necessariamente verificata poiché , essendo la funzione continua, non può tendere all’infinto in alcun punto dell’intervallo

La seconda condizione ( tesi del Teorema di Weierstrass) è più forte della prima, poiché assicura che il Codominio sia non solo limitato ma anche chiuso.

La terza è la tesi del teorema dei valori intermedi

Esempi di funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato

y=x2 in [-1,1] Codominio [0,1] minimo 0 massimo 1 in questo caso ammetter uno zero

y=x2 in [1,2] Codominio [1,4] minimo 1 massimo 4 in questo caso non ammette zeri

COMPITO C

2) Applicando la definizione di limite dimostra che

a) b) +

a) Scelto un numero ε positivo arbitrariamente piccolo, deve essere verificata la diseguaglianza Campo di esistenza x-1≥0

In un intorno destro di 1Essendo entrambi i membri della disequazione positivi, possiamo passare ai quadrati

La disequazione è risolta per

che è proprio un intorno destro di 1 per qualunque valore di ε

b) Scelto un numero M positivo arbitrariamente grande , deve essere verificata la diseguaglianza

Campo di esistenza x-1>0

in un intorno destro di 1 Essendo entrambi i membri della disequazione positivi, possiamo passare ai quadrati

Passando ai reciproci

che è proprio un intorno destro di 1 per qualunque valore di M

2 ) Dopo aver dato la definizione di funzione continua in un punto e dopo aver dato la definizione di

discontinuità di prima, seconda e terza specie, risolvi i seguenti quesitia)determina gli eventuali punti di discontinuità delle seguenti funzioni, classificandoli

b)determinare il valore del parametro reale a, affinché la funzione:

risulti continua nel punto x=1

a) La funzione f(x) può essere così trasformata, per x≠0 e x≠1

0 discontinuità di seconda specie1 terza specie

La funzione equivale a

g(x)

0 discontinuità di prima specie

b) Poiché il limite per x tendente ad 1 da sinistra è uguale a e-1, mentre quello per x tendente ad 1 da destra è uguale ad a, deve essere a =e-1

3)Un funzione può avere due o più asintoti verticali? Può avere due o più asintoti orizzontali?Può avere due o più asintoti obliqui?Motivare le risposte o portare qualche esempio.

Una funzione può ammettere anche infiniti asintoti verticali ( es. y = tan x )Non può invece ammettere più di un asintoto orizzontale completro o più di un asintoto

obliquo completo, per il Teorema di unicità del limite.Una funzione può avere al più un asintoto orizzontale ( obliquo) destro diverso

dall’asintoto orizzontale (obliquo) sinistro Esempio

Er x tendente a -∞ tende a 0 e per x tendente a +∞ tende ad 1

COMPITO D

a) b)

a)Scelto un numero ε positivo arbitrariamente piccolo, deve essere verificata la diseguaglianza ln x< ε Campo di esistenza x>0in un intorno destro di 1

la diseguaglianza equivale a ln x < ln e ε

soluzioni 0<x< e ε

Poiché e ε>1 il limite è verificato

b) Scelto un numero M positivo arbitrariamente grande , deve essere verificata la diseguaglianza

ln x<-M Campo di esistenza x>0

in un intorno destro di 0

la diseguaglianza equivale a ln x < ln e -M

Campo di esistenza x>0

soluzioni 0<x< e -M

Per M arbitrariamente grande e –M è un numero molto piccoloAbbiamo trovato quindi un intorno destro di 0 ed il limite è verificato.

0 discontinuità di prima specie

x=2 terza specie

x=-2 seconda specie

)determinare il valore del parametro reale a, affinché la funzione:

risulti continua nel punto x=0

limite sinistro alimite destro 3

deve essere a=3

3) Condizione necessaria:

Condizioni sufficienti

La retta di equazione y=mx+q sarà l’asintoto obliquo