Compendio di Econometria...dell’econometria e dei suoi legami con la teoria economica, il testo...

Compendio di

I volumi di base43/10

®EDIZIONIEIMONS

Econometria

G r u p p o E d i t o r i a l e E s s e l i b r i - S i m o n e

Dimostrazioni delle formulazioni analitiche

Rappresentazioni grafiche esplicative

Esempi su fogli di lavoro in Excel

Domande più ricorrenti in sede d’esame

Y

x1

x2

x3 x

n X

p ε( )

β0

Y = + Xβ0

β1

Excerpt of the full publication

TUTTI I DIRITTI RISERVATI

Vietata la riproduzione anche parziale

Di particolare interesse per i lettori di questo volume segnaliamo:

43/1 - Compendio di Statistica

43/2 - Esercizi svolti per la prova di Statistica

43/3 - Prepararsi per l’esame di Statistica

43/4 - Compendio di Matematica finanziaria (classica e moderna)

43/6 - Compendio di Statistica economica

43/9 - Compendio di Demografia

44/6 - Compendio di Matematica per l’Economia

201 - Nozioni elementari di Statistica

201/1 - Matematica per l’Economia

582 - Dizionario di Economia

LX43 - Le parole della Statistica

Microsoft e Microsoft Excel sono marchi registrati dalla Microsoft Corporation

L’Appendice A (Matrici e loro proprietà) è tratta dal Compendio di Matematica per l’Econo-mia, di Fabio Privileggi, Edizioni Simone 2007

I fogli Excel riportati nel volume possono essere scaricati al seguente indirizzo internet:http://www.simone.it/catalogo/v43_10.htm

Risorse e approfondimenti gratuiti di Statistica sono disponibili al seguente indirizzo Internet:www.simone.it/economia

Tutti i diritti di sfruttamento economico dell’opera appartengono alla Esselibri S.p.A(art. 64, D.Lgs. 10-2-2005, n. 30)

Autore: Carla Iodice

Finito di stampare nel mese di aprile 2008dalla «INK & PAPER s.r.l.» - Via Censi dell’Arco, 22 - Cercola (NA)

per conto della «Esselibri S.p.A.» - Via F. Russo, 33/D - 80123 - Napoli

Grafica di copertina a cura di Giuseppe Ragno

PREMESSA

Qualsiasi testo di Econometria inevitabilmente adotta un approccio formale fatto di formulee proposizioni astratte, delle quali spesso lo studente, e talvolta anche il ricercatore, non riescea cogliere il senso. Questo testo non vuole avere la pretesa di illustrare le principali metodologiedi analisi econometrica utilizzando un approccio diverso; esso, tuttavia, contiene dimostrazionipuntuali delle espressioni analitiche riepilogative dei teoremi e dei concetti fondamentali e,quando possibile, deriva formule più semplici da applicare.

Il Compendio di Econometria contempla non solo la trattazione teorica delle nozionifondamentali ma anche un ricco apparato di esempi in cui sono fornite applicazioni pratiche deiprincipi propri della scienza, fogli elettronici in cui si affronta lo studio della disciplina attraversoesercitazioni in Excel, risolutive degli esempi, e questionari a fine capitolo che consentonoun’ulteriore verifica dell’apprendimento teorico.

Il volume è articolato in otto capitoli. Dopo un primo capitolo introduttivo sulla naturadell’econometria e dei suoi legami con la teoria economica, il testo tratta principalmente imodelli di regressione, semplice e multipla, e, infine, dedica un capitolo all’identificazione e allastima dei modelli a equazioni simultanee.

Il testo è corredato, inoltre, da due Appendici. La prima consta di nozioni sulle matrici e sulleloro proprietà; ad essa si deve ricorrere ogni volta che nel testo è fatto un richiamo alle definizionie alle regole proprie di tale teoria. La seconda Appendice consta, invece, di cinque tavolestatistiche.

Il testo, per i suoi contenuti e per la chiarezza con cui i complessi argomenti sono esposti, siindirizza agli studenti dei corsi istituzionali di Econometria, a partecipanti a pubblici concorsi,nonché a funzionari e tecnici che utilizzano le procedure di modellazione econometrica perobiettivi di politica economica.

I fogli Excel riportati nel volume possono essere scaricati al seguente indirizzo internet:

http://www.simone.it/catalogo/v43_10.htm

ALFABETO GRECO

Α α alfaΒ β betaΓ γ gammaΔ δ deltaΕ ε epsilonΖ ζ zetaΗ η etaΘ θ ϑ theta

Ι ι iotaΚ κ kappaΛ λ lambdaΜ μ miΝ ν niΞ ξ xiΟ ο òmicronΠ π pi

Ρ ρ rhoΣ σ sigmaΤ τ tauΥ υ ypsilonΦ ϕ φ phiΧ χ chiΨ ψ psiΩ ω òmega

INDICE DEI SIMBOLI

> maggiore< minore≥ maggiore o uguale≤ minore o uguale≠ diverso da∝ proporzionale∞ infinito→ tende a∀ per ogni∼ distribuito come

≅ circa uguale a± più o menolog(.) logaritmo in base 10ln (.) logaritmo neperianoe base del logaritmo neperianolim limite∂ derivata parziale∫ integrale∑ sommatoria∏ produttoria

Cov(.,.) covarianzaD(.) devianza

es(.) errore standardE(.) valore medio

v.c. variabile casualeVar(.) varianza

ABBREVIAZIONI PER GLI STIMATORI

OLS minimi quadrati ordinariGLS minimi quadrati generalizzatiWLS minimi qudrati ponderati2SLS minimi quadrati a due stadi

ILS minimi quadrati indirettiML massima verosimiglianzaIV variabili strumentali

I vettori e le matrici sono indicati con le lettere in grassetto: i vettori con lettere minuscole,le matrici con lettere maiuscole.

ABBREVIAZIONI


CAPITOLO PRIMO

LA NATURA DELL’ECONOMETRIA E I MODELLI ECONOMETRICI

SOMMARIO: 1. L’econometria e i dati economici - 2. La nozione di modello. - 3. Modelli per serie storichee modelli di regressione - 4. Forma strutturale e forma ridotta di un modello. - 5. Il procedimento di costruzionedi un modello econometrico: un esempio. - 6. Piano dell’opera.

1. L’ECONOMETRIA E I DATI ECONOMICI

In epoche passate e recenti, la teoria economica si è occupata dello studio delle relazioni travariabili microeconomiche e macroeconomiche fornendo le ipotesi per l’elaborazione dimodelli rappresentativi della complessa realtà. Tali modelli sono volti a dare contenutoquantitativo alle relazioni tra le variabili e devono la loro formalizzazione, in termini matematici,all’econometria. La disciplina, infatti, applicando i metodi statistici e matematici allo studio ealla misurazione dei fenomeni economici, elabora modelli con l’obiettivo di verificare empiri-camente le teorie economiche. Dalla definizione data scaturiscono immediatamente le interre-lazioni, nell’ambito dell’econometria, tra teoria economica da un lato, analisi matematica,probabilità e statistica dall’altro. In questo volume definiremo gli strumenti utili allo sviluppodi tecniche di modellazione econometrica fondate su procedure statistiche. Per un corretto studiodella disciplina in oggetto, è necessario disporre delle conoscenze delle nozioni di economia,fondamento dell’econometria, e della statistica, funzionale alla stessa.

L’econometria è da considerarsi, tuttavia, una disciplina che, sotto molteplici aspetti, sidifferenzia dalla probabilità e dalla statistica fondate sul requisito della ripetibilità dei risultatitipico delle scienze naturali a partire da Galileo. Un fenomeno, per interessare le prime duediscipline, deve essere incerto nei risultati e ripetibile; i dati economici, così come, in generale,i dati delle scienze sociali, non sono, invece, frutto di un esperimento ripetibile. Il consumoaggregato di una nazione in un dato anno rappresenta la realizzazione di un esperimento in cuii consumatori hanno effettuato scelte di consumo e di risparmio correlate con il proprio redditodisponibile corrente, la propria ricchezza e una serie di altri fattori economici relativi aquell’anno e non ripetibili in altri anni. Gli investimenti in un dato anno di una data impresasono funzione del tasso di interesse di mercato in quell’anno, della variazione del redditodisponibile rispetto all’anno precedente, della sua attitudine al rischio in quel momento storicoe di altri fattori che, senza alcun dubbio, non si ripeteranno in altri periodi secondo le medesimemodalità.

L’analisi quantitativa dei fenomeni economici condotta dall’econometria si avvale di modellifondati sulla teoria economica, applicati a dati economici di diverso tipo: serie storiche, daticross section e dati panel.


Capitolo Primo6

SERIE STORICHE (O TIMES SERIES)

Molti fenomeni presentano andamenti nel tempo caratterizzati da una certa regolarità o costanzastrettamente legate alla posizione occupata dall’osservazione nella sequenza di dati osservati.

L’analisi delle serie storiche, o cronologiche, o temporali, è la metodologia statistica che sioccupa dello studio di tali fenomeni i quali sono rappresentabili, appunto, tramite serie storiche.

In termini rigorosi, una serie storica, xt, è una successione di osservazioni ordinate logicamente

secondo un indice temporale t che definisce l’ordinamento dei dati e tale che t ∈ T. Si tratta di datidi un fenomeno statistico osservato per più periodi (settimanali, mensili, trimestrali, annuali).

L’ordine degli elementi di una serie storica non è casuale, anzi i dati sono ordinati in modonaturale dal valore assunto dall’indice temporale.

L’analisi econometrica può essere interessata a serie storiche macroeconomiche, come ilreddito di una nazione in diversi anni, il suo consumo, i suoi investimenti. Le serie storichemicroeconomiche concernono analoghe grandezze riferite a singoli individui o imprese.

DATI CROSS SECTION

I dati cross section sono costituiti da osservazioni individuali riferite a uno stesso istantetemporale t. Essi sono derivati da osservazioni trasversali concernenti dati di più unità statisticheosservate per un solo periodo, come il reddito di n unità statistiche riferite a un solo periodo.

DATI PANEL

I dati panel sono dati di più fenomeni osservati per più di un periodo. I dati derivano daosservazioni longitudinali e sono bidimensionali in quanto incorporano sia la dimensionetemporale sia quella sezionale. Si tratta, quindi, della sequenza temporale di dati sezionali, comeil reddito di più unità statistiche in più periodi.

Si supponga di disporre di osservazioni temporali relative a un numero n di unità statistiche dibase o individui, per le variabili economiche y e x. Con un panel di dati si dispone di osservazionisu n unità statistiche per t periodi con t ∈ T.

2. LA NOZIONE DI MODELLO

Come è stato più volte ribadito, l’econometria si occupa della modellizzazione matematicadelle relazioni esistenti tra variabili economiche, in altri termini, costruisce modelli. Lacostruzione di modelli atti a rappresentare e interpretare la realtà è una della più delle più anticheattività umane. Un modello può essere definito come una rappresentazione formale delleconoscenze relative a un fenomeno, con la costruzione di un modello non si realizza una esattariproduzione del fenomeno studiato ma se ne fornisce una versione semplificata.

Un modello consiste tipicamente in un insieme di equazioni che legano le variabili rilevantidel fenomeno allo studio. In generale, esiste uno schema logico per la costruzione e l’applica-zione di un modello che si articola in quattro stadi fondamentali.

La natura dell’econometria e i modelli econometrici 7

2.1 Primo stadio: specificazione del modello

Nel primo stadio si ha la specificazione che consiste nella formalizzazione in terminimatematico – statistici delle ipotesi teoriche. Il tipo di specificazione adottata dipende, general-mente, non solo dal particolare processo economico che si considera, ma anche dal materialeempirico a disposizione. La costruzione di un modello econometrico, infatti, inizia con ladefinizione e l’analisi delle osservazioni campionarie che devono essere integrate con l’infor-mazione a priori: i paradigmi della teoria economica.

In questo stadio bisogna risolvere problemi diversi. Innanzi tutto, occorre individuare levariabili influenti e distinguerle in variabili esogene, che influenzano il modello stesso ma nonsubiscono l’effetto delle relazioni descritte in esso, e variabili endogene, il cui valorequantitativo è generato (spiegato) dal modello sulla base dei valori dei parametri (costanti) delmodello e delle variabili esogene. In secondo luogo, occorre decidere la forma funzionale dellalegge sottostante il fenomeno investigato.

Inoltre, essendo una semplificazione della realtà, difficilmente un modello è di tipodeterministico, esso ha, generalmente, carattere aleatorio e per questo occorre considerarele deviazioni residuali tra relazioni teoriche e osservazioni empiriche, o in altri termini, lecosiddette componenti stocastiche di disturbo, le quali sono, generalmente, introdotte in formaadditiva. Tali componenti sono dovute a cause singolarmente irrilevanti ma congiuntamenteinfluenti, quali l’omissione di variabili considerate inessenziali e divergenze tra variabiliteoriche e variabili osservabili. L’esistenza di componenti stocastiche, non empiricamenteosservabili, implica che, in fase di specificazione, occorre formulare delle ipotesi circa la lorodistribuzione di probabilità (le componenti stocastiche sono delle variabili casuali) con ilconseguente incremento del numero complessivo di parametri che dovranno essere stimati.

I modelli si distinguono in dinamici e statici. Nei primi, a differenza di quanto avviene neisecondi, le interazioni tra variabili non si manifestano con effetti puramente istantanei. In unao più delle relazioni di un modello dinamico, ricorrono variabili che si riferiscono a periodi ditempo diversi, così che il valore delle variabili endogene varia in funzione del tempo; si distingue,perciò, tra variabili correnti e variabili ritardate di uno, due, ... periodi.

Il fattore tempo è indicato con t, per cui, se con Y si indica il reddito, con C il consumo e con

I gli investimenti,Yt ,Ct e It sono i consumi al tempo t, mentreYt−1 , Ct−1 e It−1 sono le corrispon-

denti grandezze ritardate di un periodo,Yt−2, Ct−2 e It−2 sono le corrispondenti grandezze ritardatedi due periodi etc.

Rispetto ai modelli statici, in cui le variabili non sono datate, i modelli dinamici presentanouna maggiore capacità di rappresentare la realtà; essi sono, spesso, di non facile soluzione.

2.2 Secondo stadio: stima dei parametri del modello

Nel secondo stadio, è trattato il problema della quantificazione delle relazioni economiche,in altre parole, si procede alla stima dei parametri incogniti del modello. In questa fase siintende individuare una struttura del modello che sia il più possibile prossima alla incognitastruttura vera, ossia alla reale rappresentazione del fenomeno in oggetto. La stima si basa sumateriale empirico costituito da un insieme di osservazioni campionarie sui valori assunti dallevariabili in un certo periodo di tempo.


Capitolo Primo8

Dalla statistica sono noti diversi metodi di stima dei parametri. In questo testo faremopressoché esclusivamente riferimento al metodo dei minimi quadrati e al metodo dellamassima verosimiglianza, i quali, spesso, conducono, come vedremo, ai medesimi risultati.

2.3 Terzo stadio: verifica della validità del modello

La verifica (terzo stadio) consiste in una sequenza di operazioni atte a valutare la validità delmodello sulla base delle osservazioni disponibili sulle diverse variabili dello stesso. La verificariguarda diversi aspetti della rappresentazione formale del fenomeno allo studio quali: specifi-cazione, capacità descrittiva, conformità alle aspettative teoriche e capacità previsiva.

La verifica della specificazione vaglia il grado di attendibilità che può essere attribuito alleipotesi che risultano dalla formulazione del modello; essa appura se le stesse possono ritenersicompatibili o non con quanto indica l’evidenza empirica rappresentata dalle osservazioni campio-narie disponibili e si fonda sugli strumenti tipici di quell’area dell’inferenza statistica nota cometeoria delle prove di ipotesi. Nella prova di ipotesi si distingue tra ipotesi nulla e ipotesialternativa; la prima, che generalmente rispecchia la situazione acquisita prima dell’osservazionecampionaria, è indicata con H0, mentre, la seconda, che ne attesta una diversa specificazione, èindicata con H1; sulla base delle osservazioni empiriche, a un prestabilito livello di probabilità, «sirifiuta» o «non si rifiuta» il modello a seconda che le stesse supportino o meno l’ipotesi nulla.

La verifica di un’ipotesi è effettuata utilizzando una statistica-test o test funzione delleosservazioni campionarie e avente una distribuzione nota con la condizione che l’ipotesienunciata sia vera. Il test è, quindi, una procedura inferenziale atta a valutare la conformitàprobabilistica tra un campione e la popolazione da cui è stato estratto. Esso determina il gradodi attendibilità delle osservazioni campionarie, allo scopo di stabilire se le differenze risultantirispetto alla popolazione siano significative oppure dovute a errore campionario. I test statisticigeneralmente impiegati presentano distribuzioni del tipo: v.c. normale standardizzata, v.c. F di

Fisher, v.c. t di Student, v.c. χ 2 di Pearson.Con la verifica della capacità descrittiva si accerta se il modello è in grado o meno di

riprodurre con accuratezza i valori osservati delle variabili endogene. Se si è in presenza di unmodello uniequazionale le misure classiche atte a valutare l’adattamento, come l’indice dideterminazione o simili sono funzionali, mentre, in presenza di un modello multiequazionale,la semplice constatazione che le singole equazioni sono in grado di rappresentare il fenomenonon fornisce alcuna garanzia che il modello considerato nel suo insieme sia attendibile. Laverifica della validità del modello in termini di capacità descrittiva è effettuata confrontando ivalori storici e i valori stimati delle variabili endogene.

La verifica della conformità alle aspettative teoriche valuta la coerenza dei risultatiottenuti dalle stime con le indicazioni della teoria. Questo tipo di analisi fa uso della nozione dimoltiplicatore il quale misura l’entità dell’effetto che un cambiamento unitario in una datavariabile esogena provoca su una data variabile endogena.

Un modello si può dire attendibile non solo quando è in grado di riprodurre adeguatamentei dati storicamente accertati e di generare valori dei parametri aderenti alle aspettative teoriche,ma anche quando si dimostra capace di dar luogo a buone previsioni. La capacità previsionaledel modello può essere valutata ricorrendo a tecniche di previsione ex-post.



2.4 Quarto stadio: utilizzo del modello

L’utilizzo effettivo del modello (ultimo stadio) è subordinato alla sua corretta specificazione, auna stima con tecniche adeguate e all’esito favorevole delle verifiche che ne garantiscono la validità.

La costruzione di un econometrico può avere finalità descrittive della realtà economica,interpretative delle relazioni tra variabili economiche o previsionali.

Attraverso un modello ci si può prefiggere, infatti, la descrizione delle relazioni economiche,per cui il modello deve rappresentare semplicemente la realtà osservata. Ovviamente questavisione attribuisce al modello un ruolo riduttivo in quanto il processo di formalizzazione di unfenomeno economico non può limitarsi a una mera riproduzione della realtà.

Un modello econometrico può essere volto alla interpretazione dei nessi causali e delladinamica di un sistema economico, per cui deve porre in evidenza le relazioni eventuali tradiversi fenomeni; si consideri, ad esempio, il problema tipico di politica economica dellaquantificazione degli effetti sul PIL o sull’inflazione dell’incremento di un punto percentuale deltasso di interesse praticato della Banca centrale europea.

Il modello, infine, può avere finalità di previsione. L’analisi econometrica si può direattendibile non solo quando è in grado di riprodurre adeguatamente i dati empiricamente accertatie di generare valori di parametri aderenti alla realtà, ma anche quando si dimostra capace di darluogo a efficaci tecniche di previsione della dinamica dei fenomeni economici. Queste ultimeconsentono di adottare appropriate scelte di politica economica. Si consideri, ad esempio, la stimadell’intervallo di valori del PIL o del tasso di inflazione del nostro paese il prossimo anno.

Questa fase è notevolmente delicata, in quanto occorre procedere alla soluzione del modello ossiaalla valutazione dei presumibili valori delle variabili endogene in istanti temporali non compresi nelperiodo di osservazione utilizzato per la stima dei parametri. È ovvio che l’utilizzo del modello a finiprevisionali implica la formulazione di un’ipotesi di stabilità della struttura osservata per il periododi tempo sul quale si intendono effettuare simulazioni anteriori al reale manifestarsi del fenomeno.

3. MODELLI PER SERIE STORICHE E MODELLI DI REGRESSIONE

I modelli si dividono in due grandi categorie ciascuna delle quali presuppone assunzioni econoscenze diverse: modelli per serie storiche e modelli di regressione.

I modelli per serie storiche, o temporali, basano la loro conoscenza e il loro comportamentosulla storia del fenomeno oggetto di studio. L’analisi delle serie storiche si fonda sull’ipotesi percui i fattori che hanno influenzato l’andamento della serie nel passato e nel presente espliche-ranno effetti analoghi anche nel futuro.

I modelli di regressione si basano sull’esistenza di una relazione causa-effetto tra ilfenomeno osservato e una o più variabili esplicative, essi sono costituiti da una sola o piùequazioni lineari, o non, nei parametri.

Bisogna fare una ulteriore distinzione tra modelli di regressione semplice e multipla, i primidescrivono come una data variabile indipendente o esplicativa, detta anche regressore, spieghiun’altra variabile (dipendente), mentre i secondi sono utilizzati quando le variabili esplicativesono più di una.

Nel caso in cui anche le variabili dipendenti o variabili risposta siano più di una, si parla diregressione multivariata multipla.


Capitolo Primo10

4. FORMA STRUTTURALE E FORMA RIDOTTA DI UN MODELLO

Un modello si dice in forma strutturale quando le variabili endogene sono espresse in funzionedelle variabili esogene e delle altre variabili endogene. Con lo stesso, la connessione tra le diversegrandezze economiche deriva direttamente dalla teoria economica di cui il modello è la rappresen-tazione formale. Un modello in forma strutturale è, semplicemente, un modello di analisi, con lo stessonon è possibile calcolare immediatamente i valori delle variabili endogene in corrispondenza di ognilivello delle variabili esogene. Per questo occorre passare alla sua forma ridotta, che è ottenutaesprimendo ciascuna variabile endogena corrente in funzione dei parametri, delle variabili esogenee delle variabili esogene ritardate. Un modello in forma ridotta è perciò un modello di strategia.

Nei capitoli che seguono, daremo modelli espressi in forma ridotta in cui una variabile dipendenteè funzione di una o più variabili indipendenti. Solo nel capitolo ottavo, in cui spiegheremo i modellia equazioni simultanee, faremo una distinzione tra forma strutturale e forma ridotta di un modello.

Nel pragrafo seguente illustreremo un esempio di modello espresso in forma strutturale.

5. IL PROCEDIMENTO DI COSTRUZIONE DI UN MODELLO ECONOMETRICO:UN ESEMPIO

Come si è visto, la costruzione di un modello comporta un certo numero di passi da seguirepedissequamente, in questo paragrafo li illustreremo a partire da un esempio noto nella teoriaeconomica: il modello di Keynes. Quest’ultimo rappresenta una legge psicologica fondamen-tale in quanto, come affermato nella Teoria generale capitolo VIII, «di norma e in media, gliuomini sono disposti ad accrescere il loro consumo con l’aumentare del reddito, ma non tantoquanto l’aumento del reddito».

Qualsiasi teoria, per essere modellizzata, deve basarsi su una serie di ipotesi semplificatricidella realtà. La teoria di Keynes è basata sulle seguenti:

— la spesa per consumi C dipende dal reddito disponibile Y;— il livello di investimenti privati I dipende dalla variazione del reddito disponibile corrente e

dal tasso d’interesse di mercato r;— esiste una spesa pubblica autonoma;— il reddito lordo è uguale alla somma del consumo, degli investimenti privati e pubblici.

La traduzione in termini matematici delle ipotesi precedentemente esposte della teoriakeynesiana è riportata di seguito.

CONSUMO

Il consumo C è funzione del reddito disponibile Y:

C f Y= ( )La relazione tra le due variabili è crescente, per cui si può scrivere:

∂∂

= ′( ) >C

Yf Y 0

che rappresenta la propensione marginale al consumo.



La forma della funzione f non è precisata da Keynes, tuttavia egli afferma che:

— la propensione marginale al consumo è compresa tra 0 e 1, per cui se il reddito nazionaleaumenta di 1 unità monetaria, il consumo aumenta ma meno di 1; in termini matematici:

0 1< ′( ) <f Y

— la propensione media al consumo, ossia PMC = C

Y, diminuisce al crescere del reddito;

traducendo in termini matematici:

∂∂

<PMC

Y0

Nella letteratura successiva alla Teoria generale si è affermata, come semplificazioneutilizzabile nelle stime sui dati empirici, una rappresentazione dell’idea keynesiana dellapropensione al consumo, per cui la funzione f del consumo è una funzione lineare del tipo:

C Y= +α α0 1 (5.1)

in cui:— α0 0> è una costante ed è la componente autonoma, ossia quella parte di domanda di beni

di consumo che non dipende dal reddito corrente, e che si suppone in generale essere positiva,graficamente è l’intercetta della retta rappresentativa della funzione lineare appena data;

— 0 11< <α indica la propensione marginale al consumo e rappresenta, graficamente, ilcoefficiente angolare ossia la tangente dell’angolo che la retta considerata forma con l’assedelle ascisse.

La propensione marginale al consumo, nella (5.1), è rappresentata da:

∂∂

=C

Yα1

mentre, la propensione media al consumo è:

PMCC

Y

Y

Y Y= = + = +α α α α0 1 0

1

mentre la sua derivata rispetto a Y è:

∂∂

= −PMC

Y Y

α0

2

Affinché PMC sia decrescente è necessario che α0 0> .

Nella (5.1), C è una variabile endogena, quella che deve essere spiegata dal modello, ed èanche detta, con linguaggio proprio della matematica, variabile dipendente. Invece, Y è unavariabile esogena, quella che spiega il consumo, ed è detta variabile indipendente.

Un’altra forma della funzione di consumo potrebbe essere la seguente funzione esponenziale:

C Y= α α0

1


Capitolo Primo12

INVESTIMENTI

Gli investimenti privati dipendono dalla variazione del reddito lordo e dal tasso d’interesse; insimboli:

I g Y r= ( )Δ , con ′ <g 0

SPESA PUBBLICA

Esiste un investimento autonomo pubblico G.

PRODOTTO NAZIONALE

Il reddito (o prodotto) nazionale è uguale alla somma dei consumi e degli investimentipubblici e privati; ciò si traduce nella seguente identità:

Y C I G≡ + +

5.1 Scelta della forma funzionale

Formalizzate le ipotesi alla base della teoria economica, l’econometria si occupa di dare unaspecifica forma funzionale alle suddette relazioni; in altri termini dà esepressione analitica allefunzioni f e g. Nella scelta delle stesse, tuttavia, bisogna tenere in considerazione la cosiddettastruttura dei ritardi (lags) secondo cui le scelte di consumo e di investimento possonodipendere dal reddito corrente o dal reddito passato, e dai tassi di interesse correnti o passati.

Generalmente si considerano periodi di tempo annuali, per cui, indicando con t l’annocorrente, con t – 1 si indica l’anno precedente e così via.

L’econometrico potrebbe scegliere il seguente modello del reddito nazionale espresso informa strutturale:

C Y rt t t= + +α α α0 1 2 con α0 0> , 0 11< <α , α2 0< (5.2)

I Y Y rt t t= + −( )+− − −β β β0 1 1 2 2 1 con β0 0> , 0 11< <β , β2 0< (5.3)

Y C I Gt t t t≡ + + (5.4)

In base a tale modello, le scelte di consumo dipendono dalle variabili endogene correnti Yt

e rt. Analogamente, le scelte di investimento dipendono dalle variabili endogene ritardate Yt−1

e Yt−2 e rt−1.

Nella costruzione di un modello, l’econometrico ha davanti a sé una serie di variabilicandidate, ovviamente, non tutte saranno incluse nel modello.

La costruzione di un modello è volta al conseguimento di due obiettivi tra loro in conflitto.Il primo è quello di includere nel modello quante più variabili possibili in modo che esse possanoinfluire sui valori previsti della variabile dipendente. Il secondo è quello secondo cui è necessarioche il modello includa quante più poche variabili poiché la varianza dei valori stimati dellavariabile dipendente cresce al crescere del numero di tali variabili.



Facendo riferimento al modello di reddito nazionale, si è scelto di inserire nella funzione (5.2)come variabile esplicativa del consumo non solo il reddito corrente ma anche il tasso d’interessecorrente sul mercato. Analogamente, nella funzione (5.3) si è scelto di inserire come variabileesplicativa degli investimenti non solo la differenza di reddito tra due periodi ma anche il tassod’interesse di mercato del periodo precedente.

Tuttavia, le varie procedure per la selezione di variabili non garantiscono la produzione diequazioni, per una certa serie di dati, migliori in assoluto.

5.2 Stima dei parametri

Nella fase successiva, l’econometria si occupa di dare un valore numerico ai parametri checompaiono nelle equazioni del modello; nella fattispecie del modello costruito occorre trovare

un numero e sostituirlo nelle equazioni (5.2) e (5.3) alle lettere α α α0 1 2, e , e β β β0 1 2, e ,rispettivamente.

In questa fase, si parla di stima dei parametri in quanto le osservazioni non sono effettuate sulcomportamento di tutti i consumatori (del loro livello di consumi e di reddito), ossia, usando illinguaggio statistico, su tutta la popolazione ma su un campione estratto dalla stessa. Questo èun problema tipico dell’inferenza statistica che ha come scopo l’utilizzo delle informazioni chepossono essere ricavate da un campione per conoscere le caratteristiche della popolazione da cuiè stato estratto. È ovvio che nell’estensione delle informazioni dal campione alla popolazione sicorre il rischio casuale tipico del metodo induttivo, legato al numero limitato di unità da cui sisono tratte le informazioni e alla loro natura casuale.

Il campione deve essere rappresentativo della popolazione; esso avrà in media le medesimecaratteristiche della popolazione: la stessa proporzione di uomini e donne, la stessa ripartizionein classi d’età etc.

5.3 Verifica della validità del modello

La fase successiva dell’elaborazione del modello riguarda la verifica della pertinenza dellateoria elaborata nel rappresentare le interrelazioni tra variabili, ossia della sua conformità con idati disponibili. In questa fase, ci si accerta che le relazioni specificate siano valide, che ilmodello sia verificato su tutto il periodo di osservazione, che i parametri siano stabili etc.

6. PIANO DELL’OPERA

Prima di addentrarci nella disciplina è opportuno dare una visione del modo in cui saràarticolato il testo.

Dopo questo capitolo introduttivo, dedicato alla presentazione dell’econometria e ai suoilegami con la teoria economica, il testo verte principalmente sulla elaborazione dei modelli diregressione.

Infatti, il capitolo secondo è dedicato al modello di regressione semplice, il capitolo terzo,invece, è dedicato a sue estensioni sia al caso di osservazioni ripetute sia alla regressione trivariata.

Dal capitolo quarto si analizza il modello di regressione multipla. Precisamente il capitoloquinto è dedicato alla violazione dell’ipotesi di non collinearità delle variabili esplicative, ossia

Capitolo Primo14

alla multicollinearità, mentre il capitolo sesto vuole costituire un’introduzione agli stimatoridi massima verosimiglianza nonché alle proprietà asintotiche degli stimatori. Il capitolosettimo si occupa della violazione dell’ipotesi considerata di sfericità dei termini d’errore di unmodello di regressione multipla: eteroschedasticità e autocorrelazione. Proprio perché l’au-tocorrelazione caratterizza i dati di serie storiche nel capitolo settimo, contemporaneamente allatrattazione dell’autocorrelazione daremo alcuni elementi di analisi delle serie storiche.

Il capitolo ottavo, infine, è dedicato all’identificazione e stima dei modelli a equazionisimultanee.

Il testo è costituito, inoltre, da due Appendici. La prima, Appendice A, consta di nozioni sullematrici e sulle loro proprietà. L’argomento non è stato trattato in un capitolo del testo, in quanto,innanzi tutto, costituisce argomento di un esame propedeutico e, inoltre, si è ritenuto opportunonon interrompere la continuità della trattazione tra modelli di regressione semplice e modelli diregressione multipla. La seconda, Appendice B, consta di 5 tavole statistiche. Le prime 4 sonorelative a variabili casuali note: normale standardizzata, chi-quadrato, t di Student e F di Fisher.

Un’ultima tavola riporta i valori inferiori e superiori della statistica di Durbin e Watson datoun certo numero di variabili esplicative e un certo livello di significatività.

CAPITOLO SECONDO

IL MODELLO DI REGRESSIONE SEMPLICE

SOMMARIO: 1. Introduzione. - 2. Specificazione di un modello di regressione semplice. - 3. Stima con ilmetodo dei minimi quadrati ordinari (OLS). - 4. Coefficiente di correlazione di Bravais-Pearson. - 5. Momentidegli stimatori dei minimi quadrati. - 6. Proprietà degli stimatori dei minimi quadrati. - 7. Test e intervalli diconfidenza per il modello di regressione semplice. - 8. Analisi della varianza. - 9. Previsione nel modello diregressione semplice. - Questionario.

1. INTRODUZIONE

Nell’analisi statistica, la regressione è volta alla ricerca di un modello atto a descrivere larelazione esistente tra una variabile dipendente, e una o più variabili indipendenti oesplicative.

La scelta dell’una o dell’altra variabile come indipendente non è arbitraria ma legata allanatura del fenomeno: si sceglie come indipendente la variabile che sia logicamente antecedenterispetto all’altra. In un modello di regressione, le variabili esplicative (dette anche regressori)spiegano, prevedono, simulano, controllano la variabile dipendente.

Il termine regressione fu coniato da Galton che, nel misurare la relazione tra statura dei padrie quella dei figli, osservò una regressione dei valori delle altezze dei figli verso la media.

Per eseguire una regressione si fa riferimento a modelli teorici di vario tipo: lineare,parabolico, esponenziale, logaritmico etc.

In questo capitolo illustreremo il modello di regressione semplice in cui una variabileendogena è spiegata da una sola variabile esogena.

In particolare supporremo l’esistenza di un legame lineare tra le variabili e introdurremo letecniche statistiche che consentono di stimare i parametri del modello, di testare ipotesi suglistessi e di costruire intervalli di confidenza per i medesimi.

2. SPECIFICAZIONE DI UN MODELLO DI REGRESSIONE SEMPLICE

In questa prima fase un ruolo fondamentale è svolto dalle ipotesi che si fanno sul processostatistico che ha generato i dati. La teoria economica prospetta l’insieme delle variabili diinteresse del problema che si intende affrontare e la direzione di causalità che non può esserespiegata dalla matematica o dalla statistica.

Tuttavia, la teoria da sola non basta per definire compiutamente tutti gli elementi di cui sicompone un modello econometrico; per questo sono necessarie ipotesi di specificazione qualila scelta della forma funzionale, e la matematica, appunto, trasforma la semplice relazione in unarelazione determinata.


Capitolo Secondo16

Il modello di regressione semplice intende spiegare il legame funzionale esistente tra unavariabile X indipendente e una variabile Y dipendente.

Tuttavia, questo modo di procedere presenta degli inconvenienti, infatti non è possibileaffermare che tra le due variabili X e Y esiste una perfetta relazione matematica del tipo:

Y = f(X)

in quanto, innanzi tutto, non si dispone di tutte le informazioni relative al fenomeno X e alfenomeno Y ma solo di un campione di osservazioni, che darà luogo a coppie di ordinate del tipo(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn), le quali solo in termini probabilistici esprimono la relazione esistentetra le corrispondenti variabili della popolazione; inoltre, a causa di fenomeni imprevedibili,errori di misurazione, scarti accidentali, non esiste un legame di tipo deterministico tra levariabili. Costituisce, quindi, una semplificazione affermare che il fenomeno Y è spiegato dalfenomeno X, in quanto nella realtà esistono interrelazioni tra variabili che non possono esserecompendiate in alcuna scrittura. Per questi motivi il modello di riferimento sarà del tipo:

Y = f(X) +εLa variabile Y è una variabile casuale (v.c.) risultante dalla somma di una componente

deterministica f(X) e di una componente stocastica ε , dove ε è una v.c. che ha funzionicompensative per le discrepanze esistenti tra il modello e la realtà.

La v.c. ε è definita errore o scarto tra le costruzioni teoriche e la realtà osservata, infatti, si ha:

ε = Y – f(X)

Dopo aver provveduto ad individuare la variabile X che spiega il fenomeno in oggetto si passaalla fase di specificazione del modello che consiste nella sua rappresentazione formale; si assumeche la relazione tra le variabili X e Y sia lineare nei parametri, dunque, il modello di regressione sarà:

Y = β0 + β

1X +ε

che, in presenza di osservazioni campionarie x yi i,( ) , i = 1, 2, …, n, dà luogo alla seguente

equazione:

yi = β0 + β

1xi + ε i i = 1, 2, …, n

ed in cui la parte sistematica è β0 + β

1xi e la parte stocastica è ε i.

IPOTESI CLASSICHE DEL MODELLO DI REGRESSIONE SEMPLICE

Il modello di regressione lineare si basa su ipotesi cosiddette classiche, ossia su assunzionisemplificatrici della realtà:

1. Ipotesi di linearità

Postula una relazione lineare tra variabili e specifica la variabile dipendente Y osservata comeuna funzione lineare tramite il coefficiente della variabile esplicativa, cui si aggiunge unamanifestazione non osservabile della v.c. ε; in simboli:

yi = β0 + β

1xi + ε i i = 1, 2, …, n


Il modello di regressione semplice 17

2. Ipotesi di non sistematicità degli errori

Deriva dalla necessità che scarti positivi e negativi si compensino in media, o, il che è lostesso, che i termini di errore ε siano mediamente nulli; in simboli:

E iε( ) = 0

3. Ipotesi di omoschedasticità degli errori

La varianza della v.c. ε i resta costante al variare delle osservazioni; in simboli:

Var iε σ( ) = 2

La componente stocastica di disturbo non dipende, quindi, dal tempo di rilevazione delfenomeno. In caso contrario si parla di eteroschedasticità.

4. Ipotesi di covarianza nulla di errori relativi a osservazioni campionarie diverse

In simboli:

Cov i jε εσ

,( ) =⎧⎨⎩

0 per

per = 2

i j

i j

5. Ipotesi di non stocasticità della variabile esplicativa

La variabile esplicativa è deterministica, ovvero non soggetta a deviazioni di naturaaccidentale.

Sulla base di tali ipotesi, nel modello di regressione lineare semplice occorre stimare la

varianza σ 2 che contraddistingue la v.c. errore.

Essendo, per ipotesi, E iε( ) = 0 e le xi fisse, il valore medio e la varianza della v.c. Yi saranno:

E Y E x x E xi i i i i i( ) = + +( ) = + + ( ) = +β β ε β β ε β β0 1 0 1 0 1

Var Y Var x Vari i i i( ) = + +( ) = ( ) =β β ε ε σ0 12

2.1 Ipotesi di normalità degli errori

Un’ulteriore ipotesi concernente un modello di regressione è quella relativa alla normalitàdegli errori, che in simboli può essere scritta nel modo seguente:

ε σε∼ N 0 2,( )Essa presuppone che la v.c. errore si distribuisca come una v.c. normale con valore medio

nullo e varianza costante.


Capitolo Secondo18

In altri termini, la funzione di densità di probabilità della v.c. ε può essere scritta nel modoseguente:

p Nε σε( ) = ( )0 2, i = 1, 2, ..., n

Graficamente, tale ipotesi può essere rappresentata nel modo seguente:

Y

x1

x2

x3 x

n X

p ε( )

β0

Y = + Xβ0

β1

Fig. 1 - Normalità degli errori

3. STIMA CON IL METODO DEI MINIMI QUADRATI ORDINARI (OLS)

Lo stadio successivo relativo alla costruzione di un modello di regressione semplice

riguarda la stima dei coefficienti β0 e β1 e della varianza σ 2 della v.c. errore. In questo

paragrafo otterremo una stima dei coefficienti mentre nel paragrafo 5 otterremo una stima dellavarianza.

Dalla statistica è noto che mentre lo stimatore di un parametro è una v.c., la stima è il valoreassunto dallo stimatore in seguito all’estrazione di un campione di n elementi e al calcolo di unastatistica al suo interno.

Nella teoria della stima si distingue tra:

— stima puntuale in cui si giunge alla determinazione di un solo valore numerico per ilparametro;

— stima intervallare in cui si costruisce un intervallo che, con fiducia prefissata, include ilparametro da stimare.

Per stimare i parametri del modello di regressione si estrae un campione costituito da n

coppie di valori x y x y x yn n1 1 2 2, , , , ,( ) ( ) ( )..., dove x1, x2, ..., xn sono i valori della variabile

esplicativa e y1, y2, ..., yn sono i valori assunti dalla variabile dipendente. Le osservazioni

Il modello di regressione semplice 19

possono essere rappresentate in un grafico a dispersione come esemplificato nella figuraseguente:

X

••

•

••

••

•

••• •

••

••

• •

• ••

•• ••

•••

• ••

••

•••

Y

Fig. 2 - Diagramma a dispersione

Nell’eseguire una stima puntuale dei parametri è necessario trovare una relazione lineare trala variabile X e la variabile Y in modo da minimizzare il valore della componente stocastica. Dalpunto di vista geometrico è necessario trovare quella retta che attraversa la nuvola di puntirappresentativa delle n osservazioni campionarie su X e Y, ossia per i punti di coordinate

x yi i,( ) per i = 1, 2, ..., n.

Trattandosi di variabili economiche il quadrante generalmente impiegato è il primo, anchese nulla vieta di utilizzare anche altri quadranti per rappresentare un saldo negativo della bilanciadei pagamenti, un tasso reale d’interesse negativo etc.

L’equazione generica della retta di regressione è:

Y X= +β β0 1

β0 e β1 rappresentano, rispettivamente, l’intercetta e il coefficiente angolare della retta.

La retta di regressione non passa per tutti i punti osservati ma attraverso gli stessi, per cuialcuni punti della nuvola si troveranno nel quadrante al di sopra della retta, mentre altri al di sottodella stessa.

Avendo indicato con x yi i,( ) per i = 1, 2, ..., n le n osservazioni campionarie, si definiscono

residui o scarti le differenze tra i valori osservati yi e i valori teorici yi determinati dalla retta:

e y yi i i= − ˆ i = 1, 2, ..., n

Si è aggiunto un cappelletto alla variabile Y a indicare che si tratta di un valore teorico di Yottenuto in corrispondenza di un dato valore di X.

Tali scarti sono le realizzazioni della v.c. ε i .

Se il calcolo dei due coefficienti di regressione è effettuato con il metodo dei minimiquadrati ordinari OLS (dall’inglese Ordinary Least Squares) proposto da Karl Friederich


Indice Generale224

A.3.2 Moltiplicazione per uno scalare ............................................................ Pag. 187A.3.3 Prodotto fra matrici ............................................................................... » 187A.3.4 Matrice trasposta ................................................................................... » 190

A.4 Matrici particolari ............................................................................................ » 191A.5 Matrici, sistemi lineari e funzioni (vettoriali) lineari ...................................... » 191

A.5.1 Sistemi di equazioni lineari ................................................................... » 191A.5.2 Funzioni vettoriali ................................................................................. » 192A.5.3 Funzioni lineari...................................................................................... » 193A.5.4 Matrici non singolari e funzioni lineari invertibili ................................ » 194A.5.5 Matrici quadrate e matrice inversa ........................................................ » 194

A.6 Il determinante................................................................................................. » 195A.6.1 Costruzione del determinante ................................................................ » 195A.6.2 Proprietà del determinante ..................................................................... » 197

A.7 Calcolo della matrice inversa .......................................................................... » 197A.8 Regola di Cramer ............................................................................................ » 198A.9 Autovalori........................................................................................................ » 199A.10 Rango di una matrice ....................................................................................... » 200A.11 Forme quadratiche ........................................................................................... » 200A.12 Problemi di massimo e di minimo in forma matriciale ................................... » 202A.13 Problemi di ottimizzazione vincolata in forma matriciale ............................... » 204

Appendice B - Tavole Statistiche

Tavola 1 - Funzione di ripartizione della v.c. normale standardizzata ............... » 207Tavola 2 - Quantili della v.c. chi-quadrato ......................................................... » 208Tavola 3 - Quantili della v.c. t di Student .......................................................... » 209Tavola 4 - Quantili della v.c. F di Fisher al 5% e all’1% ................................... » 210Tavola 5 - Statistica di Durbin e Watson (Tavole di Savin e White) ................. » 213


I volumi di base

Indice

Compendio di

Econometria

La natura dell’econometria e i modelli econometrici - Il modello di regressione semplice - Estensioni del modellodi regressione semplice - Il modello di regressione multipla - La multicollinearità nel modello di regressione -Metodi di massima verosimiglianza e delle variabili strumentali e proprietà asintotiche degli stimatori - Laviolazione dell’ipotesi di sfericità degli errori: eteroschedasticità ed autocorrelazione - Modelli a equazioni simultanee:identificazione e stima


Teresa

Timbro

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