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Prova do Processo Seletivo do PPGEM - 04 de dezembro de 2015

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Código do candidato __________________________________________________________________________________________________________

Instruções

1. Resolver apenas 6 questões

Caso houver mais de 6 questões resolvidas, apenas as 6 primeiras

questões serão consideradas na correção

2. É permitido o uso de calculadoras simples, não programáveis

3. O tempo máximo da prova é de 3 horas

Código do candidato

Questão 1) Dada a matriz de coeficientes de um sistema

1 3 0

2 1 2

2 4 1

A

, calcule o

determinante A da matriz A. Calcule a matriz inversa A-1

. Encontre a solução para

1 1

2 2

3 3

1 3 0

2 1 2

2 4 1

x b

x b

x b

, em função dos coeficientes bi’s.

1 1

1 1n n

i j i j

ij ij ij ij

j i

A a M a M

; em que ijM são os menores complementares. ijM

é igual ao determinante eliminando-se a linha i e coluna j da matriz original. A inversa de

uma matriz não singular 0A pode ser obtida por 1 1 T

AA CA

, em que os elementos

da matriz de cofatores são definidos como , 1i j

A ij ijC M

. O sobrescrito T significa

matriz transposta.


Questão 2) Considere a equação diferencial ordinária que descreve o movimento de um

pêndulo simples:

sendo l o comprimento do pêndulo, g a aceleração da gravidade e θ(t) o ângulo do pêndulo.

a) Proponha uma solução numérica para esta equação usando uma aproximação por séries

de Taylor assumindo as condições iniciais conhecidas. Assuma um intervalo entre as

amostras de Δt e um tempo de observação de T segundos.

Dica: Lembre-se que uma função f(t+Δt) pode ser aproximada por séries de Taylor com

conhecimento da derivada temporal da função f(t) no instante de tempo e da própria função

f(t) neste mesmo instante de tempo, ou seja, a partir da relação:

b) Assumindo pequenos ângulos, obtenha a equação diferencial do pêndulo linearizada e

esboce um gráfico com uma possível solução desta equação. Justifique.


Questão 3) Considerando o conjunto dos números reais qual o valor do seguinte limite:

lim𝑥→+∞

(2𝑥 − 1)(17𝑥 − 6 − 12𝑥2)

(30𝑥2 − 17𝑥 + 42)(7𝑥 − 8)


Questão 4) Ar é comprimido isotermicamente em regime permanente e escoamento

uniforme, em um compressor de fluxo, de 100 kPa e 300 K para uma pressão final de

500 kPa. Qual é a mínima potência útil requerida para uma vazão mássica de 2 kg/s.

Assuma que o ar é um gás ideal com calores específicos constantes, cp = 1,0038 kJ/(kg.K) e

cv = 0,7168 kJ/(kg.K). A transferência de calor ocorre com o ambiente a 300 K. Se a

potência real for 370 kW, estime a taxa de transferência de calor e a taxa de geração de

entropia.

2 2

2 2

vck vc

e k s

dEV Vm h gZ Q W m h gZ

dt

. .k vcger

e k sk

Q dSm s S m s

T dt

2

00

2

12

2

vc vck vc

k ek

s

d T dV VI Q W p m gZ

dt T dt

Vm gZ

0 0 0 0 0vc U U T S S p V V ; 0 0 0h h T s s

Tds dh vdp


Questão 5) Considere o escoamento através de uma expansão abrupta como mostrado

esquematicamente na figura abaixo. Se o escoamento é incompressível e sem atrito, mostre

que o aumento de pressão entre a entrada (seção 1) e a saída (seção 2) da expansão,

2 1p p p , é dado por

2 2

2

1

2 11

2

p d d

D DV

. Assuma que a pressão 1p é

uniforme na superfície vertical da expansão. Estabeleça, claramente, todas as hipóteses para

solução do problema.

0 =𝑑

𝑑𝑡(∫ 𝜌𝑑∀

𝑣𝑐) + ∫ 𝜌�⃗�

𝑠𝑐. �⃗� 𝑑𝐴 𝐹 𝑏 + 𝐹 𝑠 =

𝑑

𝑑𝑡(∫ �⃗� 𝜌𝑑∀

𝑣𝑐) + ∫ �⃗� 𝜌�⃗�

𝑠𝑐. �⃗� 𝑑𝐴


Questão 6) Determine a distribuição de temperatura num fio número 10 (raio de 1,294 mm)

de cobre, de resistência elétrica, Re=3,277 ohm/m; conduzindo 2 amperes de corrente

elétrica. Assuma que o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície

externa do fio, ho, seja igual 100 W/(m2 o

C) e a condutividade térmica do cobre seja

400 W/(m.oC). Então, compare com a distribuição de temperatura num fio número 18 (raio

de 0,512 mm), de resistência elétrica, Re=20,948 ohm/m, também conduzindo 2 amperes de

corrente elétrica. Pode-se considerar que a transferência de calor seja puramente radial e

governada pela seguinte equação:

2

2

10e

o

R Id dTr

r dr dr k r

; 0 or r .

Considere as seguintes condições de contorno:

em 0r ; 0dT

dr e em

or r ; o

dTk h T T

dr


Questão 7) Alguns tipos de balança utilizam, em seu funcionamento, a relação entre o peso

P e a deformação elástica δ que ele provoca em uma mola de constante elástica K, ou seja,

P = K.δ (lei de Hooke). Ao se colocar certa mercadoria no prato de uma balança desse tipo,

a deformação δ não ocorre instantaneamente. Existe um movimento transiente que depende

de outro parâmetro: o nível de amortecimento do mecanismo da balança, dado pelo

parâmetro adimensional ζ, denominado razão de amortecimento.

O movimento transiente, a partir do momento que a mercadoria é colocada no prato da

balança, pode ser descrito por 3 equações diferentes (e tem comportamento diferentes),

conforme o valor de ζ.

- Para ζ < 1, 𝛿(𝑡) =𝑃

𝐾(1 −

𝜔𝑛

𝜔𝑑. 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡.sen(𝜔𝑑𝑡 + φ), em que 𝜔𝑛 = √

𝐾

𝑀, 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√1 − 𝜁2 e

φ= 𝑐𝑜𝑠−1𝜁

A figura abaixo exemplifica o gráfico da função quando ζ = 0,1.

- Para ζ = 1, 𝛿(𝑡) =𝑃

𝐾(1 − 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡.(1+ 𝜁𝜔𝑛𝑡)), cujo gráfico está ilustrado a seguir.

- Para ζ > 1, 𝛿(𝑡) =𝑃

𝐾(1 − 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡.(cosh𝜔𝑣t -

−𝜁𝜔𝑛

𝜔𝑣senh𝜔𝑣t)) em que 𝜔𝑣 = 𝜔𝑛√𝜁2 − 1

A figura abaixo exemplifica o gráfico da função quando ζ = 2.


Com base nestas informações, conclui-se que a balança indica o valor exato da massa

(peso) mais rapidamente quando:

a) ζ < 0, b) ζ = 0. c) 0 < ζ < 1. d) ζ = 1. e) ζ > 1.

Comente (justifique) sua resposta.


Questão 8) A viga simplesmente apoiada “AC” é carregada por um Momento Fletor “T”

aplicado no ponto ”B”. Determine:

a) As reações de apoio;

b) Os diagramas de Momento Fletor e Força Cortante.


Questão 9) No sistema motor de quatro tempos, a manivela AB possui uma velocidade

angular constante () no sentido horário. Considerando que sobre o pistão de área de seção

transversal At atue uma pressão P, determine uma expressão para o cálculo do torque no

eixo A em função do ângulo , P, At, b e l.

Fonte: MERIAM, J.L. e KRAIGE, L.G., Engineering Mechanics -

Dynamics, 5a. edição, John Wiley, 2002.


Questão 10) A capacidade de predição da engenharia está intimamente ligada ao

desenvolvimento de modelos. Com respeito aos materiais, desde os antigos filósofos já

havia intensas discussões sobre a constituição da matéria. Basicamente, a discussão se

estabeleceu sobre uma base dual: os defensores de que a matéria era um todo contínuo e os

defensores de que a matéria era constituída de partículas. Qual dessas ideias se consolidou

para modelar os materiais de engenharia atuais? Argumente e justifique sua resposta.


Questão 11) Os processos de usinagem são processos de fabricação de peças onde ocorre a

remoção de material sob a forma de cavaco. É um processo caro devido ao elevado custo

das máquinas-ferramenta e ferramentas de corte, além de ser um processo bastante lento.

Apesar de todas essas limitações, são bastante utilizados na fabricação de peças. Em que

casos são utilizados os processos de usinagem na fabricação de peças?


Questão 12) Sabe-se que as trincas são consideradas as descontinuidades mais graves em

soldagem, pois são fortes concentradores de tensão, podendo favorecer o início de fraturas

frágeis na estrutura soldada. Em aços carbono de média e baixa liga a trinca mais comum é

a trinca a frio. Quais são as condições necessárias para a formação da trinca a frio?

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