ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΜΑΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Κυµατισµός περιόδου 7 sec και ύψους Η 1.5 m διαδίδεται σε νερό βάθους 5 m. Να υπολογιστεί το µήκος κύµατος, η ταχύτητα διάδοσης, το πλάτος της οριζόντιας και κατακόρυφης ταχύτητας του νερού στην επιφάνεια και κοντά στον πυθµένα και η µηχανική ισχύς του. Να υπολογιστούν η υδροστατική και η µέγιστη υδροδυναµική πίεση στην επιφάνεια και στον πυθµένα. Αρχικά υπολογίζεται το µήκος του κύµατος στο βάθος αυτό µε τη διαδικασία που περιγράφεται στη θεωρία. Το µήκος κύµατος στα βαθιά νερά Lo = g T2/(2π) είναι 9.81∗49/6.2832 = 76.5 m. Ο λόγος d/Lo είναι 0.065 (νερά ενδιάµεσου βάθους) Από τον λόγο αυτό και το νοµογράφηµα του Σχ.5. βρίσκεται d/L =0.11 και L= 5/0.11 =45m. Η τιµή αυτή αντικαθίσταται στο αριστερό µέλος της γενικής εξίσωσης του µήκους κύµατος L=Lo tanh(2π d/L) και βρίσκεται L= 76.5 tanh(6.2832∗ 5/45) = 46 m H προσέγγιση είναι αρκετή και για τους πιο πέρα υπολογισµούς θεωρείται L=45.5 (µέσος όρος 1ης και 2ης προσέγγισης) Η επόµενη χρήσιµη κυµατική παράµετρος είναι το n = 0.5(1+2kd/sinh(2kd)) . O αριθµός κύµατος k =2π/L είναι 6.2832/45.5 = 0.138 . Η αντικατάστασή στην εξίσωση για το n δίνει n= 0.87. Από την εξίσωση για την οριζόντια ταχύτητα u =πH/T cosh(k(d+z))/sinh(kd) για z=0 m και z= -5 m βρίσκονται u(z=0) = 1.12 m/sec u(z=-5) = 0.90 m/sec . Οι ταχύτητες δεν διαφέρουν πολύ καθώς τα νερά είναι σχεδόν βαθιά (d/L =5./45.5=0.11 πολύ πλησίον του 0.05). Από την εξίσωση για την κατακόρυφη ταχύτητα w=πH/T sinh(k(d+z))/sinh(kd) για z=0m και z=-5m βρίσκονται w(z=0) = 0.942 m/sec, w(z=-5) =0 m/sec. Η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος (ταχύτητα φάσης) είναι c=L/ T = gT/(2π) tanh(kd) = 45.5 /5 =9.1 m/sec (διαφορά τάξης µεγέθους µε την u). Η µηχανική ισχύς του κύµατος (ροή ενέργειας από κατακόρυφη διατοµή πλάτους 1m) βρίσκεται από την εξίσωση P=En/T όπου E=1/8 γH2L . Η αντικατάσταση δίνει Ε=1/8∗10000∗1.52/45.5 =128 000 J/m και P=128∗0.87/7 = 15.9 kW/m. (για την πυκνότητα του νερού µπορεί να εφαρµοστεί η τιµή γ=ρg 1020∗9.81= 10006 ή 10000 N/m3). Η υδροστατική πίεση στην επιφάνεια και στον πυθµένα είναι αντίστοιχα 0 και 10000∗5 =50000 Pa Η υδροδυναµική δίνεται από την εξίσωση p=γH/2 cosh(k(d+z))/cosh(kd). Η αριθµητική αντικατάσταση δίνει για την επιφάνεια και τον πυθµένα p(z=0) = 10000∗1.5/2 =25000 Pa και p(z=-5)=20037 Pa. ΑΣΚΗΣΗ 2 Κυµατισµός περιόδου 6 sec και ύψους κύµατος Η0 (στα βαθιά νερά) 2 m διαδίδεται προς ακτή κλίσης πυθµένα 2%. Ποιο είναι το ύψος του σε απόσταση 200 m από την ακτή. Αν περιγραφόταν µε την θεωρία Stoke 2ης τάξης ποιο θα ήταν το ύψος της κορυφής του κύµατος στη θέση αυτή . Ποια είναι η ταχύτητα παράσυρσης (Stoke’s drift) στην επιφάνεια στην θέση αυτή. Στην δεδοµένη απόσταση το βάθος του νερού είναι 200 ∗.02 =4 m . Από την γνωστή διαδικασία υπολογισµού του µήκους κύµατος σε δεδοµένο βάθος υπολογίζεται το µήκος κύµατος L4 . L0=g T2/2π = 9.81 ∗36/6.2832 =56.2 m . Ο λόγος d/L0

=0.071 οδηγεί από το νοµογράφηµα στην τιµή d/L4 =0.12 και L4 =33 m. Η δεύτερη προσέγγιση δίνει L4= 56.2∗ tanh(6.2832 4/33) = 36 m. Γίνεται δεκτός ο µέσος όρος L4=34.5 m Με βάση αυτή την τιµή υπολογίζεται οι παράµετροι k και n . Βρίσκονται k = 6.2832/34.5 =0.182 και n= 0.5 (1 + 2 ∗0.182∗ 4/ sinh(2∗ 0.182∗ 4)) = 0.86 Από την σχέση της διατήρησης της ισχύος του κύµατος κατά την διάδοσή του σε µικρές αποστάσεις υπολογίζεται ο συντελεστής «ρήχωσης» ks για την µεταβολή του ύψους κύµατος από τα βαθιά νερά σε βάθος 4 m. Βρίσκεται ks =√ (0.5 56.2 / (0.86 34.5)) =0.97 Αρα κατά την θεωρία πρώτης τάξης το ύψος κύµατος σε βάθος 4 m είναι 2∗ 0.97 =1.94 m. Για τον υπολογισµό του αντιστοίχου ύψους κορυφής κατά την θεωρία 2ης τάξης εφαρµόζεται η σχέση η =Η/2 +πΗ2/(8L) cosh(kd)/sinh3(kd)(2+cos(2kd)) = 1.29 m . Η διαφορά µεταξύ της τιµής 1.94/2=0.97 m και 1.29 m που δίνει η θεωρία 2ης τάξης είναι σηµαντική. H ταχύτητα φάσης στη θέση αυτή είναι c= L/T = 5.75 m/sec Η ταχύτητα παράσυρσης Stoke στην επιφάνεια είναι U(z=0) =(πH/L)2 c/2 cosh(2kd)/sinh2(kd) =0.32 m/sec . Η ταχύτητα αυτή είναι σηµαντική για την µεταφορά µαζών και επιπλεόντων υλικών. ΑΣΚΗΣΗ 3 Ποια είναι η απαραίτητη µετατόπιση ενός εµβόλου στην άκρη ενός ανοιχτού αγωγού βάθους νερού d=0.5 m σε εργαστήριο, ώστε να προκληθεί η δηµιουργία µοναχικού κύµατος µε ύψος τα 70% του κρίσιµου ύψους. Ποια είναι η ταχύτητα προώθησής του στον αγωγό και ποιο το ενεργειακό περιεχόµενό του. Το κρίσιµο ύψος µοναχικού κύµατος (για την αποφυγή αστάθειας και θραύσης) είναι Η=0.78∗ d= 0.39 m. Το επιθυµητό ύψος είναι 0.7 ∗0.39 =0.273 m. Για την επίτευξη του κύµατος αυτού ο µετατοπιστέος όγκος νερού είναι V=(16/3d3H)0.5 = 0.42 m3/m. Κατά συνέπεια η απαραίτητη µετατόπιση του εµβόλου είναι 0.42/0.5 = 0.85 m. Η ταχύτητα φάσης του κύµατος είναι c=√(g(H+d)) = 2.75 m/sec. Το ενεργειακό περιεχόµενο του µοναχικού κύµατος είναι Ε=8/(3√3)ρg(Ηd)1.5 = 776 J/m.

∆ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΑΚΤΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Κυµατισµός µε στοιχεία Τ=5 sec, H0 =1.5 m µε γωνία προς την ακτή στα βαθιά νερά ίση προς 45 ο προωθείται προς ακτή µε ισοβαθείς παράλληλες µεταξύ τους και προς την ακτογραµµή. Σε βάθος νερού d = 5 m υπάρχει κυµατοθραύστης παράλληλος προς την ακτή και το νερό πίσω του έχει σταθερό βάθος d= 5 m. Να υπολογιστεί το ύψος κύµατος σε απόσταση l =300 m και γωνία β= 30 ο από το ακροµόλιό του (σύµφωνα µε το Σχ.1.)

Σχ.1.1. Τα µήκη κύµατος σε µεγάλο βάθος και βάθος 5 m είναι L0= 9.81 ∗25 /6.2832 = 39 m . d/L0 = 5/ 39 = 0.128 , d/L5 = 0.16 και L5 = 31 m .Η τιµή αυτή διορθώνεται σε L5 = 39 tanh(6.2832 5/31) = 30 m . Eφαρµόζεται τιµή L5 =30.5 m. H τιµή της παραµέτρου n για το βάθος των 5 m είναι k= 0.164 , n= 0.83. Για τον υπολογισµό της ρήχωσης από τα βαθιά νερά στο βάθος των 5 m βρίσκεται ks=(0.5 39/(0.83 30.5))0.5 = 0.877 Για τον υπολογισµό της διάθλασης από τα βαθιά νερά ως το βάθος των 5 m υπολογίζεται η γωνία των κυµατοκορυφών προς τις ισοβαθείς φ5= τοξηµ(30.5/39 ηµ(45)) = 33.5ο . Ο συντελεστής διάθλασης είναι kr=√(συν45/συν33) = 0.92 Κατά συνέπεια στο βάθος των 5 m το ύψος κύµατος είναι Η5 =1.5∗ 0.877∗ 0.92 = 1.21 m. H γωνία των ορθογωνίων προς τον κυµατοθραύστη είναι θ = 90-33 = 57 ο. Για τον υπολογισµό του συντελεστή περίθλασης kD (θ,β,l/L) γίνεται χρήση του πίνακα Wiegel για τιµές θ=570, β=300 ,l/L=300/30.5 = 9.8 . Με παρεµβολές µεταξύ των στοιχείων του πίνακα βρίσκεται kD =0.15. Αρα το ύψος κύµατος στην σκιά του κυµατοθραύστη είναι Η= 1.21∗ 0.15 = 0.18 m.

Σχ.1. Κάτοψη της περιοχής της διάδοσης και της περίθλασης γύρω από το ακροµόλιο ΑΣΚΗΣΗ 2 Κυµατισµός διαδίδεται από την ανοιχτή θάλασσα µε στοιχεία Η0 =2 m Τ=6 sec α0 = 30 ο προς ακτή µε παράλληλες ισοβαθείς και κλίση πυθµένα 2%. Να υπολογιστεί η παροχή του παράκτιου ρεύµατος στη ζώνη θραύσης των κυµατισµών, και το ύψος του κύµατος σε απόσταση 50m από την ακτή Ποια είναι η υπερύψωση της µέσης στάθµης που προκαλεί στην ακτή Το µήκος κύµατος στα βαθιά νερά είναι L0=gT2/2π = 56 m.

Για τον υπολογισµό της διάθλασης εως την γραµµή θραύσης των κυµατισµών υποτίθεται σε πρώτη προσέγγιση ένα βάθος θραύσης db = Ho/0.8 = 2.5 m. Στο βάθος αυτό υπολογίζεται το µήκος κύµατος Lb από τη γνωστή διαδικασία, db/L0 = 0.044 (<0.05) άρα ρηχά νερά , άρα Lb = cb ∗T, cb=√(9.81∗2.5) = 4.95 m/sec. Lb= 4.95∗ 6 =29.7 = 30 m . ∆ιόρθωση µε την σχέση για το L = 56∗ tanh(6.2832 ∗2.5/30) = 27 m . Εφαρµόζεται ο ΜΟ 28.5 m. Από το νόµο της διάθλασης βρίσκεται αb =τοξηµ( 28.5/56 ∗ηµ30) = 14.7 ο και kr= √ (συν30/συν14.7) = 0.95, άρα το ύψος κύµατος µετά τη διάθλαση (µόνο) είναι Η0’ = 2∗ 0.95 = 1.9 m. Από τα νοµογραφήµατα τα σχετικά µε τη θραύση των κυµατισµών και την τιµή Ho’/gT2 = 0.0054 και κλίση πυθµένα m=0.02 βρίσκεται Ηb/Η0’ =1.1 και Hb=1.9∗1.1 = 2.1 m. Από την τιµή αυτή και τον λόγο Hb/gT2 = 0.0059 και m=0.02 βρίσκεται db/Hb = 1.2 και db = 2.52 m. Επειδή δεν διαφέρει σηµαντικά (πάνω από 20%) η τιµή που βρέθηκε για το db µε αυτή που υποτέθηκε αρχικά δεν επαναλαµβάνεται η διαδικασία για τον νέο db. Αρα τα στοιχεία θραύσης είναι db= 2.5m , Hb = 2.1 m , αb 14.7 o Η απόσταση της γραµµής θραύσης από την ακτή είναι x =2.5/0.02 = 125 m. Η µέση ταχύτητα του παράκτιου ρεύµατος είναι 20.7 m (gHb)0.5 sin (2αb) = 20.7∗ 0.02 ∗(9.81∗ 2.1)0.5∗ sin (29.4) = 0.92 m/sec. Αρα η παροχή του παράκτιου ρεύµατος για τη ζώνη θραύσης µε µέσο βάθος νερού 1.25 m είναι Q = 0.92∗ 125 ∗ 1.25 = 143.5 m3/sec. Για τον υπολογισµό του ύψους κύµατος σε απόσταση 50 m από την ακτή υπολογίζονται οι παράµετροι ξ= 0.02 /√ (2/56) = 0.10 και γ = 0.1 0.17 + 0.08 = 0.756 . Στην απόσταση αυτή το βάθος είναι 1m και κατά συνέπεια το ύψος του θραυσµένου κύµατος είναι Η =γd = 0.76 m Για τον υπολογισµό της υπερύψωσης της µέσης στάθµης στην ακτή εφαρµόζεται η σχέση ∆η = db/(1 +8/3 γ2) = 2.5/(1 +8/3 0.756 2) = 0.99 =1 m Αρα η ακτογραµµή θα µετατοπιστεί προς την ξηρά λόγω της υπερύψωσης αυτής κατά 1/0.02 = 50 m ΑΣΚΗΣΗ 3 Κυµατισµός µε στοιχεία Η0 =1.8 m και Τ = 6.5 sec διαδίδεται προς πρανές από λιθορριπή κλίσης 3/1. Το βάθος του νερού στον πόδα του πρανούς είναι d=4 m. Να υπολογιστεί το ύψος αναρρίχησης στο πρανές . Το µήκος κύµατος στα βαθιά νερά είναι L0= 9.81 6.52/6.832 = 66 m Η παράµετρος ξ στην περίπτωση αυτή είναι ξ = εφ(α)/√(Ηο/Lo) = 0.333/√(1.8/66) = 2.0 <2.5 (άρα γίνεται θραύση). Το ύψος κύµατος στον πόδα του πρανούς βρίσκεται από την επίδραση της ρήχωσης d/L0 = 4/66 = 0.06 και d/L = 0.11 άρα L= 37 m. Ελέγχεται L= 66 tanh( 6.2832∗ 4/37) = 39 m. Εφαρµόζεται τιµή L = 38 m. Βρίσκεται η παράµετρος n = 0.5(1+ (2 ∗ 4∗6.2832/38)/sinh(2∗4∗ 6.2832/38)) = 0.88 και ks = √(0.5 66/(0.88 38)) = 0.99 . Αρα το ύψος κύµατος στο βάθος αυτό είναι 1.5∗ 0.99 = 1.5 m. H αναρρίχηση µπορεί να υπολογιστεί από την σχέση R = H ∗2.3 ∗tana/(8/T(H/2g)0.5)) = 1.5 ∗2.3∗ 0.333 /(8/ 6.5∗ (1.5/19.62)0.5) = 3.37 m. Η µείωση της τιµής αυτής λόγω της φύσης του πρανούς οδηγεί σε τιµή R = 3.37 ∗0.5 = 1.68 m. Η τιµή αυτή ελέγχεται µε το διάγραµµα που συσχετίζει το ξ µε τον λόγο R/H. Για ξ=2. βρίσκεται R/h = 1.15 και R=1.5 ∗1.15 = 1.7 m (παραπλήσια τιµή).

ΑΣΚΗΣΗ 4 Κλειστή επιµήκης λεκάνη µήκους 1200 m και µέσου βάθους νερού d = 7 m διεγείρεται από διακυµάνσεις της ατµοσφαιρικής πίεσης. Ταλαντεύεται σύµφωνα µε την δεύτερη ιδιοµορφή ταλάντωσης (i=1) µε πλάτος στασίµου κύµατος α=2m. Να υπολογιστεί η ιδιοπερίοδος ταλάντωσης, και οι θέσεις και οι τιµές της µέγιστης οριζόντιας ταχύτητας των µορίων του νερού. Ποιο είναι το πλάτος ταλάντωσης εκεί. Σύµφωνα µε τις σχέσεις ιδιοταλάντωσης κλειστών και ανοιχτών λεκανών για την κλειστή λεκάνη του προβλήµατος ισχύoυν οι σχέσεις µακρών κυµατισµών c= √(9.81∗ 7) = 8.28 m/sec . Τ= 2L/((i+1)∗c) = 2 ∗2500/(2 ∗8.28) = 301 sec. H 2η ιδιοµορφή ταλάντωσης δείχνει ότι οι κόµβοι είναι στο 1/4 και 3/4 του µήκους της λεκάνης δηλαδή σε αποστάσεις 625 και 1875 m από το ένα άκρο της. Εκεί το πλάτος της οριζόντιας ταχύτητας δίνεται από τη σχέση umax=H/2√(g/d) =2 ∗ √(9.81/ 7) =2.36 m/sec. Το πλάτος της οριζόντιας ταλάντωσης των µορίων του νερού δίνεται από τη σχέση Ξ = umax T/(2π) = 113 m.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΝΕΜΟΓΕΝΩΝ (ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ )ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε κυµατικό επεισόδιο διάρκειας 8 hrs η ανάλυση µε τη µέθοδο της µηδενικής προς τα άνω διάβασης καταγραµµένου δείγµατος έδωσε την τιµή Hrms = 1.5 m και Τz =5.4 sec. Να υπολογιστεί το ύψος κύµατος που έχει πιθανότητα υπέρβασης 0.1% , το σηµαντικό ύψος κύµατος, και το µέγιστο πιθανό ύψος κύµατος. Η σχέση µεταξύ Hrms και Hs είναι Ηs = √2 Hrms = 2.12 m Για τον υπολογισµό του ύψους µε πιθανότητα υπέρβασης 0.1% εφαρµόζεται η σχέση της κατανοµής Rayleigh που ισχύει για ένα κυµατικό επεισόδιο P(>H) = exp(-(H/Hrms)2) . Η αριθµητική εφαρµογή δίνει 0.001 = exp( -(H/1.5)2) Η επίλυση µετά την λογαρίθµιση για την τιµή του Η δίνει Η = 3.94 m. Το µέγιστο πιθανό ύψος κύµατος βασίζεται στην εκτίµηση του πλήθους των κυµάτων στο κυµατικό επεισόδιο διάρκειας 8 hrs. Βρίσκεται Ν = 8 3600/5.4 =5333. Το Ηmax δίνεται από τη σχέση Hmax =Hrms √ lnN = 4.4 m ΑΣΚΗΣΗ 2 Από σειρά κυµατικών επεισοδίων που κάθε ένα τους χαρακτηρίζεται από µία τιµή Hs κατασκευάστηκε το ιστόγραµµα συχνοτήτων που δίνεται από τις τιµές Hs (m) 0.5 1.5 2.5 3.5 f % 90 6 3 1 F % 100 10 4 1 ln F 0 -2.3 -3.21 -4.6 Αν οι καταγραφές γίνονται κάθε µέρα να υπολογιστεί το σηµαντικό ύψος κύµατος µε περίοδο επαναφοράς 100 έτη. Το ιστόγραµµα συµπληρώνεται από την ολοκληρωµατική τιµή F (συχνότητας υπέρβασης δηλαδή εµφάνισης τιµής µεγαλύτερης ή ίσης της συγκεκριµένης) και των λογαρίθµων της. Από την ισχύ της κατανοµής Weibul που περιγράφεται από τη σχέση ln(P>H) = -a∗ H υπολογίζεται µε γραφικό τρόπο σε διάγραµµα µε ηµιλογαριθµική κλίµακα ο συντελεστής a = 1.53.

Σχ.1. Γραφικός υπολογισµός του συντελεστή a Η τιµή µε περίοδο επανάληψης 100 έτη (υπέρβαση 1 φορά στις 100 ∗365 = 36500 ηµερήσιες καταγραφές) και ln(P) = ln(1/36500) = -10.5 αντιστοιχεί σε τιµή Hs = 10.5/1.53 = 6.9 m. ΑΣΚΗΣΗ 3 Μεταξύ δύο παραλλήλων ακτών σε µεταξύ τους απόσταση 20000m δρα άνεµος ταχύτητας U10 = 15 m/sec ,κάθετος στις ακτές που διαρκεί tD= 6 hrs. Να υπολογιστεί η µέγιστη πιθανή τιµή του ύψους κύµατος που µπορεί να προκαλέσει στην ακτή προς την οποία δρα. Με βήµα 15ο εκατέρωθεν της κατεύθυνσης του ανέµου και για γωνίες 0, 15 30 45 µοίρες υπολογίζεται η τιµή του αποτελεσµατικού µήκους ανάπτυξης κυµατισµών. Βρίσκεται F0 = 20 km, F15 = 20.7 km, F30 = 23.1 km, F45 = 28.2 km Feff = (20 + 2 (cos215∗ 20.7 + cos230 ∗23.1 + cos2 45∗ 28.2))/ (1 +2(cos15+cos30+cos45)) = 121/ 6.08 = 20 km (αναµενόµενο λόγω της συγκεκριµένης γεωµετρίας των ακτών). Για την εκτίµηση των στοιχείων του κύµατος επιλέγεται να εφαρµοστεί η µέθοδος Carter (βασιζόµενη στο ενεργειακό φάσµα JONSWAP). Υπολογίζεται η ισοδύναµη ταχύτητα UA = 0.71∗ U10

1.23 = 19.9 Για την διάκριση µεταξύ της ανάπτυξης κυµατισµών µε περιορισµό διάρκειας ή µήκους ανάπτυξης ελέγχεται η ισχύς της ανισότητας 9.81 ∗6 ∗3600 /19.9 > 68.8(9.81 ∗20000/19.92)0.66 ⇒10648 > 4289 Η ανισότητα ισχύει άρα η ανάπτυξη γίνεται µε περιορισµό µήκους ανάπτυξης (επάρκεια διάρκειας) και το Feff αντικαθίσταται στο x. Τα κυµατικά στοιχεία υπολογίζονται από τις σχέσεις

Hs = 0.0016 (9.81 ∗20000/19.92)0.5∗ 19.92/9.81 = 1.44 m ⇒ Hrms = 1.44∗ 0.707 = 1 m Tp = 0.286 (9.81 ∗20000/19.92) 0.333 ∗19.9/9.81 = 4.6 sec ⇒ Ts = 0.9 ∗4.6 = 4.1 sec Tz =0.8 ∗4.6 = 3.7 sec . Για τον υπολογισµό του µέγιστου πιθανού ύψους κύµατος κατά τη διάρκεια του επεισοδίου υπολογίζεται το πλήθος των κυµάτων Ν = 6∗ 3600/3.7 = 5840 Από τη σχέση για το Hmax = Hrms√ lnN βρίσκεται Hmax = 2.95 m. ΑΣΚΗΣΗ 4 Ανεµος ταχύτητας U10 =16 kn δρα σε απεριόριστη έκταση για µεγάλη διάρκεια στην ανοιχτή θάλασσα. Οι κυµατισµοί που προκαλεί µεταδίδονται στην ακτή σε απόσταση 200 ΝΜ. Να υπολογιστεί τα σηµαντικά στοιχεία του κυµατισµού στην ακτή. Λόγω του απεριόριστου των παραµέτρων ανάπτυξης του κύµατος υποτίθεται κατάσταση «πλήρως αναπτυγµένων κυµατισµών» (FDS) . Υπολογίζεται το UA = 0.71∗ 8 1.23 = 9.1 Από τις σχέσεις για το φάσµα PM υπολογίζονται Hs= 0.243∗ 9.12/9.81 = 2.05 m Tp = 8.13∗ 9.1/9.81 = 7.5 sec. Από τα νοµογραφήµατα για την µεταβολή των στοιχείων κύµατος µε την απόσταση διάδοσης βρίσκεται για απόσταση 200 ΝΜ. TD/TF =1.2 ⇒ TD =1.2 ∗7.5 =9 sec , Τs =0.9 ∗Tp = 8.1 sec HD/HF = 0.55 ⇒ HD =0.55∗ 2.05 = 1.12 m, Hs =1.12 m

ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑ (ΘΑΛΑΣΣΙΑ ΡΕΥΜΑΤΑ) -∆ΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΣΤΑΘΜΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Παράκτια λεκάνη εµβαδού 100 στρ. µέσου βάθους d = 5 m και ανοίγµατος εισόδου Β = 20 m δέχεται τη δράση παλίρροιας περιόδου Τ =43000 sec και πλάτους α= 0.15 m και ανέµου εγκάρσιου στην είσοδο ταχύτητας U10 =5.5 m/sec επιφανειακή ταχύτητα του ρεύµατος 0.020 ∗U10 . Να υπολογιστεί ο χρόνος ανανέωσης της λεκάνης από τη συνδυασµένη δράση των δύο αυτών φυσικών αιτίων. Το παλιρροιακό πρίσµα έχει όγκο V = 100000 ∗0.30 = 30000 m3. (ο όγκος νερού που ανταλλάσσεται µεταξύ λεκάνης και θάλασσας σε µία περίοδο τη; παλίρροιας). Ο όγκος της λεκάνης είναι 100000 ∗5 =500000 m3 και κατά συνέπεια ο χρόνος ανανέωσης της λεκάνης από την παλίρροια Τπ είναι 500000/30000 = 16.66 παλιρροιακοί κύκλοι ή 43000 ∗16.66 = 716380 sec =8.29 days. H µέση ταχύτητα του παλιρροιακού ρεύµατος είναι 0.15 ∗100000 /(43000 ∗20 ∗5) = 0.0035 m/sec και η αντίστοιχη παροχή είναι Q = 20 ∗5 ∗.0035 =0.35 m3/sec. Με την παραδοχή σταθερής κατακόρυφης τιµής του συντελεστή ιξώδους και παραβολική κατανοµή της ταχύτητας του ανεµογενούς ρεύµατος η µέση ανεµογενής ταχύτητα είναι 0.02 ∗5.5 /2 = 0.055 m/sec και η παροχή εισόδου (και εξόδου) νερού από την επίδραση του ανέµου είναι Q = 20 ∗(5/3)∗ 0.055 = 1.833 m3/sec. Ο χρόνος ανανέωσης λόγω ανέµου είναι Τα =100000∗ 5 /1.833= 272776 sec = 3.157 days. Ο συνιστάµενος χρόνος ανανέωσης από την δράση των 2 αιτίων είναι Τολ =1/(1/3.157 +1/8.29) =2.286 days. ΑΣΚΗΣΗ 2 Σε επιµήκη περιοχή εκβολών ποταµού µήκους 10000 m και βάθους 3m δρα άνεµος κατά µήκος της περιοχής ταχύτητας U10 = 12 m/sec µε συντελεστή τριβής επιφανείας k=0.000003 και επιφανειακή ταχύτητα ανεµογενούς ρεύµατος 0.025∗ U10. Να υπολογιστεί η ταχύτητα τριβής στην επιφάνεια, η τιµή του συντελεστή τυρβώδους ιξώδους, η ειδική παροχή νερού κατά µήκος της περιοχής και η διαφορά στάθµης που προκαλείται από τη δράση του ανέµου. Η επιφανειακή ταχύτητα τριβής είναι us* = √ (0.000003 ∗122) =0.0207 m/sec. Η τιµή του κατακόρυφου τυρβώδους συντελεστή ιξώδους είναι Ε = us* d √k/(2∗ 0.02) = 0.0027 m2/sec. H επιφανειακή ταχύτητα του ανέµου είναι 12∗ .02 = 0.24 m/sec και µε την παραδοχή τριγωνικής κατανοµής της στο ανώτερο τρίτο της διατοµής η ειδική παροχή είναι q = 3/3 ∗0.24/2 =0.12 m3/m/sec Η κλίση της επιφάνειας και η συνεπαγόµενη διαφορά στάθµης ∆ζ στο µήκος των 10000 m είναι ∆ζ = L∗ 3/2 us*

2 /(gd) = 10000∗ 3/2 ∗0.0207 2 /9.81/3 =0.22 m

ΑΣΚΗΣΗ 3 Σε κλειστή παράκτια λεκάνη µήκους 20000 m διαµορφώνεται στρωµάτωση πυκνότητας µε τιµή ∆ρ/ρ (= (ρu-ρο)/ρµέσο ) = 0.005, όπου ο,u οι δείκτες των άνω και κάτω στρώσεων) και πάχη στρώσεων do= 10 m, du =28 m. Αµελείται η επίδραση της δύναµης Coriolis. Αν ο συντελεστής τριβής στην επιφάνεια είναι Cs = 0.000002, να υπολογιστεί η απαραίτητη ταχύτητα του ανέµου (τριβή επιφανείας) ώστε να γίνει ανάβλυση (µηδενισµός του πάχους της άνω στρώσεως στο ένα άκρο της λεκάνης). Υποτίθεται ότι διαµορφώνεται µόνιµη κατάσταση ροής και κατά συνέπεια οι µέσες ταχύτητες και στις 2 στρώσεις είναι µηδενικές. Κατά συνέπεια δεν αναπτύσσονται τριβές στην διεπιφάνεια και τον πυθµένα. Από την δεύτερη των εξισώσεων ισορροπίας δυνάµεων µε µηδενικές τις ταχύτητες των δύο στρώσεων συνάγεται ότι η βαθµίδα µεταβολής του πάχους της πάνω στρώσης σχετίζεται µε την βαθµίδα µεταβολής της στάθµης της επιφάνειας µε τη σχέση ∆ρ/ρ ∂do/∂x = - ∂(do + du)/∂x Από την πρώτη των δύο εξισώσεων ισορροπίας δυνάµεων µε µηδενικές ταχύτητες και αµελητέες δυνάµεις Coriolis συνάγεται ότι η κλίση της επιφάνειας είναι ίση µε την ανηγµένη τριβή του ανέµου g ∂(do+du)/∂x = τs/ρ do Από τις δύο ισότητες συνάγεται ότι για την επίτευξη ανάβλυσης δηλαδή βαθµίδας µεταβολής της άνω στρώσης 20/20000 = 0.001 θα πρέπει η τριβή επιφανείας να είναι τs/ρ = gdo ∆ρ/ρ ∂do/∂x = 9.81∗ 0.005 ∗.001 = 4.9 10-5 Με δεδοµένη τη σχέση µεταξύ τριβής και ταχύτητας ανέµου τs/ρ = CsW2 βρίσκεται η απαραίτητη ταχύτητα ανέµου για τη επίτευξη ανάβλυσης, W =√ (4.9∗ 10-5 /0.000002) = 4.95 m/sec. ΑΣΚΗΣΗ 4 Σε παράκτια περιοχή µε ευθύγραµµα ακτή Ν προσανατολισµού µέσο βάθος d = 25m σε απόσταση από την ακτή 45000 m δρα ΝΑ άνεµος ταχύτητας W = 18 m/sec. Ο συντελεστής τριβής επιφανείας είναι Cs =.0000025, ο συντελεστής τριβής πυθµένα Cb =0.005 και το γεωγραφικό πλάτος της περιοχής φ=41ο .Να υπολογιστεί η υπερύψωση της στάθµης στην ακτή λόγω της µετεωρολογικής παλίρροιας και η ένταση του παράκτιου ρεύµατος. Ο συντελεστής Coriolis f =2Ωηµφ = 0.000095. Η Α-∆ συνιστώσα του ανέµου είναι σύµφωνα µε τους συµβολισµούς του Σχ.1., Wx = -18∗ 0.707 = -12.7 m/sec και Ν-Β συνιστώσα +12.7m/sec.

Σχ.1. Περιοχή ελέγχου και σύστηµα συντεταγµένων

H ειδική παροχή του παράκτιου ρεύµατος υπολογίζεται από την εξίσωση ισορροπίας κατά Οx, 0 = Cs W Wx -Cb qx|qx|/d2 = -.0000025 ∗18 ∗12.7 -0.005 qxIqxI /625 Βρίσκεται qx = -8.45 m3/m/sec και ένταση παράκτιου ρεύµατος ux =-8.45/25 = 0.338 m/sec. Από την εξίσωση ισορροπίας κατά Oy βρίσκεται g d ∂ζ/∂y = -f qx + Cs W Wy ⇒ 9.81 ∗25∗ ∂ζ/∂y = .000095 ∗8.45 + .0000025 ∗18 ∗12.7 που δίνει για την κλίση ∆ζ/∆y = 5.6 ∗10 -6 ή για την απόσταση των 45000 m ∆ζ=+0.25 m.

ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΚΑΙ ΑΝΑΜΙΞΗ ΑΙΩΡΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ∆ΙΑΛΥΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε θαλάσσια περιοχή γίνεται παρακολούθηση πλωτήρων για την εκτίµηση του συντελεστή οριζόντιας διάχυσης. Παρακολουθούνται 3 πλωτήρες που σε χρονική απόσταση 3 hrs οι µεταξύ τους αποστάσεις είναι οι εξής l12 l13 l23 t1 100 150 180 t2 220 260 320 Να υπολογιστεί ο συντελεστής διάχυσης και αν γίνει δεκτή η ισχύς του νόµου των 4/3 να υπολογιστεί η παράµετρος k Η µέθοδος που ακολουθείται για τον υπολογισµό του συντελεστή διάχυσης κατά Richardson οδηγεί σε εφαρµογή της σχέσης Dh = ((220-100)2+(150-260)2+(180-320)2)/(3 ∗3600) = 4.27 m2/sec = 42700 cm2/sec Για τον υπολογισµό του k η χωρική κλίµακα του φαινοµένου εκτιµάται από τον ΜΟ των αποστάσεων ΜΟ= ( 220+260+320+100+150+180)/6 = 205 m= 20500 cm Ο νόµος των 4/3 επιτάσσει Dh =k r4/3. Με εφαρµογή των αριθµητικών δεδοµένων βρίσκεται 42700 = k ∗20500 4/3 ⇒ k = 0.07 Κατά συνέπεια ο µεταβαλλόµενος συντελεστής διάχυσης στην περιοχή περιγράφεται από τη σχέση Dh = 0.07 r 4/3 (cm2/sec) ΑΣΚΗΣΗ 2 Από υποβρύχιο αγωγό µε διαχυτήρα 3 οπών διαµέτρου 20cm σε ίσες αποστάσεις διατίθενται λύµατα µε µικροβιακό φορτίο 108 Εcoli/100ml . Η παροχή είναι 0.5 m3/sec και το βάθος διάθεσης 20m. Το ρεύµα που επικρατεί στην περιοχή έχει ένταση 0.5 m/sec. Ο χρόνος Τ90 της βιοαποικοδόµησης των µικροβίων είναι 2hrs. Να υπολογιστεί η µικροβιακή συγκέντρωση σε απόσταση 5 km κατάντη του αγωγού. Η ισαπόσταση των οπών επιλέγεται > d/3. Επιλέγεται τιµή 6.5m. Υποτίθεται ότι εξασφαλίζεται ισοκατανοµή της παροχής στους αγωγούς του διαχυτήρα. Q=0.5/3 = 0.166 m3/sec = 166 lit/sec. Η ταχύτητα εξόδου είναι V = 0.166/(3.14∗ 0.2 2/4) = 5.3 m/sec Ο πυκνοµετρικός αριθµός Froude στην έξοδο του διαχυτήρα είναι Fr = 5.3/ √(9.81∗ 0.02∗ 0.2) = 26.7 Από το διάγραµµα Abraham για Fr =26.7 και d/D = 100 βρίσκεται µε παρεµβολή S0 =65 . H τιµή αυτή είναι η διάλυση στον άξονα του ανωστικού πλουµίου από κάθε οπή.

Στην επιφάνεια δηµιουργείται µια «κηλίδα» πλάτους 6.5Χ3 = 20 m µε µέση διάλυση S1= 65 ∗2 =130 της αρχικής συγκέντρωσης των µικροβίων. Από τη θέση αυτή γίνεται µία οριζόντια µεταφορά και διάχυση κατά την εγκάρσια προς την κατεύθυνση µεταφοράς διάχυση. Η κατακόρυφη διάχυση εφ ΄ όσον δεν επιδρά η στρωµάτωση ολοκληρώνεται σε χρόνο tz = d2/2/Dv όπου Dv ο συντελεστής κατακόρυφης διάχυσης (Ο(Dv) = 0.01∗ V ∗d = 0.1 m2/sec). Βρίσκεται tz = 202/2/Dv = 2000 sec. Η οριζόντια απόσταση είναι 0.5 ∗2000 =1000 m. Στην απόσταση αυτή που έχει ολοκληρωθεί η κατακόρυφη ανάµιξη η επί πλέον διάλυση είναι S2 = 10 ( ίση προς το λόγο του αρχικού πάχους του πλουµίου προς το βάθος). Η διάλυση από την οριζόντια µεταφορά µε το ρεύµα των 0.5 m/sec και την εγκάρσια διάχυση µε συντελεστή διάχυσης εξελισσόµενο µε τον νόµο των 4/3 βρίσκεται είτε από την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης ή από το σχετικό νοµογράφηµα για αρχικό πλάτος w=20m, και χρόνο µεταφοράς t = 5000/0.5 =10000 sec = 2.8 hrs Βρίσκεται για τα στοιχεία αυτά µε παρεµβολή S3 =13 Τέλος η επίδραση της βιοαποικοδόµησης εκτιµάται µε τον υπολογισµό του συντελεστή λ = -ln(0.1)/T90 = 3.2 10 -4 sec-1. Η διάλυση S4 =c/co = 1/exp(-λt) = 1/exp(-10000 ∗.00032) =24.5 είναι η οφειλόµενη στην βιοαποικοδόµηση. Η συνολική διάλυση είναι Soλ = 130 ∗10 ∗13 ∗24.5 =414050. H αντίστοιχη τιµή της συγκέντρωσης είναι 108/414050 = 241 Εcoli/100 ml. ΑΣΚΗΣΗ 3 Σε θαλάσσια περιοχή βάθους d =15 m εµφανίζεται ρεύµα έντασης U =0.35 m/sec που βάζει το υλικό του πυθµένα (λεπτή άµµο µε D=0.1 mm) σε αιώρηση. Η συγκέντρωση αιωρούµενων υλικών πυθµένα που µετριέται µετά την αποκατάσταση της ισορροπίας είναι ca =0.01 (όγκος φερτών / όγκο αιωρήµατος). Ποια είναι η απόσταση αποκατάστασης ισορροπίας και ποια είναι η συγκέντρωση στην επιφάνεια. Η τιµή του κατακόρυφου συντελεστή διάχυσης είναι Dv =0.01 ∗0.35 ∗15 = 0.05 m2/sec. Η τιµή της ταχύτητας καθίζησης βρίσκεται από το σχετικό διάγραµµα wf = 0.009 m/sec. Η απόσταση ισορροπίας είναι la = U d/ wf = 0.35 ∗15 /0.09 = 58 m . Η παράµετρος Ζ = wf d/Dv έχει τιµή Ζ = 2.7 Στην κατάσταση ισορροπίας η καθίζηση ισούται µε την αιώρηση και κατά συνέπεια για σταθερή τιµή του Dv η κτανοµή της συγκέντρωσης στο βάθος είναι c =ca exp(-Zz/d) . Για z/d =1, βρίσκεται c = .01 exp(-2.7) = 0.00067 (6.7% της τιµής κοντά στον πυθµένα) . ΑΣΚΗΣΗ 4 Σε µικρή παράκτια λεκάνη (λιµενολεκάνη, όρµος) όγκου Ω= 100000 m3, όπου η παραδοχή της πλήρους ανάµιξης και της επίτευξης οµοιόµορφης συγκέντρωσης σε όλη της έκτασή της είναι ρεαλιστική ο µέσος χρόνος ανανέωσης των νερών της είναι Τα = 18 hrs. Στην λεκάνη διοχετεύεται ρυπαντικό φορτίο µε παροχή q=0.1m3/sec και συγκέντρωσης ρύπων Co= 10-3. Ο ρυθµός αποικοδόµησης των ρύπων περιγράφεται από τον συντελεστή λ=10-5 sec-1. Να υπολογιστεί η µέση συγκέντρωση ρύπων στην έκταση της λεκάνης σε κατάσταση ισορροπίας (ανεξάρτητα του χρόνου).

Από την αρχή διατήρησης της µάζας εφαρµοζόµενης στον χώρο της λεκάνης καταστρώνεται η διαφορική εξίσωση που δίνει σαν λύση την συγκέντρωση C(t) στην λεκάνη. Σε διάρκεια χρόνου δt η µεταβολή της συγκέντρωσης στην λεκάνη δC ισούται µε το αλγεβρικό άθροισµα των εισερχόµενων και εξερχόµενων µαζών ( ή όγκων) ρύπου από την πηγή ρύπου, την είσοδο της λεκάνης και την διαδικασία της αποικοδόµησης. Η εξίσωση που έχει αρχικά την µορφή Ω δC = δt (q Co - (q+Q) C - λ Ω C ) µε την λήψη ορίων παίρνει την µορφή dC/dt = qCo/Ω -C(q+Q)/Ω -λ C Η εξίσωση αυτή για κατάσταση ισορροπίας (d/dt =0) έχει λύση C =q Co/(q+Q +λΩ) Από τον χρόνο ανανέωσης η παροχή ανανέωσης Q υπολογίζεται Q = 100000/(18 ∗3600) = 1.54 m3/sec Η ασυµπτωτική συγκέντρωση ρύπων στην λεκάνη είναι C = 0.1∗ 0.001 /( 0.1 +1.54 +0.00001 ∗100000) = 0.1 ∗0.001 / 2.64 = 3.78 10 -5

Υ∆ΡΟ∆ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΦΟΡΤΙΣΕΙΣ ΠΑΡΑΚΤΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να συγκριθούν τα συρτικά και αδρανειακά φορτία σε κατακόρυφο πάσσαλο διαµέτρου D =1 m που είναι εµπηγµένος σε περιοχή βάθους d=6 m, όπου επικρατεί κυµατισµός µε στοιχεία Η=2 m, T 10 sec. Υπολογίζεται αρχικά το µήκος κύµατος σε αυτό το βάθος Lo =9.81 ∗100 /6.2832 = 156 m , d/Lo = 0.038. Πρόκειται για βαθιά νερά και οι υπολογισµοί των υδραυλικών στοιχείων µπορούν να απλοποιηθούν. Το µήκος κύµατος βρίσκεται από τη σχέση L = √(g ∗d)∗ T = 76.7 m. Το οριακό ύψος κύµατος στο βάθος αυτό, λόγω της θραύσης, βρίσκεται από τη σχέση Ηmax =0.78 ∗d = 4.68 m. Οι µέγιστες τιµές της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στην επιφάνεια και στον πυθµένα είναι u = H/2 √(g/d) = 1.28 m/sec , ∂u/∂t = 2π ∗u/T =0.81 m/sec2 Λόγω της σταθερότητας των τιµών αυτών σε όλο το βάθος η εφαρµογή του τύπου του Morisson είναι απλή. Η τιµή του συντελεστή Reynolds είναι Re= uD/ν = 1.28 ∗1/0.000001 = 1280000 και οι τιµές των συντελεστών CD, CM είναι αντίστοιχα 0.7 και 1.5. Η συνολική δύναµη πάνω στον πάσσαλο είναι F= CD/2 ρ D u2 d + CM π D2/4 ρ∂u/∂t d = 0.7∗ 0.5 ∗1000 ∗1 ∗1.282 ∗6 + 1.5 ∗3.14 ∗12/4 ∗1000 ∗0.81∗ 6 = 3440 + 5722 = 9162 N . Ο υπολογισµός µπορεί να γίνει και µε την χρήση των σχέσεων Fi = CM ρ g π D2/4 H Ki FD = CD/2 ρ g D H2 KD όπου οι συντελεστές Ki, KD υπολογίζονται από τα σχετικά διαγράµµατα για τις τιµές d/gT2 = 6/(9.81 ∗100) = 0.0061 και λόγο Η/Ηb = 2/4.68 = 0.42 (=0.5). Από τις σχετικές καµπύλες βρίσκονται KD = 0.47, Ki = 0.34 Η αριθµητική αντικατάσταση δίνει Fi = 1.5 ∗10000 ∗3.14 ∗12/4 ∗2∗ 0.34 = 4003Ν FD = 0.7/2 ∗10000 ∗1 ∗22 ∗0.47 = 6598Ν Το άθροισµα των δύο τιµών είναι F = 10600 N Oι δύο τιµές είναι παραπλήσιες αλλά εκτιµάται ότι η µεγαλύτερη τιµή που βρίσκεται µε τον 2ο τρόπο οφείλεται στο γεγονός ότι οι υπολογισµοί παίρνουν υπ’ όψη τους το πεπερασµένο του ύψους κύµατος . ΑΣΚΗΣΗ 2

Σε παράκτια περιοχή µε βάθος d =12 m οι τιµές των υδροδυναµικών στοιχείων σχεδιασµού ενός υποβρύχιου αγωγού είναι , µέγιστη τιµή ταχύτητας ρεύµατος κοντά στον πυθµένα ,umax = 0.7 m/sec και µέγιστη τιµή ύψους κύµατος Η =2.5 m και περίοδος Τ =7 sec. Ο αγωγός έχει βάρος 2000 Ν/m και διάµετρο D =1.2 m. Όταν είναι πλήρης λυµάτων (ε.β.=1) υπάρχει πιθανότητα εµφάνισης αερίων σε ποσοστό 20% της διατοµής. Να υπολογιστεί η απαραίτητη ερµάτιση του αγωγού µε τη µορφή σαγµάτων από σκυρόδεµα κάθε 3 m ώστε να είναι ευσταθής ο αγωγός πάνω στον πυθµένα. Ο συντελεστής τριβής µε το σκυρόδεµα είναι µ =0.5. Τα στοιχεία του κυµατισµού είναι Lo = gT2/2π = 76.5 m.Από τον λόγο d/Lo = 0.16 βρίσκεται από το σχετικό νοµογράφηµα d/L = 0.19 ⇒ L = 63 m. Η τιµή καθορίζεται τελικά από την σχέση L = 76.5 tanh ( 6.2832 ∗12/63 ) = 63.7 m. Ο αριθµός κύµατος είναι k= 2π/L = 0.1 Bρίσκονται οι τιµές της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στο βάθος των 11.4m από την δράση του κυµατισµού σχεδιασµού u= π H/T cosh(k(d+z))/sinh(kd) = 3.14∗ 2.5 / 7∗ cosh (0.1∗ 0.6)/sinh(0.1 ∗12) = 0.74 m/sec ∂u/∂t = u ∗2π/Τ = 0.74 ∗6.2832 /7 = 0.66 m/sec2 Για τις συντηρητικές τιµές των CM, CD 2.5 και 2 αντίστοιχα και εφαρµογή του τύπου του Morisson βρίσκεται για µοναδιαίο µήκος του αγωγού F = 2/2 ∗1000 ∗1.2 ∗1.44 2 + 2.5∗ 3.14 /4 ∗1.2 2 ∗1000 ∗0.66 = 4353 N/m H υδροδυναµική άνωση είναι FL = CL/2 ρ D u2 = 3/2 ∗1000 ∗1.2 ∗1.44 2= 3732 N/m. Το βυθισµένο βάρος του αγωγού (βάρος µείον υδροστατική άνωση) είναι W’ = 2000 +0.8∗ 3.14 ∗1.22/4 ∗1000 - 3.14 ∗1.22/4 ∗1010 = 2904 - 1141 = 1763 N/m Για την επίτευξη ευστάθειας θα πρέπει η πίεση στον πυθµένα να είναι Ν = 4353 ∗0.5 = 2176 Ν/m Για την επίτευξη τέτοιας πίεσης θα πρέπει η ανά µέτρο ερµάτιση να είναι 2176 +3732 -1763 = 4145 Ν/m. Aν η ερµάτιση γίνει κάθε 3 m και µε έρµατα σκυροδέµατος τότε το βάρος των ερµάτων (στον αέρα) πρέπει να είναι 3 ∗4145 ∗2.4/1.4 =21317 Ν ΑΣΚΗΣΗ 3 Να εκτιµηθεί η ασφάλεια σε ανατροπή , ολίσθηση και τάση έδρασης, ενός κυµατοθραύστη από ογκολίθους αόπλου σκυροδέµατος µε διατάσεις πλάτους 6m, ύψους 14m , σε νερό βάθους d=10 m , εδραζόµενου σε λιθορριπή. Το έργο είναι κάτω από τη δράση κυµατισµού µε Η=3.5 m , Τ= 8 sec. Οι επιθυµητοί συντελεστές ασφαλείας σε ανατροπή είναι 1.5, και σε ολίσθηση 0.5 και η επιτρεπόµενη τάση έδρασης στη λιθορριπή είναι 700000 Ν/m2 To µήκος κύµατος βρίσκεται από τη γνωστή διαδικασία. Lo =9.81 64/ 6.2832 = 100 m , d/Lo = 10./100 =0.1 ⇒ d/L = 0.14 ⇒ L= 71 m. Επιλέγεται τελική τιµή L= 100 tanh (6.2832 ∗10/71) = 70.9 m =71 m.

O αριθµός κύµατος είναι k = 0.089. Ο έλεγχος της θραύσης του κύµατος µπροστά στο µέτωπο του έργου δίνει d/H =10/3.5 =2.86 > 1.5 άρα δεν γίνεται θραύση και προκαλείται πλήρης ανάκλαση και παφλασµός µε διπλασιασµό του ύψους του κύµατος . Η υπερύψωση της µέσης στάθµης θάλασσας στην περιοχή του έργου είναι ho =πH2/L coth(kd) = 3.14 ∗3.5 2/71∗ coth(0.089 ∗10) =038 m. Η υδροδυναµική πίεση στην µέση στάθµη κυµατισµού (0.38m πάνω από τη στάθµη ηρεµίας) είναι Ps= 10000 ∗3.5 = 35000 N/m2 Η υδροδυναµική πίεση στην στάθµη του πυθµένα είναι Pb= 10000 3.5/cosh(0.089 ∗10) = 24600 N/m2. Με την αλληλο-αναίρεση των υδροστατικών πιέσεων στις 2 πλευρές του κυµατοθραύστη η τελική φόρτιση του µε τις κατανεµηµένες δυνάµεις των υδροδυναµικών πιέσεων-υποπιέσεων περιγράφεται στο Σχ.1.

Σχ.1. Φορτίσεις της διατοµής του κυµατοθραύστου Οι συνισταµένες δυνάµεις στις πλευρές του έργου και οι αποστάσεις τους από το πιθανό σηµείο περιστροφής στη βάση του είναι. Πυθµένας (υποπίεση) Fu = ½ 24600 ∗6 = 73800 N/m, lu = 2/3 ∗6 =4 m. Πλευρά πελάγους Fs1 = ½ 3.5 ∗35000 = 61250 N/m και Fs2 =(35000 + 24600)/2∗ 10.38 = 309324 µε ls1 = 10.38 + 3.5/3 = 11.55 m ,ls2 = 5.5m Βυθισµένο βάρος W = 6 ∗10 ∗14000+6 ∗4 ∗24000 = 1416000 N/m , lw =3.0m Ο υπολογισµός των ροπών ευσταθείας και ανατροπής δίνει Μ ευστ = 1416000 ∗3 = 4248000 Νm/m Μ ανατρ = 73800 ∗4 + 61250 ∗11.55 + 309324 ∗ 5.5 =2703919 Νm/m. Ο λόγος των 2 ροπών είναι Μευστ/Μανατρ = 1.57>1.5 Η µετατόπιση της δύναµης του βάρους (από το κέντρο της διατοµής στήριξης) και η εκκεντρότητα που συνεπάγεται η ροπή ανατροπής είναι ε= 2703919/1416000 = 1.9 m. Η δύναµη είναι έξω από τον πυρήνα της διατοµής και κατά συνέπεια η µέση τάση έδρασης είναι 141600/(2(3-1.9)) = 643636 Ν/m2. H τάση αυτή είναι µικρότερη της επιτρεπόµενης. Ο έλεγχος ολίσθησης γίνεται µε το λόγο οριζοντίων προς κατακόρυφες δυνάµεις ∑Η = 61250 + 309324 = 370574N/m ∑V = 1416000 - 73800 = 1342200 N/m Ο λόγος των οριζοντίων προς τις κατακόρυφες δυνάµεις είναι 370574 /1342200 = 0.28<0.5 άρα δεν υπάρχει κίνδυνος ολίσθησης.

ΑΣΚΗΣΗ 4 Κυµατοθραύστης από λιθορριπές και θωράκιση του πρανούς του µε φυσικούς ογκολίθους ε.β. = 2.6, κατασκευάζεται σε βάθος d=5.5m. Το προς το πέλαγος πρανές του έχει κλίση 2/1. Ο κυµατισµός σχεδιασµού έχει στοιχεία Ηs = 2.5m, T=6.5sec. Να υπολογιστεί η αναγκαία θωράκιση του πρανούς του, και το ύψος της στέψης του ώστε να υπερπηδάται από το 1% των κυµάτων. Το µήκος κύµατος βρίσκεται από την τιµή Lo=9.81 ∗6.52/6.2832 = 66m ,d/Lo=5.5/66 =0.083 ⇒d/L=0.13 , L= 5.5/0.13 = 42.5m και τελικό L=66 tanh(6.2832∗ 5.5/42.5) =44.5m. Επιλέγεται L=43.5m, k=6.2832/43.5=0.144 To ύψος κύµατος σχεδιασµού της θωράκισης του πρανούς είναι Η10 =1.28Ηs = 3.2m. Ο λόγος 5.5/3.2 =1.7 δείχνει ότι δεν πρόκειται για θραυόµενο κυµατισµό. Για την πλήρη εξασφάλιση της ευστάθειας του πρανούς από φυσικούς ογκολίθους βρίσκεται kD = 4. Με εφαρµογή του τύπου του Hudson βρίσκεται το απαραίτητο βάρος των ογκολίθων θωράκισης W= γs H3/(kD (γs/γw-1)3 cotθ) = 26000 ∗3.23/(4 ∗1.63 ∗2) = 26000 Ν Οι ογκόλιθοι αυτοί έχουν γραµµική διάσταση D=1.05(26000/26000)0.33 = 1.05 m . Αν τοποθετηθούν σε δύο επάλληλες στρώσεις το πάχος της ζώνης θωράκισης που θα διαµορφωθεί είναι 2.1m. Κάτω από την στρώση αυτή για την εξασφάλισή της χρειάζεται βάρος λίθων W/(10÷15) =1750÷2600 N Για τη στάθµη της στέψης εφαρµόζεται η κατανοµή Rayleigh που οδηγεί για Hrms =2.5/1.414 =1.77m και P=0.01 στην εξίσωση 0.01= exp(-(H/1.77)2) . Η λύση της δίνει Η 1%= 3.8m. To κύµα αυτό σε βάθος 5.5m δίνει λόγο 3.8/5.5 =0.69< 0.78 άρα µπορεί να εµφανιστεί εκεί χωρίς θραύση. Για τον υπολογισµό της αναρρίχησής του στο πρανές υπολογίζεται ο λόγος Η/L= 3.8/66= 0.057 και η παράµετρος ξ =εφ(α)/√(Η/L) =0.5/√0.057= 2.1 Αν για την τιµή αυτή γίνει χρήση του διαγράµµατος αναρρίχησης σε λιθορριπές βρίσκεται λόγος R/H= 1.1 και R=1.1∗ 3.8=4.2m που οδηγεί σε ύψος στέψης πάνω από την ΜΣΗ τουλάχιστον 4.2m.

ΠΑΡΑΚΤΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΑΦΟΡΑ ΚΑΙ ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΑΚΤΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να υπολογιστεί αν ο πυθµένας είναι σταθερός κάτω από τη δράση κυµατισµού µε Η=1.2m, T=4.5sec και ρεύµατος µε U=0.35 m/sec. Το βάθος του νερού είναι d=3.5m και η µέση διάµετρος της άµµου D50 =200µ. και το ύψος των αµµοκυµατίων 1cm Το µήκος του κύµατος στο βάθος αυτό είναι (Lo=31.6m, d/Lo=0.11 d/L =0.15 L=24m και τελικά L=31.6 tanh(6.2832 ∗3.5/24) =23m) L=23.5m . O συντελεστής τραχύτητας κατά Chezy λόγω του ρεύµατος είναι Cc= 18 log(12d/ks) =18 log(12 ∗3.5/0.0002) = 95 m½/sec . H ταχύτητα κοντά στον πυθµένα λόγω του κυµατισµού είναι Uo=πΗ/Τ 1/sinh(kd) = 3.14 ∗1.2/4.5 ∗1/sinh(6.2832 ∗3.5/23.5) =0.78 m/sec. Το πλάτος ταλάντωσης των µορίων κοντά στο βυθό είναι Ξ=UoT/2π = 0.56m. Ο συντελεστής τραχύτητας λόγω του κυµατισµού είναι fw=exp(5.2(Ξ/ksw)-0.914 -6)= exp(5.2(0.56/0.01)-0.914 -6) =0.0028 Ο συντελεστής τραχύτητας από τη δράση κύµατος και ρεύµατος είναι kscw =ksc exp(γUo/U) = 0.0002 exp(0.9 ∗0.78/0.35) = 0.0015m Ο αντίστοιχος συντελεστής Chezy Ccw είναι 18 log(12d/kswc) = 80 m½/sec. H συνισταµένη ταχύτητα τριβής είναι u*wc = (U2g/C2

wc +fw/4 Uo2) = 0.0248 m/sec.

Ο αριθµός Reynolds είναι R=u*wc D50/ν = 0.0248∗ 0.0002 /0.000001 =5 Η αδιάστατη διατµητική τάση πυθµένα είναι u*wc

2/(∆ρ/ρ gD50) = 0.209 Από το διάγραµµα του Shields για τετµηµένη 5 και τεταγµένη 0.209 τεκµηριώνεται ότι ο πυθµένας είναι ασταθής, το κατώφλι κίνησης έχει ξεπεραστεί και ότι ο πυθµένας µετακινείται. ΑΣΚΗΣΗ 2 Για τις φυσικές συνθήκες της προηγούµενης άσκησης να υπολογιστούν οι συνιστώσες και η συνισταµένη της προκαλούµενης στερεοµεταφοράς. Με την ανάλυση κατά Kalinske-Frilink υπολογίζεται αρχικά το φορτίο πυθµένα qbwc = 5D50 U √g/ Cwc exp( -0.27 ∆ρ/ρ g D50/(µc u*wc

2)) . Για τον υπολογισµό της παραµέτρου µc υπλογίζονται οι τιµές fc fw fc=0.24/log2(12d/ksc) =0.0085 (ksc=0.0002) fw =0.24/log2(12d/ksw)=0.018 (ks=0.01) µc= 0.0085/0.018 = 0.472 Κατά συνέπεια qbwc = 5∗ 0.0002 ∗0.35 √9.81/ 80 exp(-0.27 ∗1.5 ∗9.81 ∗0.0002/(0.47∗ 0.0248

2) = 8.9 ∗10-7 m3/m/sec Για τον υπολογισµό του φορτίου σε αιώρηση υπολογίζεται η ισοδύναµη συγκέντρωση πυθµένα

ca = qb/(6.34 √τcw/ρ kscw) = 8.9 ∗10-7/(6.34∗ 0.0248 ∗0.0002) =0.028 Από την τιµή αυτή βρίσκεται και το ύψος της παραπυθµένιας ζώνης όπου γίνεται η µεταφορά φορτίου πυθµένα za= 0.015∗ D50 T1.5/(ca D*

0.3) Η παράµετρος D*=(∆ρ/ρg/ν2)1/3 D50 = (1.5 ∗9.81/.0000012)1/3 ∗.0002 = 4.4 Βρίσκεται za= 0.015 ∗0.0002∗ 4.51.5/(0.028 ∗4.4 0.3) = 0.0007 m (πιο αδρά µπορεί να θεωρηθεί ότι είναι το 5 πλάσιο του D50 , δηλαδή 1mm ) Η παράµετρος Z=wf/(κu*) βρίσκεται για wf = 0.015 m/sec Z=0.015/(0.4∗ 0.0248) =1.5 Η τιµή αυτή είναι µεγάλη και κατά συνέπεια η στερεοπαροχή σε αιώρηση είναι µικρό πολλαπλάσιο της στεροπαροχής πυθµένα Από το διάγραµµα του Einstein βρίσκεται qs/qb = 5. Κατά συνέπεια το ολικό φορτίο είναι qt = 8.9 ∗10-7∗ 6 = 5.3 ∗10-6 m3/m/sec Εναλλακτικά το συνολικό φορτίο µπορεί να υπολογιστεί µε την σχέση των Engelund-Hansen qt = 0.05 ∗U ∗Cwc u*wc

4/(g5/2 (∆ρ/ρ)2 D50) = 0.05 ∗0.35 ∗80∗ 0.0248 4/(9.815/2 ∗1.52 ∗.0002) =3.9 ∗10-6 .m3/m/sec Η διαφορά ανάµεσα στα δύο αποτελέσµατα είναι αναµενόµενη. ΑΣΚΗΣΗ 3 Ακτή κλίσης πυθµένα 2% που αποτελείται από άµµο µε D50=0.3mm πλήττεται συστηµατικά από κυµατισµό µε Ho=2.3 m, T=6.5 sec. Να τεκµηριωθεί η διαβρωτική δράση του κυµατισµού. Να υπολογιστεί το βάθος στο οποίο επιδρά ο κυµατισµός στο υλικό του πυθµένα. Πριν από τη γραµµή θραύσης του κυµατισµού κατασκευάζεται για αντιδιαβρωτική προστασία διαφραγµατικός κυµατοθραύστης. Να υπολογιστεί το απαραίτητο βύθισµα του κυµατοθραύστη, ώστε ο κυµατισµός να µην προκαλεί διάβρωση. Για την εκτίµηση του βάθους επίδρασης του κυµατισµού γίνεται χρήση του τύπου Uocr = πH/(T sinh(kd)) = (8∆ρ/ρ g D50)0.5 = (8 ∗1.5 ∗9.81∗ 0.003) 0.5 = 0.188 Η εξίσωση λύνεται ως προς το kd µε την παραδοχή σταθερού Η=Ηο. Βρίσκεται kd= sinh-1(3.14 ∗2.3/(6.5∗ 0.188))⇒ kd= 2.47. Σε πρώτη προσέγγιση χρησιµοποιείται για το L η τιµή Lo=9.81 ∗6.52/6.2832 = 66m. Βρίσκεται d= 2.47∗ 66/6.2832 = 26 m. Ελέγχεται αν χρειάζεται διόρθωση λόγω άλλου µήκους κύµατος. Στο βάθος των 26m d/Lo =26/66=0.4 που δίνει την ίδια τιµή για το d/L .Αρα η τιµή αυτή του βάθους µπορεί να θεωρηθεί τελική. Ο έλεγχος της διαβρωτικότητας του κυµατισµού γίνεται µε εφαρµογή του κριτηρίου του Dean ή των Sunamura-Horikawa. Η ταχύτητα καθίζησης του υλικού του πυθµένα είναι wf= 0.04 m/sec . Ο λόγος Ηο/wfT έχει τιµή 2.3/(0.04 ∗6.5) =8.8 πράγµα που τεκµηριώνει την διαβρωτικότητα των κυµατισµών. Αντίστοιχα η παράµετρος Go έχει τιµή 2.3/66∗ 0.02 0.27 (.0003/66)-0.67 = 46>18. Για την αποφυγή της διάβρωσης πρέπει να επιτευχθεί µείωση του ύψους του κύµατος σε τιµή Η=10 ∗66 /0.02 0.27/(0.0003/66)-0.67 = 0.5 m. Η θραύση του κυµατισµού υπολογίζεται µε βάση τα σχετικά διαγράµµατα. Από το λόγο Ho/gT2 = 0.0055 και κλίση πυθµένα 0.02 βρίσκεται Hb/Ho = 1.15 και Hb=2.65m.

Από το λόγο Hb/gT2 = 0.0064 βρίσκεται db/Hb = 1.2 και db=3.2m. Ο κυµατοθραύστης κατασκευάζεται σε βάθος d=4m. Mε εφαρµογή της σχέσης για τους διαφραγµατικούς κυµατοθραύστες HT/Hi = (sinh(4π(d-D)/L)/sinh(4πd/L))0.5 για HT =0.5, Hi=2.3, L=66, d=4, η εξίσωση λύνεται ως προς D. Bρίσκεται D = 4 - 0.2 = 3.8 m . ΑΣΚΗΣΗ 4 Σε αµµώδη ακτή κλίσεως πυθµένα 3%, θραύονται συστηµατικά κυµατισµοί µε στοιχεία Hb=1.8m, ab=10o, db =2.3m. Η ετήσια συχνότητα δράσης των κυµατισµών είναι f=1.5%. Να υπολογιστεί η ετήσια παράκτια στερεοµεταφορά κατά µήκος της ακτής. Αν κατασκευαστεί στην ακτή κάθετος βραχίονας που παγιδεύει όλη τη στερεοµεταφορά να υπολογιστεί η προσάµµωση ανάντη του βραχίονα και το µήκος της επίδρασης του βραχίονα κατά µήκος της ακτής µετά 5 έτη. Το πλάτος της ζώνης θραύσης είναι 2.3/0.03 =77m. H ετήσια παράκτια στερεοπαροχή βρίσκεται από τη σχέση Q=1290 ρg/16 Hb

2cgb sin2ab f Για cgb = (9.81∗ 2.3)0.5 =4.75 m/sec , Hb=1.8 ab=10o f=0.015 βρίσκεται Q = 63000 m3/year Για την εκτίµηση της επίδρασης του βραχίονα µήκους τουλάχιστον 80m εφαρµόζεται η θεωρία Pelnard Considere που έχει αναλυτική λύση. Με βάθος επίδρασης του κύµατος στην περιοχή της παράκτιας στερεοµεταφοράς h=2.5db = 5.8m , t= 5 years, ab =0.17 rad, βρίσκεται Η προσάµµωση κάθετα στην ακτή ανάντη του βραχίονα είναι y= 2(Q∗ t ∗ab/(πh))0.5 = 2(63000 ∗5 ∗ 0.17/(3.14∗ 5.8))0.5 = 108 m. Η επίδραση εκτείνεται σε µήκος της ακτής ανάντη του βραχίονα X = 3/ab y = 3/0.17 ∗108 = 1900 m.