Cơ lưu chất 06 theluu

12
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay THE LUU 1 CHÖÔNG Doøng chaûy coù theá ⇔∃ϕ/thoaû ñ.k. (1) 0 x y y x = ϕ ϕ 0 y u x u x y = rot(u)=0 doøng chaûy phaúng, löu chaát lyù töôûng khoâng neùn ñöôïc chuyeån ñoäng oån ñònh Giôùi haïn: I. CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN 1. Haøm theá vaän toác: Ta ñònh nghóa haøm ϕ sao cho: θ ϕ = ϕ = ϕ = ϕ = θ r 1 u ; r u hay y u ; x u r y x Tröôøng veùctô u laø tröôøng coù theá khi: B A ds u chæ phuï thuoäc vaøo hai vò trí A vaø B. Ta coù: B A B A B A B A ) 1 ( thoaû toàntaïi y B A x B A d ) dy y dx x ( ds u ) dy u dx u ( ds u ϕ ϕ = ϕ = ϕ + ϕ = + = ϕ chæ phuï thuoäc vaøo giaù trò haøm theá taïi A vaø B. Roõ raøng töø chöùng minh treân, B A ds u Vaäy: (1) A B n u u n u s 0 dy u dx u 0 d y x = + = ϕ 2. Phöông trình ñöôøng ñaúng theá: 3. YÙ nghóa haøm theá vaän toác: A B AB ϕ ϕ = Γ = Γ B A s AB ds u laø löu soá vaän toác 4. Tính chaát haøm theá: Töø ptr lieân tuïc, ta coù: 0 y x 0 y y x x 0 y u x u 2 2 2 2 y x = ϕ + ϕ = ϕ + ϕ = + Haøm theá thoaû phöông trình Laplace

Transcript of Cơ lưu chất 06 theluu

Page 1: Cơ lưu chất 06 theluu

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

THE LUU 1

CHÖÔNG

Doøng chaûy coù theá ⇔∃ϕ/thoaû ñ.k. (1) ⇔ 0xyyx

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ϕ∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ϕ∂

∂∂ ⇔ 0

yu

xu xy =

∂∂

−∂

∂⇔ rot(u)=0

doøng chaûy phaúng, löu chaát lyù töôûng khoâng neùn ñöôïc chuyeån ñoäng oån ñònhGiôùi haïn:

I. CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN1. Haøm theá vaän toác:Ta ñònh nghóa haøm ϕ sao cho:

θ∂ϕ∂

=∂ϕ∂

=∂ϕ∂

=∂ϕ∂

= θ r1u;

ruhay

yu;

xu ryx

Tröôøng veùctô u laø tröôøng coù theá khi: ∫B

A

dsu chæ phuï thuoäc vaøo hai vò trí A vaø B. Ta coù:

BA

B

A

B

A

B

A

)1(thoaûtoàntaïi

y

B

Ax

B

A

d

)dyy

dxx

(dsu)dyudxu(dsu

ϕ−ϕ=ϕ=

∂ϕ∂

+∂ϕ∂

=+=

∫∫⇒∫∫ϕ

chæ phuï thuoäc vaøo giaù trò haøm theá taïi A vaø B.Roõ raøng töø chöùng minh treân, ∫B

A

dsuVaäy:

(1)

A

B

n

u

un

us

0dyudxu0d yx =+⇔=ϕ2. Phöông trình ñöôøng ñaúng theá:3. YÙ nghóa haøm theá vaän toác: ABAB ϕ−ϕ=Γ ∫=Γ

B

AsAB dsu laø löu soá vaän toác

4. Tính chaát haøm theá:Töø ptr lieân tuïc, ta coù:

0yx

0yyxx

0y

ux

u2

2

2

2yx =

∂ϕ∂

+∂

ϕ∂⇔=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ϕ∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ϕ∂

∂∂

⇔=∂

∂+

∂∂

⇔ Haøm theá thoaû phöông trình Laplace

Page 2: Cơ lưu chất 06 theluu

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

THE LUU 2

5. Haøm doøng:Khi doøng chaûy löu chaát khoâng neùn ñöôïc toàn taïi, thì caùc thaønh phaàn vaän toác cuûa noùthoaû ptr lieân tuïc :

ru;

r1uhay

xu;

yu/0

yu

xu

ryxyx

∂ψ∂

−=θ∂ψ∂

=∂ψ∂

−=∂ψ∂

=ψ∃⇔=∂

∂+

∂∂

θ

ψ goïi laø haøm doøng. Nhö vaäy ψ toàn taïi trong moïi doøng chaûy,coøn ϕ chæ toàn taïi trong doøng chaûy theá.

6. Haøm doøng trong theá phaúng:

Vì laø doøng chaûy theá neân: 0yx

0yyxx

0y

ux

u2

2

2

2xy =

∂ψ∂

+∂

ψ∂⇔=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ψ∂

∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ψ∂

∂∂

−⇔=∂∂

−∂

Vaäy trong doøng theá thì haøm ψ thoaû ptr Laplace.7. Ñöôøng doøng vaø ptr:

Töø ptr ñöôøng doøng: 0d0dxx

dyy

0dxudyu yx =ψ⇔=∂ψ∂

+∂ψ∂

⇔=−

x

y

O

n

nx

ny

dxdy

ds

α

(-dx=ds.sinα)

Nhö vaäy treân cuøng moät ñöôøng doøng thì giaù trò ψ laø haèng soá.

8. YÙ nghóa haøm doøng:

Ta coù:

∫∫∫

∫∫∫ ∫

ψ−ψ=ψ=∂ψ∂

−∂ψ∂

=−=

α+α=+===

B

AAB

B

A

B

Ayx

B

Ayx

B

Ayyxx

B

A

B

AnAB

ddxx

dyy

dxudyu

dssinudscosudsnudsnudsnudsuq

Vaäy: ABABq ψ−ψ=

9. Söï tröïc giao giöõa hoï caùc ñöôøng doøng vaø ñöôøng ñaúng theá:

0)u(u)u(uyyxx xyyx =+−=

∂ψ∂

∂ϕ∂

+∂ψ∂

∂ϕ∂

Suy ra hoï caùc ñöôøng doøng vaø caùc ñöôøng ñaúng theá tröïc giao vôùi nhau.

10. Coäng theá löu:

......

21

21

+ψ+ψ=ψ+ϕ+ϕ=ϕ

11. Bieãu dieãn doøng theá:

vôùi z = x+iy = eiα . Theá phöùc f(z): ψ+ϕ= i)z(f

Nhö vaäy: dydi

dxdiuu

dzdf

yxψ

=−=

Ñeå bieåu dieãn doøng chaûy theá, ta coù theå bieãu dieãn rieâng töøng haøm doøng vaø haøm theá, tacuõng coù theå keát hôïp haøm doøng vôùi haøm theá thaønh moät haøm theá phöùc nhö sau::

Page 3: Cơ lưu chất 06 theluu

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

THE LUU 3

II. CAÙC VÍ DUÏ VEÀ THEÁ LÖU

xO

y

ϕ=0ϕ=1

ϕ=2ϕ=3

ϕ=-1ϕ=-2

ϕ=-3

ψ=0ψ=1

ψ=2ψ=3

ψ=-3ψ=-2

ψ=-1

V0

α

1. Chuyeån ñoäng thaúng ñeàu: töø xa voâcöïc tôùi, hôïp vôùi phöông ngang moät goùcα.

ux = V0cosα; uy = V0sinαdψ = uxdy - uydxψ = V0ycosα - V0xsinα + C

Choïn:ψ=0 laø ñöôøng qua goác toaï ñoä⇒ C=0.

Vaäy: ψ = V0ycosα - V0xsinαTöông töï: ϕ = V0xcosα + V0ysinα

Bieãu dieãn baèng haøm theá phöùc: F(z) = ϕ+iψ = (V0xcosα + V0ysinα) + i(V0ycosα - V0xsinα)

= x(V0cosα- iV0sinα)+yi(V0cosα - iV0sinα)= az

vôùi: a=(V0cosα -iV0sinα) laø soá phöùc; z=x+iy laø bieán phöùc.

2. Ñieåm nguoàn, ñieåm huùt: vôùi löu löôïng q taâm ñaët taïi goác toaï ñoä.(q>0:ñieåm nguoàn; q<0:ñieåm huùt).

⇒ Hoï caùc ñöôøng doøng laø nhöõng ñöôøng thaúng qua O.

)yxln(4q

)rln(2q

1rkhi0choïn;C)rln(2q

drr2

qdrudrudruddr

rd

22

rr

=ϕ⇒

==ϕ+π

=ϕ⇒

π==θ+=θ

θ∂ϕ∂

+∂ϕ∂

=ϕ θ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π=θ

π=ψ⇒

=θ=ψ+θπ

=ψ⇒

θ=θ+−=θθ∂ψ∂

+∂ψ∂

=ψ⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=π θ

θ

xyarctg

2q

2q

0khi0choïn;C2q

drudrudruddrr

d0ur2

qurr

r=

Haøm doøng: Haøm theá vaän toác:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

=

=θ+π

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π=θ

π=ψ

θ

θ

zlnazln2q

)reln(2q

)elnr(ln2q

)ir(ln2q

)z(f

)yxln(4q

)rln(2q

xy

arctg2q

2q

i

i

22

Keát luaän: O

ϕ

ψ=0

ψ=(q/4)

ψ=q/2

ψ=3q/4

Ghi chuù:Tröôøng hôïp ñieåm nguoàn (huùt) coù taâm ñaët taïi moät vò trí khaùc goác toaï ñoä, ví duï ñaët taïiA(x0; y0) thì trong coâng thöùc tính haøm doøng (hoaëc theá vaän toác), tai vò trí naøo coù caùc bieán x phaûi thay baèng (x=x0) ; taïi vò trí naøo coù bieán y phaûi thay baèng (y-y0).

Page 4: Cơ lưu chất 06 theluu

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

THE LUU 4

3. Xoaùy töï do: ñaët taïi goác toaï ñoä vaø coù löu soá vaän toác ∫ ==ΓC

constdsu

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

=πΓ−

=πΓ−

=

θ+πΓ

−=−θπ

Γ=

+πΓ−

=πΓ−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

πΓ

=θπ

Γ=ϕ

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=πΓ

=

=

θ

θ

zlnazln2i)reln(

2i

)ir(ln2i)rlni(

2)z(f

)yxln(4

)rln(2

xyarctg

22

constr2

u

0u

i

22r

O

ψ

ϕ=0

ϕ=Γ/4

ϕ = Γ/2

ϕ=3Γ/4Γ>0: xoaùy döông

Ghi chuù:Γ>0: xoaùy döông ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà; Γ<0: xoaùy aâm thuaän chieàu kim ñoàng hoà;

Töông töï, ta coù treân ñaây laø xoaùy ñaët taïi O(0,0). Muoán bieãu dieãn cho xoaùy coù taâm ñaët taïi ñieåmbaát kyø, ta cuõng thöïc hieän nhö trong phaàn ghichuù cuûa ñieåm nguoàn, huùt.

4. Löôõng cöïc: laø caëp ñieåm nguoàn + huùt coù cuøng löu löôïng qñaët caùch nhau moätñoaïn ε voââ cuøng nhoû (cho ε→0 vôùi ñieàu kieän εq→m0 , laø moment löôõng cöïc). Ví duï ta xeùt tröôøng hôïp naèm treân truïc hoaønh:Tìm haøm doøng:

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

π=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

ε−⎟

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

ε+

+

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

ε−

−⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

ε+

π=

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

ε−

−ε

+π=θ−θ

π=ψ+ψ=ψ

22

2

hnhn

y4

x

2xy

2xy

arctg2q

2x

y

2x

y1

2x

y

2x

y

arctg2q

2x

yarctg

2x

yarctg

2q

)(2q

Khi ε→0 töû soá trong daáu arctg tieán tôùi 0 neân ta coù theå vieát:

220

22

222

2 yxy

2m

y4

x

y2q

y4

x

2xy

2xy

2q

+π−

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

ε−π

=⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

π=ψ

Page 5: Cơ lưu chất 06 theluu

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

THE LUU 5

+q -q

ψ

Tìm haøm theá vaän toác:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

ε+

π=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

+

π=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

=ϕ+ϕ=ϕ

22

22

22

22

22

hn

y2

x

x21ln4q

y2

x

y2

xln

4q

y2

xlny2

xln4q

Trieån khai ...2

xx)x1ln(2

+−=+ vaø boû qua caùc soá haïng baäc cao voâ cuøng beù, ta coù:

0khiyx

x2m

y2

x

x22q

220

22

→ε+π

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε

επ

Vaäy toùm laïi, ñoái vôùi chuyeån ñoäng löôõng cöïc thì:

z1

2m

)sini(cosrsincos

2m

rsinicos

2m

)z(f

rcos

2m

yxx

2m

rsin

2m

yxy

2m

022

00

022

0

022

0

π=

θ+θθ+θ

π=

θ−θπ

=

θπ

=+π

θπ

−=

+π−

Laø choàng nhaäp cuûa chuyeån ñoäng thaúng ñeàu ngang (U0)+ nguoàn taïi goác toaï ñoä (q)5. Doøng chaûy quanh nöûa coá theå:

θπ

+θ=π

+=ψ

π+θ=+

π+=ϕ

2q

sinru)xy

(arctg2q

yu

rln2q

cosru)yxln(4q

xu

00

02

02

Ñieåm döøng A:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=⇔=+π

=∂ϕ∂

π−=⇔=

+π+=

∂ϕ∂

==⇔=

0y0yxy2

4q

y

u2qx0

yxx2

4qu

x

0u;0u0u

A22

0A220

yAxAA

A

Ñieåm döøng

Page 6: Cơ lưu chất 06 theluu

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

THE LUU 6

6. Doøng chaûy quanh coá theå daïng Rankin

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+π+=ψ

+−++

π+=ϕ

axyarctg

axyarctg

2qyu

y)ax(y)ax(ln

4qxu

o

22

22

o

Coù hai ñieåm döøng A vaø B:

{

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩⎨⎧

±=⇔=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−π+⇔

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−+π

+⇔=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+−−

−++

+=∂ϕ∂

=⇔=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+−−

++π=

∂ϕ∂

⇔⎩⎨⎧

==

⇔=

2

0220

0

22220

2222

y

x

auaqx0

axa4

4qu

0)ax(

2)ax(

24q

u0ytheá

0y)ax(

)ax(2y)ax(

)ax(24q

ux

0y0y)ax(

y2y)ax(

y24q

y

0u0u

0u

Laø toå hôïp cuûa doøng chuyeån ñoäng thaúngngang ñeàu (u0) + nguoàn (+q) + huùt(-q).Trong ñoù ñieåm nguoàn vaø huùt naèm treân truïchoaønh, caùch nhau moät ñoaïn 2a höõu haïn,

A B

u0

+q -q

2a

7. Doøng chaûy quanh truï troøn (Γ=0)Xeùtø toå hôïp cuûa chuyeån ñoäng thaúng ñeàu, naèm ngang (u0)+löôõng cöïc (m0)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

π−θ=

θπ

−θ=+π

−+=ψ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

π+θ=

θπ

+θ=+π

+=ϕ

20

0o

0o22

0o

20

0o

0o22

0o

ru2m

1sinrur

sin2m

sinruyx

y2m

yu

ru2m

1cosrur

cos2m

cosruyx

x2m

xu Xeùt ñöôøng doøng ψ=0 ⇔ θ = 0

vaø0

0

u2m

=

0

0

u2m

=baèng ñöôøngtroøn

Do khoâng coù söï traoñoåi löu chaát giöõatrong vaø ngoaøiñöôøng doøng ψ=0

0

0

u2m

=Thay ñöôøngtroøn

thì baûn chaátdoøng chaûy vaãn

khoâng ñoåi

Ta coù hình aûnh cuûa doøngchaûy bao quanh truï troøn.

(truï khoâng xoay)

Ñieåm döøng

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−θ=ψ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+θ=ϕ

2

2

o

2

2

o

rR1sinru

rR1cosru

Page 7: Cơ lưu chất 06 theluu

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

THE LUU 7

)θsin41(2uρp 220 −=dö

tr

Tìm phaân boá vaän toác treân maët truï r=R:

A BC

D

uC = -2u0

uD = 2u0

pA = pB = ρu02/2

pC = pD = -3ρu02/2

⎪⎩

⎪⎨

=

θ−=θ∂ϕ∂

=⇒θ=ϕ⇒ =

θ

0u

sinu2r1u

cosRu2

r

0Rr0

Tìm hai ñieåm döøng treân maët truï:πθ0θ0uθ ==⇔= vaø

⇒ coù hai ñieåm döøng A. B tröôùc vaø sau maët truï. Tìm hai ñieåm coù giaù trò vaän toác lôùn nhaát treân maët truï:

0D0C

max

u2u;u2u2

3;2

uu

=−=

π=θ

π=θ⇔=θ ⇒ C, D naèm treân vaø döôùi maët truï

coù giaù trò vaän toác lôùn nhaát.

Khaûo saùt phaân boá aùp suaát reân maët truï:AÙp duïng P.Tr NL treân ñöôøng doøng ψ=0 töø ñieåm xa voâ cöïc ñeán ñieåm treân maët truï:

2u

p2u

p2tr

tr

20 ρ

+=ρ

+∞ Giaû sö û p∝=pa )u

θsinu41(2uρ)

uu1(

2uρp 2

0

220

20

20

2tr

20 −=−=dö

tr

Taïi A, B: 2u

pp20

BAρ

==

Taïi C, D: 2u3

pp20

DDρ

−== Do bieåu ñoà phaân boá aùp suaát ñoái xöùng qua ox laãn oy neântoång löïc taùc duïng leân maët truï trong tröôøng hôïp naøy = 0Nhaän xeùt:

7. Chuyeån ñoäng quanh truï troøn xoay (Γ≠0):Bao goàm chuyeån ñoäng quanh truï troøn + xoaùy töï do (Γ +)

rln2r

R1sinru

2rR1cosru

2

2

o

2

2

o

πΓ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−θ=ψ

θπ

Γ+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+θ=ϕ

Phaân boá vaän toác treân maët truï :

πΓ

+θ−== θ 2R1sinu2u;0u 0rVì r = R neân

suy ra:

⎪⎩

⎪⎨

→π>Γ

→π=Γ

→π<Γ

⇒π

Γ=θ⇔

πΓ

=θ⇔=

döøng.ñieåm.0Ru4döøng.ñieåm.1Ru4döøng.ñieåm.2Ru4

Ru4sin

R2sinu20u

0

0

0

00

Phaân boá aùp suaát treân maët truï :

2u

p2u

p2tr

tr

20 ρ

+=ρ

+∞ vôùiπ

Γθθ 212 0 R

sinuu +−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−=

2

0

20

20

2tr

20

Ruπ2Γθsin21

2uρ)

uu1(

2uρp dö

trGiaû sö û p∝=pa

Löïc taùc duïng treân maët truï:

0

2

0try Ud.sinRpF Γρ−=θθ−=⇒ ∫

πdö

Phöông x: Fx =0Phöông y:

--- Löïc naâng Jukovs

Löu yù :

0d.sin2

0

n∫π

=θθ

Doøng ñeàu L cöïc

Xoaùytöï do

Page 8: Cơ lưu chất 06 theluu

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

THE LUU 8

Caùctröôøng

hôïp xoaùyΓ>0 Γ/2πRu0=2

Γ/2πRu0=3

Γ/2πRu0=1

Fy

Ñieåm döøng Ñieåm döøng

Ñieåm döøng

y

| Γ | /2πRu0=3

StagnationPoint

r

Γ

Fy

| Γ | /2πRu0=1

StagnationPoint

y

r

Γ

| Γ | /2πRu0=2

StagnationPoint

y

r

Γ

Caùctröôøng

hôïp xoaùyΓ< 0

Ñieåm döøngÑieåm döøng

Ñieåm döøng

Page 9: Cơ lưu chất 06 theluu

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

THE LUU 9

Ví duï 1:Chuyeån ñoäng theá cuûa chaát loûng hai chieàu treân maët phaúng naèm ngang xoy vôùi

haøm theá vaän toác ϕ = 0,04x3 + axy2 + by3 , x,y tính baèng m, ϕ tính baèng m2/s.1. Tìm a, b.2. Tìm ñoä cheânh aùp suaát giöõa hai ñieåm A(0,0) vaø B(3,4), bieátb khoái löôïng

rieâng loûng baèng 1300kg/m3

Giaûi:Töø haøm theá vaän toác ϕ = 0,04x3 + axy2 + by3 ta coù:

2y

22x by3axy2

yu;ayx12,0

xu +=

∂ϕ∂

=+=∂ϕ∂

=

Caùc thaønh phaàn vaän toác phaûi thoaû phöông trình div(u)=0 neân:

0by6x)a224,0(0by6ax2x24,00yu

xu yx =++⇔=++⇔=

∂∂

+∂

Vì div(u)=0 ñuùng vôùi moïi ñieåm neân theá (x=0; y=1) vaøo ta ñöôïc b = 0(x=1; y=0) vaøo ta ñöôïc a = -0,12

Vì ñaây laø chuyeån ñoäng theá neân p.tr Ber ñuùng cho hai ñieåm baát kyø A vaø B, ta coù:

⇔−ρ

=−⇔+ρ

=+ρ 2

)uu()pp(2up

2up 2

A2B

BA

2BB

2AA

⇒ uA=0; uB = ((0,12*32 -0,12*42)2+(-0,24*3*4)2)1/2 = 3 m/s

22

AB m/KN85,52

)3(1300p ==Δ

Ví duï 2:

Giaûi:

)xy(21)y,x( 22 −=ϕ

x

yDoøng chaûy theá uoán cong moät goùc 900 vôùi haøm theá vaän toácñöôïc cho nhö sau:

(x,y tính baèng m).Tìm löu löôïng phaúng qua ñöôøng thaúng noáihai ñieåm A(1,1) vaø B(2,2)

x yu x ; u yx y

∂φ ∂φ= = − = =

∂ ∂

yu y xx

yx C(y)

∂ψ= − ⇒ ∂ψ = − ∂

∂⇒ ψ = − +

xu x C'(y) xyC(y) const xy const

∂ψ= ⇒ − + = −

∂⇒ = ⇒ ψ = − +

22 2 1 1 3AB B Aq * * m / s⇒ = ψ − ψ = − + = −

-5

0

5

10

15

20

25

-30 -20 -10 0 10 20 30

y(phi=70)

y(phi=60)

y(phi=50)

y(phi=40)

y(phi=30)

y(phi=20)

y(phi=10)

y(phi=0)

y(phi=-10)

y(phi=-20)

y(phi=-30)

Page 10: Cơ lưu chất 06 theluu

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

THE LUU 10

AÙp suaát dö treân maët truï baèng: )θsin41(2uρp 220 −=dö

tr

Fy dF

θ

0Rd)cos()sin41(2u)cos(pdsdFF

0

220

00xx =θθθ−

ρ−=θ−==⇒ ∫∫∫

πππ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θθ−θ−θ

ρ−=θθ−θ

ρ−=⇒

θθθ−−ρ

−=θ−==⇒

∫ ∫∫

∫∫∫π ππ

πππ

0 0

220

0

220

y

0

220

00yy

d)sin(3))(cos(d(cos4(2uRd)sin()3cos4(

2uRF

Rd)sin())cos1(41(2u)sin(pdsdFF

3uR5

343

343

2uRcos

34cos3

2uRF

20

20

0

320

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

ρ−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ θ−θ

ρ−=⇒

π

Giaûi:

Ví duï 3:Gioù thoåi qua maùi leàu daïng baùn truï R=3m vôùiV=20m/s, khoâng khí coù khoái löôïng rieângbaèng 1,16 kg/m3 . Tìm löïc naâng taùc duïng leân1m beà daøi leàu.

Ñeå tìm löïc naâng Fy taùc duïng leân 1m beà daøi leàu, treân baùn truï ta chon moät vi phaân dieântích ds, tìm löïc dF taùc duïng leân ds, sau ñoù chieáu dF leân phöông y →dFy. Vaø tích phaân(dFy) treân toaøn baùn truï

N2320Fy =⇒

Giaûi:

Ví duï 4:Moät xi lanh hình truï troøn di chuyeån trongnöôùc vôùi vaän toác u0 khoâng ñoåi ôû ñoä saâu 10m. Tìm u0 ñeå treân beà maët xi lanh khoâng xaûy rahieän töôïng khí thöïc , bieát nöôùc ôû 200C

A BC

D

uC = -2u0

uD = 2u0

pA = pB = ρu02/2

pC = pD = -3ρu02/2

ÔÛ 200C aùp suaát hôi baõo hoaø cuûa nöôùc : pbh = 0,25m nöôùcÑeå treân beà maët xi lanh khoâng xaûy ra hieän töôïng khí thöïcthì ptru

tñ > pbh = 0,25m nöôùc

⇒ ptruck < 9,75m nöôùc hay ptru

dö > - 9,75m nöôùc

AÙp suaát dö nhoû nhaát treân maët tru (neáu truï di chuyeån treân maët thoaùng )ï, nhö ta ñaõbieát, taïi vò trí C vaø D, baø baèng: pC = pD = -3ρu0

2/2

Suy ra, vaän toác toái ña maø truï coù theå di chuyeån ñöôïc ñeå khoâng coù hieän töôïng khí thöïcxaûy ra treân maët truï phaûi giaûi töø baát p.tr :

pC = pD = 10γn -3ρu02/2Vaäy neáu truï di chuyeån ôû ñoä saâu 10m thì :

Ptrudö = 10γn -3ρu0

2/2 > - 9,75 γn

⇔ 3ρu02/2 < 19,75 γn

⇔ u0 < 11,365 m/s

Page 11: Cơ lưu chất 06 theluu

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

THE LUU 11

Giaûi:

Ví duï 5:Hai nöûa xi lanh ñöôïc noái vôùi nhau vaø ñaët trong tröôøng chaûyñeàu coù theá nhö hình veõ. Ngöôøi ta khoeùt 1 loã nhoû taïi vò trígoùc α ñeå cho khoâng coù löïc taùc duïng leân hai moái noái. Giaûthieát raèng aùp suaát beân trong xi lanh baèng aùp suaát beân ngoaøixi lanh taïi loã khoeùt. Xaùc ñònh goùc α

Ñeå cho khoâng coù löïc taùc duïng leân hai moái noái thì toång löïc Fx taùc duïng leân moãi nöûamaët truï phaûi baèng khoâng. Do bieåu ñoà aùp suaát treân maët truï phaân boá ñoái xöùng qua truïc ox, neân ta chæ caàn xeùt toånglöïc Fx treân ¼ maët tr. Ta xeùt treân ¼ maët truï töø 0 ñeán π/2:AÙp suaát dö treân maët truï:

)θsin41(2uρp 220 −=dö

tr

Treân ¼ maët truï ta choïn vi phaân ds, goïi dFn laø löïc taùc duïng leân ds töø beân ngoaøi maëttruï, ta coù: dFn=pds ⇒ dFnx= - pdscosθ = -pRcosθdθ

6Rusin

34sin

2RuRdcos)sin41(

2uF

20

2/

0

320

2/

0

220

nxρ

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ θ−θ

ρ−=θθθ−

ρ−=⇒

ππ

0

π/2

α

dF

dFxθ

ds

[ ] RpsinRpRdcospdspF 2/0

2/

0

2/

0tx α

πα

π

α

π

α =θ=θθ==⇒ ∫∫

Goïi pα laø aùp suaát taïi loã khoeùt, ta coù: )sin41(2up 220 α−

ρ=α

)sin41(2RuF 22o

tx α−ρ

=⇒

Ta coù: Fnx + Ftx = 0

Suy ra:

31sin

31sin

34sin4

)sin41(2Ru

6RuFF

22

22o

2o

txnx

=α⇒

=α⇒=α⇒

α−ρ

−=ρ

⇒−=

026,35=α

Nhaän xeùt:Löïc F nx >0 höôùng theo chieàu döông⇒löïc Ftx töø beân trong maët truï phaûi höôùng theochieàu aâm. Nhö vaäy, aùp suaát taïi loã khoeùt phaûi laø aùp suaát chaân khoâng

0

π/2

α FnxFtx

Page 12: Cơ lưu chất 06 theluu

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

THE LUU 12

Ví dụ 6 (tự giải)Xoáy tự do âm có cường độ 12m2/s chồng nhập với một nguồn cường độ 10m2/s. Cả hai đặt tại gốc tọa độ. Cho khối lượng riêng của không khí bằng 1,23 kg/m3. Nếu áp suất khí ởxa vô cực bằng áp suất khí trời và xem như không khí tĩnh.Tính áp suất tại điểm A(3,4)ĐS: pck

A=0,512 N/m2

HD: Tìm vận tốc tại A. Áp dụng phương trình năng lượng để suy ra áp suất tại A

Ví dụ 7 (tự giải)Dòng thẳng đều ngang với vận tốc 3m/s từ xa vô cực đến gặp một điểm nguồn cường độ2m2/s đặt tại điểm A(1,2). Biết áp suất xa vô cực bằng không, Tìm vị trí và và áp suất tại điểm dừng BĐS: B(0,89; 2); pB=0,46 m lưu chất.HD: Vị trí điểm dừng B trong hệ trục tọa độ mới XOY là: Y=0; X= - q/(2πu)

Tọa độ của B trong xoy tìm được nhờ áp dụng công thức chuyển trục tọa độ.Áp suất pB tìm từ ph. tr năng lượng

Ví dụ 8 (tự giải)Dòng chảy đều song song trục hoành bao quanh trụ tròn (không xoay) đặt tại gốc tọa độ. Vận tốc dòng đều V=2m/s. Áp suất xa vô cực bằng 5m nước. Tìm vận tốc và áp suất tại điểm A trên mặt trụ hợp với phương Ox một góc 1500 .ĐS: VA=2m/s và pA=49050 N/m2

HD: A trên mặt trụ chính là điểm có áp suất dư bằng 0 nếu xem áp suất xa vô cực =0