Cơ lưu chất 04 dongluchoc

21
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay DONG LUC HOC 1 CHÖÔNG V PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CHO CHAÁT LOÛNG LYÙ TÖÔÛNG CHUYEÅN ÑOÄNG (P.Tr EULER) dt u d ) p ( grad F = ρ 1 + + + = = ρ + + + = = ρ + + + = = ρ ) 3 ( z u u y u u x u u t u dt du z p 1 F ) 2 ( z u u y u u x u u t u dt du y p 1 F ) 1 ( z u u y u u x u u t u dt du x p 1 F z z z y z x z z z y z y y y x y y y x z x y x x x x x Daïng Lamb-Gromeco cuûa phöông trình Euler: x u u x u u z z y y ± ± vaø z y y z 2 x x y y z x z 2 z 2 y 2 x x x ) u ( rot u ) u ( rot u 2 u x t u y u x u u x u z u u 2 u 2 u 2 u x t u x p 1 F + + = + + + + = ρ Sau khi saép xeáp, treân phöông x ta ñöôïc: Ta bieán ñoåi töông töï cho p.tr (2) vaø (3).

Transcript of Cơ lưu chất 04 dongluchoc

Page 1: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 1

CHÖÔNG

V PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CHO CHAÁT LOÛNG LYÙTÖÔÛNG CHUYEÅN ÑOÄNG (P.Tr EULER)

dtud)p(gradF =

ρ−

1

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==∂∂

ρ−

∂+

∂+

∂+

∂==

∂∂

ρ−

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==∂∂

ρ−

)3(z

uuy

uuxuu

tu

dtdu

zp1F

)2(z

uu

yu

ux

uu

tu

dtdu

yp1F

)1(z

uuy

uux

uut

udt

duxp1F

zz

zy

zx

zzz

yz

yy

yx

yyy

xz

xy

xx

xxx

Daïng Lamb-Gromeco cuûa phöông trình Euler:x

uux

uu z

zy

y ∂∂

±∂

∂± vaø

zyyz

2x

xyy

zxz

2z

2y

2xx

x

)u(rotu)u(rotu2

uxt

u

yu

xu

uxu

zuu

2u

2u

2u

xtu

xp1F

−+⎟⎟

⎜⎜

∂∂

+∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

+∂∂

=∂∂

ρ−

Sau khi saép xeáp, treân phöông x ta ñöôïc:

Ta bieán ñoåi töông töï cho p.tr (2) vaø (3).

Page 2: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 2

⎪⎩

⎪⎨

−=∧−=∧−=∧

⇔=∧

yxxyz

xzzxy

zyyzx

zyx

zyx

)u(rotu)u(rotu)u)u(rot()u(rotu)u(rotu)u)u(rot()u(rotu)u(rotu)u)u(rot(

uuu)u(rot)u(rot)u(rot

kjiu)u(rot

Cuoái cuøng ta ñöôïc Daïng Lamb-Gromeco cuûa phöông trình Euler:

u)u(rot2

ugradtupgrad1F

2∧+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

II TÍCH PHAÂN P. TR. LAMB-GROMECO→ PHÖÔNG TRÌNH BERNOULLI

+

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

×−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∂∂

ρ−

×−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂=

∂∂

ρ−

×−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∂∂

ρ−

dz)u(rotu)u(rotu2

uzt

uzp1F

dy)u(rotu)u(rotu2

uyt

uyp1F

dx)u(rotu)u(rotu2

uxt

uxp1F

yxxy

2z

z

xzzx

2y

y

zyyz

2x

x

Löu chaát chuyeån ñoäng theá toaøn mieàn: rot(u)=0 :(C laø haèng soá cho toaøn mieàn)

Tích phaân doïc theo ñöôøng doøng (C laø haèng soá treân ñöôøng doøng)

Tích phaân doïc theo ñöôøng xoaùy (C laø haèng soá treân ñöôøng xoaùy).

Tích phaân doïc theo ñöôøng xoaén oác (C laø haèng soá treân ñöôøng xoaén oác)

•Ñoái vôùi doøng oån ñònh, löu chaát naèm trong tröôøng troïng löïc, khoâng neùn ñöïôïc:

zyx

zyx

2

uuu)u(rot)u(rot)u(rot

dzdydx

2u

ρpgzd =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

Trong moät soá caùc tröôøng hôïp cuï theå sau, ta coù tích phaân phöôngtrình treân vôùi veá phaûi = 0 ⇒P. tr. Bernoulli

Cg2

upzhayC2

upgz22=+

γ+=+

ρ+

Page 3: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 3

•Trong tröôøng hôïp doøng chaûy löu chaát khoâng neùn ñöôïc, oån ñònh vôùirot(u)≠0, xeùt treân phöông phaùp tuyeán n vôùi ñöôøng doøng:Neáu löïc khoái laø moät haøm coù theá, ta ñöa haøm theá π vaøo vôùi ñònh nghóa sau:

π−=∂π∂

−=∂π∂

−=∂π∂

−= gradFhayz

F;y

F;x

F zyx

Vieát laïi phöông trình vi phaân daïng Lamb-Gromeco:

u)u(rotugradtupgradgrad ∧+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

−π−2

1 2

Treân phöông phaùp tuyeán n vôùi ñöôøng doøng (ngöôïc chieàu vôùi phöông baùn kính r):

ru

ru

ru

ru

nru

)u,sin(.u.un

pn

2222

2

22

22

−=−=−∂∂

ω−=

ωω−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

+π∂∂

ru

ρpπ

r

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

Neáu löu chaát chòu taùc duïng cuûa löïc troïng tröôøng:r

uρpgz

r

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

Nhaän xeùt:

γ+

pz

Khi r→∝; constpz =γ

+

aùp suaát phaân boá treân maët caét öôùt theoquy luaät thuûy tónh (khi aáy caùc ñöôøngdoøng song song vaø thaúng, m/c öôùt laø maëtphaúng) - ñaây laø tröôøng hôïp chaát loûngchuyeån ñoäng ñeàu hoaëc bieán ñoåi daàn

Theo phöông r (höôùng töø taâm quay ra): r caøng lôùn, caøng lôùn

•YÙ nghóa naêng löôïng cuûa phöông trình Bernoulli:

γ+

pz : laø theá naêng cuûa moät ñôn vò troïng löôïng löu chaát(bao goàm vò naêng ñôn vò z vaø aùp naêng ñôn vò p/γ).

g2u 2

: laø ñoäng naêng cuûa moät ñôn vò troïng löôïng löu chaát.

Page 4: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 4

γpz

γpz)a D

DA

A +=+

γpz

γpz)b D

DC

C +=+

γpz

γpz)c B

BC

C +=+

γpz

γpz)d B

BA

A +=+

D

A

B

C

Doøng chaûy vôùi caùc ñöôøng doøng nhö hình veõ, ta coù: Bình luaän:

Caâu naøo ñuùng?

III. PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CHO CHAÁT LOÛNG THÖÏC CHUYEÅN ÑOÄNG (P.Tr Navier-Stokes)

dtud)u(div(gradu)p(gradF =ν+∇ν+

ρ−

311 2

Tích phaân phöông trình Navier-Stokes cho toaøn doøng chaûy, ta ñöôïc phöông trìnhBernoulli vieát cho toaøn doøng chaát loûng thöïc khoâng neùn ñöôïc chuyeån ñoäng oånñònh. Ñaây laø moät daïng cuûa phöông trình naêng löôïng, maø ta chöùng minh ñöôïcbaèng pp TTKS trong chöông ñoäng hoïc:

IV. PHÖÔNG TRÌNH NAÊNG LÖÔÏNG

∫∫∫∫∫ ρρ

++++ρρ

+++∂∂

=−A

nuw

u dAu)pgzue(dw)pgzue(tdt

dWdtdQ 22

21

21

Ñaây chính laø phöông trình naêng löôïng cho doøng chaát loûng khoâng oånñònh coù khoái löôïng rieâng ρ thay ñoåi.

Page 5: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 5

1.Ñoái vôùi doøng oån ñònh, khoâng coù söï trao ñoåi nhieät vôùi moâi tröôøng beân ngoaøi:

∫∫ ρρ

+++=−A

nu dAu)pgzue(dt

dW 2

21

∫∫∫∫ +−=+⇒A

n2

nA

u dAuρ)gZu21(

dtdWdAuρe

chuù yù raèng:Z = z+p/γ laø theá naêng ñôn vò

dtdWdAue n

Au +ρ∫∫Nhaän xeùt thaáy: laø phaàn bieán ñoåi naêng löôïng do

chuyeån

ñoäng cuûa caùc phaàn töû beân trong khoái löu chaát gaây ra vaø do ma saùt cuûa khoái löuchaát vôùi beân ngoaøi. Ñaïi löôïng naøy khoù xaùc ñònh ñöôïc baèng lyù thuyeát, thoângthöôøng, noù ñöôïc tính töø thöïc nghieäm, tuyø theo tröôøng hôïp cuï theå. Ta ñaët:

QghdtdWdAue fn

Au ρ=+∫∫ ñaây chính laø naêng löôïng bò maát ñi cuûa löu chaát qua

theå tích W trong moät ñôn vò thôøi gian.

hf laø maát naêng trung bình cuûa moät ñôn vò troïng löôïng löu chaát.

∫∫ +−=⇒A

n2

f dAuρ)gZu21(Qhγ

Neáu xeùt cho moät ñoaïn doøng chaûy vaøo maët caét 1-1 vaø ra taïi m/c 2-2 (ρ=const)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ+−ρ+−=ρ ∫∫∫∫ dAu)gZu(dAu)gZu(Qgh n

An

Af 1

1

22

2

2

21

21

Ta tính rieâng caùc tích phaân:•Neáu treân m/c öôùt A, aùp suaátphaân boá theo quy luaät thuûytónh.

Q)pgz(QgZdQ)gZ(A

ρρ

+=ρ=ρ∫∫

VthaätA

n ÑNQVÑNdAuu =ρ>=ρ∫∫ 22

21

21•Tích phaân thaønh phaàn

ñoäng naêng:.

Ñöa vaøo heä soá hieäu chænh ñoäng naêng α:Vthaät

An ÑNQVÑNdAuu α=ρα==ρ∫∫ 22

21

21

vôùi αtaàng =2; αroái=1,05 - 1,1

Qρ)gZVα21(Qρ)gZVα

21(Qghρ 2

2221

211f +−+=

21

2222

2

2111

1 22 −+α

+=α

+ fhgVp

zgVp

zhay:

Nhö vaäy:

Ñaây chính laø ph.tr. naêng löôïng cho toaøn doøng chaûy oån ñònh chaát loûng thöïc khoângneùn ñöôïc naèm trong tröôøng troïng löïc töø m/c/1 tôùi m/c 2 (khoâng coù nhaäp hoaëc taùchlöu)

Page 6: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 6

Neáu doøng chaûy coù nhaäp hoaëc taùch löu (ρ=const)

∑∑∑ =ρ+α−ρ+α fjjjjjra

iiiiivaøo

HQ)gZV(Q)gZV( 22

21

21

ΣHf laø toång naêng löôïng doøng chaûy bò maát ñi khi chaûy töø caùc m/c vaøo ñeán caùc m/c ra(trong 1 ñ.vò thôøi gian).

2. Trong tröôøng hôïp doøng chaûy coù söï trao ñoåi naêng löôïng vôùi beân ngoaøi (ñöôïcbôm cung caáp naêng löôïng Hb ; hay doøng chaûy cung caáp naêng löôïng Ht choturbine), thì ph. tr treân coù daïng toång quaùt hôn:

21

2222

2

2111

1 22 −+α

++=α

++ fTB hgVpzH

gVpzH

Hb laø naêng löôïng do bôm cung caáp cho moät ñôn vò troïng löôïng doøng chaûy khidoøng chaûy qua bôm - Ta goïi laø coät aùp bôm .Ht laø naêng löôïng maø moät ñôn vò troïng löôïng doøng chaûy cung caáp cho turbine khiqua turbine.

V. AÙP DUÏNG PHÖÔNG TRÌNH NAÊNG LÖÔÏNG

B’h

A B

A’Ví duï 1: Ño löu toác ñieåm cuûa doøng khí baèng oáng Pito voøng

AÙp duïng ph.tr Bernoulli treân ñöôøng doøng töø A tôùi B (boû qua maát naêng):

gupz

gupz B

k

BB

A

k

AA 22

22+

γ+=+

γ+

vôùi uB=0, suy ra: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+=k

AA

k

BB

A pzpzg

u2

2

AÙp duïng phöông trình thuyû tónh laàn löôït cho caùc caëp ñieåm AA’ (trong moâi tröôøngkhí), A’B’ (trong moâi tröôøng loûng); BB’ (trong moâi tröôøng khí) ta coù:

⎪⎪

⎪⎪

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+

k

BB

k

'B'B

k

AA

k

'A'A

pzpz

pzpz

Suy ra

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γγ

=γγ

+−=

γ−

+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+

1k

l

k

l

k

'A'B'A'B

k

AA

k

BB

hh

h

pp)zz(

pz

pz

Nhö vaäy: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γγ

= 12k

lA ghu

Thực tế do mất năng neân vaän toácthöïc taïi ñieåm A lôùn vaän toác tínhtöø coâng thöùc beân.

Page 7: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 7

Ví duï 2: Ño Löu löôïng qua oáng VenturyD

d

1

1

2

2

hγn

γd

AB

AÙp duïng p. tr naêng löôïng cho doøng chaûytöø m/c 1-1 ñeán 2-2 (boû qua maát naêng):

gVpz

gVpz

nn 22

2222

2

2111

+=α

+

(α1,α2=1): Suy ra:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

nn

pzpzAAg

Q 22

112

122

2 112

Hay:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γγ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−=

n

dghAA

AAQ 1222

21

21

22

Löu löôïng Q ôû treân tính ñöôïc khoâng keå tôùi toån thaát naêng löôïng, Thöïc teá löu löôïng Qthöïc nhoû hôn, neân caàn hieäu chænh laïi löu löôïng sau khitính Qtính Hieäu chænh baèng coâng thöùc treân nhö sau: Qthöïc = CQtínhvôùi C<1 laø heä soá hieäu chænh Ventury (do maát naêng sinh ra).

bao nhiêu?

HD: Lưu chaát chæ ch. ñoäng töø choã coù e cao tôùi e thaáp, vì vaäy ñeå nöôùc khoâng bò huùt len thì nănglượng tại mặt thoáng của bình nước: z0=e0 < =eA= zA+pA/γ; suy ra pA/γ > = -(h);

Ta ghi nhaän (pA/γ)min = -(h).

Lưu ý rằng trên mặt cắt ướt 1-1 tại A áp suất phân bố theo quy luật thủy tĩnh, nghĩa là: z1+p1/γ= zA+pA/γ.

Để tìm Q ứng với (pA/γ)min = -(h), ta viết p.tr năng lượng cho dòng chảy từ mặt cắt 1-1 (chỗco hẹp) tới mặt cắt 2-2 (chỗ mở rộng)

Câu 17: Baøi 3: Nöôùc chaûy trong ñöôøng oáng coù tieát dieän co heïp ñöôøng kính d nhö hình veõ, cuoái oáng nöôùc chaûy ra ngoaøi khí trôøi vôùi ñöôøng kính D = 2d. Taïi maët caét co heïp coù gaén moät oáng nhoû thoâng vôùi bình ñöïng nöôùc töø ngoaøi. Maët thoaùng cuûa nöôùc ôû ngoaøi tieáp xuùc vôùi khí trôøi vaø thaáp hôn truïc oáng moät ñoaïn h. Cho d=10 cm; h=0,5m. Boû qua maát naêng. Goïi pmin laø aùp suaát toái thieåu trong ñoaïn oáng co heïp ñeå nöôùc coù theå bò huùt leân. Löu löôïng öùng vôùi aùp suaátpmin laø:

D d

h

V2

Hình caâu 17

Ví duï 2b:

ĐS: pmin = 0,5 m nước; Q=25,41 lít/s:

A

Page 8: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 8

Ví duï 3: Doøng chaûy oån ñònh qua loã thaønh moûng:

Hc

cA

00

fccc

c hgVpz

gVpz +

α+

γ+=

α+

γ+

22

22000

0

Naêng löôïng cuûa doøng chaûy töø bình ra ngoaøi chuûyeáu bò maát ñi laø do co heïp khi qua loã, ñaây laø loaïimaát naêng cuïc boä, noù tyû leä vôùi Vc

2 taïi maët caét co heïp c-c (hoïc trong chöông ñöôøng oáng). Ta coù theåvieát laïi:

gV

gVpz

gVpz cccc

c 222

222000

0 ξ+α

+=α

+

V0 =0, p0=0; Suy ra: gH2CgH21V Vc =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

ξ+α=

vôùi CV < 1 goïi laø heä soá löu toác.

Löu löôïng: gH2ACgH2ACgH2CAgH21AVAQ dVVcccc =ε==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ+α

==

Vôùi A laø dieän tích loã thaùo, ε laø heä soá co heïp,Cd (<CV) laø heä soá löu löôïng

Ví duï 4: Doøng chaûy oån ñònh qua ñaäp traøn thaønh moûng:

H

θ

h

dh

0

B

hXem doøng chaûy laø taäp hoïp cuûa nhöõngdoøng chaûy qua loã thaønh moûng coù beà roängB, cao dh naèm ôû toaï ñoä h treân truïc toaï ñoäOh nhö hình veõ.

Löu löôïng qua loã thaùo:

dh)hH(g2)h(2

tg2C)hH(g2BdhCdQ dd −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ=−=

∫ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ=

H

d dh)hH(g)h(tgCQ0

22

2

Ñeå laáy tích phaân treân ta ñaët: dh)hH(dv;hu −==

Keát quaû cho: gHHtgCQ d 2215

8 2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ=

Page 9: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 9

Ví duï 5: Doøng chaûy qua voøi laép ngoaøi:

Hc

cA

00

pcck

1

1gVpz

gVpz ccc

c 22

2111

1

2 α+

γ+=

α+

γ+

suy ra: 0

22

2211 <

α−

α=

γ gV

gVp ccc

Giaû söû voøi coù ñöôøng kính d baèng loã thaønh moûng, vaø heä soá co heïp caû hai tröôønghôïp nhö nhau. Ta chöùng minh ñöôïc vaän toác Vc qua voøi lôùn hôn qua loã, vì taïim/c c-c trong voøi aùp suaát laø aùp suaát chaân khoâng, neân:

cloãc

Vc

ccvoøi V

pHgC

pHgV >⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ξ+α

= 221

Nhö vaäy, löu löôïng qua voøi lôùn hôn löu löôïng qua loã thaønh moûng vaø baèng:(vieát phöông trình naêng löôïng cho doøng chaûy töø m/c 0-0 ñeán 1-1 ñeå tìm ravaän toác 1 taïi maët caét ra 1-1).trong tröôøng hôïp naøy :Cd = CV:

gHACgHACQ dV 22 ==

Ví duï 6: Doøng chaûy khoâng oån ñònh ra ngoaøi bình:

H

A

a

dh

h

ghaCQ d 2=trong ñoù h giaûm theo thôøi gianSau thôøi gian dt, theå tích trong bình giaûm:

dtghaCQdtAdhdW d 2==−=

dhghaC

Adtd 2

−=

Vaäy thôøi gian ñeå nöôùc chaûy heát bình laø:

HgaC

AhgaC

AdhghaC

ATdHdH d

22

222

00

=−=−= ∫

Câu 18: Một bình chứa nước tới độ cao H. Nước chảy ra ở đáy bình qua một lỗ nhỏ đường kính d. Để mực nước trong bình ổn định, người ta đổ thêm vào bình một lưu lượng Q. Bỏ qua co hẹp. Cho H=4m; Q= 5 lít/s; d=3 cm. Hệ số mất năng cục bộ tại lỗ tháo là:

H

d

QVí duï 5b:

ĐS: hệ số mất năng cục bộ tại lỗ tháo =0,57

Page 10: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 10

Ví duï 7a: Doøng chaûy qua maùy thuûy löïc:

B

0 0

1

1

2 2

H

chuaån

10

2111

1

2000

0 22 −+α

+=α

+ fhgVpz

gVpz

p0=0; V0=0; z0=0

Suy ra taïi maët caét 1-1 tröôùc bômcoù aùp suaát chaân khoâng:

02

211

11 <+

α+−=

γ)h

gVz(p

f

20

2222

2

2000

0 22 −+α

+=+α

+ fB hgVpzH

gVpz

Suy ra: 20−+= fB hHH

Coâng suaát höõu ích cuûa bôm: BQHN γ=

Hieäu suaát bôm:truc

B

NQHγ

Bôm huùt nöôùc töø gieáng leân nhö hình veõ.Bieát löu löôïng Q=30 lít/s, ñöôøng kính oáng huùt D=0,12m.Taïi choã uoáng con coù heä soá toån thaát laø ξ=0,5. Chieàu daøi ñöôøng oáng huùt L = 5m. OÁng coù heä soá ma saùtñöôøng daøi laø λ=0,02. Neáu nöôùc coù nhieät ñoä laø 200C vaø boû qua toånthaát cuïc boä vaøo mieäng oáng. Tìm chieàu cao ñaët bôm zB toái ña

Giaûi: ÔÛ 200C, aùp suaát hôi baõo hoaø cuûa nöôùclaø 0,25 m nöôùc. Vaäy aùp suaát chaân khoâng taïimaët caét tröôùc bôm cho pheùp toái ña laø 9,75 m nöôùc.

Ta coù:

B

gieáng

zB

0 0

1

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−−= )ξ

DLλ1

g2Vα

γpz

2111

B

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−= )5.0

12.0502.01

81.9*2653.2α

75,9z2

1B

2.653m/sAQV ==

8.91mz B =

Ví duï 7b

Page 11: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 11

Caáu taïo boä phaän caûi tieán cuûa bôm

2Q

1Q

Q

Page 12: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 12

22

1

1

bomh

1Q

2Q

Q

Ví duï 8:Ñoä cheânh möïc thuyû ngaân trong oáng chöõ U noái hai ñaàu vôùi cuoái oáng huùt vaøñaàu oáng ñaåy laø. Ñöôøng kính oáng huùt laø D1=8 cm. Döôøng kính oáng ñaåy laø D2=6 cm. Q=17 lít/s. Coâng suaát höõu ích cuûa bôm laø 1261 W.

1. Boû qua maát naêng, xaùc ñònh ñoâ cheânh aùp suaát tröôùc vaø sau bôm.2. Xaùc ñònh h trong oáng chuõ U

g2VpzH

g2Vpz

2222

2

2111

+=+α

+ B

Suy ra: Töø : BQHN γ=

m/s 3.38)08.0(*4*10*174.2

3

211

1 ====−

ππDQ

AQV

m/s 6.01)06.0(*4*10*174.2

3

221

2 ====−

ππDQ

AQV

Vaäy cheânh leäch aùp suaát:

Hg

B

h

D1

D2

nöôùc

1

1 2

2

A

B

⎪⎪

⎪⎪

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+

n

BB

n

11

n

AA

n

22

pzpz

pzpz

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γ

γ=

γ

γ+−=

γ−

+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+

1hh

h

pp)zz(pzpz

n

Hg

n

Hg

n

BABA

n

11

n

22

Tính ñöôïc: h=0.50 m

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γγ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+=⇒

1

pzpzh

n

Hg

n

11

n

22

7.56m10*17*10*81.9

1261QNH 33B ==γ

= −

6.30mg2V

g2VHpzpz

222

211

B1

12

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ α−

α+=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

+

Page 13: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 13

Ví duï 9: Nöôùc chaûy töø beå chöùa qua turbin. Hieäu suaát caû heä thoáng laø80%. Cho H=60m, V=4,24m/s.

1. Xaùc ñònh löu löôïng Q chaûy qua turbine2. Tính coâng suaát ñieän phaùt ra, boû qua maát naêng

T

2222

2

2111

1 Hg2Vpz

g2Vpz +

α+

γ+=

α+

γ+

W10*14.118.0*60*97.29*10*81.9%80*QHN 63TT ==γ=⇒

T

Hd=3m1 1

2 2

/sm 29.974

3**24.44DVVAQ 3

22

==

HH T =⇒

H=6m h=5.75m

d=0.08m

1 1

2

2

H=6m

Ví duï10: Xaùc ñònh löu löôïng Q vaø toån thaát naêng löôïng khi doøng chaûy rangoaøi khoâng khí. Boû qua co heïp

f

2222

2

2111

1 hg2Vpz

g2Vpz +

α+

γ+=

α+

γ+

0p;0p;0V 211 ===

f

222 h

g2VH +

α=⇒

Maët khaùc tia nöôùc baén ra vôùi ñoäng naêng ñaäp vaøo oáng nghieäm,

döøng laïi, vaäy toaøn boä ñoäng naêng naøy chuyeån hoaù thaønh aùp naêng ñaåy coätnöôùc trong oáng nghieäm leân moät ñoä cao h=5,75m.

Vaäy:

g2V 2

22α

10.62m/sgh2Vg2Vh 2

222 ==⇒

α=

/s0.0534m62.10*4

08.0*V4dAVQ 3

22

==⇒

Vaø: m25.075.56h f =−= nöôùùc

Page 14: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 14

Ví duï10b: Beân hoâng moät bình chöùa nöôùc coù hai loã thaùo nöôùc A vaø B nhö hình veõ. Loã A naèm döôùi maët thoaùng nöôùc moät ñoä saâu HA; loã B naèm döôùi maët thoaùng nöôùcmoät ñoä saâu HB. Tia nöôøc baén ra töø hai loã giao nhau taïi O. Giaû söû heä soá löu toác cuûahai loã laø nhö nhau vaø baèng CV. Tìm khoaûng caùch x töø O ñeán thaønh bình

BAV HHC2x =

A

B

Ox

HA

HB

Pa

yB

yA

Giaûi: phöông trình ñöôøng quyõ ñaïo cuûa tia nöôùc baén ngang ra khoûi loã vôùi vaän toác V cho döôùi daïng: x2=2V2y/g; vôùi goác toïa ñoä taïi loã, x höôùng ngang vaø y höôùng xuoáng, g laø gia toác troïng tröôøng. Suy ra:

BBAA

BB2VAA

2V2

B2

BA2

A2

yHyHg

ygHC4g

ygHC4x

gyV2

gyV2x

=⇒

==⇒

==

Maët khaùc ta coù: HA+yA=HB+yB

Giaûi ra ñöôïc: HA=yB ; HB=yA

Suy ra:

Ví duï10c: Beân hoâng moät bình chöùa nöôùc coù một loã thaùo nöôùc nhö hình veõ. Loã phảinaèm döôùi maët thoaùng nöôùc một độ h bằng bao nhiêu để tia nước bắn ra va rơi xuốngmột vị trí xa nhất tính từ bình?Cột nước trong bình là H, bỏ qua mất năng

Giaûi: Chọn x höôùng ngang vaø y höôùng xuoáng, goác toïa ñoä taïi loã, g laø gia toác troïng tröôøng. phöông trình ñöôøng quyõ ñaïo cuûa tia nöôùc baén ngang ra khoûi loã vôùi vaän toác V cho döôùi daïng: x2=2V2y/g. Gọi x0 , y0là tọa độ tia nước tại vị trí chạm mặt đất:

22 2 20 0

0 0 02 4 4 4 ( ) 4 4V y gh yx x hy h H h h Hh

g g= ⇒ = = = − = − +

Đặt Y=x02, khảo sát Y theo h ta thấy :

Vậy Y đạt giá trị max khi h=H/2 hay vị trí của lổ tháo nằm ở độ sâu H/2 thì nước sẽ bắn ra xa nhất

8 4 02

dY dY Hh H hdh dh

= − + → = ⇔ =

oh

Pa

y

H

xy0

x0

2V gh=

Page 15: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 15

∫∫∫∫∫∑ +∂∂

=A

nw

dAuρ)u(dwρ)u(t

Fngoaïilöïc

Daïng toång quaùt cuûa p.tr ÑL (chöùng minh töø chöông Ñoäng Hoïc):

VI. PHÖÔNG TRÌNH ÑOÄNG LÖÔÏNG

Ñoái vôùi doøng nguyeân toá chuyeån ñoäng oån ñònh (vaøo ôû dA1; ra ôû dA2):

ngoaïilöïc∑=− FdAuρudAuρu 1n1112n222

Ñoái vôùi toaøn doøng chaûy töø maët caét 1-1 ñeán 2-2, ta caàn chieáu phöông trìnhÑL treân leân moät phöông s baát kyø, roài sau ñoù laáy tích phaân treân töøng m/cA1, A2:

ngoailucsA

sA

s FdQudQu ∑∫∫ =−1

111222

2

ρρ

0=∂∂

WtX ∫∫∫∫∑ ==⇒

AAn dQρudAuρuF

ngoaïilöïcÑoái vôùi doøng oån ñònh:

s/s/ras101s202s )VαVα(Qρ)F( vaøoÑLÑL −=−=∑

Nhö vaäy ph.trình Ñoäng löôïng chieáu treân moät phöông s baát kyø ñoái vôùitoaøn doøng chaûy oån ñònh löu chaát khoâng neùn ñöôïc ñi vaøo m/c 1 ra m/c 2 vieát döôùi daïng sau:

Tröôøng hôïp doøng chaûy coù nhieàu m/c ra vaø nhieàu m/c vaøo:

s/vaøos/ras ÑLÑL)F( ∑∑∑ −=

Ta coù: S/VSS/tA

s LQVρLdQρu ÑÑ thaä =>=∫

QVÑLdQuÑL sVA

sthaät ρα=α=ρ= ∫ 00

α0 laø heä soá hieäu chænh ñoäng löôïng; α0taàng=4/3; α0roái =1,02-1,05

Ta ñöa vaøo heä soá α0 :

Page 16: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 16

VII. AÙP DUÏNG PHÖÔNG TRÌNH ÑOÄNG LÖÔÏNG

Phaân tích ngoaïi löïc, thoâng thöôøng goàm coù caùc löïc sau ñaây:

Troïng löïc G

Löïc ma saùt Fms giöõa chaát loûng vôùi thaønh raén.

Phaûn löïc N vuoâng goùc vaø töø thaønh raén taùc duïng vaøo khoái löu chaát.

AÙp löïc Fi töø caùc phía taùc duïng vaøo caùc m/c (maø doøng chaûy ra hoaëc vaøokhoái theå tích kieåm soaùt. (tính nhö aùp löïc thuyû tónh).

Hai löïc giöõa (Fms vaø N) thoâng thöôøng gom chung thaønh moät löïc R goïilaø phaûn löïc cuûa thaønh raén taùc duïng vaøo khoái löu chaát.

Löïc troïng tröôøng G thoâng thöôøng bò trieät tieâu khi chieáu leân phöôngnaèm ngang (vì G theo phöông thaúng ñöùng), hoaëc giaû thieát nhoû neânkhoâng tính tôùi (tröø tröôøng hôïp coù giaù trò lôùn ñaùng keå vaø khi chieáu p.trÑL leân phöông thaúng ñöùng)

s/vaøos/rasss ÑLÑL)VV(Q)F( −=α−αρ=∑ 101202

Lưu chất khối lượng rieâng ρ chảy trong trong ốngtroøn baùn kính ro coù phaân bố vận tốc như sau:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

max 1or

ruu

Trong đoù umax laø vận tốc cực ñại tại taâm ống. Chọn trục chuẩn trùng với trục ống vànếu áp suất tại tâm ống là áp suất khí trời

Tìm ñộng lượng và năng lượng ñi qua mặt cắt thẳng goùc với doøng chảy trong ñơnvị thôøi gian

ÑS: ĐN= ρumax

3 πro2/8

ĐL= ρumax2 πro

2/3

Ví duï (töï giaûi):

Page 17: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 17

Ví duï 11. Löïc F t/duïng leân voøi cöùu hoaû:

21101202 FFR)VV(Q x −+=α−αρ

AÙp duïng p. tr ÑL cho theå tích KS nhö hình veõ:

Choïn α0=1: 112x F)VV(QR −−ρ=⇒

F1=p1A1; F2=0; aùp duïng theâm p.tr naêng löôïng cho doøng chaûy töø 1-1 tôùi 2-2, ta coù:

( )1

21

22

1

21

221

22AVVF

gVVp −ρ

=⇒−

02

VVV)VV(A

A2

)VV()VV(VAR

121121

1

21

22

1211x

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−ρ=

−ρ−−ρ=⇒

Nhö vaäy löïc F cuûa löu chaát taùc duïng vaøo voøi höôùng tôùi vaø baèng R.

F1

1

1

2

2

F

x

F2=0

Ví duï 12. Löïc F cuûa doøng chaûy taùc duïng leân voøi uoáng cong 900:

x202 R)V(Q =αρ

Choïn α0=1: 0)V(QR 2x >ρ=⇒

Treân phöông x:

Treân phöông y:

1y101 FR)V(Q +=α−ρ

0F)V(QR 11y <−−ρ=⇒

Ta suy ra: Rx höôùng tôùi tröôùc, Ry höôùng xuoáng döôùi.Nhö vaäy löïc cuûa doøng chaûy taùc duïng leân voøi:

Fx höôùng ra sau ; Fy höôùng leân treân

V2

V1; p1=194 Kpa

x

y

1 1

2

2

D1=27cm

D1=13cmQ=0,25 m3/s

F1

F2=0Rx

Ry

Fy

Fx

F

Theá soá vaøo ta ñöôïc: Fx=4709 N; Fy=11109 N; F=12065N

Page 18: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 18

Ví duï 13. Löïc cuûa doøng chaûy taùc duïng leân ñaäp traøn:

AÙp duïng p. tr ÑL cho theå tích KS nhö hình veõ:

H

hc

L1

F

1

1

c

c

F1

F2

L2

)(FF)VV(QR cx ∗+−−ρ= 211

F1=p1A1=[γ(H+L2)/2]A1; F2=p2A2=[γ(hc)/2]A2

Boû qua maát naêng:

)hLH(gAA

AAQ

gAQ

hgA

QLH

gVpz

gVpz

cc

c

c

cc

cccc

−+−

=⇔

α+=

α++⇔

α+

γ+=

α+

γ+

1221

21

2

2

2

21

21

1

22111

1

2

22

22

Sau khi tính ñöôïc löu löôïng ta tính Vc =Q/Ac ; V1=Q/A1; Sau ñoù theá vaøo p.tr (*) ñeå tìm Rx; vaø F=-Rx.

Ví duï 14. . Löïc taùc duïng cuûa tia nöôùc ñaäp vaøo caùnh gaùo

u*A V

V

1

122

Fx

a.Khi giöõ xe ñöùng yeân,

Löïc taùc duïng leân xe Fx = -Rx

AV2)VV(VA

FF)VV(QR2

2112x

ρ−=−−ρ=

−−−−ρ=

F1vaø F2 ñeàu baèng 0 vì ñaây laø doøng tia, chung quanh ñeàu laø aùp suaát khí trôøi

b. Khi xe chuyeån ñoäng tôùi vôùi vaän toác u*,

Löïc taùc duïng Fx=-Rx vaøo xe seõ nhoû hôn vaø baèng:

A*)uV(*))uV(*)uV((A*)uV(Rx22 −ρ−=−−−−−ρ=

Nhö vaäy, coâng suaát haáp thuï bôûi gaàu baèng: ∗∗ −ρ== Au)uV(uFN *xgaàu

22

Coâng suaát cung öùng bôûi voøi nöôùc:2

VA2

VQN32

voi ρ=ρ=

Hieäu suaát caû heä thoáng(ñaët x=u*/V):

22

3

2144

22 )x(x

VuV

Vu

/AVAu)uV(

NN ****

voøi

gaàu −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

ρ−ρ

==η

Khaûo saùt haøm soá treân, ta thaáy η daït giaù trò cöïc ñaïi khi x=1(loaïi boû) vaø x=1/3.

Page 19: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 19

Ví duï 15 . OÁng Borda thaúng ñöùng:

Ac

H

A

0 0

11

+

Ab

11VVARG cy ρ=−

Xem nhö oáng Borda ñuû daøi ñeå ôû saùt ñaùy bình nöôùc yeân laëng.

Ta coù: G=ρgAbH; Ry=ρg(Ab-A)H;

gHV 21 =Suy ra:

cc AAgHAgAH 22 =⇒ρ=ρ

Ví duï 16 . Q=12 lít/s. Tìm V1; V2. Boû qua maát naêng, xaùc ñònh p1Xaùc ñònh Fx taùc duïng leân oáng

g2Vpz

g2Vpz

2222

2

2111

+=α

+

m/s 2.39)08.0(*4*10*12

D4.Q

AQV 2

3

211

1 =π

==−

m/s 6.12)05.0(*4*10*12

D4.Q

AQV 2

3

221

2 =π

==−

671.2747NApFm61.13g2V

g2Vzzp

111

211

222

121 ==⇒=

α−

α+−=

γ⇒

112x F)VV(QR −−ρ=

-626.584N

10*81.9*61.134

)08.0(*14.3)39.212.6(10*12*1000R 32

3x

=

−−= −

P1?

D1=8cm

D2=5cm

12m

V2Rx

N58.626Fx =⇒

Page 20: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 20

Ví duï 17 . V=30m/s. Tính löïc naèn ngang caàn giöõ cho xe ñöùng yeânNeáu ñeå xe chaïy tôùi vôùi u=5m/s, thì löïc taùc ñoäng vaøo xe laø bao nhieâu?Tìm hieäu suaát

300

D=50mmV

x

1

1

))30cos(V(QR 01x −ρ=

-1530.39N))30cos(30(*059.0*1000R 0x =−=

s/m059.0V4DVAQ 3

2

==

Vaäy löïc Fx ñeå giöõ xe ñöùng yeân laø 1530NKhi xe chuyeån ñoäng tôùi vôùi vaän toác u=5 m/s, thìph. Tr ÑL seõ vieát laïi nhö sau:

1235.8689N)5)30cos(*30(*059.0*1000

]u)30cos(V[QR0

01x

=−−=

−ρ−=

Coâng suaát tia nöôùc: 26507.19W2

VA2

VQN32

tia =ρ=ρ=

Coâng suaát xe: 6179.345W5*8689.1235uFN xxe ===

Hieäu suaát: 233.0NN

tia

xe ==η

Câu 19: Tia nước diện tích A bắn vào thùng nước đặt trên xe. Bên hông dưới đáy thùng có lỗ tháo nhỏ thành mỏng cũng diện tích A. Cột nước H trong thùng không đổi và bỏ qua mất năng. Cho A=100cm2; H=3m. Để xe không chuyển động, cần tác động vào xe một lực nằm ngang Fx bằng:

α

A

H

Hình câu 19

Ví duï 17b

bao nhiêu. Góc α=300

ĐS: 78,85 N

Page 21: Cơ lưu chất 04 dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay

DONG LUC HOC 21

Ví duï 18 . D=1,2m; d=0.85m, Q2=Q3=Q1/2; Q1=6 m3/s; p1=5MpaBoû qua maát naêng. Xaùc ñònh löïc naèm ngang taùc duïng leân chaïc ba

)45cos(FFFRVQ))45cos(VQVQ( 0321x11

03322 −−+=ρ−ρ+ρ

)45sin(FR)45sin(VQ 03y

033 +=ρ−

V1

F1

x

V2

F2

s/vaøos/ras ÑLÑL)F( ∑∑∑ −=

s/m287.5VV;s/m305.5AQV 23

1

11 ====

( )23

22

21

12

22

2112 pp5000097Pa

2VVpp

g2VVpp

=⇒=−ρ

+=⇔−

2837306N;ApFF 5654867N;ApF 2223111 =====

)45cos(FFFVQ))45cos(VQVQ(R 032111

03322x ++−ρ−ρ+ρ=⇒

)45sin(F)45sin(VQR 03

033y −ρ−=

Theá soá: Rx=-816,038KN; Ry=-2017,493 KN; R=2176,281 KN

450D

1

21

2

d

3

3

dV3F3

y

Rx

RyR

Chứng minh hệ số α, α0 >1:

1dAVuΔdA

VuΔ2dA

A1dA

VuΔuΔV2V(

A1

dAV

uΔV(A1dA

Vu

A1

VAVρ

uudAρ

DLDLα

A2

2

AAA2

22

A

3

A

2A

V0

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+±=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ +±=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

that

1dAVuΔdA

VuΔ3dA

VuΔ3dA

A1dA

VuΔuΔV3uΔV3V(

A1

dAV

uΔV(A1dA

Vu

A1

2VVAρ

udA2uρ

DNDNα

A3

3

A2

2

AAA3

3223

A

3

A

3

2A

2

V

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±+±=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ ±+±=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

that

0udAudAQQ

dA)uV(udAuVu

AA

AA

=Δ⇒Δ±=⇒

Δ±=⇒Δ±=

∫∫∫∫

∫∫∫∫Löu yù raèng: