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Una vez que hemos analizado la cinemática y dinámica para un objeto en particular, estudiemos ahora las consecuencias asociadas a dos objetos que colisionan entre ellos. Retomemos la formulación de la segunda ley de Newton. Si cambiamos el vector aceleración por la definición de que el vector aceleración es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo Colisiones Σ = Σ = Si consideramos que la masa del sistema se mantendrá constante, entonces: En este punto definiremos un nuevo vector el cual se obtiene del producto escalar de la masa y el vector velocidad. Este vector es denominado el vector cantidad de movimiento lineal o momento lineal. Esta ecuación se puede resolver mediante ecuaciones diferenciales, según: 1 Σ = Σ = Σ = Σ t t 0 = 0

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Una vez que hemos analizado la cinemática y dinámica para un objeto enparticular, estudiemos ahora las consecuencias asociadas a dos objetos quecolisionan entre ellos.

Retomemos la formulación de la segunda ley de Newton.

Si cambiamos el vector aceleración por la definición de que el vector aceleraciónes la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo

Colisiones

Σ�⃗� = 𝑚�⃗�

Σ�⃗� = 𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡

Si consideramos que la masa del sistema se mantendrá constante, entonces:

En este punto definiremos un nuevo vector el cual se obtiene del productoescalar de la masa y el vector velocidad. Este vector es denominado el vectorcantidad de movimiento lineal o momento lineal.

Esta ecuación se puede resolver mediante ecuaciones diferenciales, según:

1

Σ�⃗� = 𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡

Σ�⃗� =𝑑𝑚 𝑣

𝑑𝑡

Σ�⃗� =𝑑𝑝

𝑑𝑡

Σ�⃗�𝑑𝑡 = 𝑑�⃗� … ∫ Σ�⃗�𝑑𝑡t

t0= ∫ 𝑑�⃗�

𝑝

𝑝0

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Al resolver las integrales considerando que la suma de fuerzas es una constantepara el tiempo:

El cambio en el vector cantidad de movimiento lineal es conocido como impulso,tal que:

La ecuación anterior representa el teorema del impulso–momento lineal, el cual

Colisiones

∫ Σ�⃗�𝑑𝑡t

t0= ∫ 𝑑�⃗�

𝑝

𝑝0 … Σ�⃗� ∫ 𝑑𝑡

t

t0= ∫ 𝑑�⃗�

𝑝

𝑝0 … Σ�⃗�[t − t0] = �⃗� − �⃗�0

Σ�⃗�∆t = ∆�⃗�

J⃗ = Σ�⃗�∆t = ∆�⃗�

La ecuación anterior representa el teorema del impulso–momento lineal, el cualse expresa:

El impulso de la fuerza neta que actúa sobre una partícula durante un intervalo determinado del tiempo, es igual al cambio en el

momento lineal de la partícula en ese intervalo temporal.

La fuerza que aparece en la expresión del impulso es conocida como fuerzaimpulsiva y es aquella que ocasiona el cambio en la cantidad de movimientolineal cuando actúa en intervalo de tiempo.

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Ejercicio 1.

Una pelota de 100.0 g colisiona con rapidez de 10.0 m/s en una pared vertical.Si después de la colisión, que dura 4.0 ms, la pelota rebota y sale disparada conrapidez de 10.0 m/s, determina el vector impulso y el vector fuerza impulsivaque genera el cambio en el vector cantidad de movimiento lineal.

Antes de resolver el ejercicio, realicemos un esquema de la situación planteada.

Antes de la colisión

Colisiones

�⃗�0 �⃗� Después de la colisión

Como puedes observar en la representación, existe un cambio en la dirección delvector velocidad asociado con la pelota; por ello, será necesario recurrir a unespacio euclidiano para proceder con el análisis.

Si asumimos un espacio euclidiano unidimensional con el eje cartesiano xcreciente a la derecha, entonces, la velocidad inicial tendrá componente positivaen su coordenada cartesiana x mientras que la velocidad después de la colisiónserá negativa en su coordenada cartesiana x.

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la colisión la colisión

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Establecido el espacio euclidiano, podemos resolver el ejercicio.

Para determinar la magnitud del impulso, recurriremos al teorema de impulso–momento lineal.

Para calcular los vectores de cantidad de movimiento lineal, basta conmultiplicar al vector velocidad y la masa del objeto de estudio, en este caso , lamasa de la pelota.

Ahora restemos los vectores velocidad, antes y después de la colisión, respetandoel valor de las coordenadas cartesianas establecido por el espacio euclidiano

Colisiones

J⃗ = ∆�⃗� = �⃗� − �⃗�0

J⃗ = m�⃗� − 𝑚�⃗�0 = 𝑚(�⃗� − �⃗�0)

el valor de las coordenadas cartesianas establecido por el espacio euclidianoelegido.

La magnitud del vector impulso es 2.0 kgm/s con dirección de 180.0 grados.

Para calcular el vector fuerza impulsiva.

La magnitud del vector fuerza impulsiva es 500.0 N con dirección 180.0 grados.

4

�⃗�0 = 10.0 [𝑚 𝑠⁄ ]𝑖 ̂ �⃗� = −10.0 [𝑚 𝑠⁄ ]�̂�

J⃗ = 𝑚(�⃗� − �⃗�0) = (0.1)(−10.0𝑖̂ − 10.0𝑖̂) = −2.0 kgm/s 𝑖̂

J⃗ = �⃗�∆t … �⃗� =J⃗

∆t … �⃗� =

−2.0𝑖̂

4.0x10−3 = 500.0 N �̂�

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Analicemos la situación de dos cuerpos que colisionan ejerciendo una fuerza unosobre el otro, para lo cual requerimos recurrir a tercera ley de Newton.

Cambiando cada uno de los vectores fuerza por el producto de la masa del objetoy su respectivo vector aceleración, tenemos:

Retomando que el vector aceleración es la derivada del vector velocidad comofunción del tiempo:

Colisiones

𝑚2�⃗�2 = −𝑚1�⃗�1

𝑚2𝑑𝑣2

𝑑𝑡= −𝑚1

𝑑𝑣1

𝑑𝑡

�⃗�12 = −�⃗�21

Incluyendo el término de la masa en cada derivada para cambiarlo por el vectorcantidad de movimiento lineal y agrupando las derivadas de un solo lado de laigualdad, podemos escribir:

La única forma de satisfacer que la derivada con respecto al tiempo de la sumade las cantidades de movimiento lineal sea cero, es que esta suma sea unaconstante con respecto al tiempo; es decir, la suma de las cantidades demovimiento lineal antes y después de la colisión deben ser iguales. Estacondición es conocida como el principio de conservación de la cantidad demovimiento lineal, en la cual:

5

𝑚2𝑑𝑣2

𝑑𝑡= −𝑚1

𝑑𝑣1

𝑑𝑡

𝑑𝑚2𝑣2

𝑑𝑡

𝑑𝑚1𝑣1

𝑑𝑡 … 𝑑𝑝2

𝑑𝑡

𝑑𝑝1

𝑑𝑡 … 𝑑𝑝2

𝑑𝑡

𝑑𝑝1

𝑑𝑡 … 𝑑

𝑑𝑡 1 2

Σ�⃗�0 = Σ�⃗�

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Una consecuencia importante del principio de conservación de la cantidad demovimiento lineal es la descripción de los fenómenos de colisiones.

Las colisiones que pueden darse entre dos objetos pueden se clasificadas en dosgrandes rubros:

• Colisión elástica.En este tipo de colisiones se conserva la energía cinética, es decir, la sumade las energías cinéticas asociadas con los objetos antes y después de lacolisión, es la misma. Además, se conserva la cantidad de movimiento lineal.

Colisiones

Σ�⃗�0 = Σ�⃗� Σ𝐸𝑘0= Σ𝐸𝑘

• Colisión inelástica.En este tipo de colisiones únicamente se conserva la cantidad demovimiento lineal pues debido a la colisión se pueden tener pérdidas deenergía, por ejemplo, debido a la deformación de los cuerpos.

En este último tipo de colisiones se encuentran consideradas las colisiones enlas que los cuerpos se queden unidos después de colisionar, o bien, en lassituaciones en las que un solo cuerpo se fragmente en varios. Estás colisionesson denominadas inelásticamente perfectas o perfectamente inelásticas.

6

Σ�⃗�0 = Σ�⃗� Σ𝐸𝑘0= Σ𝐸𝑘

Σ�⃗�0 = Σ�⃗�

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Ejercicio 2.

Dos objetos con masa de 500.0 y 800.0 kg colisionan frontalmente con rapidezde 20.0 m/s y 10.0 m/s, respectivamente. Determina la rapidez en cada objeto sila colisión es elástica; es decir, si los objetos rebotan después de chocar.

Antes de resolver el ejercicio, realicemos un esquema de la situación planteada.

Antes de la colisión

Colisiones

�⃗�01 �⃗�1 Después de

la colisión

�⃗�2 �⃗�02

Para resolver el ejercicio, es requerido establecer un espacio euclidiano debido aque manipularemos al vector cantidad de movimiento lineal. En esta ocasión elespacio euclidiano debe ser unidimensional y será, en el eje cartesiano x,creciente a la derecha.

Con el espacio euclidiano que hemos elegido ahora podemos resolver el ejercicioplanteando el principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal parala componente cartesiana x.

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Σ�⃗�0 = Σ�⃗� … Σ𝑝𝑥0= Σ𝑝𝑥

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Desarrollando cada elemento de la ecuación tenemos:

Observa que la componente cartesiana x del vector velocidad para el segundoobjeto se colocó negativa debido a que el objeto se mueve a la izquierda.

Debido a que en la ecuación anterior tenemos dos incógnitas, requerimos de unasegunda ecuación que nos permita resolver el sistema de ecuaciones

Colisiones

Σ𝑝𝑥0= Σ𝑝𝑥 … 𝑝𝑥01

+ 𝑝𝑥02= 𝑝𝑥1

+ 𝑝𝑥2 … 𝑚1𝑣𝑥𝑜1

+ 𝑚2𝑣𝑥𝑜2= 𝑚1𝑣𝑥1

+ 𝑚2𝑣𝑥2

(500.0)(20.0) + (800.0)(−10.0) = 500.0𝑣𝑥1+ 800.0𝑣𝑥2

segunda ecuación que nos permita resolver el sistema de ecuacionessimultáneas. Con este fin, recurriremos a la conservación de la energía cinética.

Pese a que en la última ecuación aparecen las rapideces de los objetos despuésde la colisión, estos valores corresponden con las componentes cartesianas x delvector velocidad de cada objeto después de la colisión expresadas en la ecuaciónde la conservación de la cantidad de movimiento lineal, por lo que ahora tenemosdos ecuaciones con las mismas incógnitas. 8

Σ𝐸𝑘0= Σ𝐸𝑘 … 𝐸𝑘01

+ 𝐸𝑘02= 𝐸𝑘1

+ 𝐸𝑘2 … 𝑚1

𝑣𝑜1

2

2+ 𝑚2

𝑣𝑜2

2

2= 𝑚1

|𝑣1|2

2+ 𝑚2

|𝑣2|2

2

(500.0)(20.0)2

2+ (800.0)

(10.0)2

2= 500.0

|𝑣1|2

2+ 800.0

|𝑣2|2

2

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Para resolver el sistema de ecuaciones, despejaremos de la ecuación provenientedel principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal la componentecartesiana x del vector velocidad para el objeto 1.

Antes de sustituir esta ecuación en aquella que proviene de la conservación de laenergía cinética, reduzcamos un poco la ecuación.

Colisiones

(500.0)(20.0) + (800.0)(−10.0) = 500.0𝑣𝑥1+ 800.0𝑣𝑥2

2000.0 = 500.0𝑣𝑥1+ 800.0𝑣𝑥2

2000.0−800.0𝑣𝑥 2

500.0= 𝑣𝑥1

… 𝑣𝑥1= 4.0 − 1.6𝑣𝑥2

energía cinética, reduzcamos un poco la ecuación.

Ahora podemos sustituir.

9

(500.0)(20.0)2

2+ (800.0)

(10.0)2

2= 500.0

(𝑣𝑥1 )2

2+ 800.0

(𝑣𝑥2 )2

2

140000.0 = 250.0(𝑣𝑥1)2 + 400.0(𝑣𝑥2

)2

560.0 = (𝑣𝑥1)2 + 1.6(𝑣𝑥2

)2

560.0 = (𝑣𝑥1)2 + 1.6(𝑣𝑥2

)2

560.0 = (4.0 − 1.6𝑣𝑥2)2 + 1.6(𝑣𝑥2

)2

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Desarrollando el binomio y acomodando los términos:

Al resolver la ecuación cuadrática obtenemos dos soluciones que son:

Observa que la primera solución corresponde con la componente cartesiana x delvector velocidad para el objeto dos justo antes de la colisión, por lo que nos

Colisiones

560.0 = (4.0 − 1.6𝑣𝑥2)2 + 1.6(𝑣𝑥2

)2

560.0 = 16.0 − 12.8𝑣𝑥2+ 2.56(𝑣𝑥2

)2 + 1.6(𝑣𝑥2)2

0 = −544.0 − 12.8𝑣𝑥2+ 4.16(𝑣𝑥2

)2

𝑣𝑥2= −10.0 m/s 𝑣𝑥2

= 13.1 m/s

vector velocidad para el objeto dos justo antes de la colisión, por lo que nosquedaremos con la segunda solución como la respuesta adecuada. Además, estasegunda solución tiene sentido físico debido a que el objeto dos, antes de lacolisión, se mueve a la izquierda (velocidad negativa) pero después de colisionar(rebotar) se moverá hacia la derecha (velocidad positiva).

Sustituyendo el valor de la velocidad del objeto dos en la ecuación del principiode conservación de la cantidad de movimiento, tendremos:

Por lo que podemos concluir que después de la colisión el objeto uno se muevecon rapidez de 17.0 m/s hacia la izquierda mientras que el objeto dos se muevecon rapidez de 13.1 m/s hacia la derecha.

10

𝑣𝑥1= 4.0 − 1.6𝑣𝑥2

… 𝑣𝑥1= 4.0 − 1.6(13.1) … 𝑣𝑥1

= −17.0 m/s

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Ejercicio 3.

Una bola con rapidez horizontal de 10.0 m/s colisiona de forma elástica con unasegunda bola, de igual masa que la primera, que está en reposo. Si después de lacolisión la primera bola se desvía 50.0 grados por arriba de la horizontal y lasegunda sale dispara a 30.0 grados por debajo de la horizontal, determina larapidez de cada bola después de la colisión.

Antes de resolver el ejercicio, realicemos un esquema de la situación planteada.

Antes de

Colisiones

�⃗�01

�⃗�1

Después de 50.0 grados

Para resolver el ejercicio, es requerido establecer un espacio euclidiano debido aque manipularemos al vector cantidad de movimiento lineal. En esta ocasión elespacio euclidiano deberá ser bidimensional y será, en el eje cartesiano x,creciente a la derecha y, en el eje cartesiano y, creciente hacia arriba.

Con el espacio euclidiano que hemos elegido ahora podemos plantear el principiode conservación de la cantidad de movimiento lineal para cada una de lascomponentes cartesianas.

11

Antes de la colisión

�⃗�01 Después de

la colisión�⃗�2

50.0 grados

30.0 grados

Σ�⃗�0 = Σ�⃗�

Σ𝑝𝑥0= Σ𝑝𝑥 Σ𝑝𝑦0

= Σ𝑝𝑦

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Analicemos lo que sucede antes y después de la colisión.

• Antes de la colisión.La primera bola se está moviendo horizontalmente por lo que sólo tendrácomponente en el eje cartesiano x.La segunda bola está estática por lo que su vector cantidad de movimientoinicial es cero.

• Después de la colisión.La primera bola se desvía 50.0 grados sobre la horizontal por lo que el vectorcantidad de movimiento lineal tendrá componente positiva tanto en el eje

Colisiones

cantidad de movimiento lineal tendrá componente positiva tanto en el ejecartesiano x como en el eje cartesiano y.La segunda bola se desvía 30.0 grados por debajo de la horizontal por lo queel vector cantidad de movimiento lineal tendrá componente positiva en el ejecartesiano x y negativa en el eje cartesiano y.

Lo anterior se expresa:

12

Σ𝑝𝑥0= Σ𝑝𝑥 … 𝑚(10.0) = 𝑚|�⃗�1|𝑐𝑜𝑠50.0 + 𝑚|�⃗�2|𝑐𝑜𝑠30.0

Σ𝑝𝑦0= Σ𝑝𝑦 … 0 = 𝑚|�⃗�1|𝑠𝑒𝑛50.0 − 𝑚|�⃗�2|𝑠𝑒𝑛30.0

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Considerando que la masa de las bolas es la misma, podemos eliminarla pararesolver el sistema de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas. Observa queen esta ocasión no fue necesario plantear la conservación de la energía cinética.

De la segunda ecuación despejaremos la rapidez de la bola 1 para sustituirla enla primera ecuación y así determinar la rapidez de la bola 2.

Colisiones

10.0 = |�⃗�1|𝑐𝑜𝑠50.0 + |�⃗�2|𝑐𝑜𝑠30.0

0 = |�⃗�1|𝑠𝑒𝑛50.0 − |�⃗�2|𝑠𝑒𝑛30.0

|�⃗�1| = |�⃗�2|𝑠𝑒𝑛 30.0

𝑠𝑒𝑛 50.0

10.0 = |�⃗� |𝑠𝑒𝑛 30.0

𝑐𝑜𝑠50.0 + |�⃗� |𝑐𝑜𝑠30.0 10.0 =𝑠𝑒𝑛 30.0

𝑐𝑜𝑠50.0 + 𝑐𝑜𝑠30.0 |�⃗� |

Por lo que podemos concluir que, después de la colisión, la rapidez de la bolauno es 5.08 m/s y la rapidez de la bola dos es 7.78 m/s.

13

|�⃗�1| = |�⃗�2|𝑠𝑒𝑛 30.0

𝑠𝑒𝑛 50.0

10.0 = |�⃗�2|𝑠𝑒𝑛 30.0

𝑠𝑒𝑛 50.0𝑐𝑜𝑠50.0 + |�⃗�2|𝑐𝑜𝑠30.0 … 10.0 =

𝑠𝑒𝑛 30.0

𝑠𝑒𝑛 50.0𝑐𝑜𝑠50.0 + 𝑐𝑜𝑠30.0 |�⃗�2|

10.0 = 1.2856|�⃗�2| … |�⃗�2| = 7.78 m/s

|�⃗�1| = |�⃗�2|𝑠𝑒𝑛 30.0

𝑠𝑒𝑛 50.0 … |�⃗�1| = (7.78)

𝑠𝑒𝑛 30.0

𝑠𝑒𝑛 50.0= 5.08 m/s

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Ejercicio 4.

Dos objetos con masa de 500.0 y 800.0 kg colisionan frontalmente con rapidezde 20.0 m/s y 10.0 m/s, respectivamente. Determina la rapidez en cada objeto sila colisión es inelásticamente perfecta; es decir, si después de la colisión losobjetos se quedan unidos.

Antes de resolver el ejercicio, realicemos un esquema de la situación planteada.

Antes de la colisión

Colisiones

�⃗�01 �⃗�

Después de la colisión

�⃗�02

Para resolver el ejercicio, es requerido establecer un espacio euclidiano debido aque manipularemos al vector cantidad de movimiento lineal. En esta ocasión elespacio euclidiano debe ser unidimensional y será, en el eje cartesiano x,creciente a la derecha.

Con el espacio euclidiano que hemos elegido ahora podemos resolver el ejercicioplanteando el principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal parala componente cartesiana x.

14

Σ�⃗�0 = Σ�⃗� … Σ𝑝𝑥0= Σ𝑝𝑥

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Como la colisión es inelásticamente perfecta, después de la colisión los objetos sequedan unidos, por lo tanto, sólo habrá un término asociado con el vectorcantidad de movimiento lineal.

Observa que la componente cartesiana x del vector velocidad para el segundoobjeto se colocó negativa debido a que el objeto se mueve a la izquierda.

Colisiones

Σ𝑝𝑥0= Σ𝑝𝑥 … 𝑝𝑥01

+ 𝑝𝑥02= 𝑝𝑥 … 𝑚1𝑣𝑥𝑜1

+ 𝑚2𝑣𝑥𝑜2= (𝑚1 + 𝑚2)𝑣𝑥

(500.0)(20.0) + (800.0)(−10.0) = 1300.0𝑣𝑥

De la ecuación planteada podemos despejar el término vx para conocer lavelocidad del vector cantidad de movimiento lineal asociado a la situación de quelos objetos se quedan unidos después de colisionar.

Del resultado anterior podemos concluir que después de que los dos objetoscolisionan se moverán juntos hacia la derecha. Lo anterior es posible concluirlodebido a que la velocidad nos dio positiva y, según nuestro espacio euclidiano,las coordenadas cartesianas positivas están hacia la derecha.

15

(500.0)(20.0) + (800.0)(−10.0) = 1300.0𝑣𝑥 … 2000.0 = 1300.0𝑣𝑥 … 𝑣𝑥 = 1.53 m/s

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Ejercicio 5.

Un objeto de 10.0 kg viaja horizontalmente con rapidez de 50.0 m/s. En uninstante del tiempo el objeto explota en tres fragmentos. El fragmento uno, demasa 2.5 kg, tiene rapidez de 6.0 m/s y dirección de 30.0 grados por arriba de lahorizontal. El fragmento dos, de masa 4.5 kg, tiene rapidez de 75.0 m/s ydirección de 45.0 grados por debajo de la horizontal. Determina la rapidez deltercer segmento.

Antes de resolver el ejercicio, realicemos un esquema de la situación planteadacon la información brindada.

Colisiones

con la información brindada.

Para resolver el ejercicio, es requerido establecer un espacio euclidiano debido aque manipularemos al vector cantidad de movimiento lineal. En esta ocasión elespacio euclidiano deberá ser bidimensional y será, en el eje cartesiano x,creciente a la derecha y, en el eje cartesiano y, creciente hacia arriba.

Como la masa debe conservarse, podemos inferir que la masa del fragmento tresserá 3.0 kg.

16

Antes de la explosión

�⃗�0

�⃗�1

�⃗�2

30.0 grados

45.0 grados

Después de la explosión

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Con el espacio euclidiano que hemos elegido y con la determinación de la masadel fragmento tres, ahora podemos resolver el ejercicio planteando el principio deconservación de la cantidad de movimiento lineal en cada componentecartesiana.

Sustituyendo los valores de masa para los tres fragmentos así como el valor de larapidez para el fragmento uno y dos, podremos obtener las componentes

Colisiones

Σ�⃗�0 = Σ�⃗� … �⃗�0 = �⃗�1 + �⃗�2 + �⃗�3 … 𝑚0�⃗�0 = 𝑚1�⃗�1 + 𝑚2�⃗�2 + 𝑚3�⃗�3

Σ𝑝𝑥0= Σ𝑝𝑥 … 𝑚0𝑣0𝑥

= 𝑚1|�⃗�1|𝑐𝑜𝑠30.0 + 𝑚2|�⃗�2|𝑐𝑜𝑠45.0 + 𝑚3𝑣3𝑥

Σ𝑝𝑦0= Σ𝑝𝑦 … 0 = 𝑚1|�⃗�1|𝑠𝑒𝑛30.0 − 𝑚2|�⃗�2|𝑠𝑒𝑛45.0 + 𝑚3𝑣3𝑦

rapidez para el fragmento uno y dos, podremos obtener las componentescartesianas del vector velocidad del fragmento tres.

Podemos concluir que la rapidez del tercer segmento será 113.1 m/s.17

Σ𝑝𝑥0= Σ𝑝𝑥 … 𝑚0𝑣0𝑥

= 𝑚1|�⃗�1|𝑐𝑜𝑠30.0 + 𝑚2|�⃗�2|𝑐𝑜𝑠45.0 + 𝑚3𝑣3𝑥

(10.0)(50.0) = (2.5)(6.0)𝑐𝑜𝑠30.0 + (4.5)(75.0)𝑐𝑜𝑠45.0 + (3.0)𝑣3𝑥

500.0 = 251.64 + 3.0𝑣3𝑥 … 𝑣3𝑥 = 82.79 m/s

Σ𝑝𝑦0= Σ𝑝𝑦 … 0 = 𝑚1|�⃗�1|𝑠𝑒𝑛30.0 − 𝑚2|�⃗�2|𝑠𝑒𝑛45.0 + 𝑚3𝑣3𝑦

0 = (2.5)(6.0)𝑠𝑒𝑛30.0 − (4.5)(75.0)𝑠𝑒𝑛45.0 + (3.0)𝑣3𝑦

0 = (2.5)(6.0)𝑠𝑒𝑛30.0 − (4.5)(75.0)𝑠𝑒𝑛45.0 + (3.0)𝑣3𝑦 … 𝑣3𝑦 = 77.05 m/s

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Existe otra consecuencia asociada a la cantidad de movimiento cuando seanaliza la cinemática circular.

Consideremos que un objeto de masa m describe una trayectoria circular deradio R. Sabemos que el vector velocidad es tangencial a la trayectoria así quepodemos asociar un vector cantidad de movimiento lineal .

No obstante, el vector cantidad de movimiento lineal estaría cambiando paracada instante del tiempo debido a la dirección del vector velocidad. Con laintención de analizar un vector momento que sea constante independientementede la trayectoria circular, asociaremos un vector denominado brazo de momento

Colisiones

𝑝 = m�⃗�

de la trayectoria circular, asociaremos un vector denominado brazo de momentoo brazo de torsión que está situado sobre el radio de la trayectoria circular. Estevector inicia en el centro del círculo y apunta hacia el objeto que describe latrayectoria circular.

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�⃗�

𝑟

Si suponemos un movimiento antihorario para la trayectoriacircular y definimos al vector momento angular, , como elproducto cruz entre el vector brazo de momento y el vectorcantidad de movimiento lineal, tenemos:

�⃗�

𝐿 = 𝑟 × �⃗� = 𝑟 × 𝑚�⃗�

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En este punto es importante recordar un poco los conceptos referentes aproducto cruz que analizamos al inicio del semestre.

Recuerda que el vector que resulta del producto cruz entre dos vectores esperpendicular a los dos vectores multiplicados. La dirección del vector resultantepuede deducirse mediante el uso de la “mano derecha”.

Para determinar la dirección del vector resultante, que en nuestro caso es elvector momento angular, debes seguir las siguientes indicaciones:

• El dedo pulgar debe apuntar en la dirección del primer vector a multiplicar. En

Colisiones

• El dedo pulgar debe apuntar en la dirección del primer vector a multiplicar. Eneste caso es el vector brazo de momento.• El dedo índice debe apuntar en dirección del segundo vector a multiplicar. Eneste caso es el vector cantidad de movimiento lineal.• El dedo medio apuntará en la dirección del vector resultante. En este caso es elvector momento angular.

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�⃗�

𝑟 Si aplicamos las indicaciones anteriores a nuestra trayectoriacircular obtendremos que el vector momento angular apuntaperpendicularmente al plano del círculo (“saliendo” de lapantalla) y sin importar qué punto sea analizado el vectorsiempre apuntará en la misma dirección.

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Si retomamos la definición del vector momento angular y lo derivamos conrespecto al tiempo, tendremos:

El primer elemento, derivada del vector brazo de momento con respecto altiempo, da el vector velocidad mientras que el segundo elemento, derivada delvector cantidad de movimiento lineal como función del tiempo, brinda la fuerza.

El producto cruz del vector velocidad y el vector cantidad de movimiento lineal es

Colisiones

𝐿 = 𝑟 × 𝑚�⃗� … 𝑑𝐿

𝑑𝑡=

𝑑[𝑟×𝑚 𝑣]

𝑑𝑡 … 𝑑𝐿

𝑑𝑡=

𝑑𝑟

𝑑𝑡× 𝑚�⃗� + 𝑟 ×

𝑑𝑚 𝑣

𝑑𝑡

𝑑𝐿

𝑑𝑡= �⃗� × 𝑚�⃗� + 𝑟 × �⃗�

El producto cruz del vector velocidad y el vector cantidad de movimiento lineal escero porque ambos vectores están haciendo un ángulo de cero grados.

El producto cruz entre el vector brazo de momento y el vector fuerza definen a latorca, la cual está relacionada con el movimiento circular del objeto.

Debes tener cuidado con las unidades asociadas con la torca. Si realizamos unanálisis dimensional, la fuerza se mide en newton [N] mientras que el brazo demomento se mide en [m], así que la torca se medirá en [Nm]. Esta unidad nopuede cambiarse por un joule porque el joule es una unidad asociada con unacaracterística escalar, como la energía o el trabajo, pero la torca es un vector.

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𝑑𝐿

𝑑𝑡= 𝜏 = 𝑟 × �⃗�

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Ejercicios para resolver.

1) Una bola de 0.1 kg se libera del reposo desde una altura de 1.2 m. La bola viajaverticalmente hacia abajo, choca con el piso y comienza su viaje verticalmentehacia arriba llegando a una altura máxima de 1.5 m. Determina el impulsoasociado a la colisión de la bola con el piso.

2) Dos átomos de hidrógeno (la masa del átomo de hidrógeno es 1.6x10–27 kg),tienen energías cinéticas diferentes, uno de 8.0x10–13 J y el otro de 4.0x10–13 J.Si los dos átomos colisionan de forma frontal para formar la molécula dehidrógeno, H2, determina cuánta energía cinética tiene la molécula H2.

3) Un objeto de 12.0 gramos se mueve con rapidez de 10.0 m/s en dirección al sur.Un segundo objeto de 6.0 gramos se mueve con rapidez de 8.0 m/s en direcciónal este. Si los dos objetos colisionan y se quedan unidos, determina la rapidezjusto después de la colisión.

4) Un camión de 1000.0 kg se mueve en línea recta con una rapidez de 80.0 km/h.Si el camión colisiona frontalmente con un automóvil de masa 500.0 kg,determina que rapidez debe tener el automóvil para que justo después decolisionar los dos vehículos se queden estáticos.

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