Clasa a VIII-a Matematică Răspunsuri...b) Desfăşurarea cilindrului A este un dreptunghi de...

© 2014

Săptămâna 1

Partea INr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) {−5; 0} − 41

1000,27 pătrat, con-

gruente disc

b) − − −

53

40 1 41 0 3

5

2; ; ; , ; , ( );

125

990,0005 paralelipiped,

congruente con

c) 2; π{ } 283

901,5(3) poligonală centru

Partea a II-a1. a)

−4 −2,5 0xx x x

− 12 2

1,50,625

5

8 6

b) i) F; ii) A; iii) F; iv) A; v) A.

2. a) Corpul A este cilindru circular drept, corpul B este con circular drept, iar C este sferă.

Or

a

R

a

h G h

ar

RA B C

b) Desfăşurarea cilindrului A este un dreptunghi de dimensiuni h şi 2�R. Desfăşurarea conului B este un sector de disc de rază G şi lungimea arcu- lui 2�R. Sfera nu se poate desfăşura pe un plan.

2πR

h

G

G

2πR

3. a) Sunt două situaţii:

6π10π

6π10π

i)

ii)

C

A

B

i) generatoarea este 6�, iar lungimea cercului bazei este 10� (de unde R = 5). ii) generatoarea este 10�, iar lungimea cercului bazei este 6� (deducem R = 3). b) Se obţine un con cu vârful în C, axa BC şi R = d(A, BC) din care lipseşte un con cu vârful

în B, axa BC, generatoarea AB şi R = d(A, BC). c) Corpul de rotaţie obţinut este alcătuit dintr-un cilindru circular drept, având ca generatoare baza

mică şi ca rază înălţimea trapezului, şi două conuri congruente, având ca generatoare laturile nepa-ralele ale trapezului şi ca raze înălţimea trapezului.

d) Lcerc = 2πR = 2π · 3 = 6π cm; Lcerc = Larc;

35

n Larc = n G n

n nπ π π π

π1806

5

180

6 180

5216

°⇔ = ⋅

°⇔ = ⋅ ° ⇔ = ° .

Săptămâna 2


Rez

ulta

te

a) 10 F [−5; 1) D ∈ α un plan

b) 5

6A −( )3 3; concurentă în punctul A inclusă

c) 15 F [2; ∞) AB punctPartea a II-a1. a) A = {0; 2; 4; 6}. b) B = {–2; –1; 0; 1; 2; 3; 4}.2. a) −( ]3 2; ; b) − −( )6 4; ;

c) −[ ]1 0; . –1 0 4 6[ ]( )

Clasa a VIII-a ♦ Matematică ♦ Răspunsuri

© 2014

3. a) B Î (ACD), B′ Ï (ACD). b) AB Ì (ACD), deci o infinitate de puncte comune; BB′ Ç (ACD) = {B}, deci un punct comun; A′B′ şi (ACD) nu au niciun punct comun. c) (ACD) Ç (ABB′) = AB. d) BD Ì (DD′B′), deci mijlocul lui [BD] aparţine planului (DD′B′).

Săptămâna 3


Rez

ulta

te

a) −1 raţional F nu-i apotema

b) 2 5 iraţional A un plan tetraedru regulat

c) 10 3 raţional F drepte regulat, congruente

Partea a II-a1. a) Se disting cazurile:

I: n par a = − − − = + −1

3

1

5

1

7

1

3

1

5

1

7

b = − + −1

7

1

5

1

3

II: n impar a = − − − − = − − +1

3

1

5

1

7

1

3

1

5

1

7

b = + − + = − +1

7

1

5

1

3

1

7

1

5

1

3.

b)

a b

n

n

− =−

2

32

3

,

,.

pentru par

pentru impar

2. a) 1

4

9

27

3

2 3

1

2

9

27

3

2 3

1

2

1

3

3

2 3

1

2

1

21+

− −( )⋅ = + ⋅ = + ⋅ = + = .

b) 2

2

3

35 2 4 3 2 3 5 2 4 3 4 2 3 3

2 2( )+( )

− − = + − − = − − .

c) 13

51

4

51

9

251

16

25

16

25

9

25

4

5

3

5

4

5

5

3

2 2

−

−

= − − = =

= = ⋅

: : :

: == 4

3.

3. a) Dreptele paralele AD şi BC determină planul ABC;

AB ABC

E AB E

ABC CD

E CD

⊂ ( )∈ ∈

( )∩ =

⇒ ∈, α

α

, deci punctele C, D, E nu pot fi vârfurile unui triunghi.

b) Fie E punctul de intersecţie a dreptei

x x x

A

B

C DE

d

α

c AB cu planul α. Dreptele paralele c, d determină planul (c, d).

A c

B dA B c d AB c d

∈∈

⇒ ∈( )⇒ ⊂ ( ), , , .

Planul (c, d) intersectează planul α după dreapta CD.

Cum

deci punctele

AB E

CD c dE CD C

∩ ={ }= ( )∩

⇒ ∈

α

α,, , DD E, sunt coliniare.

Răspunsul este: punctele C, D, E nu sunt necoliniare. c) În triunghiul echilateral ABC:

13

10

A

B

CM

V

Ox

AM

l= = =3

2

10 3

25 3 cm

OM AM= ⋅ = ⋅ =1

3

1

35 3

5 3

3 cm este apotema bazei.

În triunghiul VBM, dreptunghic în M, aplicăm teorema lui Pitagora:

VM VB MB

VM

2 2 2 169 25 144

12

= − = − =⇒ = cm este apotema piramidei.

© 2014

d) Planul (SMB) intersectează

O x

A

B CT

N

A

B

CT

N

M

xS

O

planul cercului după dreapta BO, deci punctul T este diame-tral opus lui B. Planul (ASM) intersectează planul cercului după dreapta AO, deci N

este diametral opus lui A.

m m

mm

m m

AB AC

BATCT

NT AB

( ) = ( ) =( ) =

⇒ ( ) =

( ) = ( )

°

°°

60

18060

== °60

Săptămâna 4


Rez

ulta

te

a) 2 3

3

3 2

7

+ 2a + 2b necoplanare paralele

b) 14

25 2 3− −16x4y3 paralelă;

numai una necoplanare

c) − 3 − −( )3 7 3 6

52a x paralele concurente

Partea a II-a1. a) 2 3 2 4 7 2 5

1 4 5 1

2 3 2 3+ − + − − − − + − + + −( ) == + − = −

x x x x x x x x x

x x x.

b) x x x x x x x x

x x x x x x

3 2 2 3 10 2

3 12 12 3

2 2 2

3 2 2 3

− + − − − + ⋅ =

= − − + = − − .

2. a) 3 2 3 2

9 2

3 2 3 2

9 2

3 2 3 2

7

3 2 3 2

70

+( ) −( )−

−−( ) +( )

−=

=+( ) −( )

−+( ) −( )

= .

3 2 3 2

9 2

3 2 3 2

9 2

3 2 3 2

7

3 2 3 2

70

+( ) −( )−

−−( ) +( )

−=

=+( ) −( )

−+( ) −( )

= .

b) 7 4 2

7

4 2

14 2

2 2 2

2

2 22 2

a a b a b

a

a b a ba b a b

− −( )−

= − −−

= − + .

c) 6 2 3 5 6 2 3 5 2 2a b c a b c+ + − − − + = .3. a) MN linie mijlocie în ∆ACD MN êê CD PQ linie mijlocie în ∆BCD PQ êê CD } MN êê PQ,

deci dreptele MN şi PQ sunt coplanare.

b) MNCD

PQCD

MN PQ=

=

⇒ =2

2

, deci MNPQ este paralelogram.

Răspunsul este: nu. c) MP linie mijlocie în triunghiul CAB MPBA este trapez. d) NP şi AB sunt necoplanare.

Săptămâna 5


Rez

ulta

te

a) 4x2 − 9 9 −6x2 + x4 27x3 − 1congruente ... comple-

mentare50

b) 81y2 + 18xy + x2 x3 + 3x2 + 3x + 1 6x punct,

paralele 40

c) 9 + 4x2 + a2 + 12x + 6a + 4ax

8x3 − 12x2y + 6xy2 − y3 8 perpen-

diculare 90

Partea a II-a1. a) Din a + b – c = 0 c = a + b. Membrul drept al relaţiei cerute este: c a b a b a b a ab b a b ab2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2− − = +( ) − − = + + − − = . Deci relaţia este adevărată.

© 2014

b) 3 2 1 2 2 3 3 12

2 3

3 2 3 1 2 2 3 4 2 3 4 2

2 1 2 2 3

2

+ −( ) = −( ) ⇔ +( ) =−

⇔

⇔ + + = +( )⇔ + = +

− + )

33 (A).

2. a) 5 2

2

2 2

2 2

2 5

5 2

2 5

5 2 5 2

2 2 2 5 5

5 2

2 2 10

++−

=+( )

−( ) +( ) =

=( ) + ⋅ + ( )

( ) − ( )= +

)

++−

= +5

5 2

7 2 10

3.

b) Fie 2n + 1, n Î , 2m + 1, m Î două numere întregi impare.

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 2 1 4

2 2n m n m n m

n m n m n

+( ) − +( ) = + − −( ) + + +( ) == +( ) ⋅ + +( ) = ++( ) + +( )m n m 1 .

Cum produsul a două numere întregi consecutive este divizibil cu 2 avem:

n m n m

n m n m+( ) + +( )

⇒ +( ) + +( )1 2

4 24 1 8

.

c) Fie x – 1, x, x + 1, unde x Î , trei numere întregi consecutive.

S x x x x x x x x x x

x x x x

= −( ) + + +( ) = − + − + + + + + =

= + =

1 1 3 3 1 3 3 1

3 6 3

3 3 3 3 2 3 3 2

3 2 ++( )2 .

Distingem trei situaţii:

I x k k S k k

II x k k

. , . .

. , .

Atunci

= ∈ = ⋅ ( ) +

=

= + ∈

3 3 3 3 2

3 1

2

M9

AAtunci

S k k k

k k k

= +( ) + + +( ) == +( ) + +

3 3 1 9 6 1 2

3 3 1 9 6

2

2 33 9 3 1 3 2 1

3 2 3 3 2

2( ) = +( ) + +( ) == + ∈ = +( )

k k k

III x k k S k

M .9

. , . Atunci 99 12 4 2

9 3 2 3 4 2

2

2

k k

k k k

+ + +( ) == +( ) + +( ) = M .9

Prin urmare, suma cuburilor a trei numere întregi consecutive este multiplu de 9.

3. a) ED AB

ABMMB ED

mm

( ) =

⇒ ( ) =°

°

6767, .

A

B C

D

EF

O b) FC AB

ABMMB FC

mm

( ) =

⇒ ( ) =°

°

6767, .

c) FE BC

MB BCFE BM

mm sau 77

,, .

( ) =

⇒ ( ) =°

° °

103103

d) AO BC

MB BCAO BM

mm sau 77

,, .

( ) =

⇒ ( ) =°

° °

103103

Săptămâna 6


Rez

ulta

te

a) (x + 3)2 (x + 3)(x + 4) (x – 2)(x + 2)(x2 + 4)

|| ||

b) (2x – 5)(2x + 5) (x – 7)(x + 2) x(x + 2)2 || ^

c) (x + 1)(3x2 + 7) (2x + 3)(x + 3) 3(x – 7)(x – 1) ^ ||

Partea a II-a

1. a) x +

3

2

2; b) (y – x – 2)(y + x +2);

c) Notăm x2 + 4x = a şi obţinem (a + 1)(a + 5) + 3 = (a + 2)(a + 4). După înlocuire obţinem (x2 + 4x + 2)(x + 2)2.2. a) x2 + y2 + 2xy = 36 (x + y)2 = 36, x, y > 0 x + y = 6; b) x2 + y2 – 2xy = 16 (x – y)2 = 16, x > y x – y = 4.3. a) AC ^ BN, AC ^ BD AC ^ (DNB); BC ^ AM, BC ^ AD BC ^ (DAM); b) AC ^ (DNB) AC ^ DE; BC ^ (DAM) BC ^ DE ⇒ DE ^ (ABC); c) E – ortocentrul triunghiului ABC AB ^ CE, dar AB ^ DE AB ^ (DEC) AB ^ DC.

© 2014

Săptămâna 7


Rez

ulta

te

a)este perpendiculară pe orice dreaptă din

planul α2

4

5x −17

6 1x +( ) AA′ ^ BC

b) formează între ele un unghi drept

x

x

+−

2

2

x

x

+−

3

5 BC ^ DC′

c) coincid7

3x

x

+−

4

32 A′C′ ^ BD

Partea a II-a

1. a) x Î \ {±1; –3; –4}. b) E xx x x x

( ) =−( ) +( )

=−

−+

2

1 1

1

1

1

1.

c) Suma devine 1

1

1

3

1

3

1

5

1

5

1

99

1

101

100

101− + − + + + − =... .

2. Fie M – simetricul lui B′ faţă de C′, demonstrăm că CM êê BC′;

Calculăm A′C = a 3 ; CM = a 2 ; A′M = a 5 . Rezultă conform reciprocei teoremei lui Pitagora că ∆A′CM este dreptunghic A′C ^ CM A′C ^ BC′. La fel pentru N – simetricul lui D′ faţă de C′ şi obţinem A'C ^ DC′ A′C ^ (DBC′). 3. Fie A′ – simetricul lui A faţă de punctul P ABA′C este dreptunghi AC ^ (MA′C) AC ^ MA′; AB ^ (MA′B) AB ^ MA′ MA′ ^ (ABC). NP linie mijlocie în ∆MAA′ NP êêMA′ NP ^ (ABC).

Săptămâna 8


Rez

ulta

te

a) {2; –9}1

2 3x +; (2x – y)(2x + y) 8 2

b)3

2x −; –1 –2; 2; –1; 0 2 7 13

c) {3; 1; 5; –1} 2 1 4 3

Partea a II-a

1. a) E xx

x1 1( ) =

+; E1(1) · E1(2) · E1(3) · E1(4) =

1

5;

b) E xx

x

x x

x xx x x2

2

1

1 2

2 44 4( ) =

+⋅

+( ) +( )+( ) +( )

⋅ +( ) = +( );

c) x2 + 4x + a = x2 + 4x + 4 + a – 4 = (x + 2)2 + a – 4 ≥ 0, dacă a – 4 ≥ 0 a ≥ 4. Pentru a = 4, E2(x) > 0, " x Î \ {–1; –2; –4}.2. ∆DBC este dreptunghic BD ^ BC; ∆ABD este dreptunghic BD ^ AB BD ^(ABC) BD ^ AC.3. a) CD ^ AC, CD ^ MA CD ^ (MAC) MC ^CD; la fel ME ^ ED. b) EC ^ AD, EC ^ MA EC ^ (MAD) EC ^ MD MD ^ EC. c) BE ^ AC, BE ^MA BE ^ (MAC).

© 2014

Săptămâna 9


Rez

ulta

te

a) un segment sau un punct 4 5

5 2

42

12

13

b)

unghiul format de dreaptă cu proiecţia ei

pe plan

32 31

43 3−

3

13

c) [AC] 22 3 5 4 3 5 2 2 15< < < 24

13

Partea a II-a

1. a) 10 7 2+ ; b) 5 2 71

5 2 71+ =

−⇒ = −x ;

2. a) După raţionalizare obţinem: 1 2

1

2 3

1

99 100

19

−−

+ −−

+ + −−

=... ;

b) Despărţim fiecare fracţie în două fracţii şi obţinem:

1

1

1

3

1

3

1

5

1

23

1

25

4

5− + − + + − =... .

3. Fie AC Ç BD = {O}. Proiecţia mijlocului unui segment este mijlocul proiecţiei segmentului. Fie O′ proiecţia punctului O pe planul α ⇒ O′ mijlocul [A′C′] şi O′ – mijlocul [B′D′] A′B′C′D′ paralelogram.

Săptămâna 10


Rez

ulta

te

a) 7 {–3; –1; 1; 2; 5} 2 25 8 2;

b) 1 01

21 2; ; ; –2 şi –8 15 2 4 7;

c) 3 9 –10 3 41. 16

Partea a II-a1. f(2) = 4a –3 = 5 a = 2; f(–2) = 2 + b = 5 b = 3.2. a) 3 7; b) 12; c) 3 13.3. Înlocuind x cu –x în relaţia dată obţinem: 2f(–x) + f(x) = –x –9. Această relaţie împreună cu relaţia iniţială formează un sistem cu necunoscutele f(x) şi f(–x). Obţinem f(x) = x – 3.

Săptămâna 11


Rez

ulta

te

a) –1 A 1

2

1

2;

90º 20

b) 0 F 1

3

1

3;−

5 5 17

c) 6 A 2 17 3 3 13

Partea a II-a

1. a) x = 2 f(2) = 2a + 4a = 6a; 3 54

560 82

aa

+ = ⇒ = ; b) 32 + 400 = 432;2. a) 2 b) 3 26 ; c) 3 10 ;

© 2014

3. a) Dacă M Î (ABC) M = O (AC Ç BD = {O}), iar OA = ≠5 2 13 2; b) 313 ; c) ∆MAC şi ∆MBD sunt isoscele MO ^ AC şi MO ^ BD.

d) d(A, (BCM)) = d(E, (BCM)) = 120 2

313, unde E – mijlocul [AD].

Săptămâna 12


Rez

ulta

te

a) − 1

12–24 F 9 3 45º

b) ±57

2A 6

390º

c) 3 3 1+ (–3; –5) F 2 2 2

Partea a II-a

1

5−1−2

●● ●

● xO

y

●

1. a) f(–2) = –1; f(–1) = –1; f(0) = –1;

f(1) = −1

2; f(5) =

1

4;

b) f(0) = –4; f(2) = 0;

x

y

O2

−4

2. a) − +3 7 2 ; b) (A) c) 2 2 7 2 2 7a b b+ − = + ∈ ⇒ ⇒ a = –7; b = –7;

3. a) m(MDC) = 45º; b) tg (MBC) = 4

3;

c) 8 34

5; d)

5

3 .

Săptămâna 13


Rez

ulta

te

a) –6; –5; –4–3; –2; –1; 0 4 7 2 6

5

+ 8 6 2

b) [–2; 3] 2 3 11 8 3 2 34

c) (8; 10) –2254 –15; 11 5 4,8

Partea a II-a

1. a) 1

2

1

2

2 4

8

2

2 2

2 2

8

1

2 42 2x x

x

x

x

x x

x

x x x x−+

+

⋅ + =

+( ) ⋅ −( )⋅

+( )⋅

=−

;

b) x E xx

⋅ ( ) =−

∈1

2 4 2x – 4 = ± 2 x Î{3; 1}

2. a) a = 3; b = 9

b) f(x) = 3x + 9; f(0) = 9; f(–3) = 0; AB = 3 10 ; sin B = =9

3 10

3 10

10

c) 27

2 u2;

3. a) 3 3

4; b) 3; c)

3 11

4 d) 60º.

Săptămâna 14


Rez

ulta

tea) 4 2 6 A 50

b) 1

4

1

4–3 A 24

c) a = 7; b = –9 (2; –3) 6u2 F 2 337

© 2014

Partea a II-a1. a) (–1; –3); b) 9u2.2. a) Funcţia care are ca grafic dreapta AB este f(x) = x + 1 C Ï AB; b) Funcţia care are ca grafic dreapta AB este f(x) = 5x – 12 C Î AB; c) Funcţia care are ca grafic dreapta AB este f(x) = 3x – 1 C Î AB;3. a) AB ^ (SMC) SC ^ AB şi SC ^ SM SC ^ (SAB); b) SC ^ (SAB) SC ^ SB;

c) BC = 10 2 cm, SM = SN = 5 2 cm, MN = AC

25 2= ,

ASMNl= = =

2 3

4

50 3

4

25 3

2 cm2.

d) SO = 10 3

3cm.

Săptămâna 15


Rez

ulta

te

a) 3 2

282 9 3 4 3

b) 5 6

290º 180 24 3

c) (1; 1) 2 3

3

24

5

12

5;

60

12724

Partea a II-a

1. a) 1

2

1

2;

; 1

3

1

3;−

;

b) 51

2 51

12 0

5 5 5

14⋅ −

− + ⋅ +

−− = ⇒ − + +

−=

a

a

a a

a

a;

–5a + 5 + 5a2 + 5a = 4a2 – 4a a2 + 4a + 5 = 0 a2 + 4a + 4 + 1 = 10 (a + 2)2 = –1 < 0, a Ï .

2. a) 3 2 2+ ;

b) x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+−

− − +− −

= +−

− −+

=−

1

1

1

1

1

1

1

1

4

12 (A)

c) a

ab

+−

= ∈1

1 a – 1 | a + 1, a – 1 | a – 1 a – 1 | 2

a Î{2; 0; 3; –1}, b Î{3; –1; 2; 0}; A = 1

2u2.

3. a) At = 224; V = 192; b) 4 11 ; c) hF = 2 2 ; A = 2 34 ;

d) ′′

= =C Q

B Q

4

12

1

3, C′Q = 1.

Săptămâna 16

Partea I

1. a) S = ; b) S = 3

2

; c) Dacă m ¹ 1 Þ S = −−

3

1m Dacă m = 1 Þ S = Æ.

2. a) x = 5; b) S = {−2; 3}; c) S = Æ.3. a) S = \ {1}; b) ( )2 3 2 1 2 1 2 3 2 5 405k k k k k− + −( ) + +( ) + +( ) + +( ) = ⇒ =k 40 77 79 81 83. , , , Numerele sunt: şi 85; c) 86.4. a) V = 216 cm3; b) d = 13 cm; c) h = 6 cm.5. a) 2 3 cm; b) 1,2 dm; c) 27 3 cm3.

Partea a II-a

1. a) x x11

13

13

15

12001

12003

1001 2003− + − + + −

= ⇒ =... ;

b) 39

49

59

89

35 332

335 3

6 0 3 6 0 3 6

x x x x xx

x m m m

+ + + + = ⇒ + = ⇒ =

⋅ − = ⇒ − = ⇒ =

...

.

© 2014

2. a) x a n an= + ⋅ −( ) ∈ ∈4 3 1 , ,

pentru n - număr par Þ x = 4a + 3 pentru n - număr impar Þ x = 4a − 3 y a

n= + ⋅ −( ) +8 2 1

1

pentru n - număr par Þ y = 8a − 2 pentru n - număr impar Þ y = 8a + 2 pentru n - număr par Þ x + y = 12a + 1 pentru n - număr impar Þ x + y = 12a − 1, " a Î 12a - număr par Þ x + y = număr impar, " n Î ," a Î b) pentru n - număr par Þ x + y = 37 Þ restul este 1 pentru n - număr impar Þ x + y = 35 Þ restul este 11 c) pentru n - număr par Þ x + y − 1 = 12a 12, " a Î pentru n - număr impar Þ x + y − 1 = 12a − 2 12 2 12

1 12

a a

x y a

−( ) ∀ ∈⇒ + − ∀ ∈

,

, pentru toate valorile naturalle pare ale lui .n

3. b) AD

AD

AA ABC

AM DE

AM DE ABC

A M DE

A DE

6

2

34= ⇒ =

⊥ ( )⊥

⊂ ( )

⇒ ⊥

( )∩

cm

’

,

’

’ AABC DE

A M DE

AM DE

A DE ABC

AD

AB

AM

A

( ) =⊥⊥

⇒

⇒ ( ) ( )( ) = °

= ⇒

’

’ ,m 60

2

3 FF

AM

AM

= ⇒ =

⇒ = ⋅ =

2

3 3 3

2

3

2 3 3

32 3 cm

În ∆ ( ) = °⇒ ° = ⇒ = ⇒ =

= ⋅ ⋅ = ⋅

A AM AAA

AM

AAAA

l h

’ : tg’ ’

’m cm

lat.

90 60 32 3

6

3 3A 66 6 108⋅ ⇒ =Alat.2 cm .

c) V = ⋅ ⋅ = ⋅ =lh

2 3

4

36 3

46 54 3 cm3;

d) În ∆ ( ) = °⇒ = + ⇒

⇒ = + ( ) ⇒ =

=

A AM A A M A A AM

A M A M

DE

’ : ’ ’

’ ’

m

cm

90

6 2 3 4 3

2

2 2 2

2 2 2

33

2

36 4

2

4 4 3

28 3

⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =∆

BC

DE A MA DE

cm

cm2A ’’

.

Săptămâna 17

Partea I

1. a) S = \; b) m = 4; c) S = {0; 25}.

2. a) x = 2; b) S = m

mm

+−

∀ ∈ ±{ }2

33

2, \ ; c) S =

8

11

14

11; .

3. a) S =

1

2; b) 2; c) S = .

4. a) AB = 2 22 3

3

4

3

4000

3 cm, cm, cm mm3 3h V= = = ;

b) ap lat= =3 27 3 cm, cm2A . ;

c) A A A Vtot b b L h. .= ⋅ ⇒ = ⇒ = = =4 4 3 44 6

3

16 2

3 cm cm, , cm2 3

5. i) a) ah

abb

= ⇒ = = ⇒ = °6 33

330tg ;α α

b) 120º.

ii) cos .u = 1

3Partea a II-a

1. a b c

a b c

−( ) + + −( ) + + −( ) + =

−( ) + + −( ) + + −(2 9 6 4 2 10 25 10

2 3 6 2 2 10

2 2 2

2 2 2 2 )) + =2 25 10

A

BCDE

FM

A'

B'C'

© 2014

a a

b b

c c

− = ⇒ =− = ⇒ =

− = ⇒ =

⇒ = + = +( )2 0 2

6 0 6

2 10 0 2 10

8 2 10 2 4 10 cm

a

b

c

a b c

2

2

2

2 2 2

4

36

40

=

=

=

⇒ + = ⇒ Conform reciprocei teoremei lui Pitagora,

triunghiul este dreptunghic în C

Aa b= ⋅ = ⋅ =

2

2 6

26.

2. Notăm cu x suma iniţială.

a) 3

5

3

5⋅ =x

x (suma cheltuită în prima zi)

1

2

3

535000

1

2

2

535000

535000x

x x x−

+ = ⋅ + = + (a cheltuit a doua zi)

2

5 535000 15000

535000 15000

550000

x x x x− +

= ⇒ − = ⇒ =

⇒ =x 250000 lei a avut iniţial.

b) x

535000 50000 35000 85000+ = + = lei a cheltuit a doua zi.

3. b) ∆ = += + ⇒ = ⇒ =

VBC VB BC

VB VB VB

2

20 2 8 2 12 6 cm

A B

CD

V

– MO

În ∆ ( ) = °⇒ = −

= − = ⇒ =

= ⋅ ⋅

VMB M VM VB MB

VM VM

l alat

:

.

m

cm

90

6 4 20 2 5

2

2 2 2

2 2 2

A pp

b

tot lat b

l

= ⋅ ⋅ =

= =

= + = + = +( )

2 8 2 5 32 5

64

32 5 64 32 5 2

2

cm

cm

2

2A

A A A. . ccm2

În ∆ ( ) = ° = −

= =

= ( ) − = ⇒ =

VOM O VO VM OM

OMl

VO VO

: ,m

cm

cm

90

24

2 5 4 4 2

2 2 2

2 2 2

V== cm3A hb ⋅ = ⋅ =3

64 2

3

128

3.

∆ ( ) = ° = −

= =

= ( ) − = ⇒ =

VOM O VO VM OM

OMl

VO VO

: ,m

cm

cm

90

24

2 5 4 4 2

2 2 2

2 2 2

V== cm3A hb ⋅ = ⋅ =3

64 2

3

128

3.

c) d(A, (VBC)) = ⋅

= ⋅ = ⋅ =

= = ⋅ =

3

2

8 2 5

28 5

2

128

3

1

2

64

3

VA

A

V

VABC

VBC

VBC

VABC

BC VM

V

cm

cm

2

3

d (A, VBC) =⋅3643

8 5=

8 5

5cm .

d) VBC ABC BC

VM BC

OM BC

VM VBC

OM ABC

VBC ABC

( )∩ ( ) =⊥⊥⊂ ( )⊂ ( )

⇒ ( ) ( )

=, VVM OM VMO, ( ) =

tg .VMOVO

OM = = =2

4

1

2

Săptămâna 18

Partea I

1. a) 1 şi 3; b) 2 3 2 0, , , ;− −{ } c) x x2 3 1 0+ + = .

2. a) S = {2,3}; b) m = 16; c) a = 1, b = –6.

3. a) ∆ = 81; b) x = − 5; c) −

42

5; .

© 2014

4. a) AA

A Al

bl b= ⇒ = ⋅2 2 ; Notăm L x x xb l= ⇒ = ⇒ =2 4 82 2A A

dar

cm

A

Alb p

l p p

p b

ax a a x

a a h x x x L

=⋅

= ⋅ ⇒ =

− = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =2

4 2

4 3 1 22 2 2 2 2

,

,, = 2 cm

cm3

ap ⇒

⇒ =V 4 3

3.

b) AA

AAb

B

bbk= ⇒ =

⇒ =2

2

18

1

32 cm2.

c) 6 cm.

5. a) A Vb pL a h= = = = =36 625

34 48 cm cm cm cm cm2 3, , , , .

b) Alata

. .=2 15

4 c) Atot =108 3 cm2.

Partea a II-a

1. 15

10060 9

60 9 69

⋅ =

+ = elevi.

2. a) x x x S2 28 16 0 4 0 4+ + = ⇒ +( ) = ⇒ = −{ }.

b) x x y y

x y x x

y

2 2

0

2

0

2 2

2 8 17 0

1 4 0 1 0 1

4

− + + + =

−( ) + +( ) = ⇒ −( ) = ⇒ =+(≥ ≥

)) = ⇒ = −2

0 4y .

c) A a a b b a b

A a b

= − + + + + ∈

= −( ) + + +( ) +

2 2

2 2

2 5 8 17

1 4 4 1

, ,

A este minim dacă a −( ) =1 02 şi b +( ) =4 0

2 a = 1, b = − 4

Cea mai mică valoare a numărului A este 4 1 2 1 3+ = + = , valoare ce se realizează pentru a = 1 şi b = − 4.

3. b) VAB VBC VB

AE VB

CE VB

VAB VBC

AE EC AEC

( )∩ ( ) =⊥⊥

⇒ ( ) ( ) =

= ( ) =

,

,

m

fie

AEC

VM AB

VO ABCD

AC ABCDVO AC

AEB CEB I U

( ) = °⊥

⊥⊂

⇒ ⊥

∆ ≡ ∆

120

,

( )

( )

. ..( )⇒ [ ] ≡ [ ]AE EC

A B

CD

V

MO

P N

120°

E

D AEC isoscel } EO - înălţime EO - mediană şi bisectoare AC AO

AOE O

AEOEAO

= ⇒ =

∆ ( ) = °

( ) = °⇒ ( ) = °

8 2 4 2

90

6030

: m

mm

Conform teoremei unghiului de 30º EOAE=2

tg

:

303

3 4 2

4 6

32

4 6

3

8 6

3

90

° = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ =

∆ ( ) = °⇒

OE

AO

OEOE AE

AEB AEB

cm

m BBE AB AE BE

VOB VOB

2 2 2 64 3

9

8 3

3

90

= − = ⋅ ⇒ =

∆ ( ) = °

cm

m conform teore: , mmei catetei ⇒ = ⋅ ⇒

⇒ = = ⋅ = =

∆ ⊥ ⇒

OB BE BV

VBOB

BE

VMB VM AB

2

2 32 3

8 3

12 3

34 3

: VVM VB MB

VMO VO OM VO VM OM

= − = − = =

∆ ⊥ ⇒ = − = − = =

2 2

2 2

48 16 32 4 2

32 16 16 4

cm

c: mm

cm

cm

2

2

A

A

A

A A A

latb p

lat

b

tot lat b

a=

⋅⇒ = ⋅ =

=

⇒ = + = +

2

32 4 2

264 2

64

64 2 664 64 2 1

3

64 4

3

256

3

= +( )=

⋅= ⋅ =

cm

cm

2

3VAb h

.

© 2014

tg

:

303

3 4 2

4 6

32

4 6

3

8 6

3

90

° = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ =

∆ ( ) = °⇒

OE

AO

OEOE AE

AEB AEB

cm

m BBE AB AE BE

VOB VOB

2 2 2 64 3

9

8 3

3

90

= − = ⋅ ⇒ =

∆ ( ) = °

cm

m conform teore: , mmei catetei ⇒ = ⋅ ⇒

⇒ = = ⋅ = =

∆ ⊥ ⇒

OB BE BV

VBOB

BE

VMB VM AB

2

2 32 3

8 3

12 3

34 3

: VVM VB MB

VMO VO OM VO VM OM

= − = − = =

∆ ⊥ ⇒ = − = − = =

2 2

2 2

48 16 32 4 2

32 16 16 4

cm

c: mm

cm

cm

2

2

A

A

A

A A A

latb p

lat

b

tot lat b

a=

⋅⇒ = ⋅ =

=

⇒ = + = +

2

32 4 2

264 2

64

64 2 664 64 2 1

3

64 4

3

256

3

= +( )=

⋅= ⋅ =

cm

cm

2

3VAb h

.

c)

VAB ABCD VM MO VMO

VMO O

VO MOV

( ) ( ) = ( ) =∆ ( ) = °

= =⇒ ∆

, ,

: m

cm

90

4MMO

VMO

este dreptunghic isoscel

m

⇒⇒ ( ) = ° 45 .

d) fie N - mijlocul lui VO NP VM

VNP VMO U UVN

VM

NP

MO

VP

VO

NP

NP NP

⊥

∆ ∆ ( )⇒ = = ⇒ = ⇒

⇒ = = ⇒

∼ . .2

4 2 4

8

4 2

2 22

== ⇒

⇒ ( )( ) =2

2d cm.N VAB,

Săptămâna 19

Partea I1. a) − 1; b) x = − 27; c) S = Æ.

2. a) 32; b) D = \ ±

= ∉1

2

1

2, ;x D ; c) x = 1.

3. a) x = − 2; y = 3; b) 2; c) m = −1

3.

4. a) 37 3 cm3; b) 114 cm3; c) 54 3 cm3.

5. a) V =109 cm3; b) 7

8; c) 144 7 cm2.

Partea a II-a

1. Notăm cu x - suma iniţială

2

33000

2

33000⋅ + +x

xlei= lei (s-au cheltuit în prima zi)

xx x− +

= −2

33000

33000 (primul rest)

3

5 33000 2000

5

9000

52000

5200⋅ −

+ = − + = +x x x

lei (s-au cheltuit a doua zi)

5 3

33000

5200

2

153200

/ /x x x− − − = − lei (al doilea rest)

1

2

2

53200 2000

151600 2000

15400

x x x−

+ = − + = + lei (s-au cheltuit a

treia zi)

2

153200

15400 24000

153600 24000

1527600 414000

x x

x xx

− − − =

− = ⇒ = ⇒ = leei.

2. a) 3 28

2

2 7

310 3 24 4 14 6 60

10 6 60 7 70 1

/ /x xx x x x

x x x x

+ − + = − ⇒ + − − = −

− + = − ⇒ = ⇒ = 00

10 2 8

10 4 61

2

c

c

= − == − =

cm

cm.

b) A = ⋅ = ⋅ =c c1 2

2

8 6

224 cm2.

3. b) ∆ ⇒ =

= = ⇒ =

APC POAC

AC L PO

dreptunghic isoscel

cm

2

2 20 2 10 2

A B

D

MO

C

M'A' B'

C'D'O'

P ●

∆ ⇒ =

= ⇒ =

A PC POA C

A C l PO

’ ’ ’’ ’

’ ’ ’

dreptunghic isoscel

=5 2 cm

2

210 2

2

OOO

m h R r

m

m

l

l

l

’= + =

= + −( )= ( ) + −( )=

10 2 5 2 15 2

15 2 10 2 5 2

225

2 2 2

2 2 2

2

cm

⋅⋅ + ⋅ =

⇒ =

2 25 2 500

10 5ml cm.

© 2014

c) Alat tr

tr

L l a

a hL l

= +( ) ⋅

= + −

2

22 2

2

a a atr tr tr

lat

2 22

215 220 10

2450 25 475 5 19

2

= ( ) + −

⇒ = + = ⇒ =

=

cm

A 220 10 5 19 300 19

20 400 10 100

3

2 2

+( ) ⋅ =

= = = =

= +

cm

cm cm

2

2 2A A

V

B b

Bh

A Abb B bA A+ ⋅( )⇒ = + + ⋅( ) == +( )⇒ =

V

V

15 2

3400 100 400 100

5 2 500 200 3500 2 cm33.

d) ∆ ⇒ ( ) = °APC PAO dreptunghic isoscel m 45 .

Săptămâna 20

Partea I

1. a) −( ) − −

1 1 21

2; ; ; ; b) 2 2; ;( ) c) 2 3a a a−( ) ∈{ }, .

2. a) x y= =2 1, ; b) 6 2 3− ; c) x y= = −4 1, .

3. a) x = 2; y = − 7; b) 2 7 1 0 4 7 0x y x y+ − = − + =, . Se adună relaţiile

3 3 6 0 22

2

21x y x y M

x ya+ + = ⇒ + = − ⇒ = + = − = − .

c) A 0 6; −( ) şi B 9 0; .( )4. a) V = 70

3 cm3; b) 60°; c) 9 cm.

5. a) 12 cm; b) 5 46 cm; c) Alat = 252 cm2.

Partea a II-a

1. a) 2 5 6 0 2 0 2

5 6 00

2

02

x y y y x y y x

y y

− + − + = ⇒ − = ⇒ =

− + =≥ ≥

2

25 24 15 1

23

1 2∆ = − = ⇒ = ±y ,

x = 1

x = 3

2 ⇒

S = ( )

1 232

3, ; ,

b)

x x x x

x x x x x

+ > + > + > ⇒ > −

+ = + + + ⇒ + + =( ) ( ) ( )8 0 10 0 12 0 8

12 10 8 24 1442 2 2 2

, ,

xx x x x

x x

x

x

2 2

21

2

20 100 16 64

12 20 0 144 80 64

10

2

+ + + + +

⇒ + + = ∆ = − = ⇒

= −

= −,

daar x

x

> −

⇒ = −

8

2

x

x

x

+ =+ = − + =+ = − + = ⇒

12 10

10 2 10 8

8 2 8 6

Lungimile catetelor sunt 6 şi 8, iar ipotenuza este 10.2. 8 6 24 0x y− + = a) x y y M

y x x N

= ⇒ = ⇒ = ⇒ ( )= ⇒ = − ⇒ = − ⇒ −( )

0 6 24 4 0 4

0 8 24 3 3 0

,

, .

b) A∆ = ⋅ = ⋅ =MONOM ON

2

4 3

26 u2.

c) d O MN OP MN MO ON

MN OP MN OPMON

, ,( ) = = + = + = =

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

⇒ =

∆

2 2 16 9 25 5

26

2

12 5

A

⋅⋅ ⇒ =OP OP12

5.

3. b) PQ a

a a a h

h h

tr

tr B b tr

tr tr

= = + = =

− −( ) =

− = ⇒ = =

10 8

2

18

29

81 1 80 4 5

2 2 2

2

cm

AA

latB b tra

=+( ) ⋅

=+( ) ⋅

= ⋅2

40 32 9

2

72 9

2

A B

DM

OC

A' B'C'D' O'

P

●

V

Q

T

© 2014

A A A

A Alat B b

tot lat B b totA A A

= = =

= + + = +

324 100 64

324

2 2 2 cm cm cm; ,

; 1100 64 488 2+ = cm

c) V

V

= + + ⋅( )= + +( ) =

hA A A AB b B b3

4 5

3100 64 80

976 5

33 cm

d) DC BC

MCD MCB

[ ] ≡ [ ]≡

⇒ ∆ ≡ ∆ ⇒

L U LMDC MBC

. . . MB MD[ ] ≡ [ ]⇒

MC - latură comună

⇒∆MBD isoscel

∆ = +MBD MB BD2

∆MBD este minim când MB este minim BD - constantă

MB

BMB

- minim

- fix⇒ este minim când BM CC⊥ ′

A∆ = ⋅ = ⋅ ⊥

= =′= ⇒ = ⇒ =

VBC

p

P

p

p

VT BC BM CVVT BC

l

L

a

a

VC

CV

h

H

h

H

h

H

a

a

2 2

8

10

4

5

,

++= ⇒

+= ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ =

⇒ = = + =

a

a

aa a a

a VT

h

tr

p

pp p p

P

4

5 9

4

55 4 36 36

36 9 45

cm

cm

HH

h

hh H= ⇒

+= ⇒ = ⇒ =4

5 4 5

4

516 5 20 5

AC OC CV CV

VT BC BM CV BM

= ⇒ = ⇒ = + = ⇒ =

⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅

10 2 5 2 2000 50 2050 5 82

45 10 5

2

88245 10

5 82

90 8282

⇒ = ⋅ =BM

⇒ = +∆ MBD

90 82

4110 2 cm

Săptămâna 21


Rez

ulta

te

a) 4 x = −3; y = 7 R = 2; G = 3 5 4

b) −3 × i) 20π 100 3

3

2π 4π

c) 7 4

3ii) 37,6 250 3

3

2π 24π

Partea a II-a

1. a) Se aduce sistemul la forma generală 4 11 39

5 6 10

x y

x y

− = −− = −

(5p)

Se obţine soluţia x = 4, y = 5. (5p) b) x y= =2 2 3; . (5p)

2. a) l L

l Ll L5 6

2210 12

=

+ =

⇒ = =; .

(5p)

b) Cazul I: G = 10, R = 6 V = 360�. (3p) Cazul II: G = 12, R = 5 V = 300�. (2p)3. a) Realizarea figurii. (3p) Completarea figurii. (2p) b) 2�RG = �R2 2G = R. (2p) Scriind teorema lui Pitagora în DABC, obţinem: 2 153 17 153 3 6

2 108

2 2 2R G G G R

R R G

( ) + = ⇒ = ⇒ = =

= +( ) = cm; cm;

cmt2A π π .

(2p)

(1p)

c) V = = ≅π πR G2 108 338 12, . cm3 (2p) 338,12 cm3 = 0,33812 dm3 = 0,33812 l (2p) În cilindru nu încape un litru de apă. (1p)

© 2014

d) Distanţa de la O′ la una dintre laturile pătratului reprezintă apotema piramidei patrulatere care se formează. (1p) l R= =2 6 2 cm. (1p)

al

b = =2

3 2 cm. (1p)

a a h ap b p2 2 2 3 3= + ⇒ = cm. (2p)

Săptămâna 22


Rez

ulta

te

a) (2, 2)3

203 2;( ) 4 3

b) a = −3; b = 1 20 5 288° 15π

c) −1 (3; −3) 5 2 6+ 16π 12π

Partea a II-a

1. Se aduce sistemul la forma generală 6 10

5 3 16

x y

x y

+ = −− + =

. (5p)

Soluţia sistemului este (–2; 2). (5p)2. a) h = R + 2, G = R + 4 (2p) Scriind teorema lui Pitagora, avem: R R R R R+( ) = +( ) + ⇔ − − =4 2 4 12 0

2 2 2 2 . (2p) Soluţia acceptabilă a ecuaţiei este R = 6 h = 8 cm, G = 10 cm. (2p) At = �RG = 60� cm2. (2p)

b) V = =π πR h2

396 cm3. (3p)

c) Al =⋅ ⇒ =

°

°° °πG u

u2

360216 . (4p)

3. a) Realizarea figurii. (3p) Completarea figurii. (2p)

b) At = �R(R + G) = 216� cm2. (2p) G2 = R2 + h2 h = 12 cm. (1p)

V = =π πR h2

3324 cm3. (2p)

c) Notăm VM = MA = x MO = 12 – x. (1p) Scriind teorema lui Pitagora în triunghiul OMA se obţine: x x x2 2 212 9

75

8= −( ) + ⇔ = cm. (4p)

d) AVAB = r · p (1p)

AVAB = 108 cm2. (1p) p = 24 cm (1p) r = 4,5 cm. (2p)

Săptămâna 23


Rez

ulta

te

a) 111 42°; 48°. 16 5 5

b) 180 26,46 dm2. 927

420π

c) 15 265288

25

405

4

π 1

7

Partea a II-a1. a) Notăm cu x lungimea întregului drum. (1p)

În prima etapă a parcurs 3 5

5

x − şi i-au mai rămas 2 5

5

x +. (1p)

În a doua etapă a parcurs 2 5

7

x +. (1p)

Rezolvând ecuaţia 3 5

5

3 5

510

x xx

− + − + = , se obţine x = 85 km. (1p)

Lungimea drumului este de 85 km. (1p)

© 2014

b) În prima etapă a parcurs 50 km, iar în a doua etapă 25 km. (2p) p% din 50 = 25. (1p) p = 50%. (1p)2. a) G2 = R2 + H2 H = 8 cm. (1p) Al = �RG = 60� cm2. (2p)

V = =π πR H2

396 cm .3 (2p)

b) V

V

V

Vtr

con

con mic

con

= ⇒ = ⇔ =

⇔ =7

8

1

8

1

2

1

23

3

k k . (4p)

Planul paralel cu baza trebuie dus prin mijlocul înălţimii. (1p) c) A AVB p p a p b p c= −( ) −( ) −( ) = 48. (2p)

A AVBVA VB V

V= ⋅ ⋅ ⇒ =sinsin .

2

48

50 (3p)

3. a) Realizarea figurii. (3p) Completarea figurii. (2p) b) Al = �G(R + r) R + r = 8. (2p) R – r = 4. (1p) R = 6 cm, r = 2 cm. (2p)

c) r

R

g

G

g

g= ⇔ =

+2

6 8. (2p)

g = 4 cm G = 12 cm. (2p) Al = �RG = 72� cm2. (1p) d) uº = 180º. (5p)

Săptămâna 24


Rez

ulta

te

a) 2 {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} (−∞; 4] 2 3 12

b) pozitiv [3; +∞] 0 92π 1008π

c) 0, 1, 2, 3 4 [−1; 3] 152 3

3

π 300π

Partea a II-a x x

xx

x

3 15 5 15 2

3 5 2

3 5 0

2

5 3

5 3

5 3

− − + ≥ −

−( ) ≥ −− <

⇒ ≤

−⇔

⇔ ≤ +

+ )

.

(2p)

(2p) (2p)

x x

xx

x

3 15 5 15 2

3 5 2

3 5 0

2

5 3

5 3

5 3

− − + ≥ −

−( ) ≥ −− <

⇒ ≤

−⇔

⇔ ≤ +

+ )

. (2p)

Cel mai mare număr natural mai mic decât 3,968... este 3. (2p)2. a) 3 6 2 3 3 3x x x x− ≤ − < −/ (1p) − ≤ − − < +6 3 0 3x / (1p) − ≤ − <3 3x (1p) A = − −{ }2 1 0 1 2 3; ; ; ; ; (1p) x x+ > − +14 4 8 10 (1p) 3 12x < (1p) B = −∞( ); 4 (1p) A Ç B = A (1p) A – B = Æ (1p)

b) f : {–2; –1; 0; 1; 2; 3} , f(x) = 2x – 1. (3p)

x –2 –1 0 1 2 3f(x) –5 –3 –1 1 3 5

Reprezentarea corectă a celor 6 puncte într-un sistem de axe ortogonale. (3p)3. a) Realizarea figurii. (3p) Completarea figurii. (2p) b) R = 2r (1p) AO R OC r= =2 2, (1p)

3 2 24 2 8 16r r R= ⇒ = = cm, cm (1p) I = R + r = 24 cm. (2p) c) G I R r G2 2 2

8 10= + −( ) ⇒ = cm. (1p)

Al2 cm= +( ) =π πG R r 12 10 (1p)

AB = 256� cm2. (1p) Ab = 64� cm2. (1p) At

2 cm= +( )320 192 10π π . (1p)

d) H = 48 cm. (1p)

© 2014

V = =πR H2

34096 cm3. (2p)

V 12861,44 cm dm .3 3= =12 86144 12 86144, , l (1p) Conul se umple după 4,28 minute. (1p)

Săptămâna 25


Rez

ulta

te

a) (−∞; −1) 0 64π 144π

b) [−2; +∞) *+ (−∞; 5) 8 300π

c) [−2; −1)2

31;

(−∞; 5)256

3

π 180

2197

Partea a II-a

1. a) x xx

x x

x x

9 990

22

90110 11 242

121 242 2

+ =

+ == ⇒ = .

(1p)

(2p) (2p) b) x x x x x

x x

x

x

x2 2 26 9 11 2 4 2

3 9 2 8 3

2 4

2

2+ + + < + + +− − + ≥ −

⇔

<≥ −

⇔∈ −∞;(( )∈ − +∞[ )

x 2;

(2p)

(2p)

Soluţia sistemului este intervalul [–2; 2), iar x = 2 nu aparţine acestui interval. (1p)2. a) π πR R R R+( ) = ⇔ + − =4 12 4 12 02 (2p) Soluţia ecuaţiei care convine este R = 2 cm. (2p) G R h h2 2 2 2 3= + ⇒ = cm. (2p)

Vcon = =π πR h2

3

8 3

3 (2p)

b) Un cerc mare al sferei este înscris în secţiunea axială a conului, care este un triunghi echilateral. (2p)

Raza sferei înscrise reprezintă 1

3din înălţimea triunghiului,

adică 2 3

3cm. (2p)

Asfera inscrisa2 cm= 16

3

π. (2p)

c) Un cerc mare al sferei este circumscris secţiunii axiale a conului. (2p)

Rsfera cm= 4 3

3 (2p)

Vsfera circumscrisa3 cm= 256 3

27

π. (2p)

3. a) A = =4 1442π πr cm2 (2p)

V = =4

3288

3π πr cm3. (3p)

b) l = 12 cm (2p) h = 24 cm. (3p) c) Vprismă = 3456 cm3 (1p)

Vmingi3 cm≅1808 64, (1p)

Vneocupat = 1647,36 cm3 (1p)

p% din 3456 = 1647,36 p = 47,(6)%. (2p)

Săptămâna 26


Rez

ulta

te

a) 0,48 0,3 4 7 4 2;

b) 30 42 64 Æ 90°

c) 30 37 16� B 96 cm2

Partea a II-a

1. a) x y y x x y+ = = ⇒ = =361

530 6; ani; ani;

b) 1

36x t y t t+( ) = + ⇒ = ani.

© 2014

2. a) E xx

x( ) = +

−1

1;

b) E xx

x x( ) = +−

∈ ⇒ − ∈ = ± ±{ }⇒ ∈{ }12

11 1 2 2 0 32 D ; , ,

c) E x x S( ) = ⇒ = − ⇒ =∅0 1 .

3. a) AB = 12 cm OM = 6 cm; V

A B

CD P

O

VO ^ (ABC) m(<VOM) = 90° VO = 8 cm; b) At = Al + Ab Ab = 144 cm2; Al = 240 cm2

At = 384 cm2; V A=

⋅=b 3 cm

h

3384

c) BC VM

BC OMBC VOM OP VM

O VBC OP OPVO OM

VM

⊥⊥

⇒ ⊥ ( ) ⊥ ⇒

⇒ ( )( ) = ⇒ = ⋅ =

;

, ,d 4 8 cm

d) 3

4

27

64

384 27

64162

384 162

3

= ⇒ = ⇒ = ⋅ = ⇒

⇒ = − =

V

V

VV

V

p

P

pp

3

t

384 cm

2222 cm .3

Săptămâna 27


Rez

ulta

te

a) 2 5; 342, 225 –2, +2 15 3

b) 3 37 2(x – 2)(x + 2) 7,5 ani 9

c) 46

15. 121, 225 x = –3 27cm2 27� cm3

Partea a II-a1. 271 7 356 8 534 6 8

264 348 521 2 3

1 2

= ⋅ + = ⋅ + = ⋅ + > ⇒⇒ = ⋅ = ⋅

a c a c a c a

a c a c

; ; ;

; ; 88

264 348 528 12 123= ⋅ ⇒

⇒ = ( ) = ⇒ =a c

a ac.m.m.d.c. , , .

2. a) f a a−( ) = − + = − ⇒ =3 3 1 5 2; -3 1

−2

−5●

●

●

f(x)

g(x)x

O

y

A

B

C

g b b−( ) = − − = − ⇒ =3 3 5 2.

b) f B

g C

0 1 0 1

0 2 0 2

( ) = ⇒ ( )( ) = − ⇒ −( )

;

;

c) A = ⋅ =3 3

24 5, . cm2

3. a) d l= =3 12 3 cm

b) A

Vl

2

3

cm

cm

= ⋅ =

= =

4 576

1728

2

3

l

l

A B

CDA' B'

C'D' M

P

QR

c) ∆ ′ ′ ⇒ ′ =

=′ ′

A BC BC

A BC

echilateral cm.

cm2

12 2

6 6A

d) Fie MP ^ DC şi PR ^ DB.

În ∆DBC, CQ ^ BD CQ PR CQ= ⋅ = ⇒12 12

12 26 2;

PR

CQMR MP PR MR= = = + ⇒ =

23 2 9 22 2 2; cm.

Săptămâna 28


Rez

ulta

te

a) 3 000 272 = 24 · 17 –4,4 18 cm 100�

b) 20 000 m2 68 x Î {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

3 3 cm500

3

π

c) 3 816 2 1 2 1x x−( ) +( ) 3 3 cm2 10� cm

Partea a II-a

1. a) 25 12 78

5 10 27 52 4

a b

a ba b

+ =+ = ⋅ −( )

⇒ = =

|, lei; 1,5 lei

© 2014

b) 2 4 1 5 30

5 12

10 4

, ,

; ;

; .

x y

x y

x y

+ = ⇒= == =

Cazul I:

Cazul II:

2. a)− − + + =

− + + = −

⇒ = − = ( ) = − − + +a b

a ba b E x x x x

4 1 2

8 16 4 161 4 4 43 2; ;

b) E x x x( ) = −( ) +( )1 42

c) (1 – x)(x + 4)2 = 0 x1 = 1; x2 = –4.3. a) ∆ ⇒ = ⇒ =

= =

VAB OB R

VOl

echilateral cm cm

cm

5 5

3

25 3

A

A'

B

B'

V

O

O'

b) A Vt c= + = = =π π π π πR RG

R H22

753

125 3

3;

c) 9 3

3 3 2 3

2π π= ⇒ =′= ⇒ ′ = ′ =

r r

VO

VO

r

RVO OO; cm.

d) Vtr3 cm= + +( ) =2 3

39 25 15

98 3

3π π π π

.

Săptămâna 29


Rez

ulta

te

a) −( ) −( ) −−

2 41

2

2

3

3

4

2 0; ; ; ; F 43 200 60° 0°

b) 2 –2 94 30° 2400 cm2

c) 3 2 2 3

2

+3 2− (6; 24);

(12; 18)3 NU

Partea a II-a1. a) A = +( ) + +( ) + + +( ) = + + + +( )5 5 5 1 5 5 1 5 6 1 5 5 50 1 2 22 2 4 22... ...

Numărul A are 24 termeni. 6 2 A 2 A este par. b) A = + + +( ) + + + +( ) + + + + +( )5 5 5 5 5 1 5 5 5 5 1 5 5 50 1 2 3 4 2 3 20 2 3...

A conţine: 24 termeni : 4 = 6 paranteze

A

A

A

= + ⋅ + + ⋅

= + + +( )⇒

156 156 5 156 5

156 1 5 5

156 39 39

4 20

4 20

...

...

.

2. a) f(0) = b + 3 = –1 b = –4

1−2

−5●

●

●

xO

y

A

B

CM

f(–2) = –2a + b + 3 = –5 a = 2 f(x) = 2x – 1.

b) f(x) = 0 2x – 1 = 0 x C= + ⇒

1

2

1

20; .

c) ∆ = =

⇒ = ⇒ ( ) =

⊥ ⇒ = ⋅

OAC OC OA

AC O G OM

OM G OMOC

f

f

dreptunghic u u

d

; ;

,

1

21

5

2

OOA

AC= 5

5u.

d) M(t; t) Î Gf 2t – 1 = t t = 1 M(1; 1) Î Gf.

3. a) ABCDA B C D DD

BD

′ ′ ′ ′ ⇒ ′ =

= ⇒

paralelipiped dreptunghic cm.

cm

6 3

10 ′′ = ′ + =D B DD DB2 2 4 13 cm.

b) A

A

V

t

t2 cm

c

= ⋅ ′ + ⋅ ′ + ⋅( )= +( )= ⋅ ⋅ ′ =

2

24 7 3 4

288 3

AB BB BC BB AB BC

AB BC CC mm3.

A B

CD

A' B'

C'D'

M

c) m m m′( ) ( )( ) = ′( ) = ′( ) = °D AB ABC D A AD D AD; ; . 60

© 2014

d) Fie cm.

Din teorema celor 3 perpendiculare

AM BD AM

A M

⊥ =⇒ ′

; ,4 8

⊥⊥

′( ) ( )( ) = ′( ) = ′( )′( ) = ′

=

BD

A BD ABC A M AM A MA

A MAAA

AM

m m m; ;

tg

5 3

44.

Săptămâna 30


Rez

ulta

te

a) 2,45

3; –8 4 2; 3 2;

b) –31

5; B(4; 0) 32 2; 18 2π;

c) 0,6 x = 9; y = 15 126 12 2. 18 2π.

Partea a II-a

1. a) cb

a c c a b= = ⇒ = = =2

1 5 60 90 120; , ; ; .

b) xc a x

yb a y

10015

10075

⋅ = ⇒ =

⋅ = ⇒ =

% %

% %.

2. a) 2 3 1 03

22 2

x y x−( ) + +( ) = ⇒ = şi y = –1.

b) i) x x a E aa a

a a

a

a

x x

x

22

22

3 2

2 1

2

1

2 2

1+ = ⇒ ( ) = +( ) +

+( ) += +

+= + +

+( ) ii) E(–2) = 2.

3. a) Vt = 312� h = 6 cm

b) A

A A

l

l2

B

cm cm

cm

= +( ) ⊥ ⇒ = ⇒ =

= ⋅ = =

π

π π

G R r CM AB MB BC;

;

6 6 2

6 2 14 84 2 100ππ π

π π

cm cm

cm

2b

2

t2

;

.

A

A

=

= +

16

116 84 2

c) AABCD

AB CD OO=

+( ) ⋅ ′= ⋅ =

2

28 6

284

3

cm2.

A

D

B

C

O

O'

M

d) V

V VV

VV

V V V

c

c t

c

cc

3

con c t

cm+

=

⇒

+= ⇒ =

= + =

r

R

3

312

8

125

64

13

10

ππ

000

3

π cm3.

Săptămâna 31

Partea ISe punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerinţe, fie 0 puncte.Nu se acordă punctaje intermediare.

Nr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) 56 60 4 6 2 6

b) 1 010 4 –2 18 5

c) 3 8 2 6 3

Partea a II-aPentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător.Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pen-tru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.

1. a) Formula de calcul. (2p) Punctajul total al clasei: 179 (2p) Media = 7,16 (2p)

© 2014

b) Numărul cazurilor posibile = 25 (1p) Numărul cazurilor favorabile = 12 (1p)

Finalizare: 12

25. (2p)

2. a) 1

1 2

1

2 3

2 4

1 2 3x x x x

x

x x x+( ) +( )+

+( ) +( )= +

+( ) +( ) +( ) . (3p)

Finalizare (2p)

b) E( )11

2 3

1

3 4

1

4 5

3

2 5=

⋅+

⋅+

⋅−

⋅ (2p)

E(1) = 0 (3p) c) E(a) = 0, oricare a > 0 (4p) Finalizare. (1p)3. a) Transcrierea figurii 3 (3p) Completarea desenului (2p)

b) Fie x muchia muchia piramidei ⇒ DOx= 3

3 (2p)

xx2

23

948− = (2p)

Finalizare: AB = 6 2 cm (1p) c) Triunghiul ABN este isoscel (3p) MN mediană, deci MN ⊥ AB (2p) d) Justificarea faptului că unghiul este MNB (2p)

Finalizare: sin (MNB) = 3

3 (3p)

Săptămâna 32


Nr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) 36 3011 12 4 3

b) 210 3 8 2 9π

c) 300 2 −5 2 18π


1. a) Fie x numărul participanţilor. x = 15% · x + 30% · 85% · x + 60 + 59. (3p) Finalizare: 200 elevi (3p) b) Premiul al II-lea au primit 30% · 85% din 200 elevi. (2p) Finalizare: 51 elevi. (2p)

2. a) x x x x

x

x x xx x

E

2

22

3 2 2 1

2

1

3 2

1 2 5 3 2

5

+ + = +( ) +( )

+ + += +

−( ) = −

:

Finalizare

−− <

+ + = +

+

3 2 1

11

2

3

42

2

x x x

Finalizare

(2p)

(2p) (2p)

b) (2p)

(3p)

c) (3p)

(1p)

© 2014

3. a) Transcrierea figurii 3. (3p) Completarea desenului. (2p) b) AB2 + 4AB − 192 = 0 (3p) Finalizarea : AB = 12 cm. (2p)

c) Înălţimea piramidei = 9

2 cm. (3p)

Volumul = 216 cm3. (2p) (Atenţie! Dacă elevul nu calculează volumul, dar scrie corect formula lui, se acordă 1p din 5p) d) Justificarea faptului că unghiul este AD'T, unde D'T ⊥ (ABC) şi T ∈ DB. (2p)

Finalizare: cos (AD'T) = 3

89. (3p)

Săptămâna 33


Nr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) 1 072 4 1 6 24

b) 23 1 2 36� 3 3

c) 1,6 7 B 20� 18 3

Partea a II-aPentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător.Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pen-tru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.1. I

primul rest II

( ) +

− +

= − ⇒ −

+

: ;

( ) :

x

xx x x

21

21

21

1

2 21 1== − + = +

− +

− +

= − −

x x

xx x

xx x

4

1

21

4

1

2

21

4

1

2 2

;

noul rest: 44

3

2 4

3

2

1

2 4

3

21

21

4

1

2 8

3

41

− = −

( ) −

+ + + + + − + =

x

x x x xx

;

. ; ,III prinn amplificare

au fost 14 bomboa

⇒

⇒ + + + + − + = ⇒ = ⇒4 8 2 4 6 8 8 14x x x x x nne inicial.

I bomboane:

II bomboane;

III

⇒( ) + =

⇒ ( ) + =

⇒ ( )

7 1 8

3 1 4

1++ =1 2 bomboane.

I

primul rest II

( ) +

− +

= − ⇒ −

+

: ;

( ) :

x

xx x x

21

21

21

1

2 21 1== − + = +

− +

− +

= − −

x x

xx x

xx x

4

1

21

4

1

2

21

4

1

2 2

;

noul rest: 44

3

2 4

3

2

1

2 4

3

21

21

4

1

2 8

3

41

− = −

( ) −

+ + + + + − + =

x

x x x xx

;

. ; ,III prinn amplificare

au fost 14 bomboa

⇒

⇒ + + + + − + = ⇒ = ⇒4 8 2 4 6 8 8 14x x x x x nne inicial.

I bomboane:

II bomboane;

III

⇒( ) + =

⇒ ( ) + =

⇒ ( )

7 1 8

3 1 4

1++ =1 2 bomboane.

2. a) ma = +( ) ⋅ −( ) = +( ) −( ) =2 1 1 2 2 1 2 1 12 2

.

b) x x

x x x x

x x x x

−( ) + −( ) = ⇒

⇒ − + + − + = ⇒

⇒ − = ⇒ −( ) = ⇒

3 1 10

6 9 2 1 10

2 8 0 2 4 0

2 2 2

2 2

2 xx

x

==

0

4.

A

B C

x −1 x − 3

10

c) 1 < y < 3, 1 < y y – 1 > 0 E x y y y y( ) = − + − = − + − => <

1 3 1 3 20 0

.

3. a)

A

B

C

A′

B′

C′M

Figura 3

M′T

N

2 3

3 3

4 3

b) A A A

A

A

A

t l b

l b

b

t

h

= +

= ⋅ = ⋅ = ( )= ⋅ = ( )= +

2

12 3 3 3 108

16 3 3

412 3

108 2

2

cm

cm

2

44 3 cm2( ).

c) CNl= = ⋅ =3

2

4 3 3

26 cm ,

M′T = linie mijlocie = 3 cm MT = 6 cm.

d) sin .u u = = ⇒ ( ) =3 3

6

3

260m

ţi

© 2014

Săptămâna 34


Nr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te

a) 48 15 100 5 36

b) 37 10; 11; 12; 13; 14; 15 12 2,4 36 3

c) 25 0,5 6 3 180 3


1. a) t + f = 60 şi t

f= 2 75, . (2p)

Finalizare: Fiul are 16 ani (4p) b) În urmă cu x ani: 44 − x = 3(16 − x) (2p) Finalizare: x = 2 ani (2p)2. a) f(2) = −3 şi g(2) = −3 (1p) a = 2 (2p) b = 3 (2p) b) Reprezentarea corectă a unui punct situat pe graficul funcţiei f, respectiv g. (2p) Reprezentarea corectă a altui punct situat pe graficul funcţiei f, respectiv g. (2p) Trasarea graficului funcţiei f şi a funcţiei g. (2p) c) Punctul de intersecţie a celor două grafice este A(2; −3) ⇒ ⇒ înălţimea triunghiului = 2u (2p)3. a) Transcrierea figurii 3 (3p) Completarea desenului. (2p)

b) OM ⊥ VB, M ∈ VB şi MB = 5,4 cm (2p) Finalizare: VB = 15cm (3p) c) Aria bazei = 81π cm2 (2p) Aria laterală = 135π cm2 (2p) Finalizare: Aria totală = 216π cm2 (1p) (Atenţie! Dacă elevul nu calculează aria totală, dar scrie corect formula

ei, se acordă 1p din 5p) d) Calculul razei cercului circumscris (3p)

Finalizare: cosinusul unghiului PAO = 24

25. (2p)

Săptămâna 35


Nr. item 1 2 3 4 5

Rez

ulta

te a) 127 772 60 2 2 5

b) 7 · 8 755 33 16 25�c) 1 768 1 4 120�


1. a) Prima data: rest

A doua oar : 2

5

40

100

2

5

3

53

5

6

x x x

x

= ⇒

⋅

=

225

2

5

6

25

16

25

9

25

2

5

9

25

x

x x x x x x

x

A treia oar : − +

= − =

.

= ⇒ + + + =

− − −( ) = ⋅ ⇒

18

125

2

5

6

25

18

125108

125 50 30 18 108 125 27

x x x x x

x x == ⋅ ⇒ =108 125 500x .

ă

ă

ă

© 2014

Prima data: rest

A doua oar : 2

5

40

100

2

5

3

53

5

6

x x x

x

= ⇒

⋅

=

225

2

5

6

25

16

25

9

25

2

5

9

25

x

x x x x x x

x

A treia oar : − +

= − =

.

= ⇒ + + + =

− − −( ) = ⋅ ⇒

18

125

2

5

6

25

18

125108

125 50 30 18 108 125 27

x x x x x

x x == ⋅ ⇒ =108 125 500x .

b) 10820

100108

1

5500 108 100: ⋅ ⇒ > ⋅ ⇒ > ( )x Adev rat

2. a) f a b a b

f a b a b

2 3 2 4 2 3 2 5

1 9 2 2 9 5

( ) = − ⇒ + + − = − ⇒ + = −

−( ) = − ⇒ − − + − = − ⇒ − + = − ⋅ −/ 11

2 5

5

0

52 7

( )+ = −− =

⇒== −

⇒ ( ) = −a b

a b

a

bf x x .

b)

–1

–9

2

4

–7B(–1; –9)

A(2; –3)–3 2

x

u

c) tg .u = 1

2

3. a)

A B

CD

V

M

O

N

T

G

3

b) V

Al h

l h

VA h

l h

l l

VMN

b

=

= ⋅ =

⇒ ⋅ =

=⋅

⇒

⋅ = ⋅ ⇒

⇒

108 6

227 2

54 2

3108 6

3 108 62

cm.

⋅⋅( ) = ⋅

⋅ = ⋅ ⇒

⇒ = =

h

l

l AB

3 108 6

54 2 3 108 6

6 3

.

cm.

c)

d) ; ∆VAB - echilateral AT - mediană şi înălţime, AT = 9 cm AG = AC = = AO = . ∆VAB - echilateral, OV = OA = OB = OVAB - piramidă ∆-ulară regulată PrO(VAB) = O - centrul cercului circumscris ∆-ului VAB. O º G OG ^ (VAB).

A

BC

D

V

MO

N

T

G

3 3

3 3

Clasa a VIII-a Matematică Răspunsuri...b) Desfăşurarea cilindrului A este un dreptunghi de...

Documents

Transcript of Clasa a VIII-a Matematică Răspunsuri...b) Desfăşurarea cilindrului A este un dreptunghi de...