Cinemática delCinemática del sólido rígido IIsólido rígido II

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Dpto. Física y Mecánica Cinemática del Cinemática del sólido rígido II sólido rígido II Movimiento plano

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Dpto. Física y Mecánica

Cinemática delCinemática del sólido rígido IIsólido rígido II

Movimiento plano

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Movimiento plano. Generalidades 

Axoides

Axoides. Movimiento de Poncelet

Axoides. Ecuación analítica

á d óCento instantáneo de rotación

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Movimiento plano del sólido rígido

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Movimiento plano

Un sistema tiene movimiento plano-paralelosi existe un plano Π de puntos del sistemaque se mantiene constantemente coincidenteque se mantiene constantemente coincidenteconsigo mismo a lo largo de la evolución delmovimiento en el tiempomovimiento en el tiempo.

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Movimiento plano

Todos los puntos del sistema que pertenecen a ese plano Π,tienen velocidades cuyos vectores están contenidos en eltienen velocidades cuyos vectores están contenidos en elmismo

Si existiera un punto P de dicho plano cuya velocidad noi id l l d i i íestuviera contenida en el plano, admitiría una

descomposición en una componente sobre el plano y otra enla dirección perpendicularla dirección perpendicular

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En un movimiento plano-paralelo el eje instantáneo

Movimiento plano

En un movimiento plano paralelo el eje instantáneode rotación y deslizamiento es perpendicular en todomomento al plano Π.momento al plano Π.

Π PrA r

AvPv

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Las velocidades A y P están contenidas en el plano,

Movimiento plano

Las velocidades A y P están contenidas en el plano, así como el vector que une ambos puntos

El producto vectorial también está contenido en dicho plano y es perpendicular al plano Π.

rω ∧ωe d c o p a o y es pe pe d cu a a p a o

Π A

Pr  

Pv

Av

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ω

Movimiento plano

´ B

Π´  ωA y B situados en

planos paralelos, Π yΠ´ respectivamente

Bv

Π A

Π respectivamente

AAv

Como la velocidad de ambos puntos es lamisma porque los vectores y son colineales.

B Av v ABω= + ∧ωAB

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A id fi i d l j

Axoides

Axoide es una superficie generada por el ejeinstantáneo de rotación y deslizamiento durante su

i imovimiento

Si la evolución se observa desde la referencia fija elid d d i id fij i laxoide generado se denomina axoide fijo; si la

evolución del eje se considera desde la referenciaó il li d l i i t d l ólid i d f blmóvil ligada al movimiento del sólido indeformable,

el axoide generado es el axoide móvil.

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Axoides

En un momento dado el eje instantáneo deEn un momento dado, el eje instantáneo derotación y deslizamiento es único

En ese instante ambos axoides coinciden en unarecta común que es el eje instantáneo de rotación yrecta común que es el eje instantáneo de rotación ydeslizamiento en ese instante

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Axoides

En el transcurso del tiempo se puede considerarEn el transcurso del tiempo se puede considerarque el axoide móvil rueda sobre el axoide fijoalrededor de su recta común con velocidad angularalrededor de su recta común, con velocidad angularw y además desliza con la velocidad de mínimodeslizamientodeslizamiento.

El axoide móvil arrastra al sólido indeformableEl axoide móvil arrastra al sólido indeformable

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Axoides: Ecuación analítica

Expresando la ecuación del eje instántaneo deExpresando la ecuación del eje instántaneo derotación y deslizamiento en función del tiempo, enun sistema de referencia fijo y en uno móvil seun sistema de referencia fijo y en uno móvil seobtienen las ecuaciones de los axoides

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Se puede considerar que el sólido está ligado y se

Axoides. Movimiento de Poncelet

Se puede considerar que el sólido está ligado y semueve solidariamente con la superficie móvil (axoidemóvil) que rueda sobre una superficie fija (axoidemóvil) que rueda sobre una superficie fija (axoidefijo) al mismo tiempo que experimenta undeslizamiento a lo largo de la generatriz comúndeslizamiento a lo largo de la generatriz comúninstantánea.

Tal representación del movimiento se debe alTal representación del movimiento se debe almatemático francés Jean Victor Poncelet a quiendebe su nombredebe su nombre

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Fij O X Y Z

Axoides

Fijo: O1, X1, Y1, Z1 Móvil: O, X, Y, Z  z z1 

o yo y

o1  y1 

x x1 

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Fij O X Y Z

Axoides: Ecuación analítica

Fijo: O1, X1, Y1, Z1 Móvil: O, X, Y, Z

v v i v j v k= + + O O O Ov v i v j v k= + +1 1 1 1O Ox Oy Ozv v i v j v k= + +

1 1 1 1x y zi j kω ω ω ω= + +

O Ox Oy Ozv v i v j v k+ +

x y zi j kω ω ω ω= + +1 1 1 1x y zj

1 1 1P x y zv v i v j v k= + +

y

P x y zv v i v j v k= + +

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Desarrollo de la ecuación en los dos sistemas

Axoides: Ecuación analítica

P Ov v PO ω= + ∧

Desarrollo de la ecuación en los dos sistemas

P O

En el sistema de referencia fijo En el sistema de referencia móvil

1 1x Oxv v i j k⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

x Oxv v i j k⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

x Ox

y Oy x y z

z Oz O O O

jv vv v x x y y z z

ω ω ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y Oy x y z

z Oz

v vv v x y z

ω ω ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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P Ov v PO ω= + ∧

Axoides: Ecuación analítica

ω ωEn el sistema de referencia fijo En el sistema de referencia móvil

1 11 1

1 1 1 1

y zx Ox

O O

v vy y z zω ω

= +− −

y zx Oxv v

y zω ω

= +

1 1z xω ω z xω ω1 11 1

1 1 1 1

z xy Oy

O O

v vz z x x

= +− − 1

z xy Oyv v

z x= +

1 11 1

x yOv v

ω ω= + x yv v

ω ω= +1 1

1 1 1 1z Oz

O O

v vx x y y

+− − z Ozv v

x y= +

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Axoides: Ecuación analítica

Ecuación del axoide en el sistema de referencia fijo

1 1 1 1 1 11 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

y z z x x yOx Oy Oz

O O O O O O

v v vy y z z z z x x x x y yω ω ω ω ω ω

+ + +− − − − − −

= =1 1 1x y zω ω ω

En el sistema de referencia móvil

ω ωω ω ω ω

En el sistema de referencia móvil

1

z xy z x yOyOx Ozvv v

z xy z x yω ωω ω ω ω

++ += =

x y zω ω ωOCW-UPM

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C t i t tá d t ió

C l i i i t l d ólid í id

Centro instantáneo de rotación

Cualquier movimiento plano de un sólido rígido es unarotación instantánea alrededor de un punto del espaciodenominado Centro Instantáneo de Rotación (c i r)denominado Centro Instantáneo de Rotación (c.i.r)

ω es perpendicular al plano del movimiento y por tanto a

v v AB, ,A Bv v AB

· · .... ·A B Pv v vω ω ω= =

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