CHƯƠNG V - Viện Toán ứng dụng và Tin học

of 102/102
1 CHƯƠNG V 13/12/2020 TS. NGUYỄN HẢI SƠN
  • date post

    04-Dec-2021
  • Category

    Documents

  • view

    2
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of CHƯƠNG V - Viện Toán ứng dụng và Tin học


§1: DNG SONG TUYN TÍNH
TRONG KHÔNG GIAN VECT THC
§1: DNG SONG TUYN TÍNH
1.1 nh ngha. /n. Cho V là mt R-kgvt, ánh x φ: VxVR gi là mt dng song tuyn tính trên V nu nó tha mãn các t/c sau:
(i) (ii) (iii) (iv)
1 2 1 2( ; ) ( ; ) ( ; )x x y x y x y ( ; ) ( ; )x y x y
1 2 1 2( ; ) ( ; ) ( ; )x y y x y x y ( ; ) ( ; )x y x y
vi 1 2 1 2, , , , , ,x x x y y y V
§1: DNG SONG TUYN TÍNH
Chú ý: Nu c nh mt bin thì dng song tuyn tính tr thành dng tuyn tính theo bin còn li.
VD1. Ánh x φ: RxR R xác nh bi φ(x,y)=x.y là mt dng song tuyn tính.
VD2. Ánh x φ : R2x R2 R xác nh bi φ(u,v)=x1.x2+y1 y2 là mt dng song tuyn tính.
§1: DNG SONG TUYN TÍNH
Chú ý. Ánh x tuyn tính f : V R vi V là mt R-kgvt gi là dng tuyn tính trên V.
VD3. Nu V là kgvt và f, g là hai dng tuyn tính trên V thì ánh x φ : VxV R xác nh bi φ(u,v)=f(u)g(v) là mt dng song tuyn tính.
§1: DNG SONG TUYN TÍNH
VD4. Ánh x φ : R2x R2 R xác nh bi
là mt dng song tuyn tính.
1 1 2

/n. Dng song tuyn tính φ : Vx V R gi là i xng nu φ(x;y)= φ(y;x) vi mi x,y thuc V.
VD5. Các dng song tuyn tính VD1, VD2 là các dng song tuyn tính i xng.
§1: DNG SONG TUYN TÍNH
1.2 Ma trn ca dng song tuyn tính.
a./n. Cho φ: VxV → R là dng song tuyn tính trên V. Gi B={e1, e2,…, en} là mt c s ca V.
t φ(ei,ej)=aij vi i,j=1,…,n. Khi ó, ma trn
A=[aij] gi là ma trn ca φ i vi c s B.
VD. Cho dng song tuyn tính φ : R2x R2 R x bi φ(u,v)=x1.x2+y1 y2 . Vit ma trn ca i vi c s chính tc ca R2 và B={v1=(1;1),v2=(1;2)}
§1: DNG SONG TUYN TÍNH
b. Biu thc ta .
Cho x=x1e1+x2e2+…+xnen và y=y1e1+y2e2+…+ynen. Khi ó.
ij , 1 , 1
( , ) ( , ) [x] [ ] n n
i j i j

§1: DNG SONG TUYN TÍNH
c. Công thc i ta
G/s B’={v1, v2,…, vn} là c s khác ca V và T là mtr chuyn c s t B sang B’.
Gi A’ là ma trn ca φ i vi c s B’.
Ta có B ' B '

t t B B
T AT
§1: DNG SONG TUYN TÍNH
Do ó ' ' ' '[x] ( )[y] [x] '[y]t t t B B B BT AT A
' tA T AT
L. Hng ca ma trn ca dng song tuyn tính trên kgvt V không ph thuc vào c s c chn.

2.1 nh ngha
a. /n. Cho dng song tuyn tính i xng φ trên R- kgvt V. Khi ó ω(x) = φ(x,x) gi là dng toàn phng sinh bi dng song tuyn tính φ ã cho.
- Ma trn ca dng toàn phng này theo mt c s nào ó là mtr ca dng song tuyn tính i xng sinh ra nó theo mt c s ó.
Chú ý: Ma trn ca dng toàn phng là mtr i xng.
§2: DNG TOÀN PHNG
b. Dng toàn phng xác nh dng, xác nh âm. Cho dng toàn phng ω(x) =φ(x,x).
+ φ(x,x) gi là xác nh dng nu
+ φ(x,x) gi là xác nh âm nu
- Nu φ(x,x) không xác nh dng, không xác nh âm thì nó gi là không xác nh du.
( ; ) 0,x x x
( ; ) 0,x x x
- Ma trn tng ng ca dng toàn phng cng c gi là xác nh dng, xác nh âm và không xác nh du.
§2: DNG TOÀN PHNG
c. Dng chính tc ca dng toàn phng.
Cho dng toàn phng ω(x) = φ(x,x) ca ma trn A i vi c s B ca V.
Ta có , 1
i j
x x x A x a x x
Trong trng hp A là mtr chéo thì dng toàn phng φ(x,x) gi là có dng chính tc
2 2 2 11 1 22 2( , ) ... nn nx x a x a x a x
§2: DNG TOÀN PHNG
2 2 2 11 1 22 2( , ) ... nn nx x a x a x a x
NX: φ(x,x) xác nh dng khi và ch khi
φ(x,x) xác nh âm khi và ch khi
0,iia i
0,iia i
“a dng toàn phng v dng chính tc”
hay “Tìm mt c s ca V ma trn ca dng toàn phng có dng chéo”
§2: DNG TOÀN PHNG
Có 3 phng pháp Phng pháp Lagrange (SV t c)
Phng pháp Jacobi
§2: DNG TOÀN PHNG
2.2.1 Phng pháp Lagrange (SV t c) VD. Dùng phng pháp Lagrange, a các dng toàn phng sau v dng chính tc.
a)
b)
2 2 2 1 2 3 1 2 1 3( ) 2 3 4x x x x x x x x
1 2 2 3 3 1( )x x x x x x x
§2: DNG TOÀN PHNG
2.2.2 Phng pháp Jacobi Cho dng toàn phng ω(x) có ma trn A=[aij ] i vi mt c s {e1, e2,…, en } nào ó ca V.
11 12 1
21 22 2
A
§2: DNG TOÀN PHNG
Nu A có các nh thc con chính 0, 1,k k n
11 12 1
21 22 2
a a a



thì tn ti mt c s B ca V sao cho theo c s ó dng toàn phng có dng chính tc.
2 2 211 1 2
1 2
•Tiêu chun Sylvester
Cho dng toàn phng ω(x) có ma trn A theo mt c s nào ó ca V.
+ ω(x) xác nh dng khi và ch khi Δk>0 vi mi k =1,2,…,n.
+ ω(x) xác nh âm khi và ch khi (-1)kΔk>0 vi mi k =1,2,…,n.
§2: DNG TOÀN PHNG
VD 1. Xác nh du ca dng toàn phng 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 5 5 4 8 4x x x x x x x x x x
2 2 2 1 1 2 2 3( ) 2 3 4x x x x x x
a) b)
VD 2. Xác nh a các dng toàn phng sau xác nh dng
2 2 2 1 2 3 1 2 1 3( ) 5 4 2x x x ax x x x x 2 2 1 2 1 2 2 3( ) 2 2 2x x ax x x x x
a) b)
§2: DNG TOÀN PHNG
•nh lut quán tính

§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
3.1 Tích vô hng và không gian Euclide. /n: Cho V là R-không gian vect, ánh x
(i) (ii) (iii) (iv)
, 0, .x x x V
, , , ,x y y x x y V , , , , ,x y x y x y V
1 2 1 2 1 2, , , , , ,x x y x y x y x x y V Du “=” ch xy ra khi x=θ.
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
-Không gian vect thc V hu hn chiu trên ó xác nh mt tích vô hng gi là không gian Euclide. NX. Tích vô hng trong kgvt V thc cht là mt dng song tuyn tính i xng φ(x,y)=<x,y> trên V sao cho φ(x,x) là mt dng toàn phng xác nh dng.
VD1. Không gian các vect trong cùng mt mt phng, hoc trong không gian vi tích vô hng ã hc là mt không gian Euclide.
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD2. Trong Rn, ta có các dng sau là tích vô hng.
NX. Trên mt không gian có th có nhiu tích vô hng khác nhau và ng vi mi tích vô hng ó ta có mt kiu không gian Euclide.
(i) (ii)
Vi x=(x1,x2,…,xn) và y=(y1,y2 ,…,yn)Rn.
1 1 2 2, ... n nx y x y x y x y
1 1 2 2, 2 ... n nx y x y x y nx y
1 1 1 2 2 2, ... n n nx y a x y a x y a x y trong ó, các 0, 1,ia i n
(TVH thông thng)
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD3. Trong kg Pn[x], chng minh dng sau là mt tích vô hng. 1
1
, ( ) ( )p q p x q x dx
vi mi . , P [ ]np q x VD4. Trong kg C[a;b], chng minh dng sau là mt tích vô hng.
, ( ) ( ) b
a
f g f x g x dx vi mi , [ ; ]f g C a b
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
3.2 dài ca vect. a./n. G/s E là mt R-kgvt ã c trang b tích
vô hng < >. Khi ó vi mi xE, thì ||x|| c xác nh bi
gi là dài (hay gi là chun) ca vect x.
1 2, ,x x x x x
VD: Trong Rn vi tích vô hng thông thng ta có 2 2 2 1 2 ... nx x x x
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
b. Bt ng thc Cauchy-Schawarz. Cho E là mt R-kgvt ã c trang b TVH < , >. Khi ó, vi mi x,y E ta có
, .x y x y
VD: Trong Rn vi tích vô hng thông thng, ta có bt sau
2 1 1 2 2
( ... )


§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
3.3 Góc gia hai vect và h vecto trc giao. a./n. Cho hai vect x và y trong kgvt E vi tích
vô hng < , >.
- Nu x, y khác vecto không thì góc gia hai vect x và y c xác nh bi
,( , ) arccos .

- Nu mt trong hai vect x, y là vect không thì góc gia hai vect x và y là tùy ý.
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
b. H vect trc giao
- Hai vect x, y trong kgvt E vi tích vô hng < , > gi là trc giao nu <x ,y>=0. Kí hiu xy.
VD1. Trong R3 vi tích vô hng thông thng, xét các vect x=(1;-1;2), y=(1;1;0), z=(0;0;2).
Xét tính trc giao ca các vect trên
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
1

Khi ó, u=1+x2 và v = x là trc giao
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
/n - H vect {v1,v2,…,vn} gi là h trc giao nu
, 0, i jv v i j
-H vect {v1,v2,…,vn} gi là h trc chun nu
0 khi ,
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD1. Trong không gian Rn, vi tích vô hng thông thng, c s chính tc E là mt h trc chun.
VD2. Trong P2[x] vi tích vô hng 1
1

Tìm mt h gm 3 véct trc chun i vi tích vô hng trên.
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
c. Hai không gian con trc giao Trong kgvt E vi tích vô hng < , > , cho vect
x và hai kg con W, V. (i) x gi là trc giao vi W, kí hiu: x W nu
y, Wx y (ii) V gi là trc giao vi W, kí hiu: VW nu
y, , Wx x V y
(iii) V gi là phn bù trc giao vi W, kí hiu: W
nu { | , }V W x E x y y W
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
3.4 C s trc giao, c s trc chun.
a.L. Trong kgvt E vi tích vô hng < , >, mi h vect trc giao là h c lp tuyn tính.
c/m:… b./n. Trong kgvt E vi tích vô hng < , >, c s B gi là c s trc giao (tng ng c s trc chun) nu nó là h trc giao (h trc chun)
VD. Trong kg Euclide Rn vi tích vô hng thông thng thì c s chính tc chính là c s trc chun
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
Bài toán t ra:
Cho kg Euclide E. Hãy tìm mt c s trc chun ca E.
TRC CHUN HÓA MT H C LP TUYN TÍNH
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
3.4 Thut toán trc chun hóa Gram-Smith.
G/s {v1, v2,…, vn} là mt h vect c lp tuyn tính ca kgvt E vi tích vô hng < , >.
Quá trình trc chun hóa h véct trên gm 2 bc:
Bc 1. Trc giao hóa.
Bc 2. Trc chun hóa.
3.4. Trc chun hóa Gram-Smith
Bc 1. Trc giao hóa.
t 1 1u v 1 2 1
2 2 2 1







L. H {u1, u2,…, un} có tính cht
(i) Là mt h trc giao.
(ii) span(u1, u2,…, uk )= span(v1, v2,…, vk),
vi k=1,…,n
t , 1,i i

Khi ó, ta c h {e1,e2,…,en} là mt h trc chun.
T/v: , 0 khi
i j i j

3.4. Trc chun hóa Gram-Smith
VD1. Trong không gian R3, vi tích vô hng thông thng, hãy xây dng c s trc chun {e1,e2,e3} t c s
B={v1=(1;1;1),v2=(1;1;2);v3=(1;2;3)}
VD2. Câu hi nh VD1 vi
B={v1=(1;1;1),v2=(1;1;0);v3=(1;0;0)} VD3. Câu hi nh VD1 vi tích vô hng.
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ),( , , ) 2 3x x x y y y x y x y x y
3.4. Trc chun hóa Gram-Smith
VD4. Trong không gian P2[x], vi tích vô hng
hãy xây dng c s trc chun {e1,e2,e3} t c s
E={1; x; x2}

3.5.Công thc ta i vi c s trc chun
Trong kg Euclide (E, < , >), cho c s trc chun B={e1, e2,…, en }. Khi ó, vi mi vect x và y thuc E, ta có
1 1 2 2( ) , , ... , n ni x x e e x e e x e e tc là 1 2( ) ( , , , ,..., , )B nx x e x e x e
1
ii x y x y
1 2 1 2( ) ( , ,..., ),( ) ( , ,..., )B n B nx x x x y y y y ó
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
Ví d. Xét không R3 vi tích vô hng Euclide thông thng, có mt c s trc chun là
1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2; ; , ; ;0 ; ; ; 3 3 3 2 2 6 6 6
B e e e

Cho v=(1;2;-3). Tìm ta ca v i vi c s B.
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
WPr ( ) Wv v
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
L. Trong kg Euclide (E, < , >), cho kg con W và vect x. G/s B={e1, e2,…, em} là c s trc chun ca W. Khi ó, hình chiu ca vecto v lên kg W là:
W 1 1 2 2( ) , , ... , m mch v v e e v e e v e e
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD1. Xét không R3 vi tích vô hng thông thng. Gi s H là không gian các nghim ca phng trình x1+x2-x3=0. Tìm mt c s trc chun ca H. Tìm ta ca vect u=(1;2;3) thuc H i vi c s va tìm c trên.
VD2. Xét không R3 vi tích vô hng thông thng. Gi s H là không gian các nghim ca phng trình x1 -x2-x3=0. Tìm mt c s trc chun ca H. Tìm ta ca vect u=(4;1;3) thuc H i vi c s va tìm c trên. ( II-K56)
( I-K56)
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD3. Xét không R3 vi tích vô hng Euclide thông thng. Cho các vecto u1=(1;2;3), u2=(-4;5;1), u3=(-2;9;7), u =(4;-1;-3). t H=span{u1,u2,u3}. Tìm hình chiu vuông góc ca vect u lên không gian con H.
VD4. Xét không R3 vi tích vô hng Euclide thông thng. Cho các vecto v1=(1;-2;3), v2=(3;-7;10), v3=(-1;3;-4), v =(1;3;1). t H=span{v1,v2,v3}. Tìm hình chiu vuông góc ca vect v lên không gian con H. ( IV-K55)
( III-K55)
( III-K55)
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ; ; ),( ; ; ) 2 x x x y y y x y x y x y
w 45
§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE
VD6. Trong không gian R3 vi tích vô hng
cho B là không gian nghim ca phng trình 2x1+x2-2x3=0 và vecto v =(2;2;1).
1) Tìm mt c s trc chun ca B.
2) Tìm vect wB sao cho w⊥v và
( IV-K55)
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ; ; ),( ; ; ) 2x x x y y y x y x y x y
w 3 3
( I-K53)
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ; ; ),( ; ; ) 2 x x x y y y x y x y x y
/s:

§4: PHÉP BIN I TRC GIAO
4.1 nh ngha. Toán t tuyn tính f trên kg Euclide E c gi là phép bin i trc giao nu:
( ), ( ) , , ,f x f y x y x y E
Tính cht.


§4: PHÉP BIN I TRC GIAO
4.2.L. Toán t tuyn tính f là trc giao khi và ch khi nó bin mt c s trc chun thành mt c s trc chun.
4.3./n Ma trn A c gi là ma trn trc giao nu
At = A-1 hay AtA=E
4.4. L Toán t tuyn tính f trên kg Euclide E là phép bin trc giao nu ma trn ca nó theo mt c s trc chun nào ó là ma trn trc giao.
§4: PHÉP BIN I TRC GIAO
H qu. Ma trn chuyn c s t mt c s trc chun sang mt c s trc chun khác là mt ma trn trc giao. Ngc li, mi ma trn trc giao u có th xem là ma trn chuyn c s t c s trc chun này sang c s trc chun khác.
VD. cos sin sin cos
A
§5: TOÁN T I XNG
§5: TOÁN T I XNG
5.1 n. Toán t tuyn tính f trên kg Euclide E gi là toán t i xng nu
( ), , ( )f x y x f y
5.2 L. Toán t tuyn tính f trên kg Euclide E là toán t i xng nu ma trn ca nó i vi mt c s trc chun là i xng.
§5. TOÁN T I XNG
5.3 L. Nu A là ma trn i xng thì A có các tính cht di ây.
(i) Mi giá tr riêng ca A u là thc
(ii) Pt c trng có n nghim (k c bi)
(iii) Các vecto riêng ng vi các tr riêng khác nhau trc giao vi nhau.
(iv) A chéo hóa c.
§5. TOÁN T I XNG
5.3 /n. Mtr A gi là chéo hóa trc giao c nu tn ti mtr trc giao T sao cho TtAT là mtr chéo.
5.4 L. Mtr A chéo hóa trc giao c khi và ch khi A là mtr i xng.
§5. TOÁN T I XNG
5.5. Thut toán chéo hóa trc giao mtr i xng A
Bc 1. Tìm các tr riêng λ1, λ2,…, λk ca A tng ng có các bi d1, d2,…, dk vi d1+d2+…+ dk=n.
Bc2. Vi mi tr riêng λi, ta tìm mt c s trc chun ca kg riêng bng thut toán Gram-Smith. Khi ó, ta s có mt c s trc chun là các vect riêng ca A.
Bc3. Lp ma trn T có các ct là các VTR ca A, ta c T là mtr trc giao, làm chéo hóa A.
( ) i
§5. TOÁN T I XNG
VD 1. Tìm mtr trc giao T làm chéo hóa các mtr sau
5 2 )
2 8
1 1 3
§5. TOÁN T I XNG
VD 2. Cho ma trn
i) Tìm mtr trc giao P và ma trn chéo D sao cho
0 1 2 A 1 0 2
2 2 3
/s: Các GTR là -5, 1, 1
§5. TOÁN T I XNG
5.6. a dng toàn phng v dng chính tc bng phng pháp chéo hóa trc giao
G/s A, A’ tng ng là mtr ca dng toàn phng φ vi c s trc chun E và B. Nu T là ma trn chuyn c s t E sang B thì T là ma trn trc giao và A’=TtAT.
Nu A’ có dng chéo thì vi c s B, φ có dng chính tc.
§5. TOÁN T I XNG
a các dng toàn phng v dng chính tc bng phng pháp chéo hóa trc giao
2 3 1 2 1 3 2 35 4 6 6q x x x x x x x ( I-K55)(i)
( I-K55)(ii) 2 3 1 2 1 3 2 34 2 6 6 q x x x x x x x
( III-K56) (iii) 2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 33 3 6 4 2 2 q x x x x x x x x x
( IV-K56) (iv) 2 2 2

6.1 nh ngha.
G/s E là mt kg Euclide n- chiu trên trng s thc.
/n. Tp U c gi là không gian hình hc Euclide n chiu ta trên E nu mi cp (M, N) UxU tng ng vi mt véct ca E, kí hiu là tha mãn 2 tiên sau:
MN
, M,N,P UMN NP MP
(i) (ii) Vi mi M U và tn ti duy nht
N U MN a a E



§6: KG HÌNH HC EUCLIDE
Khi U là không gian hình hc Euclide thì các phn t ca U c gi là các im. VD1. - Mt phng hình hc thông thng là mt không gian hình hc Euclide hai chiu.
- Không gian hình hc thông thng là mt không gian hình hc Euclide ba chiu.
VD2. Vi mi M(x1;x2;…;xn), N(y1;y2;…;yn) Rn ta cho tng ng vi vect Khi ó, Rn là mt kg hình hc Euclide.


§6: KG HÌNH HC EUCLIDE
/n 2. U là mt kg hình hc Euclide ta trên E, G là mt im ca U; {f1, f2,…,fn} là mt c s trc chun ca E thì b [G,(f1, f2,…,fn)] c gi là h ta trc chun ca U vi gc ta G.
Khi ó, vi mi im M ca U, ta ca véc t i vi c s trc chun trên gi là ta ca M theo h ta [G,(f1, f2,…,fn)] .
GM
§6: KG HÌNH HC EUCLIDE
Ví d. 1.H ta các Oxy trong mt phng.
2. H ta các Oxyz trong không gian.
§6: KG HÌNH HC EUCLIDE
6.2 Siêu phng và ng thng.
/n 1. Cho kg Euclide U ta trên E. Tp con
1 2 1 1 2 2{ ( , ,..., ) | ... }n n nP M x x x U a x a x a x b vi gi là mt siêu phng ca U.
1 2( , ,..., ) (0;0;...;0)na a a
Khi ó, gi là phng trình ca P.
1 1 2 2 ... n na x a x a x b
Ví d. ng thng trong mt phng, mt phng trong không gian.
§6: KG HÌNH HC EUCLIDE
n 2. ng thng D ca không gian Euclide U là tp con ca U có dng
0 1 1 1
0 2 2 2
x x a t
§6: KG HÌNH HC EUCLIDE
6.3 Mt bc hai.
/n 1. Tp con S trong kg hình hc Euclide n chiu U ta trên E c gi là mt mt bc hai, nu vi mi h ta trc chun [G,(f1, f2,…,fn)] ca U thì
1 2 ij , 1 1
( , ,..., ) | ' 0 n n
n i j i i i j i

trong ó không ng thi bng 0 và b1, b2, …, bn, c là các hng s xác nh.
ij'a
§6: KG HÌNH HC EUCLIDE
VD1.Trong mt phng Oxy, ng tròn, các ng cônic là mt mt bc 2:
(C) (x-a)2 + (y-b)2 = R2
VD2.Trong không gian Oxyz, mt cu là mt mt bc 2:
(C) (x-a)2 + (y-b)2 +(z-c)2 = R2
2 2 2 2 2

NX. Nu t thì A=[aij ] là mt
ma trn i xng và ij
1 ( ' ' ) 2ij jia a a
ij , 1 1 1
' [x] [ ] n n n
t i j i i i i


§6: KG HÌNH HC EUCLIDE
Bài toán t ra. Cho S là mt mt bc hai trong kg Euclide n chiu U ta trên E. G/s trong mt h ta trc chun [G,(f1,f2,…,fn)], S có pt:
1
A x b x c
Ta cn tìm mt h ta mi trong U trong
h ta ó pt ca S là 2
1 1
x c x d

§7:A MT BC HAI V DNG CHÍNH TC TRONG KHÔNG GIAN
HÌNH HC EUCLIDE.
§7: A MT BC HAI V DNG CHÍNH TC
7.1.a phng trình bc hai v dng chính tc.
Bài toán: G/s S là mt bc hai trong kg hình hc Euclide U, có phng trình
trong h ta trc chun [G,(e1,e2,…,en)].
[x] [ ] ( )t tA x c A A
Cn tìm mt h ta trc chun mi gc G trong h ó S có phng trình dng chính tc
2
1
r
Li gii cho bài toán.
G/s T là mtr trc giao làm chéo hóa A. Khi ó
1
2
1
y y x



H ta trc chun mi ca U S có dng chính tc là [G,(f1;f2;…;fn)] vi [f1 f2 … fn]=[e1 e2 … en]T
§7: A MT BC HAI V DNG CHÍNH TC
§7: A MT BC HAI V DNG CHÍNH TC
Ví d. Trong không gian ta trc chun [O,(e1;e2;e3)], ng cong S có phng trình
Hãy tìm mt h ta trc chun gc O trong h ta ó, S có pt dng chính tc.
2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1( ) 2 2 2 2 2 2 5S x x x x x x x x x
Nhn xét. Nu ch nhn dng mt bc hai thì ch vic dùng các phép bin i không suy bin, chng hn phng pháp Lagrange và Jacobi. Nhng nh th, thc cht nó ã b bin dng (elip thành ng tròn, hình cu thành elipsoid,…). Trong thc t ôi khi ngi ta không ch quan tâm n dng ca mt mà còn kích c ca nó, nên ngi ta phi dùng n phép bin i trc giao a nó v dng chính tc.
§7: A MT BC HAI V DNG CHÍNH TC
§7: A MT BC HAI V DNG CHÍNH TC
7.2.a mt bc hai v dng chính tc trong không gian hình hc Euclide.
Bài toán: G/s S là mt bc hai trong kg hình hc Euclide U, có phng trình
trong h ta trc chun [G,(e1,e2,…,en)]. 1
[ ] [ ] 0 n

Cn tìm mt h ta trc chun mi trong h ó S có dng chính tc.
§7: A MT BC HAI V DNG CHÍNH TC
Bc 1: Tìm mtr trc giao T làm chéo hóa A. Tìm h ta [G;(f1;f2;…;fn)] tng ng vi T và phép bin i nh trong mc 7.1
Khi ó, pt ca (S) s là
[ ]=T[ ]x y
i i i i i i i
y c y c i r
Bc 2: Rút gn
i i i i i i
i i r ii i
c cy c y c


Bc 3: Chn im IU có ta là
trong h ta [G,(f1;f2;…;fn)]. Khi ó, trong h ta [I,(f1;f2;…;fn)], S co pt chính tc
1 2
1 2
cy c y c
§7: A MT BC HAI V DNG CHÍNH TC
Ví d. Trong không gian ta trc chun [O,(e1;e2;e3)], ng cong S có phng trình
Hãy tìm mt h ta trc chun gc O trong h ta ó, S có pt dng chính tc.
2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1
1 2 3
( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 5 S x x x x x x x x x
x x x
TRONG MT PHNG
§8: PHÂN LOI MT BC HAI
Bng vic bin i h trc ta , ta luôn a mt ng bc 2 (C) v dng chính tc, bao gm các dng sau ây:
Dng 1. (elip)
Dng 2. (hypecbol)
Dng 3. (parabol)


Dng 4. (cp ng thng ct nhau)
Dng 5. (mt im)
2 2


2 0x a
2 2
2
§9: PHÂN LOI MT BC HAI
Bng vic bin i h trc ta , ta luôn a mt mt bc 2 (S) v dng chính tc, bao gm các dng sau ây:
Dng 1. (elipsoid) 2 2 2
2 2 2 1x y z a b c

Dng 2. (hypecboloid- mt tng) 2 2 2
2 2 2 1x y z a b c

Dng 3. (hypecboloid- hai tng) 2 2 2
2 2 2 1x y z a b c

2 2
2 2
Dng 6. (các mt tr) 2 2
2 2 1x y a b
- Tr eliptic
- Tr hypecbolic
2 2
- Nh din
Dng 7. (Mt nón) 2 2 2
2 2 2 0x y z a b c

Dng 8. (cp mt phng song song)
Dng 9. (cp mt phng trùng nhau)
2
Dng 10. (Các dng o)
a) Elipsoid o 2 2 2
2 2 2 1x y z a b c

2 2

Ví d 1. Nhn dng các ng bc hai sau
a) 2 2 1 2 1 2 1 1x x x x x
b) 2 1 1 2 22 3 0x x x x
Ví d 2. Nhn dng các mt bc hai sau a) 2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 3 12 3 10x x x x x x x x x b) 2 2
1 2 1 2 3 1 22 3 4 0x x x x x x x
§9: PHÂN LOI MT BC HAI
VD3. Trong xét tích vô hng thông thng, cho dng toàn phng
2 2 2 1 2 3 1 1 2 2 3( ; ; ) 4 3 x x x x x x x x
i) Tìm mt c s trc chun ca dng toàn phng có dng chính tc.
ii) Xác nh tên ca mt bc hai sau
1 2 3( ; ; ) 1 x x x
3
3