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Chapitre III - Focalisation à travers une interface fluide/fluide

Chapitre III

Focalisation à travers une interface fluide/fluide

I) Introduction

Notations diverses :

• c1, c , 2 ρ1 et ρ2 sont les vitesses de propagation et densités des milieux fluides 1 et 2, • et cij ρij sont des coefficients sans dimension définis par c c cij i j= / et ρ ρ ρij i j= / , les

indices i et j valant 1 ou 2,

• de même que dans le chapitre précédent, f, f x et f y sont les fréquences temporelle et spatiales, duales du temps t et des coordonnées x et y par transformations de Fourier,

• si est une fonction quelconque de l'espace et du temps, (u x y z t, , , ) )(~ , , ,u x y z f désigne sa transformée de Fourier sur t, sa transformée de Fourier spatiale sur x et y, et

sa transformée de Fourier à 3 dimensions sur x, y et t. (U f f z tx y, , , )

)(~ , , ,U f f z fx y

Dans cette partie, nous allons reprendre l’étude des miroirs plans, mais cette fois en présence

d’une interface séparant deux fluides. Ce cas de figure est très important pour nous, en

particulier dans le cadre des applications en contrôle non destructif pour lesquelles on cherche

en général à focaliser à l’intérieur d’un matériau, la sonde étant elle immergée dans l’eau. Le

véritable problème d’un point de vue expérimental consisterait à étudier le cas d’une interface

entre un fluide et un matériau solide. Par souci de simplification, nous nous limitons ici au cas

d’une interface entre deux fluides.

En raison du contraste d’impédances acoustiques entre les deux fluides, le champ généré par

la source initiale est partiellement réfléchi et transmis au niveau de l’interface. Ce phénomène

s’accompagne d’une distorsion spatiale et temporelle des fronts d’ondes. La focalisation

adaptative dans cette situation suppose donc que l’on tienne compte de ces distorsions.

Nous présentons dans un premier temps la théorie du retournement temporel du champ en

transmission : la source et le miroir sont localisés de part et d’autre de l’interface (c’est le cas

le plus courant en contrôle non destructif). Ensuite, nous étudions le même problème, mais en

réflexion cette fois : la source et le miroir sont alors localisés du même côté de l’interface.

91


Dans la troisième partie, nous travaillons simultanément en modes réflexion et transmission

avec deux miroirs plans, situés de part et d’autre de la source et de l’interface, synchronisés

en temps. Enfin, nous présentons quelques résultats numériques.

Cette étude va permettre de mettre en évidence l’influence de l’interface entre les deux fluides

sur la qualité de la focalisation au voisinage de la source initiale. Nous verrons en particulier

que l’influence de l’interface est beaucoup plus importante en mode transmission qu’en mode

réflexion.

La configuration géométrique considérée est illustrée par la figure 1. La source initiale est

localisée dans le milieu fluide 1 à l’origine de notre système de coordonnées spatiales.

L’interface entre les deux milieux est située en z h= > 0 . Les deux miroirs à retournement

temporel, MRT1 et MRT2, sont respectivement dans les milieux 1 et 2 en z Z= 2

axe x

axe y

axe z

Sourceactive

Milieu fluide 2( )ρ 2 2,c

Milieu fluide 1( )ρ1 1,c

rn2

rn1

interface planesituée en z=h

MRT 2, situé enz z= 2

MRT 1, situé enz z= 1

Figure 1 : géométrie du problème étudié.

92


II) Retournement temporel du champ transmis seulement

De même que dans les deux chapitres précédents, le processus est en deux temps.

1. Emission par la source active

Lors de la première phase, le miroir fonctionne en mode réception et mesure le champ créé

par la source ponctuelle. Les deux milieux de part et d’autre de l’interface étant fluides, les

champs acoustiques qui se propagent sont des grandeurs scalaires. Le champ de pression

incident créé par la source, , satisfait l’équation des ondes dans le domaine

temporel(p x y z ti , , , )

4,25 :

( )31. ( ) ( ) ( ) ( ) (∇ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −2

12

2

21c t

p x y z t t x y zi∂∂

φ δ δ δ, , , ,)

où ( )φ t est la fonction qui décrit les fluctuations temporelles de l’excitation de la source. De même que dans les deux chapitres précédents, cette fonction est supposée causale et définie

uniquement à l’intérieur d’un intervalle de temps [ ]0,Tφ : ( ) [ ]φ φt t= ∀ ∉0 0, , T)

.

Il est important de noter que désigne le champ incident créé par la source, et non

le champ de pression total dans le milieu 1. (p x y z ti , , ,

La solution à l’équation (3.1) est une onde sphérique divergente, classiquement donnée par4,25

( )32. a ( )p x y z tR

t Rci

, , , = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

14 1π

φ

où R x y z= + +2 2 2 . La transformée de Fourier de cette équation (pour les fréquences

positives) nous donne le champ incident en régime monochromatique :

( )32. b ( ) ( ) ( )~ , , , exp / ~ .p x y z fR

j fR c fi =1

42 1ππ φ

Pour calculer les champs réfléchi et transmis, nous utilisons une décomposition du champ

incident en ondes planes monochromatiques. Cette décomposition résulte de la transformée de

Fourier à deux dimensions de l’équation (3.2b) sur les coordonnées x et y. Le champ incident

93


( )~ , , ,p x y z fi est une fonction à symétrie radiale qui ne dépend que r x y= +2 2

)y2

, de sorte que

a également la même symétrie et ne dépend que de défini par

. D’autre part, la transformée de Fourier sur x et y se réduit à une transformée

de Hankel, le noyau de la transformation étant une fonction de Bessel d’ordre 0

(~ , , ,P f f z fi x y frf f fr x

2 2= +21-24 :

( )33. a ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

~ , , ,exp / ~

exp ~ ,

P f f z fj fR c f

RrJ rf dr

j j z f

i x y r=

=

+∞

∫22

42

2

100

11

ππ φπ

π

νν φ

où ν1 est donné par la relation

( )33. b ν π12

12 2

12 2

12

1

2= ×− <

− >

⎧⎨⎪

⎩⎪

f c f f f cj f f c f f c

r r

r r

/ ,/ , /

si si

/ ,.

)

Les équations (3.3a) et (3.3b) supposent que la fréquence f est positive ; pour les fréquences

négatives, ces deux équations doivent être modifiées afin d’assurer l’hermicité de la fonction

par rapport à f.(~ , , ,P f f z fi x y 21,25

Comme on l’a vu dans le chapitre précédent, ν1 peut être réel ou imaginaire pur. Les valeurs

réelles de ν1 correspondent aux composantes propagatives du champ incident, et les valeurs

purement imaginaires aux composantes évanescentes dont l’amplitude décroît

exponentiellement avec z . Bien que ν1 soit une fonction des fréquences f, et , cette

dépendance ne sera pas écrite de façon explicite.

f x f y

Dans la portion d’espace située entre la source et l’interface, 0 <


où ν 2 est défini de la même façon que ν1 , en remplaçant par . est le coefficient de

réflexion pour une onde incidente dans le milieu 1, le coefficient de transmission du

milieu 1 vers le milieu 2 ; leurs expressions en fonction des fréquences f, et et des

vitesses et densités des deux fluides sont données dans l’annexe.

c1 c2 R11T12

f x f y25

Dans le chapitre précédent, nous avons vu comment intervenait l’effet de taille finie du miroir

dans le formalisme en fréquences spatiales. Nous avons également démontré qu’au-delà d’une

certaine taille, le miroir se comportait comme s’il était de taille infinie. C’est pourquoi nous

supposons dès maintenant que notre miroir est de taille infinie, ce qui va simplifier tous les

développements mathématiques à venir.

Dans ces conditions, l’opération de retournement temporel se réduit à une conjugaison

complexe dans l’espace dual des fréquences.

2. Réémission par le miroir

Comme on peut le voir sur la figure 1, la normale au miroir rn2 est orientée vers les z

croissants, de sorte que l’opérateur de dérivée normale se réduit à une dérivation par rapport à

la variable z.

Utilisant les mêmes notations que dans le chapitre précédent, les sources secondaires créées

par le miroir 2 sont données par les expressions suivantes :

( )35. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

~ , , , exp ~ ,

~ , , , exp ~ .

** * *

*

** * *

Σ

Σ

1 21

12 2 2

0 22

112 2 2

2

2

f f Z f j T j Z f

f f Z f T j Z f

x y

x y

= −

= −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

νν φ

νν

ν φ

( )~ , , ,Σ1 2f f Z fx y et ( )~ , , ,Σ0 2f f Z fx y décrivent le champ de pression et sa dérivée normale imposées par le miroir lors de la seconde phase de réémission. Ces nouvelles conditions aux

limites conduisent à un champ de pression qui se propage devant le miroir dans le milieu 2 en

direction de l’interface. Ce nouveau champ incident est alors partiellement réfléchi et

transmis, de même que lors de la première phase du processus.

De même que dans le chapitre précédent, nous allons maintenant étudier l’influence des

conditions de rayonnement imposées au niveau du miroir.

95


a - Premier cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment rigide

Dans ce cas, le champ diffracté par le miroir, ( ) ( )~ , , ,P f f z fd x y1 , ne dépend que du terme source et peut s’écrire sous la forme (~ , , ,Σ0 2f f Z fx y )

( )36. a ( ) ( ) ( ) ( )[ ]~ , , , ~ , , , expP f f z f f f Z f j j Z zd x y x y1 0 22

2 22 2= ×Σ

νν .−

z

Dans cette expression, le terme j j Z/ exp[ ( )]2 2 2 2ν ν − correspond à la décomposition en

ondes planes monochromatiques de la fonction de Green de l’espace libre du milieu 2,

évaluée pour une source en et un observateur en z. Z2

Le champ de pression donné par l’équation (3.6a) est maintenant incident dans le milieu 2, il

génère ainsi un champ transmis, ( ) ( )~ , , ,P f f z frt x y1 , que l’on peut écrire au voisinage de la position de la source initiale sous la forme suivante :

( )36. b ( ) ( ) ( ) ( ) (~ , , , ~ , , , exp expP f f z f j f f Z f j Z T j zrt x y x y12

0 2 2 2 21= −νν νΣ ),1

où est le coefficient de transmission du milieu 2 vers le milieu 1 ; son expression est

donnée dans l’annexe.

T21

Si l’on remplace dans l’équation (3.6b) ( )~ , , ,Σ0 2f f Z fx y par son expression donnée en (3.5), on obtient l’expression finale suivante :

( )36. c ( ) ( ) ( ) ( ) ( )~ , , , exp ~ exp .* **

*P f f z f j j z f T T j Zrt x y1

11

2

221 12 2 2

2

2= − − ×

νν φ ν

νν

Terme 1 Terme 21 24444 34444 1 2444 3444

Dans l’équation (3.6c), on note que le champ de pression recréé au voisinage de la position de

la source initiale peut se décomposer comme le produit de deux termes :

• le premier terme, ( ) ( ) ( )− −j j z/ exp f~* *2 1 1ν ν φ , n’est autre que le complexe conjugué du champ créé par la source lors de la première étape (du moins pour ν1 réel) ; ce premier

terme ne dépend ni de l’interface, ni de la condition de rayonnement imposée au niveau du

miroir,

96


• le second terme, ( ) ( )ν ν ν2 2 21 12 2 2 2* */ expT T j Z , est un terme correctif qui tient compte de la condition de baffle infiniment rigide et des effets de transmission à travers l’interface.

Dans le cas particulier , c c2 1= ρ ρ2 = 1

c

c

, les équations données dans l’annexe se réduisent à

, de sorte que l’on retrouve l’expression établie dans le chapitre précédent pour

un unique milieu fluide homogène.

T T21 12 1= =

Dans le chapitre précédent, nous avons vu que les composantes propagatives du champ

( ), étaient correctement reconstruites par retournement temporel, alors que les

composantes évanescentes ( ) étaient perdues dès lors que la distance entre la source

initiale et le miroir était grande devant la longueur d’onde

f fr < / 1f fr > / 1

λ1 1= c f/ . Cette perte des

composantes évanescentes conduit à un spectre angulaire plus étroit, et donc à un diagramme

de focalisation plus large.

Cet effet perdure dans la configuration actuelle décrite par l’équation (3.6c) puisque ν1

apparaît toujours sous la forme d’une fonction exponentielle.

En revanche, on observe que ν 2 apparaît également sous cette même forme. La présence de

ce terme accentue l’effet de troncature dans l’espace dual des fréquences spatiales (en fait dès

que l’on a ). f f cr > / 2Globalement, la perte des composantes évanescentes apparaît dès lors que l’on a

. Cela est dû au fait que le champ doit se propager dans les deux milieux,

aussi bien lors de la première phase (de la source vers l’interface dans le milieu 1, de

l’interface vers le miroir récepteur dans le milieu 2) que lors de la seconde phase (du miroir

émetteur vers l’interface dans le milieu 2, de l’interface vers le point d’observation dans le

milieu 1). Or, chaque propagation s’accompagne de cet effet de perte des composantes

évancescentes en raison de la diffraction.

(f f c cr > / max ,1 2 )

Considérons à titre d’exemple un rapport de vitesses c c2 1 2/ = . Les résultats du chapitre

précédent nous permettent d’attendre une résolution radiale limitée à la demi-longueur d’onde

λ1 2/ . Dans la configuration à deux milieux fluides en mode transmission, il résulte des

remarques précédentes que l’on ne peut pas attendre une résolution meilleure que 2 fois la

résolution limite λ1 2/ . C’est donc en fait le plus rapide des deux milieux qui impose la

résolution maximale à laquelle on peut s’attendre.

Il va de soi que tout ce qui précède repose sur le fait que les composantes évanescentes sont

effectivement perdues, et donc que les distances source/interface et interface/miroir sont

grandes devant les longueurs d’ondes des milieux considérés. Dans le cas contraire, il

convient d’être plus prudent dans les conclusions que l’on peut tirer de ces résultats.

97


b - Deuxième cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment mou

Dans ce cas, le champ diffracté par le miroir, ( ) ( )~ , , ,P f f z fd x y2 , ne dépend que du terme source et peut s’écrire sous la forme (~ , , ,Σ1 2f f Z fx y )

( )37. a ( ) ( ) ( ) ( )[ ]~ , , , ~ , , , expP f f z f f f Z f zj

j z zd x y x ys

sz Zs

21 2

222 2

2

= − × −=

Σ∂∂ ν

ν

.

Dans cette expression, le terme ( )( )∂ ∂ ν ν/ / exp[ (z j j z zs 2 2 2 − )]s correspond à la décomposition en ondes planes monochromatiques de la dérivée normale (par rapport à rn2 )

de la fonction de Green de l’espace libre du milieu 2, évaluée pour une source en et un

observateur en z.

Z2

Le champ de pression donné par l’équation (3.7a) est maintenant incident dans le milieu 2, il

génère ainsi un champ transmis, ( ) ( )~ , , ,P f f z frt x y2 , que l’on peut écrire au voisinage de la position de la source initiale sous la forme suivante :

( )37. b ( ) ( ) ( ) ( ) ( )~ , , , ~ , , , exp expP f f z f f f Z f j Z T j zrt x y x y2 1 2 2 2 21= −Σ ν ν .1


( )37. c ( ) ( ) ( ) ( ) ( )~ , , , exp ~ exp .* * *P f f z f j j z f T T j Zrt x y21

1 21 12 22

2= − − ×

νν φ ν

Terme 1 Terme 21 24444 34444 1 2444 3444

2

De même que dans le cas précédent, le champ de pression recréé au voisinage de la position

de la source initiale se décompose comme le produit de deux termes. Le premier terme est

inchangé, il correspond donc toujours au complexe conjugué du champ créé par la source

active (si ν1 est réel) et il ne dépend ni de l’interface ni des conditions de rayonnement au

niveau du miroir. Quant au second terme, il ne diffère que par le coefficient , présent

dans (3.6c) et absent dans (3.7c). Or ce coefficient vaut +1 ou

ν ν2* / 2

−1 suivant que l’on considère

les composantes propagatives ou évanescentes dans le milieu 2. Par conséquent,

98


( ) ( )~ , , ,P f f z frt x y1 et ( ) (~ , , ,P f f z frt x y2 ) sont identiques lorsque le champ est propagatif dans le milieu 2, opposés lorsqu’il est évanescent. Un effet identique a été observé dans le chapitre

précédent.

Dans le cas particulier c c , 2 1= ρ ρ2 = 1 , on vérifie que l’on retrouve les expressions obtenues

dans le chapitre précédent.

c - Deuxième cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment mou

Avec l’hypothèse des miroirs de dimension infinie, la solution obtenue dans ce cas au chapitre

précédent se réduit à la demi-somme des solutions des cas 1 et 2. Ce résultat est une

conséquence du formalisme de la diffraction, et n’est donc pas affecté par la présence ou non

d’une interface devant le miroir. La conclusion demeure donc valable dans le contexte actuel :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]~ , , , ~ , , , ~ , , ,P f f z f P f f z f P f f z frt x y rt x y rt x y3 1 212= + .

)

)

d - Quatrième cas : conditions mixtes

Ce cas est similaire au premier cas (baffle infiniment rigide), à condition de remplacer

par . On obtient après quelques calculs l’expression : ( )~ , , ,Σ0 2f f Z fx y (~ , , ,Σ1 2f f Z fx y

(38. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )~ , , , exp ~ exp .* * *P f f z f j j z f j T T j Zrt x y41

12

21 12 2 22

2= − − ×

νν φ

νν

Terme 1 Terme 21 24444 34444 1 2444 3444

Le principe de la décomposition de la solution en deux termes distincts demeure valable dans

ce cas.

e - Conclusions

Globalement, on peut tirer de cette étude les conclusions suivantes :

99


• les résultats sont très similaires à ceux obtenus dans le chapitre précédent pour un miroir

dans un fluide homogène,

• en mode transmission, les champs se propagent dans les deux milieux ; c’est donc le fluide

le plus rapide qui impose la résolution radiale dans le processus de focalisation,

• l’influence de l’interface apparaît par le produit des coefficients de transmission ; il est

prévisible que ce terme altère le diagramme de focalisation par retournement temporel,

• pour les modes propagatifs dans le milieu 2 où se trouve le miroir, le champ reconstruit ne

dépend pas de la position du miroir. Z2

III) Retournement temporel du champ réfléchi seulement

Nous considérons maintenant le même problème, mais en mode réflexion. Nous utilisons

donc le miroir 1 situé en . z Z=


2. Réémission par le miroir

Pour calculer le champ de pression réémis par le miroir, nous adoptons la même démarche

que ci-dessus.

a - Premier cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment rigide

Le champ diffracté par le miroir, ( ) ( )~ , , ,P f f z fd x y1 , peut s’écrire sous la forme

( )310. a ( ) ( ) ( ) ( )[ ]~ , , , ~ , , , expP f f z f f f Z f j j z Zd x y x y1 0 11

1 12 2= ×Σ

νν .−

Ce champ de pression est maintenant incident dans le milieu 1 et le champ total au voisinage

de la position de la source initiale résulte de la superposition des composantes incidente et

réfléchie. On a donc

( )310. b ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

~ , , , ~ , , , exp

exp exp .

P f f z f j f f Z f j Z

j z R j z

rt x y x y1

10 1 1

1 11 1

= −

+ −ν

ν

ν ν

Σ 1 ×


( )310. c ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

~ , , , exp ~

exp exp .

*

*

P f f z f j j Z f

R j z R j

rt x y1

11 1

2

11 1 11 1

21

= − − ×

+ + −ν

ν φ

ν ν z

Cette expression du champ de pression recréé au voisinage de la position de la source initiale

comporte quatre termes avec un coefficient commun ( ) ( ) ( )− −j j Z/ exp f~ *2 1 1 12

ν ν φ :

• : le champ s’est propagé de la source vers le miroir (phase 1), puis du miroir

vers l’observateur (phase 2) ; ce cas est illustré par le diagramme (exp j zν 1 )

D[i] source MRT

phase 1, puis MRT observateur

phase 2→ →1 244 344 1 24444 34444

101


• : le champ s’est propagé de la source vers le miroir (phase 1), puis du

miroir vers l’observateur après réflexion par l’interface (phase 2) : (R j11 1exp − ν )z

)z

D[ii] source MRT

phase 1, puis MRT interface observateur

phase 2→ → →1 244 344 1 2444444 3444444

• : le champ s’est propagé de la source vers le miroir après réflexion par

l’interface (phase 1), puis du miroir vers l’observateur (phase 2) : (R j11 1* exp ν

D[iii] source interface MRT

phase 1, puis MRT observateur

phase 2→ → →1 244444 344444 1 24444 34444

• (R j112

1exp − ν )z : le champ s’est propagé de la source vers le miroir après réflexion par l’interface (phase 1), puis du miroir vers l’observateur après réflexion également (phase

2) :

D[iv] source interface MRT

phase 1, puis MRT interface observateur

phase 2→ → → →1 244444 344444 1 2444444 3444444

Vue la forme du diagramme D[i], le champ se propage de la source vers le miroir, puis du

miroir vers l’observateur : en fait, tout se passe comme s’il n’y avait pas d’interface. D’autre

part, la séquence des évènements est bien inversée entre les deux phases du processus.

Cette inversion dans la séquence des évènements est également observable sur le diagramme

D[iv], mais pas sur les diagrammes D[ii] et D[iii].

Dans l’équation (3.10c), on observe que ν 2 apparaît uniquement dans l’expression du

coefficient de réflexion ; en particulier, seul R11 ν1 apparaît sous la forme d’une fonction

exponentielle. Par conséquent, le renforcement de la perte des composantes évanescentes

induite par le milieu 2 observé en transmission n’existe plus en réflexion. Ce résultat peut se

comprendre en observant qu’aucun des diagrammes D[i], D[ii], D[iii] ou D[iv] n’inclut de

propagation dans le milieu 2.

En revanche, le résultat final est sensible à la présence du milieu 2 par l’intermédiaire du

coefficient de réflexion qui tient compte du contraste d’impédances acoustiques.

102


Dans le cas particulier , c c2 1= ρ ρ2 1= , on a R11 0= , de sorte que (3.10c) se réduit à

l’expression établie dans le chapitre précédent pour un seul milieu fluide homogène, à la

direction de propagation près.

b - Deuxième cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment mou

Le champ diffracté par le miroir, ( ) ( )~ , , ,P f f z fd x y2 , peut s’écrire sous la forme

( )311. a ( ) ( ) ( ) ( )[ ]~ , , , ~ , , , expP f f z f f f Z f zj

j z zd x y x ys

sz Zs

21 1

112 2

1

= − ×−

−=

Σ∂

∂ νν

.

De même que dans le cas précédent, le champ total au voisinage de la position de la source

initiale s’écrit

( )311. b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]~ , , , ~ , , , exp exp exp .P f f z f f f Z f j Z j z R j zrt x y x y2 1 1 1 1 1 11= − × +Σ ν ν 1− ν


( )311. c ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

~ , , , exp ~

exp exp .

**

*

P f f z f j j Z f

R j z R j

rt x y2

11 1

2

11 1 11 1

21

= − − ×

+ + −ν

ν φ

ν ν z

A nouveau, la seule différence entre ( ) ( )~ , , ,P f f z frt x y1 et ( ) ( )~ , , ,P f f z frt x y2 réside dans le coefficient qui est changé en (− j / 2 1ν ) ( )− j / *2 1ν . Par conséquent, ces deux solutions sont identiques (modes propagatifs dans le milieu 1) ou opposées (modes évanescents).

A nouveau dans le cas particulier c c2 1= , ρ ρ2 1= , on retrouve les expressions obtenues dans

le chapitre précédent.

c - Troisième cas : le miroir se comporte en espace libre

Dans ce cas, l’expression

103


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]~ , , , ~ , , , ~ , , ,P f f z f P f f z f P f f z frt x y rt x y rt x y3 1 212= +

est toujours valable.

d - Quatrième cas : conditions mixtes

On reprend le formalisme utilisé pour le baffle infiniment rigide en remplaçant

par ; on obtient ainsi ( )~ , , ,Σ0 2f f Z fx y (~ , , ,Σ1 2f f Z fx y )

( )312. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

~ , , , exp ~

exp exp .

*

*

P f f z f j Z f

R j z R j

rt x y4

12 1 1

2

11 1 11 1

121

= − ×

+ + −ν

ν φ

ν ν z

2

2

e - Conclusions

En comparant les modes réflexion et transmission, on peut faire les remarques suivantes :

• en mode transmission, les champs se propagent dans les deux milieux, c’est donc le plus

rapide qui impose la meilleure résolution radiale possible,

• en mode réflexion, les champs ne se propagent que dans le milieu où se trouvent la source

et le miroir, c’est donc ce milieu qui impose seul la meilleure résolution radiale possible,

• dans le cas , on peut s’attendre à obtenir des diagrammes de focalisation similaires

en mode réflexion ou transmission (dimension de la zone focale),

c c1 >

• dans le cas inverse , on peut en revanche s’attendre à obtenir une tache focale plus

large en mode transmission qu’en mode réflexion,

c c1 <

• en mode réflexion, la reconstruction des composantes propagatives du champ ne dépend

pas de la position du miroir. Z1

104


IV) Retournement temporel des champs réfléchi et transmis

Nous utilisons maintenant les deux miroirs simultanément, synchronisés en temps. Par

linéarité, le champ total reconstruit au voisinage de la position de la source initiale résulte de

la somme des expressions obtenues en modes transmission et réflexion.

Dans un premier temps, nous considérons le cas du baffle infiniment rigide. Partant des

équations (3.6c) et (3.10c), on obtient après réorganisation des différents termes l’expression

suivante :

( )313.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

~ , , , ~ exp exp

exp exp

exp ,

*

*

*

**

P f f z f j f C j z R C j z

R C j z R C j z

T T C j z

rt x y1

11 1 11 1 1

11 1 1 112

1 1

1 2

1 221 12 2 1

2= −

⎡

⎣⎢ + −

+ +

+ −⎤

⎦⎥

νφ ν ν

ν νν νν ν

ν

−

avec ( )C j1 1Z2

= −exp ν ( )1 et C j Z2 2 22

= exp ν .

Dans le cas général, on ne peut pas simplifier cette expression. En revanche, si , et h

sont grands comparés aux longueurs d’ondes

Z1 Z2λ 1 et λ 2 , on peut considérer que l’influence des

composantes évanescentes est négligeable en raison de leur décroissance exponentielle. Dans

ces conditions, l’équation (3.13) peut se simplifier suivant les valeurs des fréquences spatiales

et comparées aux fréquences de coupure et . f x f y f c/ 1 f c/ 2

Premier cas : ν1 et ν 2 sont imaginaires purs

ce cas correspond à des modes évanescents dans les deux milieux, soit ;

on a alors et , soit finalement ( )f f c cr > / min ,1 2

C1 0≈ C2 0≈

( )314. ( ) ( )~ , , ,P f f z frt x y1 0≈ .

Deuxième cas : ν1 est réel et ν 2 imaginaire pur

ce cas correspond à des modes propagatifs dans le milieu 1 et évanescents dans le milieu 2 (si

et ) ; on a alors c c2 > 1 / 1f c f f cr/ 2 < < C1 1= et C2 0≈ , soit finalement

105


( )315. a ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]~ , , , ~ exp exp*P f f z f j f j z R j zrt x y11

1 112

12≈ − + − +

νφ ν ν T.C.

où le terme correctif est ( ) ( )T.C.= − +R j z R j11 1 11 1exp exp*ν ν z . Ce terme correctif provient des diagrammes D[ii] et D[iii] pour lesquels l’inversion des

séquences entre les deux étapes du processus n’est pas satisfaite.

Ecrivant ν μ2 = j 2 avec μ2 réel, le coefficient de réflexion devient R11

( )315. b ( )R jj

j h11 1 12 21 12 2

12=−+

ν ρ μν ρ μ

νexp ,

de sorte que l’on a R112 1= , soit finalement

( )315. c ( ) ( ) ( ) ( )~ , , , cos ~ .*P f f z f j z j frt x y11

112

≈−

+−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ν

νν

φT.C.

Il est intéressant de noter que le premier terme de l’équation (3.15c) est identique à celui

obtenu avec un unique milieu fluide homogène et deux miroirs de part et d’autre de la source ;

d’autre part, ce résultat provient du miroir 1 seulement puisque C2 0≈ .

Troisième cas : ν1 est imaginaire pur et ν 2 réel

ce cas correspond à des modes évanescents dans le milieu 1 et propagatifs dans le milieu 2 (si

et ) ; on a alors c c2 < 1 / 2f c f f cr/ 1 < < C1 0≈ et C2 1= , soit finalement

( )316. a ( ) ( ) ( ) ( )~ , , , ~ exp .* *P f f z f j f T T C j zrt x y11

21 12 2 12≈ −

νφ ν

Ecrivant ν μ1 = j 1 avec μ1 réel, on a

( )316. b ( ) ( )T T j h21 121 2

12 22

21 12 1

4 2* exp .=+

−μ ν

ρ ν ρ μμ

Puisque h est supposé grand devant la longueur d’onde λ 1 , on a ( )exp − ≈2 1μ h 0

.

et donc

( )316. c ( ) ( )~ , , ,P f f z frt x y1 0≈

106


Quatrième cas : ν1 et ν 2 sont réels

ce cas correspond à des modes propagatifs dans les deux milieux, soit ;

on a alors , soit finalement ( )f f c cr > / max ,1 2

C C1 2 1= =

( )317. a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]~ , , , ~ exp exp .* *P f f z f j f j z R T T j zrt x y11

1 112

21 12 12= − + + − +

νφ ν ν T.C.

A partir des expressions des différents coefficients de réflexion et transmission données dans

l’annexe, on vérifie aisément la relation R T T112

21 12 1+ =* , soit encore

( )317. b ( ) ( ) ( ) ( )~ , , , cos ~ .*P f f z f j z j frt x y11

112

≈−

+−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ν

νν

φT.C.

Cette expression est identique à l’équation (3.15c), mais le résultat provient cette fois de la

contribution des deux miroirs, et non plus du seul miroir 1.

On peut vérifier que les équations (3.14), (3.15c), (3.16c) et (3.17b) restent inchangées dans le

cas du baffle parfaitement mou ou de l’espace libre.

Dans le cas des conditions mixtes, nous donnons ici simplement les formules finales :

Premier cas : ν1 et ν 2 sont imaginaires purs

( )318. ( ) ( )~ , , ,P f f z frt x y4 0≈ .

Deuxième cas : ν1 est réel et ν 2 imaginaire pur

( )319. ( ) ( ) ( ) ( )~ , , , cos ~ .*P f f z f z frt x y412 1

12

1 12

≈ +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ν

νν

φT.C.

Troisième cas : ν1 est imaginaire pur et ν 2 réel

( )320. ( ) ( )~ , , ,P f f z frt x y4 0≈ .

107


Quatrième cas : ν1 et ν 2 sont réels

( )321. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )~ , , ,~

exp exp .*

*P f f z ff

j z R T T j zrt x y4

12 1 11

2 1

221 12 12

≈ + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

φν

ν νν

ν T.C.

V) Résultats numériques

Nous avons mis au point un programme de calcul du champ de pression synthétisé au

voisinage de la position de la source initiale. Dans tout ce qui suit, le champ de pression en

calculé dans le plan z = 0 , parallèle à l’interface et contenant la source. Pour chaque point de

calcul, on représente la valeur maximale du signal temporel observé. Toutes les amplitudes

maximales sont converties en dB dans le domaine [ ]−40 dB, 0 dB .

Les calculs sont faits dans le domaine temporel avec des signaux de 512 points et une

fréquence d’échantillonnage de 20 Mhz. Pour chaque point d’observation, le champ

reconstruit est d’abord calculé dans l’espace dual des fréquences, puis on calcule une

transformée de Fourier inverse pour obtenir le signal temporel observé. De même que dans le

chapitre précédent, la fonction temporelle d’excitation de la source initiale ( )φ t est constituée d’une trame sinusoïdale avec une enveloppe gaussienne. La fréquence centrale est 1 Mhz et la

bande passante relative, calculée à dB, est de 100 %. −6

Le domaine spatial de calcul se situe entre −15 et +15 mm avec 129 points, ce qui correspond

à un pas de 0,23 mm. Pour toutes les simulations faites, cette valeur restera petite comparée

aux longueurs d’ondes dans les milieux 1 et 2 calculées pour la fréquence centrale de la

fonction d’excitation (les vitesses des deux milieux sont 6000 m/s ou 1500 m/s, les longueurs

d’ondes correspondantes à 1 Mhz sont donc 6 mm et 1,5 mm). Cela assure la cohérence entre

les différents échantillonnages intervenant dans les simulations.

L’interface est située à h=15 mm et les miroirs en Z1 20= − mm et mm,

respectivement. Les miroirs sont carrés, identiques ; leur fonction d’ouverture vaut 1

si , 0 sinon. Les deux paramètres

Z2 20= +

(o x y, )][x y l r, ,∈ ε ε ε l et ε r permettent de modifier la dimension

des miroirs, ainsi que leurs positions relatives par rapport à la source.

108


Sur les différentes figures, les courbes seront titrées Tn ou Rn : T et R correspondent aux

modes transmission (MRT 2) et réflexion (MRT 1) respectivement, n est le numéro de la

configuration de calcul conformément à la table 1.

Si cela n’est pas explicitement indiqué dans le texte, la condition de rayonnement utilisée lors

du calcul correspond au cas d’un baffle infiniment rigide.

Configuration ε l ε r c1 ρ1 c2 ρ2 Rayonnement

1 −∞ +∞ 6000 4500 1500 1000 cas 1 2 −∞ +∞ 1500 1000 6000 4500 cas 1

3 -40 40 6000 4500 1500 1000 cas 1

4 -20 20 6000 4500 1500 1000 cas 1

5 -10 10 6000 4500 1500 1000 cas 1

6 -10 30 6000 4500 1500 1000 cas 1

7 0 40 6000 4500 1500 1000 cas 1

8 10 50 6000 4500 1500 1000 cas 1

9 -40 40 6000 4500 1500 1000 cas 4

10 (h=1 mm) −∞ +∞ 6000 4500 1500 1000 cas 1 11 (h=0,5 mm) −∞ +∞ 6000 4500 1500 1000 cas 1 12 (h=0,1 mm) −∞ +∞ 6000 4500 1500 1000 cas 1

Table 1 : valeurs des paramètres de calcul du champ créé par retournement temporel en mode

transmission et réflexion ; les vitesses et sont en m/s, les densités c1 c2 ρ1 et ρ 2 en kg/m3,

les dimensions des miroirs ε l et ε r en mm.

109


Dans un premier temps, nous avons étudié l’influence des impédances acoustiques des deux

milieux en utilisant des miroirs de taille infinie. Les paramètres de calcul sont donnés dans la

table 1, ils correspondent aux configurations 1 et 2.

Les résultats obtenus, présentés sur la figure 2, font clairement apparaître un effet de

focalisation du champ sur la position de la source initiale. Si l’on compare les courbes T1 et

T2, on observe qu’elles ont des comportements très similaires (dimension de la zone focale)

malgré le fait que le rapport des vitesses ait été inversé. Ce résultat s’explique par le fait que

la perte des composantes évanescentes est liée à ( )max ,c c1 2 . En revanche, la courbe R2 met en évidence une zone focale beaucoup plus étroite que la courbe R1, elle-même très proche de

T1 et T2. Cette figure illustre bien le fait qu’en mode réflexion, la dimension de la zone focale

est imposée par . c1

-15.0 -7.5 0.0 7.5 15.0x (mm)

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0 Amplitude maximale (dB)

(T1)

(T2)

(R1)(R2)

Figure 2 : champ de pression obtenu en mode transmission (MRT 2) et réflexion

(MRT 1) ; influence du rapport d’impédances entre les deux milieux.

Nous avons ensuite étudié l’influence de la taille du miroir sur la qualité de focalisation. Les

paramètres de calculs correspondent aux configurations 1, 3, 4 et 5. Les figures 3 et 4

montrent les résultats obtenus en mode transmission et réflexion, respectivement.

Sur ces deux figures, on observe que le diagramme de focalisation devient de plus en plus

étroit autour de l’origine au fur et à mesure que la taille du miroir augmente. On observe

110


également une réduction du niveau de bruit en dehors de la zone focale. Ces résultats sont en

accord avec ceux observés dans le chapitre précédent.

On n’observe pas de différences significatives entre un miroir de dimension 80 mm et un

miroir de dimension infinie : lorsque l’on augmente la taille du miroir, le diagramme de

focalisation tend vers le diagramme optimal résultant d’un miroir infini.

Les figures 5 et 6 ont été obtenues en maintenant constante la dimension des miroirs, mais en

modifiant leur position relative par rapport à la source. Ce sont donc les paramètres ε l et ε r

qui sont modifiés conformément aux configurations 4, 6, 7 et 8 de la table 1.

On observe que la taille de la zone focale augmente avec l’excentrement des miroirs par

rapport à la source. On observe également une perte de symétrie du diagramme de

focalisation. Un tel résultat est assez intuitif : l’efficacité optimale dans le processus de

focalisation adaptative sera atteint pour une cible localisée en face de la sonde ; plus

l’excentrement sera important, plus il sera délicat d’atteindre effectivement la cible tout en

maintenant une bonne qualité de focalisation.

Enfin, nous avons étudié l’influence des conditions de rayonnement lors de la phase de

réémission par les miroirs. Nous avons retenu les configurations 3 et 9, les résultats sont

représentés sur la figure 7. Dans tous les cas, on observe l’effet de focalisation sur la source

initiale, avec une taille de la zone focale assez constante entre les différents calculs faits. En

revanche, on constate que les conditions mixtes génèrent un niveau de signal hors zone focale

plus important que dans le cas du baffle infiniment rigide : cette observation est en accord

avec ce que l’on a pu observer dans le chapitre précédent.

111


-15.0 -7.5 0.0 7.5 15.0x (mm)

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0


(T1)(T3)(T4)

(T5)

Figure 3 : champ de pression obtenu en mode transmission (MRT 2) ; influence

de la taille du miroir.

-15.0 -7.5 0.0 7.5 15.0x (mm)

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0


(R1) (R3)

(R4)

(R5)

Figure 4 : champ de pression obtenu en mode réflexion (MRT 1) ; influence de la

taille du miroir.

112


-15.0 -7.5 0.0 7.5 15.0x (mm)

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0


(T6)(T4)

(T7)(T8)

Figure 5 : champ de pression obtenu en mode transmission (MRT 2) ; influence

de la position relative du miroir par rapport à la source initiale.

-15.0 -7.5 0.0 7.5 15.0x (mm)

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0


(R4)

(R6)(R7)

(R8)

Figure 6 : champ de pression obtenu en mode réflexion (MRT 1) ; influence de la

position relative du miroir par rapport à la source initiale.

113


-15.0 -7.5 0.0 7.5 15.0x (mm)

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0


(T3)

(R3)

(T9)

(R9)

Figure 7 : champ de pression obtenu en mode transmission (MRT 2) et réflexion

(MRT 1) ; influence de la condition de rayonnement.

VI) Hyperfocalisation à travers l’interface

Nous avons vu précédemment que l’allure du champ reconstruit par retournement temporel

était lié à la troncature des composantes évanescentes, correspondant à des incidences au-delà

des angles critiques de réflexion totale. Or, cette troncature n’est pas brutale, mais obéit à une

loi exponentiellement décroissante.

Partant de cette remarque, il semble intéressant d’étudier ce qui se passe lorsque la source est

située très près de l’interface : dans ce cas en effet, on peut s’attendre à ce que la troncature

des composantes évanescentes ne soit pas totale, ce qui doit se traduire par une tache focale

plus étroite.

Nous avons repris les paramètres de la configuration 1, en modifiant seulement la position de

la source par rapport à l’interface. On suppose également que la source active est située dans

le milieu le plus rapide, afin de mettre en évidence l’effet d’hyperfocalisation.

La fréquence centrale du signal d’excitation de la source initiale étant de 1 Mhz, la longueur

d’onde correspondante est de 6 mm. En fait, si on se limite à la partie du spectre au-delà de -6

114


dB, avec une bande passante de 100 % symétrique autour de 1 Mhz, notre signal couvre un

domaine de longueurs d’onde entre 4 mm (hautes fréquences) et 12 mm (basses fréquences)

environ. Les caractéristiques des calculs effectués sont données par les configurations T10,

T11 et T12 de la table I ; les distances entre la source et l’interface sont respectivement 1, 0,5

et 0,1 mm.

Les figures 8a à 8h représentent les champs de pression générés au voisinage de la position de

la source initiale en représentation 3D et en courbes de niveaux, pour les configurations T1

(configuration de référence), T10, T11 et T12. Toutes les données ont été préalablement

converties en dB.

Sur la figure 8b, on remarque que le champ est essentiellement composé de deux fronts

d’onde symétriques et linéaires, dont la pente correspond précisément à la vitesse des ondes

dans le milieu 1, à savoir 6000 m/s.

Sur la figure 8d, on retrouve toujours ces deux fronts d’onde, mais ils sont atténués. En

revanche, on voit apparaître deux nouveaux fronts, également symétriques et linéaires, dont la

pente correspond à la vitesse des ondes dans le milieu 2, à savoir 1500 m/s.

Sur la figure 8f, le phénomène précédent est encore accentué : les fronts de pente 6000 m/s

sont encore atténués, alors que les deux fronts de pente 1500 m/s sont amplifiés.

Enfin, sur la figure 8h ne subsistent quasiment plus que les deux fronts de pente 1500 m/s.

La figure 8i représente, pour ces différentes configurations, le maximum du signal temporel

observé en chaque position de l’observateur. Cette figure montre que le champ est bien

focalisé sur la position de la source initiale, mais elle montre également comment la

dimension de la tache focale diminue avec la distance entre la source et l’interface. La

reconstruction des composantes propagatives des champs ne dépendant pas de cette distance,

cette figure montre en fait l’influence des composantes évanescentes dans le milieu 1 dans un

mode d’hyperfocalisation.

115


26.0 19.5

13.06.5

0.0

Temps (µs)

-15.0-7.5

0.07.5

15.0

x (mm)

0.0 6.5 13.0 19.5 26.0Temps (µs)

-15.0

-7.5

0.0

7.5

15.0 x (mm)

Figure 8a : configuration T1 Figure 8b : configuration T1

26.0 19.5

13.06.5

0.0

Temps (µs)

-15.0-7.5

0.07.5

15.0

x (mm)

0.0 6.5 13.0 19.5 26.0Temps (µs)

-15.0

-7.5

0.0

7.5

15.0 x (mm)

Figure 8c : configuration T10 Figure 8d : configuration T10

26.0 19.5

13.06.5

0.0

Temps (µs)

-15.0-7.5

0.07.5

15.0

x (mm)

0.0 6.5 13.0 19.5 26.0Temps (µs)

-15.0

-7.5

0.0

7.5

15.0 x (mm)

Figure 8e : configuration T11 Figure 8f : configuration T11

26.0 19.5

13.06.5

0.0

Temps (µs)

-15.0-7.5

0.07.5

15.0

x (mm)

0.0 6.5 13.0 19.5 26.0Temps (µs)

-15.0

-7.5

0.0

7.5

15.0 x (mm)

Figure 8g : configuration T12 Figure 8h : configuration T12

116


-15.0 -7.5 0.0 7.5 15.0x (mm)

-60.0

-48.0

-36.0

-24.0

-12.0


(T1)

(T10)(T11) (T12)

Figure 8i : champ de pression obtenu en mode transmission (MRT 2) ; influence

de la distance source/interface.

VII) Le schéma intuitif de Stokes

L’idée de l’invariance par renversement du temps en présence d’une interface plane séparant

deux milieux fluides a été décrite par Stokes par le schéma intuitif suivant :

Milieu 1

Milieu 2

Milieu 1

Milieu 2

1

R11

T12

Milieu 1

Milieu 2

R11

T12

R T T112

12 21+ = 1

( )R R T11 22 12+ = 0

Diagramme I Diagramme II

117


Dans le diagramme I, on envoie une onde incidente d’amplitude 1 et on récupère des ondes

réfléchie et transmise d’amplitudes et T . R11 12Dans le diagramme II, on envoie deux ondes incidentes se propageant dans les milieux 1 et 2

d’amplitudes et respectivement ; on récupère ainsi une onde dans le milieu 1 et une

onde dans le milieu 2 dont les amplitudes sont, par linéarité, et ,

respectivement. Or, une rapide analyse des coefficients de réflexion et transmission permet de

vérifier les deux relations suivantes :

R11 T12R T T11

212 21+ R T R T11 12 22 12+

R T T

R T R T112

12 21

11 12 22 12

10

+ =+ =

⎧⎨⎩

,.

A partir de là, il est tentant d’en conclure que le diagramme II n’est autre que le retourné

temporel du diagramme I, et donc d’en conclure la validité du principe d’invariance par

renversement du temps dans ce type de situation.

En fait, cette invariance n’est pas universelle. En particulier, la perte des composantes

évanescentes affecte la qualité de focalisation sur la source initiale : cet effet n’est pas pris en

compte par l’approche intuitive décrite par Stockes.

Compte tenu des résultats présentés dans ce chapitre, on peut finalement conclure que le

principe d’invariance par renversement du temps est valable dès lors qu’il n’existe pas

d’ondes évanescentes, ni dans le milieu 1 ni dans le milieu 2.

118


Annexe : Calcul des coefficients de réflexion et transmission

On considère une onde plane incidente dans le milieu 1 d’amplitude pour laquelle le

champ de pression s’écrit

Ai

( )322. ( ) ( )~ , , , expP f f z f A j zi x y i= ν 1 ,

où ν 1 est défini par l’équation (3.3b).

L’interaction de cette onde incidente avec l’interface située dans le plan conduit à la

génération d’une onde réfléchie dans le milieu 1 et d’une onde transmise dans le milieu 2 ; ces

deux ondes sont écrites d’une façon similaire à l’équation (3.22) :

z h=

25,28-30

( )323. ( ) ( )( ) ( )~ , , , exp~ , , , exp ,P f f z f A j zP f f z f A j z

r x y r

t x y t

= −

=

⎧⎨⎪

⎩⎪

νν

1

2

,

où et sont les amplitudes des composantes réfléchie et transmise, et Ar At ν 2 est défini de la

même façon que ν 1 en remplaçant par . c1 c2

Les conditions aux limites à satisfaire dans le plan de l’interface sont :

• la continuité de la pression acoustique,

• la continuité de la composante normale du vecteur déplacement.

Il résulte alors des équations de base de l’acoustique que les conditions aux limites peuvent

s’écrire sous la forme suivante :4,25,28-30

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )[ ]~ , , , ~ , , , ~ , , , ,

~ , , , ~ , , , ~ , , ,

P f f z h f P f f z h f P f f z h f

zP f f z f P f f z f

zP f f z f

i x y r x y t x y

i x y r x yz h

t x yz h

= + = = =

+ =

⎧

⎨⎪

⎩⎪ = =

1 1

1 2ρ∂∂ ρ

∂∂

.

Remplaçant dans cette relation ( )~ , , ,P f f z fi x y , ( )~ , , ,P f f z fr x y et ( )~ , , ,P f f z ft x y par leurs expressions données par les équations (3.22) et (3.23), on obtient un système linéaire de deux

équations à deux inconnues et . La résolution de ce système nous conduit à exprimer

les amplitudes réfléchie et transmise en fonction de l’amplitude incidente ,

Ar AtAi

119


A R AA T A

r i

t i

==

⎧⎨⎩

11

12

,,

où (coefficient de réflexion pour une onde incidente dans le milieu 1) et (coefficient

de transmission du milieu 1 vers le milieu 2) sont donnés par les formules suivantes :

R11 T12

( )324. ( )

( )[ ]R j

T j

111 12 2

1 12 21

121

1 12 21 2

2

2

=−+

=+

−

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

ν ρ νν ρ ν

ν

νν ρ ν

ν ν

exp ,

exp .

h

h

Si l’on considère maintenant le même problème, mais pour une onde plane incidente dans le

milieu 2, on peut de la même façon définir les coefficients et . Par symétrie, il suffit

de repartir de l’équation (3.24), puis

R22 T21

• d’intervertir les vitesses c et et les densités 1 c2 ρ1 et ρ 2 ,

• d’inverser le sens de propagation des différentes ondes,

de sorte que l’on obtient

( )325. ( )

( )[ ]

R j

T j

222 21 1

2 21 12

212

2 21 11 2

2

2

=−+

−

=+

−

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

ν ρ νν ρ ν

ν

νν ρ ν

ν ν

exp ,

exp .

h

h

120

I) IntroductionII) Retournement temporel du champ transmis seulement1. Emission par la source active2. Réémission par le miroira - Premier cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment rigideb - Deuxième cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment mouc - Deuxième cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment moud - Quatrième cas : conditions mixtese - Conclusions

III) Retournement temporel du champ réfléchi seulement1. Emission par la source active2. Réémission par le miroira - Premier cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment rigide b - Deuxième cas : le miroir est inclus dans un baffle infiniment mouc - Troisième cas : le miroir se comporte en espace libred - Quatrième cas : conditions mixtese - Conclusions

IV) Retournement temporel des champs réfléchi et transmisV) Résultats numériquesVI) Hyperfocalisation à travers l’interfaceVII) Le schéma intuitif de Stokes Annexe : Calcul des coefficients de réflexion et transmission

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

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Chapitre III Focalisation à travers une ... - ESPCI Paris · Chapitre III - Focalisation à...

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