y

z

x

x

y

z

x

1

2

3

N en 1746 Beaune (France), Gaspard Monge enseigne dsl'ge de 16 ans, au collge de Lyon, puis l'Ecole Royale duGnie Mzires. En 1763, ses talents scientifiques sontreconnus lorsquun jour il dresse le plan de fortifications laide dune mthode bien plus rapide que les mthodesconnues jusque-l, donnant naissance ce que l'on appellera lagomtrie descriptive.

Partisan de la Rvolution, il devient ministre de la Marine. Ilfonde peu aprs lcole Polytechnique, et peut enfin publierses travaux sur la gomtrie descriptive, vieux de vingt-cinqans, mais rests "secret militaire" jusque l. Grand ami deBonaparte, qui le nommera prsident de lInstitut dgypte, ildevient snateur et est anobli sous le titre de Comte de Pluse.En 1816, aprs la dfaite de Napolon, il sera ray de la listedes membres de lInstitut et perdra son poste denseignant. Ilmeurt le 28 juillet 1818 Paris. En dcembre 1989, sescendres ont t transfres au Panthon.

CHAPITRE 4: La projection de MONGE1. Introduction

Perspective 3D

Projection deMONGE

page n82

P1

P2

O

z

y

x

B1

O

z

y

x

B2

A1

C1

C2

A2

A

2

O

z

x

y

DC

B

B1

C1

C2D2

D1

A1

A2

B2

1

D1

O

z

y

x

D2

A1

C2

C1

A2B2

B1

Perspective 3D Projection de Monge(qui sappelle aussi pure)

A1

B1C1

C2

B2A2 A

BC

1

2

O

z

x

y

P

P1

P2

1

2

O

z

x

y

page n83

A1

B1

C1

D1

E1

F1

G1

H1

I1

J1 = J2

K1 = K2

A2

B2

C2

D2

E2

F2

G2

H2

I2

y

z

12

II

I

III

IV

Exercice 4.1: On considre les 2 plans habituels 1 (sol) et 2 (le mur). Ils partagent lespaceen 4 rgions appeles quadrants.

Dans la reprsentation de Monge, on a reprsent les points A, B, Placer approximativement ces mmes points dans lesquisse 3D puis dduire le quadrant dans lequel ils sont situs.

Esquisse 3D

Projection de Monge

y

x

z

page n84

x

Exercice 4.2: Dessiner les projections des points suivants:A(3 ; 2 ; 4) , B(-4 ; 3 ; 2) , C(4 ; -1 ; 3) , D(-4 ; 8 ; 1) , E(-2 ; 5 ; -3) , F(4 ; 6,5 ; -2)G(3 ; -3 ; -4) , H(-5 ; 6 ; 5) et K(-1 ; -8 ; -3).

Puis prciser le quadrant dans lequel ils se situent.

y

z

x

page n85

O

S

TS1 = T1

y

x

z

Exercice 4.3: On donne un objet en axonomtrie isomtrique (1 unit = 1 cm sur les 3 axes). Construire son image en projection de Monge (unit: 2 carrs = 1 cm)

page n86

y

x

z

x

d

1

d1d2

P1

P2

P

D2 = D

D1 = D

D1

D2

2z

yP1

P2

D2 = D

D1

D1 = D

D2

z

x

y

x

d

2

1 d1

d2

D2 = D

D1

z

y

z

y

x

Une droite est horizontale si elle est parallle au sol 1

2

1

d2

x

z

y

z

y

x

D2

d1D1 = D1

Une droite est frontale si elle est parallle au mur 2

2. Reprsentation dune droite en MongePerspective 3D Projection de Monge

Exercice 4.4: Complter une des deux reprsentations de ces droites particulires:

page n87

d1

d2

Une droite v est verticale si elle est perpendiculaire au sol 1Une droite b est de bout si elle est perpendiculaire au mur 2

z

y

x

2

1

z

y A2

B2

A1

B1

D2

C2

C1

D1

Remarque: Les 2 projections de la droite ne suffisent dterminer une droite de profil; on doit prciser les projections de deux points de la droites.

z

y

x

b

2

1 b1

z

yb2

vv2

v1x

x

z

y

x

2

1x

z

y

a1

b1

b2

a2

a

b

Exercice 4.4 (suite): Complter une des deux reprsentations de ces droites particulires:

Une droite est de profil si elle est contenue dans un plan perpendiculaire Oy.

On repre en projection de Monge que deux droites a et b sont concourantes si

page n88

z

y

x

2

x

z

y

1

On repre en projection de Monge que deux droites a et b sont parallles si

Construire dans les 2 reprsentations 2 droites a et b gauches

On repre en projection de Monge que deux droites a et b sont gauches si

z

y

x

2

x

z

y

1

Exercice 4.5: Construire dans les 2 reprsentations 2 droites a et b parallles

page n89

Exercice 4.6:Construire les 2 projections du triangle ABC dont le ct [AB] est horizontal, [BC] de profil et [AC] frontal.On donne A(1,5 ; 10 ; 4) , B(5 ; 6,5 ; ?) et C(? ; ? ; 2).

Indication: commencez-ci dessous par une petite esquisse 3D

y

x

z

page n90

Exercice 4.7: Construire les 2 projections du triangle ABC dont le sommet A est situ sur laxe des y, [BC] de bout.On donne A(? ; 10 ; ?) , B(2 ; 4 ; 5) et C(7 ; ? ; ?).

Indication: commencez-ci dessous par une petite esquisse 3D

y

x

z

page n91

Exercice 4.8: Construire les 2 projections du triangle ABC dont le sommet A appartient 2, le ct [BC] est frontal, le ct [AB] est horizontal et le sommet C est situ sur laxe Ox.On donne A(? ; 15 ; 8) , B(9 ; 8 ; ?) et C(? ; ? ; ?).

Indication: commencez-ci dessous par une petite esquisse 3D

y

z

x

page n92

Exercice 4.9: Dterminer les deux projections dun quadrilatre plan ABCD dont on donne les projections des sommets A, B, C et lune des projections du sommet D A(3 ; 12 ; 7) , B(9 ; 9 ; 2) , C(7 ; 4 ; 1) et D(2 ; 2 ; ?).

Indication: commencez-ci dessous par une petite esquisse 3D

y

z

x

page n93

Exercice 4.10: Dterminer les deux projections dun ttradre ABCD: A(10 ; 10 ; 7) , B(4 ; 3 ; 10) , C(7 ; 4 , 3) et D(1 ; 7 ; 2).

(Attention la visibilit)

page n94

y

z

x

Exercice 4.11: Dterminer les deux projections dun paralllpipde ABCDEFGH dont la base ABCD est situ dans le plan 1.Dessiner les artes caches en traitillA(5 ; 18 ; 0) , B(9 ; 13 ; 0) , C(13 ; 15 , 0) , D(9 ; 20 ; 0) et E(1 ; 8 ; 10)

y

z

x

page n95

Exercice 4.12: Dterminer les deux projections dun cne de rvolution dont la base est situe dans le plan 1.Cercle de base: centre M(7 ; 8 ; 0) , rayon 5 , sommet S(? ; ? ; 12)

Se donner ensuite la premire projection P1 dun point P(10 ; 10 ; ?) appartenant la surface, puis construire la 2me projection de ce point.

y

z

x

page n96

A2

C2

D2

B2

D1

B1

C1

A1

y

E2 = F2

F1

E1K1 = L1

L2

K2

Exercice 4.13: A laide de la projection de Monge suivante, rpondre en justifiant aux questions suivantes:

a) Les droites AB et CD sont-elles concourantes ?b) Lequel des points E et F est le plus proche de lobservateur ?c) Lequel des points E et F est le plus hautb) Lequel des points K et L est le plus proche de lobservateur ?c) Lequel des points K et L est le plus haut

On a reprsent ci dessous la mme situation en perspective 3D.Complter la figure pour faire apparatre les 2 droites AB et CD, les points E, F, K, L

Cette figure confirme-t-elle vos rponses ci-dessus ?

y

A2

D2

B2

D1

B1C1

A1

C2

page n97

Exercice 4.14: Dterminer la visibilit des droites d et e:

Mme question:

d1

d2

e2

e1

y

d2

e2

e1

d1

y

page n98

Exercice 4.15: Dterminer la visibilit des droites a, b et c:

b2

c2

c1

b1

a1

a2

Reprsenter la visibilit de chacune des ttradres ci-dessous:

A1

A2

A1

A2

page n99

A2

B2

F2

G2

H2

D2

E2

C2

A1

B1F1

D1 H1

G1C1

E1

y

Figure dtude

F2

G2

H2

D2

A2

B2

B1

C2

E2

F1

G1

H1

E1A1

D1

C1

y

Exercice 4.16: A laide de la figure dtude, dterminer la positionrespective des diffrentes artes afin de pouvoir reprsenterla visibilit (traitill pour les artes caches) de la projectionde Monge du paralllpipde ABCDEFGH ci-dessous

page n100

B 1

F 1

G1

H1

E 1

A 1

D1

C1

F 2

G2

H2

D2

A 2

B 2

C2

E 2

B 1F 1

H1

E 1A

1 = G

1

D1

C1

F 2

G2

H2

D2

A 2

B 2

C2

E 2

y

Exercice 4.17: On donne les deux projections de Monge dun prisme ABCDEFGH. A laide de traitills, indiquer les visibilits dans chaque projection

page n101

Exercice 4.18 : La droite d passe par A(3 ; 4 ; -2) et B(1 ; 8 ; 4).Reprsenter en axonomtrie la droite d, ses projections sur le mur et le sol et en dduire ses traces D et D sur ces 2 plans.

Reprsenter cette mme situation en projection de Monge

x

z

y

x

z

y

page n102

Exercice 4.18 (suite): Mmes questi