CHAPITRE 4: La projection de MONGE - · PDF fileO S T S 1 = T 1 y x z Exercice 4.3: ... On...

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  • y

    z

    x

    x

    y

    z

    x

    1

    2

    3

    N en 1746 Beaune (France), Gaspard Monge enseigne dsl'ge de 16 ans, au collge de Lyon, puis l'Ecole Royale duGnie Mzires. En 1763, ses talents scientifiques sontreconnus lorsquun jour il dresse le plan de fortifications laide dune mthode bien plus rapide que les mthodesconnues jusque-l, donnant naissance ce que l'on appellera lagomtrie descriptive.

    Partisan de la Rvolution, il devient ministre de la Marine. Ilfonde peu aprs lcole Polytechnique, et peut enfin publierses travaux sur la gomtrie descriptive, vieux de vingt-cinqans, mais rests "secret militaire" jusque l. Grand ami deBonaparte, qui le nommera prsident de lInstitut dgypte, ildevient snateur et est anobli sous le titre de Comte de Pluse.En 1816, aprs la dfaite de Napolon, il sera ray de la listedes membres de lInstitut et perdra son poste denseignant. Ilmeurt le 28 juillet 1818 Paris. En dcembre 1989, sescendres ont t transfres au Panthon.

    CHAPITRE 4: La projection de MONGE1. Introduction

    Perspective 3D

    Projection deMONGE

    page n82

  • P1

    P2

    O

    z

    y

    x

    B1

    O

    z

    y

    x

    B2

    A1

    C1

    C2

    A2

    A

    2

    O

    z

    x

    y

    DC

    B

    B1

    C1

    C2D2

    D1

    A1

    A2

    B2

    1

    D1

    O

    z

    y

    x

    D2

    A1

    C2

    C1

    A2B2

    B1

    Perspective 3D Projection de Monge(qui sappelle aussi pure)

    A1

    B1C1

    C2

    B2A2 A

    BC

    1

    2

    O

    z

    x

    y

    P

    P1

    P2

    1

    2

    O

    z

    x

    y

    page n83

  • A1

    B1

    C1

    D1

    E1

    F1

    G1

    H1

    I1

    J1 = J2

    K1 = K2

    A2

    B2

    C2

    D2

    E2

    F2

    G2

    H2

    I2

    y

    z

    12

    II

    I

    III

    IV

    Exercice 4.1: On considre les 2 plans habituels 1 (sol) et 2 (le mur). Ils partagent lespaceen 4 rgions appeles quadrants.

    Dans la reprsentation de Monge, on a reprsent les points A, B, Placer approximativement ces mmes points dans lesquisse 3D puis dduire le quadrant dans lequel ils sont situs.

    Esquisse 3D

    Projection de Monge

    y

    x

    z

    page n84

    x

  • Exercice 4.2: Dessiner les projections des points suivants:A(3 ; 2 ; 4) , B(-4 ; 3 ; 2) , C(4 ; -1 ; 3) , D(-4 ; 8 ; 1) , E(-2 ; 5 ; -3) , F(4 ; 6,5 ; -2)G(3 ; -3 ; -4) , H(-5 ; 6 ; 5) et K(-1 ; -8 ; -3).

    Puis prciser le quadrant dans lequel ils se situent.

    y

    z

    x

    page n85

  • O

    S

    TS1 = T1

    y

    x

    z

    Exercice 4.3: On donne un objet en axonomtrie isomtrique (1 unit = 1 cm sur les 3 axes). Construire son image en projection de Monge (unit: 2 carrs = 1 cm)

    page n86

    y

    x

    z

  • x

    d

    1

    d1d2

    P1

    P2

    P

    D2 = D

    D1 = D

    D1

    D2

    2z

    yP1

    P2

    D2 = D

    D1

    D1 = D

    D2

    z

    x

    y

    x

    d

    2

    1 d1

    d2

    D2 = D

    D1

    z

    y

    z

    y

    x

    Une droite est horizontale si elle est parallle au sol 1

    2

    1

    d2

    x

    z

    y

    z

    y

    x

    D2

    d1D1 = D1

    Une droite est frontale si elle est parallle au mur 2

    2. Reprsentation dune droite en MongePerspective 3D Projection de Monge

    Exercice 4.4: Complter une des deux reprsentations de ces droites particulires:

    page n87

    d1

    d2

  • Une droite v est verticale si elle est perpendiculaire au sol 1Une droite b est de bout si elle est perpendiculaire au mur 2

    z

    y

    x

    2

    1

    z

    y A2

    B2

    A1

    B1

    D2

    C2

    C1

    D1

    Remarque: Les 2 projections de la droite ne suffisent dterminer une droite de profil; on doit prciser les projections de deux points de la droites.

    z

    y

    x

    b

    2

    1 b1

    z

    yb2

    vv2

    v1x

    x

    z

    y

    x

    2

    1x

    z

    y

    a1

    b1

    b2

    a2

    a

    b

    Exercice 4.4 (suite): Complter une des deux reprsentations de ces droites particulires:

    Une droite est de profil si elle est contenue dans un plan perpendiculaire Oy.

    On repre en projection de Monge que deux droites a et b sont concourantes si

    page n88

  • z

    y

    x

    2

    x

    z

    y

    1

    On repre en projection de Monge que deux droites a et b sont parallles si

    Construire dans les 2 reprsentations 2 droites a et b gauches

    On repre en projection de Monge que deux droites a et b sont gauches si

    z

    y

    x

    2

    x

    z

    y

    1

    Exercice 4.5: Construire dans les 2 reprsentations 2 droites a et b parallles

    page n89

  • Exercice 4.6:Construire les 2 projections du triangle ABC dont le ct [AB] est horizontal, [BC] de profil et [AC] frontal.On donne A(1,5 ; 10 ; 4) , B(5 ; 6,5 ; ?) et C(? ; ? ; 2).

    Indication: commencez-ci dessous par une petite esquisse 3D

    y

    x

    z

    page n90

  • Exercice 4.7: Construire les 2 projections du triangle ABC dont le sommet A est situ sur laxe des y, [BC] de bout.On donne A(? ; 10 ; ?) , B(2 ; 4 ; 5) et C(7 ; ? ; ?).

    Indication: commencez-ci dessous par une petite esquisse 3D

    y

    x

    z

    page n91

  • Exercice 4.8: Construire les 2 projections du triangle ABC dont le sommet A appartient 2, le ct [BC] est frontal, le ct [AB] est horizontal et le sommet C est situ sur laxe Ox.On donne A(? ; 15 ; 8) , B(9 ; 8 ; ?) et C(? ; ? ; ?).

    Indication: commencez-ci dessous par une petite esquisse 3D

    y

    z

    x

    page n92

  • Exercice 4.9: Dterminer les deux projections dun quadrilatre plan ABCD dont on donne les projections des sommets A, B, C et lune des projections du sommet D A(3 ; 12 ; 7) , B(9 ; 9 ; 2) , C(7 ; 4 ; 1) et D(2 ; 2 ; ?).

    Indication: commencez-ci dessous par une petite esquisse 3D

    y

    z

    x

    page n93

  • Exercice 4.10: Dterminer les deux projections dun ttradre ABCD: A(10 ; 10 ; 7) , B(4 ; 3 ; 10) , C(7 ; 4 , 3) et D(1 ; 7 ; 2).

    (Attention la visibilit)

    page n94

    y

    z

    x

  • Exercice 4.11: Dterminer les deux projections dun paralllpipde ABCDEFGH dont la base ABCD est situ dans le plan 1.Dessiner les artes caches en traitillA(5 ; 18 ; 0) , B(9 ; 13 ; 0) , C(13 ; 15 , 0) , D(9 ; 20 ; 0) et E(1 ; 8 ; 10)

    y

    z

    x

    page n95

  • Exercice 4.12: Dterminer les deux projections dun cne de rvolution dont la base est situe dans le plan 1.Cercle de base: centre M(7 ; 8 ; 0) , rayon 5 , sommet S(? ; ? ; 12)

    Se donner ensuite la premire projection P1 dun point P(10 ; 10 ; ?) appartenant la surface, puis construire la 2me projection de ce point.

    y

    z

    x

    page n96

  • A2

    C2

    D2

    B2

    D1

    B1

    C1

    A1

    y

    E2 = F2

    F1

    E1K1 = L1

    L2

    K2

    Exercice 4.13: A laide de la projection de Monge suivante, rpondre en justifiant aux questions suivantes:

    a) Les droites AB et CD sont-elles concourantes ?b) Lequel des points E et F est le plus proche de lobservateur ?c) Lequel des points E et F est le plus hautb) Lequel des points K et L est le plus proche de lobservateur ?c) Lequel des points K et L est le plus haut

    On a reprsent ci dessous la mme situation en perspective 3D.Complter la figure pour faire apparatre les 2 droites AB et CD, les points E, F, K, L

    Cette figure confirme-t-elle vos rponses ci-dessus ?

    y

    A2

    D2

    B2

    D1

    B1C1

    A1

    C2

    page n97

  • Exercice 4.14: Dterminer la visibilit des droites d et e:

    Mme question:

    d1

    d2

    e2

    e1

    y

    d2

    e2

    e1

    d1

    y

    page n98

  • Exercice 4.15: Dterminer la visibilit des droites a, b et c:

    b2

    c2

    c1

    b1

    a1

    a2

    Reprsenter la visibilit de chacune des ttradres ci-dessous:

    A1

    A2

    A1

    A2

    page n99

  • A2

    B2

    F2

    G2

    H2

    D2

    E2

    C2

    A1

    B1F1

    D1 H1

    G1C1

    E1

    y

    Figure dtude

    F2

    G2

    H2

    D2

    A2

    B2

    B1

    C2

    E2

    F1

    G1

    H1

    E1A1

    D1

    C1

    y

    Exercice 4.16: A laide de la figure dtude, dterminer la positionrespective des diffrentes artes afin de pouvoir reprsenterla visibilit (traitill pour les artes caches) de la projectionde Monge du paralllpipde ABCDEFGH ci-dessous

    page n100

  • B 1

    F 1

    G1

    H1

    E 1

    A 1

    D1

    C1

    F 2

    G2

    H2

    D2

    A 2

    B 2

    C2

    E 2

    B 1F 1

    H1

    E 1A

    1 = G

    1

    D1

    C1

    F 2

    G2

    H2

    D2

    A 2

    B 2

    C2

    E 2

    y

    Exercice 4.17: On donne les deux projections de Monge dun prisme ABCDEFGH. A laide de traitills, indiquer les visibilits dans chaque projection

    page n101

  • Exercice 4.18 : La droite d passe par A(3 ; 4 ; -2) et B(1 ; 8 ; 4).Reprsenter en axonomtrie la droite d, ses projections sur le mur et le sol et en dduire ses traces D et D sur ces 2 plans.

    Reprsenter cette mme situation en projection de Monge

    x

    z

    y

    x

    z

    y

    page n102

  • Exercice 4.18 (suite): Mmes questi