CH-5 OBJECTS OF CHOICE: MEAN-VARIANCE PORTFOLIO THEORY

KRESNOHADI ARIYOTO 1

CH-5OBJECTS OF CHOICE:

MEAN-VARIANCE PORTFOLIO THEORY

DIAMBIL SELURUHNYA DARI COPELAND WESTON SHASTRI


A.MEASURING RISK AND RETURN

FOR A SINGLE ASSET

• 1.Measures of Location• 2.Measures of Dispersion


1.Measures of Location

• MEAN=>Expectation E(X*)=i=1ΣN piXi

• Property 1 E(X* + a)=E(X*) + a

E(X*+a)= i=1ΣN piXi + a

• Property 2 E(ax*)= aE(X*)


1.Measures of Location

• MEDIAN, OUTCOME IN THE MIDDLE = 50th PERCENTILE

• MODE, MOST FREQUENT OUTCOME


2.Measures of Dispersion

• RANGE,

HIGHEST OUTCOME Minus LOWEST OUTCOME

• VARIANCE

VAR(X*)=E[(Xi – E(X*))2]

VAR (X*)= i=1ΣN pi(Xi-E(X*))2

Property 3. The variance of the random var plus a constant is equal to the variance of the random variable

VAR(X*+a)=E[((Xi+a) – E(X*+a))2 = E[(Xi-E(X*))2]=VAR(X*)


2.Measures of Dispersion

• Property 4. The variance of a random variable multiplied by a constant is equal to the constant squared times the variance of the random variable

VAR(aX*)=E[axi-aE(x*))2]=a2VAR(X*)


B.MEASURING PORTFOLIO RISK AND RETURN

• 1.The Normal Distribution Assumption

• 2.Calculating The Mean And Variance of A Two-Asset Portfolio

• 3.The Correlation Coeficient

• 4.The Minimum Variance Portfolio

• 5.Perfectly Correlated Assets

• 6.The Minimum Variance Opportunity Set



1.The Normal Distribution of Returns

• We assume that investors measure the expected utility of choices among risky assets by looking at the mean and variance provided by combinations of those assets

• Assumed that returns have a normal distribution which can be completely described by mean and variance. This is the bell-shaped probability distribution that many natural phenomena obey.


The equation for the frequency of returns, R, that are normally distributed is

f (R)=бV2π

1 e-(1/2)[R-E(R))]2

Z=(R-E(R)/б a Unit Normal Variable Z

f(z)=e-(1/2)Z2 / V2 π, frequency function for a unit normal variable



2.Calculating The Mean And Variance of A Two-Asset Portfolio

• A portfolio of two risky assets both normally distributed. a% invested in asset X, and (1-a)% invested in asset Y. The portfolio return Rp*=aX* + bY*=>E(Rp*)= E(aX*) + E(bY*)

• E(Rp*)=aE(X*) + bE(Y*) ……………..(5.15)


lanjutannya

• VAR(Rp*)=E[Rp*-E(Rp*)]2

dst p.111,

VAR(Rp)=a2VAR(X*)+b2VAR(Y*)+2ab E[(X*-E(X*))(Y*-E(Y*))], kita tahu bahwa

E[(X*-E(X*))(Y*-E(Y*))]=COV(X*Y*)

=>VAR(Rp)=a2VAR(X*)+b2VAR(Y*) +2abCOV(X*Y*)……………………(5.16)

DST BACA P.112 DAN P113


CONTOH BAHWA DENGAN PORTFOLIORISIKO BISA TURUN

• Prob Return X(%) Return Y(%)0.2 11 -3

0.2 9 15

0.2 25 2

0.2 7 20

0.2 -2 6

Jika dihitung, E(X) = 10%, dan E(Y) = 8%

VAR(X)=0.2(0.11-0.10)2 + 0.2(0.09-0.10) …….+0.2(-0.02-0.10)2=0.0076

VAR(Y) = 0.00708, COV(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=-0.0024


p.113: invest 50% in X and 50% in Y.=> Ref Tabel hal 8.

E(Rp)=aE(X) + bE(Y)=0.5(0.10) + 0.5(0.08) = 9%VAR(Rp)=(.5)2(0.0076)+(0.5)2(0.00708)+2(0.5) (0.5)(-0.0024)=0.00247 < VAR(Y)<VAR(X)SDH DIHITUNG, VAR(X)=0.0076, VAR(Y)=0.00708

Efek dari diversifikasi, return turun sedikit tetapi risiko (variance) lebih rendah dari risiko masing-masing aset (X dan Y).

Efek dari portfolio (diversifikasi):


Kita dapat membuat diversifikasi lain dengan mengalokasikan dana ke X dan Y, dengan proporsi yang berbeda-beda, dan menghitung expected return dan variance portfolio setiap alokasi. Lihat table 5-3.

Kita dapat mengkaji hubungan E(Rp) dengan a, dan hubungan antara б(Rp) dengan a.

Hubungan E(Rp) dengan a,E(Rp)=aE(X) + (1-a)E(Y) =>dE(Rp)/da =E(X) –E(Y)=10%-8%=2%=> linier


Hubungan б(Rp) dengan a(alokasi dana), merupakan kurva yang tidak linier dan mempunyai minimum, tetapi hubungan E(Rp) dengan a, linier.


Hubungan antara Portfolio mean dengan standard deviation tampak pada Fig 5-4. Kurva yang solid, merupakan titik-titik yang merupakan alokasi dana ke aset X dan aset Y yang porsinya berbeda-beda. Bagian kurva yang digambar putus-putus, alokasi dana short selling

Untuk short sell 50% X, dan beli 150% Y, maka diperoleh E(Rp)=-0.5E(X) + 1.5E(Y) = -0.5(0.10) + 1.5(0.08)=7.0%

VAR(Rp)=(-0.5)2VAR(X) + (1.5)2 VAR(Y) + 2(-0.5)(1.5)COV(X,Y) = 0.02143 => б(Rp)=14.64%



3.The Correlation Coeficient

• rxy=COV(X,Y)

бxбy

………………(5.17)

COV(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))] = бxбy rxy

-1=<rxy<=1 ------------------------(5.18)

The Correlation between 2 random variable is defined as:


Y=a+bX

If returns on the two assets are independent (if the COV =0), then the correlation between them will be zero—see Fig 5.5. Fig 5.6 shows perfect correlation between return X and return Y.

Perfect correlation => correlation coef=1. Buktinya baca di hal.115-116



4.The Minimum Variance Portfolio

• Problem yang dapat dipecahkan:Mencari berapa bagian yang harus diinvest pada aset X dan aset Y, agar diperoleh portfolio dari 2 aset, tetapi dengan variance yang minimum (risikonya minimum)


lanjutannya• VAR(Rp)=a2VAR(X*)+b2VAR(Y*)

+2abCOV(X*Y*)……………………(5.16) => VAR(Rp)=a2 бx

2 +(1-a)2бy2 +2a(1-a)rxyбxбy

• dVAR(Rp)/da= 2a бx2 -2бy

2 +2a бy2 +2rxyбxбy-4arxyбxбy=0

• Diperoleh

a*=бy

2 - rxyбxбy

бx2 +бy

2 +2 rxyбxбy

(5.21)

Dikaitkan dengan contoh, E(X)=0.10 dan E(Y)=0.08, E(Rp)=8.974%

VAR(Rp) =0.0024565 => б(Rp) =4.956%

Ditunjukkan pada Fig 5.4.



5.Perfectly Correlated Assets

Table 5-4 menunjukkan besarnya return X dan Y untuk berbagai probability, dan rxy=1. Std dev=8.41%. Hubungan return X dan Y , X=1.037Y+1.703 sehingga kombinasi X dan Y terletak pada garis itu


Risk return, 100% Investment in X

Risk return, 100% Investment in Y

Minimum VAR Utk rxy= -1

Bukti bahwa kurva antara A dan B adalah garis lurus, karena perfectly correlated,rxy=1, baca hal 118 dan 119.

Bagaimana jika perfectly inversely correlated, rxy= -1?

E(Rp)=aE(X)+(1-a)E(Y)

VAR(Rp)=a2 бx2+(1-a)2 бy

2-2a(1-a) б x б y

б(Rp) =±[a бx –(1-a) бy ] => itu sebabnya pada Fig 5-7 terdapat 2 garis lurus putus-putus

a*=49.095%


Jika nilai a*=0.49095 disubstitusi ke E(Rp) dan б(Rp) , diperoleh

E(Rp)=8.92% dan б(Rp) =0%

Bukti bahwa garis AC dan garis CB linier dengan slope positif dan negatif, baca p.120.


B.MEASURING PORTFOLIO RISK AND RETURN6.The Minimum Variance Opportunity Set

Garis AB: risk return trade-off yang tersedia bagi investor yang invest pada aset X dan Y, jika return aset X dan Y berkorelasi sempurna

Garis AC dan CB: idem, tetapi korelasi aset X dan Y berlawanan arah.

Kurva AB dengan garis penuh, trade off untuk korelasi aset antara -1 dan +1.


MINIMUM VARIANCE OPPORTUNITY SET

The minimum variance opportunity set is the locus of risk and return combinations offered by portfolios of risky assets that yields the minimum variance for a given rate of retrun

Any set of portfolio combinations formed by two risky assets that are less than perfectly correlated must lie inside the triangle ACB and will be convex. P.121.


c.The Efficient Set with Two Risky Assets (and No Risk-Free-Asset)

• Asumsi tidak adanya risk-free asset = tidak ada kesempatan pinjam dan meminjamkan uang (no exchange possibilitiy)

• Bagaimana seseorang menentukan optimal portfolionya dari dua risky assets?Dalam hal ini obyek pilihan bukan konsumsi dan investasi melainkan risk dengan return. Pilihannya sama yaitu saat subjective marginal rate of substitution antara risk dengan return tepat sama dengan objectively determined marginal rate of transformation (sepanjang mean variance opportunity set) antara risk dengan return.Pada optimal portfolio, MRS=MRT, sehingga merupkan harga risiko subyektif menurut orang tersebut.


Jika kita tahu risk-return trade-off dan tahu juga kemungkinan-kemungkinan yang ditawarkan berbagai kombinasi dari risky assets, maka kita akan memaksimumkan expected utility kita pada titik C. Digambarkan dengan indiff curve kita menyinggung pada opportunity set.

Ada individu dengan Indif Curve IV dan V (total utility yang lebih tinggi) tetapi opp set tidak menawarkan sampai kesana


Optimal portfolio yang kita pilih agar utility kita maksimum sama artinya jika marginal rate of substitution antara preferensi kita thd risiko dengan return yang ditunjukkan dengan indiff curve kita, tepat sama dengan marginal rate of transformation yang ditawarkan oleh minimum variance opportunity set.


Karena itu slope bergaris putus-putus yang menyinggung indiff curve kita di titik C, adalah marginal rate of substitution antara risk dengan return kita. Garis ini juga menyinggung opportunity set di titik C. Dengan demikian, slope tsb merupakan trade-off antara risk dengan return yang ditawarkan oleh opportunity set.


Untuk mendapatkan portfolio mana yang sesuai dengan keadaan kita, kita harus mencari berbagai portfolio didalam opportunity set sampai ditemukan hanya satu portfolio dimana MRT (Marg Rate of Transf) antara risk dengan return pada minimum variance opportunity set, yang membuat sama dengan MRS (Marg Rate of Subst) dari indiff curve kita

б(Rp)MRT E(Rp) = б(Rp)MRS E(Rp)


Jika pada titik A , MRS≠MRT, kita dapat menukar kombinasi investasi kita sehingga diperoleh titik E, dimana MRS=MRT. Rational investor will never choose a portfolio below the minimum variance point.

EFFICIENT SET The efficient set is the set of mean variance choices from the investment opportunity set where for a given variance (or standard deviation) no other investment opportunity offers a higher mean return.


Portfolio di B dan F menawarkan risiko yang sama tetapi beda return. B ada di efficient set karena return yang ditawarkan lebih tinggi untuk risiko yang sama. Rational investor akan memilih B. Titik B stochastically dominant over point F

Semua individu I,II,III, sudah dalam kondisi MRS=MRT


Jika return dua asset berkorelasi sempurna, maka bentuk efficient set tampak sebagai garis lurus pada Fig 5-11., garis X-Y

Jika return dua aset berokrelasi berkebalikan sempurna, maka gambar efiicient set seperti pada Fig 5-12, garis XZ

Efficient set


Secara umum kedudukan dari mean-variance yang fisibel dapat dicari dengan mencari solusi dari salah satu dari 2 alternatif berikut.

1. MIN б2(Rp) subject to E(Rp)=K, atau

2. Max E(Rp) subject to б2(Rp)=K


D.The Efficient Set With One Risky and One Risk-Free Asset

• Jika salah satu dari 2 aset mempunyai variance=0, maka mean-variance portfolio menjadi:

E(Rp)=aE(X) + (1-a)Rf , dan

VAR(Rp)=a2VAR(X)Rf=Risk-free asset, dimana VAR dan COVAR dengan risky asset sama dengan nol

Opportunity set dari portfolio ini tampak pada Fig 5-13, yaitu berbentuk garis, linier.Bisa dibuktikan, p.126


Dengan asumsi tsb, untuk mencapai XV, diperlukan meminjam dana agar dapat invest >100% pada risky asset. Borrowing dapat dianggap sama dengan selling short atas risk-free asset. Karena itu sepanjang XV, a>1 karena investasi di X >1.

Mean dan std dev sepanjang garis XV adalah

E(Rp)=aE(X) + (1-a)Rf, dan б(Rp)=aбx

Rate of return Rf diasumsikan sama dengan lending dan borrowing rate, untuk nanti mengembangkan teori mengenai harga dari risiko.


Jika kita investasi >100% pada risk-free asset, maka kita harus short-sell atas risky asset kita

Mean dan variance portfolio untuk a<0, adalah

E(Rp)=(1-a)Rf + aE(X)

б(Rp) =IaI бx

Tidak ada rational investor yang mau invest dengan cara invest lebih dari 100% pada risk-free asset, karena ada alternatif yang lebih baik yaitu YXV


E.Optimal Portfolio Choice:Many Assets1.Portfolio Mean, Variance, and Covariance

with N Risky Assets

• Investasi pada 3 risky assets

E(Rp) = E[w1R1 + w2R2 + w3 R3] = w1E(R1) + w2 E(R2) + w3E(R3)

E(Rp) = i=1Σ 3 wi E(Ri)

VAR(Rp)= i=1Σ 3 j=1Σ 3 wiwjбij


Secara umum rumus dapat ditulis

E(Rp)=i=1 Σ n wi E(Ri)

VAR (Rp) = i=1 Σ n i=1Σ n wiwjбij


E.Optimal Portfolio Choice:Many Assets2.An Application: Cross Hedging with

Futures Contract

• Skipped


E.Optimal Portfolio Choice:Many Assets3.The Opportunity Set with N Risky Assets

• Jika expected return dan variance setiap aset dari N aset diketahui termasuk covariance antar pasangan aset diantara mereka, opportunity set dan efficient set dari N risky assets dapat diketahui.

• Untuk 2000 sekuritas, diperlukan menghitung 2000 mean, 2000 variance dan 1,999,000 covariance. Melelahkan.

• Bentuk investment opportunity set untuk N risky assets, sama saja dengan bentuk untuk 2 risky assets.


Mengingat tidak ada risk-less asset, maka seorang risk-averse investor akan memaksimumkan expected utility dengan cara yang sama dengan sebelumnya, yaitu dengan mencari titik dimana indiff curve yang tertinggi yang dapat menyinggung opportunity set. Untuk tujuan itu, std dev, mean return dan covar harus dihitung terlebih dahulu.


E.Optimal Portfolio Choice:Many Assets4.The Efficient Set with N Risky Assets and

One Risk-Free Asset

• Dengan adanya risk-free asset dalam ekonomi, problem mendapatkan portfolio optimal menjadi lebih sederhana.

• Asumsi,Borrowing rate=Lending rate=Return risk-free asset.


Titik-titik pada garis Rf-M-N merupakan portfolio dari 1 risk-free asset dengan risky assets. Banyak garis bisa dibuat dari Rf, tetapi hanya satu yang paling baik, yaitu yang menyinggung opportunity set di M (Market portfolio)


Investor III yang paling risk averse, sedangkan investor I yang paling kurang risk averse. Semua tingkat risk aversion dapat menempatkan dananya dalam portfolio antara risk-free asset denganrisky asset.


E.Optimal Portfolio Choice:Many Assets5.A Description of Equilibrium

• Kita telah mengkaji sistim ekonomi tanpa exchange opportunity (p.125). Optimal portfolio dilakukan dengan memaximumkan expected utility given his risk preferences, subject to the feasible set of mean variance trade-offs offered by a combination of two risky assets.

• Kita juga sudah mengkaji macam-macam sampai opportunity efficient set dimana ada 1 risk-free asset dengan N risky assets.Introduksi kehadiran risk-free asset menyiratkan adanya kesempatan untuk exchange dimana ekonomi terdiri dari banyak individu dimana ada borrowing dan lending dengan rate yang sama dengan risk-free return, frictionless capital market, dan asumsi adanya homogenous belief atas exp. dist. of return tiap aset. Seluruh investor juga tahu posisi efficient set, shg ingin mempunyai portfolio dengan Rf dan M..


Agar capital market dalam kondisi equilibrium, diperlukan adanya market-clearing prices, yaitu asumsi bahwa seluruh aset ada yang memiliki, dan seluruh harga sekuritas sudah mengalami penyesuaian sehingga tidak ada lagi excess demand pada setiap aset.

The market-clearing condition implies that an equilibrium is not attained until the single-tangency portfolio, M, which all investors with homogenous expectation try to combine with risk-free borrowing or lending, is a portfolio in which all assets are held according to their market value weights.


Pada kondisi equilibrium, jika Vi = market value asset i, maka, % wealth yang dialokasi ke tiap aset i sama dengan ratio antara Vi dengan i=1ΣNVi

Atau secara matematik dapat ditulis

wi=

Vi

i=1ΣNVi

Market equilibrium is not reached until the tangency portfolio, M, is the market portfolio. Also, the value of the risk-free rate must be such that aggregate borrowing and lending are equal.


The fact that the portfolio of all risk-averse investors will consist of different combinations of only two portfolios is an extremely powerful result. It has come to be known as the two-fund separation principle.

TWO-FUND SEPARATION. Each investor will have a utility-maximizing portfolio that is a combination of the risk-free asset and a portfolio (or fund) of risky assets that is determined by line drawn from the risk-free rate of return tangent to the investor’s efficient set of risky assets.=> Capital Market Line.Fig 5-17.

E(Rp)=Rf + б(Rp) б(Rm)

E(Rm) - Rf (5.34)


Bagaimana market equilibrium dilihat dari sisi individu investor?Ada baiknya membuat pembanding exp utility-maximizing, ketika ada capital market dengan tidak ada capital market. Fig 5.18 dan Fig 5.9

Pada Ch-1,certainty, tiap individu better off karena ada cap.market sehingga dicapai Fisher separation. Dalam dunia dengan mean-variance uncertainty, individu juga better off dengan adanya capital market sehingga dicapai two-fund separation.


A=> U1

B=>U2

M=>portfolio pasar

C, meminjam=>U3

Better off

Pada kondisi equilibrium

MPR=MRS=

E(Rm)-Rf

б(Rm)

MPR=Market Price of Risk


Pada kondisi equilibrium, setiap investor sepakat atas price of risk sekalipun degree of risk aversion mereka tidak sama. Marginal rate of substitution individu i dan j, akan sama dengan marginal rate of transformation dan keduanya sama dengan MPR

MRSi=MRSj=MRT=MPR=E(Rm)-Rf

б(Rm)

Sampai disini kita telah memperoleh pengetahuan bahwa std deviasi merupakan ukuran dari risiko portfolio. Apakah std dev juga ukuran yang baik dari risiko single risky asset?


Ternyata tidak. Dari penelitian Jan 1975-June 2000 (p.137), diperoleh data sbb.

Av.monthly return Bayside Smoke 0.45% atau 5.4% per year dengan std dev=7.26%. Sebagai pembanding, digunakan 100 stocks portfolio.

Av return per month 0.91% atau 10.9% per year, dengan std dev 4.45%.

Bayside Smoke punya std dev yang lebih besar dari std dev portfolio, seharusnya punya return yang lebih besar juga, tetapi mengapa tidak demikian………….

Tampaknya std dev bagus untuk mengukur risiko suatu portfolio tetapi tidak demikian untuk single asset


F.Portfolio Diversification and Individual Asset Risk

Kita kembali melihat variance dari suatu portfolio

VAR(Rp) =i=1ΣN j=1ΣN wiwj бij

Ketika banyaknya aset dalam suatu portfolio meningkat, variance menurun dan mendekati average covariance. Buktinya baca p.138.

Jika aset banyak sekali, maka variance menurun drastis dan covariance masih ada yang besarnya sama dengan rata-rata covariance бij

Lim ( N2

N2бij

N

N2бij

) = бij 5.37


Hasil kajian Fama tampak pada Fig 5.19 dan Table 5.6.


Baca Jones: Investment, utk tahu Arithmetic mean, Geometric mean


Still another way of looking at the risk of a single asset is to evaluate its contribution to total portfolio of risk, by taking the partial derivative of the expression for portfolio variance.

δVAR(Rp)/ δwi = 2wiбi2 + 2 j=1ΣN wjбij

Asumsikan wi = 1/N. Ketika N membesar (banyaknya aset dalam portfolio bertambah), wi=>0, dan

j=1ΣN wj =>1.

Dari 5.38, jelas bahwa pada well diversified portfolio ukuran paling tepat untuk kontribusi single asset adalah covariance dengan aset lainnya di dalam portfolio tersebut.

5.38


Mengapa variance tidak dapat digunakan untuk mengukur risiko single asset? Sementara itu utility maximizing investor menentukan portfolio optimalnya dengan dasar mean variance…. Jawabannya harus dikaji dari Fig 5.20.

Aset I, J, tidak efisien karena tdk pada CML, sehingga walaupun diketahui mean-variance-nya, ttp tidak diketahui berapa return yang mungkin diperoleh sebab tidak di efficient frontier. Aset I,J,K, punya exp return yang sama, ttp berbeda variance. Jika variance berbeda seharusnya return juga berbeda, jika variance ukuran yang betul untuk risiko single asset => SINGLE PRICE LAW OF SECURITIES


SINGLE-PRICE LAW OF SECURITIES All securities or combinations of securities that have the same joint distribution of return will have the same price in equilibrium


SELESAI?

YA, SELESAI

CH-5 OBJECTS OF CHOICE: MEAN-VARIANCE PORTFOLIO THEORY

Documents

Transcript of CH-5 OBJECTS OF CHOICE: MEAN-VARIANCE PORTFOLIO THEORY