ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Μεταπτυχιακή Εργασίαστην κατεύθυνση Μαθηματικά για την Εκπαίδευση

Το θεώρημα του Πτολεμαίου(Μια σύντομη ανασκόπηση από την αρχαιότητα έως τις μέρες

μας)

Γιαννίνα ΡασούληΕπιβλέπων καθηγητής: Ιωάννης Πλατής

Ηράκλειο 2012

1

Επιτροπή αξιολόγησης

• Χρήστος Κουρουνιώτης• Πάρις Πάμφιλος• Ιωάννης Πλατής (επιβλέπων)

2

Ευχαριστίες

Οφείλω ένα μεγάλο ευχαριστώ στον επιβλέποντα καθηγητή μου κύριοΙωάννη Πλατή για την υπομονή, την καθοδήγηση, τις συμβουλές και τηνοργάνωση που μου παρείχε σε στιγμές που δυσκολευόμουν να βάλω σε τάξηόλο αυτόν τον όγκο πληροφοριών. Παρά το φορτωμένο του πρόγραμμα είχεπάντα χρόνο για συζητήσεις προσφέροντάς μου μια διαφορετική οπτική σεπολυάριθμα θέματα, ενώ με τις αλλεπάλληλες υποδείξεις του με βοήθησεώστε η εργασία αυτή να φτάσει στην τελική της μορφή. ΄Οποιο λάθοςεξακολουθεί να υπάρχει είναι βέβαια δικό μου.Ακόμη, θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένειά μου και το Στρατή

που με έχουν στηρίξει όλα αυτά τα χρόνια και που ανέχτηκαν τα άγχη καιτα δύσκολα ωράριά μου, καθως και τη φίλη μου Χριστίνα για την πολύτιμηβοήθειά της.

3

Πρόλογος

Η παρούσα εργασία είναι πάνω στη Γεωμετρία, τον πιο προσβάσιμο κλάδοτων μαθηματικών. Για πάνω από δυο χιλιετίες η καλή γνώση της γεωμετρί-ας ήταν ένα από τα κριτήρια που οδηγούσαν στο χαρακτηρισμό ένος ανθρώ-που ως μορφωμένο. Στη σχολή του Πλάτωνα υπήρχε η επιγραφή ”Μηδείςαγεωμέτρητος εισίτω”, ενώ το 18ο και 19ο αι. η δημοσίευση προβλημά-των γεωμετρίας γινόταν για να διασκεδάσει και να προσφέρει διανοητικήικανοποίηση στα άνω κοινωνικά στρώματα.Θα ασχοληθούμε με ένα θεώρημα που παρουσιάστηκε από τον Κλαύδιο

Πτολεμαίο την ύστερη αρχαία εποχή και επηρέασε τον κλάδο της Αστρονο-μίας. Θα μελετήσουμε αρχικά το ιστορικό πλαίσιο της εποχής και τι ήταναυτό που οδήγησε τον Πτολεμαίο στο επικείμενο θεώρημα. Στη συνέ-χεια, διατηρώντας μια ιστορική σκοπιά στην εξέλιξη διάφορων γεωμετριώνθα μελετήσουμε εφαρμογές του θεωρήματος του Πτολεμαίου. Ξεκινώνταςαπό την Ευκλείδεια Γεωμετρία, θα δούμε στη συνέχεια πώς στην Γεωμε-τρία της Αντιστροφής έχουμε εύκολες αποδείξεις για κάποια θεωρήματατης Ευκλείδειας γεωμετρίας, ενώ θα καταλήξουμε σε όμορφα γενικευμένααποτελέσματα στην ομάδα του Heisenberg.

4

Περιεχόμενα

Κεφάλαιο 1. Ιστορικό πλαίσιο 71. Αλεξάνδρεια 72. Τριγωνομετρία 93. Κλαύδιος Πτολεμαίος (100-178 π.Χ.) 12

Κεφάλαιο 2. Το Θεώρημα και η η Ανισότητα του Πτολεμαίου στηνΕυκλείδεια Γεωμετρία 37

1. Θεώρημα και Ανισότητα του Πτολεμαίου 372. Το Θεώρημα του Πτολεμαίου στην Αλμαγέστη-Τριγωνομετρικοίπίνακες 39

3. Συνέπειες του Θεωρήματος του Πτολεμαίου 44

Κεφάλαιο 3. Γεωμετρία της Αντιστροφής και Θεώρημα τουΠτολεμαίου 65

1. Γεωμετρία της αντιστροφής 652. Θεώρημα και ανισότητα του Πτολεμαίου 683. Πτολεμαίος, Fermat, Ναπολέων, Cayley 704. Διπλοί λόγοι 765. Απόδειξη του Θεωρήματος του Πτολεμαίου με χρήση διπλώνλόγων 81

Κεφάλαιο 4. Η ανισότητα και το Θεώρημα του Πτολεμαίου στηνομάδα Heisenberg 85

1. Η ομάδα Heisenberg 852. (Korányi–Reimann) Διπλοί λόγοι 873. Η Πτολεμαϊκή ανισότητα και το Θεώρημα του Πτολεμαίου στο

∂H2C 904. Το Θεώρημα του Πτολεμαίου σε άλλους χώρους 93

Βιβλιογραφία 95

5

Γνωρίζω πως γεννήθηκα θνητός και εφήμερος, μα σα μαντεύω τις πυκνές,τις αμφίδρομες έλικες των αστεριών, τα πόδια μου δεν πατάνε πια στη γη,

πλάι στο Δία τρέφομαι σα θεός, χορταίνω με αμβροσία

Κλαύδιος Πτολεμαίος, επίγραμμα από την Αλμαγέστη

6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

Ιστορικό πλαίσιο

1. Αλεξάνδρεια

Με βαθιά γνώση και στρατηγική διορατικότητα, ο Μέγας Αλέξανδροςείχε επιλέξει την Αλεξάνδρεια ως το κέντρο του μελλοντικού κόσμου καιείχε ξεκινήσει την οικοδόμηση της πόλης. Πολύ σύντομα, η Αλεξάνδρειαέγινε μια ανθηρή εμπορική μητρόπολη καθώς και ένα πολιτικό κέντρο πρώ-της τάξεως. Ανάμεσα στα πολλά πλεονεκτήματα της Αλεξάνδρειας ήταν καιη μεγάλης διάρκειας ειρήνη: κατά την διάρκεια της κυριαρχίας των Πτολε-μαίων, που κράτησε σχεδόν για 300 χρόνια, (από το 305 ως το 30 π.Χ.), ηπόλη δεν γνώρισε εξωτερικές συγκρούσεις. Μία μικρή διακοπή υπήρξε ότανη Αίγυπτος έγινε μέρος της Ρωμαϊκής αυτοκρατορίας και η Pax Romanaεγκαταστήθηκε στη χώρα.Δεν αποτελεί έκπληξη ότι η Αλεξάνδρεια ήταν ένας παράδεισος για τους

λόγιους και ότι πάνω από μισό εκατομμύριο από τα αρχαία επιτεύγματα τωνλογίων προήλθε από αυτή την πόλη. Σχεδόν κάθε σπουδαίος μαθηματι-κός της αρχαιότητας ήταν είτε φοιτητής είτε διδάσκαλος στο Σεράπειο τηςΑλεξάνδρειας, ένα κτήριο που μαζί με τη βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας λει-τουργούσε σαν Πανεπιστήμιο.Ο πρώτος βασιλιάς Πτολεμαίος (ο Σωτήρ) ίδρυσε το Μουσείο, το ο-

ποίο συγκέντρωσε κορυφαίους ποιητές και λόγιους αμοιβώμενους πλου-σιοπάροχα από τους βασιλικούς θησαυρούς. Περιλάμβανε μια παγκοσμίωςξακουστή βιβλιοθήκη, στην οποία ο βασιλιάς Πτολεμαίος ο Β` ο Ευεργέ-της πρόσθεσε ολόκληρες τις συλλογές των βιβλίων του Αριστοτέλη και τουΘεοφράστου. ΄Ολοι όσοι καλλιεργούσαν τις επιστήμες και τα γράμματα συ-νέρρεαν στην Αλεξάνδρεια: φιλόλογοι, ιστορικοί, γεωγράφοι, μαθηματικοί,αστρονόμοι, φιλόσοφοι και ποιητές. Τα έργα του Ομήρου αναλύονταν καιξεκαθαρίζονταν από τις αλλοιώσεις, θεμελιώθηκε η επιστήμη της χρονολό-γησης και στην Αστρονομία θεμελιώθηκαν θεωρίες όπως των επίκυκλωνκαι των έκκεντρων κύκλων που ερμήνευαν τις προσεκτικές παρατηρήσειςπου είχαν γίνει. Οι ίδιοι άνθρωποι που έφεραν την τεράστια ανάπτυξη τηςΑστρονομίας, ο Αρίσταρχος, ο Αρχιμήδης, ο Ερατοσθένης και ο Απολ-λώνιος, ήταν επίσης οι κορυφαίοι μαθηματικοί του καιρού τους και οδή-γησαν τα Μαθηματικά σε πρωτοφανή άνθηση. Ο Αρχιμήδης κατοικούσεστην αυλή του Ιέρωνος στις Συρακούσες, και επικοινωνούσε τακτικά με

7

τον Ερατοσθένη, τον διευθυντή της Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας. Ο δεΑπολλώνιος έζησε και αυτός εκεί.΄Οταν η βασιλική εύνοια και η υποστήριξη έπαυσαν, οι τέχνες και οι

επιστήμες σταδιακά μαράζωσαν. Την περίοδο της άνθησης του 3ου π.Χ.αιώνα ακολουθησαν αιώνες σιγανής παρακμής: οι βασιλείς που διαδέχτηκαντον Πτολεμαίο Γ΄ (τον Φιλάδελφο) δεν ήθελαν να διαθέσουν χρήματα στηνεπιστήμη. Μαζί με όλα τούτα επέρχεται και το τέλος των αρχαίων χρόνωνπου σημαδεύεται από την κυριαρχία της Ρώμης. Το 212 π.Χ. οι Συρακού-σες υπέκυψαν σε Ρωμαϊκή πολιορκία, το 146 π.Χ. η Καρχηδόνα παραδόθηκεστην Αυτοκρατορία της Ρώμης και την ίδια χρονιά, η τελευταία από τις ελ-ληνικές πόλεις, η Κόρινθος, επίσης παραδόθηκε και η Ελλάδα έτσι έγινεπροάστειο της Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας. Η Μεσοποταμία κατακτήθηκε το65 π.Χ. και η Αίγυπτος παρέμεινε υπό την κυριαρχία των Πτολεμαίων ωςτο 30 π.Χ. Ο ελληνικός πολιτισμός διαχύθηκε μέσα στη ρωμαϊκή ζωή καιο Χριστιανισμός άρχισε να εξαπλώνεται ιδιαίτερα ανάμεσα στους φτωχούςκαι τους δούλους. Οι Ρωμαίοι διαχειριστές εισέπρατταν πολλούς φόρουςαλλά δεν αναμειγνύονταν σε άλλα ζητήματα οικονομικής οργάνωσης τωνανατολικών αποικιών. Στο πλαίσιο αυτό, και λόγω ιδίως της ισχυρότατηςθεμελίωσης που υπήρξε κατά την πρώιμη περίοδο, μία σημαντική αναζοω-γόνηση των επιστημών παρουσιάζεται στην Αλεξάνδρεια στους πρώτουςμετά Χριστόν αιώνες.΄Ισως το αποκορύφωμα της ανάπτυξης των Θετικών Επιστημών συνο-

λικά, ήταν η Μεγίστη του Κλαύδιου Πτολεμαίου (περίπου το 140 π.Χ.).΄Ηταν ο Πτολεμαίος αυτός που μαζί με τον ΄Ιππαρχο (περίπου το 130 π.Χ)ολοκλήρωσαν το έργο των μεγάλων Αλεξανδρινών προπατόρων τους.

Η επικράτηση του Χριστιανισμού σημαδεύει το τέλος της κάθε μορφήςανάπτυξης των Θετικών Επιστημών στη Ρωμαϊκή επικράτεια.Ο Μέγας Κωνσταντίνος ήταν ο πρώτος Ρωμαίος αυτοκράτορας που α-

σπάστηκε το Χριστιανισμό και υπέγραψε το 313 μ.Χ. το Διάταγμα τωνΜεδιολάνων με το οποίο κατοχυρώθηκε η ανεξιθρησκία και η θρησκευ-τική ελευθερία. Ιδιαίτερη αναφορά έγινε για τον Χριστιανισμό, ο οποίος

8

καθίστατο θρησκεία επιτρεπτή και νόμιμη για τους Ρωμαίους πολίτες καιοι χριστιανοί ελεύθεροι μπορούσαν να ασκήσουν τα θρησκευτικά τους κα-θήκοντα. ΄Ομως, ο Χριστιανισμός δεν αναγνωριζόταν ακόμη ως επίσημηκαι προστατευόμενη θρησκεία της Αυτοκρατορίας. Το 330 μ.Χ. ο ΜέγαςΚωνσταντίνος μετέφερε την πρωτεύουσα της Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας α-πό την Ρώμη στο Βυζάντιο και την ονόμασε Κωνσταντινούπολη. Το 395μ.Χ. η Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία χωρίστηκε στην Ανατολική και την ΔυτικήΑυτοκρατορία με την Ελλάδα να υπάγεται στην Ανατολική. Η οικονομικήδομή και των δύο αυτοκρατοριών βασιζόταν στη γεωργία όπου δούλευανπολλοί δούλοι. Τέτοιες συνθήκες ήταν αποπνικτικές για το οποιαδήποτε ε-πιστημονικό έργο και έτσι ήρθε μια σταδιακή εξασθένιση στην παραγωγικήσκέψη, ιδιαίτερα στο δυτικό μέρος όπου ακόμη περισσότεροι ασχολούντανμε το εμπόριο δούλων. Στην τελική παρακμή του δουλεμπορίου, με τιςκαταστροφικές του συνέπειες στην Ρωμαϊκή οικονομία, η επιστήμη βρισκό-ταν σε ένα πολύ μέτριο επίπεδο. Η Αλεξανδριανή σχολή σταδιακά έσβηνεκαι η δημιουργική σκέψη έδινε τη θέση της στην συλλογή και το σχολια-σμό αυτών που ήδη υπήρχαν. Δύσκολες μέρες ακολούθησαν τη μάχη τουΧριστιανισμού ενάντια στην αρχαία θρησκεία και τελικά, το 641 μ.Χ. οι’Αραβες κατέλαβαν την Αλεξάνδρεια.

2. Τριγωνομετρία

Η προέλευση της τριγωνομετρίας δεν είναι ξεκάθαρη. Σίγουρα όμως,όπως και άλλοι κλάδοι των μαθηματικών, δεν ήταν έργο ενός μόνο αν-θρώπου ή έθνους. Θεωρήματα για λόγους πλευρών ομοίων τριγώνων ήτανγνωστά και χρησιμοποιούνταν από τους αρχαίους Αιγύπτιους και Βαβυ-λώνιους. Στον πάπυρο Rhind αναφέρονται κάποια προβλήματα γύρω απότη συνεφαπτομένη των διεδρικών γωνιών στη βάση μιας πυραμίδας ενώστην πινακίδα Plimpton 332 περιέχονται στήλες με ορθογώνια τρίγωνα μερητές πλευρές. Οι Βαβυλώνιοι αστρονόμοι του 4ου και 5ου αιώνα π.Χ.είχαν συγκετρώσει έναν σημαντικό όγκο πληροφοριών από παρατηρήσειςπου είχαν κάνει και είναι πλέον γνωστό ότι πολλά από αυτά πέρασαν καιστους ΄Ελληνες. Από την πρώιμη αυτή Αστρονομία γεννήθηκε η σφαιρικήτριγωνομετρία.Η συστηματική μελέτη των σχέσεων ανάμεσα σε γωνίες ή τόξα ενός

κύκλου και τις αντίστοιχες τους χορδές συναντάται για πρώτη φορά στους΄Ελληνες. Η χρήση των χορδών ως εργαλεία μέτρησης επίκεντρων καιεγγεγραμμένων γωνιών σε κύκλους ήταν γνωστή στους ΄Ελληνες από τηνεποχή του Ιπποκράτη και είναι πιθανό ο Εύδοξος να είχε χρησιμοποιήσειλόγους και μετρήσεις γωνιών για να καθορίσει το μέγεθος της γης καιτις σχετικές αποστάσεις ανάμεσα στη γη και τη σελήνη. Στα έργα τουΕυκλείδη δεν υπάρχει τριγωνομετρία με την αυστηρή έννοια της λέξεως,αλλά υπήρχαν θεωρήματα ισοδύναμα με συγκεκριμένους τριγωνομετρικούςνόμους και κανόνες (Β` βιβλίο των Στοιχείων).

9

΄Ολο και περισσότερο οι αστρονόμοι της (πρώιμης) Αλεξανδρινής επο-χής, όπως ο Ερατοσθένης ο Κυρηναίος (279-194 π.Χ.) γνωστός για τημέτρηση της γης που έκανε και ο Αρίσταρχος ο Σάμιος (310-230 π.Χ.),εργάζονταν επάνω σε προβλήματα με τρόπο που υποδείκνυε την ανάγκηγια περαιτέρω συσχέτιση γωνιών και χορδών. Ο Αρίσταρχος σύμφωνα μετον Αρχιμήδη και τον Πλούταρχο πρότεινε ένα ηλιοκεντρικό σύστημα μιά-μιση χιλιετία πριν τον Κοπέρνικο, αλλά αν και όλα τα γραπτά του πάνωσε αυτό το θέμα έχουν χαθεί, υπάρχει ωστόσο ένα προγενέστερο γραπτόστο οποίο μιλά για ένα γεωκεντρικό σύμπαν στο οποίο τα επιχειρήματά τουστηρίζονται σε παρατηρήσεις γωνιών ανάμεσα στη γη, τη σελήνη και τονήλιο.Από τους πιο διαπρεπείς αστρονόμους της αρχαιότητας ήταν ο ΄Ιππαρ-

χος, μία μεταβατική φυσιογνωμία ανάμεσα στη Βαβυλώνια Αστρονομία καιτο έργο του Πτολεμαίου, που έκανε τις μεγαλύτερες του ανακαλύψεις γύρωστο 140 π.Χ. Ο ΄Ιππαρχος υπολόγισε ότι τα άστρα μετακινούνται από τηνθέση τους κατά 1/72 της μοίρας κάθε χρόνο ένα φαινόμενο που οφείλεταισε μια απειροελάχιστη κυκλική κίνηση του άξονα της Γης και η οποία χρειά-ζεται 25.800 χρόνια περίπου για να συμπληρωθεί. Ανακάλυψε δηλαδή ότιτο εαρινό ισημερινό σημείο μετακινείται πάνω στην εκλειπτική με αντίθετηφορά 50 δευτερόλεπτα του ενός λεπτού της μοίρας κάθε χρόνο. Πράγμαπου σημαίνει ότι με την πάροδο των αιώνων αλλάζει σιγά-σιγά και το άστροπου σημαδεύει τον Βόρειο Ουράνιο Πόλο. Πάνω σε αυτό το φαινόμενο τηςμετάπτωσης των ισημεριών στηρίζεται σήμερα ολόκληρο το οικοδόμημα τηςΑστρονομίας θέσεως.Επί πλέον ο ΄Ιππαρχος κατόρθωσε να προσδιορίσει με μεγάλη ακρίβεια

ότι το μέγεθος του ηλιακού έτους είναι 365,242 ημέρες όταν με σύγχρονεςμεθόδους προσδιορίζεται σε 365,242199 ημέρες. Ακόμη, το 129 π.Χ. μίαηλιακή έκλειψη τον βοήθησε να προσδιορίσει ότι η διάμετρος της Σελήνηςείναι ίση με το 1/3 της γήινης όταν οι σημερινές τιμές αναφέρουν την διά-μετρο της Γης ίση με 12.756 χιλιόμετρα και την διάμετρο της Σελήνης ίσημε 3.476 χιλιόμετρα.

Ο ΄Ιππαρχος ήταν αυτός που εισήγαγε στην Ελλάδα την διαίρεση τουκύκλου σε 360o. Αν και δεν έχουν σωθεί έργα του, ο σχολιαστής του 4ουπ.Χ. αιώνα, Θέων της Αλεξάνδρειας1, του αποδίδει μια πραγματεία 12 βι-βλίων στην οποία ασχολείται με την κατασκευή ενός πίνακα χορδών. ΄Εναςμεταγενέστερος πίνακας που δόθηκε από τον Κλαύδιο Πτολεμαίο, (που πι-στεύεται ότι ήταν πολύ επηρρεασμένος από την πραγματεία του ΄Ιππαρχου),δίνει τα μήκη των χορδών όλων των επίκεντρων γωνιών από 1

2

oέως 180o

1Θέων ο Αλεξανδρεύς (335-405): Μαθηματικός, αστρονόμος και τελευταίος διευ-θυντής της Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας πριν την καταστροφή της. ΄Εκδοσε τα Στοι-χεία του Ευκλείδη, ενώ έγραψε σχόλια πάνω σε σημαντικά έργα συγγραφέων των ελλη-νιστικών χρόνων, ανάμεσα σε αυτά και πάνω στη Μεγίστη.Πηγή: https : //en.wikipedia.org/wiki/Theon of Alexandria

10

με βήμα 12

o, για δοθέντα κύκλο. Η ακτίνα του κύκλου διαιρείται σε 60 ίσα

μέρη και τα μήκη των χορδών εκφράζονται σε εξηκοστά παίρνοντας ένααπό αυτά τα μέρη σαν μονάδα. Ο πίνακας χορδών είναι ισοδύναμος με τονπίνακα ημιτόνων, αφού μας δίνει τα ημίτονα των γωνιών μεταξύ 0o και 90o,ανά τέταρτο μοίρας.Ο Θέων επίσης αναφέρει μια πραγματεία 6 βιβλίων του Μενελάου της

Αλεξάνδρειας, την Περί υπολογισμού των χορδών κύκλου και τα Σφαιρικά.Στο Βιβλίο Ι θέτει τις βάσεις για σφαιρικά τρίγωνα ανάλογες με αυτές πουέθεσε ο Ευκλείδης για τα τρίγωνα του επιπέδου. Στο Βιβλίο ΙΙ περιγράφειτην εφαρμογή της σφαιρικής γεωμετρίας σε αστρονομικά φαινόμενα, ενώστο Βιβλίο ΙΙΙ ασχολείται με την τριγωνομετρία και περιέχει και το γνωστόΘεώρημα του Μενελάου, σύμφωνα με το οποίο αν οι πλευρές AB, BC, CAενός τριγώνου τέμνονται από μια ευθεία στα σημεία D,E, F αντίστοιχα,τότε

AD ·BE · CF = BD · CE · AF.Αυτό το θεώρημα το επέκτεινε και σε σφαιρικά τρίγωνα σε μια μορφή ισο-δύναμη με την

sinAD sinBE sinGF = sinBD sinCE sinAF.

C

A B

FE

D

11

Το Θεώρημα του Μενελάου έπαιξε καθοριστικό ρόλο στη σφαιρική τρι-γωνομετρία και την Αστρονομία, αλλά μακράν το πιο σημαντικό έργο τρι-γωνομετρίας με τη μεγαλύτερη επηρροή ήταν η Μεγίστη του Πτολεμαίου οοποίος έζησε μισό αιώνα μετά το Μενέλαο.Η εξαφάνιση πολλών εργασιών των αρχαίων Ελλήνων πάνω στην Α-

στρονομία οφείλεται στο γεγονός ότι η η Μεγίστη του Πτολεμαίου επισκί-ασε όλες τις παλαιότερες εργασίες καθιστώντας τις περιττές. Ο Πτολεμαί-ος έγραψε αυτή τη μεγάλη και αποφασιστικής σημασίας εργασία του πάνωστην Αστρονομία γύρω στα 150 μ.Χ. Το έργο αυτό που άσκησε τεράστιαεπίδραση διακρίνεται για την πληρότητα, την πυκνότητα και την κομψότητάτου. Μεταγενέστεροι σχολιαστές, για να διακρίνουν αυτή την εργασία απόλιγότερο σηματικές, τη χαρακτήρισαν με το υπερθετικό μεγίστη. Ακόμααργότερα, οί ’Αραβες μεταφραστές έβαλαν σαν πρόθεμα το αραβικό άρθροαλ και από τότε η εργασία είναι γνωστή ως Αλμαγέστη. Το έργο περιλαμ-βάνει δεκατρία βιβλία και στο πρώτο βιβλίο, ανάμεσα σε στοιχειώδη θέματαΑστρονομίας, βρίσκουμε ήδη τον πίνακα χορδών που αναφέραμε παραπά-νω, μαζί με μια σύντομη επεξήγηση του τρόπου υπολογισμού του από μιαπαραγωγική γεωμετρική πρόταση, γνωστή σήμερα ως Θεώρημα του Πτο-λεμαίου. Στην Παράγραφο 3.2 θα επεκταθούμε ακόμη περισσότερο γύρωαπό την Μεγίστη.

3. Κλαύδιος Πτολεμαίος (100-178 π.Χ.)

3.1. Η ζωή και το έργο του Πτολεμαίου. Ξέρουμε πολύ λί-γα για τη ζωή του Κλαύδιου Πτολεμαίου, του τελευταίου μεγάλου ΄Ελληνααστρονόμου. Η ζωή και η προσωπικότητά του είναι αξιοσημείωτα επισκια-σμένες εν συγκρίσει με ό, τι γνωρίζουμε για κάποιους άλλους επιφανείς επι-στήμονες του αρχαίου κόσμου, αλλά ο λόγος είναι εμφανής: Ο Πλούταρχοςμας έδωσε μια γλαφυρή βιογραφική απεικόνιση τόσο του Αριστοτέλη όσοκαι του Αρχιμήδη αλλά όχι του Πτολεμαίου παρότι ήταν σύγχρονος του,προτιμώντας κάποιον Ρωμαια αντίστοιχό του. Ακόμη, ο λεξικογράφος Διο-γένης Λαέρτιος δεν αναφέρει καν το όνομά του, και επίσης η μεταγενέστερηπαράδοση αναφορικά με τον Πτολεμαίο είναι πολύ σπάνια.Ο τόπος στον οποίο γεννήθηκε ο Πτολεμαίος δεν είναι γνωστός. Το

αληθινό του όνομα Κλαύδιος είναι ελληνικό, το δεύτερό του όνομα Πτολε-μαίος μπορεί να αποτελεί ένδειξη ότι προερχόταν από μία εκ των διαφόρωναιγυπτιακών πόλεων οι οποίες πήραν το όνομά τους από Πτολεμαίους βα-σιλείς, ίσως από την Ptolemais Hermeiu στη μέσο Αίγυπτο. Ακριβές είναι

12

μόνο το γεγονός ότι εκτέλεσε τις παρατηρήσεις του στην Αλεξάνδρεια,όπως αναφέρεται σε διάφορα σημεία της Μεγίστης.΄Ολα οδηγούν στο συμπέρασμα ότι έζησε και πέθανε ειρηνικά, απαρα-

τήρητος από την πλειοψηφία του κόσμου και αφιερώνοντας τον εαυτό τουστην συγγραφή των επιστημονικών έργων υψηλής τεχνικής φύσεως, ανί-κανος να προσελκύσει την προσοχή των λόγιων της ύστερης αρχαιότητας.Λίγα απομεινάρια από τα χέρια αυτών έχουν συλλεχθεί από τον Boll (1894)και τον Fischer (1932), μαζί με μερικά στοιχεία από τους μετέπειτα ΄Αραβεςσυγγραφείς και μια λιγότερο ή περισσότερο θρυλική περιγραφή-για παρά-δειγμα ότι ήταν μετρίου αναστήματος, με ένα χλωμό πρόσωπο, μια μαύρη,μυτερή γενειάδα, ένα μικρό στόμα και μια ήπια και ευχάριστη φωνή και άλ-λα τέτοιου τύπου. Αυτό είναι στην πραγματικότητα μια τυπική περιγραφήενός Στωικού φιλοσόφου, χωρίς ιστορική αξία. Το αποτέλεσμα είναι ότιη εικόνα μας για τον Πτολεμαίο έγκειται αποκλειστικά στο έργο του απόόπου μπορούν να προέλθουν τουλάχιστον κάποια βιογραφικά στοιχεία.Ο Κλαύδιος Πτολεμαίος ήταν για την Αστρονομία ότι ήταν ο Ευκλείδης

για την Επίπεδη Γεωμετρία, ο Απολλώνιος για τις κωνικές τομές και οΝικόμαχος για την Αριθμητική. ΄Εβαλε σε μια πραγματεία τις ανακαλύψειςπρογενέστερων του, ταξινομώντας τις συστηματικά ενώ χάρη στην ευφυίατου έκανε το έργο του να είναι εξαίρετο πρότυπο για πολλούς αιώνες. Τοσπουδαιότερο έργο του, η Μεγίστη, περιέχει πολλές πληροφορίες για τηναρχαία Αστρονομία. ΄Εγραψε επίσης για τη γεωγραφία, τη μουσική καιτα εφαρμοσμένα Μαθηματικά ενώ ασχολήθηκε και με τη στερεογραφικήπροβολή για να φτιάξει χάρτες. Επιχείρησε ακόμη να αποδείξει ότι τοπέμπτο αίτημα του Ευκλείδη έπεται από τα άλλα αιτήματα και αξιώματα τωνΣτοιχείων, σε μια απόπειρα να αφαιρέσει το αξίωμα αυτό από τις αρχικέςυποθέσεις του Ευκλείδη. Ακόμη, του καταλογίζεται συχνά ένα έργο γιατην οπτική, τα Οπτικά.Στην Μεγίστη υπάρχει μια περίληψη των υπολογισμών του Ερατοσθέ-

νη, του Ποσειδώνειου και άλλων ως προς το μέγεθος της γης, τη θέσηκάποιων πλανητών και το μέγεθος νησιών και χωρών. Στην εφαρμογήτων μαθηματικών στην Αστρονομία και τη γεωγραφία, ο Πτολεμαίος είναιμακράν ο πρώτος ανάμεσα σε άλλους ΄Ελληνες μαθηματικούς.Στην εισαγωγή της Μεγίστης, ο Πτολεμαίος κάνει μια πρωτοφανή δή-

λωση. Ισχυρίζεται ότι η Φυσική και η Θεολογία είναι εικοτολογικές και ότιμόνο τα Μαθηματικά παρέχουν αναμφισβήτητη γνώση. Ακόμη, υποστηρίζειότι τα Μαθηματικά μπορούν να συνεισφέρουν σημαντικά στη Φυσική. Σεκάποιο άλλο σημείο αναφέρει ότι αν και πίστευε ότι οι αστρονομικές τουυποθέσεις ήταν όσο το δυνατόν πιο ακριβείς, θεωρούσε ότι μόνο κάποιεςαπό τις συνιστώσες της υπόθεσης ήταν σωστές.Ας εξετάσουμε πρώτα τη λίστα των παρατηρήσεων που καταγράφον-

ται στη Μεγίστη. Περίπου το ένα τρίτο του συνολικού αριθμού οφείλονται

13

στον ίδιο τον Πτολεμαίο, η πρώτη παρατήρηση αφορά την έκλειψη της σελή-νης στην Αλεξάνδρεια το 9ο έτος της Βασιλείας του Αδριανού, ακριβέστε-ρα, στις 5 Απριλίου 125 μ.Χ. Η τελευταία παρατήρηση αφορά τη ΜέγιστηΑποχή του Ερμή που πραγματοποιήθηκε κατά το 4ο έτος της Βασιλείαςτου Αντωνίνου Πίου, δηλαδή στις 2 Φεβρουαρίου 141 μ.Χ., επίσης στηνΑλεξάνδρεια. Αυτό δείχνει ότι Πτολεμαίος συνέλεξε τα στοιχεία για τιςπλανητικές του θεωρίες την περίοδο 125-141 μ.Χ., και ότι η Μεγίστη πρέ-πει να είχε ολοκληρωθεί μετά από αυτό το διάστημα. Υπάρχουν επαρκήστοιχεία που αποδεικνύουν ότι ο Πτολεμαίος συνέχισε την επιστημονικήτου δραστηριότητα, αφού ολοκλήρωσε τη Μεγίστη. ΄Ετσι γνωρίζουμε ότικατά το δέκατο έτος της Βασιλείας του Αντωνίνου (147/48 μ.Χ.) ανέγειρεμια στήλη στην πόλη της Κάνωπος περίπου 15 μίλια ανατολικά της Αλεξάν-δρειας, στην οποία υπήρχε μια επιγραφή που περιείχε βελτιωμένες παραμέ-τρους των πλανητικών μοντέλων. Ακόμα καλύτερες παράμετροι βρίσκονταιστους λεγόμενους Εύχρηστους - Πίνακες ή Tabulae manuales, οι οποίοιως εκ τούτου φαίνεται να έχουν ακόμη μεταγενέστερη ημερομηνία. Επίσηςη εργασία για την Πλανητική Υπόθεση καθώς και το αστρολογικό Τετρά-βιβλος είναι μεταγενέστερα από τη Μεγίστη, όπως ρητά αναφέρεται στακείμενα. Τέλος, φαίνεται ότι η μεγάλη πραγματεία του Πτολεμαίου στη Γε-ωγραφία είναι αργότερα από τους Εύχρηστους Πίνακες. Αν αναλογιστούμεότι ο Πτολεμαίος άφησε επίσης έναν σημαντικό αριθμό άλλων έργων στηνοπτική, την αρμονία, τα Μαθηματικά και την φιλοσοφία, συνειδητοποιούμεότι ένα μεγάλο εύρος ετών ήταν απαραίτητο για την παραγωγή τους.Από τα παραπάνω αντιλαμβανόμαστε ότι η επιστημονική δραστηριότητα

του Πτολεμαίου εκτάθηκε περίπου από το 125 μ.Χ. έως την βασιλεία τουΜάρκου Αυρήλιου (161-180). Αυτό συμφωνεί επίσης με μια δήλωση τουΟλυμπιόδωρου ότι ο Πτολεμαίος εργάστηκε στην Κάνωπος για 40 χρόνια.Αναλόγως τα νέα όργανα που ο ίδιος επινόησε και κατασκεύασε πρέπει ναέχουν τοποθετηθεί εκεί σε κάποιου είδος παρατηρητήριο. Η αναμφισβήτητηπαράδοση ότι ανέγειρε την στήλη στην γειτονική Κάνωπο εμφανίζει σύνδε-ση με αυτήν την τοποθεσία. ΄Ισως είχε το σπίτι του σε αυτή τη μικρότερηπόλη, που προσέφερε καλύτερες δυνατότητες για μια ήρεμη ζωή μελέτηςαπό ότι στην θορυβώδη πρωτεύουσα του Ελληνιστικού κόσμου. Πιθανό-τατα οι ημερομηνίες γέννησης και θανάτου του είναι περίπου 100 και 165μΧ.΄Οπως αναφέραμε νωρίτερα, η Αλεξάνδρεια από το 282 π.Χ φημιζόταν

για τις μεγάλες προσωπικότητες που φιλοξενούσε, όπως ο Ευκλείδης, οΑρχιμήδης και ο Ερατοσθένης, ενώ οι βιβλιοθήκες της ήταν ανυπέρβλητεςστον αρχαίο κόσμο περιέχοντας εκεί πολλές εκατοντάδες χιλιάδες συγγράμ-ματα τόσο Ελληνικής όσο και Ανατολικής προέλευσης. Εδώ ο Πτολεμαίοςείχε πρόσβαση όχι μόνο στα αποτελέσματα του ΄Ιππαρχου, του Αρίσταρχου

14

και του πρώτου Αλεξανδρινού αστρονόμου Τιμοχάρη2, αλλά και στις πα-ρατηρήσεις που έγιναν στην Αθήνα από τον Μέτωνα3 και τον Ευκτήμονα4

τον 5ο αιώνα, και ακόμη και σε πολύ αρχαίες Βαβυλωνιακές καταγραφές οιοποίες του επέτρεψαν να χρησιμοποιήσει μια σεληνιακή έκλειψη που παρα-τηρήθηκε στη Βαβυλώνα το 721 π.Χ. Υπάρχει μία μόνο αναφορά σε ένανσύγχρονο επιστήμονα, τον Θέωνα της Σμύρνης5, που έδωσε μερικές από τιςπαρατηρήσεις του κατά την περίοδο 127-132 μ.Χ. στον Πτολεμαίο, ο οποίοςμπορεί να ήταν φίλος του ή μαθητής του. Το προσόν του Πτολεμαίου ήτανότι ήταν πιο προσεκτικός από ό, τι οι περισσότεροι Ελληνιστικοί συγγρα-φείς, αναγράφοντας τις πηγές του και αναγνωρίζοντας τους προκατόχουςτου, αλλά ήταν η μεγάλη Αλεξανδρινή βιβλιοθήκη που του επέτρεψε να τοπράξει.Αναφερόμαστε κυρίως στον Πτολεμαίο ως αστρονόμο, αλλά με μια μα-

τιά στους τίτλους των διασωζόμενων έργων του ή όσων έχουν χαθεί α-ποκαλύπτεται ως επιστήμονας με πολύ πιο καθολικά ενδιαφέροντα. Είναισχεδόν σαν να ήθελε να συνθέσει μια τεράστια ”εγκυκλοπαίδεια εφαρμο-σμένων μαθηματικών” ως αντιστάθμισμα σε ήδη υπάρχουσες περιεκτικέςεκθέσεις των καθαρών μαθηματικών. Θα πρέπει να παραδεχτούμε ότι οΠτολεμαίος πέτυχε την εκτέλεση αυτού του έργου. Ωστόσο, θα ήταν λά-θος να τον θεωρήσουμε ως απλό μεταγλωττιστή στα αποτελέσματα τωνάλλων. Επειδή πάντα αναγνώριζε τη συμβολή των παλαιότερων επιστημό-νων τα δικά του αποτελέσματα ξεχωρίζουν σαφώς και το έργο του περιέχεισημαντική προσωπική συμβολή. Το επιστημονικό του πνεύμα και η αγάπη

2Τιμοχάρης: Αστρονόμος από την Αλεξάνδρεια, που οι υπολογισμοί του χρησιμο-ποιήθηκαν από τον ΄Ιππαρχο για την ανακάλυψη της προσπτώσεως των ισημεριών.Πηγή: http : //el.wiktionary.org

3Μέτων: ΄Ελληνας μαθηματικός, αστρονόμος, γεωμέτρης και μηχανικός ο οποίοςέζησε στην Αθήνα τον 5ο π.Χ. αιώνα. Είναι πιο γνωστός για τους υπολογισμούς πουαφορούν τον επώνυμο Μετωνικό κύκλο που εισήγαγε το 432 π.Χ.το σεληνιακό Αττικόημερολόγιο, σύμφφωνα με το οποίο υποθέτει ότι 19 ηλιακά έτη είναι ίσα με 235 σελη-νιακούς μήνες, που ισούνται με 6940 ημέρες. Ο αρχαιότερος γνωστός αστρονομικόςυπολογιστής του κόσμου, ο Μηχανισμός των Αντικυθήρων (2ος αιώνας π.Χ.), εκτελείυπολογισμούς με βάση τον Μετωνικό κύκλο.Πηγή: http : //en.wikipedia.org/wiki/Meton

4Ευκτήμων ο Αθηναίος: Αστρονόμος, μετεωρολόγος και γεωγράφος της κλασικήςεποχής (5ος αιώνας π.Χ.). Υπήρξε μαθητής του Μέτωνος με τον οποίο πραγματοποίησεμία σειρά παρατηρήσεων των ηλιοστασίων προκειμένου να υπολογισθεί με μεγαλύτερηακρίβεια η διάρκεια του τροπικού έτους, ενώ καθόρισαν και τις σχέσεις του ηλιακού καισεληνιακού έτους. Ο κρατήρας Ευκτήμων στο βόρειο ημισφαίριο της Σελήνης πήρε τοόνομά του προς τιμήν του.Πηγή: http : //en.wikipedia.org/wiki/Euctemon

5Θέων ο Σμυρναίος (ή Θέων ο Πλατωνικός): Μαθηματικός και φιλόσοφος, πουγεννήθηκε στη Σμύρνη και άκμασε κατά το τέλος του 1 αιώνα, και τις αρχές του 2 αιώναμ.Χ. ΄Ηταν οπαδός της πλατωνικής φιλοσοφίας και ασχολήθηκε ειδικά με τη σπουδήτων πλατωνικών διαλόγων. Ο Θέων απέδιδε ως οπαδός της πλατωνικής φιλοσοφίαςμυστηριακή σημασία κάθαρσης στα Μαθηματικά.Πηγή: https : //en.wikipedia.org/wiki/Theon of Smyrna

15

του για έρευνα αποδεικνύονται σαφώς από το γεγονός ότι δεν εφησυχάστη-κε από αυτά που είχε ήδη επιτύχει: μόλις τελείωσε τη Μεγίστη, ένα σπάνιοκαι αξιοσημείωτο διανοητικής προσπάθειας σύγγραμμα, ο Πτολεμαίος αμέ-σως άρχισε να βελτιώνει τόσο τις θεωρίες του περί γεωγραφικού πλάτουςόσο και τις παραμέτρους του σεληνιακού μοντέλου, όπως φαίνεται από τηνεπιγραφή στην στήλη Κάνωπος και τους Εύχρηστους Πίνακες. Αλλά τογεγονός ότι είχε τόσο ασίγαστη ορμή να καλυτερεύει τα αποτελέσματάτων αστρονομικών του παρατηρήσεων, είναι πιθανόν ότι παρά την πληθώρατον ενδιαφερόντων του κατά βάθος η καρδιά του να ήταν αφιερωμένη στηΑστρονομία, ακριβώς όπως διατηρείται από την παράδοση.

3.2. Τα έργα του Πτολεμαίου. Σε αυτή την ενότητα θα ανα-λύσουμε τα κυριότερα έργα του Πτολεμαίου. Σαφέστατα το σημαντικότε-ρο έργο του Πτολεμαίου είναι η Μεγίστη, ωστόσο ασχολήθηκε και με τηΓεωγραφία, γράφοντας τη Γεωγραφική Υφήγηση, ενώ στο έργο του Πλα-νησφαίριο περιγράφει τη στερεογραφική προβολή. Στο έργο του Οπτικάασχολείται με τη διάθλαση του φωτός, ενώ προς μεγάλη έκπληξη στην Τε-τράβιβλο καταπιάνεται με πολύ απλούστερα Μαθηματικά και αστρολογία.Υπάρχουν ακόμη βιβλία αστρολογικά και μουσικά στα οποία όμως δεν θαεπεκταθούμε.

ΗΜεγάλη Μαθηματική Σύνταξις, ή Μεγίστη, ή Αλμαγέστη

Η Μαθηματική Σύνταξη τυπώθηκε αρχικά σε συντομευμένη μορφή απότον Johann Mueller στη Βενετία το 1496, γνωστό ως Regiomontanus6

που κατασκεύασε έναν πίνακα εφαπτομένων, ενώ η πρώτη πλήρης έκδοσηήταν το 1515 πάλι στη Βενετία.Το καθοριστικό, λοιπόν, ελληνικό έργο για την Αστρονομία, που γρά-

φτηκε από τον Πτολεμαίο γύρω στο 150 μ.Χ. και επηρρέασε πολλούς αργό-τερα, στηριζόταν σε γραπτά του ΄Ιππαρχου και ξεχώριζε για την συμπάγειακαι την κομψότητα του.Η πραγματεία αποτελείται από δεκατρία βιβλία. Το Βιβλίο I περιέχει ανά-μεσα σε κάποια εισαγωγικά για την Αστρονομία, τον πίνακα των χορδώνμαζί με μια επεξήγηση για το πως αυτός προέκυψε από το Θεώρημα τουΠτολεμαίου. Στο Βιβλίο II μελετώνται φαινόμενα που σχετίζονται με τη

6Regiomontanus ή Johannes Muller von Königsberg (1437-1476): Γερμανός μα-θηματικός, αστρονόμος και μεταφραστής. Το έργο του πάνω στην Αριθμητική και την΄Αλγεβρα ήταν ανάμεσα στα πρώτα που είχε συμβολική ΄Αλγεβρα. ΄Ηταν μαθητής τουPeuerbach και ήταν δάσκαλος του δάσκαλου του Κοπέρνικου. Υπάρχουν εικασίες ότιείχε καταλήξει σε μια ηλιοκεντρική θεωρία πριν το θάνατό του, ενώ έχει δοθεί το όνομάτου σε έναν κρατήρα της Σελήνης.Πηγή: https : //en.wikipedia.org/wiki/Regiomontanus

16

σφαιρικότητα της γης, ενώ γίνεται διαίρεση μιας ουράνιας σφαίρας σε ζώ-νες. Στα Βιβλία III, IV, V γίνεται μελέτη του γεωκεντρικού συστήματοςτης Αστρονομίας με τη χρήση επικυκλίων και περιγραφή του αστρολάβουπου ήταν σημαντικό αστρονομικό εργαλείο. Στο Βιβλίο IV εμφανίζεται μιαλύση του Προβλήματος των τριών σημείων: Να βρεθεί σημείο από το οποίοζεύγη από τρία δοθέντα σημεία βλέπονται από δοθείσες γωνίες. Αυτό τοπρόβλημα έχει μακρά ιστορία και μερικές φορές αναφέρεται ως ”Πρόβληματου Snell ” ή ως ”Πρόβλημα του Pothenot ”. Στο Βιβλίο VI , όπου παρου-σιάζεται η θεωρία των ελλείψεων, υπολογίζεται με προσέγγιση τεσσάρωνδεκαδικών ψηφίων ο π. Τα Βιβλία VII, VIII είναι κατάλογοι 1028 σταθε-ρών αστέρων, ενώ τα υπόλοιπα βιβλία είναι αφιερωμένα στους πλανήτες.Η Μεγίστη παρέμεινε το κύριο έργο Αστρονομίας μέχρι την εποχή τουΚοπέρνικου και του Κέπλερ.Η Μεγίστη ήταν έργο αστρονομικό, αποτελούμενο από πολλά βιβλία,

υπέρτατης δεξιοτεχνίας και πρωτοτυπίας. Τα κοινά κλάσματα ήταν πάρα πο-λύ άβολα για τους αστρονομικούς υπολογισμούς. Αυτός είναι ο λόγος γιατον οποίο οι ΄Ελληνες αστρονόμοι υιοθέτησαν τα βαβυλωνιακά εξηκονταδι-κά κλάσματα. Δεν γνωρίζουμε ποιός ήταν ο πρώτος που τα χρησιμοποιήσε,διότι η θαυμάσια Μεγίστη του Κλαύδιου Πτολεμαίου, όπως προαναφέραμε,είχε ως επακόλουθο τα έργα των προγενεστέρων του να περιπέσουν στηλήθη. Στη Μεγίστη, ο κύκλος διαιρείται, κατά το βαβυλωνιακό τρόπο, σε360 μοίρες, κάθε μοίρα σε 60 πρώτα λεπτά και κάθε πρώτο λεπτό σε 60δεύτερα λεπτά. ΄Οταν ο Πτολεμαίος θεωρεί έναν κύκλο, συνήθως διαιρεί τηδιάμετρο σε 120 μέρη και, κατόπιν, υποδιαιρεί το κάθε μέρος σύμφωνα με τοίδιο σχήμα. Για το μηδέν χρησιμοποιεί το σύμβολο ’ο’, μια συντομογραφίατου ουδέν που σημαίνει τίποτα. Αξίζει να σημειωθεί ότι το χρησιμοποιείως σύμβολο μη ύπαρξης και όχι όπως το χρησιμοποιούμε εμείς σήμερα. Ε-πέκτεινε τη χρήση εξηκονταδικών κλασμάτων και ανέπτυξε τον πίνακα τωνχορδών που είχε χρησιμοποιηθεί από τον ΄Ιππαρχο.Το έργο αυτό, όπως προαναφέραμε, περιλαμβάνει επίσης μια τριγω-

νομετρία και περιέχει τον πίνακα για τις χορδές κύκλου, οι οποίες αν-τιστοιχούν σε γωνίες που αυξάνουν διαδοχικά κατά μισή μοίρα. Δηλα-δή, ο πίνακας παρέχει το ανάλογο ενός πίνακα ημιτόνων, γιατί σύμφωναμε τον τύπο είναι χορδή α = 2R sin a

2. Οι τιμές που δίνει ο Πτολεμαί-

ος αντιστοιχούν σε R = 60. Για τη χορδή της 1o έχει βρει την τιμή(1, 2, 50) = 1

60+ 2

602+ 50

603= 0, 17453 και για το π έχει δώσει την τιμή

(3, 8, 30) = 377120

= 3, 14166. Στην Μεγίστη συναντάμε και τα ανάλογα τωντύπων για το ημίτονο και το συνημίτονο του αθροίσματος και της διαφοράςτων δυο γωνιών, καθώς επίσης μιαν απαρχή σφαιρικής τριγωνομετρίας. Ηδιατύπωση των θεωρημάτων ήταν γεωμετρική. Ο τωρινός τριγωνομετρικόςσυμβολισμός χρονολογείται από πολύ μεταγενέστερη εποχή.Η Αλμαγέστη είχε την ίδια μοίρα με πολλά άλλα μεγάλα επιστημονικά

έργα. Συζητήθηκε από πολλούς, αλλά μελετήθηκε σοβαρά μόνο από λί-γους. Ωστόσο ήταν εξίσου σημαντική στην αρχαία επιστήμη όσο και το

17

Principia του Νεύτωνα το 17ο αιώνα και αναμφίβολα ήταν πιο σπουδαίοαπό το De revolutionibus του Κοπέρνικου που επισκίασε τον Πτολεμαίοκαι το έργο του. Η Αλμαγέστη ήταν το ζενίθ της ελληνικής Αστρονομίαςκαι κυριαρχούσε στην αρχαιότητα ως παράδειγμα του πως μια μεγάλη καισημαντική κλάση φυσικών φαινομένων μπορούσε να περιγραφεί με μαθημα-τικούς όρους ώστε η μελλοντική τους πορεία να μπορεί να προβλεφθεί μελογική ακρίβεια.Δίδαξε τους επιστήμονες πολλών εποχών πώς τα γεωμετρικά και κινη-

τικά μοντέλα μπορούν να κατασκευαστούν και μέσω εμπειρικών δεδομένωνπου προκύπτουν από προσεκτικές παρατηρήσεις που προσομοιάζουν τη φύ-ση με ένα τρόπο που επηρρέασε την επιστημονική μέθοδο μέχρι σήμερα.Είναι αλήθεια ότι οι βαβυλώνιοι είχαν αναπτύξει εκλεπτυσμένες αλγεβρικέςμεθόδους για να εξηγούν αυτά τα φαινόμενα. ΄Ομως, από όσο γνωρίζουμεδεν προσπάθησαν ποτέ να συγκεντρώσουν τις μεθόδους και τα αποτελέ-σματά τους σε ένα κατανοητό έργο συγκρίσιμο με αυτό του Πτολεμαίου.Η γενική αποδοχή της ονομασίας Αλμαγέστη για τη (Μεγάλη) Μαθημα-

τική Σύνταξη του Πτολεμαίου φανερώνει την επίδραση που είχαν στη Δύσηοι αραβικές μεταφράσεις. Πολλά έργα των Ελλήνων κλασικών, που αλλιώςθα είχαν χαθεί, διασώθηκαν χάρη σε αυτές τις μεταγραφές και μεταφράσεις.

Η Αλμαγέστη του Πτολεμαίου, πιστεύεται ότι οφείλει πολλά στο Περίτης πραγματείας των εν κύκλω ευθειών του ΄Ιππαρχου, αλλά το μέγεθοςαυτής της οφειλής δεν μπορεί να εκτιμηθεί. Είναι προφανές ότι στην Α-στρονομία ο Πτολεμαίος έκανε χρήση του καταλόγου που είχε συντάξει ο΄Ιππαρχος για τις θέσεις άστρων αλλά δεν μπορεί να ξεκαθαριστεί αν οι τρι-γωνομετρικοί πίνακες του Πτολεμαίου προέκυψαν κατά μεγάλο μέρος απότο έργο του ΄Ιππαρχου. Ευτυχώς, η Αλμαγέστη έχει διασωθεί ως σήμερα

18

και έτσι έχουμε όχι μόνο του τριγωνομετρικούς τύπους αλλά και μια ιδέααπό τις μεθόδους που χρησιμοποιήθηκαν για να προκύψουν. Κεντρικό ρό-λο σε αυτούς τους υπολογισμούς, όπως προαναφέραμε, έπαιξε το γνωστόΘεώρημα του Πτολεμαίου.

΄Ηταν η χορδή της διαφοράς δυο τόξων που ήθελε ο Πτολεμαίος αρχικάνα υπολογίσει και που του φάνηκε τελικά πολύ χρήσιμο στον υπολογισμότων πινάκων του. Επίσης χρήσιμος του ήταν ο υπολογισμός της χορδήςτου μισού τόξου. Δηλαδή αν η χορδή ενός τόξου είναι γνωστή, τότε και ηχορδή του μισού τόξου του ήταν επίσης γνωστή. ΄Ετσι, ο Πτολεμαίος μπο-ρούσε να φτιάξει τον πίνακα των χορδών όσο ακριβή επιθυμούσε, αφού είχετύπους ισοδύναμους με τους σημερινούς. Με όλους αυτούς τους τύπους γιατα αθροίσματα και τις διαφορές χορδών, τις χορδές των μισών τόξων και μιακαλή εκτίμηση για τη χορδή της 1

2

o, ο Πτολεμαίος έφτιαξε τον πίνακά του,

που αποτελούνταν από τις χορδές των τόξων από 12

oέως 180o για κάθε 1

2

o,

που είναι ισοδύναμος με τον πίνακα ημιτόνων από 14

oέως 90o με βήμα 1

4

o. Ο

πίνακας αυτός ήταν βασικό μέρος του βιβλίου Ι της Αλμαγέστης και ήταναναντικατάστατο εργαλείο για τους αστρονόμους της επόμενης χιλιετίας.Τα υπόλοιπα 12 βιβλία αυτής της πραγματείας, περιέχουν ανάμεσα σε άλλα,τη θεωρία κύκλων και επικυκλίων για τους πλανήτες, γνωστή ως Πτολεμα-ϊκό σύστημα. ΄Οπως ο Αρχιμήδης και ο ΄Ιππαρχος, ο Πτολεμαίος πίστευε σεένα γεωκεντρικό σύμπαν μιας και η ιδέα μιας γης που κινείται, αντιμετώπιζεπολλές δυσκολίες. Εκτός από την κοινή λογική την οποία εξέφραζε, τοΠτολεμαϊκό σύστημα είχε το πλεονέκτημα της εύκολης αναπαράστασης.

Γεωγραφική Υφήγησις

΄Αλλο ένα σημαντικό έργο του Πτολεμαίου είναι η Γεωγραφική Υφήγησηπου αποτελείται από 8 βιβλία που ήταν τόσο σημαντικά στη γεωγραφία όσοη Μεγίστη στην Αστρονομία. Σε αυτό προσδιορίζεται η θέση των τόπωντης γης από τα γεωγραφικά τους μήκη και πλάτη, όπως χρησιμοποιούνται

19

σήμερα με αριθμητικές συντεταγμένες, σε αντίθεση με τον Απολλώνιο πουαν και είχε κάνει χρήση συντεταγμένων νωρίτερα, για το χαρακτηρισμόκωνικών τομών, δεν πρόσδιδε σε αυτές αριθμητικές τιμές. Στη Γεωγρα-φική Υφήγηση γινόταν ακόμη περιγραφή της χαρτογραφικής προβολής καιπεριείχε 8000 πόλεις, ποτάμια και άλλα ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά τηςγης. Δυστυχώς δεν υπήρχε ικανοποιητικός τρόπος να μετρηθούν σωστάτα γεωγραφικα μήκη και έτσι υπήρχαν σημαντικά λάθη.

Σε μια γραμμή από τη Γεωγραφική Υφήγηση του Πτολεμαίου, ένα μέ-ρος που αναφέρεται ως ΄πόλις Παρισσίων΄, αναφέρεται να έχει γεωγραφικόύψος 481

2

oκαι γεωγραικό μήκος 231

2

o. Το γεωγραφικό ύψος είναι σωστό

καθώς έχει απόκλιση 13

o, όμως το γεωγραφικό μήκος ήταν πιο δύσκολο

να μετρηθεί εκείνη την εποχή για αυτό και κοντά στην περιοχή της Ινδί-ας υπήρχε απόκλιση πάνω από 30o. ΄Ενα ακόμη λάθος ήταν μια εσφαλμένηεκτίμηση για το μέγεθος της γης που στην πραγματικότητα ήταν αρκετάμεγαλύτερη από την εκτίμηση που είχε κάνει ο Πτολεμαίος. Αυτό το λάθοςήταν που παραπλάνησε και τον Κολόμβο που πίστευε ότι η Ινδία ήταν πιοκοντά απ΄óτι πραγματικά ήταν.

Ανάλημμα ή Πλανησφαίριο

Ο Πτολεμαίος σε διάφορες μονογραφίες, που έχουν διασωθεί μόνο σελατινικές μεταφράσεις από τα Αραβικά, περιγράφει δυο τρόπους προβολήςχάρτη. Στο Ανάλημμα, περιγράφεται η στερεογραφική προβολή, η κλασσικήσύμμορη απεικόνιση μεταξύ σφαίρας και επιπέδου, στην οποία σημεία απόμια σφαίρα προβάλλονται μέσω γραμμών που περνούν από το νότιο πόλο,

20

πάνω στο επίπεδο του ισημερινού. Γνώριζε ότι μέσω ενός τέτοιου μετασχη-ματισμού ο κύκλος που δεν περνά από τον πόλο προβολής, προβάλλεται ωςκύκλος στο επίπεδο, ενώ ένας κύκλος που περνά από τον πόλο προβολήςπροβάλλεται ως ευθεία.

Ο Πτολεμαίος επίσης γνώριζε ότι μια τέτοια απεικόνιση είναι σύμμορφη,δηλαδή διατηρεί τις γωνίες. Η σημαντική συμβολή του Πτολεμαίου στηγεωγραφία φαίνεται από το γεγονός ότι χάρτες του Μεσαίωνα που έφτασανστα χέρια μας ως χειρόγραφα, είχαν ως πρωτότυπα τους χάρτες που έκανεο Πτολεμαίος πάνω από χίλια χρόνια πριν.Ο Πτολεμαίος ήταν ο αρχιτέκτονας της σφαιρικής γεωμετρίας την οποία

ανέπτυξε κυρίως για τις εφαρμογές της στην Αστρονομία και τη γεωγραφία.Η στερεογραφική προβολή αποτελεί την υποδομή για την κατασκευή τουαστρολάβου. Αυτό το όργανο το χρησιμοποιούσαν για να προσδιορίζουν,πάνω στη γη τις τοποθεσίες.

Οπτικά

Ο Πτολεμαίος λέγεται ότι έγραψε τα Οπτικά, που αποτελούνται από 5βιβλία και που έχουν διασωθεί μόνο σε μια λατινική μετάφραση μιας αρα-βικής εκδοχής. Σε αυτό το έργο ασχολείται με τη Φυσική της όρασης, τηγεωμετρία των ειδώλων και αποπειράται να βρει ένα νόμο για τη διάθλασητου φωτός.

Τετράβιβλος

Στην Τετράβιβλο παρουσιάζεται μια πλευρά του Πτολεμαίου που δενφαινόταν στα άλλα του έργα. Η Μεγίστη αποτελεί έργο με ωραία Μαθημα-τικά και ακριβείς παρατηρήσεις που όλα μαζί συνθέτουν ένα επιστημονικόβιβλίο Αστρονομίας. Στην Τετράβιβλο γίνεται χρησιμοποιούνται πολύ α-πλούστερα Μαθηματικά και αυτό δείχνει ότι ο συγγραφέας της αποδεχόταν

21

τις προκαταλήψεις της εποχής. Μάλιστα, μπορούμε να πούμε ότι διαφέρειαπό την Μεγίστη όσο η Αστρονομία από την αστρολογία. Είναι σαν δύοέργα που το ένα γράφτηκε για τη μάζα κάνοντας απλά χρήση αριθμητικήςκαι αστρολογίας ενώ το άλλο χρησιμοποιούσε σύνθετη και εκλεπτυσμένηελληνική Γεωμετρία.

΄Αλλα έργα

΄Αλλα έργα του είναι οι Πίνακες, που είναι αστρολογικό, τα Αρμονικάπου είναι περί μουσικής, η ΄Απλωσις της επιφανείας σφαίρας, που είναι η μα-θηματική θεωρία του αστρολάβου και υπάρχει μόνο στα αραβικά, οι Φάσειςτων απλανών αστέρων και οι Υποθέσεις των πλανητών.

3.3. Η εξάπλωση των Αστρονομικών παρατηρήσεων τουΠτολεμαίου. Για περισσότερο από έναν αιώνα μετά τον θάνατο του Πτο-λεμαίου οι Ελληνιστικοί επιστήμονες ήταν σιωπηλοί σχετικά με το έργο του,αλλά υπάρχει κάθε λόγος να υποθέσουμε ότι το έργο του έχαιρε υψηλήςεκτίμησης στην Αλεξανδρινή σχολή, όπου ο μαθηματικός Πάππος7 έγραψετο πρώτο από τα πολλά σχόλια για την Αλμαγέστη. Μόνο τα βιβλία 5 και6 έχουν διασωθεί (Ρώμη, 1931). Κατά το δεύτερο ήμισυ του 4ου μ.Χ. αιώ-να ένα νέο σχόλιο δημοσιεύθηκε από τον Θέωνα και το μεγαλύτερο μέροςαυτής της εργασίας σώζεται. Σύμφωνα με την παράδοση η διάσημη κόρητου Θέωνα, Υπατία8 , έγραψε επίσης σχετικά με τον Πτολεμαίο πριν δολο-φονηθεί από τον φανατισμένο χριστιανικό όχλο το 415 μ.Χ. λίγο πριν τηνεπικείμενη πτώση της Σχολής της Αλεξανδρείας. Αλλά ακόμα και μετά τηνημερομηνία αυτή ο Βυζαντινός μαθηματικός και νεοπλατωνικός φιλόσοφοςΠρόκλος9 ήταν σε θέση να μελετήσει Αστρονομία στην Αλεξάνδρεια. Αρ-γότερα έγινε επικεφαλής της παλιάς πλατωνικής Ακαδημίας στην Αθήνα,

7Πάππος ο Αλεξανδρεύς (3ος - 4ος αιώνας μ.Χ.): Γεωμέτρης και μηχανικός πουγεννηθηκε στην Αλεξάνδρεια της ρωμαϊκής Αιγύπτου κατά την εποχή του ΑυτοκράτοραΔιοκλητιανού. Θεωρείται από τους τελευταίους ΄Ελληνες μαθηματικούς, καθώς μετάαπ΄ αυτόν η εν λόγω επιστήμη παρέμεινε για μεγάλο χρονικό διάστημα σε στασιμότητα.Συγκέντρωσε στο έργο του ¨Συναγωγή¨, τα σπουδαιότερα Μαθηματικά ευρήματα τουελληνικού κόσμου στους τομείς της γεωμετρίας και της αριθμητικής, συμπληρωμένα καισχολιασμένα από τον ίδιο.Πηγή: https : //en.wikipedia.org/wiki/Pappus of Alexandria

8Υπατία (370-416): Νεοπλατωνική φιλόσοφος, αστρονόμος και μαθηματικός πουέζησε στην Αλεξάνδρεια. ΄Εγραψε σχόλια πάνω σε έργα του Δίοφαντου και του Πτολε-μαίου, ενώ έχει δώσει το όνομά της σε αστεροειδή.Πηγή: https : //en.wikipedia.org/wiki/Hypatia

9Πρόκλος ο Διάδοχος ( 412 - 485): Νεοπλατωνικός φιλόσοφος που όρισε ένα από ταπιο περίτεχνα και πλήρους ανάπτυξης συστήματα νεοπλατωνισμού κοντά στο τέλος τηςκλασικής περιόδου της φιλοσοφίας που άσκησε μεγάλη επιρροή στη δυτική μεσαιωνικήφιλοσοφία και στην ισλαμική σκέψη. ΄Εγραψε πολλά θεωρητικά έργα, και οι πληροφορίεςπου περιέχονται σε ένα από αυτά έχουν εξαιρετική σημασία για την ανασύνθεση τουτρωικού μύθου στο σύνολό του. Διηύθυνε την Ακαδημία Πλάτωνος από το 450 μέχρι

22

όπου έγραψε την Υποτύπωση ή Εισαγωγή στην Αστρονομία του ΄Ιππαρχουκαι του Πτολεμαίου . Αυτό ήταν το τελευταίο ελληνικό έργο βασισμένο στιςΑστρονομικές παρατηρήσεις του Πτολεμαίου πριν από το κλείσιμο της Ακα-δημίας του Πλάτωνα το 529 μ.Χ. που σήμανε και το τέλος του πολιτισμούτου αρχαίου κόσμου.΄Ηδη, πριν ο Ελληνιστικός πολιτισμός φτάσει στο τελικό του στάδιο, η

Ελληνική Επιστήμη είχε αρχίσει να εισέρχεται στους πολιτισμούς της Α-νατολής. Από την ταραγμένη σχολή της Αλεξάνδρειας, οι μελετητές τηςΑντιόχειας και της Αθήνας μετανάστευσαν στην Μεσοποταμία και την Περ-σία, και ακόμη και στην Ινδία ο αντίκτυπος της Ελληνικής Αστρονομίαςδιαφάνηκε στη μεγάλη Σανσκριτική Siddhantas περίπου από το 500 μ.Χ. καιμετά. Αυτά τα αστρονομικά εγχειρίδια βασίζονται σε πλανητικές θεωρίεςελληνικής προέλευσης, που περιέχουν εξίσου προπτολεμαϊκά και Πτολεμα-ϊκά χαρακτηριστικά. Οι λεπτομέρειες της διαβίβασης αυτής δεν είναι πλήρωςγνωστές και η εξάπλωση της Ελληνικής Αστρονομίας στον λαό της ανα-τολής αποτελεί σε μεγάλο βαθμό ένα ζήτημα μελλοντικής έρευνας. Μέχριτώρα όμως δεν έχουμε αποδείξεις ότι είτε οι Πέρσες είτε οι Ινδοί, κατείχανποτέ την Αλμαγέστη στη δική τους γλώσσα.

3.4. Η Αλμαγέστη μεταξύ των Αράβων. Είναι πιθανό πωςυπήρχε μια μετάφραση της Αλμαγέστης στην Συριακή γλώσσα, μέσω τηςοποίας οι ΄Αραβες απέκτησαν μεγάλο μέρος της γνώσης τους για τον Αρχαί-ο πολιτισμό, όταν άρχισαν να καλλιεργούν την επιστήμη και τη φιλοσοφίαστη Βαγδάτη κάτω από την ηγεσία του Khalif al-Mansur (754-775). Αλ-λά είναι βέβαιο ότι οι πρώτες γνώσεις τους στην Αστρονομία προήλθαναπό το ινδικό Siddhantas που μεταφράστηκε στα Αραβικά περίπου το 773μ.Χ. Το αποτέλεσμα ήταν ότι τα πρώτα σημαντικά αστρονομικά έργα τουμουσουλμανικού κόσμου επηρεάστηκαν έντονα από την ινδική Αστρονομία.Αυτό συνέβη π.χ. με τους μεγάλους zij, τη συλλογή αστρονομικών πινά-κων με κανόνες για τη χρήση τους, γραμμένη από τον Πέρση επιστήμοναal-Khwarizmi.10 ΄Ετσι ειδικές ινδικές έννοιες και μέθοδοι που κατά καιρούς

τον θάνατό του.Πηγή: http : //en.wikipedia.org/wiki/Proclus

10Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780-850): Πέρσης μαθηματικός, αστρονό-μος, γεωγράφος και λόγιος. Τον 12ο αι. Λατινικές μεταφράσεις των έργων του εισήγα-γαν το δεκαδικό θεσιακό σύστημα αρίθμησης στο Δυτικό κόσμο. Ασχολήθηκε με τηνεπίλυση γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων, ενώ η λέξη ΄Αλγεβρα προκύπτει απότην λέξη al-jabr, μια από τις δυο πράξεις που χρησιμοποιήσε για να λύσει τετραγωνικέςεξισώσεις. Η λέξη αλγόριθμος προκύπτει από την λατινική ονομασία του ονόματος τουπου είναι Algoritmi .Πηγή: http : //en.wikipedia.org%C4%81 al −Khw%C4%81rizm%C4%AB

23

εμφανίζονται στη Δυτική Αστρονομία μπορούν να αναχθούν σε μια Λατι-νική μετάφραση από τον Αδελάρδο του Μπαθ11 από μια αραβική έκδοσηαυτού του έργου.Είναι περίεργο το γεγονός ότι ο Πτολεμαίος έγινε γνωστός στους ΄Α-

ραβες ως αστρονόμος πριν μάθουν σχετικά με τα αστρονομικά επιτεύγματάτου. Στην πραγματικότητα, ήδη πριν το 800 μ.Χ. υπήρχε μια αραβική με-τάφραση της Τετραβίβλου γραμμένη από το γιατρό Al-Batriq, ενώ η Αλ-μαγέστη έπρεπε να περιμένει έως μια μεταγενέστερη ημερομηνία πριν γίνειπροσβάσιμη στους λόγιους μουσουλμάνους. Δυστυχώς η λογοτεχνική ι-στορία της Αραβικής Αλμαγέστης είναι μάλλον ασαφής και δεν γνωρίζουμεπότε και από ποιον έγινε η πρώτη μετάφραση. ΄Ενας πιθανός υποψήφιοςείναι ο εβραϊκός Ραββίνος Sahl al-Tabari12 ο οποίος άκμασε κατά πάσαπιθανότητα κατά την έναρξη του 9ου αιώνα. Ωστόσο, οι περισσότεροι με-λετητές έχουν την τάση να αμφιβάλλουν για την ύπαρξη της μετάφρασηςσε μια τόσο πρόωρη ημερομηνία. Μια άλλη πιθανότητα είναι να έκανε τημετάφραση ένας ανώνυμος λόγιος -στο Δικαστήριο της Βαγδάτης το 827μ.Χ. με βάση το ελληνικό κείμενο.Περίπου την ίδια εποχή μια άλλη μετάφραση έγινε στη Βαγδάτη από

τον al-Hajjaj ibn Yusuf13, του οποίου η έκδοση εμφανίστηκε το 829-30 καιλέγεται ότι έχει βασιστεί σε ένα Συριακό κείμενο. ΄Ηταν αυτή η μετάφρασηπου έδωσε στην εργασία του Πτολεμαίου τον τρέχοντα τίτλο. Ονομαζό-ταν Kitab al-mijisti, όπου kitab σημαίνει ”βιβλίο” και al-mijisti είναι οΑραβικός όρος που μεταφράστηκε αργότερα στα λατινικά ως Αλμαγέστη.Η τελική και πιο ευρέως χρησιμοποιούμενη αραβική έκδοση της Αλμα-

γέστης ήταν η μετάφραση από τα Ελληνικά που έγινε από τον Ishaq ibnHunain ο οποίος πέθανε στη Βαγδάτη το 910/11 και ήταν γιος και συνερ-γάτης ενός από τους πιο ταλαντούχους και πολυγραφότατους μεταφραστές

11Adelard of Bath (1080-1152): ΄Αγγλος φιλόσοφος, γνωστός για τις μεταφράσειςτου από τα Αραβικά και τα Ελληνικά στα Λατινικά. Μετέφρασε πολλά επιστημονικάβιβλία Αστρονομίας, μαθηματικών και φιλοσοφίας, ενώ ήταν από τους πρώτους που χάρηστις μεταφράσεις του εισήγαγε το Ινδικό αριθμητικό σύστημα στην Ευρώπη. Επίσηςέθεσε το ερώτημα ως προς το σχήμα της Γης, ο ίδιος πίστευε πως είναι επίπεδη, και πωςπαραμένει σταθερή στο διάστημα.Πηγή: https : //en.wikipedia.org/wiki/Adelard of Bath

12Abu al-Hasan Ali ibn Sahl Rabban al-Tabari(838-870 ή 810-855 ή 783-858):Πέρσης μουσουλμάνος λόγιος και γιατρός ζωροαστρικής καταγωγής που έγραψε τηνπρώτη Ιατρική εγκυκλοπαίδεια. Μιλούσε πολύ καλά Ελληνικά και Συριακά και έτσι μπό-ρεσε να αξιοποιήσει συριακές μεταφράσεις αρχαίων ελληνικών κειμένων του Ιπποκράτη,του Γαληνού ή του Διόσκουρου.Πηγή: http : //en.wikipedia.org/wiki/Ali ibn Sahl Rabban alTabari

13Al-Hajjaj ibn Yusuf (661-714): ΄Αραβας πολιτικός και υπουργός άμυνας λέγεταιότι ως πολεμιστής σκότωσε 100.000 άνδρες. Υπήρξε κυβερνήτης του Ιράκ και διέταξετην αλλαγή της γώσσας από Pahlavi σε Αραβικά, ενώ ήταν αυτός που έκοψε για πρώτηφορά νόμισμα αλλάζοντας για πάντα τις συναλλαγματικές τακτικές της χώρας. Ακόμηδίδασκε το Κοράνι σε νεαρούς μαθητές.Πηγή: http : //en.wikipedia.org/wiki/Al −Hajjaj ibn Y usuf

24

της Βαγδάτης, με το όνομα Hunain ibn Ishaq14. Ο Ishaq στερούνταν εξει-δικευμένων γνώσεων Αστρονομίας, η μετάφραση του όμως αναθεωρήθηκεαπό τον αστρονόμο Thabit ibn Qurra,15 που ήταν διάσημος μεταφραστής.Κατά τη διάρκεια του 9ου αιώνα η Αλμαγέστη κατάφερε έτσι να διασω-

θεί από την λήθη χάρη στους ΄Αραβες μελετητές. Το αποτέλεσμα ήταν ότιη μουσουλμανική Αστρονομία σύντομα στράφηκε μακριά από την επιρροήτων Ινδών και απέκτησε τον χαρακτήρα του Πτολεμαίου. Αυτό συναντάταιτόσο σε εγχειρίδια στοιχειώδους εισαγωγής στην Αστρονομία, όπως σύν-τομες συλλογές δημιουργημένες από τον al-Farghani16 στο μέσο του 9ουαιώνα αλλά και από μεγάλες επιστημονικές εκθέσεις, όπως το περίφημο zijτου al-Battani17 πάνω στο οποίο στηρίζεται η πληθώρα των γνώσεων μαςγια την Αραβική Αστρονομία. Η Αλμαγέστη γέννησε ένα μεγάλο αριθμόλιγότερο ή περισσότερο αναθεωρημένων εκδόσεων μεταξύ των οποίων ένα

14Hunayn ibn Ishaq (809-873): Γνωστός Ασσύριος λόγιος και επιστήμονας πουέχει μείνει γνωστός ως ο πιο παραγωγικός μεταφραστής έργων από τα Ελληνικά σταΑραβικά και τα Συριακά στην εποχή του. Γνώριζε Αραβικά, Συριακά, Ελληνικά καιΠερσικά. Σε αντίθεση με άλλους μεταφραστές, που μετέφραζαν λέξη προς λέξη, εκείνοςπρώτα διάβαζε όλο το κείμενο για να έχει μια γενικότερη εικόνα και έπειτα ξαναέγραφετο κείμενο με δικά του λόγια αποδίδοντας το νόημα. Αυτό βοήθησε να συγκεντρωθείαργότερα σε διάστημα μόλις 100 χρόνων όλη η γνώση γύρω από την αρχαία ελληνικήΙατρική.Πηγή: http : //en.wikipedia.org/wiki/Hunayn ibn Ishaq

15Thabit ibn Qurra al-Harrani (826-901): Μαθηματικός, γιατρός, αστρονόμος καιμεταφραστής που έζησε στη Βαγδάτη. ΄Εκανε σημαντικές ανακαλύψεις στην ΄Αλγεβρα,την Γεωμετρία και την Αστρονομία, ενώ στη Φυσική θεωρείται ένας από τους θεμελιωτέςτης στατικής. Μιλούσε Συριακά, Ελληνικά και Αραβικά και έτσι μετέφρασε πολλά έργατου Απολλώνιου, του Αρχιμήδη του Ευκλείδη και του Πτολεμαίου. Ανακάλυψε μιαεξίσωση για να βρίσκει φίλους αριθμούς ενώ λέγεται ότι βρήκε τη λύση σε ένα πρόβλημασκακιού χρησιμοποιώντας μια εκθετική σειρά. Υπολόγισε τη διάρκεια του ημερολογιακούχρόνου σε 365 μέρες, 6 ώρες, 9 λεπτά και 12 δευτερόλεπτα, έχοντας δηλαδή σφάλμα μόλις6 δευτερόλεπτα.Πηγή: https : //en.wikipedia.org

16Ahmad Muhammad ibn Kathir al-Farghani: Πέρσης αστρονόμος, γνωστός καιμε το όνομα Alfraganus, από τους πιο γνωστούς του 9ου αιώνα. Ασχολήθηκε με τονυπολογισμό της διαμέτρου της Γης, ενώ επέβλεψε και την κατασκευή του Νιλόμετρου,ενός έργου που εξυπηρετούσε στον καθορισμό της στάθμης και της καθαρότητας τωννερών του ποταμού Νείλου. Εκτός από τα Στοιχεία Αστρονομίας ουράνιων κινήσεων,που ήταν μια περίληψη της Αλμαγέστης, έγραψε μια πραγματεία πάνω στον αστρολάβο.Ο κρατήρας Alfraganus στη Σελήνη, έχει ονομαστεί έτσι προς τιμήν του.Πηγή: http : //en.wikipedia.org

17Allah Muhammad al-Battani (858-929): Μουσουλμάνος αστρονόμος, αστρο-λόγος και μαθηματικός, γνωστός και με το όνομα Albategnius. Ανακάλυψε αρκετέςτριγωνομετρικές σχέσεις, ενώ το κύριο του έργο ήταν το Kitab az-Zij, ένα βιβλίο πουπεριείχε αστρονομικούς πίνακες που στηριζόταν αρκετά στο έργο του Πτολεμαίου. Οκρατήρας Albategnius στη Σελήνη, έχει πάρει το όνομά του προς τιμήν του.Πηγή: http : //en.wikipedia.org

25

από τα πιο σημαντικά ήταν μια μακρά παράφραση από το Μαυριτανικό α-στρονόμο Jabir ibn Afflah18, με το όνομα Geber από τους Λατίνους. Αυτήχρονολογείται από το 1140 μ.Χ. και παρασχέθηκε στα λατινικά από τονGerard της Κρεμόνα19.

3.5. Ο Πτολεμαίος κατά τον Λατινικό Μεσαίωνα. Στονλατινικό Μεσαίωνα, ο 12ος αιώνας σηματοδοτεί το μεγάλο χάσμα στην ι-στορία της Αστρονομίας. Πριν από εκείνη την εποχή ο Πτολεμαίος ήτανγνωστός μόνο κατ΄ όνομα στους συγγραφείς των οποίων οι αστρονομικέςγνώσεις προέρχονταν από τον Πλίνιο και άλλους μεταγλωττιστές, όχι όμωςκαι από την αρχική Ελληνιστική παράδοση. Κατά την διάσημη εγκυκλοπαί-δεια του Ισιδώρου της Σεβίλλης, περίπου το 631 μ.Χ., αναφέρεται ως Pto-lemaeus rex Alexandriae και έτσι συγχέεται με τους Πτολεμαίους βασιλείςτης Αιγύπτου. Ως εκ τούτου στα