Il carico critico Euleriano si scrive come

Dove ℓ0 è la lunghezza libera di inflessione

Carichi critici aste compresse

02

2

l

EIPE

π====

χl

l ====0

21

====π

αχ l

Coefficiente adimensionale che riflette

l’influenza dei vincoli

αααα1 è la più piccola radice dell’equazione che si

ottiene ponendo = 0 il determinante della

matrice dei coefficienti1

Risulta conveniente considerare la tensione ottenuta dividendo per

l’area della sezione trasversale

Dove il raggio di inerzia è

Snellezza

02

22

02

2

ll

ρππσ E

A

EIAPE

E ============

I====ρAI====ρ

PoniamoIA

χρλ ll

======== 0Snellezza, adimensionale,

esprime la geometria della

sezione, lunghezza trave, e

condizioni di vincolo Si ha

2

2

λπσ E

E ====

2

3

Se si considera la deformabilità assiale il carico critico cambia

Per esempio nel caso della trave doppiamente incernierata

Influenza della deformabilità assiale sul carico

critico

⇒++++====++++==== EE

E PEA

EIEIEAPEI

P2

2

2

2

2

2

)1(lll

πππ

2 1π EI22

2

1

1

−−−−====

λπ

πl

EIPE

il carico critico cresce rispetto a quello calcolato

senza deformabilità assiale, ma in modo molto

lento al crescere della snellezza ed in modo

marginale per aste tozze

Per esempio se λλλλ=30 (valore attendibile per molte

travi) PE cresce solo dell’ 1% 4

In tal caso, utilizziamo la cinematica della trave deformabile a taglio

di Timoshenko

-la rotazione φφφφ non coincide con v’

-Le variabili cinematiche sono lo spostamento trasversale della linea

media v(x) e la rotazione φφφφ

le equazioni di equilibrio nel caso di soli carichi assiali si scrivono

Influenza della deformabilità tagliante sul

carico critico

le equazioni di equilibrio nel caso di soli carichi assiali si scrivono

come (A* è l’area ridotta a taglio)

Dove le equazioni costitutive sono

0))()(()(

0)())()((

*

*

====−−−−′′′′++++′′′′′′′′====′′′′′′′′−−−−′′′′−−−−′′′′′′′′

xxvGAxEI

xvPxxvGA

ϕϕϕ

)())()('()(),(')( * xvPxxvGAxTxEIxM ′′′′−−−−−−−−====−−−−==== ϕϕ5

Influenza della deformabilità tagliante sul

carico critico

dopo opportuni passaggi si perviene alla seguente equazione di

Con riferimento ai casi riportati in figura dove il taglio T(ℓ)=0,

dopo opportuni passaggi si perviene alla seguente equazione di

equilibrio

+condizioni al contorno (LC III pag 226)

OSS: l’equazione differenziale di equilibrio ha la stessa struttura

dell’equazione di equilibrio della trave non deformabile a taglio

dunque i valori di αααα per cui si perde l’unicità della soluzione sono gli

stessi ma cambia il valore del carico critico in quanto l’espressione

di αααα in funzione di P è cambiata

0)()( 2 ====′′′′′′′′++++′′′′′′′′′′′′′′′′ xvxv α)1(

*

2

GAP

EI

P

−−−−====α

6

Risolvendo il problema agli autovalori associato all’equazione di

equilibrio differenziale si ha che la prima radice sarà αααα1 tale che

αααα1

2 =χ(π/ℓ)2

Risolvendo per PE si ha il carico critico

Influenza della deformabilità tagliante sul

carico critico

2

21

1EI

EIPE

α

α

++++====

Ponendo

Il carico critico si esprime come

*

211

GAEIE

α++++

20*

22

*

2

ll GA

EI

GA

EI πχπβ ========

22

2

2

,1

11 ll

EIPdoveP

EIP EFEFE χπ

ββχπ ====

++++====

++++====

7

Spesso si utilizza l’espressione

OSS: essa è valida per i casi vincolati con V(ℓ)=0

Influenza della deformabilità tagliante sul

carico critico

*

1GA

P

PP

EF

EFE

++++====

OSS: essa è valida per i casi vincolati con V(ℓ)=0

Tuttavia possiamo dire che si tratta di una condizione

verificata anche per l’asta incernierata

8

Si dimostra che essa è valida anche nel caso seguente

Dove il taglio potrebbe esserci ma si annulla in

corrispondenza della deformata critica

Influenza della deformabilità tagliante sul

carico critico

Mentre la formula precedente non vale nel caso incastro-

appoggio

9

In definitiva si utilizza la formula in tutti i casi

Tenendo conto che è approssimata, oppure si utilizza la

definizione della tensione corrispondente

Influenza della deformabilità tagliante sul

carico critico

EFE PPβ++++

====1

1

definizione della tensione corrispondente

Oss: Si osservi che PE <PEF

βλλλ

πσ ++++======== 12

2eq

eqE

E

10

Nel caso di vincoli cedevoli elasticamente occorre

cambiare le condizioni al contorno per tener conto della

presenza delle molle

Aste vincolate elasticamente

Per esempio per la trave in figura le condizioni al contorno

sono

0)()()(

0)(,0)0(,0)0(

2 ====−−−−′′′′++++′′′′′′′′′′′′

====′′′′′′′′====′′′′′′′′====

lll

l

vEIk

vv

vvv

α

11

Aste vincolate elasticamente

Il determinante della matrice associata al problema agli

autovalori relativo al calcolo dei carichi critici si annulla

per

La più piccola soluzione significativa è

EIk

dove3

2 0sin))((l

ll ========−−−− βαβα

),min(πβα ====La più piccola soluzione significativa è

Il carico critico corrispondente è

≥≥≥≥

≤≤≤≤====

22

2

22

πβπ

πββ

seEI

seEI

PE

l

lRotazione rigida

k <<

k suff. elevato

),min(1ll

α ====

12

Esistono in letteratura molte soluzioni per casi particolari

Si segnala in particolare la soluzione di Newmark per il

caso della trave con cerniere elastiche

Aste vincolate elasticamente

22

l

EIPE χπ====

Formula di Newmark

Per ogni valore di Ko e KL la formula di Newmark comporta

un’approssimazione < 4%

ll LL

L

L

KEI

KEI

con ========++++++++++++++++==== µµ

µµµµ

χ ,)2.0)(2.0(

)4.0)(4.0(

00

0

0

l

13

Consideriamo il telaio in figura

La trave può essere vista come una molla

flessionale di rigidezza 3EIt/ℓ

Esempio con aste vincolate elasticamente

ll LL

L

L

KEI

KEI

con ========++++++++++++++++==== µµ

µµµµ

χ ,)2.0)(2.0(

)4.0)(4.0(

00

0

0

pt

tp

pL

pL

t

tL I

I

K

EIEIK

l

l

ll 3,

3============ µ

0,0 ====∞∞∞∞==== LK µ

14

Per ℓt=0.6ℓp, It=4Ip, si ha µµµµL=0.15

Esempio con aste vincolate elasticamente

222 020.31143.3143.3

)15.02.0)(2.0()15.04.0)(4.0(

p

p

p

pE

EIEIP

ll========⇒====

++++++++==== πχ

pp

ll

l 564.00 ========χ p0 χ

ℓp=5m, sezione circolare cava, raggio medio R=45mm, spessore

b=5mm

Se la molla in sommità sparisce e rimane solo la cerniera il carico

critico è dunque il 54% inferiore allo schema attuale

MNPMPam EE 366.0,6.2587.88,82.20 ================ σλl

MNPE 238.0====

15

Aste di sezione variabile o soggette a carichi

distribuiti (pile da ponte)

Se esiste un carico assiale distribuito (forza peso) oppure

la sezione trasversale varia, allora la soluzione del

problema agli autovalori generalizzato associato alla

valutazione dei carichi critici si complica notevolmente,

poiché lo sforzo assiale N dipende da x 16

Aste di sezione variabile o soggette a carichi

distribuiti (pile da ponte)Consideriamo dapprima il caso della trave soggetta a

carico assiale uniforme n costante

Lo sforzo normale è )1()(0

ll

xnxN −−−−−−−−====

L’equazione di equilibrio

diventa

0)()( 000 ====′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′′′′′′′′′====′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′′′′′′′′′ vNvNvEIvNvEI

0)1(

0)()( 000

====′′′′−−−−′′′′′′′′−−−−−−−−′′′′′′′′′′′′′′′′

====′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′′′′′′′′′====′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′′′′′′′′′

vnvx

nvEI

vNvNvEIvNvEI

ll

+ condizioni al contorno

0)(,0)(,0)0(,0)0( ====′′′′′′′′′′′′====′′′′′′′′====′′′′==== ll vvvv

Risolvendo il problema il carico critico è 3

837.7l

EInE ====

17

Aste di sezione variabile o soggette a carichi

distribuiti (pile da ponte)

Consideriamo il caso della pila da ponte di

sezione variabile con inerzia espressa dalla

legge

dove I0 è il momento di inerzia all’incastro e k

è una costante >=1

l

l

kxk

IxI−−−−==== 0)(

è una costante >=1

Per ogni k di interesse, si può determinare la più piccola

radice ββββ1 del polinomio caratteristico del tipo

Cui corrisponde il carico critico nella forma 412 −−−−==== pkβ

)41

(1

, 12

220 β++++========

kpdove

EIpP EEE

l

18

Aste di sezione variabile o soggette a carichi

distribuiti (pile da ponte)

I risultati relativi ad alcuni valore del rapporto Iℓ/I0

Sono indicati nella tabella sottostante

Per k�∞ si ritrova pE=ππππ2/4 relativo all’asta di sezione costante

19

Trave su suolo elastico

Consideriamo il problema agli autovalori generalizzato

associato al problema della stabilità dell’equilibrio nel

caso di strutture discrete o rese discrete mediante un

procedimento di discretizzazione (e.g. elementi finiti,

oppure altri metodi variazionali) , dopo avere definito il oppure altri metodi variazionali) , dopo avere definito il

vettore V di gradi di libertà

KE: matrice di rigidezza elastica ((semi-)definita positiva)

KG: matrice di rigidezza geometrica ((semi-)definita positiva)

p: moltiplicatore dei carichi

0====−−−− VpKVK GE

20

Trave su suolo elastico

Nel caso della trave su suolo elastico, ci si può

ricondurre al problema agli autovalori generalizzato

nella forma

approssimando il campo di spostamento mediante le

0====−−−− VpKVK GE

approssimando il campo di spostamento mediante le

autofunzioni

l

xnAv

N

nn

πsin

1

*∑====

====

21

Trave su suolo elastico

Con riferimento alla trave in figura, l’EPT al II ordine si

scrive

Sostituendo v* si ha

dxkvvPEIvv )(21

)( 22

0

2'' ++++′′′′−−−−==== ∫l

Π

N nn 241 l ππ

∑====

++++

−−−−

====N

nn k

nP

nEIAv

1

242

221

*)(ll

l ππΠ

22

Trave su suolo elastico

I valori di Pn

che verificano la condizione di

stazionarietà della EPT (e la corrispondente deformata

vn) per cui il corrispondente An

può essere ≠0 sono

xnAv

knEIP

ππsin

2

====++++

====

Poniamo

Si ha che

l

l

l

xnAv

n

knEIP nnn

ππ

πsin

2====

++++

====

EI

k

EI

Pp

4

4

2

2

,π

βπ

ll ========

22

nnpn

β++++====23

Trave su suolo elastico

EI

k

EI

Pp

4

4

2

2

,π

βπ

ll ========

Il tratto pieno

indica il carico

critico

22

nnpn

β++++====

ℓ2

critico

La spezzata a tratto pieno indica il minimo dei pn quindi indica il carico

critico; al crescere di b cresce il nr. di semionde della deformata critica

Oss: analogia trave su suolo elastico con lastra compressa nel piano…..24