Capítulo 10 Excitação Senoidal e Fasores

DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I

Capítulo 10

Excitação Senoidal e Fasores


10.1 Propriedades das Senóides:

Onda senoidal:

Amplitude = Vm

Frequência angular = ω [rad/s]

Senóide é uma função periódica:

Período: T = 2π/ω

Frequência: f = 1/T = ω/2π

Expressão geral:

onde φ é o ângulo de fase.

v t( ) =Vm sen ωt( )

v t +T( ) = v t( )

v t( ) =Vm sen ωt +φ( )

Vm

-Vm

π/ω 2π/ω t


Curva de uma senóide defasada de φ radianos:

Note que:

π/ω 2π/ω t

v t( ) =Vm sen ωt +φ( )v t( ) =Vm sen ωt( )

φ/ω

cos ωt − π2

!

"#

$

%&= sen ωt( )

sen ωt + π2

!

"#

$

%&= cos ωt( )


Exemplo: Determinação de quanto uma senóide antecede ou segue outra de

mesma frequência.

Portanto, v1 antecede v2 de 30º - 108º = -78º, ou v1 está defasada em relação a v2

de 78º.

v1 = 4cos ωt +30°( )

v2 = −2sen ωt +18°( ) v2 = 2sen ωt +18°+180°( )

v2 = 2cos ωt +18°+180°−90°( )

v2 = 2cos ωt +108°( )


Soma de uma senóide com uma cossenóide de mesma frequência:

Acos ωt( )+ Bsen ωt( ) = A2 + B2 A

A2 + B2cos ωt( )+ B

A2 + B2sen ωt( )

!

"##

$

%&&

A

B

A2 + B2

θ

Acos ωt( )+ Bsen ωt( ) = A2 + B2 cos ωt( )cos θ( )+ sen ωt( )sen θ( )!"

#$

cos θ( ) sen θ( )


Acos ωt( )+ Bsen ωt( ) = A2 + B2 cos ωt( )cos θ( )+ sen ωt( )sen θ( )!"

#$

Acos ωt( )+ Bsen ωt( ) = A2 + B2 cos ωt −θ( )"#

$%

θ = tan−1 BA

"

#$

%

&'

Então,

Obs.: cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) = cos(a - b)

cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) = cos(a + b)

cos ωt −θ( )


Exemplo:

−5cos 3t( )+12sen 3t( ) = −5( )2+122 cos 3t −θ( )"

#$%

θ = tan−1 12−5"

#$

%

&'=112,6°

−5cos 3t( )+12sen 3t( ) =13cos 3t −112,6°( )


10.2 Exemplo de um Circuito RL

Encontrar if .

Por tentativa, temos:

Então:

L vg = Vm cos(ωt)

R

+ - i L di

dt+ Ri =Vm cos ωt( )

i f = Acos ωt( )+ Bsen ωt( )

L ddtAcos ωt( )+ Bsen ωt( )!"

#$+ R Acos ωt( )+ Bsen ωt( )!

"#$=Vm cos ωt( )

−LωAsen ωt( )+ LωBcos ωt( )+ RAcos ωt( )+ RBsen ωt( ) =Vm cos ωt( )

−LωA+ RB = 0

LωB+ RA =Vm


Assim,

Portanto,

mas

Portanto,

A =RVm

R2 +ω2L2

B =ωLVmR2 +ω2L2

i f =RVm

R2 +ω2L2cos ωt( )+ ωLVm

R2 +ω2L2sen ωt( )

Acos ωt( )+ Bsen ωt( ) = A2 + B2 cos ωt −θ( )"#

$%

θ = tan−1 BA

"

#$

%

&'

i f =Vm

R2 +ω2L2cos ωt − tan−1 ωL

R"

#$

%

&'

(

)*

+

,-


Então, podemos escrever a corrente forçada como:

onde

Resposta natural:

A corrente se estabiliza em seu valor de regime permanente c.a. dado pela

corrente forçada.

Método muito trabalhoso para a obtenção das equações de corrente!

φ = − tan−1 ωLR

"

#$

%

&'

i f = Im cos ωt +φ!" #$

Im =Vm

R2 +ω2L2

in = A1exp −RLt

"

#$

%

&'


10.3 Método Alternativo utilizando Números Complexos

Para a análise de circuitos com excitação senoidal.

Propriedades dos números complexos:

Representação na forma retangular de um número complexo:

onde , a = parte real de A e b = parte imaginária de A.

Representação na forma polar:

onde

j = −1

A = A e jα = A∠α

A = a2 +b2

α = tan−1 ba"

#$%

&'

A = a+ jb

A = a+ jb

Re

Im

a

b A

α


Exemplo: A = 4 + j 3

Exemplo: A = -5 -j 12

A = 42 +32 = 5

α = tan−1 34( ) = 36,9°

A = 5∠36,9°

A = −5( )2+ −12( )

2=13

α =180º+ tan−1 −12−5( ) = 247,4°

A =13∠247,4°

A = −5− j12

Re

Im

-12

-5

A

α


Outras relações úteis:

Fórmula de Euler:

j =1∠90°

j2 = −1=1∠180°

Vm cos ωt( )+ jVm sen ωt( ) =Vme jωt

Re Vmejωt{ }=Vm cos ωt( )

Im Vmejωt{ }=Vm sen ωt( )


Retomando o exemplo do circuito RL:

Seja v1 = Vmejωt a excitação complexa do circuito, então

Componente forçada da corrente i1 na forma complexa deve resolver a equação:

L vg = Vm cos(ωt)

R

+ - i

vg = Vm cos(ωt) = Re{v1}

Ldi1dt+ Ri1 = v1 onde v1 =Vme

jωt

L v1 = Vm ejωt

R

+ - i1


Para resolver a equação vamos tentar:

Então,

Logo,

Ldi1dt+ Ri1 =Vme

jωt

i1 = Aejωt

jωLAe jωt + RAe jωt =Vmejωt

jωL+ R( )Ae jωt =Vme jωt

A =Vm

R+ jωL

=Vm

R2 +ω2L2e− j tan−1 ωL

R"

#$

%

&'


Então:

mas if = Re{i1}, assim

Portanto, se i1 é a resposta complexa para a função excitação complexa v1,

então if = Re{i1} é a resposta para a excitação vg = Re{v1}.

i1 = Aejωt =

VmR2 +ω2L2

e− j tan−1 ωL

R"

#$

%

&'

(

)

***

+

,

---e jωt

i1 =Vm

R2 +ω2L2ej ωt−tan−1 ωL

R"

#$

%

&'

(

)*

+

,-

i f = ReVm

R2 +ω2L2ej ωt−tan−1 ωL

R"

#$

%

&'

(

)*

+

,-

.

/0

10

2

30

40=

VmR2 +ω2L2

cos ωt − tan−1 ωLR

"

#$

%

&'

(

)*

+

,-


Note que:

pode ser escrita como:

e, portanto, de

temos:

Portanto, é mais fácil usar a função excitação complexa v1 para encontrar a

resposta complexa i1.

A função excitação real é Re{v1} ⇒ a resposta real é Re{i1}.

Re Ldi1dt+ Ri1

!"#

$%&= Re Vme

jωt{ }

L ddtRe i1{ }( )+ R Re i1{ }( ) =Vm cos ωt( )

L didt+ Ri =Vm cos ωt( )

i = i f = Re i1{ }


10.4 Excitações Complexas

Sem perda da generalidade, vamos considerar a entrada como sendo uma fonte

de tensão e a saída como sendo uma corrente através de um elemento.

Em geral, a excitação é da forma:

Enquanto que a resposta forçada é da forma:

Portanto, sabendo-se os valores de ω, θ e Vm, podemos calcular Im e φ.

vg =Vm cos ωt +θ( )

i = i f = Im cos ωt +φ( )


Circuito + -

vg =Vm cos ωt +θ( )i = Im cos ωt +φ( )

Para resolver i no circuito, vamos considerar a excitação complexa:

Pois sabemos que

v1 =Vmej ωt+θ( )

Circuito + -

i1v1 =Vmej ωt+θ( )

i = Re i1{ }


A equação representativa do circuito pode ser resolvida para a resposta forçada,

visto que

a solução tentativa é:

Comparando com , temos

Assim,

e

v1 =Vmejθe jωt

i1 = Aejωt

i = Im cos ωt +φ( ) i = Re i1{ }

Im cos ωt +φ( ) = Re Ae jωt{ }

A = Imejφ

i1 = Imejφe jωt

Re{ } i = Im cos ωt +φ( )


Exemplo: Cálculo da resposta forçada if de

Troca para a excitação complexa:

Resposta complexa i1 deve satisfazer:

Então, i1 pode ter a seguinte forma:

Substituindo, obtemos

d 2idt2

+ 2 didt+8i =12 2 cos 2t +15°( )

v1 =12 2e j 2t+15°( )

d 2i1dt2

+ 2di1dt+8i1 =12 2e j 2t+15°( )

i1 = Aej2t

d 2

dt2Ae j2t( )+ 2 ddt Ae

j2t( )+8 Ae j2t( ) =12 2e j 2t+15°( )


Assim,

Logo,

Portanto,

E a resposta real é:

−4+ j4+8( )Ae j2t =12 2e j15°e j2t

A = 12 2e j15°

4+ j4=12 2∠15°4 2∠45°

= 3∠−30°

i1 = Aej2t = 3∠−30°( )e j2t = 3e j 2t−30°( )

i = Re i1{ }= Re 3e j 2t−30°( ){ } = 3cos 2t −30°( )


Exercício: Calcular a resposta forçada v:

a) 10 Ω

+ -

[ ]V 10 8tjg ev =

1/20 F 5 Ω

+ v -

i

5i = vv − vg10

+ i + 120dvdt= 0

v − vg10

+v5+120dvdt= 0

dvdt+6v = 20e j8tdv

dt+6v = 2vg


Resposta forçada:

v = Ae j8t

dvdt+6v = 20e j8t j8Ae j8t +6Ae j8t = 20e j8t

6+ j8( )Ae j8t = 20e j8t

A = 206+ j8

=20∠0°10∠53,1°

= 2∠−53,1°

v = 2e− j53,1°e j8t = 2e j 8t−53,1°( )

b) Se vg = 10 cos(8t) [V], então:

v = Re 2e j 8t−53,1°( ){ } = 2cos 8t −53,1°( )


10.5 Fasores

Fasores permitem colocar os resultados obtidos anteriormente em uma forma

mais compacta.

Tensão senoidal:

Forma fasorial

Razão para a definição de fasor (fórmula de Euler):

Assim,

V =Vmejθ =Vm∠θ

Vm cos ωt +θ( ) = Re Vme jθe jω t{ }

v =Vm cos ω t +θ( )

v = Re Ve jω t{ }


Exemplo: Dado

Representação fasorial:

Visto que ω = 4 rad/s, v é prontamente obtida de V.

Representação fasorial para corrente:

Exemplo: Dado ω = 6 rad/s, e I = 2∠15º, então temos:

v =10cos 4t +30°( ) V!" #$

V =10∠30° V"# $%

I = Imejφ = Im∠φ

i = Im cos ω t +φ( )

i = 2cos 6t +15°( )


Representação fasorial para tensão e corrente é feita a partir da representação

temporal na forma de cosseno.

Exemplo: Dada a função:

Podemos mudá-la para:

Assim, a representação fasorial é:

v = 8sen 3t +30°( ) V!" #$

v = 8cos 3t +30°−90°( )= 8cos 3t −60°( )

V = 8∠−60° V#$ %&


Exemplo:

pois θ = 0 e portanto, V = Vm ∠0º. Substituindo este valor e fazendo i = i1 na

equação representativa, temos:

onde i = Re{i1}

L vg = Vm cos(ωt)

R

+ - i

L didt+ Ri =Vm cos ω t( )

v1 =Vmejω t =Ve jω t

Ldi1dt+ Ri1 =Ve

jω t


Tentando a solução:

obtemos:

Assim,

Substituindo na expressão de i1, obtemos

Tomando a parte real desta expressão temos:

i1 = Iejω t

jωLIe jω t + RIe jω t =Ve jω t

jωLI+ RI =V

I = VR+ jω L

=Vm∠0º

R2 +ω2L2∠ tan−1 ω LR

#

$%

&

'(

=Vm

R2 +ω2L2∠− tan−1 ω L

R#

$%

&

'(

i1 =Vm

R2 +ω2L2exp j ω t − tan−1 ω L

R"

#$

%

&'

(

)*

+

,-

./0

10

230

40

i =Vm

R2 +ω2L2cos ω t − tan−1 ω L

R"

#$

%

&'

(

)*

+

,-


Note que podemos ir da equação característica do circuito:

direto para a equação fasorial:

L didt+ Ri =Vm cos ω t( )

jω LI+ RI =V


10.6 Relações Tensão-Corrente para Fasores

Tensão-Corrente para resistores:

onde

Tensão e corrente complexas:

Substituindo na lei de Ohm e eliminando o fator e jωt:

v = Ri

i = Im cos ωt +φ( )

v =Vm cos ωt +θ( )

( )θω += tjmeVv1 ( )φω += tj

meIi1

Vmej ω t+θ( ) = RIme

j ω t+φ( ) Vmejθ = RIme

jφ V = RI


Da equação:

podemos verificar que

Portanto, a tensão e a corrente senoidais para um resistor possuem o mesmo

ângulo de fase, isto é, estão em fase.

Vmejθ = RIme

jφ

Vm = RIm

θ = φ

v,i

t

v

i


Exemplo: R = 5 Ω, v = 10 cos(100t + 30º) [V]

No domínio do tempo:

i = 2cos 100t +30°( ) A!" #$

v

+

-

i

R = 5 Ω V = RI

+

-

I

R = 5 Ω

V =10∠30° V"# $%

I = VR=

10∠30°5

= 2∠30° A"# $%


Tensão-Corrente para indutores:


v = Ldi/dt

+

-

i

L V = jωLI

+

-

I

jωL

v = L didt

Vmej ωt+θ( ) = L d

dtIme

j ωt+φ( )!"#

$%&= jωLIme

j ωt+φ( )

v1 =Vmej ωt+θ( ) i1 = Ime

j ωt+φ( )

Vmejθ = jωLIme

jφ V = jωLI


Se a corrente no indutor é dada pela a equação

Então, como j = 1∠90º, temos:

Portanto, no domínio do tempo temos:

Comparando com , verificamos que a corrente pelo indutor está

atrasada da tensão de 90º.

i = Im cos ωt +φ( )

V = jωLI = jωL Im∠φ( )=ωL Im∠φ +90°( )

v =ωLIm cos ωt +φ +90°( )

( )φω += tIi m cos

v,i

t

v

i


Tensão-Corrente para capacitores:


dtdvCi =

v

+

-

i = Cdv/dt

C V

+

-

I= jωCV

1/jωC

Imej ωt+φ( ) =C d

dtVme

j ωt+θ( )!"#

$%&= jωCVme

j ωt+θ( )

v1 =Vmej ωt+θ( ) i1 = Ime

j ωt+φ( )

Imejφ = jωCVme

jθ I = jωCV


Se a tensão no capacitor é dada pela a equação

Então, como j = 1∠90º, temos:

Portanto, no domínio do tempo temos:

Comparando com , verificamos que a corrente pelo capacitor

está adiantada da tensão de 90º.

v =Vm cos ω t +θ( )

I = jωCV = jωC Vm∠θ( )=ωCVm∠ θ +90°( )

i =ωCVm cos ω t +θ +90°( )v =Vm cos ωt +θ( )

v,i

t

v i


Exemplo: Capacitor C = 1 µF e tensão igual a

Corrente no domínio do tempo:

i = cos 100t +120°( ) mA!" #$

v

+

-

i = Cdv/dt

C = 1 µF

I = jωCV = j100( ) ⋅ 10−6( ) ⋅ 10∠30°( ) A$% &'

=1∠120° mA$% &'

v =10cos 100t +30°( ) V!" #$


10.7 Impedância e Admitância

Circuito geral com grandezas fasoriais:

Impedância Z do circuito:

Circuito Fasorial

I

+

V_

V =Vm∠θ

I = Im∠φ

Z = VI

Z = Z∠θz =VmIm∠ θ −φ( )

Z =VmIm

θz =θ −φ

[Ω]


Impedância Z segue as mesmas regras dos resistores em circuitos.

A impedância é um número complexo mas não é um fasor.

Impedância na forma retangular:

onde R = Re{Z} = componente resistiva (resistência)

X = Im{Z} = componente reativa (reatância)

Em geral, Z = Z(jω) é uma função complexa de jω mas R = R(ω) e X = X(ω) são

funções reais de ω.

Note que

Z = R+ jX

Z = R2 + X 2

θz = tan−1 XR

"

#$

%

&'

|Z| X

θz

R


Exemplo: V = 10∠56,9º e I = 2∠20º

Forma retangular:

Circuito Fasorial

I

+

V_

Z = VI=

10∠56,9°2∠20°

= 5∠36,9° Ω#$ %&

Z = 5 cos 36,9°( )+ j sen 36,9°( )!"

#$

= 4+ j3 Ω!" #$


Impedância Z de resistores, indutores e capacitores:

No caso do resistor, a impedância é puramente resistiva, sendo a reatância

zero.

No caso do indutor e do capacitor, a impedância é reatância pura, sem

componente resistiva.

Reatância indutiva:

Reatância capacitiva:

ZR = R

X L =ωL

ZC =1jωC

= − j 1ωC

=1ωC

∠−90°

XC = −1ωC

ZL = jωL

ZL = jX L

ZC = jXC


A reatância indutiva é positiva e a reatância capacitiva é negativa.

No caso geral, podemos ter as seguintes situações:

•  X = 0 ⇒ circuito resistivo.

•  X > 0 ⇒ circuito indutivo.

•  X < 0 ⇒ circuito capacitivo.

A recíproca da impedância é chamada de admitância:

onde G = Re{Y} é a condutância e B = Im{Y} é a susceptância.

Z = R+ jX

Y = 1Z

Y =G + jB

Y =G + jB = 1Z=

1R+ jX


Relação entre as componentes de Y e Z:

Assim,

Importante: R e G (X e B) não são recíprocos!!!

G + jB = 1R+ jX

×R− jXR− jX

#

$%

&

'(

G + jB = R− jXR2 + X 2

=R

R2 + X 2− j XR2 + X 2

G =1R

B = − XR2 + X 2

B = 1X

G =R

R2 + X 2


Exemplo: Z = 4 + j 3

Então,

Portanto,

Y = 14+ j3

=4− j342 +32

=425− j 325

G =425

B = − 325


10.8 Leis de Kirchhoff e Associações de Impedâncias

As leis de Kirchhoff são válidas para fasores, assim como para as tensões e

correntes correspondentes no domínio do tempo.

A lei de Kirchhoff de tensões aplicada em um laço típico resulta na equação:

Dividindo por e jω t, temos:

ou seja,

onde

V1ej ωt+θ1( ) +V2e

j ωt+θ2( ) +!+VNej ωt+θN( ) = 0

V1+V2 +!+VN = 0

Vn =Vn∠θn , n =1, 2,!, N

V1ejθ1 +V2e

jθ2 +!+VNejθN = 0


A lei de Kirchhoff de correntes aplicada em um nó típico resulta na equação:

Dividindo por e jω t, temos , ou seja,

onde

Se as excitações são senoidais com frequência comum em um circuito,

podemos encontrar as tensões e correntes fasoriais para todos os elementos e

utilizar as leis de Kirchhoff para a análise.

A análise em regime permanente c.a. é idêntica à análise para circuitos

resistivos, com a impedância no lugar da resistência.

I1ej ωt+φ1( ) + I2e

j ωt+φ2( ) +!+ INej ωt+φN( ) = 0

I1+ I2 +!+ IN = 0

In = In∠φn , n =1, 2,!, N

I1ejφ1 + I2e

jφ2 +!+ INejφN = 0


Exemplo:

Lei de Kirchhoff de tensões:

V =V1+V2 +!+VN

Z1

+ V1 -

Z2

+ V2 -

ZN

+ VN -

I

+

V

-

Zeq V1 = Z1I V2 = Z2I VN = ZNI

V = Z1+Z2 +!+ZN( )IV = Zeq I

Zeq = Z1+Z2 +!+ZN


De maneira análoga, temos para N admitâncias em paralelo:

Lei de Kirchhoff de correntes:

Yeq =Y1+Y2 +!+YN

I

+

V

-

Yeq I1 =VY1

YN Y1 Y2

I1 I2 IN

I2 =VY2 IN =VYN

I = I1+ I2 +!+ IN

I = Y1+Y2 +!+YN( )VI =YeqV


No caso particular de apenas dois elementos em paralelo, temos:

Obs.: Regras de divisão de tensão e de corrente também são válidas para

circuitos fasoriais, com a impedância e as quantidades no domínio da

frequência.

Zeq =1Yeq

=1

Y1+Y2=Z1Z2Z1+Z2


Exemplo: Circuito RL.

Lei de Kirchhoff de tensões no circuito fasorial:

L vg = Vm cos(ωt)

R

+ - i jωL Vm ∠0º

R

+ - I

RI+ZLI =Vm∠0°

R+ jωL( )I =Vm∠0°

I =Vm∠0°R+ jωL

=Vm

R2 +ω2L2∠− tan−1 ωL

R#

$%

&

'(


No domínio do tempo:

Método alternativo de solução:

Impedância vista pelos terminais da fonte é:

e a corrente:

como obtida anteriormente.

I =Vm

R2 +ω2L2∠− tan−1 ωL

R#

$%

&

'(

i =Vm

R2 +ω2L2cos ωt − tan−1 ωL

R"

#$

%

&'

(

)*

+

,-

Z = R+ jωL

I = VZ=Vm∠0°R+ jωL

jωL V

R

+ -

I

Z


10.9 Circuitos Fasoriais

Equação representativa de um circuito fasorial é uma equação fasorial.

Resolvendo esta equação obtemos uma resposta na forma de fasor, que é

convertida para uma resposta no domínio do tempo.

Exemplo: Cálculo de i no circuito.

vg = 5 cos(3t)

3 Ω + -

1 Ω

1H

1/9 F

i i1


5∠0º

3 Ω + -

1 Ω

j3 Ω

-j3 Ω

I I1

Impedância vista dos terminais da fonte:

Portanto, temos:

Por divisão de corrente, temos:

Corrente no domínio do tempo:

Z =1+3+ j3( ) − j3( )3+ j3− j3

= 4− j3

I1 =5∠0°4− j3

=5∠0°

5∠−36,9°=1∠36,9°

I = 3+ j33+ j3− j3

I1 = 1+ j( ) ⋅ 1∠36,9°( ) = 2∠45°( ) ⋅ 1∠36,9°( ) = 2∠81,9°

i = 2 cos 3t +81,9°( ) A!" #$


Exemplo: Cálculo de i no circuito com fonte de tensão dependente.

Lei de Kirchhoff de correntes em a:

V1

I

+

- 4 Ω

-j2 Ω

3∠0º [A] (1/2)V1 + -

a

v1

i

+

- 4 Ω

1/8 F

3cos(4t) [A] (1/2)v1 + -

a

I+

12V1

− j2= 3∠0°I+

V1 −12V1

− j2= 3∠0°


Pela lei de Ohm, temos V1 = 4I, logo

Portanto, temos:

Obs.: O método fasorial de obter i, calculando primeiramente I = V/Z e

trocando I por i, não funciona se Z(jω) = 0. Pois, neste caso, o circuito é

excitado na frequência natural jω.

I+

124I

− j2= 3∠0°

− j2I+ 2I = − j6

I = − j62− j2

=6∠−90°2 2∠− 45°

=32∠− 45°

i = 3

2cos 4t − 45°( ) A"# $%

Capítulo 10 Excitação Senoidal e Fasores

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